Aula - Tensões nos solos

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TENSÕES NOS SOLOS 
 
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TENSÕES NA MASSA DE SOLO 
 
 
 
A determinação das tensões e sua distribuição no subsolo é muito importante na 
avaliação e determinação de deformações (recalque), da capacidade de carga e 
empuxo de terra dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. 
 
 
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas advindas do 
peso próprio da massa de solo (tensões geostáticas) ou em decorrência de 
carregamentos externos em superfície resultantes de fundações, aterros, 
pavimentos, ou ainda pelo alívio de cargas provocado por escavações, é de vital 
importância no entendimento do comportamento de praticamente todas as obras de 
engenharia. 
 
 
 
 
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1. TENSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO 
(GEOSTÁTICAS) 
 
 
Na análise do comportamento dos solos, as tensões iniciais no terreno devidas ao 
peso próprio da massa de solo têm valores consideráveis. Este estudo visa determinar 
as pressões atuantes na massa de solo, nas diversas profundidades de um maciço, 
quando consideramos somente o peso próprio, isto é, apenas sujeito à ação da 
gravidade, sem cargas exteriores atuantes. Estas pressões são denominadas tensões 
geostáticas. 
 
 
Dado o perfil geotécnico da Figura 1, no qual o nível do terreno (NT) é horizontal, a 
natureza do solo não varia horizontalmente e não há carregamento externo (cargas 
aplicadas) próximo à região considerada, caracteriza uma situação de tensões 
geostáticas. 
 
 
Em uma situação de tensões geostáticas, portanto, a tensão normal vertical inicial 
(σv0) no ponto A pode ser obtida considerando o peso do solo acima do ponto A 
dividido pela área. 
 
Figura 1 – Perfil geotécnico (fonte: UFSM). 
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Admitindo-se que o peso específico natural do solo não varia, a tensão vertical 
total será obtida pelo produto do peso específico natural (γnat) pela profundidade 
do ponto desejado. 
 
W ( .b .z )
v v v .z
A b

       
2
0 0 02 
 
Onde: 
 
W = γ.V (peso do prisma); 
V = b2.z (volume do prisma); 
A = b2 (área do prisma) 
γ = peso específico natural do solo. 
 
 
Quando o solo é constituído de camadas aproximadamente horizontais, a tensão 
vertical resulta da somatória do efeito das diversas camadas. Se o solo acima do 
ponto “A” for estratificado, isto é, composto de “n” camadas, o valor de σv0 é dado 
pelo somatório abaixo onde “i” varia de 1 a n. 
 
 
   
n
i
v i z i 

 0
1
 
 
 
Quando o peso específico da camada não for constante e se conhecer a sua lei de 
variação com a profundidade, a tensão poderá ser calculada por: 
 
z
v dz  0 0 
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As tensões iniciais são aquelas originadas pelo peso próprio do solo. O cálculo deste 
estado de tensões pode ser bastante complexo em situações de grande 
heterogeneidade do solo e topografia irregular. 
 
 
Existem situações, entretanto, frequentemente encontradas na geotecnia, em que o 
peso do solo resulta em um padrão de distribuição de tensões bastante 
simplificado. Esta situação, denominada geostática, corresponde a: 
 
 
 Superfície do terreno horizontal; 
 Subcamadas horizontais; 
 Pouca variação das propriedades do solo na direção horizontal. 
 
 
Este cenário pode ser idealizado a partir da análise do processo de deposição 
de um SOLO SEDIMENTAR. Neste processo, a deposição de sucessivas camadas 
impõe aos elementos de solo acréscimos de tensão que geram deformações, 
conforme mostra a Figura seguinte. Estas deformações, entretanto, não ocorrem 
na direção horizontal, uma vez que há uma compensação de tendência de 
deslocamentos entre elementos adjacentes. A inexistência de deslocamento 
horizontal acarreta a inexistência de tensões de cisalhamento nos planos 
horizontais, consequentemente, os planos horizontal e vertical são planos 
principais. Adicionalmente, a tensão horizontal de cisalhamento aplicada a cada 
elemento é determinada pela condição εh = 0. 
 
Figura – Condição geostática 
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Numa superfície com constância horizontal, admite-se que as tensões atuantes em 
um plano horizontal, numa determinada cota, sejam normais ao plano. Neste caso, 
não existirão tensões cisalhantes (τxy) em planos verticais e horizontais, o que mostra 
que estes são planos principais de tensões. 
 
 
 
 
2
2
1 1
2
2
2 2
0
2 2
2 2

   
   
   
   

  
     
 
  
     
 
xy
x y x y
xy x
x y x y
xy y
 
 
 
O não atendimento a qualquer um dos requisitos da condição geostática pode 
acarretar no aparecimento de tensões cisalhantes nos planos horizontal e 
vertical. 
 
 
No caso de superfícies inclinadas, por exemplo, a tendência de movimentação da 
massa de solo gera tensões cisalhantes, conforme Figura seguinte. A prática tem 
mostrado que o cálculo da tensão vertical pode ser feito seguindo-se a mesma 
metodologia adotada para a condição geostática. Entretanto, a determinação dos 
demais estados iniciais de tensões é mais complexa. 
 
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Para um maciço homogêneo de peso específico γ e com inclinação β, obtém-se, com 
as indicações da figura abaixo. 
 
 
Figura 2 – Superfície inclinada (caso geral). 
Peso: 
 


 
   
 
P V
V b z , m por metro de terreno
P b z
1 0 
 
A tensão vertical σv num plano paralelo à superfície é: 
v
P
A
  
 
A: área ou superfície inclinada. 
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   


 
    

  

    
  
 
 
v v v
b b
cos b
b cos
b.z b.z
.z.cos
b b
cos
 
 
e as componentes normal e tangencial dessa tensão: 
 
 

   


   

  
  
v
v
v
v
cos cos
sen sen
 
 
Substituindo σv temos (superfície inclinada): 
 
.z.cos
.z.sen cos .z.sen
  
     

 
2
1
2
2
 
 
Se β = 0 (superfície horizontal): 
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.z 


 0
 
 
Solo saturado 
 
Considerando um maciço saturado com água, conforme Figura 3, em condições 
hidrostáticas (isto é, sem fluxo) a profundidade na qual a pressão na água é 
atmosférica é o chamado nível d’água natural (NA) ou lençol freático. Portanto, 
abaixo do nível d’água, a pressão da água, ou poro-pressão ou pressão neutra (u0) é 
positiva. Sendo definida pela expressão: 
 
w wu .z0 
 
onde: 
u0 = pressão neutra ou poro-pressão ou pressão d’água 
γw = peso específico da água, tomado igual a 10 kN/m3 = 1 g/cm3 
zw = profundidade em relação ao nível da água. 
 
 
Figura 3 – Perfil geotécnico para solo saturado (fonte: UFSM). 
 
 
 
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A tensão vertical total será obtida pelo produto do peso específico saturado pela 
profundidade do ponto desejado. 
 
  SATv .z0 
 
Tensão vertical total 
 
 
A tensão vertical total inicial no ponto A, do perfil de solo da Figura 4, é: 
 
    SATv .z .z0 1 2 
 
e a poro-pressão ou pressão neutra no mesmo ponto é: 
 
w wu .z0 
 
 
Figura 4 – Solo estratificado com solo saturado. 
 
 
 
 
 
 
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Princípio das tensões efetivasQuando tensões normais se desenvolvem em qualquer plano, estando o solo 
saturado, parte dessa tensão será suportada pelo esqueleto sólido do solo e parte será 
suportada pela água presente nos vazios. A pressão que atua na água intersticial é 
denominada de pressão neutra e é denominada pela letra u. A pressão que atua nos 
contatos interpartículas (grão a grão) é chamada de tensão efetiva (σ') sendo a que 
responde por todas as características de resistência e de deformabilidade do 
solo. Por outro lado, a tensão de cisalhamento é transmitida exclusivamente para a 
fase sólida, uma vez que a água não resiste a tensões de cisalhamento. Com isso, as 
tensões normais e cisalhantes podem ser reescritas como mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
 
Observando esses fatos, Terzaghi (1925) estabeleceu que abaixo do NA a tensão 
normal total num plano qualquer deve ser a soma das parcelas de pressão neutra e 
de tensão efetiva: 
 
  ' u0 
 
 
 
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O conceito de que parte da tensão normal age nos contatos inter-partículas e parte 
atua na água existente nos vazios do solo, deu origem a uma das relações mais 
importantes na Mecânica dos Solos. Esta relação foi proposta por Terzaghi e é 
conhecida como o princípio das tensões efetivas e pode ser expresso em duas 
partes: 
 
 
a) Apesar do conceito de transmissão através do contato entre grãos ser fisicamente 
mais correta, não seria possível desenvolver modelos matemáticos que 
representassem isoladamente as forças transmitidas. Em virtude da inviabilidade de 
se considerar a área de contato grão a grão, em face da variabilidade de tamanhos dos 
grãos e arranjos estruturais, a tensão efetiva é dada por: 
 
' u   0 
 
b) Ao contrário dos materiais usados na engenharia civil, a compressibilidade do solo 
é consequência do deslocamento relativo entre partículas, conforme é mostrado 
esquematicamente na Figura abaixo. 
 
 
Figura 5 – Compressibilidade de solos. 
 
 
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A compressão do grão individualmente é desprezível em comparação com as 
variações de volume geradas pelos deslocamentos das partículas. 
 
 
O deslocamento depende do nível de tensões que é transmitido entre grãos, 
isto é, da tensão efetiva. Sempre que há deformação, o posicionamento dos 
grãos muda e consequentemente a tensão efetiva muda. Isto resulta na 
afirmação que qualquer acréscimo de resistência do solo ou variações 
volumétricas (recalque ou expansão) só pode ser justificado em termos de 
tensões efetivas σ'. 
 
 
Estas variações podem ser geradas por mudanças na tensão total (carregamentos 
externos) ou na poro-pressão (variações nas condições de água no subsolo, elevação 
ou rebaixamento do NA, variação de condições de fluxo, etc.). Maiores níveis de 
tensão efetiva aumentam a resistência do solo e acarreta ao solo maior capacidade de 
resistir a tensões cisalhantes. 
 
 
Solos não resistem a tensões de tração. Consequentemente, a tensão efetiva não 
por ter valores negativos. Por outro lado, a poro-pressão pode ser positiva ou 
negativa (sucção). 
 
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2. TEORIA DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES POR CARGAS 
EXTERNAS (ACRÉSCIMO DE TENSÕES EFETIVAS – Δσ) 
 
 
Existem várias teorias sobre a distribuição de tensões produzidas por cargas externas, 
mas iremos abortar o método do espraiamento e a teoria da elasticidade. Essas 
tensões produzidas por cargas aplicadas na superfície de um maciço terroso são 
calculadas, ou melhor, avaliadas, na hipótese de um maciço semi-infinito, elástico, 
isótropo e homogêneo, conceitos, a rigor, obviamente os solos não obedecem. 
 
 
Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostraram que 
ao se aplicar uma carga na superfície de um terreno, numa área bem definida, temos: 
 
 Os acréscimos de tensão numa certa profundidade não se limitam à projeção da 
área carregada; nas laterais da área carregada ocorrem aumentos de tensão, que se 
somam às anteriores devidas ao peso próprio do solo. 
 
 Em virtude do aumento da área carregada, as tensões verticais diminuem com a 
profundidade. 
 
 
Figura 1 – Distribuição de tensões com a profundidade. 
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2.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES PELO MÉTODO DO 
ESPRAIAMENTO 
 
 
 
Uma prática corrente para estimar o valor das tensões a certa profundidade consiste 
em considerar que as tensões se espraiam segundo áreas crescentes, mas sempre se 
mantendo uniformemente distribuídas. 
 
 
A distribuição de tensões pela hipótese simples admite que a carga Q aplicada à 
superfície se distribui, em profundidade segundo um ângulo (ϕ0), chamado ângulo 
de espraiamento ou de propagação (Figura 2). 
 
 
 
Figura 2 – Distribuição de pressões pelo método do espraiamento. 
 
 
Kogler e Scheidig (1948) sugerem valores para o ângulo de espraiamento segundo a 
tabela abaixo: 
 
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Tipo de solo φ0
Solos muito moles < 40º
Areias puras (coesão nula) 40º a 45º
Argilas de coesão elevada (rijas e duras) 70º
Rochas > 70º 
 
 
Admitindo-se um ângulo de 30º, a tensão uniformemente distribuída atuante nesta 
área, que corresponde à carga total aplicada, vale: 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Este método, embora útil em certas circunstâncias, e mesmo adotado em alguns 
códigos de fundações em virtude de sua simplicidade, deve ser entendido como uma 
estimativa muito grosseira, pois as tensões numa certa profundidade não são 
uniformemente distribuídas, mas concentram-se na proximidade do eixo de 
simetria da área carregada, apresentando uma forma de sino, conforme visto na 
Figura 1. 
 0
0
'
2
'
2 2 30



 
 

v
v
F
A
L
L z tg
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2.2 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES PELA TEORIA DA ELASTICIDADE 
 
 
Em resumo, a teoria da elasticidade admite: 
 
a) material homogêneo (propriedades constantes na massa do solo); 
 
b) material isotrópico (em qualquer ponto, as propriedades são as mesmas, 
independente da direção considerada); 
 
c) material linear-elástico (tensão e deformação são proporcionais – lei de Hooke). 
 
 
Considerações a respeito da teoria da elasticidade: 
 
1 – O emprego da teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o 
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico, 
principalmente no que se refere à reversibilidade das deformações quando as tensões 
mudam de sentido (não elástico). Para que o comportamento linear-elástico seja 
válido, os acréscimos de tensão devem ser de pequena ordem (pequenas 
deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura do material 
resultando válida o Princípio da Superposição dos Efeitos. 
 
 
2 – As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos 
de tensões verticais que independem do módulo de elasticidade E (valor constante) e 
coeficiente de Poisson (v), visto as simplificações quanto à isotropia e principalmente 
homogeneidade. Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos 
por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único 
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material apresentam tendência natural a valores de módulos de elasticidade 
crescentes com profundidade – necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de 
soluções numéricas (métodos computacionais). 
 
 
3 – Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as 
soluções aqui apresentadas ainda tem sido empregadas mesmo para solos não 
homogêneos.A justificativa para tal é o fato de conduzirem a resultados com 
razoável aproximação as medições experimentais. 
 
 
4 – O solo é em muitos casos anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. 
Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém a 
constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão 
da área carregada. 
 
 
5 – Na prática, as soluções usadas mais frequentemente são aquelas para a tensão 
vertical em um ponto abaixo de uma área carregada sobre a superfície de uma massa 
de solo. O incremento da tensão vertical em um determinado ponto abaixo da 
superfície em consequência do carregamento das fundações não sofre 
influência de uma quantidade relativamente grande de características do solo 
como heterogeneidade, anisotropia e não linearidade da relação tensão-deformação 
(R. F. Craig). Consequentemente, as soluções da teoria linear elástica, nas quais se 
admite que o solo seja homogêneo e isotrópico, são suficientemente precisas para 
a maioria dos casos. As principais exceções são areias fofas e argilas moles, 
particularmente onde elas estão sobrepostas por um estrado relativamente denso ou 
rijo. Deve-se verificar, entretanto, que os incrementos de tensões horizontais e de 
tensões cisalhantes são relativamente sensíveis às características dos solos. A 
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insensibilidade do incremento de tensão vertical depende se admitir uma distribuição 
uniforme de pressões, como seria o caso de uma fundação flexível. No caso de uma 
fundação rígida, a pressão de contato não é uniforme, e sua distribuição exata 
depende das características do solo. As soluções de deslocamentos da teoria 
elástica podem ser usadas em níveis relativamente baixos de tensões. 
 
 
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SOLUÇÕES COM BASE NA TEORIA DA ELASTICIDADE 
 
Carga concentrada - Solução de Boussinesq 1885 (estudo inicial) 
 
 
Figura – Carga concentrada (Fonte: UFSM). 
 
As tensões de cisalhamento, neste caso, não são originadas pelo solo e sim pelas 
cargas externas. 
 
Requisitos para aplicabilidade da solução de Boussinesq (Barata, 1993): 
 
a) A resistência do solo deve ser constante ao longo da profundidade (E = módulo 
de elasticidade). Nas argilas (solos coesivos) esse aspecto é mais viável. Nas areias 
(solos não coesivos), menos viável; 
 
c) Solos muito heterogêneos (com presença de camadas de origem, constituição e 
resistência muito diferentes) afastam-se muito do material de Boussinesq. Usar a 
solução de Westergaard; 
 
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d) Somente cargas na superfície. Cargas abaixo da superfície - teoria de Mindlin; 
 
f) A solução de Boussinesq é para carga concentrada que na prática não ocorre nas 
fundações reais. 
 
 
Partindo da solução de Boussinesq, vários outros autores resolveram, por integração, 
problemas como os apresentados na figura abaixo, isto é, carregamento linear e carga 
distribuída retangular ou com formas diversas (triangulares, trapezoidais, etc.). 
 
 
Figura - Soluções teóricas de distribuição de pressões no terreno obtidas para vários 
tipos de carregamento, a partir da integração da solução de Boussinesq (fonte: J. A. 
R. Ortigão). 
 
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Bulbo de tensões 
 
Unindo-se os pontos no interior do subsolo em que os acréscimos de tensão 
são de mesmo valor (mesmo percentual da tensão aplicada na superfície), obtêm-se 
linhas que são chamadas isóbaras. A Figura 2 formada pelo conjunto de isóbaras 
denomina-se bulbo de tensões. 
 
. 
Figura 2 – Bulbo de tensões para carga concentrada. 
 
É possível traçar um número infinito de isóbaras desse tipo, cada qual 
correspondendo a uma tensão. Para efeitos práticos, considera-se que valores 
menores que (0,1 σ0) não têm efeito na deformabilidade do solo de fundação. 
E, portanto, a isóbara 0,1 σ0 limitaria a zona do solo sujeita a deformações. 
 
Aplicações práticas do conceito de bulbo de tensões (Barata, 1993) 
 
Pelos resultados experimentais, podemos compreender que, quanto maiores às 
dimensões da fundação, maiores serão as tensões a uma dada profundidade, ou, em 
outras palavras, quanto maiores às dimensões da placa carregada, maior a 
massa de terra afetada pelo bulbo de pressões. 
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Inicialmente, convém saber que o bulbo de pressões atinge uma profundidade zo = 
α.B, conforme está representada na Figura 3, sendo B a largura (menor dimensão) 
da área carregada e α um fator que depende da forma desta área (tabela da mesma 
figura). Para o caso da base abaixo da superfície, os valores de α serão menores que 
os da tabela, deles não diferindo substancialmente. Em solos arenosos os valores 
da tabela deverão ser acrescidos de aproximadamente 20%. 
 
 
Figura 3 – Aplicação do bulbo de tensões para solos argilosos. 
 
Exemplo: Num terreno como visto na figura abaixo, é interessante observar a 
diferença entre os efeitos de uma pequena construção (área quadrada de 4,5 x 4,5 m2) 
e os de uma construção maior (área quadrada de 10 x 10 m2). 
 
 
O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia, ou seja, 
praticamente não provocaria recalques sensíveis; o bulbo da grande construção, por 
outro lado, influenciaria a camada de argila mole (pressão no topo seria de 30% de 
P0), acarretando adensamento e recalques consequentes. 
 
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Fonte: (Livro Caputo, volume 3) 
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 Carga ao longo de uma linha de extensão infinita - Solução de Melan (1932) 
 
A partir das expressões de Boussinesq para carga concentrada, usando o princípio 
da superposição e por meio de integração em linha. 
 
 
 
Ou: 
 
42 q' v cos
z
 

  2 2
z
arc cos
z x

 
  
 
 
 
 
π 
π
π 
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Carga uniforme sobre uma faixa flexível de carregamento vertical e 
comprimento infinito – Solução de Carothers-Terzaghi 
 
 
A equação fundamental para o aumento da tensão vertical em um ponto da massa de 
solo, como resultado de uma carga de linha, pode ser utilizada para determinar a 
tensão vertical em um ponto causado por uma faixa de carga flexível de largura B. 
Se considerarmos uma faixa elementar de comprimento dr, a carga por comprimento 
específico desta faixa pode ser tratada como uma carga de linha. O aumento da 
tensão vertical no ponto causado pela faixa de carga completa de comprimento B 
pode ser determinado pela integração com limites de -B/2 a +B/2. Para a seção 
transversal de uma fundação, pode ser admitido carregamento infinito sempre que o 
comprimento L e a largura total B satisfizerem a relação L ≥3B. 
 
 
 
 
Onde: 
 
α e β: em radianos; 
β: inclinação da bissetriz do ângulo com a vertical; 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2 2
v
h
hv
P
' sen cos
P
' sen cos
P
' sen sen
   

   

  

  
  
 
 
B 
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P: carga distribuída por unidade de área. 
 
 
O bulbo de pressões correspondentes a esse tipo de carregamento é apresentado na 
Figura seguinte, onde: 
 
b: semi-largura (B/2) 
z: profundidade vertical 
x: distância horizontal do centro 
Δqs = P carregamento 
Δσ1 = Δσ'v: acréscimo de tensão vertical efetiva 
Δσ3 = Δσ'h: acréscimo de tensão horizontal efetiva 
 
 
Para determinar as tensões induzidas obtém-se do ábaco o fator de influência(I). 
Valor este que multiplicado pelo carregamento na superfície, nos dará o acréscimo de 
tensão efetiva no ponto desejado, conforme as expressões: 
 
1
3
' v P I
' h P I


  
  
 
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Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular – 
Solução de Newmark 
 
A partir da proposta de Boussinesq, outras soluções foram obtidas para outros tipos 
de carregamentos. Newmark desenvolveu uma integração da equação de Boussinesq 
para o cálculo de carregamentos uniformemente distribuídos numa área retangular 
flexível. 
 
 
As tensões foram obtidas em pontos abaixo da vertical passando pelo vértice ou 
canto da área retangular. 
 
 
Verificou-se que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os 
lados da área e a profundidade fossem as mesmas. Definiu, então, as seguintes 
relações com os parâmetros m e n: 
 
b a
m e n
z z
  
 
 
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Em função destes parâmetros, a solução de Newmark se expressa pela equação: 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1
4 1 1 1


        
                    
v
q mn m n m n mn m n
' arctg
m n m n m n m n m n 
 
A expressão acima só está reproduzida aqui para mostrar como as soluções da 
teoria da elasticidade são muito trabalhosas. Mas se considerarmos que a tensão 
num ponto qualquer é função só dos paramentos m e n, toda a expressão entre 
chaves pode ser tabelada, de forma que se tem: 
 
  v' q I 
 
sendo I um coeficiente de influência que depende só de m e n e que se encontra na 
tabela abaixo e no ábaco de Newmark: 
 
 
 
 
 
 
 
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Ábaco de Newmark 
VALORES DE "I" EM FUNÇÃO DE 'm' e 'n' PARA A EQUAÇÃO DE NEWMARK
n = a/z ou m = b/z
n ou m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,1 0,005 0,009 0,013 0,017 0,02 0,022 0,24 0,026 0,027
0,2 0,009 0,018 0,026 0,033 0,039 0,043 0,047 0,05 0,053
0,3 0,013 0,026 0,037 0,047 0,056 0,063 0,069 0,073 0,077
0,4 0,017 0,033 0,047 0,06 0,071 0,08 0,087 0,093 0,098
0,5 0,02 0,039 0,056 0,071 0,084 0,095 0,103 0,11 0,116
0,6 0,022 0,043 0,063 0,08 0,095 0,107 0,117 0,125 0,131
0,7 0,024 0,047 0,069 0,087 0,103 0,117 0,128 0,137 0,144
0,8 0,026 0,05 0,073 0,093 0,11 0,125 0,137 0,146 0,154
0,9 0,027 0,053 0,077 0,098 0,116 0,131 0,144 0,154 0,162
1 0,028 0,055 0,079 0,101 0,12 0,136 0,149 0,16 0,168
1,2 0,029 0,057 0,083 0,106 0,126 0,143 0,157 0,168 0,178
1,5 0,03 0,059 0,086 0,11 0,131 0,149 0,164 0,176 0,186
2 0,031 0,061 0,089 0,113 0,135 0,153 0,169 0,181 0,192
2,5 0,031 0,062 0,09 0,115 0,137 0,155 0,17 0,183 0,194
3 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,171 0,184 0,195
5 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
10 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
∞ 0,032 0,062 0,09 0,115 0,137 0,156 0,172 0,185 0,196
n ou m 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0 10,0 ∞
0,1 0,028 0,029 0,03 0,031 0,031 0,032 0,032 0,032 0,032
0,2 0,055 0,057 0,059 0,061 0,062 0,062 0,062 0,062 0,062
0,3 0,079 0,083 0,086 0,089 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09
0,4 0,101 0,106 0,11 0,113 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115
0,5 0,12 0,126 0,131 0,135 0,137 0,137 0,137 0,137 0,137
0,6 0,136 0,143 0,149 0,153 0,155 0,156 0,156 0,156 0,156
0,7 0,149 0,157 0,164 0,169 0,17 0,171 0,172 0,172 0,172
0,8 0,16 0,168 0,176 0,181 0,183 0,184 0,185 0,185 0,185
0,9 0,168 0,178 0,186 0,192 0,194 0,195 0,196 0,196 0,196
1 0,175 0,185 0,193 0,2 0,202 0,203 0,204 0,205 0,205
1,2 0,185 0,196 0,205 0,212 0,215 0,216 0,217 0,218 0,218
1,5 0,193 0,205 0,215 0,223 0,226 0,228 0,229 0,23 0,23
2 0,2 0,212 0,223 0,232 0,236 0,238 0,239 0,24 0,24
2,5 0,202 0,215 0,226 0,236 0,24 0,242 0,244 0,244 0,244
3 0,203 0,216 0,228 0,238 0,242 0,244 0,246 0,247 0,247
5 0,204 0,217 0,229 0,239 0,244 0,246 0,249 0,249 0,249
10 0,205 0,218 0,23 0,24 0,244 0,247 0,249 0,25 0,25
∞ 0,205 0,218 0,23 0,24 0,244 0,247 0,249 0,25 0,25
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Gráfico de Newmark 
 
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Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro ponto que não abaixo da 
aresta da área retangular, divide-se a área carregada em retângulos com uma aresta na 
posição do ponto considerado. 
 
 
No caso do ponto no interior da área, como o ponto P no caso (a) da Figura abaixo, 
a ação de Δσ’v da área ABCD é a soma das ações de cada uma das áreas AJPM, 
BKPJ, DLPK, e CMPL. 
 
 
No caso de ponto externo, como o ponto P na situação (b), considera-se a ação da 
área PKDM, subtraem-se os efeitos dos retângulos PKBL e PJCM e soma-se o efeito 
do retângulo PJAL, porque esta área foi subtraída duas vezes nos retângulos 
anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
C D 
A 
 
B J 
L 
P K M 
caso (a) 
A 
C 
D 
 
B 
J 
L 
L 
P 
M 
K 
caso (b) 
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Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular – 
Solução de Steinbrenner 
 
 
Se a pressão é P uniformemente distribuída sobre uma área retangular de dimensões 
a e b (a>b), a tensão σz a uma profundidade z, na vertical de um dos vértices do 
retângulo é dada pela fórmula: 
 
 
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
z
P b a( a b ) az( R z ) bz a( R z )
' arctg
z ( a b )( R z ) z( R z ) b z ( a z )R


      
     
        
 
 
Onde: 
2 2 2R a b z   
 
 
Conforme solução obtida em 1934 por Steinbrenner. A Figura seguinte nos dá a 
solução gráfica desta equação com valores do coeficiente de influencia (I) dado em 
função de a/b e z/b. O mesmo gráfico pode ser utilizado para calcular as tensões sob 
outros pontos situados no interior ou no exterior da projeção do retângulo, bastando 
superpor os efeitos de vários retângulos parciais. 
 
 
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Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular - (tanques, 
depósitos cilíndricos, fundações de chaminés e torres) – Solução de Love 
 
 
As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada, na vertical que 
passa pelo centro da placa, podem ser calculadas por meio da integração da 
equação de Boussinesq, para toda área circular. Esta integração foi realizada por 
Love, e na Figura abaixo têm-se as características geométricas da área carregada. O 
acréscimo de tensão efetiva vertical induzido no ponto A, situado a uma 
profundidade z é dada pela expressão: 
 
 
 
' v P.I  
 
 
Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa, o acréscimo 
de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco seguinte, que fornece 
isóbaras de 
 v'
P , em função do afastamento e da profundidade relativa x/R e z/R, 
respectivamente. 
 
Onde: 
R = raio da área carregada; 
z = distância vertical; 
x = distância horizontal a partir do centro da área carregada; 
P = Δqs = carregamento uniforme distribuído. 
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Carregamento trapezoidal infinito – Solução de Osterberg 
 
 
Possui grande aplicação na estimativa de tensões induzidas no interior de massa de 
solo por aterros, barragens, etc. 
 
 
Gráfico de Osterberg - determina o acréscimo de tensão vertical (Δσ‘v) devido a 
uma carga em forma de trapézio de comprimento infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
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Ábaco de Osterberg 
 
 
 
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 Carregamento triangular infinito – Solução de Carothers 
 
Gráfico de Carothers - determina a tensão vertical e horizontal (Δσ1 = Δσ‘v, Δσ3 = 
Δσ‘h) devido a uma carga em forma de triângulo isósceles de comprimento infinito. 
 
 
 
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Ábaco de Carothers 
 
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Carregamento triangular finito – Solução de Fadum 
 
 
Gráfico de Fadum - determina a tensão vertical (Δσ‘v) sob um carregamento 
triangular de comprimento finito. 
 
 
 
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Ábaco de Fadum 
 
 
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Transmissão de carga por uma estaca (Solução de Mindlin e Antunes 
Martins) 
 
 
As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao 
longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-
infinita. 
 
 
Mindlin (1936) - parcela de acréscimo de tensão transmitida pela ponta da estaca. 
 
  p p
P
' v K
c2
 
 
Pp - parcela da carga transmitida pela ponta da estaca 
Kp - coeficiente de influência (ábaco lado direito) 
c – comprimento da estaca 
 
Antunes Martins (1945) - parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste 
admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento da estaca. 
 
  a a
P
' v K
c2
 
 
Pa - parcela da carga transmitida pelo fuste; 
Ka - coeficiente de influência (ábaco lado esquerdo). 
c – comprimento da estaca 
 
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Carregamento qualquer (Solução de Newmark) 
 
 
O gráfico circular de Newmark é baseado na equação de Love: 
 
 
 
 
A Figura seguinte apresenta a construção gráfica de Newmark que atribui valores 
para I e calcula-se o raio da placa necessário para produzir o acréscimo de pressões à 
profundidade z. 
 
 
1 – Escala da edificação 1:z, sendo z a profundidade considerada. 
 
2 – Serão lançados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do 
centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30% ... 
da carga total. 
 
3 – Lançar os raios dos círculos concêntricos fazendo ∆σ’v/P = 0,1 (10%), na fórmula 
de Love, temos: R/z = 0,27 → R = 0,27.z e assim sucessivamente. 
 
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4 – O círculo é construído dividindo-se em partes iguais, em geral 20 partes, assim: 
I = 0,1/20 → I = 0,005 (fator de influência) ou 360º/20 = 18º para cada setor. 
 
 
5 – Desenha-se a planta da edificação na mesma escala em que o ábaco foi 
construído, escala 1:z. 
 
6 – Coloca-se o ponto desejado da edificação no centro do ábaco. 
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7 – Contam-se o número de semi-quadrados que foram ocupados pela planta (N). 
 
O acréscimo de tensão vertical na profundidade z será: 
 
' v P N I    
 
 
Onde: 
 
P = carregamento externo 
N = número de fatores de influência (semi-quadrados) 
I = unidade de influência (0,005); pode ser alterado para melhor refinamento 
 
 
 
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EXERCÍCIOS - TENSÕES GEOSTÁTICAS 
 
Exercício 1 
Traçar o diagrama das pressões totais, efetivas e neutras relativo ao perfil geotécnico: 
 
R: 0,0 kPa; 30 kPa; 47 kPa; 69,5 kPa; 95,75 kPa; 0,0 kPa; 0,0 kPa; 10 kPa; 25 kPa; 40 
kPa; 0,0 kPa; 30 kPa; 37 kPa; 44,5 kPa; 55,75 kPa. 
 
Exercício 2 
Traçar o diagrama das pressões totais, efetivas e neutras relativo ao perfil geotécnico: 
 
 
γd = 15 kN/m3 
γsat = 17 kN/m3 
γsat = 15 kN/m3 
γsat = 17,5 kN/m3 
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R: 0,0 kPa; 54,6 kPa; 146,1 kPa; 282,9 kPa; 0,0 kPa; 24,6 kPa; 66,1 kPa; 142,9 kPa; 0,0 
kPa; 30 kPa; 80 kPa; 140 kPa. 
 
g w
g w
sat ( n ) . n .
e e
sat
e e
  
  
  
    
           
1
1
1 1
 

 

g
d
e1
 


    
g
w
w e
S S % w
e G
100 
 
Exercício 3 
Determinar, no perfil abaixo, a cota ou profundidade em que teremos σ’v = 77,7 
kPa.: 
 
R: z = 5,14 m. 
 
D 
E 
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Exercício 4 
Dado o perfil geotécnico abaixo, traçar o diagrama das pressões totais, efetivas e 
neutras. 
 
R: 0,0 kPa; 58,2 kPa; 127,8 kPa; 246,8 kPa; 267,3 kPa; 0,0 kPa; 0,0 kPa; 40 kPa; 90 
kPa; 100 kPa; 0,0 kPa; 58,2 kPa; 87,8 kPa; 156,8 kPa; 167,3 kPa. 
 
Exercício 5 
Determinar para o perfil abaixo, as cotas em que se tem: 
a) σv0 = 170,4 kPa 
b) u0 = 57,5 kPa 
c) σ’v0 = 88,3 kPa 
 
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R: cota para σv0 = 170,4 kPa – z’ = - 9,5 m; cota para u0 = 57,5 kPa – z’ = - 5,75 m; 
cota para σ'v0 = 88,3 kPa - z’ = - 10,92 m. 
 
Exercício 6 
Aterros de extensão infinita: aterros em grandes áreas podem ser considerados como 
uma nova camada de solo no cálculo das tensões decorrentes, calculadas como se 
geostáticas. 
 
Rebaixamento de lençol freático: técnica construtiva comumente utilizada em obras 
de escavações, modifica o estado de tensões no terreno. 
 
Considerando as situações acima, para o perfil de subsolo abaixo, calcule as tensões 
totais, neutras e efetivas verticais até a cota de – 13 m, sendo: 
 
a) Nas condições atuais; 
 
b) Após drenagem permanente com rebaixamento do nível d'água até a cota – 4 
m, escavação de argila orgânica e lançamento de um aterro de grande extensão, 
com altura de 5 m e peso específico de 18 kN/m3 (até a cota + 2,0 m). Cotas 
em metros. 
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R: a) 0,0 kPa; 52 kPa; 130 kPa; 231,64 kPa; 0,0 kPa; 40 kPa; 80 kPa; 140 kPa; 0,0 kPa; 
12 kPa; 50 kPa; 91,6 kPa. b) 0,0 kPa; 90 kPa; 108,67 kPa; 167,17 kPa; 268, 87 kPa; 0,0 
kPa; 0,0 kPa; 0,0 kPa; 30 kPa; 90 kPa; 0,0 kPa; 90 kPa; 108,67 kPa; 137, 17 kPa; 
178,87 kPa. 
 
 
 
 
γsat=13 kN/m3 
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Exercício 7 (Ex. 9.5 Braja) 
Consulte o perfil do solo abaixo: 
 
a. Calculo as variações de tensões totais, neutras e efetivas nos pontos A, B e C. 
 
b. Quantos metros o lençol freático deve aumentar para que a tensão efetiva em C 
seja 220 kN/m2. 
 
 
 
Fonte: Braja 
 
 
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Exercício 8 (Ex. 9.2 Braja) 
 
Consulte o perfil do solo abaixo. A quantos metros de altura o lençol freático deve 
aumentar para que a tensão efetiva em C seja de 190 kN/m2. Suponha que γsat seja 
o mesmo para as duas camadas, ou seja, 19,25 kN/m2. 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS - TENSÕES NOS SOLOS POR CARGAS EXTERNAS 
 
Exercício 1 
 
Para o perfil geotécnico abaixo, determine: 
a) o acréscimo de tensão vertical para um depósito circular nas profundidades 
indicadas; 
b) a tensão efetiva final aos 7,5 m e aos 90 m de profundidade. 
 
Fonte: UFSM 
 
R: a) 24,21 kPa; 20,73 kPa; 16,16 kPa; 12,12 kPa; 7,11 kPa; 4,48 kPa; 3,03 kPa; 2,17 
kPa. b) 39,21 kPa; 182,7 kPa. 
 
Exercício 2Calcular o acréscimo de tensão produzido por uma carga pontual de 1500 tf a um 
ponto situado a 5,00 m de profundidade afastado de 5,30 m da aplicação da carga. 
R: 4,38 tf/m2. 
 
Exercício 3 
Calcular o acréscimo de tensão vertical devido a uma carga circular de raio 5,00 m 
com carga superficial de 100 kPa a pontos situados a 5,00 m de profundidade até a 
profundidade máxima de 20 m, afastado a 6,00 m do centro da placa. 
R: 100 kPa; 23 kPa; 17 kPa; 11 kPa; 6 kPa. 
 
γ = 2,0 t/m3 
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Exercício 4 
Calcular o acréscimo de tensão vertical produzida por uma placa carregada com carga 
de 78 kPa a um ponto situado a 5,00 m de profundidade abaixo do ponto O, 
indicado na figura, sabendo-se que a1 = 3,00 m, a2 = 4,00 m, b1 = 1,00 m, b2 = 2,00 
m. 
R: 20, 74 kPa. 
 
Fonte: UFSM 
 
Exercício 5 
Dada a situação da planta abaixo, calcule o acréscimo de tensão devido a sapata 
carregada com 480 kPa a 5,00 m de profundidade no ponto A. 
R: 20,16 kPa. 
 
Fonte: UFSM 
 
Exercício 6 
Dada a placa circular em forma de anel, carregada com 100 kPa, calcular o acréscimo 
de tensão nos pontos A, B, C e D situados a 2,5 m de profundidade, conforme 
O 
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solução geral Newmark (AutoCAD) comparando-se aos valores determinados para o 
acréscimo de tensões pela fórmula de Love, considerando superposição de efeitos. 
R: Ponto A ~ 40 kPa. Ponto B ~ 37,5 kPa. Ponto C ~ 24,5 kPa. Ponto D ~ 8,5 kPa. 
 
 
Fonte: UFSM 
 
Exercício 7 
Determinar a variação de pressão à profundidade de 4,0 m provocada por uma placa 
circular com 8,0 m de diâmetro, carregada com 724 tf, conforme indicada no 
esquema abaixo e traçar o respectivo diagrama. 
 
R: Ponto A = 9,3 tf/m2; Ponto B = 8,35 tf/m2; Ponto C = 4,89 tf/m2; Ponto D = 
0,57 tf/m2; Ponto E = 0,14 tf/m2. 
 
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Exercício 8 
Calcular o acréscimo de pressão sob os pontos A, B, C e D abaixo indicados devido à 
construção do aterro dado e traçar o respectivo diagrama. 
R: Ponto A: 52,8 kPa; Ponto B: 48,18 kPa; Ponto C: 37,62 kPa; Ponto D: 31,02 kPa; 
 
Fonte: UFSM 
 
Exercício 9 
Três pilares afastados 6,0 m de eixo a eixo, transmitem as cargas indicadas no perfil 
abaixo. Considerando as cargas puntiformes, calcular o acréscimo de tensão 
transmitido no meio da camada de argila sob o pilar P1. 
R: 1,43 tf/m2; 0,1 tf/m2; 0,0075 tf/m2. 
 
Fonte: UFSM 
P2 = 
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Exercício 10 
Calcular a pressão vertical nos pontos A, B e C, abaixo indicados devido a uma estaca 
carregada com 500 kN, sendo que 350 kN são transmitidos pela ponta da estaca e 
150 kN pelo seu atrito lateral. (Solução de Mindlin e Antunes Martins). 
 
 
R: Ponto A: 7,78 kPa + 0,67; Ponto B: 1,24 kPa + 0,4 kPa; Ponto C: 0,15 kPa + 0,09 
kPa. 
Exercício 11 
Uma fundação superficial quadrada com 2,00 m de lado, perfeitamente flexível, 
transmite a um maciço de solo homogêneo e isotrópico o carregamento uniforme 
200 kN/m2. Comparar a distribuição dos acréscimos de tensão vertical Δσ'v sob o 
centro da fundação 'c' para o caso do carregamento uniforme e para o caso de uma 
carga pontual equivalente. Determinar os acréscimos de tensão na profundidade total 
de 3,00 m variando de 50 cm. Estimar além de qual profundidade os erros entre estas 
distribuições são inferiores a 0,1Δq. 
R: z = 2,5 m. 
 
 
 
c = 15 m 
z = 20 m 
x = 5 m 
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Exercício 12 
Uma carga concentrada de 30 t é aplicada à superfície do solo. Calcule a pressão 
vertical em um ponto de coordenadas x = 1,50 m, y = 2,10 m e z = 1,10 m. O ponto 
de aplicação de carga coincide com a origem de referência. (Figura seguinte). 
R: 0,11 tf/m2. 
 
 Fonte: Livro Caputo, volume 2 
 
 
Exercício 13 
Traçar o diagrama das pressões ao longo do eixo de uma carga de 130 tf, aplicada na 
superfície do terreno. Calcular as pressões nas profundidades de 2, 4, 6, 8, e 10 m. 
R: 15,5 tf/m2; 3,9 tf/m2; 1,7 tf/m2; 0,9 tf/m2; 0,6 tf/m2. 
 
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 Fonte: Livro Caputo, volume 2 
 
Exercício 14 
Uma área de 10 x 10 m sobre a superfície do terreno é carregada por uma pressão 
uniforme de 1,0 kg/cm2. A que profundidade sob o centro da superfície carregada, o 
acréscimo de pressão será de 0,1 kg/cm2? Utilize a fórmula de Boussinesq. 
R: z ≈ 21,9 m. 
 
Exercício 15 
Uma carga concentrada de 8 tf é aplicada sobre a superfície do solo. Calcule a 
pressão vertical em um ponto de coordenadas x = 1,20 m, y = 1,80 m e z = 0,90 m 
conforme figura seguinte. 
R: 0,04 tf/m2 
 
Fonte: Livro Caputo, volume 2 
 
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Exercício 16 
Na superfície de um maciço terroso e em três pontos colineares e espaçados de 2,0 
m, atuam cargas de 64 tf, 16 tf e 20 tf, nesta ordem. Pela fórmula de Boussinesq, 
calcule as pressões resultantes nas verticais das cargas, na profundidade de 1,0 m. 
R: Ponto 1: 30,7 tf/m2; 8,2 tf/m2; 9,7 tf/m2. 
 
 
Fonte: Livro Caputo, volume 2 
 
Exercício 17 
Uma carga de 6 480 tf está uniformemente distribuída sobre uma placa de 12 x 18 m. 
Determine, utilizando o ábaco de Steinbrenner, para a profundidade de 5 m, as 
pressões nas verticais dos pontos 1, 2, 3 e 4. 
R: Ponto 1: 24 tf/m2; Ponto 2: 12,6 tf/m2; Ponto 3: 13,8 tf/m2; Ponto 4: 6,9 tf/m2. 
 
 
Fonte: Livro Caputo, volume 2 
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Exercício 18 
Foi projetada a construção de um aterro rodoviário com 20 m de largura e 2 m de 
altura. Admitindo que este aterro transmita ao terreno uma pressão uniformemente 
distribuída de 35 kPa, ao longo de uma faixa de 20 m de largura e comprimento 
infinito, determine os acréscimos de tensão a 5 m de profundidade, segundo a seção 
transversal. Os resultados indicam o diagrama de pressões apresentados na figura. Os 
acréscimos de tensão podem ser determinados pelo método de Newmark 
considerando extensão infinita. 
R: 16,8 kPa; 15,8 kPa; 8,7 kPa; 1,54 kPa; 0,35 kPa. 
 
 
Fonte: Livros Carlos de Sousa Pinto 
 
 
Exercício 19 
Um tanque metálico circular, com 14 m de diâmetro, foi construído com fundação 
direta, na superfície, num terreno plano e horizontal, para estocagem de combustível. 
O tanque deverá transmitir ao terreno uma pressão de 50 kPa. Para a previsão de 
eventuais recalques, desejam-se conhecer os acréscimos de tensão a 3, 5 e 7 m de 
profundidade, no centro e na periferia do tanque. 
R: Centro: 46,9 kPa; 40,2 kPa; 32,3 kPa. Periferia: 20,5 kPa; 19 kPa; 17 kPa. 
 
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FÓRMULAS DE CORRELAÇÃO - ÍNDICES FÍSICOS 
 
nat 
0 < S < 100% 
sat 
S = 100% 
d 
S = 0% 
sub 
S = 100% s S e n w 
Peso específico 
natural 
Peso específico saturado 
Peso 
específico 
seco 
Peso específico 
submerso 
Peso 
específico 
dos sólidos 
Grau de 
saturação 
Índice de 
vazios 
Porosidade Teor de umidade 
e
eS wrs


1

 
e
e ws


1

 
 
   
   
   
s w
e e
1 - γ + γ
1+ e 1+ e
 
 
e
s
1

 
e
ws


1

  ed 1 
w
s
e
w


 1
d
s


 
e
e
1
 
s
wr eS


 
 nS wrss    nwss     sn 1   wsn  1 
n
d
1

 
w
sw
n
n

1
 
n
n
1
 
s
d


1 
  s
wr
n
nS


1
 
 wd 1 
 
e
ws


1
1
 - 
 
e
ws


1
1
 
w
eS wr   dsw
ds w



 
wr
s
S
w


 
wS
w
swr
s



 
 
ds
dswrS

 Obs.: a) Nas fórmulas acima, os pesos específicos podem ser substituídos pelas respectivas massas específicas. 
b) Caso haja necessidade, podem ser adotados os seguintes valores: 
w = 10,0 kN/m3 (peso específico da água) 
25,0 kN/m3 < s < 30,0 kN/m3 (peso específico dos sólidos) 
g = 10,0 m/s2 (aceleração da gravidade) 
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Fontes de consulta: 
 
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literatura técnica, ou quaisquer outros trabalhos, como apostilas ou artigos de outras 
instituições. Pelo contrário, as citações são explícitas, e remetemos às fontes originais, 
principalmente no caso de normas técnicas. Nossa obrigação é ensinar, formar e 
informar. Por isso, onde algumas simplificações são introduzidas, queremos induzir o 
aluno a pensar e criticar, para que as ciências do solo continuem, por meio dele, a 
evoluir, e com rapidez. Quaisquer sugestões, críticas, ou correções e omissões e erros 
cometidos, será recebida com humildade e respeito.