Mat Função 2 grau

Prévia do material em texto

© UNIP 2020 all rights reserved
Universidade Paulista
Tópicos de Matemática 
Funções de 2o Grau - Aula ao Vivo
© UNIP 2020 all rights reserved
Função de 2º Grau
Definição: Uma função é chamada de função do 2º grau se
existirem números reais a, b e c tais que:
f(x) = a.x2 + b.x + c ou y = a.x2 + b.x + c 
Exemplos: 
a)
b)
c)
FUNÇÕES DO 2º GRAU – Ap. TM pág. 81
xxy
xxf
xxy
35
310)(
53
2
2
2



com a ∈R* e b, c ∈R.
© UNIP 2020 all rights reserved
O gráfico de uma função do 2º grau é uma PARÁBOLA.
Funções do 2º Grau
652  xxy
x y = x2 – 5x + 6
-1 y = (-1)2 – 5 . (-1) + 6 = 12
0 y = 02 – 5 . 0 + 6 = 6
1 y = 12 – 5 . 1 + 6 = 2
2 y = 22 – 5 . 2 + 6 = 0
3 y = 32 – 5 . 3 + 6 = 0
4 y = 42 – 5 . 4 + 6 = 2
5 y = 52 – 5 . 5 + 6 = 6
6 y = 62 – 5 . 6 + 6 = 12
© UNIP 2020 all rights reserved
O gráfico de uma função do 2º grau é uma PARÁBOLA.
Funções do 2º Grau
652  xxy
x y = x2 – 5x + 6
-1 y = (-1)2 – 5 . (-1) + 6 = 12
0 y = 02 – 5 . 0 + 6 = 6
1 y = 12 – 5 . 1 + 6 = 2
2 y = 22 – 5 . 2 + 6 = 0
3 y = 32 – 5 . 3 + 6 = 0
4 y = 42 – 5 . 4 + 6 = 2
5 y = 52 – 5 . 5 + 6 = 6
6 y = 62 – 5 . 6 + 6 = 12
Eixo de 
simetria 
(2,5; -0,25)
© UNIP 2020 all rights reserved
O gráfico de uma função do 2º grau é uma PARÁBOLA.
Funções do 2º Grau
452  xxy
x y = – x2 + 5x – 4
-1 y = – (-1)2 + 5 . (-1) – 4 = – 10
0 y = – 02 + 5 . 0 – 4 = – 4 
1 y = – 12 + 5 . 1 – 4 = 0
2 y = – 22 + 5 . 2 – 4 = 2
3 y = – 32 + 5 . 3 – 4 = 2
4 y = – 42 + 5 . 4 – 4 = 0
5 y = – 52 + 5 . 5 – 4 = – 4
6 y = – 62 + 5 . 6 – 4 = – 10
Eixo de 
simetria 
(2,5; 2,25)
© UNIP 2020 all rights reserved
Se a > 0, então a parábola tem concavidade voltada para cima.
Se a < 0, então a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Funções do 2º Grau
652  xxy 452  xxy
© UNIP 2020 all rights reserved
Principais Pontos da Parábola
Funções do 2º Grau
y = x2 − 6x + 5
© UNIP 2020 all rights reserved
Principais Pontos da Parábola
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Principais Pontos da Parábola
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Se  > 0  a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.
Se  = 0  a parábola tangencia o eixo x.
Se  < 0  a parábola não corta nem tangencia o eixo x.
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Principais Pontos da Parábola
Funções do 2º Grau
3) Vértice da parábola
a
b
xV
2


a
yV
4


Vx
Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Resumindo
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
1
2 2
3
© UNIP 2020 all rights reserved
Ex: Faça o esboço do gráfico da função f(x) = x2 − 6x + 5
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 6x + 5
Funções do 2º Grau
50  yx
0562  xx
acb 42 
  5*1*46 2 
2036
16
a
b
x
2


1*2
16)6( 
x
2
46 
x
1
2
46
1 

x
5
2
46
2 

x
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 6x + 5
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
1*2
)6(
Vx
3Vx
1*4
16
Vy
4Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 6x + 5
Funções do 2º Grau
1) y = 5
2) x1 = 1 x2= 5
3) xV = 3 yV = -4
1
2 2
3
© UNIP 2020 all rights reserved
Ex: Faça o esboço do gráfico da função f(x) = x2 − 7x + 10
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 7x + 10
Funções do 2º Grau
100  yx
01072  xx
acb 42 
  10*1*47 2 
4049
9
a
b
x
2


1*2
9)7( 
x
2
37 
x
2
2
37
1 

x
5
2
37
2 

x
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 7x + 10
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
1*2
)7(
Vx
5,3Vx
1*4
9
Vy
25,2Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 7x + 10
Funções do 2º Grau
1) y = 10
2) x1 = 2 x2= 5
3) xV = 3,5 yV = - 2,25
© UNIP 2020 all rights reserved
Ex: Faça o esboço do gráfico da função f(x) = x2 − 2x + 1
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 2x + 1
Funções do 2º Grau
10  yx
0122  xx
acb 42 
  1*1*42 2 
44 
0
a
b
x
2


1*2
0)2( 
x
2
02 
x 1x
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 2x + 1
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
1*2
)2(
Vx
1Vx
1*4
0
Vy
0Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − 2x + 1
Funções do 2º Grau
1) y = 1
2) x1 = 1
3) xV = 1 yV = 0
© UNIP 2020 all rights reserved
Ex: Faça o esboço do gráfico da função f(x) = x2 − x + 1
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − x + 1
Funções do 2º Grau
10  yx
012  xx
acb 42 
  1*1*41 2 
41
3
a
b
x
2


© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − x + 1
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
1*2
)1(
Vx
5,0Vx
1*4
)3(
Vy
75,0Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = x2 − x + 1
Funções do 2º Grau
1) y = 1
2) x1 =
3) xV = 0,5 yV = 0,75

© UNIP 2020 all rights reserved
Ex: Faça o esboço do gráfico da função f(x) = - x2 + 3x - 2
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = - x2 + 3x - 2
Funções do 2º Grau
20  yx
0232  xx
acb 42 
  )2(*)1(*43 2 
89
1
a
b
x
2


1*2
1)3(


x
2
13


x
2
2
13
2 


x
1
2
13
1 


x
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = - x2 + 3x - 2
Funções do 2º Grau
a
b
xV
2


a
yV
4


3) Vértice da parábola
)1(*2
)3(


Vx
5,1Vx
)1(*4
1


Vy
25,0Vy
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: f(x) = - x2 + 3x - 2
Funções do 2º Grau
1) y = -2
2) x1 = 1 x2= 2
3) xV = 1,5 yV = 0,25
© UNIP 2020 all rights reserved
Problemas que envolvem funções do 2º grau
1)Uma bola é atirada do alto de uma torre. A equação que
relaciona a altura (H) da bola em função do tempo (t) é
dada por H(t) = 90-10t2, onde a altura é dada em metros e
o tempo em segundos.
a)Qual a altura da torre?
b)Quanto tempo a bola levará para chegar ao solo?
c)Esboce o gráfico da altura (H) em função do tempo (t)
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução:a) Qual a altura da torre?
Para encontrar a altura, basta utilizar t = zero
Funções do 2º Grau
21090)( ttH 
0*1090)0( H
mH 90)0( 
b) Quanto tempo a bola levará para chegar ao solo?
Basta substituir H por zero
210900 t
9010 2 t
9
10
902 t 9t
st 3
© UNIP 2020 all rights reserved
c) Esboce o gráfico da altura (H) em função do tempo (t)
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Problemas que envolvem funções do 2º grau
2) Um sitiante deseja cercar um terreno retangular para
seus porcos não fugirem, utilizará 30 metros de arame
farpado para cercar os 4 lados do terreno.
a) Escreva a expressão que relaciona a área em função do
comprimento
b) Esboce o gráfico da função
c) Qual a área máxima que o sitiante pode obter?
d) Quais as dimensões desse terreno para que o sitiante
obtenha a maior área possível?
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: a) Escreva a expressão que relaciona a área em
função do comprimento
Funções do 2º Grau
uraly
ocomprimentx
arg

3022  yx
xy 2302 
2
230 x
y


xy  15
uralxocomprimentA arg
)15(*)( xxxA 
215)( xxxA 
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: b) Esboce o gráfico da função
Funções do 2º Grau
15
0
2
1


x
x
225,56
5,7
my
mx
V
V


215)( xxxA 
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: c) Qual a área máxima que o sitiante pode obter?
Funções do 2º Grau
A área máxima é dada pelo yV
225,56 myV 
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução: d) Quais as dimensões desse terreno para que o
sitiante obtenha a maior área possível?
Funções do 2ºGrau
O maior comprimento é o valor xV
mxV 5,7 xy  15 5,715 y 5,7y
As dimensões são 7,5 m x 7,5 m
© UNIP 2020 all rights reserved
Problemas que envolvem funções do 2º grau
3) Considere o terreno:
a) Encontre a expressão que relaciona a área da figura
pintada em função de x
b) Esboce o gráfico da função
c) Qual o valor de x que torna a área mínima e qual o valor
dessa área mínima
Funções do 2º Grau
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução:a) Encontre a expressão que relaciona a área da
figura pintada em função de x
Funções do 2º Grau
adapnãoquadradoadap AAA intint 
10010*10 quadradoA
)10(*int xxA adapnão 
2
int 10 xxA adapnão 
)10(100 2xxApin 
10010)( 2  xxxA
© UNIP 2020 all rights reserved
Solução:b) Esboce o gráfico da função
Funções do 2º Grau
10010)( 2  xxxA
275
5
my
mx
V
V


© UNIP 2020 all rights reserved
Solução:c) Qual o valor de x que torna a área mínima e qual
o valor dessa área mínima
Funções do 2º Grau
275
5
my
mx
V
V


© UNIP 2020 all rights reserved
Exercício para Entrega
Em uma cidade onde o inverno é bastante intenso, em um
período de zero hora a 12 horas, a temperatura (T) varia
em função do tempo (t) de acordo com a função
T(t)=0,5t2−3t+9, onde t representa o tempo em horas.
a) Qual a temperatura no instante t = 0h?
b) Qual a temperatura quando t = 4 h?
c) Faça o esboço do gráfico da função.
d) Em que instante a temperatura atingiu o valor neste
período? Qual foi a temperatura mínima?
Funções do 2º Grau