Exercício 32. Considere uma série de potências ∑∞n=0 anx n cujos coeficientes estão relacionados através da seguinte equação: an +Aan−1 +Ban−2 = 0,...

Para resolver esse exercício, podemos utilizar o método de resolução de equações diferenciais de segunda ordem. Primeiramente, podemos reescrever a equação dada como: an = -Aan-1 - Ban-2 Em seguida, podemos substituir n por n+2 na equação acima, o que nos dá: an+2 = -Aan+1 - Ban Agora, podemos multiplicar a equação original por xn e somar com a equação acima multiplicada por x(n+1), o que nos dá: anxn + an+1x(n+1) = -Aan-1xn - Ban-2xn + (-Aanxn+1 - Ban-1xn+1) Podemos rearranjar os termos acima para obter: an(xn + Axn+1 + Bxn+2) = -an-1xn Dividindo ambos os lados por xn+2, temos: an/(1 + Ax + Bx^2) = -an-1/x Podemos agora somar essa equação para todos os valores de n de 2 a infinito, o que nos dá: a2/(1 + Ax + Bx^2) + a3/(1 + Ax + Bx^2)x + a4/(1 + Ax + Bx^2)x^2 + ... = -a1 - a0x Podemos reorganizar essa equação para obter: a0 + (a1 + Aa0)x/(1 + Ax + Bx^2) = a0 + a1x + a2x^2 + ... O que nos mostra que a soma da série é dada por a0 + (a1 + Aa0)x/(1 + Ax + Bx^2), para todo x no qual a série converge.