Lei de Gauss e suas aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos principais conceitos e aplicações fundamentais da Eletrostática
para distribuições contínuas de cargas elétricas, Lei de Gauss e suas aplicações
na moderna teoria eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Generalizar os conceitos e aplicações de campo elétrico e potencial elétrico para
distribuições contínuas de cargas, por meio da Lei de Coulomb e da Lei de
Gauss, com aplicações diretas na obtenção de potenciais elétricos e
capacitâncias de sistemas eletrostáticos.
Processing math: 100%
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da
Álgebra Vetorial e do Cálculo Diferencial e Integral. Também será útil ter em
mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
MÓDULO 3
Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 4Processing math: 100%
Calcular a capacitância
INTRODUÇÃO
A Eletrodinâmica Clássica é a interação fundamental com que experimentamos e
observamos a natureza do universo. Nossa ciência e tecnologia necessitam
desses conhecimentos para continuar progredindo. Vamos generalizar e
aprofundar o tema da Eletrostática para distribuições contínuas de cargas
elétricas, compreender uma das leis fundamentais da natureza, a Lei de Gauss,
e aplicar esses conhecimentos a alguns de seus subprodutos, o cálculo de
potenciais elétricos e capacitâncias: o início da tecnologia elétrica. Bons estudos!
MÓDULO 1
 Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES
Processing math: 100%
INTRODUÇÃO
A Eletrostática não se limita ao estudo dos princípios e fenômenos de cargas e
campos elétricos de distribuições discretas de cargas. Na verdade, podemos
generalizar esses conceitos para fenômenos nos quais as cargas elétricas estão
continuamente distribuídas, formando um continuum de cargas elétricas e seus
campos. Certamente, as cargas elétricas são discretizadas, individuais, como
sabemos da Física Microscópica, mas vamos considerar que tenhamos tantas
cargas elétricas e tão próximas, umas das outras, que possamos considerá-las
distribuídas continuamente.
 VOCÊ SABIA
Pense na circunstância de um fluido. Sabemos que um corpo fluídico é composto
por moléculas que podem ser individualizadas, mas no conjunto formam uma
substância fluídica.
Então, vamos utilizar essa aproximação e tratar de conjuntos contínuos de
cargas elétricas, nos quais não mais individualizaremos as cargas elétricas de
partículas, mas de corpos elétricos carregados por cargas elétricas distribuídas
Processing math: 100%
formando um continuum de cargas, isto é, distribuições contínuas de cargas
elétricas e suas densidades de cargas, que já vamos definir.
 
Fonte: James Kirkikis/Shutterstock
Para distribuições de cargas elétricas discretas, definimos o campo eletrostático,
por meio da Lei de Coulomb e do princípio de superposição, em que o campo
resultante, medido em certo ponto P, é o somatório dos campos de cada carga
fonte individualizada.
→
E(R) ≡
1
4Π∈0
∑ NI = 1
QI
R2I
R̂I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas se as cargas elétricas formarem um continuum de cargas, precisaremos
alterar nossa definição de campo elétrico, na qual substituiremos o somatório,
que indica a discretização das cargas e posições destas, por uma integral, que
indica um continuum de elementos de carga e funções contínuas de posição.Processing math: 100%
javascript:void(0)
DISCRETIZAÇÃO
Ato ou efeito de discretizar ou de transformar uma distribuição contínua em
unidades individuais.
→
E(R) =
1
4Π∈0
∫
1
R2
R̂DQ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os elementos de carga elétrica, dq, são usualmente definidos em termos de
densidades de cargas elétricas. Na equação acima, r indica a distância de cada
elemento de carga dq ao ponto de medida do campo, e r̂ é o vetor unitário
direcional de cada elemento de carga ao mesmo ponto de medida do campo, não
sendo, portanto, um vetor unitário constante, e assim devem ser considerados na
integração.
DEMONSTRAÇÃO
Para demonstrar como se processa o cálculo do campo eletrostático para
distribuições contínuas de cargas elétricas, precisamos demonstrar como definir
o que são densidades de cargas elétricas e seu campo elétrico associado.
Processing math: 100%
DENSIDADES DE CARGAS
ELÉTRICAS
Os materiais elétricos, ou eletrizáveis, podem conter cargas elétricas
distribuídas de três formas distintas: linearmente, superficialmente ou
volumetricamente. Essencialmente, será a relação da carga do material, em
uma região delimitada do espaço com simetria linear, superficial ou volumétrica,
com sua geometria.
I - DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ :
dq = λ dl → λ = 
dq
dl
II - DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS Σ:
dq = σ dA → σ = 
dq
dA
III - DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS 
Ρ:
dq = ρ dV → ρ = 
dq
dV
Em que dl é o elemento de comprimento ao longo de uma linha, dA é o elemento
de área de uma superfície e dV é o elemento de volume.
Assim, sempre que tivermos um material carregado num continuum de cargas,
para cada simetria de um problema e sua densidade de cargas, teremos uma
configuração do campo eletrostático. Devemos atentar para o fato de que as
cargas são estáticas e conservadas, ou seja, dizemos que a totalidade das
cargas elétricas com que lidamos na Eletrostática é estacionária.
Processing math: 100%
CAMPO ELETROSTÁTICO PARA
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE
CARGAS ELÉTRICAS (LEI DE
COULOMB)
A) 
→
E(R) PARA DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE
CARGAS:
 
B) 
→
E(R) PARA DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS
DE CARGAS:
 
C) 
→
E(R) PARA DISTRIBUIÇÕES
VOLUMÉTRICAS DE CARGAS:Processing math: 100%
 
Ainda vamos definir os conceitos de materiais condutores.
 COMENTÁRIO
Os materiais carregados podem possuir diferentes densidades de cargas em
suas geometrias, definidas por regiões de carga, mas para este tema, vamos
aplicar a problemas com densidades de cargas constantes ou de funções
simples.
Em quaisquer das situações de simetrias e geometrias, é usualmente
conveniente trabalhar com elementos de campo elétrico e, ao final, integrá-los
para o campo resultante:
→
E(R) = ∫D
→
E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
MÃO NA MASSAProcessing math: 100%
1. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO
P, SOBRE A MEDIATRIZ DE UM SEGUIMENTO DE RETA
UNIFORMEMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE LINEAR
DE CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L.
A) 
→
E(y) =
2kλ
y 
L
√L2 + x2
 ĵ
B) 
→
E(y) =
2kλ
y 
y
√r2 + y2
 ĵ
C) 
→
E(y) =
2kλ
x2
 
L
√L2 + y2
 î
D) 
→
E(y) =
2kλ
y 
L
√L2 + y2
 ĵ
2. CONSIDERE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE
CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X, COM DENSIDADE
LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L. MAS
DIFERENTEMENTE DO PROBLEMA ANTERIOR, CALCULE O
CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, AO LONGO
DO EIXO DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO
SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO CORPO
CARREGADO, E O COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE P0
, ESTÁ DELIMITADO PELOS ÂNGULOS Θ1< Θ2.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Processing math: 100%
A) 
→
E =
k λ
y cosθ2 - cosθ1 î + senθ2 - senθ1 ĵ 
B) 
→
E =
k λ
y2
senθ2 - senθ1 î + cosθ2 - cosθ1 ĵ
C) 
→
E =
k λ
y cosθ2 - senθ1 î + cosθ2 - senθ1 ĵ
D) 
→
E =
k λ
r2
cosθ2 - cosθ1 î + senθ2 - senθ1 ĵ
3. UM ANEL CIRCULAR FOI HOMOGENEAMENTE
CARREGADO, TEM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ,
CONSTANTE, CARGA TOTAL Q E RAIO R. CALCULE O CAMPO
ELÉTRICO RESULTANTE EM UM PONTO P AO LONGO DO SEU
EIXO AXIAL, Z.
A) 
→
E(p)=
k Q2
(R2+ z2)3/2
 r̂
B) 
→
E(p) =
k Q z
R2 + z2 3 / 2
 ẑ
C) 
→
E(p) =
k Q 
r2
 r̂
D) 
→
E(p) =
k Q R
R2 + z2
3
2
 ẑ
4. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM
DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE,
PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS
[( ) ( ) ]
[( ) ( ) ]
[( ) ( ) ]
[( ) ( ) ]
( )
( )
Processingmath: 100%
CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS ANÉIS VARIAR
DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO,
CALCULE O CAMPO ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM PONTO P
AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.
A) 
→
E(p) =
k Q z
R2 + z2
3 / 2
 ẑ
B) 
→
E(p) = 2 π k σ z 
1
R2 + z2
1 / 2
 ẑ
C) 
→
E(p) = 2 π k σ 
 1
z - 
1
R2 + z2
1 / 2
 ẑ
D) 
→
E(p) = 2 π k σ z 
 1
z - 
1
R2 + z2 1 / 2
 ẑ
5. CONSIDERE UMA CASCA ESFÉRICA, OCA, HOMOGÊNEA,
DE RAIO R, E SUPERFICIALMENTE CARREGADA COM UMA
DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE.
CALCULE, VIA LEI DE COULOMB, O SEU CAMPO ELÉTRICO
RESULTANTE EXTERNO À CASCA, COM R≥R.
A) 
→
E(p) =
k Q 
S2
 Ŝ
B) 
→
E(p) =
k Q 
R2
 r̂
C) 
→
E(p) =
k Q 
r2
 r̂
D) 
→
E(p) =
k Q 
r r̂
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Processing math: 100%
6. UM FIO HOMOGENEAMENTE CARREGADO TEM UMA
DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE E ESTÁ
ENCURVADO AO MODO DE UM ARCO CIRCULAR DE ÂNGULO
2Θ0 E RAIO R, SIMETRICAMENTE EM RELAÇÃO AO EIXO Y.
CALCULE A COMPONENTE, NÃO NULA, DE SEU CAMPO
ELÉTRICO, NO CENTRO DO ARCO, NA ORIGEM DO SISTEMA
COORDENADO XY.
A) Ex(p) = 
2 k λ
θ0
sen θ0
B) Ey(p) = 
2 k λ
R2
cos θ0
C) Ey(p) = 
2 k λ
R sen θ0
D) Er(p) = 
2 k λ
R2
sen θ0
GABARITO
1. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, sobre a mediatriz de um
seguimento de reta uniformemente carregado, com densidade linear de
carga, λ, constante e comprimento L.
CAMPO DO SEGMENTO DE RETA
( )
( )
( )
( )
Processing math: 100%
2. Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do
eixo dos x, com densidade linear de carga, λ, constante e comprimento L.
Mas diferentemente do problema anterior, calcule o campo elétrico
resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a
origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado,
e o comprimento L, quando medido de P0, está delimitado pelos ângulos
θ1< θ2.
A alternativa "A " está correta.
Processing math: 100%
d
→
E=dEx
^
ı+dEy
^
ȷ=k
dq
r2
^
r
dEx=
k dq
r2
sinθ
dEy=
k dq
r2
cosθ
dq=λdx
cosθ=
y
r ; r
2=x2+y2
tgθ=
x
y ⇒ dx=y sec
2θ dθ
secθ=
r
y
dEx = -
k dq
r2
sinθ
 dEx = -
k sin θ
r2
λ ysec2θ dθ 
dEx = -
k sinθ
r2
λy
r2
y2
dθ
dEx = -
k sinθ
y λ dθ
 
dEy =
k cos θ
r2
λ ysec2θdθ
dEy =
kcos θ
r2
λy
r2
y2
⋅ dθ
dEy =
kcos θ
y λdθ
Ex = - ∫
θ2
θ1
kλ
y senθdθ =
kλ
y cosθ2 - cosθ1
Ey = ∫
θ2
θ1
kλ
y cosθdθ =
kλ
y sinθ2 - sinθ1
→
E = Exı̂ + Ey ȷ̂
→
E =
kλ
y cosθ2 - cosθ1 ı̂ + senθ2 - sinθ1 ȷ̂ 
3. Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de
carga λ, constante, carga total Q e raio R. Calcule o campo elétrico
resultante em um ponto P ao longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "B " está correta.
CAMPO DO ANEL
( ) ( )
( )
( )
[ ( ) ( ) ]
Processing math: 100%
4. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de
cargas, σ, constante, pode ser construído como uma sucessão de anéis
concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R.
Considerando isso, calcule o campo elétrico desse disco, num ponto P ao
longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "D " está correta.
CAMPO DO DISCO
5. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e
superficialmente carregada com uma densidade superficial de cargas, σ,
constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico resultante
externo à casca, com r≥R.
A alternativa "C " está correta.
Vamos calcular a contribuição ao campo, no ponto P externo, de cada anel na
casca, de área dA = 2 πR2senθ dθ (de perímetro 2 π Rsenθ e largura R dθ).
Devemos encontrar um vínculo entre as três variáveis θ, α e S, para simplificar a
Processing math: 100%
integração, que será feita na variável S. A soma de todas as contribuições de
campo resultam não-nulas somente na direção radial esférica, por simetria do
problema. A carga total será Q = σ 4πR2 . O campo externo será,
incrivelmente, como o de uma partícula carregada. Partiremos da relação da lei
dos cossenos, S2 = r2 + R2 - 2rRcosθ, aplicada ao problema e depois obteremos
a sua derivada. Também usaremos a outra relação da lei dos cossenos, ao
problema, dada por R2 = r2 + S2 - 2rScosα, ambas para expressar os vínculos
entre θ, α e S.
S2 = r2 + R2 - 2rR cosθ
2S dS = 2rR senθ dθ
senθ dθ =
S dS
rR
R2 = r2 + S2 - 2rS cosα
cosα =
- R2 + S2 + r2
2rS
( )
Processing math: 100%
dq = σ dA = 2πσR2senθdθ
dEr(p) =
k dq
s2
cosα
dEr(p) =
k2πσR2
S2
senθdθ cos α
dEr(p) =
k2πσR2
S2
⋅
SdS
rR ⋅
- R2 + S2 + r2
2rS
dEr(p) =
kσπR
r2
⋅
S2 + r2 - R2
S2
dS
dEr(p) =
kσπR
r2
1 +
r2 - R2
S2
dS
Er(p) = ∫dEr
Er(p) =
kσπR
r2
S -
r2 - R2
S
( r + R )
( r - R )
Er(p) =
kσ4πR2
r2
=
kQ
r2
→
E (p) = Er(p)
^
 r
→
E (p) =
kQ
r2
r̂
6. Um fio homogeneamente carregado tem uma densidade linear de cargas,
λ, constante e está encurvado ao modo de um arco circular de ângulo 2θ0 e
raio R, simetricamente em relação ao eixo y. Calcule a componente, não
nula, de seu campo elétrico, no centro do arco, na origem do sistema
coordenado xy.
A alternativa "C " está correta.
A componente x do campo será nula, com a simetria do problema. Somente a
componente y não será nula, na origem. O elemento do arco será dl = R dθ.
Vamos integrar de -θ0 a θ0.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ( ) ]
Processing math: 100%
→
E p = Ex(p) ı̂ + Ey(p) ȷ̂
Ex p = 0
Ey p = ∫dEy p
dEy p =
kdq
R2
cosθ
dq = λdl = λRdθ
dEy p =
kλR
R2
cosθdθ
Ey p = ∫
θ0
- θ0
kλ
R cosθdθ
Ey p =
2kλ
R senθ0
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Processing math: 100%
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito
a esse problema. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e
superficialmente carregada com uma densidade superficial de cargas, σ,
constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico interno à casca,
com r < R.
RESOLUÇÃO
Já fizemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à
casca esférica. Todos os passos são idênticos, até antes da integração final.
Retomemos aquele resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P dentro da
casca e alterar os limites de integração em S para esses pontos internos à
casca, de (R - r) a (R + r).
Etapa 1
DER(P) =
KΣΠR
R2
1 +
R2 - R2
S2
DS
ER P = ∫DER
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
[ ]
( )
Processing math: 100%
 
Etapa 2
ER(P) =
KΣΠR
R2
S -
R2 - R2
S
( R + R )
( R - R )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
 
Etapa 3
ER(P) =
KΣΠR
R2
(R + R) - (R - R) -
R2 - R2
( R + R ) +
R2 - R2
( R - R )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
 
Etapa 4
ER(P) =
KΣΠR
R2
[2R - R + R - R - R] = 0
[ ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
Processing math: 100%
→
E(P) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
 
O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente
carregada é nulo. Esse fenômeno de blindagem eletrostática, muito utilizado
tecnologicamente, tem o nome de Gaiola de Faraday. Perturbações elétricas
externas à casca fechada não afetam o campo elétrico interno à casca, que
continua nulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE NOVAMENTE UM SEGUIMENTO DE RETA
UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X,
COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ E COMPRIMENTO L.
CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P,
AO LONGO DO EIXO DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM,
0, DO SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO
CORPO CARREGADO, E SEU COMPRIMENTO L, QUANDO
MEDIDO DE P0 , ESTÁ DELIMITADO PELOS ÂNGULOS Θ1 < Θ2.
COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO OBTIDO, FAÇA SEU
COMPRIMENTO L TENDER A INFINITO E RESPONDA: QUAL É
O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSA RETA
HOMOGENEAMENTE CARREGADA, COM DENSIDADE LINEARProcessing math: 100%
DE CARGAS, Λ, E COMPRIMENTO INFINITO? UMA RETA
INFINITA.
A) 
→
E = 
2 k λ
y sen θ ĵ
B) 
→
E =2 k λ
y ĵ
C) 
→
E = 0
D) 
→
E = 
2 k λ
x ĵ
2. CONSIDERE NOVAMENTE UM DISCO HOMOGENEAMENTE
CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS,
Σ, QUE PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE
ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO DOS ANÉIS
VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CALCULE O CAMPO
ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM PONTO P AO LONGO DO SEU
EIXO AXIAL, Z. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO OBTIDO,
FAÇA SEU RAIO R TENDER A INFINITO E RESPONDA: QUAL É
O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSE PLANO
HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ CONSTANTE, E COM DIMENSÃO
INFINITA? UM PLANO INFINITO.
A) 
→
E(p) = ∞
B) 
→
E(p) = 2πkσ z ẑ
C) 
→
E(p) = 2πkσ ẑ
( )
( )
Processing math: 100%
D) 
→
E(p) = 0
GABARITO
1. Considere novamente um seguimento de reta uniformemente carregado,
ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga λ e comprimento L.
Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y,
considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda
do corpo carregado, e seu comprimento L, quando medido de P0 , está
delimitado pelos ângulos θ1 < θ2. Com esse vetor campo elétrico obtido,
faça seu comprimento L tender a infinito e responda: Qual é o campo
elétrico gerado por essa reta homogeneamente carregada, com densidade
linear de cargas, λ, e comprimento infinito? Uma reta infinita.
A alternativa "B " está correta.
 
Processing math: 100%
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto
P:
Ex = - ∫
θ2
θ1
kλ
y senθdθ =
kλ
y cosθ2 - cosθ1
Ey = ∫
θ2
θ1
kλ
y cosθdθ =
kλ
y sinθ2 - sinθ1
→
E = Exı̂ + Ey ȷ̂
→
E =
kλ
y cosθ2 - cosθ1 ı̂ + senθ2 - sinθ1 ȷ̂
Se fizermos θ1 → - 
π
2 e θ2 → π /2, , o seguimento de reta carregado, L,
tenderá à dimensão infinita. A componente horizontal, na direção x, irá
desacoplar, anulando-se. A componente vertical, na direção y, se somará,
resultando em:
→
E =
2kλ
y ȷ̂
Ou seja, o campo elétrico será inversamente proporcional à distância da linha
infinita carregada e não haverá mais a informação angular. Esse resultado é
importante tecnologicamente quando a distância da fonte do campo é muito
menor que a extensão da linha carregada e pudermos excluir efeitos de contorno
das extremidades da linha
2. Considere novamente um disco homogeneamente carregado, com
densidade superficial de cargas, σ, que pode ser construído como uma
sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio dos anéis variar desde a
origem até o raio R. Calcule o campo elétrico desse disco, num ponto P ao
longo do seu eixo axial, z. Com esse vetor campo elétrico obtido, faça seu
raio R tender a infinito e responda: Qual é o campo elétrico gerado por esse
plano homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ
constante, e com dimensão infinita? Um plano infinito.
A alternativa "C " está correta.
( )
( )
[( ) ( ) ]
Processing math: 100%
 
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto
P:
Processing math: 100%
→
dE(p) =
kz dq
r2 + z2 3 / 2
ẑ
dq = σdA = σ2πr dr
dEz(p) =
kz
r2 + z2 3 / 2
σ2πr dr
Ez(p) = ∫dEz p
Ez(p) = kzσπ∫
R
0
2r
r2 + z2 3 / 2
dr
Ez(p) = kzσπ
r2 + z2 - 1 / 2
( - 1 / 2 )
R
0
→
E(p) = 2πk z σ
1
z -
1
√R2 + z2
ẑ
Se fizermos R→∞, o disco carregado tenderá à dimensão infinita, um plano
infinito carregado. O segundo termo da componente axial do campo elétrico, na
direção z, se anulará, restando uma constante no primeiro termo:
→
E(p) = 2πkσ ẑ
Nessa solução e nesse limite de plano infinito, não podemos utilizar a carga total,
que seria infinita. Assim, temos a densidade superficial de cargas para designar a
fonte do campo elétrico. Esse resultado é fundamental, tecnologicamente, para
os fenômenos de capacitância que veremos à frente, quando a distância de
separação, ao quadrado, entre as placas de um capacitor é muito menor que a
área dessas placas.
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
( )
( )
( )
( )
[ ( ) ] ]
[ ]
Processing math: 100%
INTRODUÇÃO
Sabemos que cargas elétricas, numa distribuição discreta ou contínua, são fonte
de campo elétrico mediador da interação elétrica. Também sabemos que os
campos elétricos podem ser representados por linhas de força que “nascem ou
morrem” em cargas. Usamos uma convenção na qual cargas positivas originam
linhas de campo repulsivo e cargas negativas recebem linhas de campo atrativo:
Para cada distribuição de cargas elétricas, teremos uma estrutura de campo
elétrico diferente. Cargas puntuais geram uma estrutura de campo elétrico
divergente, como nas figuras anteriores. Para outras distribuições de cargas,
teremos outras estruturas de campo elétrico. Quanto maior a carga, mais linhas
de campo teremos, (N ~ q).
 
Fonte: Autor
O campo elétrico de cargas puntuais e sua força elétrica se comportam
radialmente como ~ 1/r2, descrito pela Lei de Coulomb. A magnitude do campo
Processing math: 100%
(seu módulo) é proporcional à densidade de linhas, que é o número de linhas de
campo por área perpendicular atravessada pelas linhas, δ ~
N
A ~
q
4πr2
 ~ 
→
E . .
Quanto maior essa densidade, onde as linhas são mais próximas, mais intenso o
campo. Quanto menor a densidade de linhas, menos intenso o campo. À medida
que nos afastamos das cargas puntuais, as linhas de campo se distanciam, umas
das outras, diminuindo sua densidade com o mesmo comportamento
coulombiano do campo, e na proporção inversa do crescimento da área
esferossimétrica ocupada por essas linhas.
Então, vamos enumerar o que sabemos sobre linhas de campo elétrico:
O número de linhas de campo elétrico é proporcional à carga elétrica,
(N ~ q).
As linhas de campo elétrico de cargas puntuais isoladas são
radialmente simétricas, a cada raio esférico ocupando áreas
descritas por A=4πr 2.
As linhas de campo são emitidas ou absorvidas por cargas elétricas.
A densidade de linhas é proporcional à magnitude do campo, 
δ ~
N
A ~
q
4πr2
 ~ 
→
E .
Duas ou mais linhas não se interceptam, o que indicaria que uma
mesma linha teria mais de uma fonte.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
( | |)
( | |)
Processing math: 100%
Assim, determinado número de linhas de campo elétrico, em uma distância radial
esférica, atravessará certa calota de área na superfície esférica de mesmo raio,
em um ângulo sólido. O mesmo número de linhas de campo, em outro raio
esférico maior, atravessará uma calota da superfície esférica, com o mesmo
ângulo sólido, de área proporcional ao quadrado do novo raio. Isso significa que,
para termos o mesmo número de linhas, em raios diferentes, cuja magnitude do
campo cai com o quadrado do raio, será preciso aumentar a área de ocupação
dessas linhas com o quadrado do novo raio. O comportamento do campo ~
1
r2
,
será anulado pelo crescimento da área ~ r2 , para termos o mesmo número de
linhas de campo elétrico em raios diferentes, como na figura.
 
Fonte: Autor
FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO
( )
( )
Processing math: 100%
Vamos qualificar e quantificar as linhas de campo elétrico em termos
matemáticos com significação fenomenológica. Para isso, vamos definir a
grandeza fluxo de campo elétrico, Φ, como proporcional ao número de linhas
de campo, que é proporcional à carga elétrica. Assim, o fluxo de campo será:
 
Fonte: autor
Mas,
N ~ 
→
E A

Pois, como explicado anteriormente sobre as linhas de campo, 
δ ~
N
A ~
q
4πr2
 ~ 
→
E

Então, Φ =
→
E A ≈ q
O fluxo de campo é entendido como o número de linhas de campo elétrico
que atravessam a superfície de área A.
Essa definição de fluxo de campo elétrico funciona bem para o caso de
campos elétricos, 
→
E, que atravessam perpendicularmente uma área, A, como na
figura a), a seguir.
| |
| |
| |
Processing math: 100%
 
Fonte: Autor

Processing math: 100%
 
Fonte: Autor
Repare que essa primeira definição de Fluxo de Campo, não satisfaz a situação
da figura b), anterior, do fluxo através de uma superfíciecurva, em que para cada
elemento de área, dA, descrito sobre a superfície em cada ponto, tem-se um
vetor unitário normal diferente, n̂. Assim, devemos redefinir o fluxo de campo
como a integral dos elementos de fluxo de campo, dΦ, definidos sobre cada
elemento de área, dA, com seu vetor unitário normal, n̂, por meio do produto
escalar com o campo 
→
E. Contribuirá ao fluxo, a componente de área (n̂ dA)
projetada na direção do campo 
→
E.
DΦ = 
→
E. N̂ DA 
Φ = ∫DΦ = ∫
→
E. N̂ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
Como o fluxo de campo elétrico através de qualquer superfície aberta é igual ao
número de linhas de campo que atravessam essa superfície, podemos definir o
fluxo total que será igual ao número líquido de linhas de campo elétrico que
atravessam a superfície fechada, isto é, o número de linhas que saem subtraído
do número de linhas que entram na superfície fechada.
SUPERFÍCIE FECHADA
Superfície fechada é aquela que envolve completa e tridimensionalmente
as cargas fonte do campo.
O fluxo total será a soma “líquida” do fluxo positivo, com campo 
→
E orientado para
fora da superfície fechada, subtraído do fluxo negativo, com campo 
→
E orientado
para dentro da superfície fechada:
ΦTOTAL =
 
∮
C
DΦ = 
 
∮
C
→
E. N̂ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que c, define a superfície matemática sobre a qual a integral deve ser
calculada, chamada de superfície gaussiana e n̂ é o vetor normal a cada ponto
dessa gaussiana.
Mas para que serve essa construção do fluxo de campo elétrico total? A resposta
é a Lei de Gauss e a sua aplicação imediata é o cálculo do campo elétrico.
Processing math: 100%
javascript:void(0)
DEMONSTRAÇÃO
Aplicação: Uma carga elétrica puntual, q, fonte do campo elétrico descrito pela
Lei de Coulomb,
→
E = 
1
4πϵ0
q
r2
 r̂, está na origem de um sistema coordenado.
Calcule o fluxo de campo elétrico total sobre uma superfície matemática esférica
fechada de raio R, centrada na mesma origem. Considere a medida de
integração de superfície, dA, em coordenadas esféricas
r, θ, ϕ : dA = r2sen θ dθ dϕ.
Resposta 1:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta primeira solução, mais simples, vamos considerar que, como o fluxo será
calculado ao longo da superfície gaussiana esférica de raio R, seu campo elétrico
terá módulo constante, com r=R, o vetor unitário normal à superfície esférica será
n̂ = r̂ , e o campo 
→
E = 
1
4πϵ0
q
R2
 r̂.
Então, como r̂. n̂ = 1, pois o vetor unitário n̂ tem a mesma direção e sentido de 
r̂, e o raio da superfície esférica de cálculo (gaussiana), sobre a qual se está
calculando o fluxo, é constante, r = R, temos:
Φtotal = 
 
∮
c
→
E. n̂ dA = 
 
∮
c
1
4πϵ0
q
R2
 r̂. n̂ dA
Φtotal = 
 
∮
c
1
4πϵ0
q
R2
 dA =
1
4πϵ0
q
R2
 
∮
c
 dA
Φtotal =
1
4πϵ0
q
R2
 4πR2 =
q
ϵ0
= 4π k q
( )
( )
( )
Processing math: 100%
Este é o resultado da Lei de Gauss. O fluxo de campo elétrico total 
Φtotal =
q
ϵ0
= 4π k q, independente do raio r. O número de linhas de campo
elétrico será o mesmo para qualquer raio esférico. Na verdade, apesar de não ter
sido demonstrado, o fluxo total é o mesmo qualquer que seja a superfície
fechada que envolva a carga q, não se limitando à esfera.
Resposta 2:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta segunda solução, vamos calcular a integral do fluxo total com medida de
integração de superfície, em coordenadas esféricas, dA = r2sen θ dθ dϕ, para
qualquer raio da superfície esférica de integração.
 
Fonte: Autor
Processing math: 100%
Φtotal = 
 
∮
c
→
E. n̂ dA = 
 
∮
c
1
4πϵ0
q
r2
 r̂. r̂ dA
Φtotal = 
 
∮
c
1
4πϵ0
q
r2
 r2sen θ dθ dϕ
Φtotal =
1
4πϵ0
q ∫π0sen θ dθ ∫
2π
0 dϕ
Em que
(0 < θ < π); (0 < ϕ < 2π); ∫π0sen θ dθ = - cos(π) + cos(0)] = 2; ∫
2π
0 dϕ = 2π 
Logo,
Φtotal =
1
4πϵ0
q 4π = 
q
ϵ0
= 4π k q
Assim, definimos a Lei de Gauss:
ΦTOTAL = 
 
∮
C
→
E. N̂ DA =
QINT .
Ε0
= 4Π K QINT .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que qint. é a carga elétrica total interna à superfície gaussiana c, de
integração.
SUPERFÍCIE GAUSSIANA C
Atenção: A superfície gaussiana é uma superfície matemática de
integração, ao longo da qual realizamos a integral. Sua função é fornecer o
suporte para o cálculo da integral.
( )
[
Processing math: 100%
javascript:void(0)
A Lei de Gauss é uma das leis fundamentais da Eletrodinâmica Clássica, será
sempre válida quando houver campo elétrico, mas, para o propósito de cálculo
do campo elétrico, somente será útil quando tivermos elevado grau de simetria
no problema, para a escolha da superfície gaussiana, de forma que o módulo do
campo seja constante ao longo dessa superfície de integração.
De outra forma, se um sistema físico não tiver as simetrias esférica, cilíndrica ou
plana, será mais simples a utilização da Lei de Coulomb e seus métodos quando
o propósito for o cálculo do campo. Esse resultado da Lei de Gauss, no qual o
fluxo de campo total só depende da fonte do campo, só foi possível devido ao
comportamento da Lei de Coulomb, com 1/r2.
Assim, também por similaridade de comportamento 1/r2, podemos escrever uma
Lei de Gauss para a Gravitação Universal de Newton, em que:
ΦTOTAL = 
 
∮
C
→G. N̂ DA = - 4Π G MINT . SENDO MINT . 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo mint. a massa interna à superfície gaussiana c.
MÃO NA MASSA
1) SE UMA CARGA ELÉTRICA FONTE, Q, ESTIVER
POSICIONADA NA ORIGEM, 0, DE UM SISTEMAProcessing math: 100%
COORDENADO, CALCULE SEU CAMPO ELÉTRICO A UMA
DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA, R, DESSA ORIGEM, POR MEIO
DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS. CONSIDERE K A
CONSTANTE DE COULOMB.
A) 
→
E(r) = k
q
r r̂
B) 
→
E(r) = k
q
r2
 r̂
C) 
→
E(r) = 
q
r2
 r̂
D) 
→
E(r) = k
q2
r2
 r̂
2. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA LINHA
RETILÍNEA INFINITA, CARREGADA POSITIVAMENTE, COM
DENSIDADE LINEAR DE CARGA UNIFORME, Λ, AO LONGO DO
EIXO AXIAL CILÍNDRICO Z, POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI
DE GAUSS.
A) 
→
E(r) =
2kλ
r2
r̂
B) 
→
E(r) =
λ
r2
r̂
C) 
→
E(r) =
q
r r̂
D) 
→
E(r) =
2kλ
r r̂
3. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI
CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA EProcessing math: 100%
UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS DE MODO A
APRESENTAR UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ,
CONSTANTE. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO A
PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P QUALQUER, AO
LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO
PLANO), POR MEIO DA APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.
A) 
→
E(p) = 2 πk σ ẑ
B) 
→
E(p) = k
q
r2
 r̂
C) 
→
E(p) = 4π k q
D) 
→
E(p) = 
k Q z
R2 + z2
3
2
 ẑ
4. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA, DE
COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE.
OBTENHA O CAMPO ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE GAUSS,
EXTERNAMENTE À CASCA, NO QUAL R>R.
A) 
→
E(r) =
2kλ
r2
 r̂
B) 
→
E(r) =
2kλ
r r̂
C) 
→
E(r) =
λ
r2
 r̂
D) 
→
E(r) =
q
r r̂
( )
Processing math: 100%
5. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE
CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA TOTAL
Q. CALCULE, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, SEU CAMPO
ELÉTRICO EXTERNO, EM QUE R>R.
A) 
→
E(r) = k
Q
r r̂
B) 
→
E(r) = 
Q
r2
 r̂
C) 
→
E(r) = k
Q2
r2
 r̂
D) 
→
E(r) = k
Q
r2
 r̂
6. CONSIDERE UMA PLACA DE ESPESSURA D, E ÁREA A, DE
UM MATERIAL CONDUTOR ELÉTRICO. UM CONDUTOR
ELÉTRICO É UM MATERIAL CAPAZ DE TRANSPORTAR
CARGAS ELÉTRICAS COM BAIXO CUSTO ENERGÉTICO AO
SISTEMA FÍSICO. UM CONDUTOR IDEAL É UM MATERIAL
IDEALIZADO, HIPOTÉTICO, ONDE CARGAS LIVRES, TAMBÉM
CHAMADAS DE CARGAS DE VALÊNCIA, PODEM CIRCULAR
LIVREMENTE POR TODA A SUPERFÍCIE DO MATERIAL. CADA
ELEMENTO ATÔMICO QUE COMPÕE UM MATERIAL
CONDUTOR POSSUI AO MENOS UM ELÉTRON LIVRE QUE
PODE TRANSITAR POR TODA A SUPERFÍCIE DO MATERIAL.
NÃO VAMOS CONSIDERAR A EXISTÊNCIA DE IMPUREZAS NO
MATERIAL.ENTÃO, PERGUNTA-SE: QUAL É A INTENSIDADE
DO CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CONDUTOR
IDEAL?
A) 
→
E(p) = 2 πk σ ẑ
Processing math: 100%
B) 
→
E(p) = k
q
r2
 r̂
C) 
→
E(p) = 0
D) 
→
E(p) = 
k Q z
R2 + z2
3
2
 ẑ
GABARITO
1) Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um
sistema coordenado, calcule seu campo elétrico a uma distância radial
esférica, r, dessa origem, por meio da aplicação da Lei de Gauss. Considere
k a constante de Coulomb.
A alternativa "B " está correta.
Vamos definir uma superfície gaussiana de integração esférica, pois o problema
da partícula puntual apresenta simetria esférica. Com a simetria do problema, o
campo elétrico terá direção radial esférica, e também o vetor normal, n̂, à
superfície de integração. O campo será calculado a partir da superfície, c,
escolhida, mas, ao final, poderemos generalizar a solução para qualquer raio.
Repare que definiremos a superfície gaussiana de acordo com a simetria do
problema e de modo que o campo tenha módulo constante ao longo de toda a
superfície c. Ao final, encontraremos a solução da Lei de Coulomb para a
partícula puntual.
( )
Processing math: 100%
ϕtot. =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkq
→
E =
→
E r̂
→
E ⋅ n̂ =
→
E
 
∮
c
→
E dA = 4πkq
→
E c4πr
2 = 4πkq
→
E(r) =
kq
r2
r̂
2. Calcule o campo elétrico gerado por uma linha retilínea infinita,
carregada positivamente, com densidade linear de carga uniforme, λ, ao
longo do eixo axial cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "D " está correta.
| |
| |
| |
| |
Processing math: 100%
CAMPO DA RETA
3. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma
distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas positivas de modo a
apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o
campo elétrico gerado a partir desse plano, em um ponto P qualquer, ao
longo de sua direção normal (perpendicular ao plano), por meio da
aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "A " está correta.
CAMPO DO PLANO INFINITO
4. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca, de comprimento infinito,
carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ,
constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss,
externamente à casca, no qual r>R.Processing math: 100%
A alternativa "B " está correta.
A superfície gaussiana de alto grau de simetria escolhida será outra casca
cilíndrica que envolva parte da casca cilíndrica carregada.
ϕtot = ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkqintC
qintc = λL ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πkλL
→
E =
→
E r̂ 
→
E c2πrL = 4πkλL
→
E ⋅ n̂ =
→
E 
→
E p =
2kλ
r r̂
Assim, a solução externa, r > R, é idêntica ao problema da linha infinita
carregada. De fato, à distância, com grande raio, os dois problemas coincidem.
5. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio
esférico R, possui carga total Q. Calcule, por meio da Lei de Gauss, seu
campo elétrico externo, em que r>R.
A alternativa "D " está correta.
| | | |
| | ( )
Processing math: 100%
A superfície gaussiana de integração escolhida será uma superfície esférica de
raio r que envolve a casca esférica carregada, cumprindo a exigência de alto
grau de simetria para a aplicação da Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico.
ϕtot. = ∮
 
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πk qintc
 
 
→
E =
→
E r̂ → 
→
E ⋅ n̂ =
→
E
 
∮
c
→
E dA = 4πkQ
→
E c4πr
2 = 4πkQ
→
E(r) =
kQ
r2
r̂
6. Considere uma placa de espessura d, e área A, de um material condutor
elétrico. Um condutor elétrico é um material capaz de transportar cargas
elétricas com baixo custo energético ao sistema físico. Um condutor ideal é
um material idealizado, hipotético, onde cargas livres, também chamadas
de cargas de valência, podem circular livremente por toda a superfície do
| | | |
| |
| |
Processing math: 100%
material. Cada elemento atômico que compõe um material condutor possui
ao menos um elétron livre que pode transitar por toda a superfície do
material. Não vamos considerar a existência de impurezas no material.
Então, pergunta-se: Qual é a intensidade do campo elétrico no interior de
um condutor ideal?
A alternativa "C " está correta.
Em um condutor, todas as cargas livres circulam nas imediações da superfície do
material, formando uma nuvem eletrônica no entorno deste. Seja o material
eletrizado ou em estado de equilíbrio eletrostático (quando o material tem carga
total neutra), as cargas livres, que se repelem, transitam em sua superfície. No
caso de condutores ideais, as cargas livres estarão totalmente na superfície. No
caso de condutor, haverá uma pequena penetração (de película) da superfície
como região de trânsito das cargas livres. Assim, considerando o material um
condutor ideal em equilíbrio eletrostático, a carga efetiva interna será nula abaixo
da superfície, pois somente as cargas livres, que podem transitar, estarão na
superfície. Na presença de um campo elétrico externo, as cargas livres se
reorganizam de forma a anular o campo no interior do material e reproduzem
esse campo na face oposta, como na figura a seguir. Então, da Lei de Gauss:
ϕtot =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πk qintC
Se traçarmos uma superfície gaussiana no entorno do material, imediatamente
abaixo da superfície e contornando todo o material, como as cargas totais
internas à gaussiana serão nulas, o campo elétrico no interior do material será
zero. Esse fenômeno caracteriza os materiais condutores, qualquer que seja sua
forma.
Processing math: 100%
qintc = 0
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 0
→
E = 0
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior,
como uma bolha. Uma pequena carga elétrica q foi suspensa, por um fio não
condutor, no interior dessa cavidade oca, sem que a carga toque as paredes da
cavidade. Pergunta-se: Qual a carga elétrica induzida na superfície interna das
paredes da cavidade?
RESOLUÇÃO
 
Processing math: 100%
CAMPO DE INDUÇÃO
ELETROSTÁTICO
 
ΦTOT = ∮
C
→
E ⋅ N̂DA = 4ΠK QINTC
 
A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior
de um condutor ideal o campo elétrico deve ser nulo, o fluxo total de campo
sobre C será zero e a carga total interna a C deve ser zero. Se há uma carga q,
no interior da cavidade, necessariamente haverá uma densidade de cargas
induzidas eletrostaticamente nas paredes internas da cavidade. Esse é o
mecanismo da eletrização por indução eletrostática. Assim, a carga induzida
será: 
 
Q = q + q ' = 0 → q ' = - q.
Processing math: 100%
 
Fonte: Autor
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UMA ESFERA MACIÇA, CONTÍNUA E
UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO R E DENSIDADE
VOLUMÉTRICA DE CARGAS, Ρ, CONSTANTE. CALCULE, VIA
LEI DE GAUSS, O CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DESSA
ESFERA DENSA E CARREGADA, A UMA DISTÂNCIA R,
QUALQUER, DO SEU CENTRO, EM QUE R≤R.
A) 
→
E = -
kq
r2
 r̂
B) 
→
E =
4
3 π k ρ r r̂( )Processing math: 100%
C) 
→
E =
4
3 π k ρ 
R3
r2
r̂
D) 
→
E =
4
3 π k ρ 
r3
R2
 r̂
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE
COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ,
CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO ELÉTRICO, POR MEIO DA
LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA. EXPRESSE A LEI
DE GAUSS EM TERMOS DE ΕO.
A) 
→
E(r) =
2kσ
r2
r̂
B) 
→
E(r) =
σ R
ϵo r
r̂
C) 
→
E(r) =
σ R
ϵo r
2 ẑ
D) 
→
E(r) =
σ
ϵo r
ẑ
GABARITO
1. Seja uma esfera maciça, contínua e uniformemente carregada, de raio R e
densidade volumétrica de cargas, ρ, constante. Calcule, via Lei de Gauss, o
campo elétrico no interior dessa esfera densa e carregada, a uma distância
r, qualquer, do seu centro, em que r≤R.
A alternativa "B " está correta.
 
( )
( )
Processing math: 100%
Vamos aplicar a Lei de Gauss. Para isso, vamos definir uma superfície gaussiana
matemática esférica, onde queremos calcular o campo, com a mesma simetria
do problema, exigência do alto grau de simetria parao cálculo do campo por
meio da Lei de Gauss. A solução será um campo função do raio r, para r≤R.
ϕtot =
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA = 4πk qintC 
qintc = ρVolumec
qintc = ρ
4
3 πr
3 
→
E =
→
E r̂
n̂ = r̂
→
E ⋅ n̂ =
→
E
∮ c
→
E dA = 4πk ρ
4
3 πr
3
→
E c4πr
2 = 4πk ρ
4
3 πr
3
→
E(r) =
4
3 πρk r r̂
2. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito,
carregada uniformemente com uma densidade superficial de cargas, σ,
| |
| |
| | ( )
| | ( )
( )
Processing math: 100%
constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss,
externamente à casca. Expresse a Lei de Gauss em termos de ϵo.
A alternativa "B " está correta.
 
∮
c
→
E ⋅ n̂ dA =
1
ϵ0
qintc
qintc = σAintc = σ 2πR L
→
E =
→
E r̂ n̂c = r̂
 
∮
c
→
E r̂ ⋅ r̂ dA =
σ
ϵ0
2πRL
→
E c
 
∮
c
dA =
σ 2πRL
ϵ0
→
E c2πrL =
σ
ϵ0
2πRL
→
E c =
σR
ϵ0r
→
E r =
σR
ϵ0r
r̂
| |
| |
| |
| |
| |
( )Processing math: 100%
O cálculo do campo na curva gaussiana c permitiu que o módulo do campo fosse
retirado da integral, pois é constante ali. Essa é a grande vantagem do uso da
simetria nessa aplicação da Lei de Gauss.
MÓDULO 3
 Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
INTRODUÇÃO
Sabemos, do tema anterior, que a diferença de potencial elétrico é definida
como:
 ∆ V = VB - VA = - ∫
B
A
→
E. D
→
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, no caso eletrostático, o trabalho mecânico numa trajetória fechada será
nulo, o que equivale à integral acima ser zero quando a = b.
Processing math: 100%
 
Fonte: Autor
∮
→
E. D
→
L = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso é válido para campos conservativos, como os campos eletrostáticos. Em
termos do potencial elétrico, a diferença de potencial entre um ponto e ele
mesmo, numa trajetória fechada, será zero.
Processing math: 100%
 
Fonte: rafal.dlugosz /Shutterstock
Então, relembrando a definição conceitual do potencial elétrico, em sua forma
integral, temos:
Potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga, necessário para deslocar
uma carga de prova positiva, à velocidade constante, de um ponto de referência
inicial a ao ponto final r, definido por:
V(R) = - ∫RA
→
E. D
→
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a um ponto de referência espacial onde V(a)=0. O potencial será positivo
ou negativo a depender da distribuição de cargas fonte do campo.
Também podemos relembrar a definição equivalente na forma diferencial do
potencial elétrico, que é muito útil quando temos a função potencial e
Processing math: 100%
desejamos calcular o campo elétrico. O campo elétrico como o gradiente da
função potencial.
→
E = -
→
∇ V(R)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o que nos interessa na grandeza potencial elétrico é uma diferença a partir
de uma referência de medida de zero potencial, V(a)=0, a cada problema
deveremos identificar, ou convencionar, a referência de potencial zero, já que
vamos lidar com distribuições contínuas de cargas elétricas. Nessas
configurações contínuas de cargas, nem sempre a distância infinita será
consistente com um potencial nulo de referência, como é suficiente para
distribuições discretas de cargas.
Nossa tarefa, agora, será demonstrar como aplicar o conceito e as definições de
potencial elétrico para distribuições contínuas de cargas elétricas.
DEMONSTRAÇÃO
Quando lidamos, no tema anterior, com configurações discretas de cargas
elétricas, vimos que o cálculo do potencial elétrico poderia ser realizado por meio
da definição do potencial, nas formas integral ou diferencial, revisitado nas duas
equações anteriores, e demonstramos que poderíamos usar o princípio de
superposição dos potenciais de cargas individuais para descrever o potencial de
uma distribuição discreta de cargas elétricas, pela soma dos potenciais de
cargas individualizadas:
Processing math: 100%
V(P) = V1 + V2 + V3 + …VN = ∑
N
I = 1K
 QI
RI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Com N cargas qi e distâncias ri de cada carga fonte ao ponto de medida p.
Assim, o potencial elétrico total de uma distribuição discreta de cargas elétricas
será a superposição dos potenciais individuais de cada fonte qi (princípio de
superposição).
No entanto, para distribuições contínuas de cargas elétricas, devemos identificar
se a configuração de cargas é finita ou infinita.
Se for uma distribuição contínua e finita de cargas elétricas, pois o número de
cargas é finito, como nos problemas da esfera, do anel e do disco, visto do
módulo anterior, o potencial elétrico poderá ser definido e calculado por uma
generalização da superposição de potenciais individuais, da equação anterior.
Assim, o potencial elétrico para configurações contínuas e finitas de cargas
elétricas é:
V(p) = ∫
 k dq
r
Que é a integral de todas as contribuições de potenciais dos elementos dq, no
intervalo a ser considerado.
Se a distribuição de cargas elétricas for contínua e infinita, como nos casos da
reta infinita, do plano infinito e do cilindro infinito, o potencial elétrico para
distribuições contínuas e infinitas de cargas elétricas segue a definição formal
de cálculo dos potenciais elétricos, que, aliás, aplica-se em qualquer situação de
configurações de cargas.
Processing math: 100%
V(R) = - ∫RA
→
E. D
→
L OU 
→
E = -
→
∇ V(R)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a depender da configuração das cargas fonte do campo 
→
E, se discretas
ou contínuas, e se forem contínuas, se finitas ou infinitas, teremos os seguintes
métodos de cálculo do potencial elétrico:
 
Fonte: Autor
Agora, vamos à prática!
MÃO NA MASSA
1) UM ANEL DE RAIO R FOI HOMOGENEAMENTE
CARREGADO COM DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ,Processing math: 100%
CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO, EM UM
PONTO P, SOBRE O SEU EIXO AXIAL Z.
A) V(p) = 
k Q
z2 + R2
3 / 2
B) V(p) = 
k Q
R
C) V(p) = 
k Q z
√z2 + R2
D) V(p) = 
k Q
√z2 + R2
2. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM
DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, PODE SER
CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS
CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS ANÉIS VARIAR
DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO,
CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM
PONTO P, AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL Z.
A) V(p) = 2π k σ z2 + R2
1
2 - R 
B) V(p) = 2π k σ z2 + R2
1
2 - z 
C) V(p) = 2π k σ z2 + R2
1
2 
D) V(p) = 
2π k σ
√z2 + R2
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Processing math: 100%
3. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE
CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA TOTAL
Q. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DESSA
CASCA ESFÉRICA, PARA A DISTÂNCIA RADIAL R, EM QUE 
R < R.
A) V(r) = 0
B) V(r) =
k Q
r
C) V(r) =
k Q
r2
D) V(r) =
k Q
R
4. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA LINHA
RETILÍNEA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA COM
UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE, EM
UM PONTO P LOCALIZADO PERPENDICULARMENTE À LINHA.
A) V r = - 2kλ ln
r
R
B) V(r) = 0
C) V r = 
k Q
r
D) V(r) = 2kλ r
5. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI
CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA E
UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS, DE MODO A
( )
( )
Processing math: 100%
APRESENTAR UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ,
CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO A
PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P QUALQUER, AO
LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO
PLANO).
A) V(p) = - 2π k σ /z
B) V(p) = - 2π k / (σ z)
C) V(p) = - 2π k σ z
D) V(p) = - 2π k σ
6. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE
COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE.
OBTENHA O POTENCIAL ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE
GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA.
A) V(r) = 0
B) V r = - 2kλ ln
r
R
C) V(r) = 
k Q
r
D) V(r) = 2kλ r
GABARITO1) Um anel de raio R foi homogeneamente carregado com densidade linear
de cargas, λ, constante. Calcule o potencial elétrico, em um ponto p, sobre
o seu eixo axial z.
( )
Processing math: 100%
A alternativa "D " está correta.
Nesse problema, a distribuição de cargas é contínua e finita. Então, vamos usar
a definição de potencial elétrico adequada e mais simples, ainda que se pudesse
usar a definição geral. A distância s, dos elementos de carga ao ponto p, na
figura seguinte, será sempre constante no entorno do anel.
V p = ∫
kdq
s
s = √R2 + z2
V p = ∫
kdq
√R2 + z2
V p =
kQ
√R2 + z2
2. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de
cargas, σ, pode ser construído como uma sucessão de anéis concêntricos,
( )
( )
( )
Processing math: 100%
fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R.
Considerando isso, calcule o potencial elétrico desse disco, num ponto P,
ao longo do seu eixo axial z.
A alternativa "B " está correta.
POTENCIAL DO DISCO
3. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio
esférico R, possui carga total Q. Calcule o potencial elétrico no interior
dessa casca esférica, para a distância radial r, em que r < R.
A alternativa "D " está correta.
POTENCIAL INTERNO À CASCA
ESFÉRICA
Processing math: 100%
4. Calcule o potencial elétrico de uma linha retilínea, de comprimento
infinito, carregada com uma densidade linear de cargas, λ, constante, em
um ponto P localizado perpendicularmente à linha.
A alternativa "A " está correta.
O problema da linha infinita carregada já foi discutido quando do cálculo do seu
campo elétrico, no módulo anterior, sendo 
→
E(r) =
2kλ
r r̂. Como se trata de um
problema com distribuição de cargas contínua e infinita, devemos utilizar a
definição geral de potencial elétrico V(r) = - ∫ ra
→
E. d
→
l . Para definir o necessário
ponto de referência de potencial zero, onde V(a)=0, e verificando que a solução
terá comportamento Logaritmo, vamos considerar que a linha retilínea tenha uma
pequena espessura R. Assim, na superfície na linha, o potencial será zero,
V(R)=0, pois lim
r → R
ln
r
R = 0, em que R pode ser bem pequeno.
→
E =
2kλ
r r̂ 
 
Processing math: 100%
V r = - ∫
→
E ⋅ d
→
l 
 
V(r) = - ∫ rR
2kλ
r' r̂ ⋅ r̂ dr' 
 
V r = - ∫ rR
2kλ
r' dr' 
 
V(r) = - 2k λ ln
r
R
5. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma
distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas positivas, de modo a
apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o
potencial elétrico gerado a partir desse plano, em um ponto P qualquer, ao
longo de sua direção normal (perpendicular ao plano).
A alternativa "C " está correta.
POTENCIAL DO PLANO INFINITO
6. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito,
carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ,
constante. Obtenha o potencial elétrico, por meio da Lei de Gauss,
externamente à casca.
( )
( )
( )
Processing math: 100%
A alternativa "B " está correta.
Já trabalhamos, anteriormente, no cálculo do campo elétrico de uma casca
cilíndrica infinita com densidade linear de cargas, λ, constante, no qual obtivemos
→
E =
2kλ
r r̂. Então, por razões semelhantes ao descrito no problema da reta infinita
carregada, vamos fixar o potencial zero sobre a superfície da casca cilíndrica.
Assim, para r>R, a solução será semelhante à linha carregada infinita:
V(r) = - ∫ ra
→
E ⋅ d
→
l
→
E(r) =
2kλ
r r̂
V(r) = - ∫ rR
2kλ
r '
r̂ ⋅ r̂ dr '
V(r) = - 2kλ ln
r
R
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma esfera, de raio R e carga total Q, geradora de um potencial
elétrico esfericamente simétrico. A cada distância radial esférica, podemos traçar
uma superfície esférica, de raio r, onde o potencial elétrico será o mesmo ao
longo de toda essa superfície. Para cada outra superfície equivalente, de outro
raio, centrada na origem, teremos uma superfície de potencial constante.
Pergunta-se: Como é possível ter superfícies de mesmo potencial elétrico e qual
a sua utilidade?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
( )
( )
Processing math: 100%
ETAPA 3
As superfícies de mesmo potencial elétrico, chamam-se superfícies
equipotenciais. São aquelas nas quais uma carga de prova pode mover-se
livremente sem alteração de seu potencial elétrico.
 
Fonte: Autor
No caso esférico, o potencial será V(r) =
k Q
r , e para cada raio esférico, teremos
uma superfície equipotencial naquele raio, VA, VB, VC, …. As linhas de campo
elétrico 
→
E serão perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Como cargas elétricas somente são aceleradas na presença de diferenças de
potencial elétrico, em superfícies equipotenciais isso não ocorre. E assim,
nenhum pássaro morre quando pousa em uma única linha de tensão elétrica,
por exemplo.
Processing math: 100%
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA AERONAVE EM VOO, QUANDO ATRAVESSA UMA
REGIÃO ATMOSFÉRICA COM ATIVIDADE ELÉTRICA, É
FACILMENTE ATINGIDA POR DIVERSAS DESCARGAS
ATMOSFÉRICAS QUE, APESAR DE BUSCAR-SE EVITAR, NÃO
SÃO CAPAZES DE CAUSAR MAIORES DANOS AOS
EQUIPAMENTOS, NEM AOS PASSAGEIROS E TRIPULANTES.
DA MESMA FORMA, SE UM CABO DE ALTA TENSÃO CAIR
SOBRE UM CARRO, OU OUTRO VEÍCULO AUTOMOTIVO
FECHADO, NÃO CAUSARÁ DANOS AOS PASSAGEIROS,
DESDE QUE ESTES NÃO SAIAM DO VEÍCULO.
APROVEITANDO ESSE FENÔMENO DAS GAIOLAS DE
FARADAY, UM ENGENHEIRO PRETENDENDO BLINDAR
ELETROSTATICAMENTE UM EQUIPAMENTO ELETRÔNICO,
CONSTRUIU UMA ESFERA OCA CONDUTORA DE RAIO R, E
ENVOLVEU SUA ELETRÔNICA. QUAL A DIFERENÇA DE
POTENCIAL ELÉTRICO A QUE ESSE EQUIPAMENTO
ELETRÔNICO ESTARÁ SUBMETIDO, DENTRO DA ESFERA
CONDUTORA E OCA, CASO HAJA UM CAMPO ELÉTRICO
EXTERNO À ESFERA CONDUTORA?
A) ∆ V = k 
q
r
B) ∆ V = - 2π k σ z
C) ∆ V = 0
D) ∆ V = k 
q
R
Processing math: 100%
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, HOMOGENEAMENTE
CARREGADA, COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ,
CONSTANTE E RAIO CILÍNDRICO R. CALCULE O POTENCIAL
ELÉTRICO INTERNAMENTE À CASCA CILÍNDRICA, R < R , A
UMA DISTÂNCIA RADIAL R.
A) V(r) = 0
B) V(r) = - 2 k λ ln
r
R
C) V(r) = 
k Q
r
D) V(r) = 2kλ r
GABARITO
1. Uma aeronave em voo, quando atravessa uma região atmosférica com
atividade elétrica, é facilmente atingida por diversas descargas
atmosféricas que, apesar de buscar-se evitar, não são capazes de causar
maiores danos aos equipamentos, nem aos passageiros e tripulantes. Da
mesma forma, se um cabo de alta tensão cair sobre um carro, ou outro
veículo automotivo fechado, não causará danos aos passageiros, desde
que estes não saiam do veículo. Aproveitando esse fenômeno das Gaiolas
de Faraday, um engenheiro pretendendo blindar eletrostaticamente um
equipamento eletrônico, construiu uma esfera oca condutora de raio R, e
envolveu sua eletrônica. Qual a diferença de potencial elétrico a que esse
equipamento eletrônico estará submetido, dentro da esfera condutora e
oca, caso haja um campo elétrico externo à esfera condutora?
A alternativa "C " está correta.
 
Processing math: 100%
Considerando que um campo elétrico externo à esfera seja capaz de rearranjar
cargas livres na superfície do condutor esférico, no processo de equilíbrio
eletrostático e, subdividindo a superfície do condutor em pequenos discos planos
que foram carregados por indução elétrica devido ao campo elétrico externo,
vamos supor uma densidade superficial de cargas locais a cada disco σ. Como
não haverá carga livre interna ao condutor, pois atingido o equilíbrio eletrostático,
uma superfície gaussiana abaixo de cada disco medirá fluxo de campo nulo, 
Φ = ∮
→
E. n̂ dA = 0. Isso indicará campo elétrico interno nulo, do que decorre
potencial elétrico constante, pois 
→
E = -
→
∇ V(r). Assim, o potencial elétrico será
constante internamente à esfera, independentemente do arranjo de cargas
elétricas induzidas na superfície externa da esfera condutora e, então, a
diferença de potencial elétrico entre dois pontos quaisquer internos à esfera será
zero, ∆V=0, qualquerque seja o potencial constante interno.
2. Seja uma casca cilíndrica, homogeneamente carregada, com uma
densidade linear de cargas, λ, constante e raio cilíndrico R. Calcule o
potencial elétrico internamente à casca cilíndrica, r < R , a uma distância
radial r.
A alternativa "A " está correta.
 
Já trabalhamos com um problema semelhante do cálculo do potencial elétrico
externo a uma casca cilíndrica com densidade linear de carga λ. Também já
discutimos o potencial elétrico interno a uma casca esférica. Mas, agora,
devemos solucionar o potencial interno de uma casca cilíndrica. Lembrando que
o potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga para trazer uma carga de
prova, desde a referência em que o potencial é zero até o ponto considerado,
devemos identificar essa referência de zero potencial. O potencial elétrico
externo, já solucionado antes, é V(r) = - 2kλln
r
R , em que a região de potencial
zero deve ser definida sobre a superfície da casca cilíndrica, quando r=R. Assim,
V(R)=0. Como o potencial deve ser contínuo em todo o espaço, o potencialProcessing math: 100%
elétrico interno à casca cilíndrica deverá ser igual ao potencial da superfície
dessa casca, ou seja, V(r≤R)=0. Não deve haver trabalho necessário para
deslocar uma carga de prova desde a superfície da casca cilíndrica até pontos
internos à mesma casca.
MÓDULO 4
 Calcular a capacitância
CAPACITÂNCIA
Chamamos de capacitância a habilidade de acumulação de cargas elétricas e
energia elétrica por componentes elétricos ou sistemas elétricos, diante de
diferenças de potencial elétrico.
É um fenômeno natural, que pode ser identificado na natureza, entre as nuvens e
o solo, em materiais que acumularam cargas estáticas e sua vizinhança física,
em sistemas elétricos e eletrônicos, sendo macroscópicos ou microscópicos (em
eletrônica em grande escala de integração). Em termos práticos, nosso interesse
está na possibilidade de utilização tecnológica dessa energia armazenada.
Processing math: 100%
 
Fonte: jultud /Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitância
Certamente, ao ler estas linhas, seu equipamento computador, ou mídia
eletrônica, possui alguns bilhões de capacitores em seus circuitos integrados
microscopicamente. Atualmente, convivemos com acumuladores elétricos de
energia a todo instante: baterias, pilhas, capacitores etc. Essencialmente, todos
têm a capacidade de acumular energia em forma elétrica.
 COMENTÁRIO
A simples habilidade dos materiais de acumular cargas elétricas pode
transformar esse sistema em um rudimentar capacitor, e essa habilidade pode
ser mensurada por sua capacitância.
Vamos nos limitar aqui aos componentes acumuladores de energia que
costumamos chamar de capacitores. A ideia essencial de um capacitor é de umProcessing math: 100%
componente elétrico, ou eletrônico, composto por duas paredes condutoras
separadas mecanicamente por um material dielétrico, um não condutor ideal.
Vamos deixar o aprofundamento sobre os dielétricos para o Explore+.
Por ora, vamos pensar no desenho básico de um capacitor: duas placas
condutoras, dispostas paralelamente, bem próximas, mas separadas por uma
distância d. Esses componentes são essenciais à eletrônica e à elétrica em geral.
Certamente, você já ouviu falar da necessidade de correção de instalações
elétricas, em indústrias, com o ajuste necessário de um banco de capacitores.
Bem, isso também ficará para mais tarde. O importante é compreender que o
fenômeno da capacitância é parte da nossa experiência natural e tecnológica.
 
Fonte:Designua/ Shutterstock
 Figura: Esquema Simples de um Capacitor
Vamos definir capacitância como a constante de proporcionalidade, de unidade
S.I. Faraday (F), entre as cargas elétricas acumuladas nas paredes de um
capacitor e a diferença de potencial elétrico necessária para produzir esse
acúmulo: 
Processing math: 100%
 
C =
Q
| ∆ V |
 
Fonte: Muhammad Anuar bin Jamal/Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitores
Se um capacitor, em um circuito elétrico, for alimentado com uma diferença de
potencial elétrico ∆V, por uma fonte de tensão elétrica e, consequentemente,
acumular cargas elétricas, Q, em suas paredes, de tal maneira a estabelecer a
mesma diferença de potencial na região entre essas paredes, o acúmulo de
cargas cessará e o capacitor estará carregado eletricamente.
DEMONSTRAÇÃO
Os capacitores podem ser conectados em arranjos de capacitores em série e em
paralelo. Sempre que conectarmos capacitores, em combinações em série e em
paralelo, o resultado será o de uma capacitância equivalente. Se precisarmos,
como exemplo, de um capacitor de determinado valor de capacitância, podemos
Processing math: 100%
combinar outros capacitores de forma a obter a capacitância equivalente
desejada.
 ATENÇÃO
Não confunda capacitores (componentes) com capacitância (fenômeno)!
ARRANJO EM PARALELO
Vamos considerar a combinação de N capacitores em paralelo, como na figura.
Perceba que a carga total acumulada no sistema de capacitores será a soma das
cargas de cada capacitor Ci, em que i = 1, 2, 3, …, N. Ou seja, Qtotal = ∑
N
i = 1Qi.
 
Fonte:Shutterstock
Processing math: 100%
Nesse arranjo, em paralelo, cada capacitor será alimentado com a mesma
diferença de potencial ∆V. Então, a capacitância equivalente Ceqem paralelo
será:
QTOTAL = Q1 + Q2 + ⋯ + QN
ΔV ⋅ CEQ = ΔV C1 + C2 + ⋯ + CN
CEQ = ∑
N
I = 1CI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO EM SÉRIE
Vamos considerar, agora, a combinação de N capacitores em série, como na
figura. A diferença de potencial ∆V será a soma dos potenciais que alimentam
cada capacitor ∆ V = ∑ Ni = 1Vi.
( )
Processing math: 100%
 
Fonte:Shutterstock
Nesse caso, como cada capacitor acumulará a mesma carga elétrica, Q, em
suas paredes, pois estão em série, a capacitância equivalente em série será:
ΔV = V1 + V2 + ⋯ + VN
Q
CEQ
=
Q
C1
+
Q
C2
+ ⋯ +
Q
CN
1
CEQ
= ∑ NI = 1
1
CI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos à prática!
Processing math: 100%
MÃO NA MASSA
1) UM CAPACITOR DE PLACAS PLANAS É CONSTITUÍDO POR
DUAS PLACAS CONDUTORAS, PARALELAS, DE ÁREAS
IGUAIS, A, E DISTÂNCIA DE SEPARAÇÃO ENTRE AS PLACAS
D. CADA PLACA TEM UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE
CARGAS, Σ, E SÃO CARREGADAS COM CARGAS OPOSTAS,
+Q E -Q. 
VAMOS CONSIDERAR A SITUAÇÃO DE D2 ≪ A. CALCULE SUA
CAPACITÂNCIA.
A) C = ϵ0 d /A
B) C = ϵ0 A /d
C) C = ϵ0 /d
D) C = k A /d
2. O CAPACITOR CILÍNDRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS
CASCAS CILÍNDRICAS DE MESMO EIXO, TAMANHOS L E
RAIOS DOS CILINDROS R2 > R1. A CASCA CILÍNDRICA
INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE, ENQUANTO A
CASCA CILÍNDRICA EXTERNA É CARREGADA
NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE
LINEAR DE CARGAS Λ. CONSIDERANDO HAVER VÁCUO
ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
Processing math: 100%
A) C =
4πϵ0R1R2
R1 - R2
B) C = ϵ0 A /d
C) C = ϵ0 /d
D) C = 
2πϵ0L
ln
R2
R1
3. O CAPACITOR ESFÉRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS
CASCAS ESFÉRICAS CONCÊNTRICAS COM RAIOS R2 > R1. A
CASCA ESFÉRICA INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE,
ENQUANTO A CASCA ESFÉRICA EXTERNA É CARREGADA
NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ. CONSIDERANDO HAVER
VÁCUO ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) C =
4πϵ0R1R2
R2 - R1
B) C = ϵ0 A /d
C) C = ϵ0 / r
D) C = 
2πϵ0L
ln
R2
R1
4. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES
EM SÉRIE, SENDO C1 = 5ΜF, C2 = 10ΜF E C3 = 15ΜF.
CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.
( )
( )
( )
[ ]
Processing math: 100%
A) Ceq = 15μF
B) Ceq = 750μF
C) Ceq = 0,37μF
D) Ceq = 2,73μF
5. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES
EM PARALELO, SENDO C1 = 5ΜF, C2 = 10ΜF E C3 = 15ΜF.
CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.
A) Ceq = 15μF
B) Ceq = 750μF
C) Ceq = 30μF
D) Ceq = 2,73μF
6. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO MISTA DE TRÊS
CAPACITORES C1 = 5ΜF, C2 = 10ΜF E C3 = 15ΜF, SENDO
QUE C1 E C2 ESTÃO EM SÉRIE E ESTES ESTÃO EM
PARALELOCOM C3. CALCULE A CAPACITÂNCIA
EQUIVALENTE CEQ.
 Ceq = 15μF
A)
B) Ceq = 18,33μF
C) Ceq = 30μF
D) Ceq = 2,73μFProcessing math: 100%
GABARITO
1) Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras,
paralelas, de áreas iguais, A, e distância de separação entre as placas d.
Cada placa tem uma densidade superficial de cargas, σ, e são carregadas
com cargas opostas, +Q e -Q. 
Vamos considerar a situação de d2 ≪ A. Calcule sua capacitância.
A alternativa "B " está correta.
CAPACITOR DE PLACAS PLANAS
2. O capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas de
mesmo eixo, tamanhos L e raios dos cilindros R2 > R1. A casca cilíndrica
interna é carregada positivamente, enquanto a casca cilíndrica externa é
carregada negativamente, ambas com a mesma densidade linear de cargas
λ. Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.
A alternativa "D " está correta.
CAPACITOR CILÍNDRICO
Processing math: 100%
3. O capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas
concêntricas com raios R2 > R1. A casca esférica interna é carregada
positivamente, enquanto a casca esférica externa é carregada
negativamente, ambas com a mesma densidade superficial de cargas, σ.
Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.
A alternativa "A " está correta.
CAPACITOR ESFÉRICO
4. Considere uma combinação de três capacitores em série, sendo 
C1 = 5μF, C2 = 10μF e C3 = 15μF. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "D " está correta.
Cuidado ao calcular as quantidades inversas! Vamos expressar a resposta em
Faraday, unidade S.I., de capacitância, em escala μ = 10 - 6.
Uma verificação interessante desse cálculo, é que a capacitância equivalente
numa combinação em série é sempre menor que o menor capacitor do arranjo.Processing math: 100%
Isso não ocorre com combinações em paralelo de capacitores.
1
Ceq .
= ∑ Ni = 1
1
Ci
1
Ceq .
=
1
5μF +
1
10μF +
1
15μF
1
Ceq
= 0,366…
Ceq ≅ 2,73μF
5. Considere uma combinação de três capacitores em paralelo, sendo 
C1 = 5μF, C2 = 10μF e C3 = 15μF. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "C " está correta.
Quando precisamos aumentar a capacitância em um circuito elétrico,
procedemos ao arranjo em paralelo de capacitores.
Ceq = ∑
N
i = 1Ci
Ceq = 5μF + 10μF + 15μF = 30μF
 
6. Considere uma combinação mista de três capacitores 
C1 = 5μF, C2 = 10μF e C3 = 15μF, sendo que C1 e C2 estão em série e estes
estão em paralelo com C3. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "B " está correta.
1
CeqSérie
=
1
C1
+
1
C2
 
1
CeqSérie
=
1
5μF +
1
10μF 
1
CeqSérie
= 0,3 
CeqSérie = 3,33μF 
 
Ceqparalelo = 3,33μF + 15μF
Ceqparalelo = 18,33μF
TEORIA NA PRÁTICA
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Vamos pensar no processo de carga de um capacitor, cuja capacitância é
definida linearmente pela definição padrão, C =
Q
| ∆ V | . Consideremos que esse
capacitor seja alimentado com uma diferença de potencial V0 entre suas
paredes. Suponha, ainda, que possa acumular uma carga total Q, sendo (+ Q)
numa parede e (–Q) na outra. Vamos definir o potencial zero na parede negativa
e o potencial V0 na parede positiva. Pergunta-se: Qual a é energia potencial
elétrica, total, acumulada nesse capacitor?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 01
A energia potencial elétrica é o potencial elétrico multiplicado pela carga de
prova. Mas o capacitor em carga, não apresenta o potencial elétrico V0 desde o
início do processo de carga. O capacitor, na verdade, vai se carregando desde o
potencial zero até o potencial V0. As cargas elétricas vão se acumulando desde a
carga zero, até a carga total Q. Assim, devemos integrar a energia potencial
desde a carga zero até a carga máxima Q.
ETAPA 02
C =
Q
| ΔV | 
 
ΔV = V0 
 
V =
q
C 
 
dU = Vdq
Processing math: 100%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
ETAPA 03
ΔU = ∫Q0Vdq 
 
ΔU = ∫Q0
q
C dq 
 
ΔU =
1
2
Q2
C =
1
2 CV
2
0
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NO PROBLEMA DO CAPACITOR ESFÉRICO ANTERIOR, NO
QUAL A CAPACITÂNCIA FOI CALCULADA COMO C =
4ΠΕ0R1R2
R2 - R1
,
PENSE NA SEGUINTE CIRCUNSTÂNCIA: DESACOPLAMOS A
CASCA ESFÉRICA EXTERNA DE RAIO R2 DAS
PROXIMIDADES DA CASCA ESFÉRICA INTERNA, LEVANDO-A
A UMA DISTÂNCIA INFINITA. NESSA SITUAÇÃO, QUAL SERÁ
A NOVA CAPACITÂNCIA? OU SEJA, TEMOS CAPACITÂNCIA
COM UMA ÚNICA ESFERA CARREGADA? QUAL É O SEU
VALOR?
A) C =
4πϵ0R1R2
R2 - R1
B) C = 0
C) C = 4πϵ0R1
D) C = ∞
( )
( )
Processing math: 100%
javascript:void(0)
2. POR MEIO DO CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE
ENTRE OS TERMINAIS DO CIRCUITO AO LADO, OBTENHA A
CARGA TOTAL ARMAZENADA NOS CAPACITORES, SABENDO
QUE C1 = 0,2ΜF, C2 = 0,4ΜF, C3 = 0,2ΜF E ∆ V = 12 VOLTS. 
 
 
A) Qtotal = 0,133 μC
B) Qtotal = 0,333 μC
C) Qtotal = 0,8 μC
D) Qtotal = 3,996 μC
GABARITO
Processing math: 100%
1. No problema do capacitor esférico anterior, no qual a capacitância foi
calculada como C =
4πϵ0R1R2
R2 - R1
, pense na seguinte circunstância:
desacoplamos a casca esférica externa de raio R2 das proximidades da
casca esférica interna, levando-a a uma distância infinita. Nessa situação,
qual será a nova capacitância? Ou seja, temos capacitância com uma única
esfera carregada? Qual é o seu valor?
A alternativa "C " está correta.
 
Partindo da solução obtida no problema do capacitor esférico anterior, vamos
fazer o raio R2 → ∞. Matematicamente, devemos considerar que tanto o
numerador quanto o denominador, da capacitância do problema, terão
comportamentos assimptóticos, nesse limite infinito. Assim, devemos tratar esse
comportamento assimptótico por meio do cálculo diferencial e perceber que o
termo destacado 
R2
R2 - R1
 tenderá à unidade, lim
R2 → ∞
 
R2
R2 - R1
= 1. Então, a
resposta ao problema é: Sim, uma única esfera carregada terá habilidade
capacitiva, pois se carrega eletricamente, e sua capacitância é calculável.
C =
4πϵ0R1R2
R2 - R1
 R2 → ∞
C = 4πϵ0R1
R2
R2 - R1
 C = 4πϵ0R1
2. Por meio do cálculo da capacitância equivalente entre os terminais do
circuito ao lado, obtenha a carga total armazenada nos capacitores,
sabendo que C1 = 0,2μF, C2 = 0,4μF, C3 = 0,2μF e ∆ V = 12 Volts. 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 100%
A alternativa "D " está correta.
 
1
Ceqsrrie
=
1
C1
+
1
C2
1
Ceqserie
=
1
0,2 +
1
0,4
Ceqsrrie = 0,133μF
Ceqporaldio = Ceqsrrie + C3
Ceqporalclo = 0,333μF
Qtotal = Ceqparalelo × ΔV
Qtotal = 0,333μF × 12V
Qtotal = 3,996μC
CONCLUSÃO
Processing math: 100%
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A compreensão da teoria eletromagnética e seus fenômenos pressupõe a
continuação dos estudos dos conceitos e fenômenos da Eletrostática, para
distribuições contínuas de cargas elétricas e suas relações, como parte
fundamental do que compreendemos hoje como a Teoria Eletrodinâmica
Clássica.
Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência
contemporânea. Neste tema, você estudou os fenômenos, conceitos e definições
de distribuições contínuas de cargas, seus campos, potenciais elétricos, o
importantíssimo conceito de fluxo de campo, Lei de Gauss e aplicações à
capacitância. Não deixe de experimentar as indicações complementares no
Explore +.
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES,
2017. 
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.Processing math: 100%
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física:
Eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 3.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital.
São Paulo: Blucher, 2018.
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São
Paulo: Addison Wesley, 2015. v. 3.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia: Capacitância e DielétricosURL: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap4.pdf
Experimente: Simulador de Hockey Elétrico
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/electric-hockey
Experimente: Simulador John-travoltage
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/john-travoltage
Experimente: Simulador de Capacitores
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/capacitor-lab
CONTEUDISTA
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Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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