MODULO 3_APOSTILA

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MÓDULO TRÊS | MATEMÁTICA | CFOE 2021 
RUMO AO TOPO!!! BOATEMÁTICA 
 
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MATEMÁTICA 
CFOE 2021 
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1. POLINÔMIOS 
 
1.1. INTRODUÇÃO: 
 
O estudo dos polinômios tem por objetivo maior o desenvolvimento de operações, 
mecanismos e propriedades que permitam a resolução de equações polinomiais (algébricas). 
Em nível de concursos CFOE, deve-se dar ênfase para a divisão de polinômios. 
 
Um polinômio, na variável x, é uma função definida pela relação: 
 
P(x) = an . xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … a1x + a0 
 
onde: 
• an, an-1, an-2, …, a1 e a0 são números reais denominados de coeficientes 
 
• n, n – 1, n – 2, ... são números naturais 
 
• x é variável complexa. 
 
 
1.2. GRAU DE UM POLINÔMIO: 
 
É o maior expoente do polinômio dado, e representa-se por gr(P). 
 
Observação: 
Se P(x) = 0, não se define grau de polinômio. 
 
 
 
• P(x) = 5x6 + 6x5 – 2x4 – 3x3 + x2 + 5x + 3, o grau desse polinômio é 6; 
• P(x) = 2x3 + x2 + x + 1, o grau desse polinômio é 3; 
• P(x) = 2, o grau desse polinômio é 0 (zero). 
 
Para os polinômios nulo não é definido o grau. 
Um polinômio é considerado nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. 
Polinômio completo ➔ Todos os coeficientes não são nulos. 
Polinômio incompleto ➔ 1 ou mais coeficientes são nulos. 
 
 
1.3. VALOR NUMÉRICO: 
 
O valor numérico de um polinômio P(x) para o número a é igual a P(a), que se obtém substituindo 
a variável x no polinômio por a. 
 
EXEMPLO 01 Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 02 Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 
1 é raiz do polinômio e p(2) = 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: 
 
Quando o valor numérico do polinômio P(x) para x = a é igual a zero, então a é 
denominado raiz ou zero do correspondente polinômio. 
 
 
 
EXEMPLO 03 Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. IDENTIDADE DE POLINÔMIOS: 
 
Dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos (iguais), quando P(a) = Q(a) e indica-se por P(x)  Q(x). 
 
Condições: 
 
1) Os polinômios Q(x) e P(x) devem ter o mesmo grau. 
2) Os coeficientes numéricos dos termos de mesmo grau devem ser iguais. 
 
 
EXEMPLO 04 EEAR Sejam os polinômios A(x) = a(x2 + x + 1) + (bx + c).(x + 1) e 
B(x) = x2 – 2x + 1. Se A(x) ≡ B(x), então a + b – c é 
a) 4. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 1. 
 
 
 
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EXEMPLO 05 (UFPA ADAPTADA) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico a 
Q(x) = 5x2 - 3x + 4. Então, temos que a + b + c + d é igual a: 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 OBSERVAÇÃO 
Polinômio identicamente nulo são os polinômios onde todos os coeficientes são iguais 
a ZERO. 
 
 
EXEMPLO 06 EEAR O polinômio (m – n – 3)x2 + (m + n – 5)x = 0 é identicamente nulo, o valor de 
m2 – n2 for 
a) – 12. 
b) – 5. 
c) 10. 
d) 15. 
 
 
 
 
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1.5. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS: 
 
A ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO do polinômio são feitas reunindo-se os monômios de mesmo grau. 
 
EXEMPLO 07 (EVEREST 2012) Dados os polinômios P(x) = 7x3 +4x2 – 5x e Q(x) = 6x2 + 10x –1 o 
valor da soma dos coeficientes de P(x) - Q(x) é 
A) -9 
B) 8 
C) 21 
D) -8 
 
 
 
A MULTIPLICAÇÃO é efetuada através da propriedade distributiva, 
 
EXEMPLO 08 (EVEREST 2012) Dados os polinômios P(x) = (2x – 1) e Q(x) = x2 + 4x + 3 o valor do 
coeficiente x² de P(x) x Q(x) é 
A) 7 
B) -5 
C) 21 
D) 8 
 
 
 
 
EXEMPLO 09 (PUCCAMP) Se os graus dos polinômios f, g, h são, respectivamente, 4, 3 e 2, então 
o grau do polinômio: 
a) g2 é 9 
b) f.g é 7 
c) f + h é 6 
d) g - h é 1 
e) 3. f é 12 
 
 
 
 
 
1.6. DIVISÃO DE POLINÔMIOS: 
 
Dividir um polinômio P(x) por um outro polinômio D(x) consiste em obter dois polinômios Q(x) e R(x) 
tais que 
 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
 
onde: 
(1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) 
(2) gr(R) < gr(D) ou R(x) = 0. 
(3) gr(Q) = gr(P) − gr(D). 
 
Observação: 
 
P(x) → dividendo D(x) → divisor Q(x) → quociente R(x) → resto 
 
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Método das Chaves 
Processo: Divide-se o termo de maior grau de p(x) pelo de maior grau de h(x) 
– Obtêm-se assim o primeiro termo do quociente q(x). Multiplica-se o quociente obtido, por h(x) 
– O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de p(x). Somam-se os 
termos semelhantes, e os termos de p(x) que não têm semelhantes devem ser copiados 
– Obtêm-se um resto parcial. Repetem-se os passos anteriores com o resto parcial obtido até que 
o grau de r(x) se torne menor que grau de h(x). 
 
EXEMPLO 10 Seja os polinômios A(x) = 3x³ + 2x² + 2x – 1 e B(x) = x² + x + 2, A(x) : B(x) é ..... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 11 (CFOE 2011) Para que o polinômio 3x3 + px + q seja divisível por x2 + 3x + 5, p e q 
devem ser, respectivamente, 
a) -9 e -15 
b) 9 e 15 
c) -12 e -45 
d) 12 e 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 12 (CFOE 2016) O resto da divisão do polinômio p(x)= x4 + 2x3 – 7x2 + mx + 12 por 
(x2 – 4) é igual a zero. Sobre o valor do coeficiente m, é correto afirmar que é 
a) positivo e maior que 8. 
b) positivo e menor que 6. 
c) negativo e maior que –5. 
d) negativo e menor que –7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6.1. DISPOSITIVO PRÁTICO 
 
Quando o divisor for um polinômio do 1º grau da forma x – a ou x + a, pode-se obter o quociente e 
o resto da divisão através do Dispositivo de Briot - Ruffini: este processo opera somente com os 
coeficientes. 
 
Processo: 
Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo. 
Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o próximo termo do dividendo. 
Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto. 
 
MODELO: 
P(x) = 3x3 – 7x2 + 5x + 1 e D(x) = x – 2 
 
2 3 −7 5 1 
 
  
Q
313 − 
R
7 
 
 
EXEMPLO 13 (CFOE 2018) Calcule o valor de r que torna o polinômio p(x) = x2 + r.x - 7 divisível 
por q(x) = x + 1. 
a) - 2 
b) - 4 
c) - 5 
d) - 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 14 (CFOE 2019) Na divisão do polinômio x3 - 5x2 + 12x - 18 por x – 3, obtemos como 
quociente o polinômio: 
a) x2 – 6x + 2. 
b) x2 + 2x – 6. 
c) x2 – 2x + 2. 
d) x2 – 2x + 6. 
 
 
 
 
 
 
Q(x) = 3x2 – 1x + 3 
 
R(x) = 7 
 
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1.6.2. TEOREMA DO RESTO 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau do tipo x  a é igual ao valor 
numérico do polinômio P(x) para x = a, ou seja, 
 
R = P(a) 
 
MODELO: 
 
P(x) = 2x3 – 5x +7 e D(x) = x – 2 
R = P(2) 
R = 2 . 23 – 5 . 2 + 7 
R = 13 
 ou por Briot-Ruffini: 
2 2 0 -5 7 
 2 4 3 13 
 R(x) 
 
EXEMPLO 15 (CPCAR) O resto da divisão do polinômio ( ) 122 234 +−+−= xxxxxp por x + 1 é um 
número 
a) ímpar menor que 5 
b) par menor que 6 
c) primo maior que 5 
d) primo menor que 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 16 (CESGRANRIO) Se o polinômio P(x) = 2x3 - 4x + a é divisível por D(x) = x - 2, o valor 
de a é: 
a) -8 
b) -6 
c) -4 
d) -2 
e) +2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GENERALIZAÇÃO: 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau, da forma a.x + b, é igual 
ao valor numérico de P(x) para a raiz do binômio, ou seja, 
 
 
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1.6.4. TEOREMA DO FATOR ou DIVISÃO PELO PRODUTO (x – a) (x – b) 
 
Se um polinômio P(x) é divisível separadamente pelos binômios x – a e x – b, com a  b, então P(x) 
é divisível pelo produto (x – a). (x – b). 
 
Observação: 
 
A recíproca do teorema acima é verdadeira, ou seja: 
Se um polinômio P(x)é divisível pelo produto (x – a) . (x – b), então P(x) é divisível 
separadamente por x – a e por x – b. 
 
 
 
EXEMPLO 17 (CFOE 2013) Seja o polinômio p(x) = x3 + m.x2 + n.x – 24 divisível por (x + 3) e 
(x – 4). Assim, o valor de m – n é 
a) – 13 
b) – 15 
c) 13 
d) 15 
 
 
 
 
 
 
 
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TESTES 
01. (FAFRA) Os valores de m, n e p na identidade abaixo 
m.x (x - 1) + n.x (x + 1) + p (x + 1) (x - 1)  3.x2 – 5 são 
a) m = -1, n = 1 e p = 5 
b) m = n = -1 e p = 6 
c) m = n = -1 e p = 5 
d) m = n = -1 e p = -5 
e) m = 1 n = -1 e p = -5 
 
02. (UFPA) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico a Q(x) = 5x2 – 3x + 4. Então, temos que 
a + b + c + d é igual a: 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 0 
 
03. (PUC - MG) Se o polinômio P(x) = (2m + 3n – p) x2 +(m + 2n – 5) x + p – 2 é identicamente nulo, 
a soma m + n + p é igual a: 
a) –1 
b) –6 
c) 8 
d) 5 
e) 0 
 
04. (PUC – BA) Sejam os polinômios p = x3 – 2x2 + x, q = 2x – 1 e r = x + 1. Efetuando-se p + q . r, 
obtém-se: 
a) x3 + 2x – 1 
b) x3 + x –1 
c) x3 + 2x + 1 
d) x3 + 3x 
e) x4 – x3 + x + 2x – 1 
 
05. (PUC - SP) Se p e q são polinômios de graus 4 e 5, respectivamente, então o grau de: 
a) p + q é 5. 
b) pq é 20. 
c) p + q é 9. 
d) pq é 10. 
e) q - p é 4. 
 
06. (PUC - BA) O quociente da divisão do polinômio p = x3 – 3x2 + 3x – 1 pelo polinômio x – 1 é: 
a) x 
b) x – 1 
c) x2 – 1 
d) x2 – 2x + 1 
e) x2 – 3x + 3 
 
07. (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio P(x) = 4x9 + 7x6 + 4x3 + 3 por x + 1 vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
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08. (PUC - SP) Qual é o resto da divisão de x31 + 31 por x + 1? 
a) 0 
b) 1 
c) 30 
d) 31 
e) um polinômio de grau 30 
 
09) Sabe-se que –1 é raiz do polinômio f = x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse polinômio são 
números: 
a) irracionais. 
b) não reais. 
c) racionais não inteiros. 
d) inteiros positivos. 
e) inteiros e opostos entre si. 
 
 
10) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b (x + 1)2 + c (x+2)2 = (x + 3)2 para todo x real, 
então o valor de a - b + c é: 
a) - 5 
b) - 1 
c) 1 
d) 7 
 
GABARITO 
 
01. 02. 
03. 04. 
05. 06. 
07. 08. 
09. 10. 
 
 
 
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2.EQUAÇÕES ALGEBRICAS 
2.1. INTRODUÇÃO: 
 
Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x, toda equação que 
pode ser reduzida à forma 
 
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 +a1x + a0 = 0 
 
onde: 
• an, an-1, ..., a2, a1, a0 são números complexos (coeficientes) 
• x é variável complexa 
• n número natural 
 
MODELOS: 
 
2x5 – 7x2 + 6x – 1 = 0 2 . x3 – 10 = 0 2x – 51 = 0 
 
2.2. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO 
 
Dada uma equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, o número r é uma raiz da equação se, 
e somente se, P(r) = 0. 
 
MODELO: 
 
x3 – x2 + x – 1 = 0 ➔ x = 1 é raiz pois: 13 – 12 + 1 – 1 = 0 
 
 
2.3. RAÍZ DE UMA EQUAÇÃO 
 
 
2.3.1. EQUAÇÃO DO 1º GRAU: 
 
Uma equação é classificada como equação do 1º grau quando puder ser escrita sob a forma 
 
a . x + b = 0 
 
onde a e b são reais, com a  0. Uma equação do 1º grau tem apenas uma raiz que pode ser obtida 
isolando-se x, ou seja, 
a.x + b = 0 
a.x = –b 
 
x = –
a
b
 Raiz 
 
 
 
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2.3.2. EQUAÇÃO DO 2º GRAU: 
 
Uma equação é classificada como equação do 2º grau quando puder ser escrita sob a forma 
 
 
a . x2 + b . x + c = 0 
 
onde a, b e c são reais, com a  0. Uma equação do 2º grau tem ao máximo duas raízes, que podem 
ser obtidas pela fórmula 
2a
Δb
2a
4acbb
x
2 −
=
−−
= 
OU 
 
S = −
𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
 
 
 
Decomposição em Fatores de Primeiro Grau 
 
- Usando o teorema fundamental da Álgebra, pode-se provar que todo polinômio p(x) pode ser 
decomposto num produto de ‘n’ fatores de 1ª grau. 
- Toda equação polinomial de grau ‘n’ tem exatamente ‘n’ raízes complexas. 
 
- x1, x2, x3 e xn são as raízes do polinômio. 
- Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução. 
- Conhecendo uma raiz do polinômio, pode-se baixar o grau deste. 
- Se conhecermos uma raiz do polinômio de terceiro grau, podem-se conhecer as outras 2 raízes, 
baixando o polinômio para segundo grau e aplicando o Teorema de Bháskara. 
- O polinômio terá como uma das raízes ‘1’ se a soma dos coeficientes for zero. 
 
EXEMPLO 18 EsSA 2014 Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes – 1, – 1/2 e 2 
é: 
a) x3 – 2x2 - 5x - 2 = 0 
b) 2x3 – x2 – 5x + 2 = 0 
c) 2x3 – x2 + 5x - 2 = 0 
d) 2x3 – x2 – 2x - 2 = 0 
e) 2x3 – x2 – 5x - 2 = 0 
 
 
 
 
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2.4. MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ: 
 
Uma raiz xr, de uma equação algébrica é de multiplicidade m quando, na fatoração em fatores do 
1º grau, existem m fatores da forma (x - xr). 
 
MODELOS: 
(x – 1) (x – 1) (x – 1) (x + 2) = 0 
 
 
(x – 1)3 . (x + 2) = 0 
 
x = 1 é uma raiz de multiplicidade três. 
 
EXEMPLO 19 (UFGO ADAPTADA) Considere o polinômio: 
p(x) = (x - 1) (x - 3)2 (x - 5)3 (x - 7)4 (x - 9)5 (x - 11)6. 
O grau de p(x) é igual a: 
a) 6 
b) 21 
c) 36 
d) 720 
 
 
 
 
EXEMPLO 20 CFOE 2011 Sobre a equação (x + 5)³. (x - 2)5. (x + 6)2 = 0 , são feitas as seguintes 
afirmações. 
I) x = 2 é raiz com multiplicidade 5. 
II) É uma equação polinomial de grau 5. 
III)O conjunto solução é igual a S = {– 2, 5, 6} 
É correto o que se afirma em 
a) I, apenas. 
b) II, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) II e III, apenas. 
 
 
EXEMPLO 21 Qual a multiplicidade da raiz 2 do polinômio P(x) = X4 – 5X3 + 6X2 + 4X – 8?? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
 
 
 
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2.5. TEOREMA DE D’ALEMBERT: 
 
O teorema de D’Alembert permite o rebaixamento do grau de uma equação conhecendo-se uma de 
suas raízes. 
 
OBSERVAÇÃO 
 
Propriedade: Quando a soma dos coeficientes do polinômio for igual a zero, o número UM 
será raiz do polinômio 
 
 
MODELO: 
 
P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 é divisível por x – 1. 
 
 Raiz 
1 1 −3 3 -1 
 
  
012xx
221 
2 =+
−
−
 0 
 
 Resolvendo, achamos as outras duas raízes. 
 
2.6. TEOREMA DO RESTO 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau do tipo x  a é igual ao valor 
numérico do polinômio P(x) para x = a, ou seja, 
 
R = P(a) 
 
EXEMPLO 22 CFOE 2009 O resto da divisão do polinômio P(x) = 3x4 – 3x2 + 1 por G(x) = 3x – 1 é 
um número: 
A) negativo. 
B) menor que 1. 
C) natural. 
D) maior que 1 
 
 
 
 
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2.7. TEOREMA DE RAÍZES COMPLEXAS: 
 
Se um número complexo x = a + bi (a, b ∈ R) é raiz de uma equação algébrica com coeficientes 
reais, então o seu conjugado x = a – bi também é raiz dessa equação. 
 
Importante: 
 
 Consequências: 
1) Equação do 2º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas (não reais). 
 
2) Equação do 3º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou uma 
real e duas complexas conjugadas(não reais). 
 
3) Equação do 4º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas (não reais) e as outras reais ou apenas raízes complexas 
(não reais), duas a duas conjugadas. 
 
4) Equação do 5º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas 
raízes complexas conjugadas e as outras reais ou pelo menos uma raiz real e as outras 
raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas. E assim sucessivamente. 
 
5) Uma equação algébrica de coeficientes reais possui sempre um número par de raízes 
complexas não reais. 
 
6) Qualquer equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar, sempre terá pelo 
menos uma raiz real. 
 
 
EXEMPLO 23 EsSA 2018 Se 2 + 3i é raiz de uma equação algébricaP(x) = 0, de coeficientes reais, 
então podemos afirmar que: 
a) 3 – 2i também é raiz da mesma equação 
b) 2 também é raiz da mesma equação 
c) 2 – 3i também é raiz da mesma equação 
d) -3i também é raiz da mesma equação 
e) 3 + 2i também é raiz da mesma equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
2.8. RELAÇÕES DE GIRARD: 
 
A partir de uma equação algébrica de coeficientes reais podem-se estabelecer relações entre os 
coeficientes e as raízes da equação. 
 
 
• Equação do 2º Grau 
a. x2 + b . x + c = 0 
 







=
−=+

a
xx
a
b
xx
c
21
21
 
 
• Equação do 3º Grau 
a . x3 + b . x2 + c . x + d = 0 
 











−=
=+
−=++
+
a
xxx
a
xxxxxx
a
b
xxx
d
c
321
323121
321
 
 
 
EXEMPLO 24 EEAR Dada a equação x3 -10 x2 - 2 x + 20 = 0 e sendo a, b e c as suas raízes, o 
valor da soma a2bc + ab2c + abc2 é 
a) 200 
b) – 200 
c) 400 
d) – 400 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 25 Se x1, x2 e x3 são raízes da equação x3 – 4x2 + 3x – 2 = 0, então os valores de 
“x1 + x2 + x3” e de “x1 ⋅ x2 ⋅ x3” são, respectivamente, 
a) 3 e – 2. 
b) – 4 e 3. 
c) 4 e 2. 
d) 1 e 3. 
 
 
 
 
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18 
TESTES 
 
01. (UNIFRA) Todas as raízes da equação 3x(x – 1)2. (x2 + 1) = 0 estão representadas no conjunto 
a) {0, -1, 1} 
b) {0, -1, 1, i} 
c) {0, -1, 1, -i} 
d) {0, 1, -i, i} 
e) {0, -1, 1, í, i} 
 
02. (UFSM) O valor de k, para que o número z = 1 + i seja a raiz do polinômio p(x) = 2x2 – 4x + k, é 
a) -4 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
03. Resolver a equação abaixo, sabendo-se que duas de suas raízes são simétricas: 
x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0 
a) -1, 1, 2 
b) impossível 
c) 3, -3, 2 
d) 2, -2, 3 
e) 1, -2, 2 
 
04. (UFSM) Resolvendo em R a equação x3 – 7x + 6 = 0 e sabendo-se que uma das raízes é 1, 
verifica-se que: 
a) a raiz 1 é dupla. 
b) a equação não tem outras raízes. 
c) a equação tem duas outras raízes diferentes de 1. 
d) a equação tem uma raiz dupla diferente de 1. 
e) a raiz 1 é tripla. 
 
05. (UFSM) Considerando o polinômio P(x) = (x – 1)2 . (x2 – 1), pode-se afirmar que o número 1. 
a) é raiz simples 
b) é raiz dupla 
c) é raiz tripla 
d) é raiz quádrupla 
e) não é raiz. 
 
06. (PUC - SP) As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são: 
a) 7,6, 1/7 
b) 6, 5, 1/6 
c) 5, 7, 1/5 
d) 1, 3, 1/3 
e) 2, 4, 1/2 
 
07. (UFRN) A equação (x + 1) (x2 + 4) = 0 tem: 
a) duas raízes reais e uma imaginária. 
b) uma raiz real e uma imaginária. 
c) duas raízes reais e duas imaginárias. 
d) uma raiz real e duas imaginárias. 
e) apenas raízes reais. 
 
 
 
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19 
08. (PUC - RJ) Sobre as raízes da equação x3 – x2 + 3x – 3 = 0 podemos afirmar que: 
a) nenhuma raiz é real. 
b) há uma raiz real e duas imaginárias. 
c) há três raízes reais, cuja soma é 3. 
d) há três raízes reais, cuja soma é 1. 
e) há três raízes reais, cuja soma é –3. 
 
09. (PUC-SP) O produto das raízes da equação x3 – 9x2 + 24x – 20 = 0 é: 
a) 10 
b) 30 
c) 20 
d) 40 
e) 50 
 
10. (CESCEA-SP) A soma das raízes da equação x3 + 2x2 – x – 2 = 0 é: 
a) –2 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
e) n.d.a. 
 
11. (S. Casa-SP) A soma dos inversos das raízes da equação 2x3 – 5x2 + 4x + 6 = 0 é: 
a) 3/2 
b) 2/3 
c) 1/3 
d) –2/3 
e) –3/2 
 
12. (FGV–SP) A soma dos quadrados das raízes da equação x3 – x2 – 9x + 9 = 0 é igual a: 
a) –1 
b) 19 
c) 16 
d) 14 
 
13. Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c e sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. 
Podemos afirmar que 
a) b < c < a 
b) b = a > c 
c) a = b = c 
d) c < b < a 
 
14. ESSA 2016 O conjunto solução da equação x³ - 2x² - 5x + 6 = 0 é: 
a) S = {-3; -1; 2} 
b) S = {-0,5; -3, 4} 
c) S = {-3, 1; 2} 
d) S = {-2, 1; 3} 
e) S = {0,5; 3; 4} 
 
GABARITO 
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 
08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 
 
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20 
3. TRIGONOMETRIA PARTE DOIS – CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
3.1. ÂNGULOS NA TRIGONOMETRIA 
 
3.1.1. CÍRCULO ou CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 É um círculo orientado de R = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2. EQUIVALÊNCIAS NA TRIGONOMETRIA (Unidades para medir ângulos) 
 
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano. 
E um arco unitário cujo comprimento e igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser 
medido. 
Em símbolos: 1 radiano (1 rad ou 1 rd). A medida do arco correspondente a uma volta na 
circunferência e 360o ou 2π rad, com isso, podemos obter a seguinte relação entre essas duas 
unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 26 
 (A) Converter 150o em radianos: (B) Converter 315o em radianos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (C) Converter 2π/3 rad em graus: (D) Converter 11π/6 rad em graus: 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
- 
A (origem) R = 1 
360
o 
270
o 
180
o 
90o 
Graus  Radianos 
 
180°  π rad 
2  
 
 
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21 
EXEMPLO 28 (MACK-SP) A medida de um ângulo é 225º. Em radianos, a medida do mesmo 
ângulo é: 
a) 
5
4
 b) 
4
5
 c) 
4
3
 d) 
4
7
 e) 
3
2
 
 
OBSERVAÇÃO (Redução ao Primeiro Quadrante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SEGUNDO QUADRANTE (Quanto FALTA para 180°) 180° - x 
 
 TERCEIRO QUADRANTE (Quanto PASSA de 180°) 180° + x 
 
 QUARTO QUADRANTE (Quanto FALTA para 360°) 360° - x 
 
EXEMPLO 27 (UEPG – PR) O arco de medida 
4
7
 rad tem sua extremidade pertencente ao: 
a) 4º quadrante 
b) 3º quadrante 
c) 2º quadrante 
d) 1º quadrante 
e) eixo das ordenadas 
 
 
EXEMPLO 29 CFOE 2011 Associe corretamente as colunas e marque a sequência correta. 
 
a) 1 – 4 – 2 – 3 
b) 3 – 2 – 4 – 1 
c) 2 – 4 – 1 – 3 
d) 4 – 2 – 3 – 1 
2ºQ 1ºQ 
3ºQ 4ºQ 
Quadrantes. 
 
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22 
3.2. ARCOS OU ÂNGULOS CÔNGRUOS (CONGRUENTES) 
 
Dois arcos trigonométricos AM e AN são côngruos se, e somente se, as extremidades M e N 
coincidem. 
MODELO: Os arcos 40º e 400º são coincidentes, ou seja, terminam num mesmo ponto. 
• 40º = 40º + 0º 
• 400º = 40º + 360º 
 
EXEMPLO 30 EEAR Sejam as medidas de arcos trigonométricos: 
 
II- 1490° e – 1030° 
É correto afirmar que as medidas 
a) em I são de arcos côngruos. 
b) em I são de arcos suplementares. 
c) em II são de arcos côngruos. 
d) em II são de arcos complementares. 
 
 
 
 
3.3. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
3.3.1 FUNÇÃO SENO 
⇒ A função seno tem: y = sen x 
 
Domínio 
D = ℜ 
Imagem 
Im = [–1,1] ou -1 ≤ y ≤ 1 
Período 
P = 2π. 
 
 
 
 
 
 
⇒ A função SENO é positiva no 1º e 2º quadrantes e 
negativa nos outros dois. 
⇒ A função SENO é crescente no 1º e 4º quadrantes e 
decrescente no 2º e 3º quadrantes. 
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23 
3.4. Função Cosseno y = cos x 
 
⇒ A função cosseno tem: 
Domínio 
D = ℜ 
Imagem 
Im = [–1,1] ou -1 ≤ y ≤ 1 
Período 
P = 2π. 
 
 
 COSSENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.2. PERÍODO E IMAGEM DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO: 
 
y = a . sen (bx + c) + d ou y = d + a . cos (bx + c) 
 
• a = eixo central da função, ou variável que desloca o gráfico verticalmente 
• b = amplitude da função, ou o quanto sobe e o quanto desce a partir de a 
• m = altera o período da função 
• n = variável que desloca o gráfico horizontalmente 
• Também o sinal que precede b, altera a flutuação tradicional da função. 
 
 
 
+ 
+ - 
- 
1 
0 
-1 
0 
⇒ A função COSSENO é positiva no 1º e 4º quadrantes 
e negativa nos outros dois. 
 
⇒ A função COSSENO é crescente no 3º e 4º 
quadrantes e decrescente no 1º e 2º quadrantes. 
 
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24 
EXEMPLO 31 ► CFOE 2009 Qual é aimagem da função y = 2 + 
2
1
. cos (3x + 1)? 
 
 
 
 
3.5. FUNÇÃO TANGENTE E FUNÇÃO COTANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINAL 
 
 
 
B
B’
A’
0
A
C
0
x
TP
M
 
tg x = AT 
 
Cotg x = BC 
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25 
3.6. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 33 ► CFOE 2017 Assinale a seguir a alternativa que apresenta o nome empregado 
àquela função trigonométrica que corresponde ao quociente da função seno pela função cosseno 
a) secante. 
b) cossecante. 
c) arco-seno. 
d) tangente. 
 
 
EXEMPLO 34 ► Se um arco do 3º quadrante e tg x = 
3
3
, então cos x é: 
a)
2
3
 b)
2
2
 c)
2
1
 d)
2
2
− e)
2
3
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 35 ► EEAR Os valores de m que verificam simultaneamente as igualdades sen x = m 
e cos x = 1 – m pertencem ao intervalo 
a) [-1, 0[. 
b) ]0, 1[. 
c) ]1, 3]. 
d) [0, 2[. 
 
 
sen2x + cos2 x = 1 
sen2x = 1 - cos2 x 
cos2x = 1 - sen2 x 
 tg x = 
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙
 cotg x = 
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐬𝐞𝐧 𝒙
 
sec x = 
1
cos 𝑥
 
cossec x = 
1
sen 𝑥
 
 
 A secante tem o mesmo sinal do cosseno. 
 A cossecante tem o mesmo sinal do seno. 
 A cotangente tem o mesmo sinal da tangente. 
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26 
EXEMPLO 36 ► CFOE 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01. EEAR 2007 O conjunto imagem da função f(x) = 3 + 5.sen x é 
a) [-2, 8]. 
b) [3 ,7]. 
c) [-1, 5]. 
d) [0, 4]. 
 
 
 
02. (UFSM) O valor numérico da expressão 3 sen 45º - 2 cos 135º - 2 é: 
a) 
3
24
 
b) 
2
23
 
c) 
3
22
 
d) 
2
2
 
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27 
03. (UFSM) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um 
de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120. 
2
t.
sen

, com t medido em horas 
de trabalho. Assim, os custos máximo e mínimo desse produto são 
a) 320 e 200 
b) 200 e 120 
c) 200 e 80 
d) 320 e 80 
e) 120 e 80 
 
04. (UFSM) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves 
problemas a toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na 
atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função 
 represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num 
Centro de Saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim 
por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de 
janeiro, março, maio e julho é igual a 
a) 693. 
b) 720. 
c) 747. 
d) 774. 
e) 936. 
 
05. CEFET ES A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 8 cm e um de seus ângulos mede 60º. 
A medida do cateto adjacente ao ângulo dado vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
06. UFSM/PEIES Para investigar a razão entre as distâncias da Terra ao Sol e da Terra à Lua, o 
astrônomo grego Aristarco de Samos observou que, quando a Lua está no quarto crescente, o 
triângulo TSL ( sendo T um observador na Terra, L o centro da Lua e S o centro do Sol) é retângulo 
em L. Sabendo que a medida do ângulo S é 0,15º, pode-se afirmar que a razão é igual a : 
1
)
0,15º
)cos0,15º
) 0,15º
1
)
cos0,15º
)cos89,85º
a
sen
b
c tg
d
e
 
 
07. UFSM A função N(t) = 308 – 280.cos(
𝝅
𝟔
. 𝒕) representa o número de casos de uma doença em 
certa região, em função do tempo t, em meses. Então, é correto afirmar: 
A) Inicialmente, o número de pessoas doentes é 308. 
B) O número máximo de casos ocorre, quando t = 3. 
C) O período da função N é 6. 
D) O menor valor de N é 28. 
E) O número de casos varia de 308 a 588. 
 
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28 
08. UFSM/PEIES Em certa região, a temperatura média mensal, em ºC, varia de acordo coma lei 
( ) 20 8cos .( 1)
6
f t t
 
= + − 
 
, em que t é medido em mês, t= 1 corresponde ao mês de janeiro e t = 
2 , ao mês de fevereiro, e assim por diante. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas. 
( ) A temperatura média mensal máxima é de 28ºC. 
( ) O período da função y = f(t) é igual a 6 . 
( ) A temperatura média mensal é igual a 16ºC nos meses de maio e setembro. 
( ) A temperatura média mensal mínima é de 12ºC. 
A seqüência correta é: 
a) V-F-F-V 
b) V-V-F-F 
c) V-F-V-V 
d) F-F-V-F 
e) F-V-V-F 
 
 
 
09. CESCEA – SP O valor da expressão cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos90° é: 
a) - 13 − 
b) - 13 + 
c) 13 + 
d) 
2
33 −−
 
e) - 23 + 
 
 
 
10. EEAR 2006 O perímetro de um triângulo retângulo é 36 cm, e os números que expressam as 
medidas de seus lados formam uma PA. O cateto maior desse triângulo, em cm, mede 
a) 15. 
b) 12. 
c) 8. 
d) 6. 
 
 
 
11. (EEAR) Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 10 cm. O seno do menor ângulo 
desse triângulo é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
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29 
12. (EEAR) Em um triângulo isósceles, a base mede 30 cm e o ângulo do vértice, 120º. Qual é o 
seu perímetro, em cm? 
a) 
b) 
c) 50 
d) 
 
 
 
 
13. (EEAR) Num paralelogramo, os lados medem 5cm e 3cm. Se a medida do ângulo agudo é 60º, 
então a diagonal menor, em cm, mede. 
a) 7 
b) 8,05 
c) 
d) 
 
 
 
GABARITO 
 
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 
08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 
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30 
3.7. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS (ARCOS DUPLOS) 
 
 
EXEMPLO 38 ► (Unifor-CE) Lembrando que cos 75º = cos (45º + 30º), determine o valor de 
cos 2 985º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
EXEMPLO 39 ► UFES Se tg a = 
2
3
 e sen b = 
4
5
, com 

2
< x < π, então tg (a + b) é igual a: 
a) -
3
5
b) -
6
15
c) -
4
17
d) -
6
17
e) -
3
15
 
 
EXEMPLO 40 ► Calcule sen 2a sabendo que sen a – cos a = 2/5. 
 
 
 
 
 
 
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32 
3.8. EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é 
preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita. 
O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto 
verdade. Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e 
transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes: 
 
sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Quando temos uma equação em que uma das funções trigonométricas está elevada ao 
quadrado usamos uma equação auxiliar para resolver usando o artificio sen x = y. 
 
 
EXEMPLO 41 ► CFOE 2011 
 
 
 
 
 
 
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33 
3.9. INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Uma inequação é dita inequação trigonométrica quando é verificada a ocorrência de 
alguma função trigonométrica em pelo menos um dos lados da desigualdade. Ao trabalhar com 
esse tipo de inequação, normalmente é possível reduzi-la a alguma inequação conhecida, que é 
chamada de inequação trigonométrica fundamental. 
Vejamos os seis tipos de inequações trigonométricas fundamentais: 
 
1° tipo) sen x > n (sen x ≥ n) 
 
2° tipo) sen x < n (sen x ≤ n) 
 
3° tipo) cos x > n (cos x ≥ n) 
 
4° tipo) cos x < n (cos x ≤ n) 
 
5° tipo) tg x > n (tg x ≥ n) 
 
6° tipo) tg x < n (tg x ≤ n) 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/identidade-trigonometrica.htm
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34 
EXEMPLO 42 ► EEAR A inequação sen 
𝑥
2
 ≥ 
1
2
 onde 0 ≤ x ≤ 2𝜋, é verdadeira se, e somente se 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 43 ► ESPCEX O conjunto solução da inequação 2cos²x + sen x > 2, no intervalo [0, π], 
é 
 
 
 
 
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35 
TESTES01. EEAR 2007 São negativas, no 4º quadrante, as funções 
a) seno, cosseno e tangente. 
b) seno, cosseno e cotangente. 
c) cosseno, tangente e secante. 
d) seno, tangente e cossecante. 
 
02. FCMSC-SP Se A = sen 580º, B = sen (-780º) e C = cos 350º então: 
a) A < B < C 
b) B < A < C 
c) A < C < B 
d) B < C < A 
e) C < B < A 
 
03. UFAL O conjunto imagem da função f(x) = 2 sen x é o intervalo: 
a) [-1,1] 
b) [-2,2] 
c) [0,4] 
d) [1,4] 
e) [2,4] 
 
04. PUC-SP A imagem e o período da função f(x) = 2 sen
4
x
 são respectivamente: 
a) [-1,1], /2 
b) [-1,1], 2 
c) [-1,1], 4 
d) [-2,2], 8 
e) [-2,2], /4 
 
05. O valor da expressão sen 





2

+ 2 cos ( ) – 3 . sen 





2
3
. cos (2 ) é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
06. UFRGS As soluções da equação 4 sen2 x + 8 sen x + 3 = 0, no intervalo [0,2], são arcos de: 
a) I quadrante 
b) I ou II quadrantes 
c) II ou III quadrantes 
d) III e IV quadrantes 
e) I ou IV quadrantes 
 
07. CESCEA – SP A soma das raízes da equação 1 – 4 . cos
2
x = 0, compreendidas entre 0 e  , 
é: 
a) 
3

 b)  c) 
4
3
 d) 
6
5
 e) 
6
7
 
 
 
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36 
 
08. Calcule k k41sen += k21cos += de modo que se tenha simultaneamente e . 
R: -1/2 e -1/10 
 
09.
tgxxsec
tgxxsec
y
−
+
= Simplifique e calcule o valor de y 10xseccos −= sabendo que . 
R: 9/11 
 
10.
4
1
xcos =
gxcot1
xseccos.xsecxsec 2
−
−
 Se , calcule . R: 16 
 
11. Determine os valores de m para que exista x 8mxcos 2 −= em . 
R: −3 ≤ 𝑚 ≤ −ξ7 𝑜𝑢 ξ7 ≤ 𝑚 ≤ 3 
 
12. 5xcosxcos.5y 2 ++= 6,0senx = Calcule o valor de , sendo e x no 1º quadrante. R: 9 
 
13. 3xsec = senx 0tgx  Se , calcule sabendo que . R: −
2ξ2
3
. 
 
14. O período e a imagem da função 




 −
π
2x
f(x) = 5 – 3.cos , x  IR, são respectivamente: 
a) 22 e [– 3; 3] 
b) 2 e [2; 8] 
c) 22 e [2; 8] 
d) 2 e [– 3; 3] 
 
15. (PUC – MG) IRIRf →: Considere a função definida por f(x) = 1 + 4 cos x. O conjunto imagem 
dessa função é o intervalo: 
a) [-3, 4] 
b) [-3, 5] 
c) [3, 4] 
d) [3, 5] 
 
16. PC MG Se sen a = 0,8, cos a = 0,6, sen b = 0,6 e cos b = 0,8, então o valor de sen (a + b) é 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
 
 
GABARITO 
 
01. 02. 03. 04. 05. 06. 
07. 08. 09. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
 
 
 
 
 
 
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37 
4. Geometria Conceitos básicos 
 
A construção da geometria plana, conhecida também como geometria euclidiana, deve-se aos 
conceitos básicos de ponto, reta e plano e às construções realizadas com base nesses elementos 
primitivos. Vale ressaltar que não existe definição para ponto, reta e plano, e, por isso, são 
conhecidos como elementos primitivos, porém todos nós conhecemos esses elementos de forma 
intuitiva. 
→ Pontos: são sempre representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
→ Retas: são sempre representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. 
→ Semirreta: é parte de uma reta que possui início, mas não possui fim. 
→ Segmento de reta: é um segmento que se encontra entre dois pontos, ou seja, é limitado tanto 
no começo quanto no final. 
→ Plano: é representado pelas letras do alfabeto grego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição relativa entre ponto e reta 
 
Conhecendo os elementos primitivos, é possível fazermos análise da posição relativa entre ponto e 
reta. 
 
Note que os pontos A e B pertencem à reta r → dizemos que ; A ∈ r; B ∈ r.; 
E que o ponto C não pertence à reta r → dizemos que C ∉ r. 
Posição relativa entre duas retas 
Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes. 
 
→ Retas paralelas: quando não possuem nenhum ponto em comum. A representação delas é feita 
com duas barras c // b (lê-se: c paralela a b). 
r//t 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/o-que-e-plano.htm
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38 
→ Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum. 
 
Retas que se encontram no ponto E. 
 
→ Retas coincidentes: quando possuem infinitos pontos em comum, ou seja, elas são iguais. 
 
 
 
Ângulos 
Outro conceito muito importante é o de ângulo, que é a região formada pelo encontro entre duas 
semirretas. O ângulo é medido em graus e é classificado de acordo com a sua medida. 
→ Ângulo agudo: menor que 90º 
 
 
→ Ângulo reto: mede exatamente 90º. 
 
→ Ângulo obtuso: maior que 90º 
 
 
→ Ângulo raso: mede exatamente 180º. 
 
 
 
 
 
Ângulos complementares 
Se a soma entre os ângulos α e β é igual a 90°, dizemos que α e β são complementares. 
α + β = 90° (são complementares) 
 
Ângulos suplementares 
Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. 
γ + θ = 180° (são suplementares) 
 
 
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39 
Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV) 
Um ângulo é a medida da abertura formada por duas semirretas de mesma origem. Sendo assim, 
o encontro entre duas retas forma quatro ângulos. Observando-os dois a dois, é possível concluir 
que: ou esses ângulos estão lado a lado e, por isso, são adjacentes; ou se opõem um ao outro e, 
por isso, são chamados de opostos pelo vértice. 
 
 
EXEMPLO 44 ► Qual é a medida de cada ângulo na figura a seguir? 
 
 
 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
 
Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de 
acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que 
esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os 
ângulos externos estão na faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao 
analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à 
reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que 
esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à 
esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos. 
 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/retas.htm
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40 
EXEMPLO 45 ► (UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: 
 
Retas r e s paralelas e interceptadas por retas transversais 
a) 100° 
b) 120° 
c) 110° 
d) 140° 
 
 
Polígonos 
Dentro das figuras planas, há várias figuras geométricas, algumas são mais conhecidas, como 
os quadriláteros, os triângulos, os pentágonos e os hexágonos. Quando a figura é fechada por 
segmentos de reta formando ângulos, ela é conhecida como polígono, logo, a união de segmentos 
de reta fechados forma as principais figuras planas, conhecidas como polígonos. 
Eles são nomeados de acordo com a quantidade de ângulos ou mesmo de lados que possuem, 
por exemplo, triângulo (três ângulos), quadrilátero (quatro lados), pentágono (cinco ângulos). Os 
polígonos mais comuns são os triângulos e os quadriláteros (quadrado, retângulo, losango e 
trapézio). 
Os principais cálculos envolvendo os polígonos é o de perímetro, que nada mais é que a soma de 
todos os lados da figura, e o de área, que depende da sua forma, ou seja, cada figura terá uma 
fórmula para esse cálculo. 
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão: 
 
S = (n – 2).180º, onde n = número de lados. 
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre 360º. 
 
DIAGONAIS DE UM POLÍGONO 
Em outras palavras, o número de diagonais de um polígono sempre é o produto entre o número 
de lados e o número de diagonais que partem do mesmo vértice dividido por dois. 
 
EXEMPLO 46 ► EEAR 2013 
 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/quadrilateros.htm
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41 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
EXEMPLO 47 ► CFOE 2019 Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A, os segmentos 
gerados pelas projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa a são de 4cm e 7cm, 
respectivamente. A altura deste triângulo, a partir do vértice A, relativa à hipotenusa a, é de: 
a) 2√7 cm. 
b) 7√2 cm. 
c) 4√7 cm. 
d) 2√65 cm. 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então esse 
feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. 
Assim, um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 48 ► CFOE 2018 Um poste cuja altura mede 8 metros projeta, num determinado 
instante, uma sombra de 2,5 metros. Calcule a altura de uma árvore que, sob as mesmas condições, 
projeta uma sombra de 4 metros. 
a) 8,9m 
b) 9,5m 
c) 12,8m 
d) 13,7m 
 
 
 
 
EXEMPLO 49 ► A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. 
Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura 
de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais 
alto da rampa é 
a) 1,16 metros 
b) 3,0 metros. 
c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. 
e) 7,04 metros. 
 
 
 
 
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42 
ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS: 
 
TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO: 
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os 
triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos. 
LADOS 
Equilátero: todos os lados 
iguais. 
 
 
 
 
Isósceles: dois lados iguais. 
 
 
Escaleno: todos os lados 
diferentes. 
 
 
 
ÂNGULOS 
 Acutângulo 
 
 
 
 Obtusângulo 
 
 
 
 Retângulo 
 
 
FÓRMULAS DE ÁREA DE TRIÂNGULOS 
 
 
 
EXEMPLO 50 ► EEAR Um triângulo isósceles tem 
perímetro igual a 36 cm e altura relativa à base 
medindo 12 cm. A área desse triângulo, em cm2, é, 
a) 60. 
b) 56. 
c) 48. 
d) 40. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 51 ► EEAR Os lados de um triângulo 
medem 7 cm, 8 cm e 9 cm. A área desse triângulo, em 
cm2, é 
a) 12 ξ3. 
b) 12ξ5 . 
c) 8ξ5 . 
d) 8ξ3.
 
 
 
 
 
EXEMPLO 52 ► (GIO 2015) Um triângulo tem 
10m de base, tem altura igual a 3/5 da base. A área 
desse triângulo, em m2, é 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
 
 
 
 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES: 
 - Se o triângulo tem dois lados iguais, os 
ângulos que lhes são opostos também são 
iguais. 
 - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados 
iguais opõem-se ângulos iguais. 
 - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a 
ângulos iguais opõem-se lados iguais. 
 - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o 
maior ângulo. 
 
h 
c a 
 b 
 
 
 
A = 
𝒃.𝒉
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43 
RETÂNGULO: É um paralelogramo com 
quatro ângulos retos e dois pares de lados 
paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
- lados opostos iguais. 
- quatro ângulos retos. 
- diagonais iguais. 
- dois eixos de simetria.
 
 
EXEMPLO 53 ► NCE/UFRJ Considere a figura abaixo: 
 
A área da região hachureada é de: 
(A) 60 m2 
(B) 84 m2 
(C) 92 m2 
(D) 100 m2 
(E) 156 m2 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 54 ► EEAR Considere o retângulo ABCD, 
e os pontos médios dos seus lados M, N, P e Q. Unindo 
esses pontos médios, conforme a figura, pode-se 
concluir que a área hachurada, em cm2, é 
a) 8 
b) 4 
c) 4ξ2 
d) 2ξ2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = b . h 
 b 
 
 
 
 
 P = 2b + 2h 
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44 
 
QUADRADO 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
- quatro lados iguais 
- quatro ângulos retos 
- diagonais perpendiculares 
- quatro eixos de simetria
 
 
 
EXEMPLO 55 ► (ETEBA) O perímetro de um quadrado 
cuja diagonal mede ξ2 é igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 0,4 
d) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 56 ► Dado o polígono ABCD, seu 
perímetro é: 
a) 35 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = a2 
 d 
 l 
l l 
 
 
 
 
 d = lξ𝟐 
 
 
 
 
 P = 4.l 
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45 
PARALELOGRAMO 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO
 
- lados opostos iguais. 
 - ângulos opostos iguais. 
- diagonais que se bissetam. 
- não tem eixos de simetria. 
- ângulos adjacentes iguais. 
 
 
EXEMPLO 57 ► EEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 58 ► GIO 2015 Dois ângulos opostos de um 
paralelogramo medem (3x + 25º) e (8x – 10º). As medidas dos 
ângulos desse paralelogramo são iguais a. 
a) 46º e 134º 
b) 45º e 135º 
c) 37º e 143ªº 
d) 29º e 161º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = b . h 
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46 
LOSANGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO
 
- quatro lados iguais 
- ângulos opostos iguais 
- diagonais perpendiculares que se bissetam 
- dois eixos de simetria 
 
 
 
LEMBRETE: 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
(HIP)² = (CAT)² + (cat)² 
 
EXEMPLO 59 ► CTISM O perímetro do losango cujas 
diagonais medem 16 cm e 30 cm: 
(a) 38 cm 
(b) 68 cm 
(c) 72 cm 
(d) 75 cm 
(e) 78 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 60 ► 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 61 ► EEAR O perímetro de um losango é 20 cm. Se sua diagonal maior tem o dobro 
da medida da menor, então sua área, em cm2, é 
a) 35. 
b) 30. 
c) 25. 
d) 20. 
 
 
 
EXEMPLO 62 ► CFOE 2010 Assinale a alternativa correta. 
a) Se um paralelogramo apresenta um par de ângulos agudos e um par de ângulos obtusos, então 
o ângulo agudo e o ângulo obtuso são complementares. 
b) Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são sempre congruentes. 
c) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então esse quadrilátero é um losango. 
d) Se dois lados opostos de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então esse quadrilátero 
é um paralelogramo. 
 
 
 
 
 A = 
𝑫.𝒅
𝟐
 
 D 
 d 
 
 
 
 
 P = 4.l 
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47 
..TRAPÉZIO: Quadrilátero que só possui dois lados 
opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados 
base menor e base maior. 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
Isósceles: 
 
- um ângulo reto 
- não tem eixos de simetria 
 
Retangular: 
 
- dois lados iguais 
- um eixo de simetria 
 
Escaleno: 
 
- quatro lados diferentes 
- não tem eixos de simetria 
 
BASE MÉDIA 
 
EXEMPLO 63 ► CTISM A soma das bases de um trapézio 
cuja área é de 200m², a altura mede 12,5 m e a base maior 
supera a menor em 4 m, é: 
(a) 32m 
(b) 36m 
(c) 42m 
(d) 48m 
(e) 56m 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 64 ► EVEREST 2014 A medida da base maior 
de um trapézio com 150 cm² de área, 10 cm de altura e base 
menor medindo 12 cm é: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 65 ► EEAR Em um trapézio, a base média 
mede 6,5 cm e a base maior, 8 cm. A base menor desse 
trapézio mede, em cm, 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
 
 
 
EXEMPLO 66 ► A altura do trapézio abaixo tem a medida 
igual a ____ cm. 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
 
 
 
 
b 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑨 =
(𝑩+𝒃).𝒉
𝟐
 
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48 
..CÍRCULO 
 
 
 
 
 
 
SETOR CIRCULAR 
 
 
 
 
 
COROA CIRCULAR 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 67 ► (GIO 2015) O diâmetro de uma 
circunferência de comprimento 14 cm é: 
a) 16 
b) 8 
c) 7 
d) 14 
 
 
 
 
EXEMPLO 68 ► (GIO 2015) A área de um setor 
circular de raio 18 cm e ângulo central 60º é igual 
a_____cm². 
a) 54b) 27 
c) 18 
d) 9 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 69 ► (EEAR) Dois círculos concêntricos 
têm 4 m e 6 m de raio. A área da coroa circular por eles 
determinada, em m2, é 
a) 2. 
b) 10. 
c) 20. 
d) 52. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 70 ► CFOE 2012 A figura a seguir apresenta 3 círculos concêntricos cujos raios medem 
2 cm, 4 cm e 6 cm. A área da região em negrito no seu interior corresponde a 
a) 17 𝜋 cm² 
b) 19 𝜋 cm² 
c) 21 𝜋 cm² 
d) 23𝜋 cm² 
 
 
 
 
 
 
 
R 
 
 
 
 
 
 A =  R2 
 
 
 
 
 
C =2R 
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49 
EXEMPLO 71 ► CFOE 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 72 ► CFOE 2015 Os raios das circunferências na figura medem 3 cm e 5 cm. A 
superfície colorida no interior da mesma totaliza, em cm2, 
 
a) 
73𝜋
6
 
 
b) 
85𝜋
8
 
 
c) 
97𝜋
6
 
 
d) 
109𝜋
8
 
 
 
 
 
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50 
TESTES 
 
01. EEAR 2011 Um polígono convexo ABCD é tal que apenas dois de seus lados são paralelos 
entre si e os outros dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer que ABCD é um 
a) losango. 
b) paralelogramo. 
c) trapézio isósceles. 
d) trapézio retângulo. 
 
02. FUZILEIRO 2011 Uma pessoa percorreu 5 voltas ao redor de uma praça circular que tem um 
raio de 12m. Sendo  = 3,14, essa pessoa percorreu, em metros, aproximadamente 
(A) 124,2 
(B) 188,4 
(C) 376,8 
(D) 753,6 
(E) 766,6 
 
03. TAIFEIRO 2011 A área de um triângulo equilátero que tem 12 m de perímetro é _____ ξ3m². 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
 
04. (UFSM) Um triângulo equilátero de lado “a” tem a mesma área que um quadrado de lado “b”. 
Nessas condições b é igual a: 
a) 
2
a
 
b) 
3
3a
 
c) 
2
4 3a
 
d) 
2
2a
 
e) 
2
4 2a
 
 
05. Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a 
primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais 
do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica 
que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 
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51 
06. Se o comprimento de um retângulo é aumentado de 20% e sua largura aumentada de 50% 
então sua área aumentada de: 
a)120% 
b) 110% 
c) 100% 
d) 80% 
e) 70% 
 
 
07. (UFSM) Aproveitando a redução do IPI no material de construção, o pai de Álvaro resolveu 
colocar lajotas de cerâmica no piso da garagem de sua casa. Lembrou que, para cobrir o piso da 
cozinha, de 9 m2 (metros quadrados), havia utilizado 144 lajotas. Como a garagem é retangular, 
com 5 metros de comprimento e 3 metros de largura, o número de lajotas necessárias para cobrir 
o piso da garagem, do mesmo tamanho que as utilizadas na cozinha, é de 
a) 240 
b) 220 
c) 200 
d) 180 
e) 159 
 
 
08. (UFSM) Uma região retangular tem 36m² de área. Aumentando 1 m no comprimento e 1 m na 
largura, a nova região retangular passa a ter 50 m² de área. O perímetro da primeira região é de? 
a) 24 
b) 28 
c) 30 
d) 26 
 
 
09. UNISC Para construir sua casa, Martha foi obrigada a comprar uma faixa de terreno, com 3 m 
de largura, de seu vizinho e anexá-la ao seu terreno que possuía apenas 108m2. Anexada a nova 
área, ela ficou com um terreno quadrado, com 
a) 15 m de lado, 225 m2 de área e 60 m de perímetro. 
b) 9 m de lado, 117 m2 de área e 36 m de perímetro. 
c) 18 m de lado, 324 m2 de área e 72 m de perímetro. 
d) 12 m de lado, 144 m2 de área e 48 m de perímetro. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
10. ENEM A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, 
a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste 
diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: 
A) 30 cm 
B) 45 cm 
C) 50 cm 
D) 80 cm 
E) 90 cm 
 
 
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52 
11. UFSM/EAD 
 
 
12. IF SC Todos os anos, no mês de Setembro, comemora-se a Independência do Brasil. Durante 
uma semana, muitas Instituições exibem a Bandeira do Brasil como forma de homenagear a Pátria. 
A maioria dos brasileiros desconhece que a fabricação da Bandeira Nacional obedece a rígidos 
critérios em relação às dimensões das figuras geométricas (retângulo, losango e círculo), das letras 
e das estrelas. 
Considere que as diagonais maior e menor do losango amarelo da Bandeira do Brasil medem 16 
dm e 12 dm, respectivamente. Então é CORRETO afirmar que a linha que delimita a parte amarela 
mede: 
(A) 40 dm 
(B) 28 dm 
(C) 20 dm 
(D) 48 dm 
(E) 96 dm 
 
 
 
 
13. IF SC Adaptado Considerando que o manejo de gado da ilustração contenha um total de 30 
piquetes e que é utilizado apenas um único piquete por vez, cujo raio é igual a 500 m, para deixar 
o gado à vontade, e que dessa maneira é capaz de criar 10 cabeças por hectare, então é CORRETO 
afirmar sobre a capacidade máxima deste manejo: Dado:  = 3. 
 
(A) Será maior que 50 cabeças. 
(B) Será de 25 cabeças. 
(C) Será menor que 20 cabeças. 
(D) Será de 22 cabeças. 
(E) Será de 46 cabeças. 
 
 
 
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53 
14. IFF 2012 Um distrito industrial está sendo construído. Os engenheiros e arquitetos preocupados 
com a situação do meio ambiente, reservaram uma determinada área para o plantio de árvores. 
Sendo esta área em formato circular de raio 20 metros, quantos metros quadrados foram destinados 
para tal fim? (Use π = 3) 
 A. 1000; 
B. 900; 
C. 500; 
D. 120; 
E. 1200. 
 
15. Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, 
para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o 
número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: 
A( ) 3100 
B( ) 2100 
C( ) 1500 
D( ) 1000 
E( ) 500 
 
16. Cortando-se os pedaços quadrados iguais nos cantos de uma cartolina retangular de 80cm de 
comprimento por 60 cm de largura, obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da cruz for a 
terça parte da área retangular original, o lado do quadrado, em centímetros, é igual a 
a) 25 
b) 10 2 
c) 15 2 
d) 20 2 
e) 25 2 
 
17. Um marido apaixonado resolveu prestar uma homenagem à sua esposa, construindo um jardim 
em forma de um coração, conforme ilustra a figura. Para construí-lo ele usou mudas de flores 
vermelhas na razão de 200 mudas por metro quadrado. Qual é o total de mudas utilizadas na 
montagem de tal jardim? (use π = 3) 
 
A( ) 12 800 B( ) 6 400 C( ) 5 600 D( ) 4 400 E( ) 2 800 
 
 
GABARITO 
 
01. 02. 03. 04. 05. 06. 
07. 08. 09. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 17. 
 
 
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54 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
Ângulo central: é aquele que coincide com o centro da 
circunferência 
 
 
Ângulo inscrito: é aquele cujo vértice é um ponto da 
circunferência e cada um de seus lados contém uma corda dessa 
circunferência. 
 
 
 
 
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55 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Cruzamento entre duas cordas 
 
 
 
AP * PC = BP * PD 
Dois segmentos secantes partindo de um 
mesmo ponto 
 
 
 
RP * RQ = RT * RS 
Segmento secante e segmento tangente 
partindo de um mesmo ponto 
 
 
 
(PQ)2 = PS * PR 
 
EXEMPLO 73 ► 
(A)► EEAR 2013 
 
 
 
 
 
 
(B)► TAIFEIRO 2010 
 
 
 
 
 
(C)► TAIFEIRO 2005 
 
 
 
 
 
 
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56 
TESTES 
 
01. Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos 
de quadrados de lado medindo 1 m,conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D 
são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado 
do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte 
sombreada da figura, que custa R$30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e 
BCDQB), que custa R$50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados 
na fabricação de um vitral? 
 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
 
 
 
 
 
02. (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma 
estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso 
acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo 
acionamento desse parafuso. Observe a figura: 
Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4dm; 
MN = x dm; AB = y dm. O valor, em decímetros, de y em função 
de x corresponde a: 
2x416 −(A) 
2x64 −(B) 
2
x416 2−
(C) 
2
x264 2−
(D) 
 
03. Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. 
A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente 
em um tubo com raio maior. Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos 
maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio 
da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6cm, a máquina por você operada deverá ser 
ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a: 
 
cm12a) 
cm212b) 
cm224c) 
d) ( )cm216 + 
( )cm2112 +e) 
 
 
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57 
04. 
 
 
05. 
PA PCNa figura abaixo, determine o comprimento r do raio, sabendo que = 8 cm e = 12 cm. 
 
 
06. 
Dada a figura abaixo, determine o valor de x + y: 
 
 
07. 
PA PCNa figura abaixo, determine o comprimento r do raio, sabendo que = 8 cm e = 12 cm. 
 
 
08. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área 
deste triângulo é: 
a) 20 cm2. 
b) 10 cm2. 
c) 24 cm2. 
d) 18 cm2. 
e) 12 cm2. 
 
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58 
09. Em uma folha quadrada ABCD, foi desenhado um quadrado Z, de área igual a 169 cm², 
conforme mostra a figura: 
 
É correto afirmar que o perímetro da folha ABCD, em centímetros, é igual a: 
a) 60 b) 56 c) 72 d) 68 
 
10. (CEFET/MG - 2016) A área quadrada de um sítio deve ser dividida em quatro partes iguais, 
também quadradas, e, em uma delas, deverá ser mantida uma reserva de mata nativa (área 
hachurada), conforme mostra a figura a seguir. 
 
Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE e C é o ponto médio do segmento EF, a área 
hachurada, em m2, mede 
a) 625,0. 
b) 925,5. 
c) 1562,5. 
d) 2500,0. 
 
 
11. (UFSC-2011) Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde 
mora, cuja área é de 102400 m2. Então, a distância que ele pedala por dia é de: 
a) 19200 m 
b) 9600 m 
c) 38400 m 
d) 10240 m 
e) 320 m 
 
 
https://escolaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2020/03/questao-tj-vunesp-quadrado.png
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59 
12. (CEFET/RJ - 2017) Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas 
de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a: 
 
 
13. Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato retangular medindo 10 m por 4 m e, 
para isso, quer usar cerâmicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que foi dito, o 
número mínimo de cerâmicas que serão usadas é igual a: 
a) 3100. 
b) 2100. 
c) 1500. 
d) 1000. 
e) 500. 
 
14. Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m de profundidade. Deseja-se 
colocar azulejos quadrados de 0,20m de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos 
azulejos serão necessários? 
R: 1520 azulejos 
 
15. De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a 
medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa? 
 
a) 40 - 20 π b) 400 - 20 π c) 100 - 100 π d) 20 - 20 e) 400 - 100 π 
 
16. O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. Se r = 4 cm, calcule 
área da região sombreada. 
A) 4(𝜋 - 2) cm2 
B) (𝜋 - 2) cm2 
C) 8(𝜋 - 8) cm2 
D) 4(𝜋 + 2) cm2 
 
GABARITO 
 
01. 02. 03. 04. 05. 06. 
07. 08. 09. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
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60 
5. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
A) INTERSECÇÃO 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A e ao conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A  B = {a,e}. 
 
OBS: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos 
são disjuntos. 
 
B) DIFERENÇA 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem 
a B, ou seja: 
 
 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A - B = { }. B – A = { } 
 
C) UNIÃO 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou 
ao conjunto B. 
 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A  B = {a,e,i,o,3,4}. 
 
⇒ O símbolo n(A), que se lê "n de A", indica o número de elementos do conjunto finito A. 
⇒ Observar quantos conjuntos estão envolvidos no problema proposto. 
⇒ Realizar a intersecção em primeiro lugar. 
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61 
Faremos agora alguns exercícios práticos que envolvem quantidades de elementos de conjuntos 
finitos. 
 
EXEMPLO 
 
(A)► Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam 
nem francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas? 
a) 2 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
e) 11 
 
 
 
 
 
 
(B)► PM PB Em um colégio com 520 alunos, 330 estudam inglês, 185 estudam espanhol e 63 
estudam ambas as línguas. Pela teoria dos conjuntos pergunta-se: Quantos alunos não estudam 
nenhuma das duas línguas? 
a) 68 
b) 5 
c) 57 
d) 131 
 
 
 
 
 
 
 
(C)► CFOE 2016 Dos 60 automóveis que se encontram em um estacionamento tem-se que 
- 19 possuem tração nas 4 rodas; 
- 28 possuem air-bag; 
- 7 possuem tração nas 4 rodas e air-bag; e, 
- alguns não possuem air-bag e nem tração nas 4 rodas. 
Considere que um desses carros seja escolhido ao acaso. A probabilidade de que o mesmo tenha 
apenas um dos itens citados é de 
a) 55%. 
b) 60%. 
c) 65%. 
d) 70%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
(D)► (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20.000 candidatos, uma questão 
apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classifica-las em verdadeiro (V) ou 
falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na 
afirmativa A; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos 
assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, 
nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três afirmativas? 
a) 360 
b) 490 
c) 720 
d) 810 
e) 1080 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
testes 
 
01.) (UFSM) Dados os conjuntos A = {x  IN / x e ímpar}, B = {x  Z / –2 < x ≤ 9} e C = {x  IR / x 
≥ 5}, o produto dos elementos que formam o conjunto (A  B) – C e igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 15 
d) 35 
e) 105 
 
 
02.) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b,c, d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U 
(A ∩ B ∩ C) é: 
a) {a, b, c, e} 
b) {a, c, e} 
c) Conjunto A 
d) {b, d, e} 
e) {b, c, d, e} 
 
 
 
03.) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvo virose 
e 60% contra cinomose. O percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças e 
de: 
a) 14% 
b) 22% 
c) 40% 
d) 68% 
e) 70% 
 
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63 
 
04.) (PM FADESP – 2007) Dos 100 soldados que participavam de um curso de formação de cabos, 
40 gostavam de praticar voleibol, 68 gostavam de praticar futebol e 14 não gostavam de praticar 
esses esportes. A quantidade de soldados que gostavam de praticar tanto voleibol quanto futebol e 
igual a 
a) 18. 
b) 22. 
c) 30. 
d) 46. 
 
05.) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20.000 candidatos, uma questão 
apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classifica-las em verdadeiro (V) ou 
falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na 
afirmativa A; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos 
assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, 
nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três afirmativas? 
a) 360 
b) 490 
c) 720 
d) 810 
e) 1080 
 
 
06.) FUZILEIRO/2008 Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,6}, B = {1,2,3,5,7} e C = {3,4,5,8,9}, 
determine o conjunto X sabendo que X ⊂ C e C – X = B ∩ C. 
(A) X = {3,5} 
(B) X = {1,2,7} 
(C) X = {2,3,4} 
(D) X = {3,4,7} 
(E) X = {4,8,9} 
 
07.) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 
106 leem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: 
a) 249 
b) 137 
c) 158 
d) 127 
e) 183 
 
08.) (UDESC-SC) No final do primeiro semestre deste ano, 40 acadêmicos participaram de uma 
pesquisa que objetivou analisar a frequência com que estes utilizaram o atendimento extraclasse 
do professor e/ou do monitor de uma determinada disciplina. Obteve-se o seguinte resultado: 20% 
dos acadêmicos procuraram atendimento tanto do professor quanto do monitor; 30% dos 
acadêmicos procuraram somente o atendimento do monitor; 15% dos acadêmicos não opinaram e 
4 acadêmicos não procuraram atendimento do professor nem do monitor. Então o número de 
acadêmicos que procurou o atendimento somente do professor é igual a: 
a) 24 
b) 18 
c) 8 
d) 10 
e) 20 
 
 
 
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64 
09.) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal 
Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos 
de alimentação são: manhã, almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são: 
 
- 5 se alimentam apenas pela manhã; 
- 12 se alimentam apenas no jantar; 
- 53 se alimentam no almoço; 
- 30 se alimentam pela manhã e no almoço; 
- 28 se alimentam pela manhã e no jantar; 
- 26 se alimentam no almoço e no jantar; e 
- 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar. 
 
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que só se alimentam no almoço é: 
a) 80% dos que se alimentam apenas no jantar. 
b) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã. 
c) a terça parte dos que fazem as três refeições. 
d) a metade dos funcionários pesquisados. 
e) 30% dos que se alimentam no almoço. 
 
10.) (UnB - DF) De 200 pessoas que foram pesquisas sobre suas preferências em assistir aos 
campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados 
não assistem; 101 assistem às corridas de Fórmula 1 e 27 assistem às corridas de Fórmula 1 e de 
Motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de 
Motovelocidade? 
a) 29 
b) 37 
c) 44 
d) 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. C 
02. A 
03. C 
04. B 
05. E 
06. E 
07. C 
08. D 
09. B 
10. C