Análise Combinatória

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MATEMÁTICA02
1. Príncipio
fundamental da contagem
Os problemas de Análise Combinatória são, basica -
mente, problemas de contagem. A abordagem destes
proble mas é baseada num fato, de fácil com prova ção,
denominado Príncipio Fundamental da Contagem ou,
simples mente, Regra do Produto, que enunciaremos e
exemplificaremos a seguir.
Enunciado
Um acontecimento é composto de dois estágios su -
ces sivos e independentes. O primeiro estágio pode ocor -
rer de m modos distintos; em seguida, o segundo es tá gio
pode ocorrer de n modos distintos. Nestas condições,
dizemos que “o número de maneiras dis tin tas de ocor -
rer este acontecimento é igual ao produto m . n”.
Exemplo
Um estudante, ao se inscrever no Concurso para
Vestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade que
deseja cursar. Sabe-se que existem cinco cursos pos -
síveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Arquite tura e
Direito. Cada curso pode ser feito em três faculdades
possíveis: Estadual, Federal e Particular. Qual é o
número total de opções que o estudante pode fazer?
Resolução
De acordo com o Príncipio Fundamental da Conta -
gem, o número total de opções que o estudante pode
fazer é 5x3, ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 op -
ções com o auxílio da árvore de possibilidades, obser -
vando que para cada um dos cinco cursos pos síveis (E,
M, O, A, D) existem três faculdades possíveis (E, F, P).
Generalizações
Quando um acontecimento for composto por k está -
gios sucessivos e in depen dentes, com, respectiva mente,
n1, n2, n3, ..., nk possibilidades cada, o número total de
ma neiras distintas de ocorrer este acontecimento é 
n1 . n2 . n3 . ... . nk.
2. Técnicas de contagem
Seja A = {a; b; c; d; ...; j} um conjunto formado por 10
elementos distintos, e consideremos os “agrupa men tos
ab, ac e ca”.
Os agrupamentos ab e ac são considerados sempre
distintos, pois diferem pela natureza de um elemento.
Os agrupamentos ac e ca, que diferem apenas pela
ordem de seus elementos, podem ser considerados
distintos ou não.
Se, por exemplo, os elementos do conjunto A fo -
rem pontos, A = {A1, A2, A3, ..., A10}, e ligando estes
pontos desejarmos obter retas, então os agrupamentos
A1A2 e A2A1 são iguais, pois representam a mesma
reta.
Se, por outro lado, os elementos do conjunto A
forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estes
algarismos desejarmos obter números, então os agru -
pamentos 12 e 21 são distintos, pois representam
núme ros diferentes.
Do que foi exposto, podemos concluir que:
a) Existem problemas de contagem em que os agru -
pa mentos, a serem contados, são considerados distin -
tos, apenas quando diferem pela natureza de pelo
Escolha
do Curso
Escolha
da Faculdade Resultado
E
F
P
E
F
P
E
F
P
E
F
P
E
F
P
D
A
O
M
E
E E
E F
E P
M E
M F
M P
O E
O F
O P
A E
A F
A P
D E
D F
D P
01
Análise combinatória –
Princípio da contagem e arranjos • Contagem • Sequências
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MATEMÁTICA 03
menos um de seus elementos. É o caso em que ac = ca.
Neste caso, os agrupamentos são chamados
combinações.
Caso típico
O conjunto A é formado por pontos e o problema é
saber quantas retas esses pontos determinam.
b) Existem problemas de contagem em que os
agrupamentos, a serem contados, são considerados
distintos, quando diferem tanto pela natureza como
também pela ordem de seus elementos. É o caso em
que ac � ca.
Neste caso, os agrupamentos são chamados 
arran jos.
Caso típico
O conjunto A é formado por algarismos e o pro ble -
ma é contar os números por eles determinados.
3. Arranjos simples
Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um
natural menor ou igual a n.
Chamam-se arranjos simples k a k, dos n
elementos de A, aos agrupamentos, de k elementos
distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza
ou pela ordem de seus elementos.
Cálculo do número de arranjos simples
Na formação de todos os arranjos simples dos n
elementos de A, tomados k a k, temos:
n possibilidades na escolha do 1o. elemento.
n – 1 possibilidades na escolha do 2o. elemento,
pois um deles já foi usado.
n – 2 possibilidades na escolha do 3o. elemento,
pois dois deles já foram usados.
	
n – (k – 1) possibilidades na escolha do ko. ele -
mento, pois k – 1 deles já foram usados.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, represen -
tando com o símbolo An, k o número total de arranjos
simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
(é o produto de k fatores)
Multiplicando e dividindo por (n – k)!.
n(n – 1) (n – 2) . ... . (n – k + 1) . (n – k)!
An,k = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––,
(n – k)!
e notando que n(n – 1)(n – 2) . ... . (n – k + 1) . (n – k)! = n!
podemos também escrever
n!
An,k = ––––––––
(n – k)!
An,k = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . (n – k + 1)
� (UNESP – MODELO ENEM) – Uma rede
de supermercados fornece a seus clientes um
cartão de crédito cuja identificação é formada
por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de
4 algarismos distintos. Uma determinada
cidade receberá os cartões que têm L como
terceira letra, o último algarismo é zero e o pe -
núltimo é 1. A quantidade total de cartões dis -
tintos oferecidos por tal rede de supermer-
cados para essa cidade é
a) 33 600. b) 37 800. c) 43 200.
d) 58 500. e) 67 600.
Resolução
A numeração dos cartões dessa cidade é do
tipo
A primeira letra pode ser escolhida entre as 25
res tan tes e a segunda letra entre as 24 res -
tantes. O primeiro algarismo pode ser
escolhido entre os 8 res tantes e o segundo
entre os sete restantes. Desta forma, o
número de cartões é 25 . 24 . 8 . 7 = 33 600
Resposta: A
� (UNESP) – Dispomos de 4 cores distintas
e temos de colorir o mapa mostrado na figura
com os países P, Q, R e S, de modo que paí ses
cuja fronteira é uma linha não podem ser
coloridos com a mesma cor.
Responda, justificando sua resposta, de quan -
tas manei ras é possível colorir o mapa, se
a) os países P e S forem coloridos com cores
dis tin tas?
b) os países P e S forem coloridos com a mes -
ma cor?
Resolução
a) Se P e S forem coloridos com cores dis -
tintas, existem
4 maneiras de escolher a cor de P,
3 maneiras de escolher a cor de S,
2 maneiras de escolher a cor de Q e
2 maneiras de escolher a cor de R,
portanto, 4 . 3 . 2 . 2 = 48 maneiras de
colorir o mapa.
b) Se P e S forem coloridos com a mesma cor,
existem
4 maneiras de escolher a cor de P e de S,
3 maneiras de escolher a cor de Q e
3 maneiras de escolher a cor de R,
portanto, 4 . 3 . 3 = 36 maneiras de colorir o
mapa.
Respostas: a) 48 maneiras
b) 36 maneiras
P Q
R S
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 19
MATEMÁTICA04
� Quantos elementos tem o conjunto
A = {1936, 1937, 1938,…, 1949}?
� Num avião, uma fila tem 7 poltronas dispostas como na
figura abaixo.
corredor corredor 
Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas
dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles,
são em número de:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
� (FUVEST) – Uma caixa automática de banco só trabalha
com notas de 5 reais e 10 reais. Um usuário deseja fazer um
saque de 100 reais. De quantas maneiras diferentes a caixa
eletrônica poderá fazer esse pagamento?
a) 5 b) 6 c) 11 d) 15 e) 20
� Quantos números, diferentes e de três algarismos
dis tintos, podem ser formados com os algarismos 1, 2,
3, 5, 7 e 8?
� Quantos números diferentes e de três algarismos
distintos, existem no sistema decimal de numeração?
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 20
� (ENEM) – O código de barras, contido na maior parte dos
produtos industrializados, consiste num conjunto de várias
barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não.
Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de
uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra
escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplifi -
cado de um código em um sistema de código com 20 barras. 
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita
irá ler: 01011010111010110001 
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquer da
irá ler: 10001101011101011010No sistema de código de barras, para se organizar o
processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar
em consideração que alguns códigos podem ter leitura
da esquerda para a direita igual à da direita para a esquer -
da, como o código 00000000111100000000, no sistema
descrito acima.
Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco bar -
ras, a quantidade de códigos com leitura da esquer da para
a direita igual à da direita para a esquerda, descon- 
siderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é
a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4
1. Definição
Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos
simples n a n, dos n elementos de A, são chamados
permutações simples de n elementos.
Observe que, de acordo com a definição, todas as
permutações têm os mesmos elementos: são os n ele -
mentos de A. Assim sendo: duas permutações dife -
rem entre si apenas pela ordem de seus elementos.
2. Cálculo do número
de permutações simples
Representando com o símbolo Pn o número total de
permutações simples de n elementos e fazendo k = n na
fórmula An,k = n(n – 1).(n – 2) . ... . (n – k + 1), temos: 
= n.(n – 1).(n – 2) . ... . 1 = n!
Logo:
3. Permutações com
elementos repetidos
Sejam α elementos iguais a a, β elementos iguais
a b, γ elementos iguais a c, ..., λ elementos iguais a �,
num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos.
Representando com o símbolo Pn
α, β, γ, ..., λ o número
de permutações distintas que podemos formar com os n
elementos, temos:
n!
Pn
�, β, γ, ..., λ = –––––––––––––––––
�! . β! . γ! . ... . λ!
Pn = n!
02 Permutações • Permutar • Trocar
MATEMÁTICA05
� Quantos são os anagramas da palavra BONITA?
� Quantos são os anagramas da palavra REPITO que pos -
suem a letra R em terceiro lugar?
� Quantos anagramas da palavra BONITA come çam com 
vogal e terminam com consoante?
� Quantos anagramas da palavra BONITA têm as letras B, I
e O juntas?
� Quantos são os anagramas da palavra POROROCA?
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 22
�
a) Qual o número total de anagramas da palavra CIDADE?
b) Quantos são os anagramas da palavra CIDADE em que as
vo gais aparecem juntas?
c) Quantos são os anagramas da palavra CIDADE que
começam com vogal?
	 (UFABC – MODELO ENEM)
A América em busca de ouro
No mês de julho, a cidade do Rio de Janeiro sediou a 15.a
edi ção dos Jogos Panamericanos, a maior com petição espor -
tiva das Américas. Numa participação recorde na história do 
evento, mais de 5500 atletas de 42 países disputaram as 
medalhas de ouro, prata e bronze.
A figura mostra a medalha
utili zada na premiação dos
atletas. Nela estão estam -
pados 5 pás saros distintos.
Suponha que ca da pássaro
pudesse ser co lo rido com
uma cor diferen te (verde,
amarelo, azul, bran co e ver -
melho). O número de com -
po si ções distintas que po -
dem ser formadas na dis -
tribui ção das cores entre os
cinco pássaros é
a) 25. b) 40. c) 60. d) 120. e) 240.
� Quantos anagramas tem a palavra PAI?
Resolução
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
� Quais os anagramas da palavra PAI?
Resolução
Os 6 anagramas da palavra PAI são:
PAI, PIA, AIP, API, IAP, IPA
� Quantos anagramas tem a palavra
PALMITO?
Resolução
P7 7! == 7= = = = = = 7= = = = = = = = =
� Quantos são os anagramas da pala vra
PALMITO começados com a letra P?
Resolução
P6 == = = = = = = = = = = = = 6! = 6=
� Quantos são os anagramas da palavra
MACACA?
Resolução
Das 6 letras da palavra MACACA, 3 são iguais
a A, 2 são iguais a C. Logo:
6!
P6
3,2 = –––––– = 60
3! 2!
P
MATEMÁTICA 06
03 Combinações simples • Escolher • Conjuntos
1. Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um natural
menor ou igual a n. Chamam-se combinações simples
k a k, dos n elementos de A, aos agrupamentos, de k
elementos distintos cada, que diferem entre si apenas
pela natureza de seus elementos.
2. Cálculo do número de
combinações simples
Representando com o símbolo Cn,k o número total
de combinações simples dos n elementos de A, toma -
dos k a k, temos:
a) permutando os k elementos de uma com bi na -
ção k a k obtemos Pk arranjos distintos.
b) permutando os k elementos das Cn,k com bina -
 ções k a k obtemos Cn,k . Pk arranjos distintos.
Assim sendo:
Lembrando que An,k = , Pk = k! e 
= , podemos também escrever:
An,k n! n
Cn,k = ––––– = ––––––––– = � �
Pk k!(n – k)!
k
n� �k
n!
–––––––––
k!(n – k)!
n!
––––––––
(n – k)!
An,k
Cn,k . Pk = An,k ⇔ Cn,k = –––––
Pk
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 23
Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos
distintos. Com os ele men tos de A podemos formar 
4 com bina ções de três elementos cada:
Permutando os 3 elementos de uma delas, por
exemplo abc, obtemos P3 = 6 arranjos distintos:
Permutando os 3 elementos das 4 com bi na ções ob te -
 mos todos os ar ran jos 3 a 3:
Assim sendo, 
(4 combinações) x (6 permuta ções) = 24 arranjos e,
portanto, C4,3 . P3 = A4,3
abc abd acd bcd
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dab dac dbc
cba dba dca dcb
abc abd acd bcd
acb
bac
bca
cab
cba
?? Saiba mais
MATEMÁTICA
07
� (ESPCEX) – A equipe de professores de
uma escola possui um banco de questões de
matemática composto de 5 questões sobre
parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre
retas. De quantas ma neiras distintas a equipe
pode montar uma prova com 8 questões,
sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3
de retas?
a) 80 b) 96 c) 240 d) 640 e) 1280
Resolução
C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240
Resposta: C
� (FUVEST) – Participam de um torneio de
voleibol 20 times distri buídos em 4 chaves, de
5 times cada uma. Na 1a. fase do torneio, os
times jogam entre si uma única vez (um único
turno), todos contra todos em cada chave,
sendo que os 2 melhores de cada chave pas -
sam para a 2a. fase. Na 2a. fase, os jogos são
eliminatórios; depois de cada partida, apenas o
vencedor permanece no torneio. Logo, o
número de jogos necessários até que se apure
o campeão do torneio é:
a) 39 b) 41 c) 43 d) 45 e) 47
Resolução
Na primeira fase, foram realizados
4 . C5,2 = 4 . 10 = 40 jogos; na segunda fase, 
4 jo gos; na terceira fase, 2 jogos e na final, 
1 jogo. Total de jogos = 40 + 4 + 2 + 1 = 47
Resposta: E
� Calcular:
C9,2 = 
� Num plano são dados dez pontos, três a três não colinea -
res. Pergunta-se:
a) qual o número total de retas determinadas por esses pon -
tos?
b) qual o número total de triângulos com vértices nestes pon -
tos?
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 24
� (UFU – MODELO ENEM) – Cada seleção participante da 
copa do mundo de futebol inscreve 23 jogadores, sendo 
necessariamente três goleiros. Em cada partida, dois jogadores 
de cada seleção são escolhidos entre os 23 inscritos para o 
exame anti-doping, mas são descartadas as possibilidades de 
que os dois jogadores esco lhidos sejam goleiros. De quantas 
maneiras diferentes estes dois jogadores podem ser 
escolhidos?
� Num plano são dados dez pontos distintos, contidos em
duas retas para lelas, conforme a figura ao lado. Qual o número
total de triângulos com vértices nestes pontos?
� (MODELO ENEM) – Doze times se inscreveram em um
torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi
escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times
para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo
A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do
torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio
campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a
quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura
podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
e) duas combinações.
e) dois arranjos.
� (UEPA – MODELO ENEM) – Para a formação de uma
equipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso para
preenchimento de vagas em seu setor de informática, sendo 2
vagas para Analista de Sistemas e 3 para Técnico. O primeirocolocado no cargo de analista de sistemas terá função de
coordenador da equipe e os aprovados no cargo de técnico
terão funções idênticas. Todos os aprovados no concurso serão
chamados juntos, independente da classificação de cada um.
Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo de analista
de sistemas e 6 ao cargo de técnico. Então o número máximo
de maneiras dis tintas que essas 5 vagas podem ser
preenchidas, para a formação da equipe de trabalho, pelos
candidatos é:
a) 200 b) 400 c) 800 d) 1200 e) 2400
� (MODELO ENEM) – Quantas comissões, de apenas 5 
pessoas cada, podemos formar com um grupo de 10 rapazes, 
de modo que em cada uma existam um presidente, um 
secretário e três conse lhei ros?
� (UNIFESP – MODELO ENEM) – O corpo clínico da
pediatria de um certo hos pital é composto por 12 profissionais,
dos quais 3 são capa citados para atuação junto a crianças que
apresentam neces sidades educacionais especiais. Para fins de
assessoria, deverá ser criada uma comis são de 3 profissionais,
de tal ma neira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação
referida. Quan tas comis sões distintas podem ser formadas
nestas condições?
a) 792. b) 494. c) 369. d) 136. e) 108.
MATEMÁTICA08
05
Arranjos completos e
combinações completas • Elementos repetidos
1. Arranjos completos
Arranjos completos de n elementos, tomados k a
k, são os arranjos de k elementos NÃO NECES SARIA -
MEN TE DISTINTOS.
Ao calcular os arranjos completos, portanto, deve -
mos considerar tanto os arranjos com elementos dis -
tintos (que são os arranjos simples) como também
aqueles com elementos repetidos.
O número total de arranjos completos de n elemen -
tos, tomados k a k, e representado pelo símbolo A*n,k, é
dado por: 
2. Combinações completas
Combinações completas de n elementos, tomados
k a k, são combinações de k elementos NÃO NECES SA -
RIA MENTE DISTINTOS.
Ao calcular as combinações completas, portanto, de -
ve mos considerar tanto as combinações com elemen -
tos distintos (que são as combinações simples) como
também aquelas com elementos repetidos.
O número total de combinações completas de n
elementos, tomados k a k, e representado pelo símbolo
C*n,k, é dado por:
n + k – 1
C*n,k = Cn + k – 1, k = � �kA*n,k = nk
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 26
� (MODELO ENEM) – Uma família com 5 pessoas possui
um automóvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa dirige, de
quantas maneiras diferentes os passageiros podem se
acomodar no carro para uma viagem?
a) 6 b) 21 c) 42 d) 63 e) 120
04
Arranjos, permutações e
combinações: exercícios
MATEMÁTICA 09
� Numa cesta existem peras, maçãs, laran -
jas e bananas. Existem pelo menos três de
cada tipo e as frutas de mesmo tipo são todas
iguais.
De quantas maneiras diferentes é possível
escolher:
a) três frutas de tipos diferentes?
b) três frutas?
Resolucão
4 . 3 . 2
a) C4,3 = ––––––––– = 43 . 2 . 1
Observe quais são as 4 maneiras possíveis:
6 . 5 . 4
b) C*4,3 = C4 + 3 – 1,3 = C6,3 = ––––––––– = 203 . 2 . 1
Observe quais são as 20 manei ras possíveis:
� (FUVEST) – Quantos são os números
inteiros positi vos de 5 algarismos que não têm
algarismos adja cen tes iguais?
a) 59 b) 9 x 84 c) 8 x 94
d) 85 e) 95
Resolução
O número de possibilidades para cada “po -
sição” dos algarismos no número é 
dezena de milhar: 9 (não pode ser o 0)
milhar: 9 (não pode ser o anterior)
centena: 9 (não pode ser o anterior)
dezena: 9 (não pode ser o anterior)
unidade: 9 (não pode ser o anterior)
Assim sendo, pelo Princípio Fundamental de
Contagem, resulta 
9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 95.
Resposta: E
PPP PLL MMM MLB
PPM PBB MML LLL
PPL PLB MMB LLB
PPB PLM MLL LBB
PMM PMB MBB BBB
PML PMB PLB MLB
� Quantos números de três algarismos distintos podemos
formar com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 7}?
� Quantos números de três algarismos podemos formar 
com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 7}
� (MODELO ENEM) – A “onda” de desvios de valores de
correntistas de bancos via Internet é grande no Brasil. Durante
o mês de outubro, várias pessoas foram presas no Pará,
acusadas desse tipo de crime. Os bancos tentam evitar que
seus clientes sofram com esse tipo de furto, alertando sobre
cuidados na manipulação de de informações de suas contas
bancárias. Atualmente, para maior segurança, alguns bancos
estão adotando senhas em que o correntista tem de digitar
quatro algarismos seguidos de três letras. Dessa forma, um
cliente de um desses bancos, ao criar sua senha, resolveu
utilizar uma das permutações dos algarismos do ano do
nascimento de sua filha e, também, o nome dela. Sabendo que
sua filha nasceu em 1998 e seu nome é Isabel, então o número
de opções distintas para criação de sua senha será:
a) 240 b) 480 c) 920 d) 1440 e) 2592
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:03 Página 27
� De quantas maneiras diferentes uma oficina pode pintar 3
automóveis iguais, recebendo cada um tinta de uma única cor,
sabendo que a oficina dispõe de apenas 5 cores diferentes e
não quer misturá-las?
� (FGV – MODELO ENEM) – Uma senha de acesso a uma
rede de compu tado res é formada por 5 letras escolhidas entre
as 26 do alfabeto (a ordem é levada em consideração).
a) Quantas senhas existem com todas as letras distintas, e que
comecem pela letra S?
b) Quantas senhas são possíveis, de modo que haja pelo me -
nos duas letras iguais?
Observação: o resultado pode ser deixado indicado, não sendo 
necessário fazer as contas.
 
 
 
1) (UNEB) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um 
caixa eletrônico, mas se esqueceu da senha. Lembrava 
que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo 
era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o 
quarto e último era ímpar. Qual o maior número de 
tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a 
senha? 
A) 13 B) 60 C) 75 D) 78 E) 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (PUC-RJ) A senha de acesso a um jogo de 
computador consiste em quatro caracteres alfabéticos 
ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente 
alfabético. O número de senhas possíveis será, então: 
A) 
436 
B) 
33610 
C) 
33626 
D) 
426 
E) 
42610 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Em uma corrida automobilística, da qual participaram 
20 pilotos, o pódio é formado pelos três primeiros 
colocados. De quantas maneiras diferentes pode ser 
formado o pódio dessa corrida? 
A) 6840 B) 3040 C) 2280 D) 380 E) 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (FAAP) Quantas motos podem ser licenciadas se 
cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais 
repetidas) e 3 algarismos distintos? 
 
A) 25.000 B) 120 C) 120.000 D) 18.000 E) 32.0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atividade Avaliativa – Matemática - 2° Ano - 
Professor: _________________________ 1° Período do 3° Bimestre 
Aluno: _________________________________________ Turma: _____ 
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
 
 
 
1) (UFMA) O número de anagramas da palavra GREVE 
é 
A) 120 B) 60 C) 40 D) 30 E) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra 
CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta 
ordem. 
A) 120 B) 36 C) 24 D) 18 E) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) (UFPI) Seja n o número de comissões de três ou 
mais pessoas que podem ser escolhidas de um grupo 
de 5 pessoas. O valor de n é igual a: 
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (ENEM) Uma família composta por sete pessoas 
adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, 
consultou o site de uma empresa aérea e constatou que 
o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na 
figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas 
estão marcadas com X e as únicas poltronas 
disponíveis são as mostradas em branco. 
 
Disponivel em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
O número de formas distintas de se acomodara família 
nesse voo e calculado por 
A) 
!2
!9
 B)
 !2!7
!9

 C) !7 D) !4
!2
!5
 E) 
!3
!4
!4
!5
 
 
 
 
 Atividade Avaliativa – Matemática - 2° Ano 
Professor: _________________________ 2° Período do 3° Bimestre 
Aluno: _________________________________________ Turma: _____ 
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
	Sem nome
	Sem nome