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Condução de calor em regime não permanente 544 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Considere uma parede plana de espessura 2L, um cilindro longo de raio r0 e uma esfera de raio r0, inicialmente com temperatura uniformeTi. Condução de calor em regime não permanente 545 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � No tempo t = 0, cada corpo é colocado em um ambiente que está a temperaturaT ∞ e mantido neste meio por t > 0. � A transferência de calor acontece entre os corpos e o ambiente por convecção com um coeficiente de transferência de calor constante e uniforme. � Os três casos possuem simetria térmica e geométrica � Efeito da radiação� desprezível ou incorporado no coeficiente h Condução de calor em regime não permanente 546 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede plana � Parede exposta ao ambiente�T ∞ <Ti� t = 0 � Toda a parede� temperatura inicial�Ti � Temperatura da parede na superfície e próxima à superfície � queda � Transferência de calor para o meio Condução de calor em regime não permanente 547 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede plana � Geração de um gradiente de temperatura na parede e inicia-se a condução de calor a partir das regiões internas da parede em direção à superfície externa. � A temperatura no centro da parede permanece em Ti até t = t2 Condução de calor em regime não permanente 548 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Variação no perfil de temperatura com o tempo na parede plana � O perfil de temperatura vai ficando cada vez mais reto a medida que o tempo passa como resultado da transferência de calor e eventualmente se torna uniforme com T = T ∞ � A parede está em equilíbrio térmico com o ambiente Condução de calor em regime não permanente 549 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Formulação dos problemas para a determinação da distribuição de temperatura unidimensional e transiente T(x,t) em uma parede � Equações diferenciais parciais � Solução� séries infinitas Condução de calor em regime não permanente 550 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução em tabelas ou gráficos � Parâmetros � x � L � t � k � α � h � Ti eT∞ parâmetros Muitos Condução de calor em regime não permanente 551 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Redução do número de parâmetros (adimensionalização) � Quantidades adimensionais ( ) ( ) → − − = ∞ ∞ aladimension aTemperatur TT TtT tx,θ i →= centro do aladimension Distância L xX → ⋅ = aladimension calor de ncia transferêde eCoeficient k LhBi →= ⋅ = aladimension Tempo Fo L tα τ 2 Biot de Número Fourier de Número Condução de calor em regime não permanente 552 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Redução do número de parâmetros (adimensionalização) � Permite apresentar a temperatura em termos de 3 parâmetros � X � Bi � τ = Fo � Solução gráfica 0rL rx esfera e Cilindro → → Condução de calor em regime não permanente 553 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Redução do número de parâmetros (adimensionalização) ( ) bt i e TT TtT θ − ∞ ∞ = − − = p s CVρ Ahb ⋅⋅ ⋅ = pCρ k α ⋅ = k LhBi ⋅= 2L tαFo ⋅= ( ) →= − − = ⋅⋅ ⋅ − ∞ ∞ e TT TtT θ t CVρ Ah i p s s c A VL = ( ) BiFo i e TT TtT θ − ∞ ∞ = − − = 0rL rx esfera e Cilindro → → Condução de calor em regime não permanente 554 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução exata de problema de condução transiente unidimensional Condução de calor em regime não permanente 555 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução de problemas de condução de calor transiente unidimensional� séries infinitas e equações implícitas � Os termos na solução convergem rapidamente com o aumento do tempo e para τ > 0,2, manter o primeiro termo e desprezar os termos restantes na série resulta em um erro menor do que 2% � Soluções de interesse� para tempos com τ > 0,2 Condução de calor em regime não permanente 556 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução (aproximação com um termo) � Parede plana ( ) ( ) ( ) 0,2 τ LxλcoseA TT Ttx,T tx,θ 1 τλ 1 i parede 2 1 >→⋅⋅⋅= − − = ⋅− ∞ ∞ Condução de calor em regime não permanente 557 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução (aproximação com um termo) � Cilindro ( ) ( ) ( ) 0,2 τ rrλJeA TT Ttr,T tx,θ 010 τλ 1 i cilindro 2 1 >→⋅⋅⋅= − − = ⋅− ∞ ∞ Condução de calor em regime não permanente 558 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Solução (aproximação com um termo) � Esfera ( ) ( ) ( ) 0,2 τ rrλ rrλsen eA TT Ttr,T tx,θ 01 01τλ 1 i esfera 2 1 >→ ⋅ ⋅ ⋅⋅= − − = ⋅− ∞ ∞ Condução de calor em regime não permanente 559 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Constantes A1 e λ como funções do número de Biot para as três geometrias Condução de calor em regime não permanente 560 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Função J0 – Função Bessel de ordem zero do primeiro tipo � Tabela - Função Bessel de ordem zero e de primeira ordem do primeiro tipo Condução de calor em regime não permanente 561 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Observando que � Obtêm-se as relações para o centro das geometrias ( ) ( ) ( ) 1 x sen x de limite 10J0 cos 0 = == Condução de calor em regime não permanente 562 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Centro da parede plana (x = 0) � Centro do cilindro (r=0) � Centro da esfera (r=0) τλ 1 i 0 parede 0, 2 1eA TT TT θ ⋅− ∞ ∞ ⋅= − − = τλ 1 i 0 cilindro 0, 2 1eA TT TT θ ⋅− ∞ ∞ ⋅= − − = τλ 1 i 0 esfera 0, 2 1eA TT TT θ ⋅− ∞ ∞ ⋅= − − = Condução decalor em regime não permanente 563 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Relação da temperatura adimensional com a temperatura no centro = L xλ cos θ θ 1 parede 0, parede = 0 1 0 cilindro 0, cilindro r rλJ θ θ ( ) 01 01 esfera 0, esfera rrλ rrλsen θ θ = Condução de calor em regime não permanente 564 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler – Parede plana central plano no aTemperatur 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 565 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler – Parede plana ra temperatude ãoDistribuiç calor de ciaTransferên 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 566 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler - Cilindro central linha na aTemperatur 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 567 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler - Cilindro ra temperatude ãoDistribuiç calor de ciaTransferên 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 568 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler - Esfera central ponto no aTemperatur 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 569 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Gráficos de Heisler - Esfera ra temperatude ãoDistribuiç calor de ciaTransferên 0,2τ > Condução de calor em regime não permanente 570 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Caso � Temperatura superficial especificada T ∞ � Caso no qual a superfície do corpo é exposta subitamente a temperatura T ∞ em t = 0 e mantida a T ∞ por todo o tempo pode ser manipulado tomando h como infinito ∞→→= ⋅ = h 0 Lh k Bi 1 Condução de calor em regime não permanente 571 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � A temperatura do corpo muda da temperatura inicial Ti para a temperatura do ambiente T ∞ no final do processo de condução de calor transiente. � Quantidade máxima de calor que o corpo pode ganhar (ou perder, seTi >T∞) ( ) ( ) ( )kJ TTCVρTTCmQ ipipmax −⋅⋅⋅=−⋅⋅= ∞∞ ∞→⇒ tQmax Condução de calor em regime não permanente 572 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Quantidade de transferência de calor em um tempo finito � Gráficos de Heisler � Qmax� negativo � Calor está saindo do corpo maxQ Q Condução de calor em regime não permanente 573 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Quantidade de transferência de calor em um tempo finito � Parede plana � Cilindro � Esfera 1 1 parede 0, max λ λsen θ1Q Q −= ( ) 1 11 cilindro 0, max λ λ J θ21Q Q ⋅−= 3 1 111 esfera 0, esferamax λ λ cosλλsen θ31Q Q − ⋅−= Condução de calor em regime não permanente 574 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Número de Fourier 2L tα τ ⋅ = ( ) ∆T ∆T tLCρ L1Lk τ 3 p 2 ⋅⋅ ⋅⋅ = = 3 3 L volumede corpo um em armazenado écalor qual na Taxa L volumede corpo um de L de através conduzido écalor qual na Taxa τ Condução de calor em regime não permanente 575 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 36 � Um ovo comum pode ser modelado como uma esfera de 5 cm de diâmetro. O ovo está inicialmente a uma temperatura uniforme de 5°C e é colocado em água em ebulição a 95°C. Tomando o coeficiente de transferência de calor por convecção h = 1200 W/(m2.°C), determine quanto tempo levará para o centro do ovo alcançar 70°C. Condução de calor em regime não permanente 576 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 36 � Conteúdo de água no ovo � 74% � Propriedades da água � Número de Biot s m100,151 Cρ k α Cm W0,627k 2 6 p −×= ⋅ = °⋅ = C5,73 2 075 °= + → ⋅ = k rhBi 0 0,1 47,8Bi >= ( )( ) ( ) ( ) →°⋅ ⋅°⋅ = CmW 0,627 m 0,025CmW 1200Bi 2 Condução de calor em regime não permanente 577 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 36 � Coeficientes A1 e λ1 1,9958A 3,0753λ 47,8Bi 11 ==⇒= →⋅= − − = ⋅− ∞ ∞ eA TT TT θ τλ 1 i 0 esfera 0, 2 1 ( ) τ3,0753 2e1,9958 955 9570 ⋅− ⋅= − − 0,2 0,209τ >= Condução de calor em regime não permanente 578 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 36 � Número de Fourier → ⋅ = L tα τ 2 → ⋅ = α rτ t 2 0 ( ) ( ) sm100,151 m 0,0250,209 t 26 2 −× ⋅ = s 865t = min 14,4t ≈ Condução de calor em regime não permanente 579 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 37 � Em uma indústria, placas grandes de bronze de 4 cm de espessura que estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 20°C são aquecidas através da passagem por um forno que é mantido a 500°C. As placas permanecem no forno por um período de 7 min. Tomando o coeficiente de transferência de calor combinado (radiação e convecção) como h = 120 W/(m2.°C), determinar a temperatura da superfície das placas quando elas saem do forno. Condução de calor em regime não permanente 580 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 37 � Propriedades do bronze� temperatura ambiente � Centro da placa s m1033,9 Cρ k α Ckg J380C m kg8530ρ Cm W110k 2 6 p p3 −×= ⋅ = °⋅ == °⋅ = m 0,02L = ( ) ( )( ) ( ) 8,45m 0,02CmW 120 CmW 100 Lh k Bi 1 2 = ⋅°⋅ °⋅ = ⋅ = Condução de calor em regime não permanente 581 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 37 � Centro da placa m 0,02L = 2L tα τ ⋅ = ( ) ( ) ( ) 6,35m 0,02 s 607sm1033,9 τ 2 26 = ×⋅× = − 8,45 Bi 1 = 6,35τ = 0,46 TT TT 0 = − − ∞ ∞ 8,45 Bi 1 = 1 L L L x == 0,99 TT TT 0 = − − ∞ ∞ Condução de calor em regime não permanente 582 � Condução de calor transiente em paredes planas grandes, cilindros longos e esferas com efeitos espaciais � Exemplo 37 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − ×− − = − − TT TT TT TT TT TT i 0 0i 455,099,046,0 TT TT i =×= − − ∞ ∞ ( ) ∞∞ −×=− TT455,0TT i ( )∞∞ −×+= TT0,455 TT i ( )500200,455 500T −×+= C282T °=
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