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Fundamentos 
de Resistência 
dos Materiais
Katielly Tavares dos Santos
© 2019 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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2019
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Santos, Katielly Tavares dos
S237f Fundamentos de resistência dos materiais / Katielly 
 Tavares dos Santos. – Londrina : Editora e Distribuidora 
 Educacional S.A., 2019.
 208 p.
 
 ISBN 978-85-522-1594-3
 
 1. Equilíbrio dos corpos. 2. Tensão-deformação. 
 3. Flexão. I. Santos, Katielly Tavares dos. II. Título. 
 CDD 620
Sumário
Unidade 1
Fundamentos da física .................................................................................. 7
Seção 1
Unidades e vetores .............................................................................. 9
Seção 2
Força e movimento ...........................................................................25
Seção 3
Equilíbrio dos Corpos ......................................................................41
Unidade 2
Tensão e deformação ...................................................................................57
Seção 1
Comportamento dos materiais .......................................................59
Seção 2
Relação tensão-deformação ............................................................72
Seção 3
Aplicação do estado plano de tensões ............................................86
Unidade 3
Estudo das seções planas .........................................................................107
Seção 1
Introdução às características geométricas ..................................109
Seção 2
Momento de inércia ......................................................................124
Seção 3
Flexão ..............................................................................................139
Unidade 4
Resistência dos Materiais: aplicações .....................................................159
Seção 1
Treliças e apoios .............................................................................161
Seção 2
Torção e eixos .................................................................................182
Seção 3
Flambagem de elementos comprimidos .....................................197
Palavras do autor
Olá, seja bem-vindo ao estudo dos Fundamentos de Resistência dos Materiais. Esta disciplina tem por objetivo apresentar os conceitos fundamentais da resistência dos materiais e suas aplicações. Para 
isso, serão abordados os conceitos de física mecânica de forma clara, objetiva 
e prática, visando à resolução de problemas do dia a dia. Portanto, torna-se 
necessário, antes de tudo, conhecer os fundamentos da física a fim de entender 
os conceitos de equilíbrio, força e deformação dos materiais durante a elabo-
ração, análise e desenvolvimento de um projeto estrutural.
É importante ressaltar que, para um bom aproveitamento e bom desempenho 
nessa disciplina, é necessário compreender os conceitos vistos e buscar aplica-
ções práticas em seu cotidiano, tanto na área profissional quanto acadêmica.
Sendo assim, para atingir os objetivos esperados, este livro é composto 
de quatro unidades de ensino. Na Unidade 1, iniciaremos nosso caminho 
de aprendizado com os conceitos fundamentais da física. Abordaremos 
as definições de unidades e vetores, compreenderemos o que são forças e 
como isso está relacionado com o movimento de um corpo e quais condi-
ções devemos levar em consideração para verificar o equilíbrio de um corpo. 
Em seguida, na Unidade 2, analisaremos as propriedades mecânicas dos 
materiais, a fim de entender o comportamento deles quando solicitados, a 
relação da tensão e a deformação e como isso está aplicado ao estado plano 
de tensões. Na Unidade 3, o estudo das seções planas se faz necessário, 
levando em consideração as características geométricas de cada estrutura 
para ser possível calcular seu momento de inércia, tudo isso para verificar 
como ocorre a flexão em um corpo. E, por fim, na Unidade 4, estudaremos 
algumas aplicações dos conceitos abordados, focando as treliças, a torção em 
eixos e a flambagem de elementos compridos. 
Estudar os conceitos de resistência dos materiais não é uma tarefa fácil, 
mas é necessária para o desenvolvimento de projetos estruturais. Muitos 
serão os desafios encontrados ao longo do caminho. Contudo, conhecer um 
material e saber quais as propriedades mecânicas que ele apresenta quando 
carregado, faz com que, na escolha do material adequado para um determi-
nado projeto, você sempre tome a melhor decisão, por conhecer as caracte-
rísticas de cada componente, visando sempre o melhor custo-benefício.
Aproveite cada etapa desse caminho que percorreremos juntos e bons estudos!
Unidade 1
Katielly Tavares dos Santos
Fundamentos da física
Convite ao estudo
Caro aluno, seja bem-vindo a nossa primeira unidade do livro didático 
da disciplina de Fundamentos de Resistência dos Materiais. Iniciaremos os 
estudos abordando os conceitos fundamentais da física, que serão nossa 
base para um bom entendimento do comportamento dos materiais a partir 
da análise das suas propriedades mecânicas bem como das aplicações em 
projetos estruturais. 
A princípio, buscaremos entender como a física está relacionada com 
os eventos de nosso cotidiano, como o movimento descrito por uma bola 
quando chutada, os satélites que orbitam ao redor da Terra sem o auxílio 
de propulsores (deslocando-se apenas por inércia), o porquê de todos os 
materiais serem atraídos para o “chão”, o movimento de um nadador. Para 
tanto, torna-se necessário conhecer as grandezas físicas e as unidades de 
medida que elas possuem. Na sequência, compreenderemos como ocorre 
o movimento em um corpo, em qual situação ele pode ser alterado e, por 
fim, verificaremos em quais situações um corpo está em equilíbrio e por qual 
motivo é importante para a análise estrutural de um projeto.
A competência dessa disciplina é conhecer os conceitos fundamentais da 
física, conceitos de vetores, equilíbrio de ponto material e corpos rígidos. 
Como resultado de aprendizagem, ao fim dessa disciplina, você será capaz 
de analisar o estado de um ponto material e um corpo rígido, definindo as 
condições básicas de equilíbrio.
Agora, chegou a hora de conhecer o desafio desta unidade de ensino: 
neste contexto, você é recém-contratado em uma importante construtora 
e foi inserido em um novo projeto para elaboração, desenvolvimento e 
construção de um píer em uma conhecida praia no litoral do estado de Santa 
Catarina. Nas especificações do projeto, foi enfatizado que esse píer deve ser 
perpendicular à faixa de areia para atracação de embarcações por ambos os 
lados. A Figura 1.1 apresenta uma ideia de como deve ser projetado o píer e 
ilustra que ele deve ser perpendicular à faixa de areia.
Figura 1.1 | Píer perpendicular à faixa de areia
Fonte: https://goo.gl/BwWdFM. Acesso em: 18 mar. 2019.
O coordenador desse projetosolicitou que você elaborasse um laudo técnico 
sobre as condições de estabilidade desse píer. Que conceitos físicos são neces-
sários para verificar a estabilidade desse píer? Quais as informações devem ser 
levadas em consideração ao estudar a estabilidade de uma estrutura? Qual a 
importância de saber se a estrutura analisada, nesse caso, o píer, apresenta ou 
não estabilidade? Como isso influencia o desenvolvimento do projeto? 
Para responder a essas questões, você deve primeiramente conhecer 
as grandezas físicas e as unidades de medidas que compõem o Sistema 
Internacional de Unidades (SI) bem como desenvolver cálculos entre vetores, 
conhecer o conceito de força e calcular o equilibro de um ponto material, 
entender e calcular o momento de uma força em uma estrutura e verificar o 
equilíbrio estático do píer que será construído.
Bons estudos!
https://goo.gl/BwWdFM
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Seção 1
Unidades e vetores
Diálogo aberto
Caro aluno, você sabe da importância da física para o nosso dia a dia? 
Física é um termo de origem grega, que significa natureza. Dessa forma, 
ela é a ciência que estuda os fenômenos naturais e se desenvolve com base 
na teoria e através de experimentos, para formular teorias que os explique. 
Ela está presente em tudo! Então, estudar física é compreender o mundo a 
sua volta, os motivos pelos quais os fenômenos naturais ocorrerem e como 
isso está relacionando com os grandes impactos tecnológicos e ambientais 
em nosso cotidiano. Dessa forma, iniciaremos nossos estudos abordando 
os conceitos fundamentais da física, compreendendo o que são unidades de 
medida das grandezas e identificando quando uma grandeza física é escalar 
ou vetorial. Para as grandezas vetoriais, compreenderemos como os vetores 
se relacionam e como são realizados os cálculos (soma e produto) entre 
eles. Isso será a base para a construção dos conceitos futuros.
Seu contexto de aprendizagem é focado em uma importante constru-
tora e você foi inserido em um novo projeto para elaboração, desenvol-
vimento e construção de um píer em uma conhecida praia no litoral do 
estado de Santa Catarina. Nas especificações do projeto, foi enfatizado que 
esse píer deve ser perpendicular à faixa de areia para atracação de embar-
cações por ambos os lados.
Sendo assim, o coordenador reuniu a equipe de trabalho da qual você 
faz parte para delegar o primeiro conjunto de tarefas que cada um deve 
cumprir na fase inicial do projeto: elaborar um relatório com as informa-
ções fundamentais, ou seja, relatar os conceitos necessários para o desen-
volvimento dos cálculos no decorrer do projeto. Dessa forma, a sua tarefa 
consiste em descrever os conceitos fundamentais para o desenvolvimento 
do projeto. Ao final dessa atividade, você deverá entregar ao coordenador 
um relatório com a pesquisa realizada. Essa pesquisa deverá conter as 
definições de:
• Grandezas físicas, unidades de medidas no Sistema Internacional (SI) 
e transformações de unidades.
• Grandezas escalares e vetoriais.
• Introdução à álgebra vetorial, plano cartesiano, versores, soma de 
vetores, decomposição de vetores e vetor resultante.
10
• Produto escalar e produto vetorial.
• Para resolver esse desafio, os conceitos descritos no relatório precisam 
ser discutidos.
Bons estudos!
Não pode faltar
Caro aluno, iniciemos o estudo dos conceitos fundamentais da física 
partindo da definição de grandeza. Dizemos que grandeza é tudo aquilo 
que se pode medir, ou seja, ela descreve qualitativa e quantitativamente uma 
propriedade observada em um fenômeno físico. Associamos a grandeza com 
sua unidade de medida.
Fazer a medida de uma grandeza é de suma importância para conhecer 
o fenômeno de estudo. Por isso, medir grandezas não é algo novo: temos 
registros de medidas de tamanho da Terra, da Lua e do Sol datadas por volta 
de 3 a.C. Observe algumas medidas já realizadas e importantes para a ciência 
(HEWITT, 2002):
• Tamanho da Terra: o raio da Terra tem aproximadamente 6.370 km e 
sua circunferência, aproximadamente 40.000 km.
• Distância da Lua: aproximadamente 385.000 km (variando de acordo 
com a órbita da Lua).
• Distância do Sol: aproximadamente 150.000.000 km (mais próximo 
em dezembro – aproximadamente 147.000.000 km – e mais afastado 
em junho – aproximadamente 152.000.000 km).
• Velocidade do som: aproximadamente 340 m/s.
• Velocidade da luz: aproximadamente 300.000.000 m/s
Reflita
Se há registros de medidas de tamanho da Terra, da Lua e do Sol datadas 
por volta de 3 a.C., como essas medidas eram determinadas?
Grandezas escalares e vetoriais
Como já vimos, tudo que se pode medir é chamado de grandeza. As 
grandezas se dividem em dois grandes grupos: escalares e vetoriais.
11
Dizemos que uma grandeza é escalar quando é necessário apenas uma 
característica para sua completa definição, acompanhada de sua unidade de 
medida. Essa característica é chamada de módulo, ou seja, a intensidade ou 
valor que a grandeza apresenta. São exemplos de grandezas escalares: tempo, 
temperatura, massa.
Contudo, dizemos que uma grandeza é vetorial quando necessita de três 
características, acompanhadas de sua unidade de medida, para sua completa 
definição, são elas: módulo, direção e sentido. Vimos que o módulo repre-
senta a intensidade, o valor, da grandeza. Agora, para entender a diferença 
entre direção e sentido, analisemos a Figura 1.2.
Figura 1.2 | Diferenças entre direção e sentido
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos associar um vetor com uma seta, como mostra a Figura 1.2. 
Analisando a imagem, notamos que os vetores a e b têm a mesma direção 
(horizontal), mas sentidos opostos (o vetor a aponta para a direita, enquanto 
o vetor b aponta para a esquerda). Isso também acontece com os vetores c 
e d, contudo, a direção é vertical e os sentidos, cima (vetor c) e baixo (vetor 
d). Sendo assim, podemos dizer que a direção está associada à horizontal, à 
vertical, ao norte, ao sul, ao leste, ao oeste. Enquanto o sentido está associado 
à ponta da seta, como cima, baixo, direita, esquerda, positivo, negativo.
Indica-se que uma grandeza é vetorial de duas formas: deixamos seu 
nome em destaque ou utilizamos uma seta indicando que a grandeza é 
vetorial. Tomemos como exemplo o “vetor a”, da Figura 1.2. Ele pode ser 
escrito: a ou a . As duas formas estão corretas e são apresentadas na litera-
tura. São exemplos de grandezas vetoriais: força, aceleração, distância.
Assimile
Uma grandeza escalar será sempre uma grandeza escalar. Contudo, uma 
grandeza vetorial pode ser tratada como escalar quando apenas o seu 
módulo for necessário para a compreensão do contexto. Por exemplo: a 
distância de São Paulo à Curitiba é de aproximadamente 410 km. 
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Sabemos que distância é uma grandeza vetorial e, portanto, necessi-
taria do módulo, da direção e do sentido para sua definição. Contudo, 
nesse contexto, apenas saber o módulo dessa grandeza é o bastante 
para transmitir a informação necessária para o ouvinte.
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Criado em 1960, na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), 
o Sistema Internacional de Unidades (SI) surgiu para que houvesse uma 
padronização nas unidades de medidas das grandezas físicas. Pois cada lugar 
do mundo usava, e ainda usa, uma unidade de medida característica, dificul-
tando a compreensão das descobertas científicas nos periódicos publicados. 
Nessa conferência, ficou decidido que haviam dois grupos de unidades: 
fundamental e derivada. As unidades fundamentais eram compostas de 
sete grandezas, e as demais eram derivadas com suas unidades de medidas 
estabelecidas. Observe o Quadro 1.1, que apresenta grandezas fundamentais 
do SI, acompanhadas de suas unidades de medidas.
Quadro 1.1 | Grandezas fundamentais
Grandeza Unidade de Medida (SI)
Tempo segundo (s)
Massa quilograma (kg)
Comprimento metro (m)
Temperatura Kelvin (K)
Corrente elétrica ampère (A)
Quantidade de matéria mol (mol)
Intensidade luminosa candela (cd)
Fonte: elaborado pela autora.
Dessa forma, as demaisgrandezas apresentam suas unidades de medidas 
definidas das unidades fundamentais. O Quadro 1.2 apresenta algumas das 
grandezas derivadas.
Quadro 1.2 | Exemplos de grandezas derivadas
Grandeza Unidade de Medida (SI)
velocidade metro por segundo (m/s)
área metro quadrado ( 2m )
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força Newton ( =2
.kg m N
s
)
pressão Pascal ( = =2 2
N kg Pa
m ms
)
Fonte: elaborado pela autora.
Transformação de unidades e fatores de conversão
Frequentemente, é necessário mudar a unidade em que uma grandeza 
física está expressa. Isso ocorre pelo fato de se utilizarem unidades de 
medidas diferentes das usadas no SI. Por exemplo, no Brasil, a temperatura 
é dada em graus Celsius (ºC), contudo, nos Estados Unidos da América 
(EUA), a temperatura é dada em graus Fahrenheit (ºF). Ou, ainda, a unidade 
da velocidade no SI é dada em metros por segundo, mas, habitualmente, nos 
referimos à velocidade por quilometro por hora.
Para situações como essas, é necessário converter unidades de um sistema 
de medidas para outro, realizando a transformação das unidades através dos 
fatores de conversão. O Quadro 1.3 apresenta alguns fatores de conversão 
comumente utilizados.
Quadro 1.3 | Alguns fatores de conversão
Relação Fator de Conversão
Quilômetro por hora para metro por segundo 3,6 km/h = 1 m/s
Hora para segundo 1 h = 3.600 s
Polegada para metro 1 polegada = 0,0254 m
Kelvin para graus Celsius 0 K = -273,15 ºC
Kelvin para graus Fahrenheit 0 K = -459,67 ºF
Quilograma força para Newton 1 kgf = 9,8 N
Fonte: adaptado de http://twixar.me/S4SK. Acesso em: 11 jul. 2019.
Algumas grandezas apresentam valores muito grandes ou muito pequenos, 
como por exemplo a massa de um elétron, que tem valor de -´ 319,1 10 kg. Para 
grandezas desse tipo, utiliza-se prefixos de base 10 para facilitar a escrita do 
número e evitar que algum algarismo seja perdido na resolução dos exercícios. 
Esses prefixos são multiplicadores das unidades fundamentais com base em 
várias potências de 10 e, para cada prefixo, há uma nomenclatura específica. 
Observe o Quadro 1.4, ela apresenta alguns prefixos utilizados comumente.
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Quadro 1.4 | Prefixos de base 10
Potência Prefixo Nomenclatura
910 giga G
610 mega M
310 quilo k
-210 centi c
-310 mili m
-610 micro m
-910 nano n
Fonte: elaborado pela autora.
Pesquise mais
Veja mais sobre o assunto nos livros indicados a seguir, disponíveis na Biblio-
teca Virtual. Sugerimos a leitura do primeiro capítulo de cada um deles:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 
10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. v. 1.
Operação entre vetores
Falamos, anteriormente, que uma grandeza vetorial necessita de três 
características para ser definida por completo: módulo, direção e sentido. 
Podemos representar graficamente um vetor por um segmento de reta orien-
tado AB no plano, como é apresentado na Figura 1.3.
Figura 1.3 | Vetor: segmento de reta orientado no plano
Fonte: elaborada pela autora.
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Além da forma gráfica, um vetor pode ser descrito algebricamente, por meio 
de um sistema de coordenadas cartesiano como referência. Assim, um vetor 
genérico tridimensional u pode ser descrito por = + + ˆˆ( , , ) x y zu x y z u î u j u k . 
Relacionando a direção do vetor com as direções do sistema cartesiano, 
dizemos que o índice î está relacionado com o eixo x, o índice ĵ está relacio-
nado com o eixo y e, por fim, o índice k̂ está relacionado com o eixo z. Ou 
seja, podemos dizer que: = = =ˆˆ; ; .î x j y k z
Realizamos operações matemáticas com vetores, tanto na forma algébrica 
quanto na forma gráfica, mas para isso algumas propriedades são importantes:
1. Se os vetores a e 

b têm mesmo módulo, direção e sentido, então 
=


a b .
2. Se a é um vetor e n um escalar, então n a é um vetor de mesma 
direção e sentido que a , com intensidade n vezes maior.
3. A soma entre os vetores é comutativa, ou seja + = +
 
 
a b b a .
4. A soma dos vetores, graficamente, se dá pela regra do paralelogramo, 
como exemplificado na Figura 1.4.
Figura 1.4 | Soma de vetores pela regra do paralelogramo
Fonte: Carvalho (2000, p. 4).
5. O módulo do vetor soma (

R ) é dado pela equação: 
( )= + +

2 2 2
x y zR R R R .
Para compreender melhor a soma de vetores, tanto na forma algébrica 
quanto gráfica, tomemos dois vetores, no plano, = + ˆ3 2u î j e = + ˆˆ 1 3v î j . A 
soma vetorial + u v pode ser dada por:
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• Forma algébrica:
+ = + + + Þ + = + + + Þ + = +
     ˆ ˆ ˆ ˆ(3 2 ) (1 3 ) (3 1) (2 3) 4 5u v î j î j u v î j u v î j
Para calcular o vetor resultante, temos:
( ) ( ) ( )+ = = + Þ + = = + Þ + = = »
  
     2 2 2 24 5 41 6,4x yu v R R R u v R u v R
• Forma gráfica:
Os vetores u e v são vetores que têm valores em dois eixos, x e y respectiva-
mente. Primeiro precisamos “compor” esses vetores, tornando um vetor resul-
tante graficamente. Assim, a Figura 1.5 apresenta o vetor u na forma gráfica:
Figura 1.5 | Vetor 

u
Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, temos o vetor u expresso de forma gráfica, com seu módulo, 
direção e sentido. Agora, a Figura 1.6 apresenta o vetor v na sua forma gráfica.
Figura 1.6 | Vetor 

v
Fonte: elaborada pela autora.
Logo, temos o vetor v expresso de forma gráfica, com seu módulo, 
direção e sentido. Com os vetores u e v expressos graficamente, podemos 
agora realizar a soma gráfica do vetor u com o vetor v pela regra do parale-
logramo. Essa regra afirma que a soma gráfica entre vetores deve ser realizada 
somando-se os vetores, colocando sempre o próximo vetor no final do 
anterior. O vetor soma, ou vetor resultante, será o seguimento de reta orien-
tado que ligará o início da soma com o seu final, sendo o início da soma o 
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início do vetor resultante e o final da soma, o final do vetor resultante. A 
Figura 1.7 apresenta a soma dos vetores u e v .
Figura 1.7 | Soma gráfica dos vetores 

u e 

v
Fonte: elaborada pela autora.
Assim, temos o vetor soma + u v expresso pela forma gráfica, com seu 
módulo, direção e sentido. Para calcular o módulo do vetor resultante, utili-
zamos os valores referentes às partes x e y, como expresso na Figura 1.8.
Figura 1.8 | Vetor resultante
Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, podemos calcular o módulo do vetor resultante por: 
( ) ( ) ( )+ = = + = + = »

  2 2 2 24 5 41 6,4x yu v R R R .
Assimile
Tanto pela forma algébrica quanto pela forma gráfica, a soma de vetores 
deve apresentar o mesmo vetor resultante, ou seja, o módulo, a direção 
e o sentido precisam ser iguais. Podemos utilizar essas duas maneiras de 
soma vetorial para verificar se os cálculos desenvolvidos estão corretos, 
como uma prova real.
Da mesma maneira que podemos somar vetores para encontrar o vetor 
resultante, é possível decompor um vetor nas partes x, y e z que o compõem. 
18
Para isso, devemos levar em consideração o ângulo q entre o vetor resultante 
e o eixo das abcissas (eixo x) e utilizar as equações de decomposição para 
cada eixo, utilizando sempre o mesmo ângulo q . Essas equações são expressas 
por = = =cos ; ; tan .x y zR R R Rsen R Rq q q
Sendo assim, para um vetor genérico = + ˆ( , ) x yu x y u î u j no plano, temos um 
ângulo de q entre o vetor u e o eixo das abcissas, como mostra a Figura 1.9.
Figura 1.9 | Vetor 

u
Fonte: elaborada pela autora.
Para realizar a decomposição do vetor u , precisamos primeiro verificar 
quantas dimensões ele apresenta e sobrepor o vetor nessas dimensões. Como 
estamos tratando de um vetor genérico no plano, temos duas dimensões que 
precisam ser sobrepostas, como é apresentado na Figura 1.10.
Figura 1.10 | Projeção do vetor 

u
Fonte: elaborada pela autora.
Com a projeção, as equações para a decomposição de vetores devem ser 
aplicadas para obter as componentes xu e 

yu . Assim, temos:= =cosx yu u e u usenq q .
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Produto escalar e produto vetorial
Anteriormente, verificamos que é possível realizar operações matemá-
ticas com vetores, e aprendemos os conceitos relacionados à soma de vetores. 
Agora, verificaremos outra operação matemática com vetores: a multipli-
cação. Chamaremos a multiplicação entre vetores de produto. Existem duas 
formas de produto entre vetores: escalar e vetorial.
No produto escalar, temos a multiplicação entre dois vetores cujo resul-
tado é um escalar (um número). Tomemos dois vetores genéricos, 
= + +
 ˆˆ( , , ) x y zu x y k u î u j u k e = + +
 ˆˆ( , , ) x y zv x y z v î v j v k , cujo produto escalar 
pode ser dado por × = ×    cosu v u v q , sendo q o ângulo formado entre u e v .
Levando em consideração o sistema cartesiano, a multiplicação será 
sempre em função dos eixos, podendo ocorrer duas situações em relação ao 
ângulo q : = 90ºq (se os vetores estiverem em eixos diferentes) e = 0ºq (se os 
vetores estiverem no mesmo eixo). Dessa forma, podemos escrever o produto 
escalar por:
• = 0ºq teremos × = ×    cos0ºu v u v , como =cos0º 1 , o produto escalar 
será apenas a multiplicação dos módulos dos vetores, ou seja, 
× = ×
   
u v u v .
• = 90ºq teremos × = ×    cos90ºu v u v , como =cos90º 0 , o produto 
escalar será zero.
Dessa forma, de maneira simplificada e relacionando os eixos do sistema 
cartesiano, dizemos que a multiplicação escalar dos eixos iguais vale 1 e a 
multiplicação escalar dos eixos diferentes vale 0, ou seja: × = × =ˆ1 0.î î e î j
Tomando como base os vetores genéricos, = + + ˆˆ( , , ) x y zu x y k u î u j u k e 
= + +
 ˆˆ( , , ) x y zv x y z v î v j v k , o produto escalar ×
 
u v é dado por:
× = ×
× = + + × + +
× = + +
   
 
 
cos
ˆ ˆˆ ˆ cosx y z x y z
x x y y z z
u v u v
u v u î u j u k v î v j v k
u v u v u v u v
q
q
No produto vetorial, temos a multiplicação entre dois vetores cujo resul-
tado é um vetor. Nesse caso, a multiplicação de mesmo eixo apresenta valor 
zero e a multiplicação entre eixos tem como resposta o eixo seguinte. 
Tomemos dois vetores genéricos, = + + ˆˆ( , , ) x y zu x y k u î u j u k e 
= + +
 ˆˆ( , , ) x y zv x y z v î v j v k , cujo produto vetorial pode ser dado por 
´ = ´
   
u v u v senq , sendo q o ângulo formado entre u e v .
20
Sendo assim, por definição do produto vetorial, podemos escrever:
´ = ´ = ´ =ˆ ˆˆ ˆ 0î î j j k k
´ ´ = ´ =ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ = î j k k î j j k î
´ = ´ = ´ =-ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ – – j î k î k j k j î
Nesse caso, podemos resolver o produto vetorial através do determinante 
de uma matriz 3x3, descrita por:
é ù
ê ú
ê ú´ = ê ú
ê ú
ê úë û
 
ˆˆ
x y z
x y z
î j k
u v u u u
v v v
Exemplificando
Dados os vetores = + +
 ˆˆ( , , ) 2 1 1u x y k î j k e = - +
 ˆˆ( , , ) 2 1 2v x y z î j k , 
calcule o produto escalar e o produto vetorial.
• Produto escalar:
× = × = + + × - +
    ˆ ˆˆ ˆcos (2 1 1 ) (2 1 2 ) cosu v u v î j k î j kq q
× = × + × - + × + × + × - + × +
+ × + × - + × = + + + - + + - + =
  ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(2 2 ) (2 ( 1 )) (2 2 ) (1 2 ) (1 ( 1 )) (1 2 )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ(2 2 ) (2 ( 1 )) (2 2 ) 4 0 0 0 1 0 0 0 4 7
u v î î î j î k j î j j j k
k î k j k k
• Produto vetorial:
é ù
ê ú
ê ú´ = ê ú
ê ú-ê úë û
 
ˆˆ
2 1 1
2 1 2
î j k
u v
é ù
ê ú
ê ú´ = = + - - - + = - -ê ú
ê ú-ê úë û
 
ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 1 (2 2 2 ) (4 1 2 ) 3 2 4
2 1 2
î j k
u v î j k j î k î j k
Com a definição de produto vetorial, finalizamos a abordagem dos 
conceitos relacionados às grandezas físicas e à álgebra vetorial. Com isso, a 
base para o entendimento da física foi construída, fornecendo ferramentas a 
você para compreender as leis da natureza e os fenômenos físicos.
Sem medo de errar
O coordenador do projeto passou uma tarefa a você que consiste em 
descrever os conceitos fundamentais para o desenvolvimento do projeto de 
construção do píer. Ao final dessa atividade, deverá ser entregue um relatório 
contendo as seguintes definições:
21
• Grandezas físicas, unidades de medidas no Sistema Internacional (SI) 
e transformações de unidades.
• Grandezas escalares e vetoriais.
• Introdução à álgebra vetorial, plano cartesiano, versores, soma de 
vetores, decomposição de vetores e vetor resultante.
• Produto escalar e produto vetorial.
Ao estudar os conceitos fundamentais da física, foi visto que:
• É chamado de grandeza tudo aquilo que pode ser medido e quantificado. 
Para nomear uma grandeza é necessário utilizar uma unidade de medida. 
No entanto, ocorreram problemas na publicação de trabalhos interna-
cionais, pois cada local utilizava uma unidade própria. Sendo assim, foi 
criado o Sistema Internacional de Unidades (SI) para que houvesse padro-
nização nas unidades de medidas das grandezas físicas. Desse modo, para 
uma mesma grandeza, duas ou mais unidades são possíveis, sendo neces-
sário realizar a conversão de unidades para determinada aplicação.
• As grandezas físicas são divididas em dois grupos: escalar ou vetorial. 
Uma grandeza é escalar quando é necessário apenas uma caracterís-
tica para sua completa definição, acompanhada de sua unidade de 
medida – seu módulo. Uma grandeza é vetorial quando necessita de 
três características, acompanhadas de sua unidade de medida, para 
sua completa definição; são elas: módulo, direção e sentido.
• É possível realizar operações entre vetores, tanto algébricas quanto 
gráficas, tais como soma e produto. Para a soma, podemos utilizar a 
regra do paralelogramo. Já para o produto, há dois tipos: produto 
escalar (produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar) e o 
produto vetorial (produto entre dois vetores cujo resultado é um vetor).
Com esses dados, um relatório foi desenvolvido e entregue ao coorde-
nador do projeto.
Avançando na prática
Unidades de medidas e fatores de conversão
Você trabalha em uma renomada empresa de engenharia, que desenvolve 
projetos nacionais e internacionais. No momento, um dos projetos em desen-
volvimento, localizado em Boston (EUA), vem apresentando problemas e o 
22
diretor solicitou a você que verificasse pessoalmente o que estava ocorrendo. 
Chegando a Boston, ainda no aeroporto, você alugou um carro para dirigir-se 
até o canteiro de obras, a fim de poder avaliar a situação e conversar com o 
responsável local pela obra.
Duas situações o preocupavam. A primeira era porque com o combus-
tível que vinha no tanque do veículo seria possível andar no máximo 50 km 
sem abastecer, e, pelo GPS, a distância até o canteiro de obras marcava 35 
milhas. A segunda situação é que a temperatura local indicava 45 °F e você 
ficou apreensivo, pois não havia levado blusa.
Você conseguirá chegar ao canteiro de obras com o combustível do 
tanque do veículo? Será necessário parar para abastecer o carro? Qual o valor 
da temperatura em graus Celsius? Será necessário comprar uma blusa?
Resolução da situação-problema
Nesse caso, temos duas grandezas que precisam de conversão de unidades: 
distância e temperatura.
• Distância
Como 1 milha vale 1,6 km, a distância a ser percorrida será de 56 km. Dessa 
forma, será necessário abastecer o carro antes de ir ao canteiro de obras.
• Temperatura
Temos uma equação que relaciona a temperatura na escala em grau 
Celsius com a temperatura na escala grau Fahrenheit. Essa relação é dada por 
= -º º
5 ( 32)
9c F
T T . Assim, = - =º
5 (45 32) 7,2º
9c
T C .
Dessa forma, será necessário comprar um agasalho.
Faça valer a pena
1. Damos o nome de grandeza, na física, para tudo aquilo que pode ser medido ou 
quantificado. Essas grandezas são divididas em duas partes: escalares e vetoriais. Dizemos 
que uma grandeza é escalar quando apenas uma característica a define, acompanhada de 
sua unidade de medida. Já para uma grandeza vetorial, três características são necessárias 
para sua completa definição, acompanhadas da unidade de medida.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente as três características que são 
necessárias para afirmarque uma grandeza é vetorial.
a. Módulo, direção e posicionamento.
23
b. Sentido, módulo e temperatura.
c. Direção, sentido e comprimento.
d. Módulo, direção e sentido.
e. Direção, módulo e tempo.
2. Foi criado, em 1960, na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), o 
Sistema Internacional de Unidades (SI). O objetivo era padronizar as unidades de 
medida das grandezas físicas, estabelecendo, para cada grandeza, uma unidade de 
medida relacionada a ela.
Nessa conferência, chegou-se à conclusão de que havia sete grandezas fundamentais 
e que as demais eram suas derivadas.
Com relação a essa temática, analise as afirmativas a seguir:
I. Comprimento, massa, tempo e força são grandezas que fazem parte das sete 
grandezas fundamentais.
II. Comprimento é uma grandeza fundamental e sua unidade de medida é 
metro (m).
III. Temperatura é uma grandeza fundamental e sua unidade de medida é graus 
Celsius (°C)
IV. Tempo é uma grandeza derivada e sua unidade de medida é segundo (s).
V. Energia é uma grandeza derivada, sua unidade de medida é 
2
2
.kg m
s
, 
comumente chamada de J.
Está correto o que se afirma em:
a. I e II, apenas.
b. II e V, apenas.
c. I, II e IV, apenas.
d. II, III e V, apenas.
e. I, II, III e V, apenas.
3. O produto escalar é definido como a multiplicação entre dois vetores cujo resul-
tado é um escalar (número). Já o produto vetorial também é um produto entre dois 
vetores, contudo, o resultado é um terceiro vetor. E, ainda, por definição, temos que o 
produto vetorial entre dois vetores ideais, = + +

1 2 3
ˆˆu u î u j u k e = + +

1 2 3
ˆˆv v î v j v k é 
descrito por ´
 
u v .
24
Assinale a alternativa que expressa corretamente o valor do produto vetorial entre 
= -
 ˆ3 2u î j e = -
 ˆˆ1 2v j k .
a. ´ = + +
  ˆˆ4 6 3u v î j k .
b. ´ = - +
  ˆˆ4 6 3u v î j k .
c. ´ = + +
  ˆˆ4 6 4u v î j k .
d. ´ = - +
  ˆˆ4 5 3u v î j k .
e. ´ =- - +
  ˆˆ4 6 3u v î j k .
25
Seção 2
Força e movimento
Diálogo aberto
Caro aluno, a disciplina de Fundamentos de Resistência dos Materiais 
permite entender o comportamento que um material apresentará quando 
solicitado. Dessa forma, dizemos que um material é solicitado quando está 
atuando sobre ele um carregamento, ou seja, uma força. Podemos relacionar 
isso com conceitos simples do dia a dia, como, por exemplo: ao sentar em 
uma cadeira, como ela reage à força aplicada? Ou, um menino está andando 
de bicicleta, desequilibra-se e cai. Quais conceitos físicos estão associados a 
esse movimento?
Afinal, o que é força? Como atua nos corpos, estruturas, objetos? Qual a 
relação entre força e resistência dos materiais? Uma definição simples para 
força é aquilo que produz ou altera o movimento de um corpo. Verificaremos 
que em um corpo podem estar presentes, ou atuar, muitas forças, cada uma 
com sua especificidade, sendo necessário avaliar as condições de equilíbrio 
de um corpo ou objeto.
Nesta seção, você continuará a sua pesquisa, para compreender os 
conceitos necessários ao desenvolvimento dos cálculos no decorrer do 
projeto, que comporá o relatório final entregue ao coordenador. Contudo, 
para entender na prática o resultado do projeto que está no estado inicial, 
você resolveu visitar a construção de um píer, em uma cidade próxima, que 
estava na etapa final de sua construção. Já no local, você teve acesso aos 
desenhos técnicos do píer com as principais forças atuantes sobre ele. Neste 
momento, você viu a necessidade e a importância de incluir no relatório os 
conceitos de forças e equilíbrio em estruturas, para ser possível realizar os 
cálculos de equilíbrio em pontos específicos no píer. 
Ao voltar para a construtora, preocupado com o desenho estrutural do 
píer, o coordenador solicitou que você verificasse o equilíbrio em um ponto 
específico do projeto. A Figura 1.11 apresenta o ponto que deve ser analisado 
com as forças atuando sobre ele.
26
Figura 1.11 | Ponto específico do píer com aplicação de forças
Fonte: elaborada pela autora.
Os valores para as forças foram fornecidos pelo coordenador, assim como 
os valores dos ângulos. São eles: = = =
  
1 2 310 ; 5,7 ; 11,5F N F N F N e 
= =1 260º; 30ºq q . Use =cos60º 0,5 ; =60º 0,87sen ; =cos30º 0,87 e 
=30º 0,5sen . Esse ponto específico do píer apresenta equilíbrio? O coorde-
nador deverá se preocupar em reforçar esse ponto? Ao final dessa situação-
-problema, os dados obtidos devem ser inseridos no relatório que será 
entregue ao coordenador. Para resolução dessa atividade, você deverá 
conhecer as leis de Newton, os conceitos de forças da natureza (gravitacional, 
normal, tração), equilíbrio estático e dinâmico e equilíbrio de ponto material.
Compreender o conceito de forças e conhecer como elas atuam nos 
objetos que nos rodeiam é o passo fundamental para entendermos a estabi-
lidade de um edifício, de uma barragem, de um viaduto, ou seja, estruturas 
fundamentais no estudo da resistência dos materiais.
Bons estudos!
Não pode faltar
Chegou o momento de compreender como se dá o estudo do movimento 
dos corpos. Afinal, ao aplicar as leis da física em um fenômeno, você está 
buscando analisar e entender o movimento de um corpo observado, seja 
macroscópica ou microscopicamente. Isso ocorre em todas as áreas que 
compõem a física: mecânica, ondas, termodinâmica, eletricidade e magne-
tismo, óptica, relatividade e quântica. 
Para darmos início à discussão desses conceitos, abordaremos as leis da 
mecânica e entenderemos o movimento e a falta de movimento (repouso) 
27
dos corpos, como isso evolui com o tempo e qual a relação da força com o 
movimento apresentado.
Na mecânica, o estudo do movimento dos corpos está dividido em duas 
partes, conhecidas como cinemática e dinâmica. A palavra cinemática tem 
origem grega e significa movimento. Dessa forma, dizemos que a cinemática 
é a parte da física que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar 
com a sua origem, ou seja, não leva em consideração os agentes externos que 
podem causar ou modificar o movimento. Para explicar o movimento de um 
corpo, será necessário determinar sua posição, velocidade e aceleração para 
cada instante de tempo do movimento apresentado. Vamos compreender o 
conceito de cada uma dessas grandezas:
• Tempo ( t )
Podemos definir tempo como aquilo que nos remete à ideia de presente, 
passado e futuro. Ou ainda, o que está associado a um fenômeno ou à 
descrição de um movimento. Sua unidade no Sistema Internacional (SI) é 
segundo (s) e é uma grandeza escalar.
• Posição ( x )
Podemos definir posição com o ponto em um espaço, em relação a um 
referencial. Normalmente, utilizamos o sistema de coordenadas cartesiano 
para descrever a posição de um corpo, relacionando o ponto (0, 0, 0) como 
referencial. Como exemplo, observe a Figura 1.12, que apresenta um sistema 
bidimensional (x,y), em que um corpo está localizado na posição (1, 3).
Figura 1.12 | Posição de um corpo
Fonte: elaborada pela autora.
Note, através da Figura 1.12, que a posição dada é referente ao eixo (0, 
0) do sistema cartesiano. Assim, a posição é uma grandeza vetorial e sua 
unidade no SI é metro (m).
28
• Deslocamento (Dx )
O deslocamento (Dx ) de um corpo é definido pela variação de posição 
que esse corpo apresenta. Por exemplo, considerando um sistema de coorde-
nadas unidimensional, o corpo sai da posição =1 1x m e vai até a posição 
=2 4x m . Nessa situação, seu deslocamento foi de D = 3x m . 
A equação que descreve o deslocamento de um corpo é dada por: 
D = -2 1x x x , ou seja, posição final menos a posição inicial do corpo. Dessa 
forma, o deslocamento pode ser:
- Positivo, se >2 1x x .
- Negativo, se <2 1x x . 
O deslocamento também pode ser chamado de variação da posição. É 
uma grandeza vetorial e, como a posição, sua unidade no SI é metro (m).
• Velocidade ( v )
A velocidade é definida pelo espaço percorrido (Dx ) em relação ao 
tempo ( t ) gasto. Ou seja:
D
=
xv
t
Sua unidade no SI é metros por segundo (m/s) e é uma grandezavetorial.
Em casos especiais, podemos obter a velocidade instantânea ( iv ). A 
velocidade instantânea é a velocidade apresentada em um instante de tempo 
t definido. Ela é dada pela derivada da função posição em relação ao tempo, 
ou seja:
=
( )( ) d x tv t
dt
Pesquise mais
A função para a posição, no movimento uniformemente acelerado, é 
dada por = + + 20 0 1( ) 2x t x v t at . Dessa forma, a velocidade instan-
tânea em função do tempo é dada por:
+ +
=
2
0 0
1( )2( )
d x v t at
v t
dt
= +0( )v t v at
Você conhece cálculo diferencial e integral? O capítulo 2 do livro 
indicado a seguir ajudará você a entender as derivadas.
ÁVILA, G.; ARAÚJO, L. C. Cálculo Ilustrado, prático e descomplicado. 
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
29
• Aceleração ( a )
A aceleração é definida pela variação da velocidade em função do tempo. 
Sua unidade no SI é metros por segundo ao quadrado ( 2m s ), é uma grandeza 
vetorial e sua equação é dada por:
D
=
va
t
Assim como a velocidade, também é possível obter a aceleração instan-
tânea ( ia ), derivando a função velocidade em relação ao tempo, ou seja:
= =
2
2
( ) ( )( ) d x t d v ta t
dt dt
Até aqui, descrevemos as grandezas que compõem a cinemática, ou seja, 
o movimento do corpo em relação à posição, ao deslocamento, à velocidade 
e à aceleração, sem levar em consideração a causa do movimento. Contudo, 
você já se perguntou por que o movimento de um corpo muda? Qual fator 
influencia a mudança de velocidade ou de direção? A parte da mecânica 
que estuda a causa ou modificação do movimento dos corpos é chamada de 
dinâmica, que aborda as três leis que descrevem a causa do movimento dos 
corpos, conhecidas como as três leis de Newton.
As leis de Newton
Diz a lenda que um físico/cientista chamado Isaac Newton (1643-1727) 
estava lendo um livro, recostado em uma macieira. De repente, uma maçã 
caiu em sua cabeça. A partir desse momento, ele começou a se perguntar qual 
seria a razão pela qual os objetos eram atraídos para o chão.
Depois de muito pensar, Newton chegou à conclusão de que havia algo 
que atuava nos corpos e os atraia ao chão e que essa atuação nos corpos 
ocorria de maneiras diferentes, dependendo da situação em que eles se 
encontravam. Newton deu o nome de força a essa atuação e a definiu como 
“agente físico que provoca ou altera o movimento de ou em um corpo”. A 
partir de então, buscando explicar o movimento de um corpo, considerando, 
agora, sua causa, postulou três leis para o movimento.
• 1ª lei de Newton – equilíbrio
A primeira lei de Newton afirma que se um corpo estiver em repouso, 
permanecerá em repouso, ao passo que, se um corpo estiver em movimento, 
permanecerá em movimento, com velocidade constante. Se a velocidade 
permanece constante, a aceleração do objeto é zero.
30
Essa lei também é conhecida como lei da inércia e estuda o equilíbrio dos 
corpos. Dessa forma, será possível alterar o estado de inércia (ou de equilí-
brio) de um corpo se alguma força externa atuar sobre ele. A definição de 
inércia pode ser descrita como tendência de um corpo resistir a qualquer 
mudança em sua velocidade.
Relacionada à definição de inércia, está a definição de massa: quanti-
dade de matéria que compõe um objeto, ou seja, propriedade de um corpo que 
especifica a sua resistência em modificar sua velocidade. Sendo assim, quanto 
maior a massa, maior a dificuldade de vencer a inércia desse corpo. 
Na prática, muitas são as forças que atuam sobre um corpo. Dessa forma, 
torna-se necessário obter a força resultante (

RF ), que é a soma vetorial de 
todas as força atuantes. Para um corpo estar em equilíbrio, dizemos que a 
somatória de todas as forças que atuam sobre ele deve ser igual a zero. Ou 
seja, =å

0F .
Força é uma grandeza vetorial, por isso possui módulo, direção e sentido. 
Sendo assim, para verificarmos o equilíbrio de um corpo, as três compo-
nentes (x, y, z) do vetor força resultante devem ser avaliadas. Logo, as novas 
condições de equilíbrio serão:
= = =å å å0; 0; 0.x y zF F F
Assimile
Lembre-se de que um vetor resultante normalmente tem componentes nos 
três eixos (x, y, z), ou seja, um vetor do tipo = + +
 ˆˆ( , , ) x y zu x y z u î u j u k . 
Dessa forma, torna-se necessário realizar a decomposição do vetor 
para analisar as componentes de cada eixo, separadamente, utili-
zando as equações:
= = =cos ; ; tan .x y zF F F F sen F Fq q q
Sendo q o ângulo entre o eixo das abcissas e o vetor resultante.
• 2ª lei de Newton
A primeira lei de Newton explica o que ocorre com um objeto quando a 
somatória de todas as forças que atuam sobre ele é nula. Já a segunda lei de 
Newton explica o que ocorre com um objeto quando a somatória de todas 
as forças que atuam sobre ele não é nula. Nesse caso, um corpo parado, que 
recebe uma força, descreve um movimento, e um corpo em movimento, que 
recebe uma força, continua em movimento, mas com velocidade variada. 
Isso só é possível pois a aceleração apresenta um valor diferente de zero.
31
Assim, podemos dizer que a aceleração que um objeto apresenta é direta-
mente proporcional à força aplicada e inversamente proporcional a sua 
massa. Matematicamente, temos:
=å

 dvF m
dt
, ou seja, = ® =å
 
 
RF ma F ma
Levando em consideração o sistema tridimensional, podemos reescrever 
a segunda lei por:
= = =; ;x x y y z zF ma F ma F ma
Como já vimos, a unidade no SI para força é N, que equivale a 2
.kg m
s
 .
• 3ª Lei de Newton – ação e reação
A terceira lei de Newton afirma que toda ação produz uma reação de 
mesma intensidade e direção, mas com sentido oposto.
Exemplificaremos com uma situação o enunciado da terceira lei: um 
carro bate no poste. Qual foi a ação e qual foi a reação? Nesse caso, a ação 
consiste na batida do carro no poste e a reação, a batida do poste no carro.
O par de forças ação e reação só ocorre em conjunto e enquanto os objetos 
estiverem em contato. No caso do carro e do poste, esse par de forças existe 
enquanto o carro e o poste estiverem em contato. Como consequência desse 
movimento, temos uma deformação na lataria do carro. Com essa situação, 
verificamos que as forças de ação e reação ocorrem em corpos distintos, por 
esse motivo, não se anulam.
Dessa forma, a definição da terceira lei se dá por: se dois corpos interagem, 
a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 (

1,2F ) é igual em módulo e em 
direção oposta à da força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1 (

2,1F ). Assim: 
=-
 
1,2 2,1F F .
Exemplificando
Os blocos A e B, com massas = 5Am kg e = 2Bm kg , estão apoiados 
sobre um plano horizontal perfeitamente liso (desconsiderar a ação do 
atrito). Sobre o corpo A, é aplicada uma força F, de módulo 21 N. Calcule 
o módulo da força de contato entre os blocos A e B. A Figura 1.13 ilustra 
essa situação.
32
Figura 1.13 | Contato entre os blocos A e B
Fonte: elaborada pela autora.
Resolução: para resolver esse exercício, devemos seguir algumas 
etapas. Primeiro, devemos verificar as forças que atuam em cada bloco, 
separadamente, na direção do movimento. Observe a Figura 1.14. 
Como há movimento em relação ao eixo x, temos:
Figura 1.14 | Forças atuando em cada bloco
Fonte: elaborada pela autora.
Feito isso, aplicamos a segunda lei para cada bloco.
• Bloco A
=å A AF m a 
- = Þ - = ×21 5BA A BAF F m a N F kg a
- = × - Þ =- × +5 21 5 21BA BAF kg a N F kg a N
• Bloco B
=å B BF m a
= ×2ABF kg a
Como =AB BAF F , temos:
= Þ × =- × + Þ × = Þ = 22 5 21 7 21 3AB BAF F kg a kg a N kg a N a m s
Com a aceleração do sistema, conseguimos calcular as forças de ação e 
reação, e como =AB BAF F :
= = = × = × =22 2 3 6AB BA
mF F F kg a kg N
s
Forças da natureza (gravitacional, normal, tração)
Já vimos que a definição de força é aquilo que produz ou altera o 
movimento de um corpo. Contudo, o nome que a força recebe está relacio-
nado com sua atuação no corpo. Existem muitos tipos de forças, cada um 
com um nome diferente, mas todas com o mesmo conceito: aquilo que 
33
produz ou altera o movimentode um corpo. A seguir, trataremos de três 
forças: gravitacional, normal e tração.
• Gravitacional (

gF ) 
A força gravitacional, também conhecida como força peso, é a força de 
atração exercida pela Terra sobre um objeto. Nesse caso, a aceleração utilizada na 
equação da força é uma aceleração especial, chamada de aceleração gravitacional 
( g ). O seu valor depende do planeta em questão e quanto maior seu valor, maior 
a força de atração entre os corpos. Na Terra, o módulo para a aceleração da gravi-
dade é = 210
mg
s
. Dessa forma, a equação para a força gravitacional, ou força 
peso, é dada por: = ×


gF m g .
Reflita
Quando colocamos um corpo em uma balança, é muito comum dizermos 
que estamos verificando o seu peso. Mas, vimos até agora que, no SI, a 
unidade para massa é quilograma (kg) e para o peso, Newton (N). Dessa 
forma, é correto usar a balança e falar que obtemos o peso de um corpo?
• Normal (N)
A força normal, também chamada de força de apoio, é uma força de 
contato sempre perpendicular à superfície. Só existirá esse tipo de força 
quando o objeto estiver em contato com uma superfície. A Figura 1.15 
exemplifica a atuação da força normal.
Figura 1.15 | Força normal
Fonte: elaborada pela autora.
• Tração (T)
A força de tração é aquela que está relacionada com fios, cordas e cabos. 
Desse modo, podemos dizer que a força de tração atua nos corpos por meios 
34
de fios, cabos e cordas, provocando o movimento desejado. A força de tração 
sempre apresentará o sentido no local em que o fio ou cabo estiver preso. A 
Figura 1.16 apresenta um exemplo de força de tração.
Figura 1.16 | Força de tração
Fonte: elaborada pela autora.
Pesquise mais
Existem outros tipos de forças que podem atuar em um objeto. Pesquise 
mais sobre esse assunto nos materiais a seguir, disponíveis em sua 
Biblioteca Virtual:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Força e movimento – I (capítulo 
5). In: HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: 
mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1, cap. 5. [Minha Biblioteca]. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Leis de Newton. In: TIPLER, P. A.; MOSCA, G. 
Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. v. 1, cap. 4. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Aplicações adicionais da Lei de Newton. In: 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. v. 1, cap. 5.
Equilíbrio estático e dinâmico
Vimos, na primeira lei de Newton, que um corpo está em equilíbrio 
quando a somatória de todas as forças que atuam nele é igual a zero. Assim, 
dizemos que, se o corpo estiver parado, permanece parado, mas se estiver em 
movimento, permanece em movimento com velocidade constante. Ou seja, 
a aceleração apresentada pelo corpo é igual a zero. Analisando essa situação, 
verificamos então que, para uma situação de equilíbrio, o corpo está em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
35
Dessa forma, percebemos que para o equilíbrio de um corpo há duas 
situações possíveis:
• Equilíbrio estático – quando o corpo está em repouso.
• Equilíbrio dinâmico – quando o corpo está em movimento retilíneo 
uniforme, ou seja, com velocidade constante.
Para cada uma das duas situações, as condições de equilíbrio são as 
mesmas, e os cálculos realizados na primeira lei de Newton também.
Para analisar o equilíbrio dos corpos, devemos verificar, inicialmente, se ele é 
um ponto material ou um corpo rígido. Isso é necessário, pois define quais condi-
ções de equilíbrio devem ser aplicadas. A definição de ponto material pode ser 
dada por um corpo, com dimensões tão pequenas que são desprezadas, cujas forças 
sobre ele atuam em seu centro de massa. Já em um corpo rígido, as dimensões não 
podem ser desprezadas e nem todas as forças atuam em seu centro de massa.
Equilíbrio de um ponto material
Como vimos, ponto material é aquele em que as forças atuam em seu 
centro de massa. Em função disso, as dimensões do corpo são desprezíveis. 
Nessa situação, para verificarmos seu equilíbrio, pensando em um sistema 
bidimensional, as condições que devem ser analisadas são:
= =å å0 0x yF e F
O corpo só estará em equilíbrio se as duas condições forem satisfeitas; 
se apenas uma condição for satisfeita, o corpo não estará em equilíbrio, 
indicando que ele apresenta uma aceleração diferente de zero.
Exemplificando
Um ponto material hipotético é apresentado na Figura 1.17. Apresente 
os cálculos necessários para verificar se o corpo está em equilíbrio.
Figura 1.17 | Ponto material sob ação de forças
Fonte: elaborada pela autora.
36
Resolução: vemos que todas as forças atuam no centro de massa do corpo 
analisado. Dessa forma, as condições de equilíbrio que serão utilizadas são:
= =å å0 0x yF e F
Todas as forças que atuam no ponto material devem estar no eixo x e/
ou no eixo y. Observando as forças, vemos que 

1F é uma força resul-
tante que apresenta componentes em x e y. Por isso, torna-se neces-
sário realizar a decomposição:
= =1 1 1 1cos .x yF F e F F senq q
Aplicando as condições de equilíbrio, temos:
• No eixo x: = Þ - = Þ =å 1 2 1 20 cos 0 cosxF F F F Fq q
• No eixo y: = Þ - = Þ =å 1 3 1 30 0yF F sen F F sen Fq q
As três leis de Newton são expressas para descrever o movimento dos 
corpos, seja na situação de velocidade constante (equilíbrio) ou na situação 
de velocidade variada (aceleração diferente de zero). Dessa forma, conclu-
ímos que sempre que houver qualquer tipo de variação de movimento em 
um corpo, seja macroscópica ou microscopicamente, é devido à aplicação 
de uma força, independentemente do nome que ela recebe (peso, normal, 
tração, atrito, entre outros).
Sem medo de errar
Você estava revisando alguns conceitos importantes e fundamentais 
para o desenvolvimento da construção do píer. O coordenador do projeto, 
preocupado com o desenho estrutural do píer, solicitou que você verificasse o 
equilíbrio em um ponto específico. A Figura 1.11 apresenta o ponto que deve 
ser analisado com as forças atuando sobre ele.
Figura 1.11 | Ponto especifico do píer com aplicação de forças
Fonte: elaborada pela autora.
37
Os valores para as forças foram fornecidos pelo coordenador, assim como 
os valores dos ângulos. São eles: = = =
  
1 2 310 ; 5,7 ; 11,5F N F N F N e 
= =1 260º; 30ºq q . Use =cos60º 0,5 ; =60º 0,87sen ; =cos30º 0,87 e 
=30º 0,5sen . Esse ponto específico do píer apresenta equilíbrio? O coorde-
nador deverá se preocupar em reforçar esse ponto?
 Aplicando os conceitos estudados, é possível observar que o ponto 
específico do píer que será analisado é um ponto material, visto que todas as 
forças atuam em seu centro de massa. Dessa forma, para verificar seu equilí-
brio, devemos utilizar as condições de equilíbrio:
= =å å0 0x yF e F
Para aplicarmos as condições de equilíbrio, todas as forças que atuam no 
corpo devem estar no eixo x e/ou y. O que não ocorre nas forças 

1F e 

2F , 
tonando necessário a decomposição de cada uma delas. 
• Para 

1F : =
=
=
1 1
1
1
cos
10 cos60º
5
x
x
x
F F
F N
F N
q
 e 
=
=
=
1 1
1
1
10 60º
8,7
y
y
y
F F sen
F N sen
F N
q
• Para 

2F :
=
=
=
2 2
2
2
cos
5,7 cos30º
5
x
x
x
F F
F N
F N
q
e 
=
=
=
2 2
2
2
5,7 30º
2,8
y
y
y
F F sen
F N sen
F N
q
Com as forças decompostas, podemos verificar as condições de equilíbrio:
=
- =
- =
å
1 2
0
0
5 5 0
x
x x
F
F F
N N
 e 
=
+ - =
+ - =
å
1 2 3
0
0
8,7 2,8 11,5 0
y
y y
F
F F F
N N N
Através dos cálculos vemos que as duas condições de equilíbrio foram 
satisfeitas. Dessa forma, o corpo está em equilíbrio estático, pois não há 
movimento com velocidade constante. E não será necessário reforçar esse 
ponto da estrutura do píer.
Avançando na prática
Máquina de Atwood
A máquina de Atwood é uma aplicação prática da terceira lei de Newton. 
Ela consiste em um dispositivo simples em que é possível verificar o 
movimento dos corpos atravésde sua aceleração. De maneira simples, a 
38
máquina é composta de dois corpos, com massas 1m e 2m , unidos por um 
cabo que passa por uma polia. O fio é inextensível e a massa da polia é despre-
zível, assim como massa do cabo e o atrito da polia com seu eixo de rotação. 
Consideremos >1 2m m e “g”, a aceleração da gravidade. O sistema é apresen-
tado na Figura 1.18. Apresente o desenvolvimento dos cálculos para a acele-
ração do sistema ( a ) e o valor da tração (T) no fio.
Figura 1.18 | Máquina de Atwood
Fonte: elaborada pela autora
Resolução da situação-problema
Nessa situação, primeiro devemos analisar as forças que atuam em cada 
bloco separadamente, como apresentado na Figura 1.19.
Figura 1.19 | Análise das forças
Fonte: elaborada pela autora.
39
Como a massa do corpo 1 é maior do que a massa do corpo 2, o sistema 
apresenta movimento para a direita, região da massa 1. Assim, aplicando a 
segunda lei de Newton para cada bloco e levando em consideração o sentido 
do movimento, temos:
= ×
- = ×
-
=
-
=
å 1 1
1 1
1
1
1
1
F m a
P T m a
P Ta
m
m g Ta
m
 e 
= ×
- = ×
-
=
-
=
å 2 2
2 2
2
2
2
2
F m a
T P m a
T Pa
m
T m ga
m
Como a aceleração do sistema é a mesma nos dois blocos, pois eles estão 
unidos pelo fio, temos:
- -
= Þ - = - Þ - =- +
- - =- - Þ + = Þ =
+
1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
1 2
1 2
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 1
( ) ( )
2( ) 2 .
m g T T m g m g T m T m g m m m g Tm m m g Tm
m m
m m gTm Tm m m g m m g T m m m m g T
m m
Faça valer a pena
1. Inicialmente, o movimento de um corpo era descrito pelas leis da cinemática, 
sem levar em consideração a sua causa. Tempos depois, Isaac Newton postulou três 
leis para o movimento, identificando o que causava ou modificava o movimento dos 
corpos. Deu-lhe, então, o nome de força.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a definição de força.
a. Agente físico que modifica a temperatura do corpo.
b. Agente físico que provoca ou altera o movimento de um corpo.
c. Apenas o agente físico que altera o movimento de um corpo, não sendo 
possível provocá-lo.
d. Apenas o agente físico que provoca o movimento de um corpo, não sendo 
possível alterá-lo.
e. Agente físico que modifica as propriedades mecânicas de um corpo. 
2. As leis de Newton foram construídas para explicar a causa e a consequência do 
movimento dos corpos. Dentre elas, a terceira lei de Newton afirma que toda ação tem 
uma reação de mesma intensidade e direção, mas de sentido oposto. Com relação à 
terceira lei de Newton, avalie as afirmativas a seguir quanto ao par de forças: ação e reação.
40
I. Ação: a Terra atrai os corpos. Reação: os corpos atraem a Terra.
II. Ação: o pé do atleta chuta a bola. Reação: a bola adquire velocidade.
III. Ação: o núcleo atômico atrai os elétrons. Reação: os elétrons movem-se em 
torno do núcleo.
Está correto o que se afirma em:
a. I, apenas.
b. II, apenas.
c. III, apenas.
d. I e III, apenas.
e. II e III, apenas. 
3. A força da gravidade, ou força peso, é a força de atração que uma massa maior 
exerce sobre a massa menor. Sua unidade no Sistema Internacional é Newton, e a 
aceleração utilizada nos cálculos é a aceleração da gravidade. A equação para o 
cálculo da força gravitacional é =


gF mg . Uma partícula apresenta um peso de 30 N 
na Terra, onde g = 9,8 m/s2.
Considerando o contexto apresentado, responda aos itens a seguir:
I. Calcule o peso dessa partícula em uma região onde g = 4,9 m/s2.
II. Calcule o peso dessa partícula se ela estiver em um local onde a aceleração 
da gravidade é nula.
III. Apresente a massa da partícula nas situações I e II.
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, as respostas dos itens I, II e III:
a. 15,2 N; 3,1 kg; 0 N.
b. 30 N; 15,2 N; 2 kg.
c. 15,2 N; 0 N; 3,1 N.
d. 15,2 N; 0 N; 3,1 kg.
e. 30 N; 15,2 kg; 3,1 kg.
41
Seção 3
Equilíbrio dos Corpos
Diálogo aberto
Caro aluno, compreender os conceitos envolvidos durante o movimento 
de um corpo é importante para entender o comportamento apresentado 
por ele. Além disso, as dimensões e formatos do corpo também devem ser 
analisados, pois influenciam diretamente no movimento apresentado. Por 
exemplo, você já imaginou por que uma roda de carro apresenta geome-
tria circular? Como ocorre o movimento em uma gangorra quando duas 
crianças estão brincando; o mesmo ocorre com apenas uma criança? É mais 
fácil fechar a porta empurrando-a próximo à maçaneta ou próximo à dobra-
diça? Não esqueça que a grandeza física força é responsável por provocar e/
ou alterar o movimento de um corpo. Dessa forma, as forças que atuam nos 
corpos devem ser analisadas quando o movimento de um corpo for estudado.
Nessa seção, você será responsável por verificar o equilíbrio da estrutura 
do píer que será construído. Assim, retornando da visita à construção em 
outra cidade, você fez um esboço inicial do píer que será construído para 
verificar o equilíbrio em pontos específicos. Quando mostrou os resultados 
ao seu coordenador, e ele solicitou que, além dos pontos específicos, deveria 
ser verificado o equilíbrio da estrutura completa. A Figura 1.20 apresenta o 
esboço do píer com as forças aplicadas.
Figura 1.20 | Esboço inicial do píer
Fonte: elaborada pela autora.
O comprimento do píer é de 30 m ( +1 2d d ), dado fornecido pelo coorde-
nador. Em seu esboço, a distância 1d apresenta um valor de 20 m e a distância 
2d , 10 m. Você supõe que esse píer deverá suportar uma força uniforme de 20 
kN/m e está apoiado em dois pontos, 

1F e 

2F Levando em consideração que o 
42
píer está em equilíbrio e que seu eixo de rotação está localizado em 

1F , qual os 
valores que 

1F e 

2F devem apresentar?
Ao final dessa atividade, os dados obtidos e os cálculos realizados devem 
ser inseridos no relatório que será entregue ao coordenador. Para resolução, 
deverão ser abordados os conceitos: corpos rígidos, rotações, momento de 
uma força: torque, equilíbrio de corpos rígidos.
Saber nomear um objeto como ponto material ou corpo rígido é o 
primeiro passo para verificar seu equilíbrio. Dessa forma, em resistência dos 
materiais, devemos sempre verificar a estabilidade de uma estrutura quando 
submetidas a forças externas.
Bons estudos!
Não pode faltar
Caro aluno, na seção anterior vimos que para analisar o equilíbrio dos 
corpos, devemos verificar, inicialmente, se ele é um ponto material ou um 
corpo rígido. Essa identificação é necessária porque define quais são as condi-
ções de equilíbrio que devem ser aplicadas. Um corpo é considerado ponto 
material quando suas dimensões são tão pequenas que são desprezadas e forças 
atuam sobre ele em seu centro de massa. Nesse caso, as condições de equilíbrio 
que devem ser consideradas são = =å å0 0x yF e F . Lembrando que o corpo 
só estará em equilíbrio se as duas condições forem satisfeitas.
Corpos Rígidos
Um corpo é considerado rígido quando suas dimensões não podem ser 
reduzidas a um ponto e as forças sobre ele não atuam somente em seu centro 
de massa. Ou seja, são objetos que não podem ser descritos apenas por uma 
partícula, mas por um conjunto de partículas. A soma da massa de cada 
partícula resulta na massa total do objeto.
As forças que atuam nos corpos rígidos, normalmente, são denominadas 
cargas e podem ser do tipo:
• Concentrada: a força é aplicada em um único ponto da estrutura. 
Observe a Figura 1.21, ela apresenta um exemplo de força concen-
trada, representada pela força P. Note que a força é aplicada em 
apenas um ponto da estrutura
43
Figura 1.21 | Exemplo de força concentrada
Fonte: elaborada pela autora.
• Uniforme: apresenta a mesma intensidade ao longo do elemento 
estrutural, sua unidade pelo Sistema Internacional (SI) é N/m e 
apresenta forma geométrica retangular. Ela produz uma força resul-
tante concentrada cujo valor é igual à área da distribuição (ou seja, a 
carga por metro multiplicada pelo comprimento da estrutura) e sua 
aplicação ocorrerá no centro da distribuição. Observe a Figura 1.22,ela apresenta um exemplo de força uniforme (a) e como essa força 
deve ser considerada quando concentrada.
Figura 1.22 | Exemplo de força uniforme (a) em um elemento estrutural e sua forma concentra-
da (b) para realizar os cálculos
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplificando
Sobre uma estrutura, as forças externas podem atuar em três situações: 
concentrada, uniforme e variável. Contudo, para os cálculos de reação e 
equilíbrio, as forças resultantes devem ser do tipo concentradas.
Dessa forma, apresente o valor da força resultante concentrada e sua posição 
na estrutura para uma carga uniforme de 10 N/m, conforme a Figura 1.23.
44
Figura 1.23 | Carga uniformemente distribuída na estrutura
Fonte: elaborada pela autora.
Resolução:
Nesse caso, a força resultante dessa distribuição é calculada pela área 
da distribuição e aplicada no centro. Seu valor é dado por: 
=
 10' NF
m
×6 m = 60 .N
A força resultante na estrutura é apresentada na Figura 1.24.
Figura 1.24 | Força resultante aplicada na estrutura
Fonte: elaborada pela autora.
• Variável: a intensidade varia ao longo do elemento estrutural, sua 
unidade pelo Sistema Internacional (SI) é N/m e apresenta forma 
geométrica triangular. Ela produz uma força resultante concentrada 
cujo valor é igual à metade da área da distribuição (ou seja, a carga 
por metro multiplicada pelo comprimento da estrutura, dividido por 
2) e sua aplicação ocorrerá a 1/3 do lado maior da distribuição. A 
Figura 1.23 apresenta esse processo (a) para força variável e (b) a sua 
forma concentrada.
45
Figura 1.25 | Força variável e sua forma concentrada
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplificando
Agora, apresente o valor da força resultante concentrada e sua posição 
na estrutura para uma carga variada de 10 N/m, conforme Figura 1.25.
Figura 1.25 | Carga variada distribuída na estrutura
Fonte: elaborada pela autora.
Resolução:
Nesse caso, a força resultante dessa distribuição é calculada pela metade 
da área da distribuição, aplicada a 1/3 do lado maior da distribuição.
Seu valor é dado por:
 =

10
'
N
mF
×3 m
=15 .
2
N
E a força resultante na estrutura é apresentada na Figura 1.26.
46
Figura 1.26 | Força resultante aplicada na estrutura
Fonte: elaborada pela autora.
Rotações
O movimento descrito por um corpo pode ser classificado como rotação, 
translação ou uma mistura dos dois. Um exemplo comum de movimento de 
rotação é o movimento realizado pelo planeta Terra: rotação em torno de 
seu próprio eixo, permitindo que haja dias (quando a face do planeta está 
voltada para o sol) e noites (na face oposta do planeta); ou ainda um pião em 
movimento. Um exemplo comum de movimento de translação é um elevador, 
que sobe e desce, linearmente; ou ainda, um corpo em queda livre. Um exemplo 
da combinação desses dois movimentos é uma hélice de um avião.
Sendo assim, podemos dizer que em um movimento de translação todos 
os pontos do corpo percorrem trajetórias lineares, cuja velocidade é linear. Já 
o movimento de rotação é aquele que o corpo realiza em torno de seu próprio 
eixo, percorrendo trajetórias circulares com velocidade angular. Um 
movimento de rotação é caracterizado pelo deslocamento do vetor posição r 
até outro vetor posição  'r em torno de um eixo 

O . A Figura 1.27 exemplifica 
o deslocamento do vetor posição ®  'r r .
Figura 1.27 | Movimento de rotação
Fonte: elaborada pela autora.
47
Para movimentos em que a translação e a rotação estão presentes, a 
velocidade linear (v) e a velocidade angular ( w ) se relacionam por = v rw , 
sendo r o raio da circunferência descrita pelo movimento.
Assimile
A unidade no SI para a velocidade linear é metro por segundo (m/s). 
Para a velocidade angular, a unidade no SI é radianos por segundo 
(rad/s). Por fim, para o raio, do movimento circular descrito pelo corpo, 
a unidade no SI é metro (m).
Momento de uma Força: Torque
A definição de momento de uma força, ou torque, é a força aplicada no 
material fazendo com que ele gire, ou seja, é a tendência que uma força tem 
de rotacionar um corpo. Sua unidade no SI é Newton vezes metro ( Nm ), que 
é unidade de energia, conhecida como Joule ( =Nm J ).
Torque (

T ) é uma grandeza vetorial perpendicular ao plano formado 
pela força (

F ) e o raio ( r ) de rotação, podendo ser calculado por =



.T F r 
Sendo assim, toda vez que uma força for aplicada em um corpo rígido a uma 
distância do eixo de rotação, provocará um torque. Observe a Figura 1.28, ela 
apresenta uma força (

F ) aplicada a uma distância ( r ) do eixo de rotação.
Figura 1.28 | Momento de uma força
Fonte: Young e Freedman (2008, p. 336).
O torque apresentado por um material pode ser positivo ou negativo, 
dependendo do sentido de rotação apresentado por ele. Por convenção, o 
48
torque será positivo se a rotação for no sentido anti-horário, e será negativo, 
se a rotação for no sentido horário. 
Mais de uma força pode ser aplicada ao material, provocando torque. 
Contudo, se mesmo com a aplicação dessas forças o corpo não rotacionar, 
dizemos que ele está em equilíbrio rotacional, tendo a resultante dos torques 
atuantes em um corpo nula. Nesse caso, temos = =å
 
0.RT T A Figura 1.29 
apresenta algumas situações importantes da respeito da definição de torque.
Figura 1.29 | Relação entre força e torque
Fonte: elaborada pela autora.
Analisando a Figura 1.29, temos que:
• Anteriormente, o torque foi definido como a força aplicada, perpen-
dicular ao eixo de rotação, em um material a uma distância de seu 
eixo fazendo com que ele gire. Se a força estiver no mesmo eixo de 
rotação (como em 2F ), ela provocará movimento linear no material, 
e não de rotação. Nesse caso, o torque não existe. 
• Quando a força for aplicada sobre o eixo de rotação, a distância entre 
a aplicação da força até o eixo será zero (como em 1F ). Assim, o 
torque será zero.
• O valor do torque depende da intensidade da força aplicada perpen-
dicularmente ao eixo e da distância da aplicação dessa força. Dessa 
forma, para uma força de mesma intensidade, o torque poderá ser 
maior ou menor, dependendo da distância até o eixo de rotação. 
Como vemos na Figura 1.29, considerando que =1 3F F , o torque 
apresentado por 3F será maior que o apresentado por 1F , simples-
mente por estar mais distante do eixo de rotação.
Reflita
Dependendo do local de aplicação da força em um corpo rígido, o 
torque será nulo ou não existirá. Conceitualmente, podemos falar que 
aquilo que é nulo é aquilo que não existe possui valor zero?
49
Equilíbrio de corpos rígidos
 Vimos, anteriormente, que para um corpo (do tipo ponto material) estar 
parado, ou seja, em equilíbrio, a somatória de todas as forças que atuam nele 
deve ser igual a zero. Contudo, para corpos rígidos, mais uma condição de 
equilíbrio deve ser analisada: o torque. Isso, pelo fato de que, dependendo 
de como a força é aplicada no material, ela provoca movimento de rotação. 
Sendo assim, para corpos rígidos, as condições de equilíbrio que devem ser 
abordadas são:
= = =å å å0; 0; 0x yF F T
É importante ressaltar que a estrutura só estará em equilíbrio se as três 
condições forem satisfeitas. No caso do torque, a somatória deve ser nula em 
qualquer ponto da estrutura
Pesquise mais
Aprofunde seu conhecimento sobre torque e equilíbrio de um corpo 
rígido acessando os materiais:
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R. WALKER, J. Força e Movimento – I cap. 
5. In: Fundamentos de física, volume 1: mecânica. 10.ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. v. 1. 
• Young, H. D.; Freedman, R. A. Dinâmica do movimento de rotação, cap. 
10. In: Física 1: mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
Exemplificando
Observe a estrutura da Figura 1.30, em que temos um exemplo de 
gangorra. Sobre ela estão apoiados dois corpos de massas distintas 
de 25 kg (a esquerda) e 54 kg (a direita). Os corpos estão apoiados na 
gangorra de modo que o sistema fique em equilíbrio, considerando as 
distâncias até o eixo de rotação.
Figura 1.30| Gangorra
Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, qual o peso da tábua da gangorra? Considere =
 210 / .g m s
50
Resolução:
Para verificarmos o equilíbrio de uma estrutura, primeiro devemos 
saber quais as condições de equilíbrio devem ser consideradas. Para 
isso, devemos classificar a estrutura como ponto material ou corpo 
rígido. A estrutura apresentada na Figura 1.30 é um corpo rígido, dessa 
forma, as condições de equilíbrio que deverão ser consideradas são 
= = =å å å0; 0; 0.x yF F T O próximo passo é verificar as forças que 
atuam na estrutura, observe a Figura 1.31.
Figura 1.31 | Forças atuantes na estrutura
Fonte: elaborada pela autora.
Agora, aplicamos as condições de equilíbrio:
=å 0xF
=å 0yF
- - - = Þ - ´ - ´ - =1 2 1 20 ( ) ( ) 0Apoio Gangorra Apoio GangorraP P P P P m g m g P
- - - = Þ = +540 250 0 790Apoio Gangorra Apoio GangorraP N N P P P N
=å 0T
- + + + =1 2 0Gangorra ApoioT T T T
- ´ + ´ + ´ + ´(540 1 ) (250 2 ) ( 0,5 ) ( 0 )Gangorra ApoioN m N m P m P m = 0
- + + ´ =540 500 ( 0,5 ) 0GangorraNm Nm P m
´ =0,5 40GangorraP m Nm
=
40
Gangorra
N mP
0,5 m
= 80 N
Dessa forma, a força peso da gangorra é de 80 N. Note que o exercício 
não pediu a força do apoio; contudo, caso ele solicitasse, bastava voltar 
na somatória das forças no eixo y e encontrar a força do apoio ( apoioP ).
51
Os conceitos de momento de uma força, ou torque, e o equilíbrio de 
corpos rígidos estão diretamente ligados ao nosso dia a dia. Por exemplo, 
ao abrir uma torneira, fechar uma porta, equilibrar um objeto sobre a mesa, 
praticar o esporte Slackline, dentre outras coisas. Saber relacionar os conceitos 
abordados em sala de aula com o seu cotidiano facilita a compreensão dos 
conteúdos e dos fenômenos que ocorrem ao seu redor.
Sem medo de errar
Voltando de sua viagem, você fez um esboço inicial do píer que será 
construído para verificar o equilíbrio em pontos específicos e mostrou a 
seu coordenador. Ele solicitou que, além dos pontos específicos, deveria 
ser verificado o equilíbrio da estrutura completa. A Figura 1.20 apresenta o 
esboço do píer com as forças aplicadas.
Figura 1.20 | Esboço inicial do píer
Fonte: elaborada pela autora.
O comprimento do píer é de 30m ( +1 2d d ), dado fornecido pelo coorde-
nador. Em seu esboço, a distância 1d apresenta um valor de 20 m e a distância 
2d , 10 m. Você supõe que esse píer deverá suportar uma força uniforme de 
20 kN/m e está apoiado em dois pontos, 

1F e 

2F . Levando em consideração 
que o píer está em equilíbrio, e que seu eixo de rotação está localizado em 

1F
, qual os valores que 

1F e 

2F devem apresentar?
Para resolver essa questão, você verificou que a estrutura do píer era um 
corpo rígido, e por isso deveria utilizar as condições de equilíbrio 
= = =å å å0; 0; 0.x yF F T Sobre essa estrutura estão atuando três forças: 

1F e 

2F são forças concentradas e uma força uniformemente distribuída de 20 
kN/m. Assim, redesenhando o esboço, temos o diagrama de forças apresen-
tado pela Figura 1.32. Utilizando o diagrama como base, devemos encontrar 
os valores de 

1F e 

2F para que a estrutura esteja em equilíbrio.
52
Figura 1.32 | Diagrama de forças do esboço do píer
Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando as condições de equilíbrio:
=å 0xF
=å 0yF
+ - = Þ + =1 2 1 2600 0 600 (1)F F kN F F kN
=å 0T
´1( 0 )F m + ´ - ´ = Þ ´ =2 2( 20 ) (600 15 ) 0 ( 20 ) (9000 )F m kN m F m kNm
=2
9000 kN m
F
20 m
= 450 kN
Como em (1):
 + =1 2 600F F kN
= - Þ = - =1 2 1600 600 450 150F kN F F kN kN kN 
Dessa forma, para que a estrutura esteja em equilíbrio, as forças 

1F e 

2F 
não devem apresentar valores maiores que 150 kN e 450 kN, respectiva-
mente. Isso pelo fato de que a estrutura está em equilíbrio para esses valores 
de forças, qualquer aumento ou diminuição desses valores, o píer não estará 
em equilíbrio.
53
Avançando na prática
Andaime suspenso
Uma importante igreja de Minas Gerais está passando por reforma. 
No teto dessa igreja, em seu interior, há inúmeras pinturas que devem ser 
restauradas. Dessa forma, um conceituado pintor e historiador da região foi 
contratado para realizar esse serviço. Para isso, ele deve utilizar um andaime 
suspenso por duas cordas, como mostra a Figura 1.33.
Figura 1.33 | Andaime suspenso
Fonte: Fonte Valentim ([s.d], p. 5).
As cordas, que estão presas no teto, possuem módulo de tensão de 1T e 2T , 
sendo 1T a tensão referente à corda da esquerda e 2T a tensão referente à 
corda da direita. E ainda, o módulo do peso do andaime mais o peso do 
pintor é dado por = +int .T P or AndaimeP P P Qual a relação entre as tensões 1T e 2T 
nas cordas com o peso = +intT P or AndaimeP P P ? Considere que a estrutura está em 
equilíbrio e a posição do pintor no andaime será fixa, conforme a Figura 1.33.
Resolução da situação-problema
Para resolver essa situação, devemos entender como as forças estão distri-
buídas e lembrar que para uma estrutura estar em equilíbrio, devemos consi-
derar as condições de equilíbrio. Nesse caso, estamos tratando de um corpo 
rígido, e as condições de equilíbrio, nesse caso, são: = = =å å å0; 0; 0.x yF F T
54
O enunciado afirma que a estrutura está em equilíbrio e pede a relação entre 
as tensões nas cordas e o peso da estrutura mais o pintor. Analisando a Figura 
1.33 e aplicando a condição de equilíbrio das forças na vertical, temos que:
=å 0yF
+ - =1 2 0TT T P
+ =1 2 TT T P
O pintor não está no centro da base do andaime, logo, a tensão na corda 
1 será menor que a tensão na corda 2. Assim, <1 2.T T
Faça valer a pena
1. A definição de torque é aplicação de uma força/carga sobre o material, fazendo 
com que ele gire/rotacione. É dado pela intensidade da carga aplicada vezes a distância 
até o eixo de rotação e sua unidade no Sistema Internacional (SI) é Nm.
Considerando o contexto apresentado, assinale a alternativa correta.
a. O torque será positivo se a rotação ocorrer no sentido anti-horário e negativo 
se a rotação ocorrer no sentido horário.
b. O torque será positivo se a rotação ocorrer no sentido horário e negativo se 
ocorrer no sentido anti-horário.
c. O torque será sempre negativo, independente do sentido de rotação do corpo.
d. O torque será sempre positivo, independente do sentido de rotação do corpo.
e. Não importa o sentido da rotação, o torque sempre será nulo.
2. Observe a Figura 1.34 a seguir, ela apresenta dois materiais em equilíbrio 
suspensos por um fio ideal, inextensível.
Figura 1.34 | Materiais suspensos por um fio ideal
Fonte: elaborada pela autora.
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O corpo A apresenta um peso de intensidade P.
Assinale a alternativa que apresenta a intensidade do corpo B.
a. 0,5 P.
b. 1,0 P.
c. 2,0 P.
d. 2,5 P.
e. 3,0 P.
3. Um trapiche está sendo projetado em uma estância turística. Um engenheiro 
desenhou um esboço, como mostrado na Figura 1.35, considerando que, no início da 
estrutura, será construído um quiosque para o comércio de bebidas no local. O eixo 
de rotação desse trapiche está alocado no ponto A.
Figura 1.35 | Esboço do trapiche a ser construído
Fonte: Elaborada pela autora
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, os valores para as forças Ay e By.
a. 20,00 kN e 20,00 kN.
b. 20,00 kN e 27,75 kN.
c. 1,25 kN e 27,75 kN.
d. 27,75 kN e 1,25 kN.
e. 1,25 kN e 20,00 kN.
Referências
ÁVILA, G.; ARAÚJO, L. C. Cálculo Ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2128-7/
cfi/0!/4/2@100:0.00. Acesso em: 25 abr. 2019.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2015.
CALLISTER JR., W. D. Fundamentals of materials science and engineering. 5. ed. New York: 
John Wiley & Sons, 2001. 
CARVALHO, M. M. G. de. Vetores e álgebra vetorial (revisão). Instituto de Física “Gleb 
Wataghin”, Unicamp, [portal]. Campinas,