Exercicios de Matemática

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ESFERAS 
1) (FUVEST) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26cm, 17cm e 8cm, que
deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas iguais a essa que
cabem juntas na caixa é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e)8
2) (FUVEST) A área de intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144. A distância do plano ao
centro da bola é:
a) 1 b) 5 c) 8 d) 12 e) 25
3) (FUVEST) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera
de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1cm,
então o raio da esfera é:
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
4) (FUVEST) O volume do cubo circunscrito à esfera de volume unitário é
a) 4 b) /6 c) 6 d) 8 e) 6/
5) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na
confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura
também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a:
a) 4 cm b) 8 cm c) 5 cm d) 10 cm 
6) (UFRJ) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente
esféricas, de raio 1cm. Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir
é verdadeira:
( ) opção I n >125 ( ) opção II n = 125 ( )opção III n < 125
Justifique sua resposta.
7) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é
mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba
1/6 R, conforme mostra a figura.
Calcule o raio r da esfera em termos de R.
8) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode
confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve
perda de ouro durante o derretimento.
9) (UFRRJ) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado 2m, é colocada, cheia de água, uma esfera inscrita,
com espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e retiram-se seus resíduos. Qual a altura de água
que permanecerá dentro da caixa?
10) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água
até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o
maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água
não transborde.
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
11) Considere uma bola de sorvete de 36 cm3 de volume e uma casquinha cônica de 3 cm de raio.
Determine a altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço.
12) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 324 π cm2 .
13) (UNAERP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de
diâmetro e um ângulo diedro de 36º.
14) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio
da esfera A mede
a) 5 b) 4 c) 2,5 d) 2 e) 1,25
15) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 cm.
Determine o raio do cilindro.
16) (UFRJ) Um grupo de cientistas parte em expedição do Pólo Norte e percorre 200 km em direção ao sul,
onde estabelece um primeiro acampamento para realizar experiências. Após algum tempo, o grupo percorre
200 km em direção ao leste, onde instala o segundo acampamento para experimentos. Após três dias, o
grupo parte em viagem e percorre 200 km em direção ao norte, onde estabelece o terceiro acampamento.
Supondo que a superfície da Terra seja perfeitamente esférica, determine a distância entre o terceiro
acampamento e o Pólo Norte. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).
17) (PUC) Seja E uma esfera de raio 1 metro. Considere dois cubos, um contido em E, de maior volume
possível e outro que contém E, de menor volume possível. Ache a razão entre os volumes dos dois cubos.
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
1) Determine a distância entre os pontos P = (1,8) e Q = (-3, 5) 
2) Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,-3) e C um ponto pertencente ao eixo OX com BCAC  .
Determine as coordenadas do ponto C. 
3) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O comprimento da mediana
AM vale:
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7
4) Seja uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), determine a área de ABCD.
5) (Fuvest) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é
igual a:
a) -2
b) 0
c) 2
d) 1
e) ½
6) Determine o baricentro do triângulo de vértices A(3,2), B(7,7) e C(5,-3).
7) (PUC) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é:
a) (3, 4)
b) (4, 6)
c) (-4, -6)
d) (1, 7)
e) (2, 3)
8) (PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
9) (FGV) No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor
de m é igual a:
a) 47
b) 48
c) 49
d) 50
e) 51
10) O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) sejam alinhados é:
a) 8 
b) 6 
c) -5 
d) -8 
e) 7
11) Considere os pontos A(1, 5), B(3, 0) e 






2
5
,4C . Verifique se o ponto C é ou não colinear com A e B.
12) O valor de m, para que os pontos A (2m + 1, 2), B(-6, -5) e C(0, 1) sejam colineares, é:
a) –1 
b) –0,5 
c) 0,5 
d) 1 
e) 0
13) (PUC) Os pontos A(3,1), B(4,-2) e C(x,7) são colineares. Determine o valor de x.
14) (UNESP)Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q = (2,5) e R = (x,4). Sabendo-se que a área do triângulo
é 20, calcule a abscissa do ponto R.
a) 8 ou 12 
b) 9 ou -12 
c) 10 ou 9 
d) 11 ou -8 
e) 12 ou -8
15) (Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
16) UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
CONES – 2012
1) Um cone reto tem 4 cm de altura e o raio da base é igual a 3 cm. Calcule:
a) a medida de sua geratriz; b) a área lateral; c) a área total; d) o volume.
2) Um cone circular reto tem altura de 5 cm e raio da base medindo 12 cm. Qual é, em centímetros
quadrados, sua área lateral?
3) A área lateral de um cone reto é 24 cm2 e o raio de sua base é 4 cm. Qual é a área total e o volume do
cone?
4) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndricoe outro
cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas
de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar
completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório
cônico será de:
a) 2h b) 1h e 30min c) 1 h d) 50min e) 30min
5) (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso,
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do
ângulo central do setor circular é:
a) 144° b) 192° c) 240° d) 288° e) 336°
6) (FUVEST) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa cartolina
um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do
bico do chapéu à mesa?
7) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da
circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
a) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8
8) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de
12cm. O volume do copo é de, aproximadamente:
a) 390 cm3 b) 350 cm3 c) 300 cm3 d) 260 cm3 e) 230 cm3
9) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a
razão entre o volume do prisma e o volume do cone é:
a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2
10) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base.
Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.
11) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm,
recortando-se um setor circular de ângulo  = 2/3 radianos e juntando os lados. A área da base do
chapéu, em cm2, é:
a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120
12) Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a
capacidade do tanque é de 1200L, então a quantidade de água nele existente é de:
a) 600 L b) 450 L c) 300 L d) 200 L e) 150 L
13) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo.
Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a .
A capacidade do tanque é:
a) 2 b) 8/3 c) 4 d) 6 e) 8
14) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que
o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume
total que deixou de ser consumida é:
a) 3/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/8 e) 1/8
15) Determinar o volume de um cone de revolução sendo 126 cm² sua área lateral e 200 cm² sua área
total.
1) O raio de um cilindro de revolução mede 2 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área
da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro (seção meridiana). Calcule a área total e o
volume do cilindro. (considere   3).
2) Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular de aresta lateral igual a 13 cm e cuja base está
inscrita num círculo de área 2.25 cm .
3) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é
um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo
à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de
pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4cm, AB = 6cm, BC = 3cm e a altura h = AE = 6cm, determine:
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';
b) o volume do tronco de pirâmide.
4) A figura a seguir ilustra uma pirâmide regular sólida de base quadrada que está imersa na água existente
em uma caixa retangular, também de base quadrada, que se encontra em uma superfície plana.
Os lados da base da pirâmide medem 3 cm, sua altura mede 6 cm e os lados da base da caixa medem 5 cm.
A pirâmide é então puxada 4 cm para cima, de modo que sua base é mantida paralela ao fundo da caixa.
Sabendo-se que na caixa existem 182 cm³ de água, determine o volume da parte da pirâmide que ficará fora
da água.
5) Na figura ao lado, têm-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da
interseção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. 
Se D é o ponto do segmento BC ,cujas distâncias a AC e AB são ambas iguais a d,obtenha a razão
entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d.
6) Um “caminhão pipa” transporta álcool em um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de diâmetro e 12
metros de comprimento. Sabendo-se que a altura do nível do álcool é de 1,5 metros, conforme esboçado na
figura, determine o volume, em m³, do álcool existente no tanque.
LISTA DE EXPONENCIAL
1) Resolva, em IR, as equações abaixo:
a) 23x = 64
b) 3x + 1 = 27
c) 8.2x = 128
d) 4.2x = 16
e) 53.52x = 25
f) 2x + 1.22x + 3 = 128
g) 10248x 
h) 
81
1
3 7x 
i) 04,05x 
j) 505555 1xx2x  
l) 8022 1xx2  
m) 1xx1xx 8877  
n)    12 5x6²x6x 
2) A soma das raízes da equação 3x + 31 – x = 4 é:
a) 2 b) -2 c) 0 d) -1 e) 1
3) (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou equivocada de um
medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e
tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado medicamento
a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos
alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: tyy 5,002
 em que y0 é a
concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da
substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após:
a) 1/4 de hora b) meia hora c) 1 hora d) 2 horas e) 4 horas
4) Numa população de bactérias, há P(t) = 109. 43t bactérias no instante t medido em horas (ou fração da
hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se
tenha o dobro da população inicial?
5) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2 -bt ,
onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a
população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
6) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = k.x,
sendo k e  constantes positivas. O valor de f(2) é:
a) 3/8 b) ½ c) 3/4 d) 1
7) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em horas, é
dado por B(t) = 2t/12 . Qual será o número de bactérias6 dias após a hora zero?
8) A relação  r1,021.64000P  descreve o crescimento de uma população de microorganismos, sendo
P o número de microorganismos e t o número de dias após o instante 0. Determine t para que a população de
microorganismos seja igual a 63000.
9) Estima-se que a população de um país aumente de acordo com a lei P(t) = 15000(1,035)t , sendo t o
tempo em anos e P(t) o número de habitantes após t anos. Determine a população desse país daqui a 80
anos. Considere:   2035,1 10  .
10) A função t2,02.1000)t(n  abaixo indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é
o número de horas decorridas. Quanto tempo após o início do experimento haverá 64 000 bactérias?
11) O número de pessoas infectadas por uma gripe, em uma certa metrópole é dado por N(t) = a. 2bt, em
que t é o número de dias após o início do estudo e a e b são constantes. Sabendo que no dia em que se
iniciou o estudo já havia 1500 pessoas infectadas e que, após 5 dias, esse número já era de 24000
pessoas, determine a e b.
12) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p, onde p é
o período em dias. Qual o valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000?
13) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real
baxf x )( , com a e b reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule 33 ba  .
14) Resolva as inequações:
a) 3x+1 > 32x–8
b) 1x–x 2 4
1

c) 9x < 32x+1
d) 
4x
2
1
2
1











