MSF_Aula10_Sapatas

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SAPATAS
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
SAPATA
▪ Elemento de fundação em concreto armado cuja forma 
pode ser quadrada, retangular ou trapezoidal. 
▪ É dimensionado de forma que as tensões de tração nele 
produzidas sejam resistidas pelo emprego de armadura. 
Isso porque, ao contrário dos blocos, não trabalham 
apenas à compressão simples, mas também à flexão.
“Contra-indicação”
▪ As sapatas não devem ser utilizadas nos seguintes 
casos:
▪Aterro não compactado
▪Argila mole
▪Areia fofa e muito fofa
▪Solos colapsíveis
▪Existência de água e onde o rebaixamento do lençol freático não se 
justifica economicamente.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À POSIÇÃO
▪ SAPATA ISOLADA:
▪São aquelas que transmitem para o solo, através de sua base, a 
carga de um pilar ou de um conjunto de pilares.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À POSIÇÃO
▪ SAPATA CORRIDA:
▪São elementos contínuos que acompanham a linha das paredes, as 
quais lhe transmitem a carga por metro linear. 
▪Para edificações cujas cargas não sejam muito grandes, como 
residências, pode-se usar alvenaria de tijolos. Em contrário, ou se a 
profundidade é maior que 1,0 m, é mais adequado e econômico o 
uso do concreto armado.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À POSIÇÃO
▪ SAPATA ASSOCIADA:
▪No caso em que a proximidade entre dois ou mais pilares seja tal 
que as sapatas isoladas se superponham, deve-se executar uma 
sapata associada.
▪A viga que une os dois pilares chama-se viga de rigidez e tem por 
função permitir que a sapata trabalhe com tensão constante.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À POSIÇÃO
▪ SAPATA ALAVANCADA
▪No caso de sapatas de pilares de divisa ou próximos a obstáculos 
onde não seja possível coincidir o centro de gravidade do pilar e da 
sapata, cria-se uma viga alavanca entre duas sapatas, de modo que 
um pilar absorva o momento resultante da excentricidade da 
posição do outro pilar.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ
▪ Se ℎ ≤
𝑎−𝑎𝑝
3
→ sapata flexível
▪ Se ℎ >
𝑎−𝑎𝑝
3
→ sapata rígida
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À 
SOLICITAÇÃO
▪ Sapatas sob carga centrada
𝜎 =
𝑃
𝐴
▪ Sapatas sob carga excêntrica
▪ Flexão normal composta – Resistência dos materiais
▪Centro de gravidade
DIMENSIONAMENTO – Sapatas Isoladas
▪Quanto à locação em planta, dois requisitos devem ser 
atendidos:
▪O centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de 
gravidade do pilar
▪Deve-se fazer uma estimativa da área da base supondo a sapata 
submetida a carga centrada.
DIMENSIONAMENTO – Sapatas Isoladas
▪ A área da sapata deve ser calculada pela relação entre a 
carga do pilar e a tensão admissível do terreno
▪ Para a sapata ser mais econômica, deve-se obedecer a 
seguinte relação:
▪ onde a e b são as dimensões da sapata e a0 e b0 são as 
dimensões do pilar
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑎 − 𝑏 = 𝑎0 − 𝑏0
Exemplo 1
▪Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 
30 cm x 30 cm e carga de 1500 kN, sendo a taxa de 
trabalho do solo (tensão admissível) igual a 300 kN/m².
Solução:
a) Determinar a área da sapata:
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐴 =
1500
300
𝐴 = 5 𝑚²
Exemplo 1 (continuação)
▪ Dados: pilar 30 cm x 30 cm; P = 1500 kN, sadm = 300 kN/m².
Solução (continuação)
b) Determinar as dimensões da sapata:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎′ − 𝑏′
𝑎 − 𝑏 = 0,3 − 0,3
𝑎 − 𝑏 = 0 → 𝑎 = 𝑏 (𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝐴 = 𝑎2 → 𝑎2 = 5
𝑎 = 2,24 𝑚
Arredondando, 𝑎 = 𝑏 = 2,25 𝑚
Exemplo 1 (continuação)
▪ Dados: pilar 30 cm x 30 cm; P = 1500 kN, sadm = 300 kN/m².
Arredondando, 𝑎 = 𝑏 = 2,25 𝑚
Exemplo 2
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar de seção retangular de 
100 cm x 30 cm com carga de 3000 kN para uma tensão 
admissível de 300 kN/m2.
Solução:
a) Determinar a área da sapata:
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐴 =
3000
300
𝐴 = 10 𝑚²
Exemplo 2 (continuação)
▪ Dados: pilar 100 cm x 30 cm; P = 3000 kN, sadm = 300 kN/m².
Solução (continuação)
b) Determinar as dimensões da sapata:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎′ − 𝑏′
𝑎 − 𝑏 = 1,0 − 0,3
𝑎 − 𝑏 = 0,7 → 𝑎 = 0,7 + 𝑏 (𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)
𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏
𝐴 = 0,7 + 𝑏 ∙ 𝑏 = 10
𝑏2 + 0,7𝑏 − 10 = 0
Apoio para as equações de 2° grau
▪ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
▪ 𝑥 =
−𝑏± ∆
2𝑎
▪ ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Nossa equação é: 𝑏2 + 0,7𝑏 − 10 = 0
Resolvendo: a = 1; b = 0,7 e c = -10
∆= 0,72 − 4 ∙ 1 ∙ −10 = 40,49
𝑥 =
−0,7 ± 40,49
2 ∙ 1
Exemplo 2 (continuação)
▪ Dados: pilar 100 cm x 30 cm; P = 3000 kN, sadm = 300 kN/m².
Solução (continuação)
Resolvendo a equação, tem-se duas raízes:
(−0,7 ± 6,36)/2
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚,
𝑏 = 2,83 𝑚
𝑎 = 0,7 + 𝑏 = 0,7 + 2,83 = 3,53 m
𝐴𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑎 = 3,55 𝑚; 𝑏 = 2,85 𝑚
Exemplo 2 (continuação)
▪ Dados: pilar 100 cm x 30 cm; P = 3000 kN, sadm = 300 kN/m².
Solução (continuação)
𝑎 = 3,55 𝑚; 𝑏 = 2,85 𝑚
EXERCÍCIOS
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 50 cm x 50 cm e carga de 
1860 kN, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 310 kN/m². a = b = 2,45 m
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 40 cm x 40 cm e carga de 
1650 kN, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 320 kN/m². a = b = 2,30 m
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 30 cm x 30 cm e carga de 
1585 kN, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 270 kN/m². a = b = 2,45 m
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 30 cm x 30 cm e carga de 
1585 kN, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 365 kN/m². a = b = 2,10 m
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar de seção retangular de 120 cm x 50 cm 
com carga de 3.200 kN para uma tensão admissível de 320 kN/m².
a = 3,55 m; b = 2,85 m
▪ Dimensionar uma sapata para um pilar de seção retangular de 110 cm x 35 cm 
com carga de 3120 kN para uma tensão admissível de 325 kN/m².
a = 3,50 m; b = 2,75 m
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑎 − 𝑏 = 𝑎′ − b′
Dimensionamento de sapatas isoladas 
para pilar em forma de L
▪ Para o caso de um pilar de seção transversal em forma de L, há
necessidade de substituir o pilar real por outro fictício, de forma retangular,
circunscrito ao mesmo, e que tenha o seu centro de gravidade coincidente
com o centro de carga do pilar real.
▪ A determinação do centro de carga (CC) do pilar, que deverá coincidir com
o centro de gravidade (CG), é dada por:
𝑋𝐶𝐺 =
∑𝐴𝑖 ∙ 𝑋𝑖
∑𝐴𝑖
𝑌𝐶𝐺 =
∑𝐴𝑖 ∙ 𝑌𝑖
∑𝐴𝑖
▪ O mesmo tipo de solução é utilizada para pilares em forma de U, Z, etc.
Exemplo
▪ Projetar uma sapata para o pilar indicado a seguir, com carga de 3500 kN e 
taxa de trabalho (tensão admissível) no solo de 350 kN/m².
A = 40 x 155 = 6200 cm²
XCG = 20 cm 
YCG = 155/2 = 77,5 cm
A = 70 x 30 = 2100 cm²
XCG = 40+70/2 = 75 cm
YCG = 15 cm
Exemplo (continuação)
▪ Solução:
▪ Este é o caso de um pilar de seção transversal em forma de L. O mesmo
tipo de solução a seguir apresentada é utilizada para pilares em forma de U,
Z, etc.
▪ Este caso recai na necessidade de se substituir o pilar real por outro
fictício, de forma retangular, circunscrito ao mesmo, e que tenha o seu centro
de gravidade coincidente com o centro de carga do pilar real.
▪ Cálculo do centro de carga (CC) do pilar, que, neste caso, coincide com o
centro de gravidade (CG):
▪ 𝑋𝐶𝐺 =
∑𝐴𝑖∙𝑋𝑖
∑𝐴𝑖
𝑌𝐶𝐺 =
∑𝐴𝑖∙ 𝑌𝑖
∑𝐴𝑖
Exemplo (continuação)
▪ Tomando os eixos coordenados nas faces externas do pilar, tem-se:
▪ XCG =
40∙155∙ 20+70∙30∙75
40∙155+30∙70
=
281.500
8.300
≅ 34 cm
▪ YCG =
40∙155∙77,5+70∙30∙15
40∙155+30∙70
=
512.000
8.300
≅ 62 cm
▪ O retângulo circunscrito ao pilar e que possui o mesmo CG terá os
lados:
▪ 𝑎′ = 2 ∙ 155 − 62 = 2 ∙ 93 = 186 𝑐𝑚
▪ 𝑏′ = 2 ∙ 110 − 34 = 2 ∙ 76 = 152 𝑐𝑚
▪ 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏 =
3500
350
= 10 𝑚²
Exemplo (continuação)
𝑎 − 𝑏 = 𝑎′ − 𝑏′ = 1,86 − 1,52 = 0,34
∴ 𝑎 = 0,34 + 𝑏 → 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑎 ∙ 𝑏 = 10 → 0,34 + 𝑏 ∙ 𝑏 = 10
𝑏2 + 0,34 ∙ 𝑏 − 10 = 0
Resolvendo a equação, tem-se:
𝑏 =
−0,34 ± 6,33
2
→ 𝑏 = 3,00 𝑚
𝑎 = 0,34 + 𝑏 = 0,34 + 3,00 → 𝑎 = 3,34 𝑚
Exemplo (continuação)
▪ Arredondando os valores de a e b:
▪ b = 3,00 m
▪ a = 3,35 m
300
7676
3
3
5
34
Obs: Fora de escala
Dimensionamento desapatas para 
pilares próximos
▪ Quando a proximidade de pilares adjacentes inviabiliza a adoção de sapatas 
isoladas devido à superposição das áreas, deve-se projetar uma única 
sapata, chamada de SAPATA ASSOCIADA, sendo necessária a introdução 
de uma viga de interligação dos pilares (viga de rigidez) para que a sapata 
trabalhe sob tensão constante. 
▪ A área de uma sapata associada é dada por:
𝐴 =
∑𝑃𝑖
𝜎𝑎𝑑𝑚
▪ Conhecida a área A, a escolha do par de valores a e b deve ser feita
obedecendo às seguintes prescrições:
Dimensionamento de sapatas para 
pilares próximos
a) O centro de gravidade das sapatas deve coincidir com o centro de carga
dos pilares, sendo suas coordenadas dadas por:
𝑋𝐶𝐺 =
∑𝑃𝑖 ∙ 𝑋𝑖
∑𝑃𝑖
𝑌𝐶𝐺 =
∑𝑃𝑖 ∙ 𝑌𝑖
∑𝑃𝑖
b) As dimensões econômicas da sapata associada dependem não só dos
balanços, mas também da viga de rigidez e é difícil prescrever regras. No caso
específico de sapatas com dois pilares de cargas iguais, tem-se uma condição
econômica quando os momentos positivos e negativos na viga de rigidez são
iguais. Para tanto, deve-se tomar a distância entre os eixos dos pilares iguais a
3a/5.
c) No caso de sapata associando dois pilares, um dos lados deve ser paralelo
ao eixo da viga de rigidez, enquanto o outro lado, sempre que possível, deve
ser perpendicular, evitando-se a torção na viga.
Exemplo
▪ Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo de 
320 kN/m² para P1 = P2 = 1650 kN.
Exemplo (continuação)
▪ Inicialmente, é necessário verificar a possibilidade de projetar sapatas
isoladas.
▪ 𝐴 =
1650
320
= 5,16 𝑚²
▪ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎′ − 𝑏′ = 1 − 0,25 = 0,75
▪ 𝑎 ∙ 𝑏 = 5,16 → 0,75 + 𝑏 ∙ 𝑏 = 5,16
▪ 𝑏2 + 0,75 ∙ 𝑏 − 5,16 = 0
▪ → 𝑏 = 1,93 𝑚
▪ 𝑎 = 0,75 + 𝑏 = 0,75 + 1,93 → 𝑎 = 2,68 𝑚
Exemplo (continuação)
▪ Arredondando:
▪ a = 2,70 m
▪ b = 1,95 m
▪ Observa-se pela figura que ocorre superposição de áreas.
Exemplo (continuação)
▪ Mesmo que não fosse considerada a prescrição a – b = a’ - b’, não seria
possível projetar sapatas isoladas. É necessário que se projete uma sapata
associada.
▪ Como P1 = P2, o centro de carga estará equidistante de P1 e P2.
▪ 𝐴 =
2∙1650
320
= 10,31 𝑚2
Exemplo (continuação)
Neste caso, consegue-se uma sapata com viga de rigidez econômica fazendo-se
com que a distância entre os eixos dos pilares seja igual a 3𝑎/5.
Tem-se, então:
3
5
𝑎 = 1,852 + 1,102 = 2,15𝑚
∴ 𝑎 = 3,59 𝑚
b =
10,31
3,59
= 2,87 𝑚
Arredondando:
a = 3,60 m
b = 2,90 m.
Exemplo (continuação)