Análise combinatória

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UEPB 
Matemática 
Análise combinatória
 
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A análise combinatória é a área da Matemática responsável pela análise das 
possibilidades e das combinações. É um conjunto de procedimentos que possibilita a 
construção de grupos, formados por um número finito de elementos de um conjunto sob 
certas circunstâncias. 
Os três principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações. Cada 
um deles pode ser simples ou com elementos repetidos. Neste tópico, estudaremos os 
agrupamentos simples. 
 
C 
Simples Com repetição 
Combinação 
A 
Simples Com repetição 
Arranjo 
P 
Simples Com repetição 
Permutação 
O fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de 
todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. 
 
n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 
 
 
3 
 
 
Exemplos: 
2! = 2 · 1 = 2 
3! = 3 · 2 · 1 = 6 
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 
 
Existem dois casos particulares, resolvidos por definição: 
 
1! = 1 
0! = 1 
 
Operações com fatorial 
Para realizar as operações entre o fatorial de dois ou mais números, é necessário 
o cálculo do fatorial para, depois, fazer a conta em si: 
Adição 
5! + 3! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) + (3 · 2 · 1) 
5! + 3! = 120 + 6 
5! + 3! = 126 
 
4 
 
 
+ ≠
– · · · · · – · · ·
– –
–
– ≠
· · · · · · ·
· ·
·
· ≠
 
 
5 
 
· · · · · · ·
— ≠
 
Arranjo simples 
Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n>=1 e p é um número 
natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que 
cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza 
dos elementos. A fórmula para cál culo de arranjo simples é dada por: 
 
 
 
 
6 
 
 
Exemplo: 
 
 
Permutação simples 
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento 
ordenado onde entram todos os elementos. 
Pn = n! 
Exemplos 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120; 
P2 = 2! = 2 . 1 = 2; 
P8 = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320. 
 
De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar num banco de 5 
lugares para tirar uma foto? 
 
 
7 
 
 
Resolução: 
Nesse exercício, vamos utilizar a permutação simples P5 para descobrir: 
 
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras.