EBOOK - MECÂNICA

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MECÂNICA
MECÂNICA
O48 
 Oliveira, Palmira Maria Faria de 
 
 Mecânica [livro eletrônico] / Palmira Maria Faria de 
 Oliveira, André Pereira de Almeida. – Rio de Janeiro: UVA, 
 2019. 
 
 7 MB. 
 
 ISBN 978-85-5459-059-8
 
 1. Mecânica. 2. Mecânica aplicada. 3. Cinemática. 4. 
 Estática. I. Almeida, André Pereira de. II. Universidade Veiga 
 de Almeida. III. Título. 
 
 CDD – 531
Copyright © UVA 2019
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
AUTORIA DO CONTEÚDO
Palmira Maria Faria de Oliveira
André Pereira de Almeida
REVISÃO
Janaina Senna
Francine F. Souza
PROJETO GRÁFICO
UVA
DIAGRAMAÇÃO
UVA
Bibliotecária Katia Cavalheiro CRB 7 - 4826.
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da UVA.
SUMÁRIO
Apresentação
Autor
6
7
Estática do corpo rígido 29
• Redução de um sistema de forças a uma força e um binário. Sistemas 
equivalentes de forças
• Condições de equilíbrio de um corpo rígido. Tipos de equilíbrio. 
Diagramas de corpo livre. Tipos de vínculos. Reações nos vínculos
• Equilíbrio de um corpo submetido a três forças
UNIDADE 2
8
• Corpo rígido. Movimentos de um corpo rígido: translação, rotação e 
movimento geral. Teorema do movimento geral (Teorema de Chasles)
• Componentes de uma força. Resultante de forças. Equação fundamental 
da dinâmica das translações (Segunda lei de Newton). Equilíbrio de um 
ponto material. Equação fundamental da dinâmica das rotações (análogo 
da Segunda lei de Newton)
• Momento de uma força. Teorema de Varignon. Momento de um 
conjugado (binário)
Cinemática e dinâmica do corpo rígido
UNIDADE 1
SUMÁRIO
Momentos de inércia 68
• Momentos de inércia de área e de massa
• Teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner
• Momento de inércia polar; raios de giração
UNIDADE 4
49
• Centro de massa. Centro de gravidade (baricentro). Centro 
geométrico (centróide). Centroide de linhas, superfícies e sólidos. 
Cálculo do centroide por integração. Momento de primeira ordem
• Determinação do centroide de figuras compostas. Teoremas de Pappus
• Equilíbrio de vigas com forças distribuídas
Centroides e baricentros
UNIDADE 3
6
O principal objetivo desta disciplina é fornecer ferramentas que permitam a interpreta-
ção dos fenômenos que ocorrem na natureza e resolução de problemas de mecânica 
a partir de uma perspectiva crítica e interdisciplinar, utilizando as leis fundamentais 
da mecânica.
APRESENTAÇÃO
7
PALMIRA MARIA FARIA DE OLIVEIRA
Doutoranda em Engenharia Mecânica pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
– Uerj. Possui mestrado em Engenharia Civil pela Universidade Federal Fluminense – 
UFF (1997). Possui experiência de mais de 30 anos na área de projetos estruturais e de 
recuperação; projetos de instalações elétricas e hidrossanitárias. Atua como assistente 
de perícias na área de Engenharia Civil, com legalização de obras. Atua como conselheira 
regional do CREA-RJ, tendo desempenhado os cargos de coordenadora da Comissão 
de Educação, membro da Comissão de Ética Profissional e da Câmara Especializada 
em Engenharia Civil. No campo docente, possui mais de 30 anos de experiência, já 
atuou em diversas instituições de ensino superior. Atualmente é professora do Centro 
Universitário Geraldo Di Biase – UGB-FERP. Ocupa o cargo de coordenadora do curso de 
Engenharia Civil do campus Tijuca da Universidade Veiga de Almeida – UVA. É também 
professora dos cursos de graduação e de pós-graduação da UVA, com destaque para o 
curso de MBA em Gestão de Obras Civis.
ANDRÉ PEREIRA DE ALMEIDA
Doutor em engenharia nuclear (2013) com ênfase em Física Nuclear Aplicada, pelo 
Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia – Coppe/
UFRJ. Possui pós-doutorado pelo Instituto de Física da Universidade do Estado do Rio 
de Janeiro – Uerj. Atualmente é professor de TI na Universidade Veiga de Almeida – 
UVA e professor adjunto na Unidade de Biologia da Universidade Estadual da Zona 
Oeste – UEZO.
AUTOR
Cinemática e dinâmica 
do corpo rígido
UNIDADE 1
9
Muitos problemas em engenharia podem ser resolvidos considerando o equilibro de 
partículas, e admitindo-se que um corpo pode ser tratado como uma partícula, quando 
suas dimensões forem irrelevantes para a descrição de sua posição ou para a ação das 
forças aplicadas a ele. Nesse contexto, torna-se necessário aprender a determinar o 
efeito de forças externas que atuam em corpos rígidos em equilíbrios.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade você irá:
• Definir, demonstrar e identificar os principais conceitos associados à cinemática 
e à dinâmica de sistemas.
OBJETIVO
10
Corpo rígido. Movimentos de um corpo rígi-
do: translação, rotação e movimento geral. 
Teorema do movimento geral (Teorema de 
Chasles)
O estudo da mecânica iniciou-se com Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-
212 a.C.), mas só foi encontrada uma formulação para os seus princípios e conceitos 
fundamentais com Isaac Newton(1642-1727). Mais tarde esses princípios foram 
preconizados de modo diferente por Lagrange (1736-1813) e Hamilton (1805-1865) sem 
perder sua validade, até o questionamento feito por Einstein, que formulou a teoria da 
relatividade em 1905.
A mecânica é definida como a ciência que descreve e formula as condições 
de repouso ou movimento de corpos submetidos à ação de forças. Alguns 
conceitos e definições como espaço, tempo, massa e força, precisam ser 
compreendidos apesar de já terem sido estudados na física clássica. 
Grandezas físicas presentes na mecânica
Você sabe quais são as grandezas físicas presentes na mecânica? Vamos conhecê- 
-las. 
- Espaço: região geométrica ocupada por corpos cujas posições são medidas lineares e 
angulares relativamente a um sistema de coordenadas. Ou, em outras palavras, o conceito 
de espaço está associado à posição de um ponto P definido por três comprimentos 
medidos a partir de um ponto de referência que chamamos origem. Esses comprimentos 
são conhecidos como coordenadas de P.
11
- Tempo: é uma medida usada para determinar o instante em que o fenômeno acontece, 
não estando, portanto, ligado aos problemas relacionados à estática.
- Massa: é a grandeza física que permite exprimir a quantidade de matéria contida em 
um corpo. É explicada por duas leis: a Lei de Gravitação Universal e a Segunda Lei de 
Newton. A primeira refere-se atração dos corpos em razão de suas massas, e a segunda, 
a força aplicada sobre um corpo que é diretamente ligado à aceleração que sofre.
- Força: apesar de não ter forma nem massa, é definida como a ação de um corpo agindo 
sobre outro, ou seja, é o agente capaz de causar movimento num corpo. Como grandeza 
vetorial, além do valor numérico, é necessário também caracterizar sua direção, seu 
sentido e seu ponto de aplicação, como por exemplo, a velocidade, a aceleração, o 
momento e a quantidade de momento.
Definimos partícula como um corpo ou pedaço do corpo de medidas 
muito pequenas. Podemos tratar um corpo como uma partícula quando 
suas dimensões forem irrelevantes para a descrição de sua posição, ou 
para caracterização de forças que atuam sobre ele. E corpo rígido como 
a combinação de um grande número de partículas que ocupam posiçõesfixas umas em relação às outras.
Na química, partícula é definida como o menor fragmento de matéria que man-
tém as propriedades químicas de um corpo.
Curiosidade
z
x
y
12
Tudo bem até aqui? Vamos agora entender os princípios do estudo da 
mecânica. 
Princípios do estudo da mecânica
a) A lei do paralelogramo para adição de forças: essa lei estabelece que duas forças 
atuantes sobre uma partícula podem ser substituídas por uma única força, denominada 
resultante.
Ou seja, dois vetores, V1 e V2, tratados como vetores livres (aquele cuja ação não 
está confinada ou associada a uma única linha no espaço), podem ser substituídos 
por seu vetor equivalente R, que é a diagonal do paralelogramo, formado pelos lados 
V1 e V2. 
b) Principio da transmissibilidade: estabelece que as condições de equilíbrio ou de 
movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atua em 
um dado ponto do corpo rígido for substituída por outra de mesma intensidade, direção 
e sentido, mas que atue em um ponto diferente, desde que as duas forças tenham a 
mesma linha de ação. 
c) Primeira Lei de Newton ou princípio da inércia: qualquer corpo em repouso 
permanecerá em repouso e qualquer corpo em movimento se manterá em movimento 
uniforme numa linha reta, a menos que haja sobre ele a atuação de uma força. 
V1
V2
V
13
Essa lei presume o princípio do equilíbrio de forças, que será a base dos 
estudos de estática. 
d) Segunda Lei de Newton ou princípio da proporcionalidade: a taxa de variação do 
movimento em relação ao tempo é igual a força que a produz, e a variação ocorre na 
direção em que a força está atuando.
e) Terceira Lei de Newton ou princípio da ação e reação: para cada força atuante, há 
uma reação de igual intensidade, direção oposta e mesma linha de ação.
Essa lei apresenta a definição de força, ou seja, ela declara que sempre 
que um corpo A exercer uma força sobre outro corpo B, este resistirá 
com a mesma intensidade, mas em direção oposta.
f) Lei de Gravitação de Newton: estabelece que dois pontos materiais de massa M1 e 
M2 são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas de intensidade F dada pela 
fórmula:
 
Em que G = constante universal da gravitação.
Saiba mais
Essa lei faz uma análise dos fundamentos que envolvem o movimento ou a 
dinâmica que, escrita em forma de equação, pode ser resumida em F= m x a (onde 
F representa a força resultante desequilibrada que atua em um corpo de massa m 
com a aceleração resultante a)
Na verdade, a Segunda Lei reforça a Primeira Lei, porque, quando uma força é 
nula, não há aceleração e o corpo está em repouso ou se move a uma velocidade 
constante.
F =
G.M1M2
d2
14
Sistemas de unidades
Para medir os fenômenos físicos, a comunidade científica adota quase que exclusivamente 
o Sistema Internacional de Unidades, abreviado como SI (do francês Systéme international 
d’Unités), que tem como sistema de unidade básico o sistema mKs (metro, quilograma e 
segundo), todas as outras unidades usadas são derivadas dessas três. Assim, podem ser 
usados em qualquer lugar da Terra e terão o mesmo significado.
Para que possam ser comparadas as grandezas de mesma espécie, é 
necessário que a elas sejam associadas unidades de medidas, que servirão 
como termos de comparação, pois um simples valor numérico não representa 
uma grandeza. O ato de medir implica no estabelecimento de uma relação 
entre a grandeza desejada e a unidade padrão tomada para a comparação.
Importante
GRANDEZA UNIDADE FÓRMULA SÍMBOLO
Distância Metro - m
Massa Quilograma - kg
Tempo Segundo - s
Área Metro quadrado m.m m2
Volume Metro cúbico m.m.m m3
Massa específica Quilograma pó m³ Kg/m3 kg/m3
Força Newton Kg.m/s2 N
Momento de força Newton-metro Nm N.m
Tensão Pascal N/m2 Pa
Peso específico Newton por m³ N/m3 N/m3
15
PREFIXOS DO SI
Fator de multiplicação Prefixo Símbolo
1.000.000.000.000.000.000.000= 1021 zeta Z
1.000.000.000.000.000.000=1018 exa E
1.000.000.000.000.000= 1015 peta P
1.000.000.000.000= 1012 tera T
1.000.000.000= 109 giga G
1.000.000=106 mega M
1.000=103 quilo K
100=102 hecto h
10=101 deca da
0,1=10-1 deci d
0,01= 10-2 centi c
0,003=10-3 mili m
0,000 001=10-6 micro μ
0,000 000 001= 10-9 nano n
0,000 000 000 001= 10-12 pico p
0,000 000 000 000 001= 10-15 femto f
0,000 000 000 000 000 001 = 10-18 atto a
0,000 000 000 000 000 000 001=10-21 zepto z
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo complementar indicado 
pelo professor sobre forças e as leis do movimento de Newton.
16
Componentes de uma força. Resultante de 
forças. Equação fundamental da dinâmica 
das translações (Segunda lei de Newton). 
Equilíbrio de um ponto material. Equação 
fundamental da dinâmica das rotações 
(análogo da Segunda lei de Newton)
Aqui vamos compreender que, como grandeza vetorial, uma força é caracterizada pelo 
seu módulo — que está relacionado a uma medida numérica de intensidade —, pela sua 
direção, definida como a linha de ação que representa uma reta infinita ao longo da qual 
a força está atuando —, e por seu sentido.
Graficamente um vetor é definido por uma seta que é utilizada para definir 
seu módulo — que é o comprimento da seta —, sua direção — definida 
pelo ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação da seta 
— e seu sentido — indicado pela extremidade da seta).
Ao estudar o efeito de forças sobre partículas, ou forças que consideramos aplicadas 
no mesmo ponto, verifica-se que, como grandeza matemática, a maioria dos problemas 
envolvidos podem ser resolvidos a partir de vetores, usando as propriedades fundamentais 
da trigonometria, como a:
• Lei dos senos: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos 
senos dos lados opostos.” 
• Lei dos cossenos: “Em um triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas 
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.”
17
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
Quando temos a adição de mais de duas forças, podemos aplicar sucessivamente a 
regra do paralelogramo para encontrar a resultante, conforme figura abaixo.
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
18
No entanto, esses processos de geometria e trigonometria tornam-se bastante cansativos, 
quando três ou mais forças são adicionadas. 
Nesse caso, para determinar a resultante de forma rápida, utilizamos uma metodologia 
analítica por meio de componentes retangulares. Diz-se que uma força F é decomposta 
em dois componentes retangulares se seus componentes Fx e Fy forem perpendiculares 
entre si e dirigidos ao longo dos eixos coordenados. 
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
Introduzindo os vetores unitários î e j ao longo dos eixo x,e y respectivamente.
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
Ao decompor a força em seus componentes retangulares, temos:
Onde temos Rx= Px + Qx+ Sx ou notação reduzida Rx= ∑Fx
 Ry= Py + Qy+ Sy ou notação reduzida Ry= ∑Fy
^
19
Pode-se obter a intensidade (módulo da força resultante) FR aplicando-se o teorema de 
Pitágoras FR = √(Rx)
2 + (Ry)
2 e conhecer por meio da tangente do ângulo formado definir 
a direção da força Tg θ = Ry⁄Rx ou θ = arctg (Ry⁄Rx ).
Representando por FR, a intensidade da força e por θ, o ângulo entre FR e o eixo x, medido 
no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, podemos também representar os 
componentes escalares da força FR da seguinte maneira:
Para reforçar o conceito, observe o exemplo a seguir:
Se tivermos quatro forças atuando sobre o ponto A, qual seria a resultante 
de forças nesse ponto?
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
Os componentes x e y de cada força são determinados por meio da trigonometria. Será 
positivo se a componente tiver o mesmo sentido do eixo ordenado, e negativo se o 
sentido for contrário. Segundo o eixo cartesiano, os componentes atuando para a direita 
e o componente y atuando para cima. Para melhorcompreensão, detalharemos cada 
força a partir de seus componentes retangulares, mantendo-se a unidade estabelecida 
para a força em N (Newton).
20
FORÇA INTENSIDADE (N) COMPONENTE X COMPONENTE Y
F1 150 F1 cos 30°= 150.(0,866)=129,9
F1sen30°=150(0,50)=
75,0
F2 80 - F2 sen20°=- 80 (0,342 )=- 27,4
F2cos20°=80(0,94)=
75,2 
F3 110 0 (porque a força é vertical) -110
F4 100 100 cos15°= 100 (0,966 )= 96,6 - 100 sen15° =- 25,9
Rx= 199,1 Ry= 14,3
logo R = ( 199,1 N)Î + (14,3 N)j e sua intensidade vale R=√(199,1)2 + (14,3)2 = 199,6N e o 
ângulo será definido pela tangente tg θ = 14,3⁄199,1 e θ = 4,1°
Equilíbrio de uma partícula
Vimos até aqui as forças que atuam sobre uma partícula e verificamos que, se as 
forças resultantes que atuam forem zero, a partícula estará em equilíbrio, constatando 
a Primeira Lei de Newton descrita anteriormente. Na prática, temos situações físicas 
reais que envolvem estruturas, e que são solucionadas a partir do modelo denominado 
diagrama de corpo livre, a partir do qual, escolhendo-se uma partícula significativa, traça-
se um diagrama de todas as forças que atuam sobre a partícula.
Agora vamos realizar alguns exercícios! 
Um automóvel de 15750N é sustentado por um cabo numa operação de descarregamento 
de um navio. Ao consideramos uma corda que é amarrada ao cabo em A e puxada para 
pousar o automóvel na posição desejada, qual é a tração resultante na corda?
Fonte: Elaborada pelos autores (2019).
^
21
Levando-se a um sistema cartesiano e escolhendo o ponto A como um corpo livre 
podemos desenhar um diagrama, e calcular o equilíbrio entre as três forças atuantes TAB 
(tração no cabo AB), TAC (tração na corda) , utilizando a lei dos cossenos:
Então teremos: TAB÷ sen 120° = TAC÷ sen2° = 15.750N÷ sen 58°
Logo TAB= 16.084 N e TAC= 648 N
 
Até o momento estudamos problemas sob duas dimensões, mas analogamente podemos 
estender os conceitos estudados de componentes retangulares de uma força sob três 
dimensões no espaço. A direção de um vetor é definida pelos ângulos diretores α, β, γ, 
medidos respectivamente entre o vetor e as direções x, y, e z, que variam de 0 a 180°. 
Pela orientação dos cossenos diretores temos:
• cosα = AXA ; cosβ = AYa e cosγ =AZ.A 
• cos 2α + cos 2β + cos 2γ =1
• vetor unitário UA= (A/A) =( Ax/A) i + (Ay/A)j + (AZ/A)k
• UA= cosα i + cosβ j + cosγ k
• Se A = AXi + AYj + AZk e B= BXi + BYj + BZk 
• A+B = (AX + BX) i + ( AY + BY)j + ( AZ + BZ)k 
• A- B = (AX - BX) i + ( AY - BY)j + ( AZ - BZ)k 
22
Assim o equilíbrio de uma partícula no espaço é definido quando todas as resultantes 
que atuam no ponto A forem zero, ou seja, quando ∑Ax=0 ∑AY=0 ∑AZ=0
 
Fonte: Beer e Johnston (2012).
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo complementar sobre 
componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido.
23
Momento de uma força. Teorema de Varignon. 
Momento de um conjugado (binário)
Momento de uma força
Nesta etapa de estudos, vamos compreender que além da tendência de mover um corpo 
na direção de sua aplicação, uma força também pode girar um corpo em relação a um 
eixo, desde que esse eixo não seja paralelo à linha de ação da força ou não a intercepte. 
Essa tendência de rotação chamamos de M ou momento da força, também conhecido 
como torque.
Fonte: Beer e Johnston (2012).
Convém observar um exemplo clássico: a chave de grife. Considere a força aplicada 
perpendicular à manobra da chave que faz com que o tubo gire em torno do eixo vertical. 
Na figura abaixo, demonstra-se um corpo bidimensional submetido a uma força F 
atuando em seu plano. O módulo do momento é tanto proporcional ao módulo da força 
quanto ao braço de alavanca d, distância perpendicular do eixo à linha de ação da força.
 
O momento é um vetor M perpendicular ao plano do corpo e seu sentido 
é dado pela regra da mão direita (polegar para cima representa o sentido 
anti-horário). Considerado um vetor móvel com uma linha de ação 
coincidente com o eixo do momento, obedecendo a todas as regras de 
combinação vetorial. 
24
Quando lidamos com forças que atuam no mesmo plano, utilizamos a expressão de 
momento em relação a um ponto, e sua direção pode ser estabelecida por convenções 
com um sinal (+) para momentos no sentido anti-horário e (-) no sentido horário. Sua 
representação é uma seta curvada quando estamos trabalhando em momentos 
representados na análise bidimensional. 
Considere que, para a maioria dos problemas, é mais conveniente o 
enfoque vetorial para cálculo dos momentos.
Fonte: Beer e Johnston (2012).
Dessa forma teremos como produto vetorial, segundo a figura (b) acima, M = r × F, onde 
r é um vetor de posição que vai do ponto de referência do momento A, para qualquer 
ponto da linha de ação F.
Vemos também que d = r senα, que é o braço da alavanca, não depende 
do ponto particular da linha de ação de F, para o qual o vetor r está 
direcionado. M= F. r .senθ
Teorema de Varignom
O matemático Francês Pierre Varigion desenvolveu um teorema muito importante que 
afirma que o momento de uma força em torno de um ponto (eixo) é igual à soma algébrica 
dos momentos de seus componentes em termos do mesmo ponto (eixo).
25
Seja (M0 ) o momento de R em relação ao ponto 0 temos: 
(M0 ) = r × R 
Como R = P +Q logo:
r × R =r ×(P +Q ), que pela propriedade distributiva temos : (M0 )= r × R =r ×P +r ×Q 
( figura a)
Ou seja, o momento de R pode ser calculado a partir dos componentes do vetor R 
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo complementar indicado 
pelo professor sobre princípio dos momentos (Varignon), momentos de 
binários e binário equivalente.
Fonte: Beer e Johnston (2012).
26
NA PRÁTICA
Todo conteúdo estudado nesta unidade pode ser observado em qualquer porto, 
onde os guindastes são utilizados para carregar ou descarregar os navios. Os 
guindastes são exemplos práticos do equilíbrio, estudado nas leis de Newton.
No contexto dessa imagem podemos observar aplicações de: princípios básicos; 
Leis de Newton; sistemas de unidades; operações vetoriais e propriedades; 
representação e classificação de sistemas de forças; teorema de Varignon.
27
Resumo da Unidade 1
Nesta unidade, apreciamos alguns conceitos e princípios básicos, as leis de Newton, 
os sistemas de unidades, as operações vetoriais e propriedades, a representação e 
classificação de sistemas de forças, a teoria dos momentos, assim como fizemos uma 
revisão dos procedimentos utilizados para formular e resolver problemas em estática.
Além disso, analisamos a capacidade de prever os efeitos de forças e movimentos ao 
gerar as funções criativas de projeto em engenharia. 
Nesta unidade, compreendemos os princípios básicos da mecânica, as leis 
de Newton, os sistemas de unidades, as operações vetoriais e propriedades, a 
representação e a classificação de sistemas de forças, o teorema de Varignon. 
CONCEITO
28
Referências 
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. 
ed. São Paulo: Makron Books, 2012. p. 626.
. Mecânica vetorial para engenheiros. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. v. 2.
HIBBELER, R. C. Mecânica estática. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2005. p. 540.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. p. 349.
Estática do corpo rígido
UNIDADE 2
30
Chamamos de corpos rígidos os corpos que não se deformam frente à solicitação de 
carga a que estão sujeitos; e de estática o espaço tridimensional no qual atuam forças 
e momentos que estabelecem as condições de equilíbrio ou movimento do corpo, e 
em que suas resultantes nulas podem ser expressas em um sistema de coordenadas 
cartesianas.
Na prática, as estruturas e os equipamentos têm deformações muito pequenas, mas 
essas deformações não afetam suas condições de equilíbrio. Assim, vamos estudar os 
efeitos das forças que atuam em estruturas e em equipamentos de engenharia.INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Estudar os efeitos das forças que atuam em estruturas e em equipamentos de 
engenharia.
31
Redução de um sistema de forças a uma 
força e um binário. Sistemas equivalentes 
de forças
Qualquer sistema de forças que atuam sobre um corpo rígido pode ser substituído por 
um sistema equivalente que consiste em uma força e um binário chamado força binário. 
No caso de forças paralelas, coplanares ou concorrentes, esse sistema equivalente pode 
ser reduzido a uma única força denominada resultante do sistema, ou ainda a um único 
binário resultante do sistema.
Duas forças –F e F de mesma intensidade, linhas de ação paralelas, mas sentidos opostos 
formam um binário, sua combinação gera um vetor M chamado momento do binário, 
normal ao plano, com sentido dado pela regra da mão direita.
A soma dos componentes destas duas forças em qualquer direção será zero, 
diferente dos momentos que tenderão a fazer o corpo girar, ou seja, proporcionar 
rotação em um determinado sentido.
Importante
32
Podemos expressar o momento combinado dessas duas forças por meio da álgebra 
vetorial, já que o vetor r é independente da escolha da origem.
Dessa forma, verifica-se que dois binários serão considerados equivalentes se tiverem 
o mesmo momento ou se apresentarem o mesmo efeito sobre um corpo rígido. Para 
tanto, tanto precisaremos apenas transformar um binário em outro por meio da lei do 
paralelogramo, e do princípio da transmissibilidade (já estudado na unidade 1). 
Isso é muito importante nos cálculos, pois ındependentemente de em que plano paralelo 
às forças esteja atuando, seja pela sua direção ou sentido, o que importa é o momento 
gerado. No caso abaixo temos o mesmo momento representado pelo vetor M. Para criar 
uma diferença com a representação de forças foi acrescentada uma seta circular. 
Como podemos escolher o ponto de aplicação do vetor M, podemos levá-lo a um sistema 
de coordenadas e decompor nos respectivos eixos coordenados.
33
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado 
sobre Equilibrio de um ponto material: diagrama do corpo livre, cabos e polias 
e molas.
Substituição da força por um binário
Pelo princípio da transmissibilidade podemos substituir uma dada força por uma força 
e um binário perpendiculares entre si. Logo, qualquer força que atue sobre um corpo 
rígido pode ser movida para um ponto arbitrário, desde que adicione um binário cujo 
momento é igual, ou seja, a força do sistema força binário é igual à força original, ao 
passo que o vetor binário necessário é igual à força original em relação ao ponto dado. De 
modo inverso qualquer sistema força binário pode ser substituído por uma única força 
equivalente.
Sistemas equivalentes de forças 
Em mecânica, a maioria dos problemas lida com sistemas de forças, e normalmente 
para determinarmos sua ação é necessário reduzir o sistema a uma forma mais simples.
 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema força binário, substituindo 
cada força do sistema por um sistema força binário. Se somarmos todas as forças e 
todos os binários, obteremos uma força resultante e um vetor binário resultante, que 
não serão perpendiculares entre si. A resultante de força é a forma mais simples de 
combinação que substituirá as forças externas, sem afetar a ação sobre o corpo rígido. 
34
Na prática, esta redução será efetuada em termos de componentes nas direções de x, 
y e z da força dada e que medem a tendência de o sistema imprimir ao corpo rígido 
um movimento de translação. Analogamente, as componentes dos momentos tendem a 
imprimir no corpo o momento de rotação. 
Assim, dois sistemas são equivalentes se tenderem o corpo rígido ao mesmo fenômeno 
de rotação e translação.
Se, ao contrário, a força e o binário resultante não forem perpendiculares não poderão 
ser reduzidos a uma única força, mas a um tipo especial de sistema de força binário 
denominado torsor, que na prática combina a ação de empurrar e torcer, muito encontrado 
nas operações de rosqueamento de parafusos.
Matematicamente, temos: ∑F= ∑F’ e ∑M0 = ∑M0’.
35
Condições de equilíbrio de um corpo rígido. 
Tipos de equilíbrio. Diagramas de corpo livre. 
Tipos de vínculos. Reações nos vínculos
Um corpo rígido está em equilíbrio quando as forças externas atuantes sobre ele formam 
um sistema de forças equivalentes a zero, isto é, quando essas forças externas podem 
ser reduzidas a uma força nula e a um momento resultante nulo. Em outras palavras, as 
forças externas não causam qualquer movimento translacional ∑F=0 , nem rotacional 
∑M=0.
Condições de equilíbrio
Se decompormos cada momento e cada força em suas componentes retangulares, 
teremos seis equações escalares, e com estas equações podemos determinar forças 
desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações desconhecidas exercidas sobre ele 
e seus apoios.
∑F= 0 se ( ∑Fx=0 , ∑Fy=0 e ∑Fz=0) e ∑M=0 se ( ∑Mx=0 , ∑My=0 e ∑Mz=0) 
Diagrama de corpo livre 
Para compreender se um corpo rígido está em equilíbrio ou não, é necessário considerar 
todas as forças atuantes sobre o mesmo. Para isso se faz o diagrama de corpo rígido.
Vamos conhecer uma metodologia para construir um diagrama de corpo 
livre?
1 – Escolher o corpo rígido a ser estudado.
2 – Isolar esse corpo dos outros objetos.
3 – Indicar todas as forças atuantes sobre esse corpo, usando vetores para a indicação.
36
Figura 1: Exemplos de diagramas de corpo livre.
Fonte: Meriam; Kraige (2004).
Equilíbrio em duas direções
Considera-se equilíbrio bidimensional quando as forças atuantes estão contidas no 
mesmo plano. Nesse caso, se escolhermos os eixos X e Y como plano da estrutura, as 
equações de equilíbrio passaram a ser satisfeitas quando:
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA=0 em que A será um ponto qualquer no plano da estrutura. 
Entretanto, essas condições são independentes e uma pode ser satisfeita sem que a outra 
seja. Assim, as aplicações recaem nas chamadas categorias de equilíbrio, e podemos 
observar que:
37
1- No equilíbrio de forças colineares é necessária apenas uma equação de força.
2- No equilíbrio de forças no plano concorrente são necessárias apenas duas equações 
de forças, já que o momento que passa pelo ponto 0 é nulo.
3- No equilíbrio de forças paralelas no plano são necessárias uma equação de força na 
direção das forças e uma equação de momento perpendicular ao plano das forças.
4- No equilíbrio de um sistema de forças em um plano são necessárias duas equações 
de força e uma equação de momento perpendicular ao plano.
Figura 2: Categorias de equilíbrio em duas dimensões.
Fonte: Meriam; Kraige (2014). 
Tipos de vínculos e reações nos vínculos
As condições de equilíbrio normalmente são suficientes para estabelecer o equilíbrio do 
corpo. No entanto, podem não ser suficientes para determinar as forças desconhecidas 
que podem atuar em um corpo em equilíbrio. Se as equações são adequadas ou não para 
determinar todas as incógnitas, depende das características das restrições impostas 
pelos apoios contra um possível movimento do corpo.
38
Na prática, um vínculo é um elemento de ligação entre partes de uma estrutura ou entre 
uma estrutura e o meio externo cuja finalidade é restringir os movimentos que os corpos 
podem executar. Como cada ação gera uma reação, as reações desenvolvidas pelos 
vínculos formam um conjunto de forças externas reativas. 
Observe os modos comuns de aplicações de forças em sistemas mecânicos.
Figura 3: Modelagem da ação de forças na análise bidimensional
39
Fonte: Meriam; Kraige (2014).
As reações de apoio podem ser divididas em três tipos:
Apoio do 1° gênero (apoio móvel ou rolete): o apoio é capaz de restringir o movimento em 
apenas uma direção.
Apoio do 2° gênero: o apoio é capaz de restringir o movimento em duas direções, 
impedindo para todas o movimento de translação, porém é possível o movimento de 
rotação.
40
Apoio do 3° gênero: o apoio é capaz de restringir o movimentoem três direções; essas 
reações são causadas por engastes.
A seguir, a imagem que apresenta a simbologia dos tipos de apoio:
Para se resolver um sistema pela álgebra linear, deve-se ter o número de 
equações igual ao número de incógnitas. Por isso, deve-se ter o mesmo número 
de reações de apoio incógnitas e equações de equilíbrio independente, para a 
solução do problema; caso isso não aconteça, as reações serão identificadas 
como sendo estaticamente indeterminadas.
Observação
41
Quais as reações nos apoios A e B da estrutura abaixo?
Exemplo
Solução: Primeiramente traça-se o diagrama do corpo livre com todas as forças atuando 
sobre a estrutura nas direções verticais e horizontais. A reação no ponto A tem somente 
uma componente vertical porque a viga em A é sustentada por um rolete, logo, não 
poderá ter nenhuma componente horizontal, diferente do apoio em B, que é um pino. 
 
• Calculando o equilíbrio dos momentos em B, teremos ∑B=0, logo, utilizando a regra 
da mão direita para o sinal dos momentos.
100(2) + 600 sen45°(5) - 600 cos45°(0,2) – Ay(7) =0 logo ... Ay= 319 N
• Calculando o equilíbrio das forças em relação ao eixo Y ou ∑Fy=0
Ay + By + 100 -200- 600 sen45° =0, logo, substituindo Ay , teremos By = 405N
• Calculando o equilíbrio das forças em relação ao eixo X ou ∑Fx= 0
600 cos45 – Bx =0 logo Bx= 424N
42
Equilíbrio em três dimensões
Analogamente aos princípios e métodos desenvolvidos para o equilíbrio bidimensional, 
temos que não existe resultante de força atuando em um corpo em equilíbrio em qualquer 
uma das três direções coordenadas, e nenhuma resultante de momento atuando sobre 
o corpo em relação a qualquer dos eixos coordenados ou em torno de eixos paralelos.
Observe a imagem a seguir:
Figura 4: Modelagem da ação de forças na análise tridimensional.
Fonte: Meriam; Kraige (2014).
43
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado 
sobre tipos de apoio.
44
Equilíbrio de um corpo submetido a três 
forças
Devemos compreender que da mesma forma como um corpo sujeito à ação de várias 
forças, aplicadas em dois pontos, outro caso de grande interesse no equilíbrio de um 
corpo rígido é a ação de forças aplicadas em três pontos. 
Se o corpo está em equilíbrio, a resultante das forças aplicadas em cada um desses 
pontos deve ser concorrente ou paralela. E para encontramos uma solução, desenhamos 
o diagrama de corpo livre mostrando a linha de ação dessas forças, passando pelo mesmo 
ponto e procuramos uma relação entre os comprimentos conhecidos ou facilmente 
calculáveis e uma dimensão que envolva uma incógnita, usando a geometria básica e as 
relações trigonométricas.
Vamos entender na prática como funciona?
Um homem levanta uma viga de 10Kg que tem quatro metros de comprimento 
puxando-a por uma corda. Qual a tração T no cabo e a reação em A?
Exemplo
45
Solução:
1- Traçar o diagrama de corpo livre.
2- Observa-se que o corpo está em equilíbrio quando as forças atuantes são concorrentes, 
ou seja, os prolongamentos dos vetores se encontram (interseção).
3- Utilizamos o triangulo de forças para determinar a direção e a intensidade da reação R.
46
Assim teremos: AF=BF=(AB) cos45°= 4cos 45°=2,828m
CD=EF=AE=1/2 AF=1,414m
BD=CD cotg(45°+ 25°)= (1,414)m tg 20°= 0,515m
CE=DF=BF-BD= 2,828m – 0,515m= 2,313 m Logo tg CE/AE= 1,636 e α =58,6°
E aplicando a Lei dos Senos
T÷ sen 31,4° = R÷sen 110° = 98,1N÷ sen 38,6° onde determinamos T=81,9N e 
R=147,8N
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado 
sobre momento de binário.
NA PRÁTICA
Os itens estudados consolidam a ação do engenheiro civil, que para construir 
qualquer estrutura deve calcular todas as reações e momentos fletores que 
possivelmente atuem sobre a estrutura a ser construída, para isso ele usa o 
artifício do diagrama de corpo livre.
Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA.
47
Resumo da Unidade 2
Nesta unidade observa-se que uma estrutura é qualquer sistema de elementos conectados 
construídos para suportar forças e resistir de forma segura às cargas a ele aplicadas. 
Na determinação desses sistemas, aplicamos os conhecimentos das propriedades das 
forças, momentos e binários para representar com clareza todas as forças externas que 
atuam sobre um corpo por meio do diagrama de corpo livre, e determinar as equações 
que governam as condições de equilíbrio dos corpos, responsáveis pela análise da 
determinação ou indeterminação das condições de estabilidade. 
CONCEITO
Entendemos que qualquer sistema de forças que atua sobre um corpo rígido 
pode ser substituído por um sistema equivalente que consiste em uma força 
e um binário. Também estudamos que um corpo rígido está em equilíbrio 
quando as forças externas atuantes sobre ele formam um sistema de forças 
equivalentes a zero. 
48
Referências 
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. 
ed. São Paulo: Makron Books, 2012. 
HIBBELER, R. C. Mecânica estática. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v. 1. 
Centroides e baricentros
UNIDADE 3
50
OBJETIVO
Esta unidade tem como objetivo definir centro de massa, centroide e baricentro, além de 
calcular os parâmetros definidos aqui, para geometrias simples, planas e compostas.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade você será capaz de:
• Calcular o centroide de figuras e as cargas distribuídas sobre uma viga.
51
Centro de massa. Centro de gravidade 
(baricentro). Centro geométrico (centróide). 
Centroide de linhas, superfícies e sólidos. 
Cálculo do centroide por integração. 
Momento de primeira ordem
Centro de gravidade de uma placa
Considere o momento, calculado por M= r × F , onde r é um vetor de posição e a força 
aplicada F, onde pode-se calcular o módulo do vetor momento da seguinte forma: M=r F 
senθ
Na situação em que o ângulo entre o vetor posição e a força for de 90°, sen90°=1, então 
M=r F
Imagine uma superfície plana que sofre a influência de uma força gravitacional (peso).
Figura 1: Força da gravidade atuando sobre uma placa.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Observa-se na Figura 1, que a força gravitacional F que atua na placa está representada 
no ponto G (centro de gravidade), onde a distância do ponto com relação ao eixo x, vale 
y e da mesma forma, observa-se que a distância do ponto com relação ao eixo y, vale x.
52
O momento M que atua sobre a placa, de acordo com os eixos x e y, pode ser calculado 
da seguinte forma:
Agora, vamos isolar uma partícula dessa placa que está em uma coordenada (x,y) do 
eixo de referência. Sobre essa partícula, atua uma força de intensidade ∆F, perpendicular 
à placa, como representa a Figura 2.
Figura 2: Força da gravidade atuando sobre uma partícula de uma placa.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
O momento ∆M que atua sobre a placa, de acordo com os eixos x e y, pode ser calculado 
da seguinte forma:
Na forma diferencial podemos escrever:
Considerando todas as partículas que compõem a placa temos:
53
Igualando as equações 1 e 3:
Agora, igualando as equações 2 e 4:
Essa abordagem também pode ser feita para um fio, como mostra a Figura 3.
Figura 3: Força da gravidade atuando sobre uma partícula de um fio.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Considerando, então, que a força gravitacional atuante sobre o corpo é constante, 
usaremos as equações obtidas para o centro gravitacional.
Também tomaremos o peso especifico (γ) e a espessura da placa (e) como constantes.
Onde V é o volume da placa e V=A.e
54
Assim, temos que a força gravitacional é F=γ.A.e 
Reescrevendo:
E na forma diferencial:
Assim, as equações dos momentos ficam:
Simplificando:
 Momento de primeira ordem em relação a x
 Momento de primeira ordem em relação a y 
Temos, então, as coordenadas do centroide x e y, ondeA é a área da superfície plana.
Na situação de uma linha (fio):
 Momento de primeira ordem em relação a x
 Momento de primeira ordem em relação a y 
Onde L é o comprimento do fio.
55
• O momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo de 
simetria é zero.
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu centroide fica localizado sobre 
esse eixo.
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu centroide deverá se localizar 
na interseção dos dois.
• O centroide de uma superfície coincide com seu centro de simetria.
Observação
Cálculo do centroide por integração
Como exemplo, segue o cálculo do centroide para uma figura plana retangular.
56
De forma similar calcula-se o y:
Sabendo que dA=dxdy
Podemos, assim, calcular as coordenadas do centroide:
57
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre Exemplificação do cálculo do centroide.
58
Determinação do centroide de figuras 
compostas. Teoremas de Pappus
As coordenadas do centroide de uma superfície ou curva podem ser obtidas dividindo-
se os momentos de primeira ordem pela área da superfície ou comprimento da 
curva respectivamente
Se o centroide de uma superfície ou curva estiver localizado sobre um eixo de coordenadas, 
o momento de primeira ordem em relação a esse eixo será nulo e vice-versa.
O centroide é um ponto associado à geometria do corpo. Se a massa do corpo for 
distribuída uniformemente, o centroide coincide com o centro de massa e, além disso, se 
a força gravitacional atuante sobre o corpo for constante, também coincide com o centro 
gravitacional.
Seguem alguns centroides de superfícies planas de formatos usuais.
Quadro 1: Centroides de superfícies planas de formatos usuais.
Fonte: Autor desconhecido, imagem licenciada por CC BY-NC-ND (2019).
59
Determinação do centroide de figuras compostas
Exercícios retirados de Mecânica Vetorial para Engenheiros, de Beer e Johnston, 9. ed., 
v. 2.
Problema resolvido 5.1 do livro 
Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação 
aos eixos x e y e a localização do centroide:
Procedimento para a solução do problema:
• Dividimos a área em um triângulo, um retângulo e um semicírculo com um orifício 
circular.
• Calculamos os momentos de primeira ordem de cada superfície em relação aos ei-
xos x e y. 
• Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triân-
gulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício 
circular.
• Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total.
60
• Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do 
triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do 
orifício circular.
61
Teorema de Pappus-Guldino
Uma superfície pode ser gerada pela revolução (rotação) de uma curva no plano em 
torno de um eixo fixo.
Figura 4: Superfície de revolução.
Fonte: Autor desconhecido, imagem licenciada por CCBY-NC_ND (2019).
Para o cálculo da área de uma superfície de revolução, é necessário localizar o centroide 
da curva usada para revolução, além do comprimento dessa curva. Assim, podemos cal-
cular usando a expressão abaixo, onde A é área, y a distância com relação ao centroide 
e L o comprimento. 
O cálculo do volume de um sólido de revolução é feito de forma parecida:
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre o Teorema de Pappus-Guldino (com exemplos).
62
Equilíbrio de vigas com forças distribuídas
As cargas aplicadas sobre uma estrutura são, fisicamente, as forças que estão aplicadas 
na mesma. Dessa forma, as cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de 
comprimento. Essas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma 
carga concentrada equivalente, cujo valor corresponde à área formada pela figura que 
representa a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade.
Então, todos os cálculos feitos para o centroide serão usados para localizar onde a carga 
pontual equivalente à carga distribuída será aplicada.
Figura 5: Cargas distribuídas sobre vigas.
Fonte: Autor desconhecido, imagem licenciada por CCBY-AS (2019).
• O primeiro passo será calcular a carga concentrada, simplesmente calculando a 
área da figura formada pela carga distribuída.
• O segundo passo será calcular aonde essa carga atuará, que será de acordo com o 
cálculo do centroide.
As cargas que criam esforços em 
uma viga podem ser pontuais ou 
distribuídas; no caso das pontuais, já 
foram vistos os cálculos de reação de 
apoio e os cálculos de momento.
Na situação de uma carga distribuída, 
o procedimento será substituí-la 
por uma carga pontual que cause o 
mesmo efeito sobre a viga.
Cargas distribuídas sobre vigas
63
Exercícios retirados de Mecânica vetorial para engenheiros, de Beer e Johnston 
(9. ed., v. 2).
Problema Resolvido 5.9:
Uma viga suporta a carga distribuída mostrada anteriormente. Determine a carga 
concentrada equivalente e as reações de apoio.
Exemplo
Solução:
• A intensidade da carga concentrada é igual à área da superfície sob a curva de carga.
• A linha de ação da carga concentrada passa pelo centroide da superfície sob a curva.
• Determinamos as reações de apoio somando os momentos em relação às extremi-
dades da viga.
64
A figura que representa a carga distribuída pode ser dividida em dois triângulos; ambos 
os triângulos estão localizados em 2/3 do comprimento a partir da extremidade do eixo 
x, em que o ângulo é diferente de 90°.
Na figura observa-se que o triângulo I têm área de 4,5 kN e no triângulo 2 a área é de 13,5 
kN e os x, da esquerda para a direita no triângulo I 2 m e o triângulo 2, 4m.
De posse desses dados pode-se calcular as reações de apoio. 
Então, essa carga distribuída foi simplificada para duas cargas pontuais equivalentes, 
como mostra a figura a seguir.
65
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre Cargas distribuídas sobre vigas.
NA PRÁTICA
Nesta etapa tratamos da questão de cargas distribuídas em vigas. A figura a 
seguir apresenta uma armação composta por diversas estruturas, em que se 
pode fazer os cálculos utilizando os métodos abordados nesta unidade.
Figura 9: Armação composta por diversas estruturas.
Observa-se que toda esta disciplina está direcionada a introduzir o cálculo de 
estruturas.
66
Resumo da Unidade 3
Esta unidade tem como proposta a introdução aos cálculos de estruturas, tais como 
reações de apoio e momento fletor. Esse assunto associado com o tema de ciência das 
matérias conduzirá os engenheiros a entenderem qual material será melhor para uma 
determinada estrutura.
CONCEITO
Nesta unidade destacamos os conceitos de centroide e também das cargas 
distribuídas sobre uma viga.
67
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. 
ed. São Paulo: Makron Books, 2012. 
HIBBELER, R. C. Mecânica estática. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v. 1. 
Momentos de inércia
UNIDADE 4
69
De acordo com a primeira lei de Newton, que também é conhecida com a lei da inércia, 
todo corpo tende a permanecer em seu estado de movimento, esteja ele em movimento 
uniforme (velocidade constante) ou com velocidade igual a zero (parado). Esta unidade 
trabalhará justamente com o momento de inércia que expressa a dificuldade de alterar o 
estado de movimento rotacional; então, para o conceito de velocidade, será estudado o 
de velocidade angular.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Calcular momentos de inércia das geometrias principais usando o teorema 
dos eixos paralelos.• Calcular raios de giração.
70
Momentos de inércia de área e de massa
Considerando os tópicos já estudados, o centroide é calculado.
As coordenadas do centroide são calculadas da seguinte forma:
Em que dA é o elemento de área referente à placa.
Figura 1: Centroide de uma figura plana.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Então, a partir desse conceito, trabalharemos com o momento de primeira ordem que é 
calculado por:
 
 momento de primeira ordem com relação a x
 momento de primeira ordem com relação a y
71
Da mesma forma, definimos o momento de segunda ordem ou momento de inércia.
 momento de segunda ordem com relação a x
 momento de segunda ordem com relação a y
72
Teorema dos eixos paralelos ou teorema de 
Steiner
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo dado é igual ao momento de 
inércia em relação ao eixo paralelo que passa pelo centro de massa mais o momento de 
inércia em relação ao eixo dado de uma partícula com a massa total do corpo localizada 
em seu centro de massa. 
Figura 2: Teorema dos eixos paralelos.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019).
Considere o momento de inércia I de uma superfície A em relação a um eixo AA’, de 
acordo com a figura 2. 
O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície
73
Em que: 
 momento de inércia do centro de massa ICM
 momento no centro de massa, que sempre será zero
Então:
Em que:
d = distância do eixo AA’, para o centro de massa 
Seguem alguns exemplos retirados do livro Mecânica vetorial para engenheiros, de 
Beer e Johnston (9. ed., v. 2).
Observação do momento de inércia do centro de massa ICM: pode ser 
representado por I.
Importante
74
75
Momento de inércia polar; raios de giração
Coordenadas polares
Por meio das coordenadas polares, pode-se localizar um ponto por uma distância r e um 
ângulo θ, como mostra a figura abaixo.
Utilizando a trigonometria, temos:
76
Observe que o momento de inércia polar J0 é utilizado nas situações em que trabalhamos 
com a torção de eixos cilíndricos e também para rotação de placas.
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que:
Com isso, mostramos que o momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos 
momentos de inércia retangulares.
77
Raio de giração
Na situação em que uma superfície de área A tem um momento de inércia Ix em relação 
ao eixo x, considere que essa área está concentrada em uma faixa estreita paralela ao 
eixo x, a uma distância kx do eixo x. Este parâmetro kx é denominado raio de giração ou 
raio de inércia.
A mesma situação é considerada para o eixo y.
No caso da situação abaixo,
78
Conclui-se que:
Então:
Segue um exemplo retirado do livro Mecânica vetorial para engenheiros, de Beer e 
Johnston (9. ed., v. 2).
79
NA PRÁTICA
Um engenheiro em uma construção deve ser capaz de escolher os melhores 
materiais a serem usados. Observe a tabela abaixo e verifique as diferentes 
formas de vigas e seus diferentes momentos de inércia.
Na situação em que se necessita aumentar a resistência de uma viga em perfil 
I 360 x 44, é anexada uma placa à sua aba superior.
Para isso, o engenheiro deve ser capaz de calcular o momento de inércia e 
o raio de giração da seção composta em relação a um eixo paralelo à placa 
passando pelo centroide da seção.
80
CONCEITO
Resumo da Unidade 4
Nesta unidade, você estudou sobre a ação de calcular momentos de inércia, das 
geometrias principais usando o teorema dos eixos paralelos.
Até a próxima!
Nesta unidade foram destacados os conceitos de momentos de inércia, teorema 
dos eixos paralelos e, por fim, abordamos o raio de giração. 
81
Referências 
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. 
ed. São Paulo: Makron Books, 2012. 
HIBBELER, R. C. Mecânica estática. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v. 1.