Análise Combinatória - Principio Fundamental Da Contagem

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R E S U M O D E A N Á L I S E C O M B I N A T Ó R I A ! P R I N C I P I O 
F U N D A M E N T A L D A C O N T A G E M 
 
Resumo de Análise Combinatória 
A análise combinatória é a parte da Matemática responsável 
por estudar métodos e técnicas que resolvem problemas 
relacionados à contagem. Ela faz análise das possibilidades e 
combinações possíveis entre um conjunto de elementos, e é 
muito utilizada nos estudos sobre probabilidade. 
 
O que é Análise Combinatória? 
Para começar a fazer um resumo de análise combinatória, precisamos 
entender primeiro o que ela significa. 
A análise combinatória pode ser definida como sendo um conjunto de 
técnicas e métodos que estudam as combinações e possibilidades das 
variáveis de um conjunto. Constituído por elementos finitos, a análise 
combinatória se baseia em parâmetros que possibilitam a contagem. 
Entender o que é análise combinatória é fundamental para quem deseja se sair 
bem na prova do ENEM ou em outro vestibular, pois esse tema é bastante 
frequente nas provas de Matemática. Além de envolver cálculos matemáticos, 
a análise combinatória também abrange fatores lógicos. 
A análise combinatória se resume em 6 procedimentos principais: 
1. Fatorial; 
2. Princípio fundamental da contagem; 
3. Arranjos simples; 
4. Permutação simples; 
5. Combinação; 
6. Permutação com elementos repetidos. 
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1. Fatorial 
Considerando n um número natural maior que 1, o fatorial desse número n, 
que é representado por n!, pode ser definido como: 
 
n! = n(n – 1) x (n – 2) x (n – 3)x…x 3 x 2 x 1 
Lê-se n! como: n fatorial ou fatorial de n. 
Não deixe de conferir nossos exercícios sobre fatorial com gabarito! 
2. Princípio Fundamental da Contagem 
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é 
composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de 
combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada 
conjunto. 
Exemplo: 
Numa pizzaria há 8 tipos de sabores, 5 tipos de sucos e 6 tipos de 
sobremesas. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa 
pizzaria? 
Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 
8 x 5 x 6 = 240 maneiras de se fazer um lanche. 
3. Arranjos Simples 
O arranjo simples é o agrupamento dos elementos de um conjunto que 
dependem da ordem e da natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de p elementos de um conjunto total n, onde p ≤ 
n, utiliza-se a seguinte expressão: 
 
An,p = Arranjo de p elementos de um total n 
n = elementos totais do espaço amostral 
p= números de elementos no arranjo 
Exemplo: 
Considere uma votação para escolher um representante e um vice-
representante de uma turma, com 20 alunos. O mais votado será o 
representante e o segundo mais votado o vice-representante. Dessa maneira, 
https://beduka.com/blog/exercicios/matematica-exercicios/exercicios-sobre-fatorial/
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de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Nesse caso a ordem 
é importante, visto que altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
4. Permutações Simples 
A permutação simples pode ser considerada como um caso particular de 
arranjo, onde os elementos irão formar agrupamentos que se diferenciam 
somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: 
PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. 
Se chamarmos de Pn a permutação simples de n elementos distintos, podemos 
calculá-la através da seguinte fórmula: 
 
Pn = n! 
Onde n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x…..x 3 x 2 x 1 
Exemplo: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
5. Combinações Simples 
As combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é 
importante, mas são caracterizadas pela natureza dos mesmos. Assim, para 
calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-
se a seguinte fórmula: 
 
Cn,p = Combinação de p elementos de um total n 
n = elementos totais do espaço amostral 
p= números de elementos no arranjo 
Exemplo 
Considerando a escolha de 3 membros para formar uma comissão de 
formatura, dentre 10 pessoas que se candidataram para fazer parte. De 
quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? Note que, ao 
contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é 
relevante. Isso quer dizer que escolher Guilherme, Rafael e Juliana é 
equivalente à escolher Juliana, Rafael e Guilherme. 
 
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Para simplificar os cálculos, transforma-se o fatorial de 10 em produto, mas 
conserva-se o fatorial de 7, pois assim é possível simplificar com o fatorial de 7 
do denominador. 
Desta forma, existem 120 maneiras distintas de formar a comissão. 
Confira também nossos exercícios de probabilidade. 
6. Permutação de elementos repetidos 
Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da 
permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. 
A fórmula da permutação simples de n elementos diferentes é representada por 
Pn. Logo, tomemos como exemplo a palavra CATRACA, que tem 7 elementos: 
Pn = n! 
P8 = 7! = 5040 
Entretanto, a palavra CATRACA possui elementos repetidos, uma vez que a 
letra A se repete por três vezes e a letra C repete 2 vezes. Neste caso, outra 
fórmula é utilizada: 
 
 
 
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