8 série - Potenc. e eq de primeiro grau

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1 Potenciação
Seja x, yϵR e a, b, cϵZ. Uma potência é uma operação matemática do tipo
xa = x.x.x . . . x (1)
ou seja, o produto da base ”x” por ele mesmo o numero de vezes do expoente, no caso, ”a”
vezes.
Por exemplo: 34, onde 3 é a base e 4 é o expoente, tem como resultado
34 = 3.3.3.3 = 81
o produto de 3 por ele mesmo 4 vezes.
1.1 Propriedades de Potência
Soma de expoentes de bases iguais:
Seja x2 e x3, o produto dessas potências é dado por
x2x3 = (x.x).(x.x.x) = x.x.x.x.x
Aplicando a propriedade da equação (1)
x.x.x.x.x = x5
∴ x2x3 = x5
Podemos perceber
x2x3 = x2+3 = 25
Exemplo numérico: Seja o produto 23 e 22
2324 = (2.2.2).(2.2.2.2) = 2.2.2.2.2.2.2 = 27
∴ 2324 = 23+4 = 27
1
Podemos definir então que:
O produto de potências de mesma base é igual a própria base elevada a soma dos expoentes
xaxb = xa+b (2)
Seja agora x3/x2, teremos
x4
x2
=
x.x.x.x
x.x
Lembrando que a fração de um número qualquer por ele mesmo é 1, ou seja
a.
1
a
=
a
a
= 1
Teremos então que
x4
x2
=
x.x.x.x
x.x
= x.x = x2
∴
x4
x2
= x2
Outro exemplo: x5/x2
x6
x3
=
x.x.x.x.x.x
x.x.x
= x.x.x = x3
∴
x6
x3
= x3
Podemos perceber que
x4
x2
= x4−2 = x2
x6
x3
= x6−3 = x3
Podemos definir então que:
A fração de potências de mesma base é igual a própria base elevado ao expoente
do numerador menos o expoente do denominador
xa
xb
= xa−b (3)
2
Em resumo
xaxb = xa+b (4)
xa
xb
= xa−b (5)
Teremos que qualquer número elevado a zero é igual a 1
x0 = 1 (6)
e qualquer número elevado a 1 é igual ele mesmo
x1 = x (7)
Seja x/x2, teremos
x
x2
=
x
x.x
=
1
x
Se aplicarmos a propriedade da equação (5), chegaremos em
x
x2
= x1−2 = x−1
∴ x−1 =
1
x
Portante, podemos definir que
x−a =
1
xa
(8)
Pegando x2 e elevando a 3, chegaremos em
(x2)3 = (x2).(x2).(x2)
Aplicando a propriedade (4)
(x2)3 = (x2).(x2).(x2) = x2+2+2 = x3.2 = x6
Ou seja
(xa)b = xb.a (9)
3
Agora seja -1 elevado a 2 e 3, teremos
(−1)2 = (−1).(−1) = 1
(−1)3 = (−1).(−1).(−1) = 1.(−1) = −1
Em suma, (−) com (−) é (+) e (−) com (+) é (−)
É fácil perceber que (−1) elevado a um número par é igual a 1, enquanto (−1) elevado a
um número impar é igual a (−1). Assim teremos que
(−2)4 = ((−1).2)4 = (−1)4(2)4 = 24
(−2)3 = ((−1).2)3 = (−1)(2)3 = −23
NÃO CONFUNDIR!
(−3)2 = 9 (10)
−32 = −9 (11)
Pois na equação (11) elevamos 3, mas não elevamos −1! O parênteses usado na equação (10)
”eleva”tanto o 3 como −1 ao quadrado.
Todo número multiplicado por 2 é par, e todo número par somado por 1 é impar, podemos
resumir a propriedade como
(−x)2a = x2a (12)
(−x)2a+1 = −x2a+1 (13)
4
Reunindo todas as propriedades:
x0 = 1 (14)
xaxb = xa+b (15)
xa
xb
= xa−b (16)
(xa)b = xb.a (17)
(−x)2a = x2a, (−x)2a+1 = −x2a+1 (18)
Exemplos: Resolva as equações
1) (yx)2
(yx)2 = (yx).(yx) = y2x2
2) (yx)a
(yx)a = yaxa
3) (xay)b/xc:
(xay)b
xc
= (xay)bx−c
= xabybx−c
= xabx−cyb = xab−cyb
4) (x/y)−2 (
x
y
)−2
=
(
x2
y2
)−1
=
y2
x2
5) (x+ a)2
(x+ a)2 = (x+ a)(x+ a)
Aplicando a distributiva
(x+ a)2 = (x+ a)(x+ a) = xx+ xa+ ax+ aa = x2 + xa+ ax+ a2
Como
5
xa+ ax = ax+ ax = 2(ax)
Teremos
∴ (x+ a)2 = x2 + 2ax+ a2
1.2 Exerćıcios
1) Resolva as potências
a)x5x8 d)(−x)5(−x)2
b)x2x0x7 e)−x
2
x2y
c) (x
4y2)2
x8
f)((−x)3y)2
2) Calcule as seguintes expressões
a)3−1 e)(x+ 2)2
b)
(
2
3
)3
f)(x− a)2
c)−
(−2
3
)3
d)(−1)2a+1
(
1
3
)−2
6
2 Equações de 1º grau
Seja a, bϵR onde a ̸= 0 coeficientes conhecidos e x, yϵR variáveis. Uma equação de primeiro
grau é uma equação do tipo
ax+ b = y (19)
Descobrimos o valor de x para dados valores de a, b, y quando ”isolamos”a incógnita x
x =
y − b
a
(20)
A solução de uma equação é única e é determinada pelo resultado de (20).
Faremos a equação (20) passo a passo, mas antes veremos algumas propriedades importantes
da soma e do produto
Seja AϵR, ou seja, um número qualquer
A+ 0 = A (21)
A+ (−A) = 0 (22)
1A = A (23)
A
1
A
= AA−1 = 1 (24)
Partindo disso, voltamos para (20).
Primeiro somamos (−b) dos dois lados da equação, aplicamos a propriedade (22) para
poder deixar o x isolado
ax+ b = y (25)
ax+ b+ (−b) = y + (−b) (26)
ax = y − b (27)
Para isolar a de x devemos multiplicar dos dois lados da equação por 1/a, para utilizarmos
a propriedade (24)
ax = y − b (28)
1
a
ax = (y − b)1
a
(29)
x =
y − b
a
(30)
Uma forma de enxergar como ”passarmos”os termos para o ”outro lado”e isolarmos o x é
pensar que passamos os termos com sua ”operação inversa”:
7
”a soma(+) passa para o outro lado subtraindo(-),vice e versa”
”o produto passa pro outro lado dividindo, vice e versa”
x+ b = y → x = y − b (31)
x− b = y → x = y + b (32)
ax = y → x = y
a
(33)
x
a
= y → x = ya (34)
a
b
x = y → ax = by → x = b
a
y (35)
Exemplos
Resolva as equações de primeiro grau
a)3
2
x− 5 = 7
3
2
x− 5 = 7 (36)
3
2
x = 7 + 5 → 3
2
x = 12 (37)
x =
2
3
.12 → x = 2(4.3)
3
→ x = 2.4 (38)
∴ x = 8 (39)
b)−7x+ 2 = 3x− 8
−7x+ 2 = 3x− 8 → −7x− 3x+ 2 = −8 (40)
−10x+ 2 = −8 → −10x = −8− 2 (41)
−10x = −10 → x = −10
−10
(42)
∴ x = 1 (43)
c) 2
x
− 5 = 9
2
x
− 5 = 9 → 2
x
= 9 + 5 (44)
2
x
= 14 → 2 = 14x (45)
x =
2
14
→ x = 2
2.7
(46)
∴ x =
1
7
(47)
8
Exerćıcios:
1) Resolva as equações de primeiro grau
a)4x+ 2 = 38 e) 5
x
− 1 = 10
b)9x = 6x+ 12 f)2
7
x+ 5 = 8x− 1
c)5x–1 = 3x+ 11 g)7x− 9
7
= 2x+ 9
d)2x+ 8 = x+ 13 h)9
5
x− 7 = 1
3
x+ 8
2) (Unicamp-adaptada) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhando 5/11
do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.
Qual o comprimento total do percurso?
3) Resolva as equações de primeiro grau sendo a, b, c...ϵR números distintos
a)ax− b = c
d
+ 1
e
b)(a
b
− c)x = d
c)a
x
= a+ b
4)(Puc-rio) Ache sete números inteiros consecutivos tais que a soma dos primeiros quatro
seja igual à soma dos últimos três.
Dica: Considere o primeiro número desses setes como uma incógnita xϵZ, assim os números
seguintes serão (x + 1), (x + 2), . . ., (x + 6), depois aplique as propriedades que o exerćıcio
deu.
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