Fundamentos de conformação

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9 - FUNDAMENTOS DA CONFORMAÇÃO PLÁSTICA DOS METAIS 
 
 
A conformação plástica de metais inclui um grande grupo de processos de fabricação nos quais a 
deformação plástica é usada para mudar a forma do metal. Nesses processos, um componente 
inicialmente simples (por exemplo, um lingote, um tarugo ou uma chapa metálica) é plasticamente 
deformado entre as ferramentas (matriz ou estampo) para a obtenção da configuração final desejada. 
Portanto, um componente de geometria simples é transformado num componente de geometria complexo, 
em que as ferramentas guardam a geometria desejada e aplicam pressão ao material em deformação 
através da interface ferramenta/material. Durante processamento por conformação ocorre pouca ou 
nenhuma sobra de material e o produto final é obtido num curto intervalo de tempo através de um ou 
vários passes de conformação. Como resultado final, a conformação de metais apresenta um potencial 
para economia de energia e material, especialmente em médios e grandes lotes, em que o custo de 
ferramental pode ser facilmente amortizado. Além disso, para um dado peso, componentes produzidos 
por conformação exibem melhores propriedades mecânicas, metalúrgicas e confiabilidade do que aqueles 
produzidos por fundição ou usinagem. 
 
Os fenômenos físicos que descrevem uma operação de conformação são de difícil expressão 
através de relações quantitativas. O fluxo metálico, o atrito na interface ferramenta/peça, a geração e 
transferência de calor durante o fluxo plástico do metal e o seu relacionamento com a microestrutura, as 
propriedades e as condições do processo são difíceis de prever e analisar. Frequentemente, quando se 
produzem componentes discretos, várias operações intermediárias de conformação (pré-conformação) 
são necessárias para transformar a geometria inicial simples numa geometria final complexa, sem causar 
danos ao material ou prejudicar suas propriedades. Consequentemente, o principal objetivo de qualquer 
método de análise é auxiliar o engenheiro de conformação no projeto de conformação e/ou sequência de 
pré-formas. Para uma dada operação de conformação (pré-conformação ou conformação final), o projeto 
essencialmente consiste em: (a) estabelecer as relações cinemáticas (forma, velocidades, taxas de 
deformações, deformações) entre a parte deformada e a parte não deformada, isto é, prever o fluxo de 
metal; (b) estabelecer o limite de conformabilidade, ou seja, determinar se é ou não possível à 
conformação sem rupturas internas ou superficiais do material; e (c) prever as forças e tensões 
necessárias para efetuar a operação de conformação a fim de que o ferramental ou equipamento possa ser 
projetado ou selecionado. 
 
As tensões aplicadas para deformar plasticamente um metal são, normalmente, compressivas. 
Entretanto, em alguns processos de conformação, o metal é dobrado, cisalhado ou estirado (tracionado). 
Para se obter êxito na conformação, o metal deve possuir certas propriedades. Propriedades desejáveis 
normalmente incluem baixa tensão de escoamento e alta ductilidade. Estas propriedades são afetadas pela 
temperatura. Comumente, a ductilidade aumenta e a tensão de escoamento reduz quando a temperatura 
de trabalho cresce. A taxa de deformação, o atrito e a trajetória de deformação são fatores adicionais que 
afetam o desempenho durante processamento por conformação. Discutiremos todos esses assuntos neste 
capítulo, que se inicia com uma visão geral dos processos de conformação mecânica. 
 
 
9.1 - VISÃO GERAL DOS PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO MECÂNICA 
 
Os processos de conformação de metais podem ser classificados como (1) processos de 
conformação maciça ou (2) processos de conformação de chapas. Estas duas categorias são detalhadas 
nos Capítulos 10 e 11, respectivamente. A seguir, são definidos estes processos, de forma a estabelecer 
uma base de referência para o capítulo atual. 
 
 
9.1.1 - Processos de Conformação maciça 
 
Os processos de conformação maciça são, geralmente, caracterizados por significativas 
deformações e mudanças de forma, e a relação superfície/volume para a peça trabalhada é relativamente 
pequena. Sendo assim, o termo conformação maciça se aplica à conformação de peças com baixa relação 
superfície/volume. Entre os produtos primários obtidos por este tipo de conformação incluem tarugos 
cilíndricos e barras retangulares. As operações básicas de conformação maciça, ilustradas na Figura 9.1, 
são as seguintes: 
 
 Laminação - É um processo compressivo de deformação no qual a espessura de uma placa ou 
chapa metálica é reduzida por duas ferramentas cilíndricas opostas chamadas cilindros 
(rolos) de laminação. Os cilindros giram e força a passagem do metal pela abertura entre eles, 
ocasião na qual ocorre a compressão e consequente deformação do metal. 
 
 Forjamento - No forjamento, uma peça é comprimida entre duas matrizes opostas, de 
maneira que a geometria dessas matrizes seja estampada no metal. O forjamento é 
tradicionalmente um processo de trabalho a quente, entretanto, existem operações realizadas 
a frio. 
 
 Extrusão - Este é um processo compressivo de conformação no qual o metal é forçado a fluir 
através do orifício de uma matriz. Desta forma, o produto da conformação adquire uma seção 
transversal idêntica à abertura da matriz. 
 
 Trefilação - Neste processo, um arame, tubo ou barra tem seu diâmetro reduzido ao ser 
tracionado e forçado a escoar através do orifício de uma matriz cônica, denominada fieira. 
 
 
 
Figura 9.1 - Processos básicos de conformação maciça: (a) laminação (b) forjamento, (c) extrusão e (d) 
trefilação. F é a carga aplicada e v indica o movimento relativo durante as operações. 
 
 
9.1.2 - Processos de Conformação de Chapas 
 
São operações de conformação realizadas em chapas ou tiras metálicas. Nos processos de 
conformação de chapas, a relação área/volume para o metal inicial é alta, critério que os distingue dos 
processos de conformação maciça. Trabalho em prensa é frequentemente o termo aplicado para 
operações de conformação de chapas porque as máquinas que normalmente executam estas operações 
são prensas (prensas de vários tipos também são usadas em outros processos de fabricação). A peça 
produzida por um processo de conformação de chapas é frequentemente denominada estampo. 
 
As operações de conformação de chapas são geralmente executadas a frio e são realizadas usando 
um jogo de ferramentas chamado punção/matriz. O punção é a porção macho e a matriz é a porção fêmea 
do jogo de ferramentas. As operações básicas de conformação de chapas são mostradas na Figura 9.2 e 
são definidas como segue: 
 
 
 
Figura 9.2 - Operações básicas de conformação de chapas: (a) dobramento, (b) estampagem e (c) 
cisalhamento: (1) antes do corte (2) após o corte. A força e o movimento relativos nestas 
operações são indicados por F e v, respectivamente. 
 
 Dobramento. Envolve aplicação de esforços em duas direções opostas para provocar a 
flexão e a deformação plástica consequente, mudando a forma de uma superfície plana para 
duas superfícies concorrentes, em ângulo, e formando um raio de concordância na junção. 
 
 Estampagem. A estampagem se refere à conformação de uma chapa metálica plana em uma 
matriz furada ou côncava, tal como um copo, através do estiramento e/ou embutimento da 
chapa. Um prensa chapas (também chamado de sujeitador ou anti-rugas) é usado para fixar o 
“blank” (denominação do esboço da chapa a ser estampada) na matriz, enquanto o punção 
arrasta este esboço para dentro da cavidade da matriz. Após a operação, o esboço adquire 
um formato determinado pela geometria do punção, como mostrado na Figura 9.2(b). 
 
 Cisalhamento. Este processo se desvia um pouco de nossos objetivos porque não envolve 
deformação plástica propriamente dita. Numa operação de cisalhamento, o corte da chapa é 
realizado através de um par punção/matriz, como mostrado na Figura 9.2(c).Embora não 
seja um processo de conformação plástica, é incluída aqui por se tratar de uma operação 
necessária à maior parte dos processos de conformação de chapas e por ser muito comum 
industrialmente. 
 
Visto que conformação mecânica envolve deformação, análise de processos de conformação 
mecânica envolve tensão e deformação. Nas seções seguintes serão analisados os fundamentos 
mecânicos e metalúrgicos essenciais ao estudo da deformação plástica das ligas metálicas, bem como as 
relações essenciais que serão utilizadas para analisar os processos de conformação. 
 
 
9.2 - TENSÃO 
 
Usualmente, tensão é definida considerando o estado de tensões num ponto, conforme mostrado na 
figura 9.3. A força F atua sobre uma área A em torno de um ponto P. Quando a área A0 reduz a 
força em componentes que são normal e tangencial à A Consequentemente, as componentes normal e 
tangencial do estado de tensão são definidas como: 
 
 
A
Fn


  e 
A
Ft


  (9.1) 
 
Visto que essas tensões dependem tanto da força quanto da área, a tensão em si é uma grandeza 
escalar e não vetorial. A figura 9.4 ilustra este ponto de vista. 
 
 
Figura 9.3 - Área elementar mostrando a força total (a) e as sua componentes (b). 
 
Com o sistema de coordenadas mostrado, a tensão y atua numa direção paralela a F e 
perpendicular à área A é definida como F/A Devido a F não ter componente paralela a A, não existe 
tensão cisalhante atuando nesse plano. Agora considere um plano fazendo um angulo  com o plano 
anterior, definindo um novo sistema de eixos coordenados, x’-y’, em relação ao sistema original x-y. 
Neste novo sistema a força F tem componentes Fy’ e Fx’ atuando no plano cuja área A’ é igual a A/cos. 
Então, as tensões atuando no plano inclinado são: 
 
  22
'
' coscos
'
 y
y
y
A
F
A
F
 (9.2) 
e 
 
P
A
F
A
FnF
tF
P
A
F
A
FnF
tF
  coscos
'
'
'  sensen
A
F
A
F
y
x
x (9.3) 
 
 
 
Figura 9.4 - Forças e tensões em diferentes sistemas de coordenadas. 
 
Este desenvolvimento, de fato, transformou a tensão y em tensões num novo sistema de 
coordenadas. Se o ponto P é representado por um pequeno corpo, com dimensões dx, dy e dz, que está em 
equilíbrio e é mostrado na figura 9.5, então, no caso mais geral, cada face pode ser submetida a uma 
força total F1, F2, e F3 conforme mostrado. Cada uma dessas forças pode ser decomposta em 
componentes paralelas as três direções coordenadas. Se cada uma dessas nove componentes for dividida 
pela área da face em que atua, o estado de tensões em P é então descrito pelos nove componentes de 
tensão mostrados na figura 9.6. Como uma quantidade vetorial especifica apenas três componentes, a 
tensão é mais complicada que um vetor. As quantidades físicas que descrevem estas nove componentes 
de tensão são denominadas tensores de segunda ordem. A tensão, deformação e várias outras quantidades 
físicas são tensores de segunda ordem. Uma quantidade escalar, que não se modifica com a 
transformação dos eixos, requer somente um único número para a sua especificação. Escalares são 
tensores de ordem zero. As quantidades vetoriais requerem três componentes para a sua especificação, 
sendo assim tensores de primeira ordem. O número de componentes necessárias para especificar uma 
quantidade é: 
 
 
nkN  (9.4) 
 
Onde N é o número de componentes necessárias para a descrição de um tensor da n-ésima ordem 
num espaço de dimensão k. Por exemplo, para um espaço bidimensional, somente quatro componentes 
são necessárias para descrever um tensor de segunda ordem. A constante elástica que relaciona a tensão 
F
F

y
x
y`
x`
A
F
y 


cos
A
A

A
Fy
y 



A
F
yF 
xF 
A
Fx
x 
 
  cosFFsenFF yx
F
F

y
x
y`
x`

y
x
y`
x`
A
F
y 
A
F
y 


cos
A
A


cos
A
A

A
Fy
y 



A
F
yF yF 
xF xF 
A
Fx
x 
 
A
Fx
x 
 
  cosFFsenFF yx   cosFFsenFF yx
com a deformação num sólido elástico é um tensor de quarta ordem com 81 componentes no caso mais 
geral. 
 
 
Figura 9.5 - Forças generalizadas atuando num corpo pequeno. 
 
 
Figura 9.6 - Elementos de tensão para um estado de tensões homogêneo. Por convenção, todos os 
elementos de tensão são considerados positivos como mostrado. 
 
O produto de dois vetores A e B com componentes (Ax, Ay, Az) e (Bx, By e Bz), respectivamente, 
resulta num tensor de segunda ordem, Tij. As componentes desse tensor podem ser apresentadas numa 
matriz 3x3. 
 
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BA BA BA
BA BA BA
BA BA BA
 
T T T
T T T
T T T
 ijT 
 
Como a tensão é um tensor de segunda ordem, suas componentes podem ser escritas como: 
 
z
x
y
y
xy
z
x x
y
z
yx
xy
yx
z
x
y
y
xy
z
x x
y
z
yx
xy
yx
x
y
yy
xyxy
zz
xx xx
yy
zz
yxyx
xyxy
yxyx
 
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
ij (9.5) 
 
Nessa notação, dois subíndices idênticos (por exemplo, xx) indica uma tensão normal, enquanto 
um par distinto (por exemplo, xy) indica uma tensão cisalhante. Exceto onde a natureza do tensor de 
tensões é importante, essa notação será simplificada com tensão normal designada por um subíndice 
simples e tensão cisalhante por , assim: 
 
 xyxyxxx e   (9.6) 
 
Equilíbrio implica ausência de efeitos de rotação em torno de qualquer eixo. Assim xy é igual a 
yx, etc., e os noves componentes do tensor tensão se reduzem a seis componentes independentes. Nesse 
texto, tensões positivas são definidas atuando como mostrado na figura 9.6. Então, tensões normais 
positivas são trativas, tensões normais negativas são compressivas e tensões cisalhantes positivas atuam 
como mostradas. 
O significado físico da notação de subíndices duplos é o seguinte: 
 O subíndice i define a normal ao plano em que uma componente atua, enquanto o 
subíndice j define a direção em que a componente de força atua. 
 Uma combinação de i e j onde ambas são positivas ou ambas são negativas define uma 
componente positiva. 
 Uma combinação de i e j onde uma é positiva e a outra é negativa define uma componente 
negativa. 
 
Com a convenção adotada acima, a tensão xx, surgiu de uma força atuando na direção x no sentido 
positivo num plano cuja normal está na direção x no sentido positivo. Uma vez que ambos os 
componentes são positivos, a componente de tensão é positiva e é trativa como mostrado. Se a força atua 
no mesmo plano, mas na direção x no sentido negativo, a combinação de subíndices positivo-negativo 
indicará uma tensão compressiva ou negativa. Uma tensão tal como xz na figura 9.6 tem dois subíndices 
positivos e, portanto é positiva; se a componente de força atua na direção oposta (z negativo) daquela 
mostrada, a tensão será considerada negativa. Finalmente, se o estado de tensões é homogêneo, uma 
tensão normal de amplitude igual a xx de atuar sobre a face vertical do lado esquerdo do elemento. Essa 
tensão terá uma combinação de subíndices negativo-negativo e, como indicado anteriormente, também é 
definida como uma componente positiva (trativa). 
 
 
Exemplo 9.1 --- Uma força de 8 000 N é aplicada axialmente a uma barra de 10 mm de diâmetro. 
Determine os valores das tensões normal e cisalhante atuando num plano cuja 
normal faz 25 com a força aplicada. 
 
Solução: 
 
MPa,mm/N,
mm
N
A
F
y 8610186101
4
10
8000 2
2


 
No sistema internacional de unidades (SI) a unidade oficial de tensão é o N/m , que tem sido 
denominado pascal (Pa). Entretanto, a tensão em N/m representa valores muito pequenos; assim, a 
tensão tem sido comumente utilizada em Newton por milímetro quadrado, 1N/mm = 10 N/m = 
1MN/m . 
 MPa,cos MPa,cos o2y'y 67832586101
2   
 MPa,sencos MPa,sencos ooy'x 0139252586101   
 
Foi assumido que F atuauniformemente através de qualquer seção normal a F; portanto descrevendo 
um estado homogêneo de tensões. 
 
Uma quantidade útil na teoria tensorial é o delta de Kronecker, ij,. O delta de Kronecker é um 
tensor isotrópico unitário de segunda ordem. 
 
 
ji 0
ji 1
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 






ij (9.7) 
 
A multiplicação de um tensor ou produtos de tensores por ij causa uma redução de dois na ordem 
do tensor. Isto é denominado de contração do tensor. Se for aplicada a contração ao tensor de tensão 
obteremos o primeiro invariante do tensor de tensão, um escalar. 
 
 1zzyyxxij ij I   (9.8) 
Os invariantes do tensor tensão podem ser determinados a partir da matriz de suas componentes. 
Uma vez que o tensor tensão é um tensor simétrico, pode-se reescrever a equação 9.5 como: 
 
 
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
ij
σ ττ
 τσ τ
 τ τσ
 (9.5a) 
 
Nesse caso, o primeiro invariante é o traço da matriz, ou seja, a soma dos termos da diagonal 
principal, equação 9.8. 
 
O segundo invariante é o negativo da soma dos secundários principais. O secundário principal de 
um elemento de uma matriz é o determinante de ordem imediatamente inferior que permanece quando se 
suprimem a linha e a coluna do elemento em questão. Assim, tomando cada um dos termos principais 
(diagonal principal) em ordem e suprimindo a linha e a coluna correspondente, temos: 
 
 









 σ τ
 τσ
 σ τ
 τσ
 σ τ
 τσ
zzyz
yzyy
zzxz
xzxx
yyxy
xyxx
2I 
 
Ou 
 
 zzxxzzyyyyxxyzxzxyI  
222
2 (9.9) 
 
Finalmente, o terceiro invariante é o determinante da matriz inteira dos componentes do tensor 
tensão. 
 
 
222
3 2 xyzzxzyyyzxxyzxzxyzzyyxx I   (9.10) 
 
Em termos de tensões principais as equações anteriores tornam-se: 
 
 32  I 11  (9.11) 
  1332212   I (9.12) 
 3213  I  (9.13) 
 
A amplitude das tensões principais são as três raízes da seguinte equação cúbica: 
 
 032
2
1
3  III ppp  (9.14) 
 
Os coeficientes I1, I2 e I3 são chamados invariantes porque são independentes do sistema de 
coordenadas escolhido nas equações 9.8 a 9.13. Consequentemente, as tensões principais para um dado 
estado de tensões são únicas. 
 
O tensor de tensão total pode ser dividido em um tensor de tensão hidrostático ou médio, m, que 
envolve somente tração ou compressão pura, e um tensor tensão-desvio, ’ij, que representa a tensão 
cisalhante no estado de tensões total. Uma ilustração, para o caso de tensão plana, é apresentada na figura 
9.7. Por exemplo, o estado de tensão plana ocorre durante a laminação de chapas finas. A componente 
hidrostática do tensor de tensão produz apenas variações volumétricas elásticas, não causando 
deformação plástica. Medidas experimentais mostram que a tensão de escoamento dos metais é 
independente da tensão hidrostática, embora a deformação de fratura seja fortemente influenciada por 
esta componente de tensão. Devido ao fato da componente desviadora do tensor de tensão envolver 
tensões cisalhantes, ela é importante na geração da deformação plástica. Na seção 9.3 veremos que a 
tensão-desvio é útil na formulação de teorias de escoamento. 
 
 
Figura 9.7 - Desmembramento da tensão total em componentes hidrostática e desviadora. 
 
A tensão hidrostática é dada por 
 
 
33
321 




zyx
m (9.15) 
 
O tensor tensão-desvio é dado por 
 
 - ' ijmijij   (9.16) 
y
xy
x
2
yx  
2
yx  
2
yx  
22
yxxy  


Tensão total Componente 
hidrostática
Componente 
desviadora
y
xy
x
2
yx  
2
yx  
2
yx  
22
yxxy  


y
xy
x
2
yx  
2
yx  
2
yx  
22
yxxy  


Tensão total Componente 
hidrostática
Componente 
desviadora
 
Assim, 
 
 
100
010
001
 
 
 
 
 
 
 
´ m
zyzxz
zyyxy
zxyxx
ij 



  
 
ou 
 
 
mzyzxz
zymyxy
zxyxmx
ij
 
 
 
´







 
 
finalmente 
 
3
2
3
2
3
2
yxz
yzxz
zy
zxy
xy
zxyx
zyx
ij
 
 
 
´











 (9.17) 
 
Uma vez que ij' é um tensor de segunda ordem, este possui eixos principais. Os valores 
principais da tensão-desvio são as raízes da equação cúbica 
 
 032
2
1
3  J'J'J'  (9.18) 
 
Onde J1, J2 e J3 são os invariantes do tensor da tensão-desvio. J1 é a soma dos termos principais na 
diagonal da matriz de componentes de ij' . 
 
       01  mzmymxJ  (9.19) 
 
J2 é obtido do negativo da soma dos secundários principais de ij' . 
 
 
        222222
222
2
6 yzxzxyzyxzyx
zxzyyxyzxzxy
 
6
1
 
'''''' J




 (9.20) 
 
O terceiro invariante J3 é o determinante da equação 9.17. Cabe salientar que o segundo invariante 
é usado para definir o critério de Tresca para o inicio do escoamento; isso será discutido na seção 9.3. 
Além disso, para qualquer estado de tensões que inclui todos os componentes cisalhantes do estado de 
tensões mostrados na figura 9.6, uma determinação das três tensões principais pode ser feita encontrando 
as raízes da equação 9.14. Esse procedimento é ilustrado nos exemplos a seguir. 
 
 
Exemplo 9.2 --- Considere um estado de tensão plana, semelhante ao que ocorre durante a laminação 
de chapas finas, em que  = 100 MPa,  = 50 MPa,  = 30 MPa e  = = =0. 
Encontre as tensões principais no plano x-y e a componente hidrostática do estado 
de tensões. 
 
Solução: 
 
    15050100  I zyx1  
      100 45010030σσσσσσττ τI 2zxzyyx
2
yz
2
xz
2
xy2  
02 2223  xyzxzyyzxyzxzxyzyx I  
 
Então, a equação cúbica pode ser escrita como. 
 
  0100 4150σσ σ 0100σ 4150σσ p2ppp2p3p  
 
A raiz da equação quadrática nos fornece as tensões principais no plano x-y. Elas são. 
 
 = 35,95 Mpa e  = 114,05 MPa 
 
A outra raiz obviamente é  =0 
 
A componente hidrostática desse estado de tensões é 
 
 
MPa 
MPa MPa zyx
m 50
3
050100
3






 
 
Ou alternativamente 
 
 
MPa 
MPa ,MPa ,
m 50
3
0051149535
3
321 





 
 
 
 
9.3 - DEFORMAÇÃO 
 
Quando um corpo é deformado, pontos nesse corpo são deformados. Deformação é definida em 
termos de tais deslocamentos, porém de modo tal que exclui os efeitos dos movimentos do corpo rígido 
por translação ou rotação. 
 
Inicialmente, iremos considerar a situação mostrada na figura 9.8, onde o comprimento l0 entre os 
pontos P e B refere-se a alguma condição inicial. Se sob carregamento P move-se para P’ e B para B’, e 
todos os pontos entre P e B movem-se para posições relativamente similares entre P’ e B’, um estado de 
deformação existe quando ll0, consequentemente, AA0. Embora ocorra tanto rotação quanto translação, 
é a mudança no comprimento ou na área que é usada para definir deformação como. 
 
 
00
0
l
l
l
ll
e



 (9.21) 
 
Onde e é a deformação de engenharia ou nominal. 
 
Cabe salientar que a mudança no comprimento é dividida pelo comprimento original. Para grandes 
deformações, uma definição alternativa, proposta por Ludwik, é mais conveniente. A deformação 
verdadeira ou logarítmica, , é definida de maneira tal que mesmo mudanças incrementais no 
comprimento é dividida pelo comprimento instantâneo. 
 
 
l
dl
d  (9.22) 
 
Após integração desta equação, obter-se-á. 
 
 
0l
l
ln (9.23) 
 
 
Figura 9.8 - Translação, rotação e deformação de uma barra. 
 
Como a deformação plástica de um metal resulta em variações volumétricas inferiores a 0,1%, para 
análisede processos de conformação estas variações são consideradas desprezíveis e uma relação de 
volume constante é de grande utilidade. Por exemplo, visto que V=0, a situação mostrada na figura 9.8 
resulta em: 
 
 
0
00
l
l
A
A
 AllA 0  (9.24) 
 
Consequentemente, 
 
 
A
A
ln
l
l
ln 0
0
 (9.25) 
 
O exemplo seguinte ilustra a conveniência de se usar a deformação verdadeira para análise de 
processos de conformação mecânica. 
Exemplo 9.3 --- a) Uma barra com comprimento l é tracionada e deformada uniformemente até o 
comprimento l=2l . Determine a deformação de engenharia e verdadeira para esse 
processamento. 
P
B
l0
P
B
l
A
A0
P
B
l0
P
B
l
A
A0
b) Qual deve ser o comprimento final, l, de uma barra de comprimento inicial l , 
comprimida com a mesma deformação da parte a, exceto no sentido (deformação 
negativa)? 
Solução: 
a) 
 
0,693
l
2l
 ln
l
l
 lnε
1,0
l
l2l
l
ll
e
0
0
0
0
00
0
0






















 
b) 
 0l 
l
ll
1,0e
0
0 

 
Isto significa que a barra deve ser comprimida até uma espessura zero (nula). Obviamente que 
fisicamente não é possível tal compressão. 
 
2
6930 06930
l
e ll 
l
l
 ln, ,0
0








  
A barra necessita ser comprimida da metade de seu comprimento original para se obter uma 
deformação verdadeira igual a da parte a. Esse resultado é consistente do ponto de vista físico. 
 
Considerando a deformação do bloco mostrado na figura 9.9 do volume inicial, V0=h0l0w0, para o 
volume final, Vf=hflfwf. A relação de volume constante, V=0 (V0=Vf), nos leva a uma relação entre as 
três deformações verdadeiras principais. As três deformações principais são deformações ortogonais 
localizadas de tal modo que as deformações cisalhantes são nulas. Calculando a deformação volumétrica 
e igualando à soma das três deformações lineares obtém-se 
 
0
0
































000 w
w
 ln
l
l
 ln
h
h
 ln
V
V
 ln 
 
Ou 
 
 0 wlh  (9.26) 
 
Portanto, a soma das três deformações principais é nula e é uma relação de muita utilidade na 
análise de processos de conformação mecânica, pois frequentemente é utilizada para encontrar uma das 
deformações principais a partir do conhecimento das outras duas. 
 
No meio industrial, a deformação em processos de conformação é frequentemente expressa em 
termos da redução da área da seção transversal (figura 9.8), definida como: 
 
 
00
0 1
A
A
A
AA
r 

 (9.27) 
 
Utilizando a relação de volume constante, temos. 
 
 r1
A
A
 pois 
r-1
1
lnε 
A
A
ln
l
l
lnε
0
0
0






 (9.28) 
 
É importante salientar que a redução de área nem sempre apresenta com clareza o quadro real do 
processo de conformação. Por exemplo, a redução de área durante a extrusão hidrostática de barras é 
aumentada de 95% para 98%, uma alteração aparentemente pequena, mas a relação entre as áreas inicial 
e final foi alterada de 20:1 para 50:1, Consequentemente, a deformação verdadeira de 300% para 391%. 
Pode-se dizer que a redução de área não foi capaz de dar visibilidade às alterações ocorridas no exemplo 
citado. 
 
 
 
Figura 9.9 – Deformação de um bloco mantendo o volume constante. 
 
A deformação de um corpo pode ocasionar não apenas uma variação de comprimento de um elemento 
linear do corpo, mas pode também resultar numa mudança do ângulo inicial entre duas linhas. A variação 
angular em um ângulo reto é conhecida como deformação cisalhante. A figura 9.10 ilustra a deformação 
produzida por um cisalhamento puro de uma das faces de um cubo. Com a aplicação da tensão cisalhante 
o ângulo em 0, que era originalmente de 90
o
, decresce de uma pequena quantidade . A deformação 
cisalhante  é igual ao deslocamento, a, dividido pela distancia, h, entre os planos cisalhantes. 
 
   tan
h
a (9.29) 
 
 
Figura 9.10 - Ilustração esquemática do cisalhamento simples. 
 
tf
l0
wf
t0
l0
w0
tf
l0
wf
tf
l0
wf
t0
l0
w0
t0
l0
w0
a
h

0
a
h

0
h

0
Exemplo 9.4 --- Uma placa de aço inoxidável AISI 304 é lingotada com 13m de comprimento, 1,2m 
de largura e 200mm de espessura. Essa placa é submetida a quatro passos de 
desbaste, onde sua espessura é reduzida para 28mm e a largura é mantida constante 
(para isso, é usado um passo de laminação na vertical). Posteriormente, essa chapa é 
submetida a seis passos de acabamento num trem de laminação e tem sua espessura 
reduzida para 2,5mm, com a largura sendo mantida em 1,2m, como mostrado no 
desenho esquemático da figura 9.11. Na figura são apresentadas as variações 
dimensionais em cada um desses passos de laminação. 
 
Figura 9.11 - Valores típicos da redução de espessura em cada passo num trem de acabamento. 
a) Calcule a deformação de engenharia e a deformação verdadeira total. 
b) Calcule as deformações de engenharia e verdadeira em cada passe e compare o valor da soma 
dessas deformações com a deformação total calculada no item a. 
Solução: 
a) A deformação de engenharia total é: 
 910
28
2852
0
0
,
mm
mmmm,
t
tt
e
f




 
 A deformação verdadeira total é: 
 422,
28mm
2,5mm
 ln
t
t
 ln
0
f














 
 
b) A deformação de engenharia em cada passo é: 
 
 500
28
2814
0
01
1 ,
mm
mmmm
t
tt
e 



 
 
110
82
8252
150
33
3382
350
15
1533
390
48
4815
400
14
1448
5
56
6
4
45
5
3
34
4
2
23
3
1
12
2
,
mm,
mm,mm,
t
tt
e
,
mm,
mm,mm,
t
tt
e
,
mm,
mm,mm,
t
tt
e
,
mm,
mm,mm,
t
tt
e
,
mm
mmmm,
t
tt
e

























 
 A deformação verdadeira em cada passo é: 
 
110
160
440
500
510
690
6
5
4
3
2
1
,
2,8mm
2,5mm
 ln
t
t
 ln
,
3,3mm
2,8mm
 ln
t
t
 ln
,
5,1mm
3,3mm
 ln
t
t
 ln
,
8,4mm
5,1mm
 ln
t
t
 ln
,
14mm
8,4mm
 ln
t
t
 ln
,
28mm
14mm
 ln
t
t
 ln
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1




























































































 
 A soma das deformações de engenharia em cada passo é: 
 91091110150350390400500654321 ,e,,,,,,,eeeeee t  
 A soma das deformações verdadeira em cada passo é: 
 422412110160440500510690654321 ,,,,,,,, t   
Usando a deformação verdadeira a soma das deformações em cada passo é igual à deformação 
verdadeira total. Isso ilustra a propriedade aditiva da deformação verdadeira. O mesmo não é 
verdadeiro para a deformação de engenharia. 
 
 
 
 
9.4 - CRITÉRIO DE ESCOAMENTO E PLASTICIDADE MACROSCÓPICA 
 
Um corpo deformado elasticamente retorna ao seu estado original quando as cargas são removidas. 
Além disso, no regime elástico tensões e deformações são relacionadas através de certas constantes 
elásticas, usualmente o coeficiente de Poisson, , e o modulo de elasticidade, E, através da lei de Hooke. 
 
 
zyx
xx
EE
E








 (9.30) 
 
Uma força trativa na direção x produz uma deformação ao longo desse eixo, produz também 
contrações ao longo dos eixos y e z. Foi encontrado experimentalmente que a deformação transversal é 
uma fração constante da deformação na direção longitudinal. Essa constante é o coeficiente de Poisson. 
O valor absoluto do coeficiente de Poisson para um material elástico e isotrópico é 0,25, entretanto seu 
valor para a maioria das ligas metálicas é mais próximo de 0,33. Também, está implícito que qualquer 
tensão causa deformação elástica. Para causar deformação plástica um certo nível de tensão deve ser 
alcançado; esse é definido como o limite de escoamento. Para a maioria dos metais dúcteis, tanto a 
mudança de forma quanto a deformaçãodo corpo original podem continuar, até que ocorra alguma 
instabilidade, se a tensão para causar escoamento aumenta continuamente. Isto será discutido nas seções 
seguintes. Agora, vamos estabelecer certas expressões matemáticas, denominadas critério de 
escoamento, que são utilizadas para predizer se ou quando o escoamento ocorrerá sob determinado 
estado de tensões em termos de determinadas propriedades do material sendo tensionado. 
 
 
9.4.1 – Critério de Escoamento 
 
Qualquer critério de escoamento é um postulado de equações matemáticas do estado de tensões 
que induzem escoamento ou o início da deformação plástica. A forma mais geral é 
 
   C , , , , ,f yzxzxyzyx  (9.31) 
 
Ou, em termos de tensões principais. 
 
   C , ,f 321  (9.32) 
 
Para a maioria dos metais dúcteis que são isotrópicos, as seguintes suposições são assumidas: 
 
 Os limites de escoamento em tração e compressão são equivalentes. 
 Não ocorre variação volumétrica, consequentemente, o equivalente plástico do coeficiente 
de Poisson é 0,5. 
 A componente hidrostática do estado de tensões não influência no escoamento. 
 
Caso alguma dessas suposições for violada, torna-se necessário o estabelecimento de outro critério. 
Efeitos da taxa de deformação e da temperatura serão discutidos nas seções 9.8 e 9.9 enquanto os 
efeitos da anisotropia plástica serão considerados no capítulo 13. É importante salientar que essas 
suposições significam que os critérios a seguir apresentados não são aceitos universalmente para 
todos os sólidos e nem para todas as situações de carregamento. 
 
Em vista das suposições 1 e 3, um critério de escoamento postulado, se plotado num espaço tri-
dimensional de tensões, deve produzir uma superfície prismática com área de seção transversal 
constante. Essa é chamada de superfície de escoamento. Se uma das três tensões principais for 
mantida constante, o que é equivalente a cortar a superfície de escoamento com um plano, a curva 
bidimensional resultante é chamada de mapa de escoamento (yield locus). 
 
A suposição de que o escoamento é independente da componente hidrostática do estado de 
tensões, é razoável se o fluxo plástico for causado somente por mecanismos cisalhantes, tais como 
escorregamento e maclação. A discussão desses mecanismos será feita na seção seguinte. 
 
 
9.4.1 1 – Critério de Tresca 
 
Este critério postula que o escoamento ocorrerá quando a maior tensão cisalhante alcançar um 
valor crítico. 
 
 32131   seCou Cminmax (9.33) 
 
Para avaliar C, um estado de tração uniaxial deve ser usado. Neste, 031   2max , , e o 
escoamento ocorre quando 01   , o limite de escoamento em tração uniaxial. Então, 
 
 C 031  (9.34) 
 
No caso de cisalhamento puro, 0331   e , 1minmax . O escoamento ocorre 
quando a tensão cisalhante máxima alcança o limite de escoamento em cisalhamento puro, isto é, o limite 
de escoamento cisalhante k. Portanto, k1 , assim. 
 
 Ck  22 131  (9.35) 
 
A figura 9.12 mostra a curva de escoamento (yield locus) para esse critério num espaço 
bidimensional de tensões. Cabe observar que este critério é independente da tensão intermediária 
principal. 
 
 
 
Exemplo 9.5 --- Um tubo de parede fina com as extremidades fechadas é submetido a uma pressão 
interna de 20 MPa. A raio do tubo é de 30cm e esse não escoa em nenhuma região. 
 
a) Se o material do tubo tem limite de escoamento de MPa2000  , qual a espessura mínima da 
parede, t, que deverá ser especificada utilizando o critério de Tresca? 
b) Se o limite de escoamento cisalhante, k, fosse especificado como 60 MPa, qual espessura mínima 
que deverá ser especificada? 
 
Solução: 
 
Como se trata de um tubo de parede fina, as três tensões principais são 
t
Pr
 ,
t
Pr
z2
2
1    
e 0 r3  , onde P é a pressão, r o raio e t a espessura da parede. Usando o critério de Tresca 
chega-se: 
 
a) 30mmt MPa
t
mmMpa
 , 1mín3máx 

 2000
30020
31  
 
b) 50mmt MPa
t
mmMpa
 k1 

 1200
30020
23 
 
 
 
 
 
Figura 9.12 - Curva de escoamento obtida a partir do critério de Tresca. 
 
 
9.4.1 2 – Critério de von Mises 
 
Von Mises propôs que o escoamento ocorrerá quando o segundo invariante da componente 
desviadora do estado de tensões, J2, atingisse um determinado valor crítico. 
 
          12222222 6 C 
6
1
 J yzxzxyzyxzyx   (9.36) 
 
Ou, em termos de tensões principais 
 
        12322132212 C
6
1
 J   (9.37) 
 
0 I
II
III
IV
V
VI
3
1
02 
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
1
0
0
0
013
13
31
031
031
013
0
0
0
0
0
0












13
31
1
3
eVI
V 0
0




1
3
e
eIV
eIII
eII
eI
0 I
II
III
IV
V
VI
3
1
02 
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
1
0
0
0
00 I
II
III
IV
V
VI
33
11
02  02  02 
11
11
11
11
11
33
33
33
33
33
33
11
0 0
0 0
0 0
013
13
31
031
031
013
0
0
0
0
0
0












13
31
1
3
eVI
V 0
0




1
3
e
e
0
0




1
3
e
eIV
eIII
eII
eI
00 I
II
III
IV
V
VI
33
11
02  02  02 
11
11
11
11
11
33
33
33
33
33
33
11
0 0
0 0
0 0
Usando tração uniaxial para definir a constante 1C , temos que no escoamento 01   , 
03  2 e 1C é igual a 
2
0
3
1
 . Para cisalhamento puro, com 31   k , 02 e 1C é igual a 
2k . Assim o critério de Von Mises é escrito como 
 
        2202322132212
3
1
k
6
1
 J   (9.38) 
 
Ou 
 
        22322132210
1
 
2
1
 (9.39) 
 
Numa forma mais geral, esse critério pode ser reescrito como. 
 
          2
1
222222
0 6 yzxzxyzyxzyx 
2
1
   (9.40) 
 
A figura 9.13 apresenta o mapa de escoamento para este critério e a figura 9.14 mostra as curvas 
de escoamento de ambos os critérios superpostos para a mesma tensão de escoamento 0 . Note que as 
maiores diferenças, entre os dois critérios, na predição do escoamento ocorre para as trajetórias II e IV. 
 
 
Figura 9.13 - Curva de escoamento obtida a partir do critério de von Mises. 
 
Cabe ressaltar que a convenção de que 321   não é satisfeita quando curvas e superfícies 
de escoamento são consideradas. 
1
3
0
0
0
0
Cisalhamento 
puro
Cisalhamento 
puro
Tração 
biaxial
Tração 
simples
Compressão 
simples
Tração 
simples
Compressão 
simples
Compressão
biaxial
12 2 
03
031
577,0
155,12




03
031
577,0
577,0




2
031
2
3
2
1   02 
1
3
0
0
0
0
Cisalhamento 
puro
Cisalhamento 
puro
Tração 
biaxial
Tração 
simples
Compressão 
simples
Tração 
simples
Compressão 
simples
Compressão
biaxial
12 2 
03
031
577,0
155,12




03
031
577,0
577,0




2
031
2
3
2
1   02 
 
 
 
Figura 9.14 - Comparação entre os critério de Tresca e von Mises para o mesmo valor de 0 . 
 
Escoamento (fluxo plástico) pode ser iniciado de diversas maneiras. Em tração pura, escoamento 
ocorre quando a tensão tensão de fluxo trativa alcança 0 (trajetória I na figura 9.14). Em compressão 
pura, o material escoa quando a tensão de fluxo compressiva atinge 0 , que, para materiais dúcteis, é 
normalmente igual à tensão de fluxo trativa, porém com o sentido invertido (trajetória V na figura 9.14). 
Quando a chapa é expandida biaxialmente por um punção ou um meio pressurizado, as duas tensões 
principais na superfície da chapa são iguais, o que caracteriza um estado de tração biaxial balanceada. 
Uma combinaçãodessas tensões, de acordo com um critério de escoamento, deve alcançar 0 (trajetória 
III na figura 9.14). 
 
Uma condição tecnicamente importante é alcançada quando o produto sendo conformado é 
impedido de deformar em uma das direções principais (deformação plana). Isso ocorre porque elementos 
da matriz mantêm uma dimensão constante; ou porque uma parte da peça é deformada, e regiões não 
deformadas adjacentes exercem uma influência restritiva. Por exemplo, este é o caso da laminação plana 
de chapas finas. Em outras situações, a restrição cria uma tensão naquela direção principal, a tensão é a 
média entre as outras duas tensões principais, correspondendo à trajetória II da figura 9.14. A tensão 
requerida para deformação é ainda 0 de acordo com o critério de Tresca, porém é 0155,1  de acordo 
com o critério de Von Mises (figura 9.13). 
 
Outro estado de tensões importante é o cisalhamento puro, em que as duas tensões principais são 
de mesma amplitude, mas de sinais opostos (trajetória IV na figura 9.14). Escoamento ocorre quando o 
1
1
1
1
3
3
1
1
0
0
0
0
I
II
III
III
IV
IV
V
V
VI
3
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
3
1
1
1
1
0
0
0
0
I
II
III
III
IV
IV
V
V
VI
3
1
3
1
limite de escoamento cisalhante, k, for alcançado, ou seja, 05,0  de acordo com o critério de Tresca e 
0577,0  de acordo com o critério de Von Mises. 
 
A figura 9.15 mostra a superfície de escoamento num espaço de tensões tridimensional, tanto 
para o critério de Tresca quanto para o critério de Von Mises. A superfície formada é um prisma 
hexagonal reto para Tresca e um cilindro circular reto para Von Mises. Ambas estão centradas numa 
linha em que os três cosenos diretores são iguais, e qualquer combinação de tensões, 1 , 2 e 3 , 
quando adicionadas como componentes vetoriais deve produzir uma resultante que toque a superfície de 
escoamento caso escoamento esteja ocorrendo. 
 
 
Figura 9.15 - Superfícies de escoamento de Tresca e von Mises num espaço tridimensional de tensões. 
 
 
 
Exemplo 9.6 --- Um tubo de parede fina com as extremidades fechadas é submetido a uma pressão 
interna de 20 MPa. A raio do tubo é de 30cm e esse não escoa em nenhuma região. 
 
a) Se o material do tubo tem limite de escoamento de MPa2000  , qual a espessura mínima da 
parede, t, que deverá ser especificada utilizando o critério de Von Mises? 
b) Se o limite de escoamento cisalhante, k, fosse especificado como 60 MPa, qual espessura mínima 
que deverá ser especificada? 
 
Solução: 
1
3
2
Superfície de 
escoamento
3
2
0cr
Curva de escoamento 
no plano
1
3
2
Superfície de 
escoamento
3
2
0cr
Curva de escoamento 
no plano
 
Como se trata de um tubo de parede fina, as três tensões principais são 
t
Pr
 ,
t
Pr
z2
2
1    
e 0 r3  , onde P é a pressão, r o raio e t a espessura da parede, ou seja, 21 2  e 03  . 
Usando o critério de Von Mises chega-se: 
 
a)   01
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
10
3
2
 
4
2
2
1
222
1




 





























 
 mm98,25
MPa2002
mm300MPa203
2
Pr3
t 
t
Pr
3
2
 
0
01 




 
b)   k2 
4
2
6
1
226
1
k 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 




























 



 
 50mm
MPa602
mm300Mpa20
2k
Pr
t 
t
Pr
k21 


 
 
Se o limite de escoamento trativo for à propriedade especificada e a espessura desconhecida, o critério de 
Tresca é mais conservativo, mas se o limite de escoamento cisalhante for à propriedade especificada o 
mesmo valor para a espessura será especificado por ambos os critérios. 
 
 
 
9.4. 2 – Trabalho de Deformação Plástica 
 
Para os critérios de escoamento discutidos, a componente hidrostática de qualquer estado de 
tensões atua ao longo do eixo em torno do qual a superfície de escoamento está posicionada. Não existe 
componente de deformação do vetor deformação total que atua na direção de m ; consequentemente, a 
componente hidrostática não tende a expandir a superfície de escoamento e, de fato, não realiza trabalho. 
Uma vez que a componente desviadora atua na mesma direção que o vetor deformação total, o produto 
dessas quantidades causa trabalho máximo quando a superfície de escoamento é expandida. 
 
Se uma barra de comprimento original l0 é submetida a uma força F atuando sobre a área w0t0 e 
uma deformação dl ocorre (figura 9.16), o trabalho realizado por esta força é Fdl, e o trabalho por 
unidade de volume é: 
 
  d 
ltw
dl F
dw
0 0 0
 (9.41) 
 
No caso geral, onde as três tensões normais e as três tensões cisalhantes atuam simultaneamente, 
o trabalho por unidade de volume é: 
 
 zxzxyzyzxyxyzzyyxx dddddddw   (9.42) 
 
Em termos dos componentes principais, 
 
 332211 ddddw   (9.43) 
 
Figura 9.16 - Deformação de uma barra. 
 
 
9.4.3 - Tensão e Deformação Efetivas 
 
Muitas vezes é de grande utilidade a substituição de um estado complexo de tensões e deformações 
por funções invariantes da tensão e da deformação. Se for construída a curva tensão-deformação plástica, 
denominada de curva de escoamento ou de curva de fluxo, em termos dos invariantes de tensão ou 
deformação, será obtida a mesma curva, independentemente do estado de tensões. Por exemplo, as curvas 
de escoamento obtidas num ensaio de tração uniaxial de um tubo de paredes finas com pressão interna 
serão idênticas àquelas obtidas através de um ensaio de torção biaxial, caso sejam obtidas em termos de 
funções invariantes de tensão e deformação. 
 
As funções invariantes frequentemente utilizadas são a tensão e a deformação efetivas. Quando os 
eixos coordenados coincidem com as direções principais, a tensão efetiva de von Mises é definida como: 
 
          2
1
222222 6
2
1
yzxzxyzyxzyxef   (9.44a) 
 
Em termos das tensões principais teríamos 
 
        2
1
2
32
2
13
2
21
2
1
 ef (9.44b) 
 
A deformação efetiva é definida de maneira tal que o trabalho infinitesimal por unidade de volume 
é 
 
 332211  dddddw efef  (9.45) 
 
Para o critério de von Mises a deformação efetiva é dada por 
 
        2
1
2
13
2
32
2
21
3
2
 ddddddd ef  (9.46) 
 
Essa equação pode ser escrita de uma forma mais simples como 
0l
0w
0t
dl
F
F
00 tw
F

0l
0w
0t
dl
F
F
00 tw
F


 
   2
1
2
3
2
2
2
1
3
2






  dddd ef (9.47) 
 
Se a trajetória de deformação for constante (com uma razão constante de 321 d:d:d  ), a 
deformação efetiva total pode ser expressa em termos da deformação total como. 
 
   2
1
2
3
2
2
2
1
3
2






 ef (9.48) 
 
Caso a trajetória de deformação não seja constante, ef deve ser encontrado de uma integral de 
trajetória de efd . 
 
 
9.5 – MECANISMOS DE DEFORMAÇÃO PLÁSTICA E ENCRUAMENTO DE METAIS 
 
Inicialmente, será considerada a deformação permanente de um monocristal de zinco. Se, após a 
deformação, o cristal de zinco for examinado, observar-se-á o aparecimento na superfície de degraus, que 
são designados por bandas de escorregamento (Figura 9.17-a e b). As bandas de escorregamento são 
provocadas pelo escorregamento, ou deformação devida às tensões de cisalhamento, dos átomos do metal 
que se encontram em determinados planos cristalográficos designados por planos de escorregamento. A 
superfície do monocristal de zinco deformado ilustra muito claramente a formação das bandas de 
escorregamento já que, nestes cristais, o escorregamento está limitado aos planos basais da estrutura HC 
(figura 9.17-c e d). 
 
 
Figura 9.17 - Monocristal de zinco deformado plasticamente, mostrando bandas de escorregamento: (a) 
vista frontal do cristal,(b) vista lateral do cristal, (c) vista lateral esquemática, indicando 
os planos basais de escorregamento no cristal HC e (d) indicação dos planos basais de 
escorregamento na célula unitária HC. 
Nos monocristais dos metais dúcteis com estrutura CFC, tais como o cobre e o alumínio, o 
escorregamento ocorre em múltiplos planos de escorregamento e, consequentemente, o aspecto das 
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
©
(d)
Força
Força
(a) (b)
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
©
(d)
Força
Força
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
Planos basais de 
escorregamento 
na estrutura HC
©
(d)
Força
Força
(a) (b)(a) (b)
bandas de escorregamento na superfície destes metais, quando deformados, é mais uniforme. Observando 
a superfície escorregada destes metais com uma ampliação maior, verifica-se que, no interior das bandas, 
o escorregamento ocorreu segundo muitos planos de escorregamento (figura 9.18). Estes degraus 
estreitos designam-se por linhas de escorregamento e a distância entre elas é geralmente da ordem de 50 
a 500 átomos, enquanto que a distância entre bandas de escorregamento é, geralmente, cerca de 10 000 
diâmetros atômicos. Os termos banda de escorregamento e linha de escorregamento têm sido em muitas 
ocasiões utilizados indiferentemente, o que não é correto. 
 
 
Figura 9.18 - Formação de linhas e bandas de escorregamento durante a deformação plástica de um 
monocristal metálico. 
 
A figura 9.19 , mostra-se um possível modelo atômico para o escorregamento de um conjunto de 
átomos sobre outro num cristal metálico perfeito. Cálculos efetuados a partir deste modelo mostram que 
as resistências mecânicas dos cristais metálicos deveriam ser cerca de 1000 a 10 000 vezes superiores aos 
valores observados. Assim, nos cristais metálicos reais de grandes dimensões, este mecanismo para o 
escorregamento atômico não pode ser correto. 
 
 
Figura 9.19 - Desenho esquemático do escorregamento entre dois planos atômicos devido a tensões 
cisalhantes. Este mecanismo é inviável devido ser muito energético. 
 
Para que cristais metálicos de grandes dimensões possam ser deformados pela ação de tensões 
cisalhantes menores, tem de existir uma grande densidade de defeitos cristalinos conhecidos por 
F
F
Banda de escorregamento 
(1 000 átomos)
Linha de escorregamento 
(100 átomos)
Distância entre bandas de 
escorregamento (30 000 átomos)
F
F
F
F
F
F
Banda de escorregamento 
(1 000 átomos)
Linha de escorregamento 
(100 átomos)
Distância entre bandas de 
escorregamento (30 000 átomos)
F
F
F
F
Banda de escorregamento 
(1 000 átomos)
Banda de escorregamento 
(1 000 átomos)
Linha de escorregamento 
(100 átomos)
Distância entre bandas de 
escorregamento (30 000 átomos)
F
F
F
F
F
F
F
F
Tensão cisalhante
y
x
b
(a) (b)
Tensão cisalhanteTensão cisalhante
y
x
b
(a)
y
x
y
x
bb
(a) (b)
deslocações. Estas deslocações são criadas em grande número (10
6
 cm
-2
), à medida que o metal 
solidifica, e quando o cristal metálico é deformado são criadas muitas mais. Um cristal fortemente 
deformado pode ter densidade de deslocações da ordem de 10
12
 cm
-2
. A figura 9.20, mostra como, pela 
ação de uma pequena tensão cisalhante, uma deslocação em cunha pode originar uma unidade de 
escorregamento. Para que o escorregamento ocorra por este processo é necessária uma tensão 
relativamente baixa, uma vez que, em cada instante, apenas um pequeno grupo de átomos escorrega sobre 
os outros. 
 
 
Figura 9.20 - Desenho esquemático mostrando como, pela ação de uma pequena tensão cisalhante, uma 
deslocação em cunha pode originar um degrau unitário de escorregamento (a, b e c). 
Analogia com a ondulação de um tapete. Este processo é muito menos energético do que 
aquele apresentado na figura 9.19. 
 
Pode ser visualizada uma situação semelhante ao movimento de uma deslocação num cristal 
metálico pela ação de uma tensão cisalhante, considerando o movimento de um tapete, com ondulação, 
sobre um pavimento. Fixando uma das extremidades do tapete poderá ser impossível deslocá-lo, devido 
ao atrito entre o pavimento e o tapete. Contudo, fazendo uma ondulação no tapete (análoga à deslocação 
no cristal metálico), pode mover-se o tapete, empurrando progressivamente, ao longo do pavimento, a 
ondulação nele existente (figura 9.20-d). 
 
Nos cristais reais, as deslocações podem ser observadas num microscópio eletrônico de 
transmissão utilizando folhas finas do metal. As deslocações aparecem como linhas devidas ao 
desarranjo atômico associado a elas, que interfere com a transmissão do feixe de elétrons do 
microscópio. A figura 9.21, mostra-se um arranjo celular cujas paredes são constituídas por deslocações 
originadas por deformação de uma amostra de alumínio. As células estão relativamente livres de 
deslocações mas estão separada por paredes com uma elevada densidade de deslocações. 
 
 
 
Figura 9.21 - Estrutura celular de deslocações numa amostra deformada de liga de alumínio (MET - 20 
000X). As células estão relativamente livres de deslocações, porém estão separadas por 
paredes com elevada densidade de deslocações. 
 
As deslocações provocam deslocamentos atômicos em planos e direções cristalográficos de 
escorregamento específicos. Os planos de escorregamento são geralmente os mais compactos e são 
também os que se encontram mais afastados uns dos outros. O escorregamento é mais fácil nos planos 
mais compactos, já que, para provocar o deslocamento dos átomos nestes planos, é necessária uma tensão 
de cisalhamento inferior aquela dos planos menos compactos (Figura 9.22). Contudo, se o 
escorregamento nos planos compactos estiver restringido, por exemplo, devido a tensões locais elevadas, 
então os planos de compacidade mais baixa podem tornar-se ativos. O escorregamento segundo direções 
compactas é igualmente favorecido, já que, quando os átomos se encontram mais próximos uns dos 
outros, é menor a energia necessária para mover os átomos de uma posição para outra. 
 
O conjunto de um plano de escorregamento com uma direção de escorregamento designa-se por 
sistema de escorregamento. Nas estruturas metálicas, o escorregamento ocorre em determinados sistemas 
de escorregamento que são característicos de cada estrutura cristalina. Na tabela 9.1, indicam-se os 
planos e direções de escorregamento predominantes nas estruturas cristalinas CFC, CCC e HC. 
 
Nos metais com estrutura cristalina CFC, o escorregamento ocorre nos planos octaedrais 
compactos {111} e segundo as direções compactas 110. Na estrutura cristalina CFC, existem oito 
planos octaedrais {111}. Os planos do tipo (111) correspondentes a faces opostas do octaedro, que são 
paralelos entre si, consideram-se planos de escorregamento (111) do mesmo tipo. Assim, na estrutura 
cristalina CFC, existem apenas quatro tipos diferentes de planos de escorregamento (111). Cada plano do 
tipo (111) contém três direções de escorregamento do tipo [110]. As direções opostas não são 
consideradas como direções de escorregamento diferentes. Assim existem na rede CFC, 4 planos de 
escorregamento x 3 direções de escorregamento = 12 sistemas de escorregamento (tabela 9.1). 
 
 
Figura 9.22 – Comparação do escorregamento entre um plano atômico compacto e outro não compacto. 
 
Tabela 9.1 – Sistemas de escorregamento observados em estruturas cristalinas. 
 
Estrutura Alguns metais Plano de 
escorregamento 
Direção de 
escorregamento 
Número de sistemas 
de escorregamento 
CFC Cu, Al, Ni, Pb, Au, 
Ag, Fe-, … 
 111 011 1234  
CCC Fe-, W, latão ,Mo 
 110 111 1226  
 Fe-, W, Na, Mo  211 111 12112  
 Fe-, K  321 111 24124  
HC Cd, Zn, Mg, Ti, Be, 
… 
 0001 0211 331  
 Ti (planos 
prismáticos) 
 0110 0211 313  
 Ti, Mg (planos 
piramidais) 
 1110 0211 316  
 
 
A estrutura CCC não é uma estrutura compacta, já que não tem planos de máxima compacidade, 
como acontece na estrutura CFC. Os planos {110} são os que têm a maior densidade atômica e 
frequentemente o escorregamento tem lugar nestes planos. Contudo, nos metais CCC também ocorre 
escorregamento nos planos {112} e {123}. Uma vez que os planos de escorregamento, na estrutura CCC, 
não são planos de máxima compacidade, como acontece na estrutura CFC, para provocar o 
escorregamento nos metais CCC são necessárias tensões de cisalhamento mais elevadas do que no caso 
dos metais CFC. Nos metais CCC, as direções de escorregamento são sempre do tipo  1 11. Como 
existem seis planos de escorregamento do tipo (110) e cada um deles contém duas direções de 
escorregamento  1 11, há 6 x 2=12 sistemas de escorregamento {110}  1 11. 
 
Na estrutura HC, os planos basais (0001) são os planos de máxima compacidade e são os planos 
de escorregamento habituais nos metais HC, como Zn, Cd e Mg, que têm razões c/a elevadas (tabela 9.1). 
Contudo, nos metais HC com valores baixos da razão c/a, como Ti, Zr e Be, o escorregamento também 
ocorre frequentemente nos planos prismáticos {10 1 0} e piramidais {10 1 1}. Em qualquer dos casos, as 
direções de escorregamento continuam a ser as direções 11 2 0. A existência de um número limitado de 
sistemas de escorregamento nos metais HC limita a sua ductilidade. 
 
(a)
Tensão cisalhante Tensão cisalhante
(b)(a)
Tensão cisalhante
(a)
Tensão cisalhante Tensão cisalhante
(b)
Tensão cisalhante
(b)
Um segundo mecanismo importante através do qual os metais se deformam é o processo 
conhecido por maclação. Este mecanismo ocorre quando uma região do cristal tem a sua orientação 
alterada, estando esta relacionada à orientação do restante da rede cristalina de maneira definida e 
simétrica. A região maclada é uma imagem de espelho da matriz cristalina, sendo o plano de simetria que 
as separa denominado plano de maclação, conforme mostra o desenho esquemático da figura 9.23. A 
maclação, tal como o escorregamento, ocorre numa direção específica, chamada direção de maclação. Na 
tabela 9.2 estão listados os planos e direções de maclação para as estrutura CCC, CFC e HC. Contudo, no 
escorregamento, todos os átomos de um dos lados do plano de escorregamento se movem da mesma 
distância (figura 9.20), enquanto que na maclação os átomos se movem de distâncias que são 
proporcionais às respectivas distâncias ao plano de macla (figura 9.23). 
 
 
 
Figura 9.23 - Desenho esquemático do processo de maclação. 
 
Uma boa visualização da mecânica da maclação pode ser feita através do estudo dos diagramas 
da Figura 9.24. Nesses desenhos a maclação representada é somente esquemática e não se refere a 
maclação de um cristal real. A figura superior representa uma estrutura cristalina composta de átomos 
com formato de esferóides achatados. A figura inferior representa o mesmo cristal, após ter sofrido uma 
ação de cisalhamento que produziu uma macla. A macla é formada pela rotação de cada átomo da região 
deformada, em torno de um eixo passando pelo seu centro e perpendicular ao plano do papel. Três 
átomos estão indicados pelos símbolos a, b e c nas duas figuras, para mostrar suas posições relativas 
antes e depois do cisalhamento. Note-se que os átomos individuais estão muito pouco deslocados com 
relação aos seus vizinhos. Embora os movimentos dos átomos num cristal real não sejam iguais aos 
mostrados na Figura 9.24, o movimento de um átomo relativamente a seus vizinhos é muito pequeno. As 
duas partes dessa figura mostram outra característica importante da maclação: o reticulado da macla é 
uma imagem especular do reticulado da matriz. Os reticulados da macla e da matriz estão orientados 
simetricamente com relação a um plano de simetria chamado plano de maclação. 
 
Na figura 9.25, está esquematizada a diferença básica entre o efeito do escorregamento e da 
maclação na topografia superficial de um material metálico deformado. Para simplificar, foi admitido que 
a macla atravesse todo o cristal. O escorregamento origina um conjunto de degraus (figura 9.25-a), 
enquanto que a maclação origina pequenas regiões bem definidas no cristal deformado (figura 9.25-b). 
No entanto, a diferença entre a maclação e o escorregamento deve ser examinada cuidadosamente, uma 
vez que, em ambos os casos, o reticulado é cisalhado. No escorregamento, a deformação ocorre em 
planos individuais do reticulado, conforme indicado na Figura 9.25-a. Quando medido num plano de 
escorregamento isolado, o cisalhamento pode ser muitas vezes maior que o espaçamento do reticulado, 
dependendo do número de deslocações envolvido. O cisalhamento associado à deformação por maclação 
é, por outro lado, uniformemente distribuído em um volume, ao invés de localizado em alguns planos de 
escorregamento discretos. Neste caso, em contraste com o escorregamento, os átomos movem somente 
uma fração de um espaçamento interatômico relativamente aos outros (figura 9.23). A deformação total 
por cisalhamento na maclação é também pequena, de forma que o escorregamento é um processo de 
deformação plástica muito mais importante e predominante na maioria das ligas metálicas. Das três 
estruturas cristalinas habituais nos materiais metálicos (CCC, CFC e HC), a maclação é mais importante 
na estrutura HC, devido ao pequeno número de sistemas de escorregamento existente nesta estrutura. 
Não obstante a contribuição da maclação, os metais HC, como o zinco e o magnésio, são menos dúcteis 
do que os metais CCC e CFC, que têm um maior número de sistemas de escorregamento. 
 
 
Figura 9.24 – Representação esquemática mostrando como uma macla pode ser produzida por uma 
movimentação atômica simples. 
 
 
Figura 9.25 – A diferença entre os cisalhamentos associados a maclação (a) e ao escorregamento (b). 
 
Tabela 9.2 - Planos e direções de maclação. 
 
Estrutura Cristalina Exemplos Plano de macla Direção de macla 
CCC Fe-, Ta (112) [111] 
CFC Zn, Cd, Mg, Ti (10 1 2) [ 1 011] 
HC Ag, Au, Cu (111) [112] 
 
FO eixo cristalográfico 
não deforma
Degraus de 
escorregamento
F
Planos da 
macla
O eixo cristalográfico 
sofre deformação
F
F
(a) (b)
FO eixo cristalográfico 
não deforma
Degraus de 
escorregamento
F
FO eixo cristalográfico 
não deforma
Degraus de 
escorregamento
F
Planos da 
macla
O eixo cristalográfico 
sofre deformação
F
F
Planos da 
macla
O eixo cristalográfico 
sofre deformação
F
F
(a) (b)
 
A maclação mecânica tem sido usada na explicação de certas propriedades mecânicas de alguns 
metais. Por exemplo, quando um metal macla, o reticulado interno a macla frequentemente se realinha, 
com uma orientação onde os planos de escorregamento se localizam mais favoravelmente com relação à 
tensão aplicada. Sob certas condições, um metal fortemente maclado pode ser mais facilmente deformado 
que um metal isento de maclas. Por outro lado, o realinhamento do reticulado, se restrito a um número 
limitado de maclas, pode levar à fratura, por permitir que ocorram grandes deformações no interior das 
maclas. As maclas são também de importância nos fenômenos de recristalização, porque as interseções 
de maclas são locais preferenciais para a nucleação de novos grãos durante o recozimento. 
 
 
9.6 –DEFORMAÇÃO PLÁSTICA EM METAIS POLICRISTALINOS 
 
A quase totalidade dos materiais metálicos utilizados em aplicações de engenharia são metais e 
ligas policristalinos. Nesses metais, os limites de grão aumentam a resistência mecânica, uma vez que 
atuam como obstáculos ao movimento das deslocações, exceto a temperaturas elevadas, em que se 
tornam regiõesfrágeis. Na maior parte das aplicações em que a resistência mecânica é importante, é 
desejável um tamanho de grão pequeno e, por isso, a maior parte dos materiais metálicos é produzida 
com grão fino. Na figura 9.26, são comparadas as curvas tensão-deformação obtidas em ensaios de tração 
de amostras de cobre mono e policristalino, efetuados à temperatura ambiente. Qualquer que seja a 
deformação, o cobre policristalino é mais resistente do que o cobre monocristalino. Para a deformação de 
20%, a resistência à tração do cobre policristalino é 276 MPa, enquanto que a do cobre monocristalino é 
55 MPa. 
 
 
 
Figura 9.26 - Curvas tensão-deformação do cobre mono e policristalino. Os materiais policristalinos 
apresentam maior resistência mecânica devido aos limites de grão dificultar o 
escorregamento. 
 
Durante a deformação plástica dos materiais metálicos, as deslocações que se movem num 
determinado plano de escorregamento não podem passar, em linha reta, diretamente de um grão para 
outro. Assim, em cada grão, as deslocações movem-se em planos de escorregamento preferenciais que 
têm orientações diferentes das dos grãos vizinhos Esse fenômeno pode ser mais bem visualizado com o 
auxilio da figura 9.27. Nessa figura é apresentada uma fotografia ilustrando a mudança de direção das 
linhas de escorregamento nos contornos de grão. 
 
 
 
Figura 9.27 – Liga de alumínio policristalina deformada plasticamente. Pode ser facilmente observado o 
paralelismo das bandas de escorregamento no interior dos grãos e há ocorrência de 
descontinuidades nos limites de grãos. 
 
Os contornos de grão funcionam, portanto, como barreiras a propagação das delocações. Outras 
imperfeições no reticulado cristalino também funcionam como barreiras à movimentação das deslocações 
no interior dos grãos, por exemplo, segregados, partículas de segunda fase, etc. Além dessas barreiras, os 
efeitos da interação de delocações com outras delocações também contribuem para o encruamento dos 
metais e suas ligas. Observa-se também, durante a deformação plástica a frio, a distorção dos grãos uns 
em relação aos outros, devido à criação, movimentação, ancoramento e rearranjo das deslocações. Na 
figura 9.28, são mostradas microestruturas de amostras de material metálico no estado recozido e após 
deformação plástica. Pode se observar que quando a deformação aumenta, os grãos ficam mais alongados 
segundo a direção de trefilação, devido ao movimento de deslocações. 
 
 
 
Figura 9.28 - Micrografias obtidas através de microscopia ótica em amostras de material metálico 
recozida e após deformação. 
 
Pode-se obter com o auxílio de microscopia de filmes finos (microscopia eletrônica de 
transmissão, MET, em lâminas de até 100µm de espessura) um conhecimento mais aprofundado sobre o 
encruamento dos materiais metálicos. Nos primeiros estágios da deformação plástica, o escorregamento 
se dá essencialmente nos planos primários de escorregamento e as deslocações tendem a formar arranjos 
coplanares. Com o prosseguimento da deformação, observa-se a ocorrência de escorregamento cruzado e 
os processos de multiplicação de deslocações se tornam operantes. A estrutura deformada a frio forma 
regiões de alta densidade de deslocações (emaranhados de deslocações), que evoluem formando uma 
estrutura em forma de rede de emaranhados, denominada de estrutura celular de deslocações. Na 
estrutura celular as paredes das células são formadas por emaranhados de alta densidade de deslocações 
enquanto os interiores dessas células apresentam densidades próximas à do material em seu estado 
recozido, conforme mostrado na figura 9.21 e no desenho esquemático da figura 9.29. O tamanho das 
células diminui com a deformação para pequenas deformações, mas logo atinge um tamanho de célula 
fixo, mostrando que, conforme a deformação continua, as deslocações varrem as células e se juntam ao 
emaranhado nas paredes das células. A estrutura celular normalmente já está caracterizada quando a 
deformação a frio atinge 6% e estará completamente formada quando a deformação atinge 12%. A 
natureza exata da estrutura trabalhada a frio dependerá do material, da deformação, da taxa de 
deformação e da temperatura de deformação. A formação de uma estrutura celular é menos pronunciada 
para baixas temperaturas e altas taxas de deformação, como também, em materiais onde o deslizamento 
cruzado apresenta dificuldades para se tornar operante (materiais que apresentam baixa energia de falha 
de empilhamento) 
 
(a) (b) 
 
Figura 9.29 - Desenho esquemático mostrando (a) os estágios iniciais da formação celular e (b) uma 
estrutura celular completamente formada com alta densidade de deslocações nas paredes 
das células. 
 
A maior parte da energia gasta na deformação de um material metálico é convertida em calor. No 
entanto, uma pequena fração (esta fração cai de 5% para pequenas deformações até 1 ou 2% para grandes 
deformações) da energia gasta é armazenada na estrutura causando um aumento da energia interna. A 
quantidade de energia armazenada aumenta com o ponto de fusão do material metálico e com o aumento 
do teor de soluto da liga. Para um dado material a quantidade de energia armazenada depende do 
processamento, ou seja, do processo de conformação (trefilação, extrusão, laminação, etc.), da geometria 
da zona de deformação (semi-ângulo, diâmetro do cilindro, etc.) e do coeficiente de atrito na interface 
produto/ferramenta. A energia armazenada aumenta também com a diminuição da temperatura. 
 
A maior parte da energia armazenada é devida à geração e à interação das deslocações durante o 
trabalho a frio, ou seja, devido à formação da microestrutura celular de deslocações. Os vazios são 
responsáveis por parte da energia armazenada em metais deformados a temperaturas muito baixas. 
Entretanto, os vazios são muito mais móveis que as deslocações, de maneira que facilmente escapam da 
maioria dos metais deformados à temperatura ambiente. Falhas de empilhamento e maclas são 
provavelmente responsáveis por uma pequena fração da energia armazenada. Uma redução na ordenação 
de curto alcance durante a deformação de soluções sólidas pode também contribuir para a energia 
armazenada. A energia de deformação elástica contribui apenas para uma parte insignificante da energia 
armazenada. 
 
 
 
 
 
 
9.7 - COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS DURANTE A CONFORMAÇÃO 
 
 
9.7.1 – Trabalho a Frio 
 
Trabalho a frio (também conhecido como conformação a frio), se refere à conformação 
mecânica realizada a temperatura ambiente ou a temperatura ligeiramente acima desta. Durante o 
trabalho a frio os mecanismos de recuperação e recristalização não estão operantes no espaço de tempo 
de realização da operação de conformação (todo o tempo compreendido entre o início do processamento 
até a obtenção da peça final). O trabalho a frio quando compara ao trabalho a quente permite a obtenção 
de tolerâncias mais estreitas, conseqüentemente fornecendo melhor precisão dimensional. Além disso, o 
encruamento gerado pela deformação plástica aumenta a resistência mecânica e a dureza do produto. O 
trabalho a frio possibilita, quando pequenas reduções de área estão envolvidas (dependendo da 
ductilidade do material), uma maior taxa de produção, pois nenhum aquecimento prévio da peça é 
requerido, economizando despesas com fornos, combustível para operá-los e tempo despendido em 
operações de aquecimento. Devido a esta combinação de vantagens, muitos processos de conformação a 
frio desenvolveram-se em importantes operações de produção em larga escala. Eles fornecem tolerâncias 
mais estreitas e bom acabamento superficial, minimizando a quantidade de usinagem subseqüente. 
 
Há certas desvantagens ou limitações associadas com operações de trabalho a frio, tais como a 
necessidade de maior potência para executar a operação de conformação e o cuidado a ser tomado para 
assegurar que a superfície da peçaa ser conformada esteja livre de carepas e sujeiras. Entretanto, a 
principal limitação do trabalho a frio está relacionada à quantidade limitada de deformação que pode ser 
realizada na peça devido ao encruamento. Em algumas operações, o metal deve ser recozido para dar 
continuidade ao processo de conformação, o que torna o processo cada vez mais caro e caso seja 
necessário várias etapas de recozimento o processo perde viabilidade. Em outros casos, o metal pode não 
ser dúctil o suficiente para ser trabalhado a frio. Em ambos os casos, processamento a quente pode ser a 
solução. 
 
Durante processamento a frio dos materiais metálicos a taxa de encruamento pode ser obtida pela 
inclinação da curva de escoamento (curva de fluxo). Normalmente, a taxa de encruamento é menor para 
metais hexagonais compacto do que para metais cúbicos. O aumento da temperatura de deformação pode 
também diminuir a taxa de encruamento. Para ligas endurecidas por adições em solução sólida a taxa de 
encruamento pode tanto aumentar como diminuir, comparada com a taxa de encruamento do metal puro. 
Entretanto, a resistência final de uma liga em solução sólida é quase sempre maior do que a do metal 
puro que sofreu o mesmo trabalho a frio. 
 
A Figura 9.30 mostra a variação típica da resistência e da ductilidade com o aumento da 
quantidade de trabalho a frio. Uma vez que na maioria dos processos de trabalho a frio uma ou duas 
dimensões do metal são reduzidas às custas de um aumento nas outras dimensões, o trabalho a frio 
produz o alongamento dos grãos na direção principal de trabalho. Grandes deformações produzem uma 
reorientação dos grãos numa orientação preferencial. Além das mudanças das propriedades em tração 
mostradas na figura 9.30, o trabalho a frio produz também mudanças em outras propriedades físicas. 
Normalmente ocorre uma pequena redução na densidade (da ordem de alguns décimos por cento), uma 
diminuição apreciável da condutividade elétrica devido ao aumento do número de centros espalhadores e 
um pequeno aumento do coeficiente de expansão térmica. Devido ao aumento da energia interna durante 
trabalho a frio, a reatividade química é também aumentada. Isso leva a uma diminuição geral na 
resistência à corrosão e, em certas ligas, introduz a possibilidade do aparecimento de trincas de corrosão 
sob tensão. 
 
A curva tensão-deformação típica para a maioria dos metais é dividida em uma porção elástica e 
uma porção plástica. No estudo da conformação de metais, a porção de deformação plástica é de 
fundamental importância porque durante a conformação o material é plástica e permanentemente 
deformado, essa porção é denominada de curva de fluxo ou curva de escoamento do material (figura 
9.30). Na região de deformação plástica uma taxa de encruamento alta implica uma mútua obstrução de 
deslocações deslizantes nos sistemas de escorregamento que se interceptam. Isso pode ocorrer através da 
interação dos campos de tensão das deslocações, através de interações que produzem deslocações 
bloqueadas em partículas segregadas, contornos de grão, etc. e através da interpenetração de um sistema 
de escorregamento por outro que resultam na formação de degraus de deslocações. 
 
 
Figura 9.30 – Variação das propriedades mecânicas com o trabalho a frio. 
 
A equação básica que relaciona a tensão de escoamento (encruamento) com a microestrutura é 
 
  bG i 0 (9.49) 
 
Onde 0 é a tensão de escoamento, i é a tensão de atrito contrária ao movimento das 
deslocações, G é o modulo de elasticidade cisalhante, b é o vetor de Burgers,  é a densidade de 
deslocações e  é uma constante numérica, geralmente compreendida entre 0,3 e 0,6. Baseado nessa 
análise, está óbvio que a curva de escoamento é função tanto do material quanto do processamento, ou 
seja, do estado de tensões a que está submetido (processo de conformação). Nos últimos anos, tem-se 
dado muita importância ao desenvolvimento das teorias de encruamento baseada nos modelos 
microestruturais, mas, infelizmente, ainda sem grande sucesso. O atual estágio do desenvolvimento 
científico ainda não permite determinar uma curva de escoamento, equação constitutiva básica, com a 
precisão necessária para a correta modelagem de processos de conformação mecânica. Muitos 
pesquisadores esperam alcançar esse objetivo nos próximos anos. No entanto, enquanto não se alcança 
este objetivo, as curvas de fluxo têm sido determinadas através de ensaios de tração, compressão, 
cisalhamento, torção, entre outros. Cabe ressaltar, que as curvas levantadas através destes testes são 
apenas aproximações do comportamento real de escoamento dos materiais quando submetidos aos 
diferentes processos de conformação, pois se trata de distintas trajetórias de deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite de resistência
Curva de escoamento
Alongamento
Redução de área 
na fratura
Redução de área durante trabalho a frio
P
ro
p
ri
ed
a
d
e
Limite de resistência
Curva de escoamento
AlongamentoAlongamento
Redução de área 
na fratura
Redução de área 
na fratura
Redução de área durante trabalho a frio
P
ro
p
ri
ed
a
d
e
9.7.1 – Determinação de uma expressão para o encruamento 
 
A figura 9.31 mostra uma curva tensão nominal - deformação nominal ( eS  ), levantada através 
dum teste de tração, e sua correspondente curva tensão verdadeira - deformação verdadeira (   ) 
usando as seguintes definições: 
 
Deformação verdadeira, 
l
dl
d  ou  e 1ln (9.50) 
 
Tensão verdadeira, 
A
F
 ou  eS  1 (9.51) 
 
Aqui A é a área instantânea associada a um carregamento especifico F. 
 
A equação 9.50 é útil somente até a carga máxima. Após o início da estricção, a variação 
dimensional está localizada na estricção, assim a deformação nominal, e, que envolve uma medida de 
toda a seção útil, não ode ser usada para calcular a deformação verdadeira,  . Uma expressão alternativa, 
apresentada na equação 9.25, continua valida. Essa e baseada em medidas da área da seção transversal 
mínima, e visto que 
A
dA
l
dl  , 
 
 
A
dA
d  ou 
A
A0ln (9.52) 
 
Após estricção, a equação 
A
F , mas não  eS  1 , fornece a tensão verdadeira média na 
estricção na direção de carregamento. Essa não mais é a tensão efetiva,  , visto que o estado de tensões 
na estricção é triaxial. 
 
 
Figura 9.31 - Representação esquemática da curva tensão-deformação. 
Exemplo 9.7 --- Uma amostra com 10 mm de diâmetro e 50 mm de comprimento útil é submetida a 
uma carga trativa de 18 000 N. Nesse instante, o comprimento útil é 63 mm. 
T
en
sã
o
Deformação
Nominal
Verdadeira
T
en
sã
o
Deformação
Nominal
Verdadeira
Assumindo que a deformação é uniforme até esse ponto, determine a tensão 
verdadeira, a deformação verdadeira e o diâmetro. 
Solução: 
 
MPa2229
4
mm 10
000N 18
A
F
S
2
0
,



 
2600
mm 50
mm 50-mm 63
e , 
Utilizando as equações 9.50 a 9.52, temos: 
    MPa82880,261 MPa2229e1S ,,  
    23102601e1 ,,lnln  
Devido a constância de volume as equações 















d
d
2
A
A
l
l 00
0
lnlnln são todas 
equivalentes. Assim   mm918
1221
mm 10
d 
d
mm 10
e 
d
mm 1022310 2
0,231
,
,
ln,  
 
Para muitos materiais dúcteis que não sofreram trabalho a frio anterior ao teste de tração, que se 
encontram no estado recozido, o comportamento do escoamento inicial até a carga máxima é 
adequadamente descrito por uma equação de potência da forma: 
 
 nk  (9.53) 
 
Onde para uma determinada deformação induzida  (porção plástica da deformação total), o 
valor correspondente de  é o novo limite de escoamento causado pelo encruamento induzido pela 
deformação. Usando a equação 9.27, pode-se mostra que: 
 
 







r1
1
ln (9.54) 
 
A conseqüência física importante dessa observação pode agora ser explicada. Se uma certa 
quantidade de trabalho a frio