TÓPICOS ESPECIAIS-MATEMÁTICA BÁSICA

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1. Introdução à matemática: conjunto, plano cartesiano e Sistema Internacional de Unidades
1)
Utilize a propriedade distributiva e verifique que a forma expandida de 2. (1 + 4x) será:
c)
2 + 8x.
RESPOSTA CORRETA
2 . (1 + 4x) = 2 + 8x.
2)
Em relação ao plano cartesiano, observe as lacunas na afirmação a seguir: “Um ponto no plano pode ser representado de maneira única por um par ______ de números. O primeiro número do par é chamado ______ e o segundo número do par é chamado ______” (TAN, 2014).Assinale a alternativa que completa as lacunas corretamente.
e)
Ordenado; abscissa; ordenada.
RESPOSTA CORRETA
Um ponto no plano pode ser representado de maneira única por um par ordenado de números. O primeiro número do par é chamado abscissa e o segundo número do par é chamado ordenada.
3)
Imagine que a equação y = 9,4x - 98, expressa uma relação entre o comprimento x e o peso esperado y (em toneladas) de um animal marinho. Nesse contexto, é correto afirmar que o peso esperado de um animal marinho de 15 m é de:
d)
43 toneladas.
RESPOSTA CORRETA
y = 9,4x - 98
y = 9,4 . (15) - 98
y = 141 - 98
y = 43 toneladas
4)
Sobre o Sistema Internacional de Medidas, é correto afirmar que: 
a)
As unidades básicas do Sistema Internacional de Medidas são: metro, quilograma, segundo, Kelvin, ampère, candela e mole.
RESPOSTA CORRETA
As unidades básicas do Sistema Internacional de Medidas são: metro, quilograma, segundo, Kelvin, ampère, candela e mole.
As unidades métricas são as mais utilizadas para expressar as medidas de uma grandeza.
As medidas de grandezas podem ser expressas em unidades não pertencentes ao Sistema Internacional de Medidas e em unidades derivadas, ou seja, unidades criadas a partir das unidades básicas do SIU.
Algumas vezes, as medidas de uma grandeza são muito pequenas ou muito grandes quando comparadas com os padrões das unidades básicas do Sistema Internacional de Medidas, quando esses múltiplos dos padrões vão expressos em potências de 10, os prefixos das unidades básicas têm nomes específicos. Eles também podem ser aplicados a qualquer outro tipo de unidade.
5)
De acordo com Durán (2011), ao se fazer a medida de uma grandeza, é preciso associar a ela um valor dimensionado em relação a uma unidade que arbitrariamente se tenha definido para medi-la. No Sistema Internacional de Medidas, as unidades métricas são as mais utilizadas para expressar as medidas de uma grandeza. Nesse contexto, é correto afirmar que:
b)
a unidade utilizada para representar massa é o quilograma.
RESPOSTA CORRETA
A unidade utilizada para representar a corrente elétrica é ampère, para representar massa é quilograma, para representar a temperatura termodinâmica é Kelvin, para representar a intensidade luminosa é candela e para representar a quantidade de substância é mole.
2. Conjuntos numéricos
1)
Considerando os conjuntos A = { x, y, z} , B={ z, y, z, x} , C={ y, x, y, z} e D={ y, z, x, y} , escolha a alternativa correta:
c)
Todos os conjuntos (A, B, C e D) são iguais.
RESPOSTA CORRETA
Todos os 4 conjuntos são iguais. Ordem e repetição não mudam um conjunto.
2)
Marque a opção que apresenta uma representação de conjunto correta:
d)
T={ a,b,c,d} .
RESPOSTA CORRETA
Conjuntos são representados por letras maiúsculas, e usamos letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos entre par de chaves.
3)
Considere o conjunto A = {{ 1, 2, 3} , { 4, 5} , { 6, 7, 8}} . A opção correta que lista os elementos de A é:
d)
A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5} e { 6, 7, 8} .
RESPOSTA CORRETA
A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5} e { 6, 7, 8 }.
4)
Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek; 20 leem Newsweek e Time; 45 leem Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 42 leem Fortune, 15 leem Time e Fortune e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas. O número de pessoas que leem as três revistas é:
b)
8.
RESPOSTA CORRETA
A partir do desenho do conjunto, verifica-se que a interseção dos que leem as três revistas entre os subconjuntos de cada revista é de apenas 8 pessoas.
5)
Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek; 20 leem Newsweek e Time; 45 leem Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 42 leem Fortune, 15 leem Time e Fortune e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas. O número de pessoas que leem somente uma das três revistas é:
e)
56.
RESPOSTA CORRETA
28 + 18 + 10 = 56 leem somente uma das revistas.
3. Operações básicas
1)
Você tinha 18 balas e comprou mais 16 para dividi-las igualmente entre você e um amigo, mas resolveu comer duas balas antes. Então, quantas balas cada um ganhará?
c)
16.
RESPOSTA CORRETA
(18 + 16 - 2)÷2 = 32÷2 = 16
2)
Carla está na fila de atendimento dos caixas de um banco. Sua senha é a de número 17. Sabe-se que há apenas um caixa funcionando que leva, em média, dois minutos para atender o cliente. Assim, defina quantos minutos Carla gastará na fila até ser atendida:
 d)
32.
RESPOSTA CORRETA
Como há 16 pessoas a serem atendidas antes de Carla, elas serão atendidas em: 16 pessoas x 2 minutos = 32 minutos. Assim, Carla gastará, no mínimo, 32 minutos antes de ser atendida pelo caixa do banco.
3)
Carlos analisa o custo de uma viagem de carro. Sabe-se que para a distância entre Belo Horizonte e Ouro Preto, um carro, modelo a gasolina, consome 25 litros, e outro, modelo a álcool, consome 38 litros. Considerando que o preço do litro de gasolina é R$3,80, e o preço do litro de álcool é R$2,80, marque a opção CORRETA sobre o custo de cada modelo nesta viagem:
b)
A diferença no custo entre as opções é de R$11,40, sendo o modelo a gasolina mais econômico.
RESPOSTA CORRETA
Gasolina: 25 x R$3,80 = R$95,00.
Álcool: 38 x R$2,80 = R$106,40.
A diferença é R$106,40 - R$95,00 = R$11,40.
4)
O preço de uma corrida de táxi é calculado a partir de uma taxa fixa, chamada "bandeirada", e uma variável, de acordo com o número de quilômetros rodados. Em Belo Horizonte, a "bandeirada" é R$5,50, o preço por quilômetro rodado é R$1,40 e R$30,00 por hora parada. A partir desses dados, assinale a opção CORRETA:
e)
Em uma corrida de táxi de 8km, o passageiro pagará R$46,70, uma vez que o taxista ficou mais uma hora parado esperando pelo cliente.
RESPOSTA CORRETA
O preço da corrida tem a taxa fixa e a variável. Para a corrida de 8km, o valor a pagar será R$5,50 + 8 x R$1,40 + 1 x 30 = R$46,70.
5)
Laura foi ao shopping e gastou um total de R$4.000,00. Como forma de pagamento, ela pagou R$800,00 de entrada, e o restante da dívida foi parcelado em cinco prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação?
b)
R$640,00.
RESPOSTA CORRETA
Você deve subtrair o valor da entrada do total a pagar (R$4.000,00 - R$800,00 = R$3.200,00) para, então, dividir por 5 parcelas. Assim, R$3.200,00÷5 = R$640,00.
4. Operações com números reais e intervalos numéricos
1)
Considere os conjuntos expressos por intervalos numéricos: A = ]1, 5[ e B = [3,7]. Determine o conjunto A U B.
a)
A U B = ]1,7].
RESPOSTA CORRETA
A união do conjunto A com B será com intervalo aberto em 1 e intervalo fechado em 7: A U B = ]1,7]. Note que mesmo o número 5 não pertencendo a A, pois é intervalo aberto, ele pertence ao conjunto da união de A e B, pois está no intervalo de B.
2)
Marque a opção que apresenta a notação correta para uma desigualdade:
d)
3 está à esquerda de 8 na reta real.
RESPOSTA CORRETA
O número estar à esquerda de outro significa que é menor que ele, e como 3 < 8 (menor), logo 3 está à esquerda de 8. <>>
3)
Seja o intervalo real:
Selecione a correta representação no eixo cartesiano do conjunto T:
e)
RESPOSTA CORRETA
O conjunto T tem intervalo aberto em -2, pois x > 2. E intervalo fechado em 5, já que este número pertence ao conjunto T e é a sua extremidade.
4)
Marque a opção com a solução correta da operação: (-2)(+4) (3 -1)2 + 11
b)
-21.
RESPOSTA CORRETA
Desenvolvendo a equação a partir dos passos das operações com números reais, tem-se que:
1. Resolver o parêntese: (-2)(+4) (3 -1)2 + 11 = (-2)(+4) (2)2 + 11
2. Resolver a potência: (-2)(+4) (2)2 + 11= (-2)(+4) (4) + 11
3. Multiplicar os termos: (-2)(+4) (4) + 11 = (-32) + 11
4. Somar os termos: (-32) + 11 = -21
 Resposta: -21
5)
A solução para a equação (– 4 + 3)2 ÷1/5 - 2 é:
e)
3.
RESPOSTA CORRETA
A solução correta, considerando os passos das operações com números reais é:
1. Resolver o parêntese: (– 4 + 3)2 ÷ 1/5 - 2= (-1)2 ÷ 1/5 - 2
2. Resolver a potência: (-1)2 ÷ 1/5 - 2 = 1 ÷ 1/5 - 2
3. Dividir os termos: 1 ÷ 1/5 - 2 = 5 - 2
4. Subtrair os termos: 5 - 2 = 3
Resposta: 3
5. Potenciação
1)
Ao simplificar a expressão numérica
{{2} ^ {{3} over {2}} . {4} ^ {{3} over {5}}} over {sqrt {32}}
, utilizando propriedades da potenciação, obtemos:
b)
{2} ^ {{1} over {5}}
RESPOSTA CORRETA
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
{{2} ^ {{3} over {2}} . {4} ^ {{3} over {5}}} over {sqrt {32}} = {{2} ^ {{3} over {2}} . {( {2} ^ {2} )} ^ {{3} over {5}}} over {{( {2} ^ {5} )} ^ {{1} over {2}}} = {{2} ^ {{3} over {2}} . {2} ^ {{6} over {5}}} over {{2} ^ {{5} over {2}}} newline "=" {{2} ^ {{27} over {10}}} over {{2} ^ {{5} over {2}}} = {2} ^ {{2} over {10}} = {2} ^ {{1} over {5}}
2)
Suponha que x, y e z sejam diferentes de zero. Utilizando propriedades da potenciação para reescrever a expressão
²{9. sqrt {x} . {y} ^ {5} . {z} ^ {0}} over {(3 {.x} ^ {2} . {y} ^ {3} .z)²}
e mantendo todos os fatores no numerador, obtemos:
d)
{x} ^ {- {7} over {2}} . {y} ^ {-1} . {z} ^ {-2}
RESPOSTA CORRETA
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
3)
Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa recebe após aplicar um capital (C) a uma taxa (i) durante um tempo (t). No regime de capitalização composto, a expressão do montante é dada por M = C(1+i)t.
Suponha que um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 1% ao mês. Qual é o montante após 6 meses?
a)
R$ 21.230,40
RESPOSTA CORRETA
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
4)
O proprietário de uma indústria estimou que ao inaugurar uma nova filial, a produção mensal, em toneladas é dada pela expressão P = 200 – 180.9–0,05t, onde t é o número de meses contados a partir da inauguração da nova filial. Após dez meses da inauguração, qual será a produção atingida?
c)
140 toneladas
RESPOSTA CORRETA
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
P=200-180. {9} ^ {-0,05.10} =200-180. {9} ^ {-0,5} newline "="200 -180 . {9} ^ {- {1} over {2}} =200- {180} over {{9} ^ {{1} over {2}}} newline "="200- {180} over {sqrt {9}} =200- {180} over {3} newline "="200-60=140 toneladas
5)
Alguns equipamentos podem sofrer perda de valor a medida que o tempo passa, esse fenômeno é chamado depreciação. Imagine que uma máquina sofre depreciação exponencial de modo que seu valor, em reais, após t anos de uso é dado pela expressão V = 10000 – 80000.(2)– t. Qual o valor dessa máquina após 5 anos de uso?
d)
R$ 7.500,00
RESPOSTA CORRETA
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo: 
V=10000-80000. {(2)} ^ {-5} =-10000-80000. {1} over {{2} ^ {5}} newline "="10000- {80000} over {32} =10000-2500=R$7500,00
6. Produtos notáveis
1)
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x + 3y)²:
c)
x² + 6xy + 9y²
RESPOSTA CORRETA
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
2)
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (7x – 4)²:
e)
49x² – 56x + 16.
RESPOSTA CORRETA
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
3)
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (2a + x) . (2a – x):
a)
4a² – x².
RESPOSTA CORRETA
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
4)
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x + 3)³:
b)
x³ + 9x² + 27x + 27.
RESPOSTA CORRETA
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
5)
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x - 3)³:
d)
x³ - 9x² + 27x - 27.
RESPOSTA CORRETA
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
7. Pontos e eixos, par ordenado, domínio e imagem
1) Observe a figura a seguir e verifique qual ponto tem as coordenadas (4,2), assinalando a resposta correta.
c)
O ponto A.
RESPOSTA CORRETA
O ponto A tem as coordenadas (4, 2); B (-5, 4); D (-4, 0); C (-6, 1); e F (0, -2).
2)
Observe a figura a seguir e verifique qual(is) ponto(s) tem(têm) a ordenada negativa, assinalando a resposta correta.
a)
Os pontos E, F, G.
RESPOSTA CORRETA
Ordenada é o mesmo que eixo y. Assim, os pontos que têm a ordenada negativa são: E (-2, -3), F (0, -2) e G (5, -1). Já os pontos A (4, 2), B (-5, 4), C (-6, 1) e D (-4, 0) têm ordenada positiva.
3)
Encontre as coordenadas dos pontos que estão a 10 unidades de distância do ponto de origem e têm ordenada igual a - 6. Nesse contexto, é correto afirmar que:
d)
as coordenadas são (-10, -6) e (10, -6).
RESPOSTA CORRETA
Considere que a origem é o ponto (0, 0), ou seja, x = 0 e y = 0. Sendo assim, as coordenadas que estão a 10 unidades de distância do ponto de origem e têm ordenada igual a -6 são (-10, -6) e (10, -6).
4)
Encontre as coordenadas dos pontos que estão a 5 unidades de distância da origem e têm abscissa igual a 3. Em tal contexto, é correto afirmar que:
b)
as coordenadas são (3, -5) e (3, 5).
RESPOSTA CORRETA
Considere que a origem é o ponto (0, 0), ou seja, x = 0 e y = 0. Sendo assim, as coordenadas que estão a 5 unidades de distância do ponto de origem e têm abscissa igual a 3 são (3, -5) e (3, 5).
5)
Em relação ao conceito de função e definição de domínio e imagem, bem como a representação por meio do diagrama de Venn, observe a figura a seguir e assinale a alternativa correta.
e)
O conjunto do domínio dessa função pode ser expresso por D = [1, 2, 3, 4, 5].
RESPOSTA CORRETA
Essa representação é uma função, pois, para cada elemento do conjunto A, temos um, e somente um, elemento no conjunto B. O conjunto imagem está definido por Im = [2, 3, 4, 5, 6]. O conjunto do domínio dessa função pode ser expresso por D = [1,2, 3, 4, 5].
8. Generalidades sobre funções
1)
 Se (1,3) está no gráfico de y = f(x), então f(1) é:
c)
3.
RESPOSTA CORRETA
Com a variável independente x =1 em (1,3), a variável dependente f(x), ou seja, f(1) é 3.
2)
Se f(x) = 1 – x³, encontre f(–2).
d)
9.
RESPOSTA CORRETA
Com a variável independente x = -2, a variável dependente f(x), ou seja, f(-2) será:
f(–2) = 1 – (–2)³
= 1 – (–8) = 9
3)
Se f(x) = 2x²,encontre f(x + h).
b)
f(x + h) = 2(x²+ 2xh + h²).
RESPOSTA CORRETA
Na função f(x) = 2x², a variável independente pedida é (x + h), assim a variável dependente f(x + h) será:
f(x + h) = 2(x + h)²
f(x + h) = 2(x²+ 2xh + h²)
4)
Se f (x) = 1/(x+1) , qual é o domínio de f(x)?
b)
O conjunto de todos os números reais, exceto quando x = –1.
RESPOSTA CORRETA
O domínio de f (x) = 1/(x+1) é o conjunto de todos os números reais, exceto quando x = –1, pois f(x) não está definida quando x = –1 (o denominador seria igual 0).
5)
Um passageiro de táxi tem que pagar por uma corrida uma parcela fixa de R$ 5,00, denominada bandeirada, mais uma parcela variável de R$ 0,60 por km rodado. A função que representa o preço P de uma corrida de táxi é:
c)
P(x) = 5 + 0,60x.
RESPOSTA CORRETA
A corrida de táxi P é uma função do valor fixo da bandeirada mais o valor variável encontrado por x quilômetros rodados. Logo: P(x) = 5 + 0,60x.
9. Variáveis matemáticas e Função do Primeiro Grau
1)
Considerando a função
f left (x right ) =3x+7
qual o valor de
f left ({5} over {3} right )
?
b)
12
RESPOSTA CORRETA
f left (x right ) =3x+7→f left ({5} over {3} right ) =3 {5} over {3} +7 → newline f left ({5} over {3} right ) =5+7 →f left ({5} over {3} right ) = 12
2)
A função de f é definida como f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(2) = 1. Então, pode-se afirmar que f(5) é:
2)
A função de f é definida como f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(2) = 1. Então, pode-se afirmar que f(5) é: 
a)
-1
RESPOSTA CORRETA
Sabe-se que f(x) = ax + b, então f(-1) = a(-1)+b = 3→ -a+b=3 (I) e f(2) = a(2)+b = 1 → 2a+b=1 (II).
Deve-se fazer (II) - (I)
–(I) = -(-a+b=3)→a-b=-3
matrix {2 a + b =1 ## a - b =-3 ## acute {3 a =-2}}
Então,
a=- {2} over {3}
e
b= {7} over {3}
f left (x right ) =- {2} over {3} x+ {7} over {3}
f left (5 right ) =- {2} over {3} 5+ {7} over {3} rightarrow
f left (x right ) = {-10+7} over {3} rightarrow f left (x right ) = {-3} over {3} =-1
3)
Seu João acabou de comprar seu carro por R$ 42.000,00. Após 2 anos de uso, em uma avaliação, seu carro estava valendo R$ 36.750,00. Se a depreciação obedece uma função do tipo f(x)=ax+b, qual função definirá o valor do automóvel (R$) ao longo do tempo (x)?
e)
f(x) = -2.625x+ 42.000
RESPOSTA CORRETA
Se, no tempo inicial (x = 0), o valor do carro é de R$ 42.000,00, então pode-se dizer que o coeficiente linear b é 42.000. Em x = 2 anos, o valor do carro é R$ 36.750.
Dessa forma, tem-se que
f left (2 right ) = a .2+ 42.000=36.750 rightarrow
2 a =- 5.250 rightarrow a =-2.625
Então,
f left (x right ) = {-10+7} over {3} rightarrow f left (x right ) = {-3} over {3} =-1
4)
Para que a função
f left (x right ) = left (-2m+4 right ) x+6
seja crescente, qual deve ser o valor de m?
d)
m < 2<>>
RESPOSTA CORRETA
Para que a função afim seja crescente, basta que o coeficiente a = -2m+4 seja maior que zero.
 Portanto,
f left (x right ) = left (-2m+4 right ) x+6
-2 m +4>0 rightarrow -2 m >-4
.
Como a variável é negativa, deve-se inverter a desigualdade:
m <2
.
5)
Se os pontos (0, 4) e (2, 0) pertencem ao gráfico da função definida por f(x) = ax +b, na qual
a, b ∈R
, então o valor de a é:
a)
-2
RESPOSTA CORRETA
O ponto (0, 4) é o ponto que corta o eixo Oy, portanto é o coeficiente b. O ponto (2, 0) é a raiz da função, ou seja,
– {b} over {a}
. Então,
– {b} over {a} =2
, e substituindo b na expressão obtém-se:
- {4} over {a} =2 rightarrow a =- {4} over {2} rightarrow a =-2
10. Função do primeiro grau
1)
Determine os coeficientes angular e linear da reta representada pela função f(x) = 3x + 5:
a)
Coeficiente angular a = 3, coeficiente linear b = 5.
2)
Determine a função do primeiro grau cujo gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 2).
d)
y = 3x - 1.
RESPOSTA CORRETA
A função do primeiro grau tem como forma y = ax + b, sendo a o coeficiente angular; e b o coeficiente linear (quando x = 0).
Considerando o gráfico com os pontos A(0; -1) e B(1; 2), sabe-se que:
a. quando x = 0, então y = -1 (coeficiente linear b = -1);
b. quando x = 1, então y = 2. Se y = ax + b, então: 2 = a(1) - 1;
c. isolando a na equação: 2 = a(1) - 1, tem-se: a = 2 + 1 = 3;
d. a função esperada é y = 3x - 1.
3)
A função da reta com coeficiente angular 1/2 e interseção com o eixo y igual a –3, é:
c)
y = 1/2(x) – 3.
RESPOSTA CORRETA
Substituindo m = 1/2 e b = –3 na função do primeiro grau, y = mx + b, obtém-se:
y = 1/2(x) + (–3) ou
y = 1/2(x) – 3.
4)
O coeficiente angular e a interseção com o eixo y da reta cuja equação é x + 2y = 8 são, respectivamente:
b)
−1/2 e 4.
RESPOSTA CORRETA
Para colocar a equação na forma coeficiente angular-interseção com o eixo y, devemos isolar:
x + 2y = 8
2y = –x + 8 ou
y = − 1/2(x) + 4
Assim, o coeficiente angular é −1/2 e a interseção com o eixo y (quando x = 0) é 4.
5)
Um edifício valendo R$ 360.000 é depreciado pelo seu proprietário. O valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x. Quanto tempo (em meses) leva para que o edifício seja totalmente depreciado, ou seja, seu valor seja zero?
c)
240 meses.
RESPOSTA CORRETA
Como a função que encontra o valor y do edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x, e o valor desejado após a total depreciação do bem representa encontrar o valor de x que faz com que y seja igual a zero, assim:
se y = 0, logo
360.000 - 1500x = 0
-1500x = -360.000
x = -360.000/-1500
x = 240 meses (240; 0)
11. Função do segundo grau
1)
O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolvermos a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a ________________. A opção que, respectivamente, preenche corretamente as lacunas acima é:
b)
zero, zero.
RESPOSTA CORRETA
A solução por fatoração baseia-se na propriedade de números reais a e b, ab = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0 ou ambos. Consequentemente, para resolver por fatoração, devemos inicialmente escrever a equação com zero em um dos lados.
2)
Resolva a seguinte equação por fatoração: x² – 19x = 20.
c)
x = -1; x = 20.
RESPOSTA CORRETA
Para fatorar a equação x² – 19x = 20, devemos igualá-la a zero. Logo: x² −19x −20 = 0
Fatoração: (x − 20)(x + 1) = 0
Igualando cada termo a zero:
a) x − 20 = 0 x = 20
b) x + 1 = 0 x = -1
Solução: x = -1 e x = 20
3)
Encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos seja 30 e o produto entre eles seja 230.
a)
x² – 30x + 230 = 0
RESPOSTA CORRETA
Sejam x e y os números desejados, então:
1ª equação: x + y = 30
2ª equação: x . y = 230
Da primeira equação temos que y = 30 – x, que substituindo na segunda:
x(30 – x) = 230
30x – x² – 230 = 0
x² – 30x + 230 = 0
4)
Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A lei de formação dessa função pode ser escrita conforme:
d)
f(x)= −3x² + x + 5
RESPOSTA CORRETA
a. Tome f (x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)² + b (0) + c = 5 ⇒ c = 5
f (1) = 3 ⇒ a (1)² + b (1) + c = 3 ⇒ a + b = −2 (i)
f (−1) = 1 ⇒ a (−1)² + b (−1) + c = 1 ⇒ a − b = −4 (ii)
b. Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i) + (ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
c. A lei de formação da função será f(x)= −3x² + x + 5
5)
Considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12. 800 cm². Sabendo-se que a largura é o dobro da altura do local, encontre as dimensões da sala.
e)
Largura: 160 cm/ Altura: 80 cm.
RESPOSTA CORRETA
Se x é a altura da sala, tem-se que 2x será a sua largura. A área do retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura, assim: x . 2x = 12.800
Que pode ser expressa como: 2x² - 12.800 = 0 x² = 6400 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma sala não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
 Como 2x representa a largura da tela, temos então que ela será de 2 . 80 = 160
12. Sistemas de Equações
1)
Duas equações de reta se cruzam no plano, de forma que o ponto de interseção entre elas existe e é único. Dado o sistema querepresenta cada uma dessas equações
left lbrace stack { 5x+y=0 # -x+y=12 } right none
qual par ordenado é conjunto solução?
b)
V = {(-2, 10)} 
RESPOSTA CORRETA
Basta multiplicar a 2a equação por (-1) e usar o método da adição:
stack { 5x+y=0 # x-y= -12 } over {6x=-12}
Então, x = -2 e y = 10
V = {(-2, 10)}
2)
Um sistema 3x3 é representado graficamente por um ponto no espaço, de forma que sua solução é uma tripla ordenada. Se três equações no espaço formam o sistema a seguir, qual é a sua solução?
left lbrace stack { 2x-4y+z=19 # x+2y-z=-9 # -x+3y+2z=6 } right none
b)
V = {(2,-2,7)}
RESPOSTA CORRETA
Escalonando o sistema, primeiramente, troca-se a 1a e a 2a equação de lugar; depois, troca-se a 3a equação pela soma da 1a com a 3a equação:
Agora, vamos trocar a 2a equação pela soma da 2a com o produto da 1a por (-2):
Vamos trocar 2a e 3a equações de lugar:
left lbrace stack { x+2y-z=-9 # 5y+z=-3 # -8y+3z=37 } right none
Da 2a equação . (8), temos: 40y+8z=-24
Da 3a equação . (5), temos: -40y+15z=185
Somando 2a e 3a equação e trocando na 3a equação, temos:
matrix {40y+8z=-24 ## -40y+15z=185} over {0y+23z=161}
left lbrace stack { x+2y-z=-9 # 5y+z=-3 # 23z=161 } right none
Então, 23z = 161 ⇒ z = 7
Então, 5y + z = - 3 ⇒ 5y = - 3 - 7 ⇒ y = - 2
E por fim, x + 2y - z = - 9 ⇒ x - 4 - 7 = - 9 ⇒ x = 2
 V = {(-2,2,7)}
3)
Se a matriz dos coeficientes de um sistema é dada por
A= left lline matrix {1 # 1 # 1 ## 2 # -3 # 1 ## 5 # 0 # a} right rline
qual deverá ser o valor de apara que o sistema seja um sistema possível e determinado?
e)
a ≠ 4
RESPOSTA CORRETA
Para que o sistema seja classificado como SPD, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser diferente de zero. Dessa forma,
{D} rsub {A} = left lline matrix {1 # 1 # 1 ## 2 # -3 # 1 ## 5 # 0 # a} right rline %Ux2192 left [1. left (-3 right ) .a+1.1.5+1.2.0 right ] - left [1. left (-3 right ) .5+1.1.0+1.2.a right ] %Ux2260 0 newline newline -3a+5+15-2a ≠ 0 ⇒ -5a ≠ -20 ⇒ a ≠ 4
4)
O total de bolinhas de gude que três amigos possuem é 555. Sabe-se que Anderson possui o triplo de bolinhas menos 25 do que Benício possui. Já Cadu precisa do dobro de bolinhas mais 10 para ter uma quantidade igual à de Benício. Quantas bolinhas de gude possui cada um dos amigos?
d)
V={(365,130,60)}
RESPOSTA CORRETA
Equacionando as informações, tem-se o seguinte sistema:
left lbrace stack { A+B+C=555 # A=3B-25 # 2C+10=B } right none ` toward ` ` left lbrace stack { A+B+C=555 # A-3B=-25 # -B+2C=-10 } right none
Substituindo a 2a equação pela soma da 1a equação com o simétrico da 2a equação:
matrix {A+B+C=555 ## -A+3B=25} over {4B+C=580}
left lbrace stack { A+B+C=555 # 4B+C=580 # -B+2C=-10 } right none
Multiplicando a 3a equação por 4 e somando com a 2a equação, troca-se o resultado pela 3a equação:
matrix {4B+C=580 ## -4B+8C=-40} over {9C=540}
Dessa forma, chegamos ao total de bolinhas de:
Cadu 9C = 540 ⇒ C = 60
Benício tem 2C + 10 = B ⇒ B = 130
Anderson tem A + B + C = 555 ⇒ A = 555 - 130 - 60
⇒ A = 365
V={(365,130,60)}
5)
Um certo fazendeiro cria porcos e galinhas. Em sua fazenda, existem 72 porcos e galinhas ao todo, totalizando 232 patas. Quantas galinhas e porcos existem na fazenda?
b)
28 galinhas e 44 porcos
RESPOSTA CORRETA
As galinhas serão G e os porcos serão P. Da soma dos animais, pode-se construir a equação G + P = 72. Sabe-se que cada galinha possui duas patas e cada porco, quatro. Dessa forma, temos a segunda equação:
2G + 4P = 232
Assim, tem-se o sistema:
left lbrace stack { G+P=72 # 2G+4P=232 } right none
Multiplicando a primeira equação por (-2), tem-se que:
G + P = 72 ⇒ -2G - 2P = -144
left lbrace stack { -2G-2P=-144 # 2G+4P=232 } right none
Pelo método da adição, tem-se que:
matrix {-2G-2P=-144 ## 2G+4P=232} over {0G+2P=88}
Dessa forma:
2P = 88 ⇒ P = 44
Logo, G + P = 72 ⇒ G = 72 - 44 ⇒ G = 28
Portanto,é possível dizer que existem 28 galinhas e 44 porcos na fazenda.
13. Razão e proporção
1)
No estoque de calças de uma loja, há 40 unidades, sendo 24 masculinas e 16 femininas. Sobre este estoque, marque a opção CORRETA:
d)
24/40 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
RESPOSTA CORRETA
A razão está em relação à quantidade total de 40 calças.
2)
Carolina pode correr quatro voltas em 12 minutos, e Susan pode correr duas voltas em 5 minutos. Marque a opção INCORRETA sobre a relação entre as duas corredoras:
a)
Carolina corre mais rápido que Susan.
RESPOSTA CORRETA
Susan é a corredora mais rápida. Carolina gasta 3 minutos para cada volta (12/4), e Susan gasta 2,5 minutos por volta (5/2).
3)
Sandra e Júlia estavam correndo com a mesma velocidade ao redor de uma trilha. Sandra começou primeiro. Quando ela completou 9 voltas, Júlia completou 3 voltas. Quando Júlia completou 15 voltas, quantas voltas Sandra completou?
b)
45
RESPOSTA CORRETA
4)
Uma pessoa que pesa 80 quilos na Terra pesará 208 quilos no planeta Júpiter. Quanto uma pessoa que pesa 60 quilos na Terra pesará em Júpiter?
c)
156 quilos.
RESPOSTA CORRETA
{80} over {208} = {60} over {x} newlinenewline80x=60x208 newlinenewline80x=12480newlinenewlinex= {12480} over {80} newlinenewlinex=156 quilos
5)
Considere que, no Brasil, você pode permutar $4,50 dólares por R$2,50. Quanto R$17,50 valem em dólares?
e)
$31,50.
RESPOSTA CORRETA
14. Porcentagem
1)
Carla gastou R$15,00 para preparar um arranjo de flores e o vendeu com o lucro de R$6,00. Determine a porcentagem do lucro de Carla.
c)
40%
RESPOSTA CORRETA
6/15 = 0,40 x 100 = 40%. Assim, Carla teve um lucro de 40% sobre o custo de R$15,00 na venda do arranjo de flores.
2)
Paulo é um revendedor de bolos e compra, cada um, por R$12,00. Ele deseja lucrar 30% na venda. Qual será o lucro unitário, em reais, de Paulo?
b)
R$3,60
RESPOSTA CORRETA
30% x 12 = 30/100 x 12 = R$3,60
Sendo assim, Paulo terá um lucro de R$3,60 na venda de cada bolo.
3)
A gasolina vendida no Brasil é uma mistura de álcool e gasolina. Considerando que, em um dado galão há 240 litros de gasolina e 60 litros de álcool, calcule a porcentagem de álcool contida na mistura.
e)
20%
RESPOSTA CORRETA
Cada galão tem 240 litros de gasolina mais 60 litros de álcool, logo há 300 litros de líquido. Como dos 300 litros, 60 litros são de álcool, assim: 60/300 = 0,20 x 100 = 20%. Esta é a porcentagem de álcool contida na mistura.
4)
Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração variável, uma comissão de 5% sobre os lucros nas vendas realizadas. Se no mês passado as vendas foram de R$60.000,00, com um lucro de 30%, então a comissão de Ana será:
a)
R$900,00.
RESPOSTA CORRETA
Lucro: 30% x 60.000 = 0,30 x 60.000 = 18.000
Comissão: 5% x 18.000 = 0,05 x 18.000 = R$900,00
5)
O casal Lúcia e Antônio recebe de salário, por mês, R$21.500,00. Sabendo que o homem recebe 15% mais que sua esposa, calcule os salários de cada um.
e)
Lúcia ganha R$10.000,00, e Antônio ganha R$11.500,00 por mês.
RESPOSTA CORRETA
Considerando x como o salário da esposa, então Antônio, que recebe 15% mais que ela, ganhará 1,15x:
x + 1,15x = 21.500
2,15x = 21.500
x = 21.500/2,15
x = 10.000.
Logo, Lúcia recebe mensalmente R$10.000,00, e Antônio recebe R$11.500 (15% a mais = 1,15 x 10.000)
Enviada em
12/01/2020 01:45