Enem - Matematica

Prévia do material em texto

Matemática
MATEMÁTICA
BÁSICA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Expressões 
Numéricas 
Frações 
numerador < denominador
numerador > denominador
Representam a mesma parte do todo.
São aquelas que não
conseguimos simplificar!
Se puder, 
simplifique!
Denominadores 
Iguais
Denominadores
Diferentes
essa é
barbada!
Denominadores Diferentes
Adição e Subtração de Frações
Multiplicação de Frações 
Divisão de Frações 
Frações Irredutíveis
Compare os numeradores!
Denominadores Iguais
Reduza as frações a um mesmo denominador e só depois 
compare os numeradores!
Numerador
Quantas partes do todo foram tomadas.
Denominador
Em quantas partes o todo foi dividido.
Fração Própria
Fração Imprópria
Fração Mista ou 
Número Misto
Fração Aparente
Frações Equivalentes
Redução de Frações a um mesmo denominador
Comparação de Frações 
Simplificação de Frações 
Para obter frações equivalentes, 
multiplique o numerador e o 
denominador da fração pelo 
mesmo número.
dividir
mistosomar
fração
imprópria
número
5 4
4 1
 1
ex.:
ex.:
ex.:
ex.: logo:
1 +
3
8
_
4
5
_
5
4
_
5
4
_
5
4
_
1
2
_ 2
4
_ 3
6
_
3
5
_ 7
5
_
2
5
_ 8
20
_3
4
_
3
5
_ 4
7
_
4
9
_ 2
5
_
1
3
_
80 - 42 + 15
30
7
3
_ 4
3
_ 4
3
_ 8
3
_ 7
5
_ 1
2
_
53
30
_
3
5
_ 7
4
_
2
5
_9
8
_
21
20
_
8
45
_
11
3
_ 33
20
_
15
20
_
3
5
_3
5
_ 4
7
_21
35
_ 20
35
_ 4
7
_
8
4
_
1
4
_
1 1/4
3/4 2/5
1 1/4
1 1/4
-
Divida o numerador e o 
denominador da fração pelo 
mesmo número!
É igual ao produto da 
primeira pelo inverso 
da segunda!
Representa um 
número inteiro.
divisor
restoquociente 
÷
·
+ - = - + =
= x =
=··
3
4
Ordem dos sinais
3
12
Ordem das operações
3
12
ou 
ou 
ou 
MMC
= =
x2
x3
1
2
_ 2
4
_ 3
6
_
<
<= =
Calcule o M.M.C entre os denominadores das frações. 
Depois, não esqueça dos numeradores!
m.m.c {4,5} = 20 
x
÷
== x
÷
=
=_
ex.: e
{ } x ÷ + -
√ an( )[ ]
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
5² · 3³ = 15⁵
(2²)⁷ = 2¹⁴
(-3)² = 9
-3² = 9
3⁰ = 1
3⁰ = 0
3² = (3²)
3⁸ ≠ 3⁶
(2²)⁷ = 2⁹
3² = 9
3² = 6
1
r( )1s-3² + 2³2³ = 3²
a⁰ = 1
a¹ = 1
Racionalização
de Denominadores
1
3
3
 2
2²
2²
3 2²
 2³
3 4
2
3
3
3
9
3
3 (a + b) · (a - b) = a² - b² 
· = ·
·
= ==
2
2 
=2
2
1 
2
³
³
³
³ ³
4 = ± 2
x² = 4
(2 + 5)² = 2² + 5²a + a = a
3x ¹ =- 3x a + b = a + b
x = ± 2
3 + 2=== 3 + 23 + 2
3 + 2 ( 3)² - ( 2)²
3 + 2
 3 - 2
a² = a
- 4 = - 2
³
Radiciação
Potenciação
n
x y x + y
n n
a² + b² = a + b3x ¹ =-
1
3x
³ ³
¹-
1
r( )1s- ¹-
3 - 2
Propriedades:
a · a = anm m + nP1.
a
a = a
m
m - n
nP2.
Radical de índice 2
Denominador
 Irracional
Denominador
Racional 
Radical de índice maior do que 2
Radical do tipo a ± bMultiplique pela própriaraiz quadrada
Preste atenção no
expoente do radicando
Se m está no sol, vai para a sombra.
Se n está na sombra, vai para o sol.
Lembre do produto notável 
fator racionalizante
ex.: ex.:
índice da raiz
Multiplique
pelo conjugado
Como racionalizar um denominador?
FIQUE 
ATENTO!
índice
radicando
radical
raiz enésima
na = a·a·a·...·a
frações
equivalentes
.
-a, se a < 0
a, se a > 0_
a
a *
(a · b) = a · bn n nP4.
a
b =( )
n n
n
a
b
P5.
=ab( )
-n b
a( )
n
P6.
a =-n 1an
(a ≠ 0)P7.
a = a
m
n m
n
(a > 0 e n > 1)
P8.
a = ann (a ≥ 0)P1.
n n na · b = a · b P2.
n n
n
a
b =
a
b
P3.
( a) = an n mmP4.
a = an m n·p m·pP5.
a = am·nnmP6.
=
1
1 + 2 = 3 
= r - s
rs
s - r
a² = |a|
{
PENSE NISSO!
Para soluções reais:
x
x x
x ≥ 0
P3. (a ) = am n m · n
Propriedades:
 |a| =
ex.:
Par
Ímpar
n nb = aa = b
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
PRODUTOS 
NOTÁVEIS 
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS
Multiplicações que se
destacam na matemática.
A soma dos coeficientes na
mesma linha é igual a 2 .
Utilize esse triângulo para
montar os coeficientes dos
produtos notáveis do tipo 
Quadrado da soma de 
dois termos
Cubo da soma/diferença de 
dois termos
Fator comum
Diferença de quadrados Trinômio quadrado perfeito
Agrupamento
Trinômio do segundo grau
Quádruplo da soma/diferença de dois termos
Quadrado da diferença
de dois termos
Produto da soma pela
diferença de dois termos
ax + ay = a(x + y)
n
0
1
2
3
4
5
6
...
Blaise Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 
2(a + b) = a + 2ab + b 2 2 (a + b)∙(a – b) = a – b2 2
a ± 2ab + b = (a ± b)2 2 2
a - b 2 2
x - 9 = ?2
x - 9 = (x + 3)∙(x - 3)2
x - 9 2
a - b = (a + b)∙(a - b)2 2
Ex.: 2x - 5x + 2 = ?2
Ex.: 2 = 4 = 1 + 2 + 1.2
n
“(a ± b) ”!n
* x e x são as raízes do trinômio21
ax + bx + c = a(x - x )(x - x )2 21
2 2(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b3 3 3
3 2 2(a ± b) = a ± 4a b + 6a b ± 4ab + b44 43
(a b) = 1a b 3a b 3a b 1a b22 3003
3 11 + ±±±
(a ± b) = 1a b 4a b 6a b 4a b 1a b
23 31 40044 21+ +
21Raízes: x = 2 e x = .
22x - 5x + 2 = 2 ( x - 2) (x - )
1x 2x
logo: 
logo: 
é igual?
ok! 
logo: 
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)∙(a + b)
a ba b
x
x 2
3
2ab
a ± 2ab b 2 2
Ex: x + 4x + 4 = ?2
x + 4x + 4 = (x + 2)2 2
2x 4
2∙x∙2 = 4x
...
2 2 2(a – b) = a – 2ab + b 
±±
2
1/
2
1/
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Sistema métrico decimal (1792) 
Sistema Internacional de Unidades (1960)
Comprimento metro (m)
Massa quilograma (kg)
Capacidade litros (L)
Tempo segundos (s)
Unidades padrão S.I.
prefixos do S.I.
IMPORTANTE:
LEMBRE 
DISSO:
Unidade de tempo
Unidade de 
comprimento
Unidade de
capacidade
Unidade 
de volume
Unidade
de massa
Unidade de 
área
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
x10 x10 x10 x10 x10 x10
x100 x100 x100 x100 x100 x100
÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
Km hm dam m dm cm mm
Kg hg dag g dg cg mg
KL hL daL L dL cL mL
3
3
3
1mL = 1 cm
1L = 1 dm
1000L = 1 m
5555
0 → NADA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x = a · 105 unidades
5 dezenas
5 centenas
5 milhares
2 2 2 2 2 2 2Km hm dam m dm cm mm
x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000
÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000
3 3 3 3 3 3 3Km hm dam m dm cm mm
Fator Nome Símbolo
tera 
giga 
mega 
kilo 
hecto 
deca 
deci 
centi 
mili 
micro 
nano 
pico
0,001 = 10
0,01 = 10
0,1 = 10
1 = 10
10 = 10
100 = 10
1000 = 10
10.000 = 10
100.000 = 10
1.000.000 = 10
10.000.000 = 10
100.000.000 = 10
T
 G 
 M
k
h
 da
d
c
m
 µ
n
p
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12
6
3
2
1
-1
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-6
-9
-12
9
M
ÚL
TI
P
LO
S
O Sistema Hindu-Arábico
Ordem de Grandeza
Notação Científica
inteiro
número decimal
S
UB
M
ÚL
TI
P
LO
S
MILHARES
DECIMAIS
INTEIROS
MILHÕES
Foi criado pelos hindus e 
difundido pelos árabes.
- É um sistema posicional:
n
10 , se a < 10
10 , se a > 10
10 = 3,1622776601...
6,02 > 10
n
23
n + 1
Ex: 6,02 x 10
1 ≤ a < 10
Esse vocês
conhecem bem,
não é, moçada?
Sistema de 
Numeração Decimal
ex.:
23+1 24
Portanto, a sua ordem de
grandeza é igual a 10 = 10 .
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Equação do
1º Grau
Equação do
2º Grau
Equação
Irracional
Equação
BIquadrada
É uma equação em que há incógnita sob 
um ou mais radicais.
As equações biquadradas são
equações polinomiais do 4º grau.
Por isso, elas podem ter até 4 raízes reais.
Você pode, mas não precisa utilizar a fórmula de 
Bhaskara para resolver as equações do 2º grau 
incompletas. Lembre-se: 
 se a·b = 0, ou a = 0 ou b = 0.
Única 
solução
Nenhuma 
solução
Infinitas 
soluções
ex.:
ex.:ex.:A raiz de uma equação do 1º 
grau é 1 número que torna a 
sentença verdadeira. 
Uma equação do 2º grau possui no máximo 2 raízes. 
Você pode resolver qualquer equação 
do 2º grau através dessa fórmula!
Comece pensando
na relação do produto!
Determinação da 
Equação do 2º Grau
Soma e Produto
MÉTODO DA
SUBSTITUIÇÃO
MÉTODO DA
ADIÇÃO
Sistemas de Equações do 1º Grau 
Equações do 2º Grau Incompletas
Utilize a substituição de variável
para resolver equações biquadradas.
 x² = y
Para resolver uma equação irracional, eleve os dois lados 
da igualdade a potências convenientes. Assim, você 
eliminará os radicais e obterá uma equação equivalente. 
Você precisa testar as raízes encontradas
 na equação original para verificar se elas
 satisfazem a igualdade. 
Fique atento!
NÃO existem expoentes ímpares
 em uma equação biquadrada. 
Fique atento!
Soluções no
conjunto dos 
*a e b com a ≠ 0
*a, b, c com a ≠ 0
*a, b, c com a ≠ 0
ax¹ + b = 0
ax2 + bx + c = 0
ax⁴ + bx² + c = 0
ax² + bx = 0 ax² + c = 0 ax² = 0
ex.: ex.:
ex.:
teste:
logo,
3x + 4y = 13
3x + 4y = 13
10
10
10y = 13 - 3
x = 1 + 2y
x = 1 + 2 · 1
x = 3
S = {(3, 1)}
S = {14}.
y =
y = 1
3 (1 + 2y) + 4y = 13
x - 2y = 1
x = 1 + 2y
0x = 0
0x = 6
S = ø
S = 
{
_
3x + 4y = 13
3x + 4y = 13
x - 2y = 1
3 - 2y = 1
-2y = 1 - 3
-2y = -2
y = 1
S = {(3, 1)}
x = 3
x - 2y = 1
2x - 4y = 2
x2
5x + 0y = 15
{
{
_
duas raízes reais e diferentes.∆ > 0
duas raízes reais e iguais.∆ = 0
não há raízes reais.∆ < 0 
x² - Sx + P = 0
x₁ + x₂ = 
x₁ · x₂ = 
-b
a
c
a
_
1.
1. 2.
2.
25 x= 14=2x - 3
-25=2x - 3 x -11=
5x = 15
·
S = {7}
2x = 14
+
S = x₁ + x₂ P = x₁ · x₂
2 · (-11) - 3 = 52 · 14 - 3 = 5
-25 = 525 = 5
5 = 5
|2x - 3| = 25
( 2x - 3)² = (5)²
2x - 3 = 5
Relações de Girard
x =
2a
-b ±_
bhaskara akaria
∆ = b² - 4ac
∆
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Um número é divisível por 
Quando a soma de seus 
algarismos for divisível por 3.
Quando seus dois últimos 
algarismos formam um número 
divisível por 4. 
Esse é grande!
Veja a aula. 
Todos os números terminados em 00 são 
divisíveis por 4.
Verifique primeiro se o número é PAR. Se 
for, efetue a soma dos algarismos para 
avaliar a divisibilidade por 3.
Todos os números terminados em 
000 são divisíveis por 8.
12 = 3 x 4
Um número é divisível
por 12 quando é
divisível por 3 e por 4.
15 = 3 x 5
Um número é divisível
por 15 quando é
divisível por 3 e por 5.
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
Dica
NInja!
essE é
barbad
a!
Quando é par.
Termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Ex.: 596, 452. Ex.: 8864, 387000.
Ex.: 237.
Ex.: 2020, 5000, 148.
2 + 3 + 7 = 12 12 é divisível 
por 3.
18 é divisível 
por 9.
Quando termina em 0 ou 5.
Ex.: 8720, 96245.
Quando é divisível por 2 E por 3.
Ex.: 810.
810 é par.
8 + 1 + 0 = 9 9 é divisível por 3.
Quando seus três últimos algarismos 
formam um número divisível por 8.
Quando a soma de seus algarismos 
for divisível por 9.
Quando termina em 0.
Quando a soma alternada de seus 
algarismos for divisível por 11.
Ex.: 873.
8 + 7 + 3 = 18 
Ex.: 1790, 25940.
Ex.: 90832071.
+ 9 - 0 + 8 - 3 + 2 - 0 + 7 - 1 = 22
22 é divisível por 11.
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Possui somente
dois divisores
naturais distintos.
É todo número natural que não é primo! 
O maior número primo descoberto até a 
construção deste material é
 Ao escrever cada dígito do maior 
número primo existente até então 
com 2mm de largura, você atinge 
cerca de 50 km, o equivalente a 
cerca de 125 voltas na raia interna 
de uma pista olímpica.
Todo número composto pode ser reescrito como o 
produto entre dois ou mais números primos. 
Por isso, todos os números compostos podem ser 
fatorados. 
0 e 1 NÃO são
números primos e
nem compostos.
Eu sou o
único número 
NATURAL
primo par!
ele 
mesmo!
Número Natural 
Primo
Número Natural 
Composto
Fatoração 
Quantidade de divisores de 
um número
Quais são os divisores de um 
número? 
Você 
sabia?
12
6
3
1
36
18
9
3
1
36
18
9
3
1
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2 x 2 x 3 = 2² x 3
36 possui 9 divisores!
2² x 3²
3 · 3 = 9
1
2
4
3 6 12
9 18 36
NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
+1+1
divisores de 36: 
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, e 36.
São quase 25
milhões de dígitos!
2⁸² ⁵⁸⁹ ⁹³³ -1
2
1
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
mdc
O mínimo múltiplo comum de dois ou 
mais números inteiros é o menor inteiro positivo 
que é múltiplo simultaneamente desses números.
O máximo divisor comum entre dois ou mais números 
inteiros é o maior número inteiro que é divisor de tais números.
24 também é múltiplo de 3 e 4. Mas 12 é
o menor múltiplo comum entre esses
números!
Multiplique TODOS os
fatores primos obtidos
na decomposição
P1. O MMC entre dois ou mais números primos será 
sempre o produto entre eles.
P1. O MDC entre dois ou mais números primos é 
sempre igual a 1.
P2. Se a é divisor de b, então MDC (a, b) = a.
P3. Se os números forem multiplicados/divididos 
por uma constante k, então o MDC entre esses 
números também será multiplicado/dividido por k.
2 e 3 são números primos!
P2. Entre dois ou mais números, se o maior deles é 
múltiplo dos outros, então esse maior número é o 
MMC.
P3. Se os números forem multiplicados/divididos 
por uma constante k, então o MMC entre esses 
números também será multiplicado/dividido por k.
MMC
Propriedades do MMC 
MMC - Regra Prática
MDC - Regra Prática
Propriedades do MDC 
2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180
2 x 3 = 6
12 18 30
6 9 15
3 9 15
1 3 5
1 5
1
2
2
3
3
5
MMC {12, 18, 30} = 180
MDC {12, 18, 30} = 6
ex.: MMC {3, 4} = 12. ex.: MMC {3, 7} = 21.
ex.: MMC {6, 8, 24} = 24.
ex.: MDC {8, 24} = 8.
ex.: MDC {3, 7} = 1.
ex.: MMC {4, 6} = 12.
MMC {8, 12} = 24
MMC {2, 3} = 6
ex.: MDC {12, 18} = 6.
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...}
Veja!
1, 2 e 3 também são divisores de 12 e 18.
Mas 6 é o maior divisor comum entre
esses números!
Se você multiplicar TODOS
os fatores primos obtidos 
na decomposição obterá o 
MMC entre os números e 
NÃO o MDC.
Veja!
Multiplique os fatores
primos que dividiram a
linha inteira!
12 18 30
6 9 15
3 9 15
1 3 5
1 5
1
2
2
3
3
5
2.._2.._
x2x2
ex.: MDC {8, 12} = 4.
MDC {24, 36} = 12
MDC {2, 3} = 1
4.._4.._
x3x3
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Quando comparamos duas
medidas, dois valores ou
até duas grandezas,
estamos determinando
uma razão entre dois
números que os
representam.
É a relação existente entre dois
valores de uma mesma grandeza.
É a igualdade entre duas ou mais 
razões.
É uma razão entre dois 
números.
Medida na
réplica/desenho
1:35
Medida na
realidade
NA MESMA
UNIDADE
1 cm
Propriedades nas
 proporções
Grandezas
Diretamente
Proporcionais
Grandezas
Inversamente
Proporcionais
Ex: estamos comparando a medida da largura 
com a medida da altura das telas das TVs. 
Indica quantas vezes o 
numerador é maior ou 
menor que o denominador.
Constante de 
proporcionalidade:
Quando uma 
aumenta/diminui,
a outra 
aumenta/diminui 
na mesma proporção.
As escalas não têm uma 
unidade definida.
Utilize a unidade conveniente!
Quanto maior for esse número,
menos detalhes são apresentados
Repare que nem sempre o
número 1 está à esquerda
da escala!
Escala 
Microscópica
É utilizada em
ampliações!
tela 4:3 tela 16:9
É possível ver
mais detalhes!
São poucos
detalhes!
Grande 
Escala 
Pequena 
Escala
Ex: 500:1
Ex: 1:35000000 Ex: 1:350000
Ex: 1 cm na réplica é igual a
35 cm na realidade.
Uma delas é proporcional 
ao inverso da outra!
as mais importantes!
Quando uma aumenta, a 
outra diminui na mesma 
proporção.
"a para b" a : b a
b
_
a
b
_ x
y
_c
d
_= = k=
a
b
_ c
d
_=
a
b
_ c
d
_= a + c
b + d
a d = b c. .
= =_ k
= k
= kou
a b .
a
b
_
PROPORção
ESCALA
Razão
MATEMÁTICA
professorferretto
www.professorferretto.com.br/
É uma regra prática para resolver problemas que envolvam 
duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
É uma regra prática para resolver problemas que 
envolvam três ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais.
• quantidade de pessoas;
• quantidade de horas por dia;
• número de dias.
• um trabalho;
• algo que está sendo produzido,
fabricado, percorrido.
“O que você NÃO PODE fabricar ou fazer"
“O que você PODE fabricar ou fazer"
Identifique as grandezas que fazem parte do
PROCESSO e as que fazem parte do PRODUTO.
Ex.:
Ex.:
Para resolver uma regra de 3 corretamente, é 
preciso determinar se as grandezas envolvidas 
são diretamente ou inversamente proporcionais.
Você pode resolver uma regra de três composta 
dispensando a análise das grandezas 
diretamente e inversamente proporcionais. 
Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7 kg de 
farinha. Quantos quilogramas de trigo são 
necessários para fabricar 28kg de farinha?
Ex.:
10 kg
x
7 kg
28 kg
7x = 280
x = 40 kg de trigo
Multiplicação
cruzada
Trigo Farinha
Ferre�o leu um livro de análise combinatória em 10 dias, 
lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas 
por dia, em quanto tempo ele leria o mesmo livro?
10
x
15
6
6x = 150
x = 25 dias
Multiplicação
na horizontal
Dias Páginas/Dia
Funcionários Horas/Dia DIAS PEÇAS
Multiplique
todos os valores
que pertencem
a mesma linha!
10 8 5 2500
7500x 4 15
x = 20 funcionários
x ⋅ 4 ⋅ 15 ⋅ 2500 = 10 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 7500
Regra de Três
Simples
Composta
Grandeza
É tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado.
Grandezas
Diretamente
Proporcionais
Tempo Distância
TempoVelocidade
Você vai trabalhar com o conceito de:
X
X X
XGrandezasInversamente
Proporcionais
DistânciaVelocidade
TempoOperários
direta
mente
propo
rcion
al
inversamente
proporcional
Processo
Produto
Processo Produto
Em uma empresa, 10 funcionários produzem 2500 
peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. 
O número de funcionários necessários para que essa 
empresa produza 7500 peças em 15 dias, trabalhando 
4 horas por dia, será de:
40
200
120
40
200
120
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
A porcentagem só tem sentido
quando relacionada a um valor.
Forma Fracionária
Forma ou Taxa
Percentual
Forma ou Taxa
Unitária
Substitua a palavra “de”
pelo sinal de multiplicação
Para calcular 10% ou 1% de um 
Número, basta "andar com a vírgula” 
uma ou duas casas para a esquerda.
Qual é o valor de 30% de R$ 70,00?
O valor 24 corresponde a quanto de 150?
60% de quanto dá 36? 
24 = x · 150 x = 16%
Ex: 10% de 25,8 = 2,58 
Ex: aumento de 20%
Ex: desconto de 20% Portanto, desconto de:
Se uma quantia x recebe sucessivamente:
100% – 20% = 80%
Aumento de 4% valor x 1,4
Aumento de 4% valor x 1,04
Aumento de 40% valor x 1,4
80% = 0,8
100% + 20% = 120%
120% = 1,2
VALOR X 1,2
VALOR X 0,8
x • 1,5 • 0,8 • 0,7 = 0,84•x
1 – 0,84 = 0,16 = 16%
Portanto, aumento de:
32% valor x 1,32
50% valor x 1,5
 3% valor x 1,03
14% valor x 0,86
36% valor x 0,64
 5% valor x 0,95
• um aumento de 50%;
• um desconto de 20%;
• e um desconto de 30%.
No fim das contas, ela 
receberá um desconto de 16%!
Para compor vários aumentos e/ou descontos, 
basta multiplicar os vários fatores individuais
e obter o fator acumulado.
1% de 475 = 4,75
Se preferir, utilize a
regra de três simples!
30
100
60
100
· 70 = 21 ou 0,3 · 70 = 21
· x = 36 x = 60
Sabe por quê?
Quando uma quantia recebe um
aumento de 10% e depois um desconto
de 10%, o valor obtido NÃO É IGUAL a
quantia inicial.
ABRA O OLHO!
É uma fração cujo denominador é igual a 100.
Transformação de Taxas
Aumento de x% de um valor
Desconto de x% de um valor
Aumentos e Descontos Sucessivos
30
100
_= = 0,330%
30% 0,3
÷ 100
x 100
100
100
_= = 1100%
Dica
NInja!
_
_
Porcentagem
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
logo:
A taxa(i) sempre incide 
sobre o capital inicial.
Nos JUROS SIMPLES
JUROS COMPOSTOS
Apresentam comportamento
exponencial. 
JUROS SIMPLES
Apresentam comportamento 
linear, por isso, são representados 
por uma reta. 
Ao final de 1 período (t), Juros Simples e 
Compostos têm o mesmo resultado!
É chamado de
fator de capitalização.
São os mais 
aplicados nas 
transações 
financeiras.
A taxa (i) incide sobre o montante
acumulado no período anterior.
24% a.a. = 2% a.m.
R$ 1000,00 R$ 1100,00 R$ 1200,00 R$ 1300,00
x1,3x1,2
hoje 1 ano 2 anos 3 anos
Capital
Inicial (C)
Tempo (t)
Montante (M)
ao final de 3 anos
Juros Simples
Juros Compostos
Nos JUROS SIMPLES e COMPOSTOS
A unidade da taxa (i) deve concordar com a 
unidade do tempo (t).
R$ 1000,00 R$ 1100,00 R$ 1210,00 R$ 1331,00
hoje 1 ano 2 anos 3 anos
Capital
Inicial (C)
Juros (J) Tempo (t)
Montante (M)
ao final de 3 anos
10 % a.a.
10 % a.a.
J = C · i · t M = C + J
M = C (1 + i · t)
M = C + J J = M - C
M = C (1 + i)
(1 + i)t
1
M
t
Juros (J)
t
x1,1 x1,1 x1,1
+R$ 100,00
x1,1
+R$ 100,00 +R$ 100,00 +R$ 100,00
+R$ 110,00 +R$ 121,00
Matemática
CONJUNTOS
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Você pode 
representar 
através de chaves, 
por propriedade 
ou pelo diagrama 
que eu desenvolvi. 
Conjuntos
intervalo fechado
Intervalos Reais
quando:
intervalo aberto
intervalo fechado 
à esquerda
intervalo fechado
à direita
Operação
intervalo ilimitado
A
A
A =
A 
= { x | x é vogal do alfabeto}
 { a, e, i, o, u}
a e
i o
u
Subconjunto
conjunto
unitário
conjunto
vazio
conjuntos
iguais
conjuntos
disjuntos
= { 3 } A
AA G
HB
 = Ø = { }
 = {Ø} = { a,b,c} = { 1, 2}
= { 3, 4}= { c,b,a}
Quando B é 
subconjunto 
de A
*B deve ser 
subconjunto de A
pertence está contido
não está contidonão pertence
A
B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
B
A
B
A
B
(OU)
MENOR MAIOR
(E)
DIFERENÇA E
COMPLEMENTAR*
INTERSECÇÃOUNIÃO
Quando A e B
possuem algum 
elemento em comum
Quando A e B
são conjuntos 
disjuntos
UNIÃO
Complementar
relação entre
elemento e conjunto:
Operações com 
conjuntos
relação entre
dois conjuntos:
INTERSECÇÃO
DIFERENÇA
COMPLEMENTAR
A U B
A B
U
A - B
CBA
CBA = A - B
U
U _
a, b e a < b
{x | a ≤ x ≤ b} = [a, b] 
{x | a < x < b} = ]a, b[ 
{x | a ≤ x < b} = [a, b[ 
{x | a < x ≤ b} = ]a, b] 
{x | x ≥ a} = [a, + ∞[
{x | x < a} = ]-∞, a[
a b
a b
a b
a b
a
a
Um conjunto B é
subconjunto de um
conjunto A se
TODO ELEMENTO de B
também pertencer a A
As frutas
vermelhas
formam um
subconjunto
do conjunto
de frutas.
possui
um único
elemento
NÃO 
possui
nenhum
elemento
possuem
os mesmos
elementos
não possuem
elementos 
EM COMUM
NUNCA represente
um conjunto vazio
assim:
John Venn
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Conjuntos NUméricos
simples
compostas
5 maças
Os números naturais surgiram 
para expressar quantidade.
Todo número racional pode ser 
representado na forma de fração 
(inteiro sobre inteiro).
Daqui surgiu o 
conceito de 
SIMETRIA.
Não podem ser 
representados na 
forma de fração 
(inteiro sobre 
inteiro).
Números 
naturais 
não nulos.
Um número é racional 
ou irracional.
O asterisco (*) à direita do 
símbolo do conjunto retira 
dele o elemento zero
Todo número 
inteiro é 
racional
Um número com 
representação decimal 
infinita é chamado de DÍZIMA.
Eu sou o maior 
conjunto numérico, pois 
sou formado pela únião 
dos números racionais 
e irracionais!
Olha ele, nem 
sabe o que diz.
As Dízimas Periódicas
Todo número 
natural é 
inteiro
= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
-15
3 = -5
8
1 = 8
2 = 1,41421356...
3 = 1,7320508...
Números Inteiros
Números Decimais Exatos
Números inteirosNúmeros Naturais
Números Racionais
Números Irracionais
Números REais
25
10 = 2,5
-9
4 = - 2,25
- 2,475 = - 24751000
23
10000
= 0,0023
0,9999... =1
0,2222... =0,33333...
1,2828...
0,00777...
3,12525...
n
1,3222... =
0,44888... = 448-44900
132 - 13
90
2
9
119
90
=
404
900
=
primo
ex.: *
decimal
exato
fração
IrRacionais
3 casas
decimais
4 casas
decimais
Não fazem
parte do
período
3 zeros
Período
Intruso
4 zeros
�Número irracional famoso
Logo:
0,44888... =
1,3222... =
0,2222... =
Matemática
PROGRESSÕES
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Apresenta
comportamento
linear.
É toda sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual à soma do 
termo antecedente com uma constante r.
Classificação da PA
Propriedades da PA
Soma dos 
termos da PA 
Notações Especiais da PA
Termo Geral da PA
Interpolar Meios Aritméticos
A progressão aritmética!
PA
É a razão da PA!
É o enésimo
termo da PA!
PA (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, ..., a )n
+ r + r + r + r + r
- r - r - r - r - r 
Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
p1.
Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo
central é igual à média aritmética entre os seus vizinhos.
É colocar entre dois números conhecidos outros tantos 
números de maneira que a sequência formada seja uma PA. 
Utilize a fórmula do termo 
geral da PA para interpolar!
Não há
um termo
central!! 
p2.PA crescente 
PA (4, 7, 10, 13, 16, 19, ...)
r = 3
Ex.:
r > 0
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3
- 5 - 5 - 5 - 5
+ r 
– 2y
- r 
+ r + r - r - r 
+ 2y PA (13, 8, 3, -2, -7, ...)
r = - 5 
Ex.:
PA decrescente r < 0
PA (3, 3, 3, 3, 3, ...)
a = a₁ + (n – 1)⋅r
PA (3, 6, 9, 12, 15, 18)
S = (a₁ + a )·n
2
PA (20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)
(x - r, x, x + r)
(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)
(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
a = a + (n – k)⋅r
r = 0
r = 2y
É o 1º termo da PA!
PA de 3 termos:
PA de 4 termos:
termo central
PA de 5 termos:
Termo qualquer da PA!
Ex.:
 +0 +0 +0 +0 
PA Constante r = 0
n
n k
n n
21
21
21
20 + 30
2
= 25 35 + 45
2
= 40
40 + 50
2
= 4525 + 35
2
= 30
termo central
Carl Friedrich Gauss
Você consegue 
responder rapidamente 
quanto vale a soma 
entre todos os números 
naturais de 1 a 100?! Eu 
usaria a fórmula!
an
n
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
PG crescente 
PG decrescente
PG constante
PG oscilante
É a razão da PG!
É o enésimo
termo da PG!
Utilize a fórmula do
termo geral da PG
para interpolar!
Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Em uma PG, tomando-se três termos consecutivos, o termo 
central é igual à média geométrica entre os seus vizinhos.
Uma PG de razão negativa NÃO É
decrescente, mas sim, oscilante.
É colocar entre dois 
números conhecidos 
outros tantos números de 
maneira que a sequência 
formada seja uma PG.
Apresenta
comportamento
exponencialÉ toda sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual ao 
produto do termo antecedente com uma 
constante q.
PG
Propriedades da PG
A progressão geométrica!
Interpolar Meios Geométricos 
p1.
p2.
Classificação da PG
Termo Geral da PG
Soma dos n termos de uma PG
Soma dos infinitos termos de uma PG
Notação Especial da PG
PG (1, 2, 4, 8, 16, ...)
PG
q = 2
q = 2q = 1/3
q = 1
q = - 2
Ex.:
Ex.:
Ex.:
Ex.:
q = 1/3
PG (3, 3, 3, 3, 3, ...)
PG (5, –10, 20, –40, 80, ...)
PG (-54 , -18, -6, -2, ...)
q > 1 se a₁ > 0 ou 0 < q < 1 se a₁ < 0
a = a₁ · qn n kn - 1 n - ka = a · q
PG (2, 4, 8, 16, 32, 64)
PG (1, 3, 9, 27, 81, 243)
MG = 3·27
termos escolhidos
termo central
MG = 81
MG = 9
-1 < q < 1
a₁ · (q - 1) 
, x, x · q))
S =n
n
q - 1
PG de 3 termos: .
∞
a₁
1 - q
S =
an
n
PG (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, ..., a )n
x q x q x q x q x q
÷ q÷ q ÷ q÷ q ÷ q
É o 1º termo da PG!
Termo qualquer da PG
128
128
128
x 2 x 2 x 2 x 2 x 1/3
x 1
3
x 1/3 x 1/3
 0 < q < 1 se a₁ > 0 ou q > 1 se a₁ < 0
q = 1
q < 0
1,( )13 , 19 , 127 , 181 ,… PG (-2, -4, -8, -16, ...)
x 2 x 2 x 2
x(-2) x(-2) x(-2)x(-2)
x 1 x 1 x 1 x 1
x
q
x q÷ q
x 1
3
x 1
3
x 1
3
Matemática
 GEOMETRIA
PLANA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
LEMBRE-SE
É par!
É ímpar!
você sabia?
sempre!
É todo polígono 
convexo que possui os 
lados congruentes (é 
equilátero) e os 
ângulos congruentes 
(é equiângulo).
Nenhuma diagonal
passa pelo centro
do polígono.
O pentágono é o único polígono cujo número 
de lados n é igual ao número de diagonais d.
O número de diagonais 
que passam pelo 
centro do polígono é 
igual a metade do 
número de lados.
Todo polígono regular é inscritível e
circunscritível a uma circunferência.
É o segmento que liga o 
centro ao ponto médio 
de um lado de um 
polígono regular.
0˚ < < 90˚ 
i + e = 180˚
180˚ π rad
1˚ = 60’
1’ = 60”
 = 90˚ 90˚ < < 180˚ 
 β
 β
 β
β
 = 180˚ + β = 90˚
Geometria Plana
Unidades de medida
Nomenclatura
Ângulo central
Apótema
Ângulos internos
e externos
Diagonais
Grau(º) Radiano (rad) 
r = a
n = 4
d = 2c
n = 5
d = 0c
ÂNGULOS
POLÍGONOS POLÍGONO REGULAR
triângulo
ou trilátero
Ângulos opostos pelo
vértice são iguais!
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
undecágono
dodecágono
icoságono
3 lados
Concavidade
Polígono
ConvexoPolígono
CÔNCAVO
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
11 lados
12 lados
20 lados
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7
n = 8
n = 9
n = 10
n = 11
n = 12
n = 20
Ângulo
Agudo
Ângulos
Suplementares
Ângulo
Reto
Ângulo
Obtuso
Ângulo
Raso 
Ângulos
Complementares
minutos
segundos
 + β = 180˚
360º 2π
a
ab
c d
ef
g h
b
c
S = 180˚⋅(n - 2) i
n(n-3)
2
S = 360˚e
a = c 360˚n
d =
Podemos dizer que os ângulos:
a e e são correspondentes;
d e f são alternos internos;
b e h são alternos externos;
c e f são colaterais internos;
a e h são colaterais externos;
Se r//s, então os ângulos alternos 
internos (ou alternos externos, ou 
correspondentes) são congruentes.
são ângulos consecutivos;
a e b, a e c, b e c
a e b são ângulos adjacentes.
S = 180˚(4 - 2) i
S = 360˚i
e₁
e₂
e₃
e₄ i₃i₄
i₅
e₅
i₁
i₂
n = 4
a
ac
rR
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
a < b + c Em todo triângulo cada 
lado é sempre menor que 
a soma dos outros dois.
Uma bissetriz interna de um triângulo 
divide o lado oposto em segmentos 
proporcionais aos lados adjacentes.
A bissetriz é uma
semirreta que
divide o ângulo em
dois ângulos iguais.
O incentro é o centro
da circunferência
inscrita no triângulo.
O baricentro é o centro de 
gravidade do triângulo.
O circuncentro é o centro 
da circunferência 
circunscrita ao triângulo.
É a fórmula da área de 
qualquer polígono regular!
A mediatriz é uma reta que passa 
no ponto médio de um segmento 
reta e é perpendicular a ele.
5 formas de calcular a ÁREA de qualquer triângulo
Elementos
Classificação
Pontos Notáveis
Teorema da bissetriz interna
Equilátero isósceles Escaleno
a < b + c
b < a + c
c < a + b
AG = 2.GM₁
Propriedades
Reparem só
no meu BICO!
BG = 2.GM₂
CG = 2.GM₃
a² < b² + c²
p =
A =
a + b + c
2
b · h
2
a² = b² + c² a² > b² + c²
SOMA DOS
ÂNGULOS
INTERNOS
QUANTO AOS LADOS
QUANTO AOS ÂNGULOS
TEOREMA DO
ÂNGULO EXTERNO
TRIÂNGULOS
vértices
lados
ângulos internos
maior ângulo
ponto
médio
maior lado
ângulos externos
É o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo.
É o ponto de encontro das mediatrizes do triângulo.
Três lados
congruentes
Retângulo
Tem um
ângulo reto
Acutângulo
Tem os três
ângulos agudos
ObtusÂngulo
Tem um ângulo
obtuso
Dois lados
congruentes
Três lados
NÃO congruentes
Congruentes
= igual medida
AO MAIOR LADO 
OPÕE-SE O 
MAIOR ÂNGULO
DESIGUALDADE TRIÂNGULAR
BARICENTRO
INCENTRO
CIRCUNCENTRO
ORTOCENTRO
Semiperímetro
A = A = p · (p - a) · (p - b) · (p - c) A = p · r
a · b · sen2 A =
abc
 4R
a + b + c = 180˚
e = a + b
É o ponto de encontro 
das alturas do triângulo.
apótema do
triângulo
semiperímetro
É o ponto de encontro das 
medianas do triângulo.
a
b
c
d=
a
b e
a b
c
B
B
I
C
E
B
D A
M₁
F
C
0
C
A
C
h h
A
M
B
c
R
aa
b
b
b d
c
a c
c
r
A
G
M₁
M₂M₃
b
a
c
iB
eB
eA
eC
B
A
Ca
bc
iC
iA
M₂
M₃
b
c
a b
c
a b
c
a
b
a
b
a
b
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
válida para lados homólogos, 
perímetros, alturas homólogas ...
A razão entre áreas de dois triângulos 
semelhantes é igual ao quadrado da 
razão de semelhança.
Todo triângulo equilátero é um polígono 
regular e todo polígono regular é inscritível 
e circuncritível a circunferência. 
Cada cateto elevado ao 
quadrado é igual ao produto 
entre sua projeção na 
hipotenusa e a hipotenusa.
O produto dos catetos é igual 
ao produto da hipotenusa pela 
altura relativa a ela.
O quadrado da altura relativa 
à hipotenusa é igual ao 
produto das projeções. 
O teorema 
também se aplica 
ao trapézio.
Não esqueça da 
relação métrica 
mais importante, 
o meu Teorema!
Todo triângulo retângulo inscrito 
em uma circunferência possui a 
hipotenusa como diâmetro.
Se A e B são pontos médios de 
seus respectivos lados, então, 
AB é pararelo a CD e AB =
Relações métricas no triângulo retângulo
Triângulo equilátero
Teorema de Tales
Teorema da base média
Triângulo retângulo inscrito
Arcos notáveisRazões trigonométricas no triângulo retângulo
Semelhança de triângulos
SENO
30˚ 45˚ 60˚
COSSENO
TANGENTE
R = h2
3
1⁄₂
3⁄₂
2⁄₂
1⁄₂
3⁄₂
1
2⁄₂
33⁄₃
r = h1
3
a
x
b
y
c
z
r//s//t//u
a + b + c
x + y + z
b² = n · a
c² = m · a
sen = = ba
CO
HIP
 a · h = b · c
h =
A =
área:
altura:
4
l ² 3
h² = n · m
a² = b² + c²
===
CD
2
2
l 3
cos = = ca
CA
HIP
=ax
A₁
A₂ = k²
b
y = = = K
K é a razão
de semelhança
c
z
a + b + c
x + y + z
tg =
+ β = 90º
sen = cos β
 sen β = cos 
= bc
sen 
cos 
a
b
c
três ângulos congruentes
lados homólogos
proporcionais
entre os mesmos
dois ângulos
Logo:
Nesse caso:
apótema do 
triângulo
.
EF + CD
2
AB =
m
a
h
Altura relativa à
hipotenusa
hipotenusa
proteção projeção
cateto
ca
te
to cb
n
h
R R R
r
l
l
l
c zx
y
a
b
r
A
C
B
A B
E F
D
C D
a x
b y
c z
s
t
u
β
Pitágoras de Samos
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
É o quadrilátero que possui os 
lados opostos congruentes e 
paralelos.
É o quadrilátero que possui 
dois lados paralelos.
Possui os lados não 
paralelos congruentes.
P1. As diagonais se interceptam 
em seus pontos médios.
P2. Os ângulos opostos são 
congruentes.
É o quadrilátero que possui os 
quatro lados congruentes.
Possui dois ângulos retos (90º).
Todo quadrilátero 
inscrito em uma 
circunferência possui 
os ângulos opostos 
suplementares.
É o hexágono que possui os 
ângulos internos e os lados 
congruentes entre si. 
Por isso, todos os ângulos
internos do hexágono
regular medem 120˚!
Formam-se 6
triângulos equiláteros!
Se um quadrilátero é 
circunscrito a uma 
circunferência, a soma de 
dois lados opostos é igual 
à soma dos outros dois.
Todo quadrado é losango e retângulo, 
e todo quadrado, losango e retângulo 
é paralelogramo.
O quadrado é um polígono 
regular e todo polígono 
regular é inscritível e 
circunscritível a 
circunferência.
É o quadrilátero que possui os quatro 
ângulos e os quatro lados congruentes.
Os ângulos 
das bases são 
congruentes.
É o quadrilátero que possui os 
quatro ângulos retos (90º).
P1. Em todo retângulo as diagonais são 
congruentes e se cruzam em seus pontos médios. 
Paralelogramo
Losango
Quadrado
Inscrição e Circunscrição
Trapézio
Retângulo
PROPRIEDADES 
TRAPÉZIO ISÓSCELES TRAPÉZIO RETÂNGULO
Quadrilátero inscrito
Quadrilátero circunscrito
QUADRILÁTEROS
HEXÁGONO REGULAR
A = b · haa
b
b
b
b b
a
a
b bM b
d
a
B
b
B
b
hh h
b B-bB
Dd
l
l
l
l
l
l
l
ll
l
l l
l
ll
l
h
aa
b
bárea:
A = D · d
2
área:
tg = h
B - bA = (B + b) · h
2
A = a · b d² = a² + b²área:
área:
área:
P1. As diagonais do losango são bissetrizes de seus 
vértices e se cruzam em seus pontos médios. 
apótema do
quadrado
a
a
d
2
d
a
a
d
b
d
R
b
c
c
R = d2
D
2
D
2
a + b = 180º c + d = 180º
a + b = c + d
² ²
² =
A = l² d = l 2
+)( d2)(
M
d
r
R = l
r = l2
A = 6 ·
4
l² 3
r = h =
2
l 3
r
β
β
M
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Toda tangente a 
uma circunferência 
é perpendicular ao 
raio no ponto de 
tangência.
Lembre da fórmula
da área do triângulo!
Parte externa x Total = Parte externa x Total
 = Ângulo inscrito
β = Ângulo central
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Elementos
Comprimento 
da circunferência Área do círculo
Comprimento de um arco Área do setor circular
Ângulo de segmento Arco capaz
Ângulo excêntrico interior Ângulo excêntrico exterior
Potência de ponto ou Teorema das cordas
PROPRIEDADE DA TANGENTE PROPRIEDADE DA SECANTE SEGMENTOS TANGENTES 
ponto P interno ponto P externo
ÂNGULO CENTRAL 
E ÂNGULO INSCRITO 
l
em radianos!!
Lindo Alfa Romeo
 β
 2
 β
 2
tangente
β
β
flecha
corda
diâ
me
tro
reta
tangente
setor
circular
arco
raio
reta
secante
segmento
circular
A
P
B
R
R
t
R
P
d
a c
b
R
P
t
a (a + b) = c (c + d)
c² = a · (a + b) 
a · b = c · d
x = a - b
2
R² = d² + x² 
x = PC - R 
PA = PB
A =
P
R
A
B
R
R
s
B
A
M
x
x
d
R
C x
R
x x
R
l
l
l
aaa x
x b
R
R
b xb
a
b x
b xa
P
d
a
c
b
Pa
c
b
l · R
2
 x =
C = 2πR A = πR²
a + b
2
l = · R
=
=
Matemática
GEOMETRIA
DE POSIÇÃO
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
25www.professorferretto.com.br/
MATEMÁTICA
professor
ferretto
Através de três pontos não colineares.
P1. Numa reta e fora dela 
existem infinitos pontos.
P2. Num plano e fora dele existem 
infinitos pontos.
P3. Se uma reta possui dois pontos 
distintos em um plano, então ela 
está contida nesse plano.
P4. Dois pontos distintos 
determinam uma única reta.
P5. Três pontos distintos e não 
colineares determinam um único 
plano.
P6. Por um ponto do espaço passa 
uma única reta paralela a uma reta 
dada.
São retas 
concorrentes 
que formam 
ângulo reto 
entre si. São retas concorrentes e não 
perpendiculares.
Não possuem ponto
em comum.
Possuem um único
ponto em comum.
Possuem um único ponto em comum.
São coplanares, mas não 
possuem pontos em comum. Não são coplanares e não possuem pontos em comum.
Possuem dois pontos
distintos em comum.
Possuem dois pontos distintos 
em comum.
São retas
reversas que
formam ângulo
reto entre si.
Através de uma reta e um 
ponto fora dela.
Através de duas retas concorrentes. Através de duas retas paralelas.
Não têm ponto comum.
Paralelos distintos.Paralelos coincidentes.
Possuem uma reta comum.
Planos Secantes
Reta Paralela 
ao Plano
Retas Paralelas
Retas Perpendiculares Retas Oblíquas Retas Ortogonais
Retas Concorrentes
Retas Reversas
Reta e Plano 
Secantes
Reta Contida no 
Plano
Planos Paralelos 
COMO DETERMINAR UM PLANO?
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
ÂNGULOS ENTRE RETAS
POSTULADOS
Ex
is
tê
nc
ia
In
cl
us
ão
D
et
er
m
in
aç
ão
D
as
 P
ar
al
el
as
Geometria de Posição
Retas Coincidentes
P
C
r
r
s r
t
s
β
β
β
B
A
r
α
α
α
α
α
α
α
AA
B
r = s s
rr
s
r
s
a
b
sr
s s
r
r
C
B
A
α
C
B
F
A
α
G
D
G
D
E
F
C
B
A
r
B
A r
r
α
B A
E
P
s
r
r
A
BA
αα
α
α
α α
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
1. Se uma reta é paralela a um
plano, então ela é paralela a
infinitas retas desse plano.
A reta é secante ao plano no 
ponto O e perpendicular a 
todas as retas do plano que 
passam pelo ponto O.
A reta é secante ao plano
no ponto O mas não é
perpendicular a ele.2. Se uma reta é secante a um
plano, então ela é concorrente
cominfinitas retas desse plano.
3. Se uma reta é paralela a um
plano, então ela é reversa com
infinitas retas desse plano.
4. Se uma reta é secante a um
plano, então ela é reversa com
infinitas retas desse plano. Os dois planos são secantes,
e um deles contém uma reta
perpendicular ao outro.
Os dois planos são 
secantes e não 
perpendiculares entre si.
5. Se uma reta está contida 
em um plano, então ela é 
paralela ou concorrente com 
infinitas retas desse plano.
6. Se dois planos α e β são 
secantes, então existem 
infinitas retas de um que são 
secantes ao outro.
8. Se dois planos α e β são
paralelos e distintos, então
toda reta de um deles é
paralela ao outro. 
7. Se dois planos α e β são
secantes, então existem infinitas
retas de um que são paralelas ao
outro.
Reta Perpendicular 
ao Plano
Reta Oblíqua 
ao Plano
Planos Perpendiculares Planos Oblíquos 
De um Ponto De uma Figura 
De uma Reta
De um Segmento
PROPRIEDADES 
IMPORTANTES
ÂNGULOS ENTRE RETA E PLANO
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
PROJEÇÃO ORTOGONAL
β
s₁
s₁
s₂
s₂
s₃
t₁
t₁ P
t₂
t₂
t₃
t₁
t₂ t₃
t₃
s₃
s₄s₅ oo
c b
a
a
r r
r
P
α
α
α
α
αα
α α
α
α
α α
r
r
r
r
r
r
β
β
s₁
a₁
a₁
a₁
b₁
b₁
a₂
a₂
b₂
b₂
b₃
a₃
a₂
a₃
s₂ s₃
s₄
s₅
s₆
α
F’
A
A
x > x'
B
B
A₁
x
B₁
F
P
P’
α
α
α
α
α
P Q R
β
β
β
r r
r₁P
α
P
B
A
x’
A’ B’
Matemática
GEOMETRIA
ESPACIAL
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Os raios da circunferência 
inscrita (r) e circunscrita 
(R), podem te ajudar!
Geometria Espacial
Soma dos ângulos
internos das faces
Área Lateral
Área Total
Volume
Diagonal
Área TotalVolume
Diagonal
Área Total
Volume
POLIEDROS
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
POLIEDROS REGULARES
CUBO OU HEXAEDRO REGULAR
PIRÂMIDE REGULAR
PRISMA REGULAR
altura
Tetraedro 4
faces
vai pelo nome!
Poliedro Côncavo
aresta (A)
vértice (V)
face (F)
São 3
dimensões!
Poliedro Convexo
vértices arestas
aresta
lateral face
lateral
aresta
da base
altura
al
a
a
a
a
c
ba
D
D
B
B P
aB
aP
aP
H
al
al
H
H
H
R r
V
V
≠
aresta
da base
aresta
lateral
As faces laterais são
triângulos isósceles
vértice
altura
base
base
pode mudar:
n˚ de faces laterais
Área da base
No PRISMA
OBLÍQUO
apótema
pode mudar:
…
…
PRISMA RETO
Hexaedro 6
Octaedro 8
12Dodecaedro
20
4
8
6
20
12
6
12
12
30
30Icosaedro
comprimento
larg
ura
vale a relação:
V + F = A + 2
D = a² + b² + c²
D = a 3
A = 6a²
V = a³
A = 2ab + 2bc + 2acV = a⋅b⋅c
Si = 360˚⋅(V - 2)
T
T
Área Lateral Área Total Volume
A = n⋅ a ⋅a 2
A = A + A V = 
a ² = H² + r²
a ² = H² + R²
A ⋅H
3T
LL
A = n⋅a ⋅HL B
A = A + 2⋅A
V = A ⋅H
T B
B
L
B
P
B
l
l
B
a ² = P+ a ²
a
2)( ²
aB
al
Euler
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Use as razões convenientes entre os 
segmentos da pirâmide ou do cone.
Jamais use o tronco para 
montar as razões.
Área da base da
pirâmide menor
Volume da
pirâmide menor
Volume da
pirâmide maior
Área da base da
pirâmide maior
Troncos de pirâmide ou cone
A secção do corte deve 
ser paralela a base!
SÓLIDOS SEMELHANTES E TRONCOS
SÓLIDOS DE 
REVOLUÇÃO
CONE
CILINDRO
ESFERA
aB
aL
a
g
g
2πR
g
d
b
a
H
H
H
H
H
H
h
V
Razões de Semelhança
Volume
do Tronco
g² = H² + R²
A = π⋅R⋅gL
A = 2⋅π⋅R⋅HL
A = A + 2⋅π⋅R²
V = π · R² · H
R² = d² + r²
A = 4⋅π⋅R²
π · R² · ��
 90˚A =
L
A = 2⋅R⋅H
H = 2R
SM
F
V =C
T
A = A + π⋅R²
V = π · R² ·H
3
LT
Área Lateral
Área Lateral
Área
Área Total
Área Total
A = R⋅H
g = 2R
SM
Área da Secção Meridiana
Cone Equilátero
Cone Equilátero
Área da Secção Meridiana
Volume
Volume
Volume
Secção Plana Área do Fuso Esférico
Volume da Cunha Esférica
Área da
base
Área da
base e da
tampa
Área do
retângulo
Área do setor
circular
vértice
raio
raio
raio
altura
altura
geratriz
É um círculo!
Raio da
secção
Raio da
esfera
A secção meridiana
é um quadrado.
A secção meridiana
é um triângulo
equilátero.
4
3V =
· π · R³
a
a = = = … = K
π · R³ · ��
 270˚
B
b A
A =
H
h
V
v
B
b
MAIOR
menor
Tronco
Área
Volume
MAIOR menor
a
a
H
h
L
l
== K³
= K²
a
a
L
l( )
³
² ( )
V = - vV
gg
l
R
RR
RR
2R
2R
R
R
R
r
Matemática
ESTATÍSTICA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Dados os seguintes valores de uma amostra:
22, 23, 18, 20, 18, 19, 18, 20, 23, 19. A idade de um grupo 
de 10 pessoas.
18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 22, 23, 23.
23, 23, 22, 20, 20, 19, 19, 18, 18, 18.
ou
Depende do número de valores! 
É o valor mais frequente!
Uma sequência pode ter mais 
de uma moda e também pode 
não ter nenhuma moda.
A soma dos quadrados da diferença entre cada valor e a 
média aritmética do conjunto de valores.
Número ímpar: é o valor central.
Número par: é a média aritmética dos 
dois valores que estiverem no centro.
18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 22, 23, 23.
MA = 19,5, logo, Mediana = 19,5. 
NÃO ESQUEÇA de organizar 
os valores em ordem crescente
ou decrescente.
18
Classe
19
20 
22 
23
total
3
2
2 
1
2
10
30%
20%
20%
10% 
20%
100%
23 - 18 = 5
Maior valor Menor valor 
São atributos, 
numéricos ou não, 
pesquisados em cada 
elemento de uma 
amostra.
Estatística
Rol
Distribuição de Frequência
Gráfico de Barras ou HistogramaGráfico de Linha Gráfico de Setores
MedianaMédia Aritmética Simples
Média Aritmética Ponderada
moda
Medidas de Dispersão
Medidas de Tendência Central
Variância
Desvio Padrão
Amplitude de uma
 Amostra Numérica
Frequência
Absoluta
Frequência
Relativa
Também pode ser
descrita na forma
decimal ou fracionária.
E aí, que tal
uma pizza?
Também podem
estar dispostas na
horizontal
As classes são
unitárias!
As classes são
intervalos reais!
Quantidade de valores 
É a raiz quadrada da variância!
DP = 3,6 1,897 
18·3 + 19·2 + 20·2 + 22·1 + 23·2MA =
MA =
3 + 2 + 2 + 1 + 2
MO = 18 
18 + 18 + 18 + 19 + 19 + 20 + 20 + 22 + 23 + 23
10
= 20
= 20
10
Soma de todos os pesos
Soma dos produtos entre os valores e os seus pesos
(18-20)² +(18-20)² +(18-20)² +(19-20)² +(19-20)² +(20-20)² +(20-20)² +(22-20)² +(23-20)² +(23-20)²
Cor docabelo;Altura;Idade.
População
= 3,6V =
=̃
Variáveis Estatísticas
Amostra
Matemática
INTRODUÇÃO
ÀS FUNÇÕES
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
CONJUNTO 
DE CHEGADA
DOMÍNIO 
(D)
CONJUNTO
DE PARTIDA
LEI DE
CORRESPONDÊNCIA
CONTRADOMÍNIO 
(CD)
É função!
NÃO é função!
Em uma função:
JAMAIS sobrarão 
elementos no conjunto 
de partida;
O denominador de uma fração 
jamais pode ser igual a zero!
É simétrica em relação ao eixo das 
ordenadas (eixo y)! 
O EIXO Y E A ORIGEM DO 
PLANO FUNCIONAM COMO 
UM ESPELHO PARA AS 
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES, 
RESPECTIVAMENTE.
É simétrica em relação à origem do
plano cartesiano!
Radical de índice PAR: radicando 
NÃO pode ser negativo!
Trace linhas horizontais 
sobre o gráfico.
Se alguma delas tocar o 
gráfico mais de uma vez, 
a função NÃO é injetora!
Somente funções bijetoras admitem 
a existência da função inversa!
É toda função que é 
simultaneamente injetora e 
sobrejetora.
Os gráficos das 
funções ƒ e ƒ-1 são 
simétricos em 
relação à bissetriz 
dos quadrantes 
ímpares.
Nem toda 
linha contínua
representa 
uma função!
IMAGEM (Im): é o conjunto formado 
pelos elementos do contradomínio que 
possuem correspondente no domínio.
Cada elemento do 
conjunto de partida 
possuirá um único 
elemento 
correspondente no 
conjunto de chegada.
ƒ: A → B
Casos peculiares
FUNÇÃO PAR
FUNÇÃO INJETORA
FUNÇÃO SOBREJETORA
FUNÇÃO BIJETORA
FUNÇÃO INVERSA
FUNÇÃO COMPOSTA
FUNÇÃO ÍMPAR
Sinal de uma função
Crescimento e decrescimento 
de uma função
Domínio e imagem através 
do gráfico
É função!
NÃO é função!
f(x) = 2x + 3
x - 2
x - 2 ≠0
CONTRADOMÍNIO
DOMÍNIO
ƒ(x) = ƒ(-x) 
ƒ(x) = -ƒ(-x) 
(g ƒ)(x) = g(ƒ(x))
x₁ ≠ x₂ → ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂)
Im(ƒ) = B
ƒ(x) = |x|ƒ(x) = x²Ex:
ƒ(x) = xƒ(x) = x³Ex:
x - 5 ≥ 0
A B
A B
A B
A B
²
D(ƒ) = - {2}
D(g) = {x | x ≥ 5}
D(h) = {x | x > 3}
x - 3 > 0
g(x) = x - 5
ƒ-1(x)
h(x) = 2x 
 x - 3
- --
+ +
int. às Funções
B
1
A
2
3
1
9
4
3
6
f
NÃO é sobrejetora!
Imagem = Contradomínio
É sobrejetora!
REGRA PRÁTICA 
²
˚
x83
-5, -2, 3 e 8 são as
raízes da função
-2-5
y
y
x
y
x
x
y y
x
x₁
A B A B
x₂
x₁
x₂
f(x₁)
f(x₂)
f(x₁)
x
y
5
1
Im(f)
1 6D(f) x
y
5
1
1 6
x530-2-5-7-10
y
y
x
- 7 < x < - 5 - 2 < x < 0 3 < x < 5
 -10 < x < - 7 0 < x < 3 CRESCENTE:
DECRESCENTE:
CONSTANTE:
- 5 < x < - 2
É injetora!
1º: Trocar x por y e y por x;
2º: Isolar y.
Ex: ƒ(x) = 2x + 3
y = 2x + 3 → x = 2y + 3 → y =
ƒ-¹(x) =Logo,
x - 3
2
NÃO é injetora!
1
2
3
y
x61
1
5
y
x
A B
1
2
3
4
5
A B
U
U
U
x - 3
2
.
Matemática
FUNÇÃO
AFIM
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Função afim
ou Função Polinomial do 1º Grau
Você pode obter o gráfico 
da função afim a partir DE 
dois pontos distintos! 
domínio
O gráfico da função linear é uma
reta que passa pela origem.
Sempre que a incógnita
ficar negativa, multiplique
a inequação por “– 1”.
Equivale a um sistema de 
duas inequações!
Como resolver?
Assista a videoaula e entenda
o método prático conhecido
como quadro de sinais.
Para calcular a raiz da
função afim, basta resolver
a equação do 1º grau.
Mas não esqueça de inverter 
o sinal de desigualdade!
Ponto em que a reta corta o 
eixo y.
Ponto em que a reta corta o 
eixo x.
contradomínio
Função linear
Função Constante 
Coeficiente Angular ou 
Declividade 
a < 0a > 0
a > 0
a < 0 
Reta 
crescente
Reta 
decrescente
taxa de variação
a =
a = = 2
f(x) = 0
= = tg B
B
A
A
y - y
x - x
∆y
∆x
4
2
Coeficiente Linear
Inequação do 1º Grau
Inequação Produto e 
Quociente Inequação Simultânea
Estudo do Sinal da 
Função Afim 
Raiz ou Zero da 
Função Afim
y
y
B
Ay
AX
A
B
BX X
y
x
y
x
xr
4
2
y
x
y
x
y
x
(0,y)
(x,0) 
_
*a e b com a ≠ 0
f:
ƒ(x) = 0
Se b = 0: ƒ(x) = ax
Se a = 0: ƒ(x) = b
4 - 3x ≤ x - 8 
(2x + 2)⋅(3 - x) < 0
2x - 4 - 2 < 3x - 1 < 4
3x - 1 > - 2
3x - 1 < 4{
x + 3
EX.:
EX.:
- 3x - x ≤ - 8 - 4 
- 4x ≤ - 12 · (-1)
4x ≥ 12
x ≥ 3
S = {x | x ≥ 3}
+
-
f(x) = 0
xr
+
-
EX.:
EX.:
ax + b = 0
< 0
ƒ(x) = ax + b
Matemática
FUNÇÃO
QUADRÁTICA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
ou Função Polinomial do 2º Grau
Concavidade da 
Parábola 
a > 0 a < 0 
b > 0
y y y
b = 0 b < 0
*a, b, c com a ≠ 0
(0, c)
y
Valor mínimo
Valor máximo
São os pontos em que a parábola corta o eixo x!
O ponto em que a
parábola corta o eixo y
Como resolver?
Para calcular as raízes da função 
quadrática, basta resolver a equação 
do 2º grau.
Raízes ou Zeros da Função Quadrática 
Vértice da Parábola
Coordenadas do Vértice
Estudo do sinal da Função Quadrática
Inequação do 2º Grau
Inequação Produto e Quociente
x
x
x
a > 0 a < 0 
Duas raízes reais 
e diferentes.
∆ > 0
Duas raízes
reais e iguais.
∆ = 0
Não há raízes 
reais.
∆ < 0
x
x
x
x
x
x
E tudo depende
do meu valor!
Utilize a fórmula quadrática 
ou as relações de soma e 
produto na busca pelas raízes!
Não esqueça de começar 
pela relação de produto!
Olha eu aí
de novo!
x
x₁ + x₂ = -ba
x₁ · x₂ =
x² - 8x + 15 < 0
V (x , y )v v
V - -,b
2a
∆
4a)(
c
a
x
y
Yv
Xv
V
x
y
Yv
Xv
V
a > 0 
ƒ(x) = 0 
ƒ(x) = 0 
ƒ(x) = 0 
ƒ(x) = 0 
a < 0 
-
-
-
-
---------
-
x
x
Realize o estudo do sinal da função ƒ(x) 
pensando na condição dada.
Assista a videoaula e entenda o método 
prático conhecido como quadro de sinais.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
x₁ x₂
x₁ x₂
x₁ x₂
x₁ x₂
x₁ = x₂
x₁ = x₂
x₁ = x₂
x₁ = x₂
∆ = b² - 4ac
∆ = b² - 4ac
ax² + bx + c = 0
ƒ(x) = ax² + bx + c
-b ± ∆
2ax =
+
++
+
++++++++
+
Se x₁ ≠ x₂, x é o ponto médio
entre x₁ e x₂.
v
vSe x₁ = x₂, então x = x₁ = x₂.
Ex.:
f (x)
bhaskara akaria
Matemática
EXPONENCIAL
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Tenha em mente as 
principais propriedades 
da potenciação!
É toda equação cuja incógnita aparece no expoente.
Mantém o sinal de desigualdade!
Inverte o sinal de desigualdade!
É toda inequação cuja incógnita aparece no expoente.
Função Decrescente
FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Funções do tipo
Exponencial
Função Crescente
Equação Exponencial Inequação Exponencial
domínio
contradomínio
x
x
x
a > 1: a > a b > c
0 < a < 1: a > a b < c
b
b c
c
ƒ(x) = b⋅a
ƒ(x) = b + a
ƒ(x) = a
x
0 < a ≠ 1 
0 < a < 1 a > 1 
0 1
f:
Exponencial
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
P6.
P7.
P8.
Se possível, reduza os dois membros da 
equação a potências de mesma base. Ao reduzir os dois membros da inequação a 
potências de mesma base:
Ex.:
Ex.:
3 = 243
3 = 3
x = 5
243
81
27
9
3
1
3
3
3
3
3
3
x
x 5 5
a = a x₁ = x₂
y y
1 1
x x
x
y
2
x
O gráfico sempre corta 
o eixo y no ponto (0, 1).
O gráfico fica muito
próximo do eixo x, mas
jamais irá toca-lo!
ƒ(x) = 1 + 2
FIQUE ATENTO
a · a = a m m + nn
m
m - n
n
a
a = a
n n n(a · b) = a · b 
m n(a ) = a m · n
_ _
n
n
na
b
a
b=( )
(a ≠ 0)_n
 1
aa =
-n
(a > 0 e n > 1)
_ mna a=
m
n
_
-na
b =( ) _
nb
a( )
x₁ x₂
Matemática
LOGARITMOS
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Só vale para os
logaritmos decimais!
O gráfico sempre
corta o eixo x no
ponto (1, 0).
Escolha convenientemente
um valor real maior que
zero e diferente de 1!!
Não esqueça das principais
propriedades da potenciação!
Lembre-se sempre de verificar se a 
solução encontrada satisfaz as 
condições de existência do logaritmo!
Estou treinando 
para pular na frente 
do logaritmo! 
Não esqueça das condições
de existência do logaritmo!
Utilize a mudança de variável
quando for conveniente!
e = 2,718281...˜
Aplique o logaritmo conveniente 
de ambos os lados da igualdade.
log b = x a = b a
c
c
a
x
LOGARITMANDO: b > 0 
LOGARITMO
BASE: a > 0 e a ≠ 1
log 0,01 = -2
log 0,1 = -1
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
alog a = 1
0 < a <1 a > 1
log blog b = log a
0 1
0
log x = log₁₀ x e
log (b·c) = log b + log ca aa
2f(x) = log x
a
b ≠ (log b)log a an n
log = log b - log caa a( )bc_
f(x) = log x1
2
_
log b = n·log b a a
n
ƒ(x) = log xa
a
Logaritmos
ln x = log x
x > 0
0 < a ≠ 1
log b = x
log b = log c b = ca a
alog b
a
alog 1 = 0
log a = 1
a = b
Logaritmo Decimal
Propriedades operatórias dos logaritmos
Função logarítmica
Mudança de base
Logaritmo Natural 
(Neperiano)
Inequações logarítmicas
Equações e inequações exponenciais com 
logaritmos
Equações logarítmicas
Logaritmo do 
produto
Função 
Decrescente
Função 
Crescente
Logaritmo do 
quociente
Logaritmo da 
potência
aTipo log ƒ(x) > log g(x)
y
1 x
y
1 x
a > 1: log ƒ(x) > k ƒ(x) > aa k
0 < a < 1: log ƒ(x) > k ƒ(x) < a a k
0 < a < 1: log ƒ(x) > log g(x) ƒ(x) < g(x) a a
a > 1: log ƒ(x) > log g(x) ƒ(x) > g(x)a a
Tipo log ƒ(x) > ka
Euler
Matemática
 ANÁLISE
COMBINATÓRIA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
A ordem dos elementos importa.
Forme um dos grupos sugeridos pelo problema;
número de vezes que cada elemento se repete
total de elementos
número natural n ≥ 2
letras diferentes
algumas letras se 
repetem
Usa parte dos elementos do conjunto.
ESCOLA
BANANA
É a permutação ou troca de posiçãoentre as letras de uma palavra.
A ordem dos elementos é desconsiderada.
C de Continua, C de Combinação!
Assista a videoaula de aprofundamento e 
estude o método dos pontos e traços!
Combinação de n elementos
escolhidos p a p
Altere a ordem dessa formação;
Surgiu algum agrupamento diferente?
Você pode resolver qualquer questão 
que envolve arranjo por PFC!
A de Altera, A de Arranjo!
É o produto de duas ou mais etapas independentes. 
Usa todos os elementos do conjunto.
A ordem dos elementos importa.
Fique atento às restrições
impostas pelo problema!
Arranjo de n elementos
escolhidos p a p
Usa parte dos elementos do conjunto.
2 ⋅ 3 = 6 possibilidades de trajeto
p
n n,pA =A =
nP = n!
P₆ = 6! = 720
3
6
, 2 =P 6!3! · 2!
= 60
n!
(n - p)!
Análise Combinatória
Fatorial
Arranjo Simples
Como diferenciar arranjo de combinação?
Combinação
Permutação Circular
Combinação com Repetição
Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC) 
Permutação Simples
Permutação com Repetição
Anagrama
ou Princípio Multiplicativo
Permutação Simples1º
2º
3º
Permutação com RepetiçãoArranjo.SIM Combinação.NÃO
n,pC = n!(n - p)! p!
p
nC =
ou
e multiplicação
adição
a
n
, b, c, ... =P n!a! · b! · c! · ...
n ≥ 3
Permutação Simples
n = n!n
P
nx =
Cidade A Cidade B 2! = 2 ⋅ 1 = 2ex.:
0! = 1
1! = 1
(- 6)! = 
- 6! = - 720
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
E\
Cidade C
Matemática
PROBABILIDADE
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
número de casos favoráveis
forma 
fracionária forma percentual
forma decimal
número de casos possíveis
DEFINIÇÕES 
IMPORTANTES
Retiradas
Simultâneas
Evento (A) 
Cara Coroa
P(E) = 1 = 100%
P(A)=
evento
No lançamento de uma moeda, o resultado obtido 
depende exclusivamente do acaso.
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório.
A probabilidade de ocorrer o evento A
sabendo que já ocorreu o evento B
Se achar melhor, utilize a lógica
vista em aula para resolver os
exercícios de probabilidade
condicional! 
Ex.: ocorrência de 
coroa.
Evento 
Complementar (A) 
Ex.: ocorrência de 
cara.
a b
b
e
e
a
condição
0 ≤ P(A) ≤ 1
Ex.: = 0,4 = 40%25
P(A) + P(A) = 1
_
“e”“ou”
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(Ø) = 0 = 0%
P(A ∩ B)
P(B)P(A|B) =
Dica
NInja!
Retiradas 
sucessivas e 
sem reposição.
Caso A ∩ B = Ø, dizemos que os 
eventos A e B são mutuamente 
exclusivos (disjuntos).
Probabilidade
Representação
Probabilidade Condicional
Probabilidade da 
União de Dois Eventos
Experimento Aleatório
Espaço Amostral (E)
Probabilidade de
Eventos Simultâneos
e independentes
Evento 
Certo
Evento
Impossível
_
P(A) = 1,2
Matemática
BINÔMIO
DE NEWTON
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
(x + a)n
= C pn
é um número natural 
com x, a 
com n e p naturais
e n ≥ p 
Potências de a
crescem de 0 a n
Potências de x
decrescem de n a 0
O expoente de x somado ao 
expoente de a é igual a n
Numa mesma linha do Triângulo de 
Pascal, dois números equidistantes 
dos extremos são iguais.
A soma dos coeficientes na mesma linha é igual a 2 .
Número Binomial
Binomiais Complementares
Fórmula do termo geral
Relação de Stifel
Igualdade dos
Números Binomiais
Para não esquecer!
ou coeficiente binomial
7
5
5
2
5
2
5
2
5
3
7
2
São números binomiais de mesmo numerador
e cuja soma dos denominadores é igual ao 
numerador.
Qual é o 4º termo no desenvolvimento de (x + 2)⁵ ?
e
=
ex.:
ex.:
ex.:
Só faz sentido obter o termo central no 
desenvolvimento de um binômio quando n é par. 
Caso n seja ímpar, não há termo central.
Quando o valor de a é negativo, acontece uma alternância 
de sinais no desenvolvimento do binômio de Newton.
 2¹ = 2 = 1 + 1
1
1 + 1
1 + 2 1
1 3 + 3 1
 1 4 6 4 1...
…
Binômio de Newton
( )
( ) ( ) ( )
5
3( )
( )
n
k( )
( )
n
p( )
n
0( )
ou ==
= 1 n1( )= n nn( )= 1
n
p( ) ( )= +n - 1p - 1 ( )n - 1p
Tk + 1
T₄
T₄T₃T₂T₁
T₄ =
T₄ =
T₄ = 80x²
· x2 · 85!
3! (5 - 3)!
k + 1 = 4 k = 3
n
p( )= C = n!p! (n-p)!pn
· x n - k k· a
· x⁵ ³ · 2³-
(x - a)3 = + 1x3a⁰ - 3x²a1 + 3x1a² - 1x⁰a³
( )00
( )21
( )10 ( )11
( )22( )20
( )42 ( )43 ( )44( )41
( )31( )30
( )40
( )33( )32
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n
São sempre
n + 1 termos
(x + a)³ = 1x³a⁰ + 3x²a¹ + 3x¹a² + 1x⁰a³
n
denominador
numerador 
1 + 2 = 3
a
n
Matemática
TRIGONOMETRIA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
38 professorferretto.com.br/
MATEMÁTICA
professor
ferretto
VocÊ Sabia?
arco cujo 
comprimento é 
igual ao do raio 
da circunferência
1 radiano mede 
aproximadamente 
57,3˚.
Divida o valor dos
minutos por 2!
Não está definida para Não está definida para
Utilize quando 
conhecer 2 
ângulos e 1 lado.
Quando NÃO É
um triângulo
retângulo
Utilize quando
conhecer 2 lados 
e 1 ângulo.
Quanto 
FALTA
para 180˚?
Quanto 
PASSA
de 180˚?
Quanto 
FALTA
para 360˚?
Lindo Alfa Romeo
Qual é o menor 
ângulo entre os 
ponteiros do relógio?
CA
HIP
c
a= =
b
a
-1 ≤ sen���� ≤ 1
-1 ≤ cos ��� ≤ 1
 [0, 2π]
cos �� = COHIPsen �� =
= ac
a
b
c
π
2
1
cos ���sec ��� =
 =
= COCA =
b
c
ou
sen 
cos tg ���� = =
c
b
1
tg ���cotg ��� =
= ab
1
sen ���cossec ��� =
sen(2x) = 2⋅sen(x)⋅cos(x)
cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
a² = b² + c² - 2·b·c ·cos Âa
sen Â
= 2R= =
cos² + sen² = 1
sec² = 1 + tg²
cossec² = 1 + cotg²
b
sen B
c
sen C b² = a² + c² - 2·a·c ·cos B
c² = a² + b² - 2·a·b ·cos C
tg(2x) = 2 · tg(x)
1 - tg²(x)
180˚ π RAD
Trigonometria
Radiano
Comprimento do Arco
Ângulos no Relógio
Razões Trigonométricas
Sinal nos Quadrantes
Lei dos Senos Arco DuploLei dos Cossenos
Relação Fundamental 
da Trigonometria
Seno/Cossecante Cosseno/Secante Tangente/
Cotangente
seno
Cosseno
tangente
3o˚ 45˚ 60˚
1
2
 3
2
 3
3
 2
2
 3
2
 3
1
2
 2
2
1
3π
2
 = 0 2π ou = π== =
l = ⋅R 
}
l
R
ro
1RAD
em radianos!!
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
F
FP
7π
4
1
2
1
tg
3
+
-
5π
3
2
2 
3
2 
1/2
cos
sen
2/2
3/2
3
3 
3π
2
4π
3
5π
6
3π
4
2π
3
π
2 π
3 π
4
π
6
5π
4
7π
6
π
(-1,0)
(0,1)
(1,0)
(0,-1)
11π
6
Q1Q2
Q3 Q4
+
+
-
-
+
+
-
-
++
--
B
A
C
c
b
a
B
A
C
c
R
b
a
1211
10
9
8
7 6 5
4
3
30º2
1
z z
z
z z
z
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
VALE PARA SENO E COSSENO!
ƒ: →
É uma função
ímpar!
ƒ(x) = sen x
sen x = - sen (-x)
Im(ƒ) = [-1, 1]
cos(a ± b) = cos(a)⋅cos(b) sen(a)⋅sen(b)
sen(a ± b) = sen(a)⋅cos(b) ± sen(b)⋅cos(a)
tg(a ± b) =
tg(a) ± tg(b)
1 tg(a) · tg(b) 
Seno da Soma ou Diferença
Cosseno da Soma ou Diferença
Função Seno
Funções Períodicas
Utilize artifícios matemáticos para chegar nas
 equações trigonométricas fundamentais!
Equações Trigonométricas
Redutíveis às Fundamentais
Encontre a solução geral e 
depois atribua valores convenientes a k!
Equações Trigonométricas em
um Intervalo Definido
Tangente da Soma ou
Diferença
domínio
... seno a cosseno b, seno b cosseno a.
Coça a, coça b. Troca o sinal. Sem o a sabê.
É uma função
par!
ƒ(x) = cos x
cos x = cos (-x)
Função Cosseno
contradomínio
ƒ(x) = tg x
É uma função
ímpar!
É sempre
crescente!
tg x = - tg (-x)
ƒ: D →
Im(ƒ) =
D = x | x ≠ + kπ, k
π
2 }{
Função Tangente
tangentoide
Período = π
π
|c|P =
Im = [a - b, a + b]y = a + b⋅sen (c⋅x + d)
y = a + b⋅cos (c⋅x + d)
Outras funções tipo Seno/Cosseno
d > 0: a curva se 
desloca para a esquerda
d < 0: a curva se 
desloca para a direita
Sempre
positivo!
2π
|c|P =
Represente a 
situação no ciclo 
trigonométrico!
Ex: sen x > ½, considerando o intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. 
Inequações Trigonométricas
S = x
π
6 < x <
5π
6 }{
sen x = a cos x = a tg x = a
Equações Trigonométricas Fundamentais
x e
+ ou
±
±→
→
|
senoide
Período = 2π
π/2 3π/2 2π xπ0
-1
1
y
+
-
cossenoide
Período = 2π
π/2 3π/2 2π xπ0
-1
1
y
+ +
-
x = ���� + 2kπ 
 x = π - ���� + 2kπ;
k
k k
x = ± ��� + 2kπ; x = ��� + kπ;
x x
a
π -
-
x
ax x
x
a
tg
π +
-π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 5π/4 3π/2 xπ0
-1
1
y
++
--
1/2 π/6 5π/6 
ou
Minha terra tem palmeiras
onde canta o sabiá...
Matemática
MATRIZES
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
 A = (a ) tal que a =
Possuem a mesma
dimensão e elementos
correspondentes iguais.
Troque o sinal de cada
um dos elementos! 
Opere os elementos que estão na mesma posição.
Multiplique tal número por todos os 
elementos da matriz.
A operação de divisão não é definida
para as matrizes.matriz quadrada de ordem n
Se uma matriz não
for inversível, dizemos 
que ela é uma
matriz singular.
Só é possível quando o número de colunas da primeira 
matriz for igual ao número de linhas da segunda.
A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação.
elementos da diagonal
principal DEVEM ser
iguais a zero
1º índice é sempre linha e o
i é sempre linha e j é sempre coluna 
2º índice é sempre coluna 
Am x n
Matrizes
Lei de Formação
Matriz Linha
Matriz Coluna
Matriz Nula
Matriz Identidade
Matriz Diagonal
Matriz Simétrica
Matriz Antissimétrica
Multiplicação de Matrizes
Adição/Subtração
Produto de um Número por uma Matriz
Divisão
ou Matriz Unidade
Propriedades das Matrizes
Matriz Inversa
Matriz Quadrada
Matriz Transposta
Matriz Oposta
Operações com Matrizes
Matrizes Iguais
Tipos de matrizes
matriz diagonal
matriz quadrada
matriz quadrada
linhas
número de linhas
é igual ao número
de colunas
colunas
dimensão
da matriz
São tabelas!
posição
na linha
Diagonal
Principal 
Diagonal
Secundária
posição na
coluna
1
0
0
2
0
0
0
4
0
0
0
8
(1 2 3 5)A₁ ₄ =x
A₂ ₁ =x
x
x
A₃ ₂ =x
A₃ =
I₃ =
A₃ =
a₁₁, a₂₂, a₃₃, ...
índices iguais
A = (0 3 8)₁ ₃
0
0
0
3
0
-3
3
5
-7
1
 2
3/2
1
-5
2
2
4
-6
A =
A a₃₁ = -7=
=
a₁₁
a₂₁
a₁₂
a₂₂ a₂₃
3 x 2
a₁₃
i + j, se i ≥ j
i - 2j, se i < j
2
3 4
-3
-4
-5
0
0
0
0
3
8
5
-4
6
12
8
4]
)
))(
][
(
(
][
[
0
1
0
0
0
1
A × A ¹ = I
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
A =
A · B =
A₂ ₂ · B₂ ₃ = C₂ ₃
3
-2
1
2
3
-2
1
2
5
1
16
-8
6
0
18
-12
-2
3
-3
10
B = 5
1
6
0
-2
3
e
AB ≠ BA
2x3ij ij( )
Dada a matriz
( (
{
) )
1 x n n x n
A = At
A = -At
m x 1
A₃ =
A =
A =
-5
4
-6
-12
- A =
2
1
-3
1
5
8
-3
8
-6 ][
matriz quadrada
A₃ =
0
-1
-3
1
0
8
3
-8
0 ][
₃ ₁
t
[
[
[
16
-8
18
-12
-3
10[ ]
][ ]
]
]
-
xxx
+-
x
n
A e B comutam quando AB = BA.
matriz identidade
Matemática
DETERMINANTES
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
det M = det M
Só podem ser calculados em 
matrizes quadradas! 
É o próprio elemento da matriz!
Utilize a Regra de Sarrus!
Utilize quando encontrar uma matriz com 
muitos zeros em alguma de suas filas!
Assista as videoaulas 
para entender os 
métodos!
Utilize quando as filas das matrizes não 
possuem vários zeros.
Se M é uma matriz quadrada de
ordem n e é inversível, então: 
Condição de existência 
da matriz inversa!
A Matriz das Potências!
elementos 
característicos 
da matriz
Duas barras verticais 
indicam que é um 
determinante!
Determinantes
Matriz Transposta Troca de Filas
Fila NulaDeterminante de Ordem 1
Determinante de Ordem 2
Determinante de Ordem 4
Determinante de Ordem 3
MACETE para o cálculo da inversa 
em uma matriz 2x2
Filas 
Proporcionais Filas Iguais
Combinação Linear 
de Filas Paralelas
Matriz 
Triangular
Multiplicação de 
uma fila por k
Matriz de Vandermonde
TEOREMA DE
 JACOBI
TEOREMA DE 
BINET
TEOREMA DA 
MATRIZ INVERSA
Propriedades dos Determinantes
3
1
4
2
1
0
5
9
0
4
3
0
3
1
2
5
2
4
10
3
2
6
4
1
4
6
4
6
7
5
7
= 2
3
1
4
2
= 3·2 - 1·4 = 2
= 9 + 16 + 0 - 24 - 0 - 108 = -107
3
4
1
2
= 2
det[2] = |2| = 2
1
4
2
2
3
3
3
7
5
= 0
+ =
+ =
+ =
1
9
1
4
3
0
1
3
6
2
7
8
4
5
2
1
0
6
2
1
8
4
-7
2
= -50
det M ≠ 0
x(-3)
+ = 
8
4
3
= -10 7
= 0= 0
5
0
0
6
4
0
2
5
1
1
9
1
4
3
0
1
2
4
8
2⁰
2¹
2²
2³
1⁰
1¹
1²
1³
5⁰
5¹
5²
5³
(-3)⁰
(-3)¹
(-3)²
(-3)³
V = (2, 1, -3, 5)
det A = 4
troca
sinal
troca
Posição
6
2
1
1
A =
1
det M
1
-2
-1
6
det V = (5 - 2)(5 - 1)(5 + 3)(-3 - 2)(-3 - 1)(1 - 2) = -1920
1
1
1
1
1
-3
9
-27
1
5
25
125
8
4
3
1
9
1
4
3
0
= 5⋅4⋅1 = 20
= 0
3
1
4
2
= 2 1
3
2
4
= -2
t
det (k⋅M) = k ⋅ det Mn
det (A⋅B) = det A ⋅ det B
det A = (det A)n n
det M' = – det M
det M' = k⋅det M
3
1
4
2
= 2 3
1
8
4
= 4
Ex.:
-1 1
4 .
A =
det M =
A =
1/₄ -1/₄
³/₂-1/₂
-1
-1
(
(
( )
)
)( )
)(
Teorema de Laplace
Regra de Chió
Se M é uma matriz 
de ordem n, então
Os determinantes são equivalentes!
x 2
x 2
x 2
Pierre-Simon Laplace
Matemática
SISTEMAS
LINEARES
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
A solução de um sistema
linear DEVE satisfazer
todas as suas equações.termo independente da equação
coeficiente real
Toda solução de um é solução
do outro e vice-versa.
matriz dos coeficientes
incógnitas
Multiplicar por k, k *, ambos os 
lados de uma equação;
Substituir uma equação do sistema pela 
soma dela com alguma outra equação;
Trocar a posição das equações do 
sistema.
O sistema admite a solução nula e 
OUTRAS infinitas soluções.
O sistema admite
APENAS a solução nula.
Solução Trivial ou Imprópria Soluções Não Triviais ou Próprias
O número de incógnitas deve ser 
igual ao número de equações!
matriz
quadrada
Substitua a condição dada no 
sistema para verificar!
Possui infinitas soluções.
Não há solução.
- solução única
Possui uma única solução.
Sempre admitem a solução nula!
termos 
independentes
das equações
todos os termos devem
ter apenas uma incógnita
todos os
expoentes das
incógnitas
devem ser
iguais a 1
4x + y + 3z = 5
5y – 2z = 4
3z = 9
2x² + 3x – 2 = 0
2x + 3y = 2
3x + 5y - z = 6
x + 2y + z = 1
3x + 5z = 7
x – 2y = 5
2
1
3
-2
xy – 2z = 8
Sistemas lineares
Escalonamento de Sistemas Lineares
Regra de Cramer
Sistemas Lineares Homogêneos
Representação Matricial de um 
Sistema Linear
Classificação dos Sistemas Lineares
Discutindo um Sistema Linear
Sistemas Lineares Equivalentes
Recursos para Escalonar um
Sistema Linear
Possível Indeterminado (SPI)
Impossível (SI)
Possível Determinado (SPD)
NÃO É Equação Linear
Sistema
Linear
ax + by = e
D =
Ex: S = {(3, 4, 5)}.
Ex: 0x + 0y + 0z = 0.
Ex: 0x + 0y + 0z = 5.
D =x
x
D =yac
a
c
e
f
e
f
b
d
x = DD
b
d
cx + dy = f
x + y = 0
3x – y = 0
D ≠ 0 SPD
D ≠ 0 SPD
D = 0 SPI ou SI?
D = 0 SPI
) xy)( ( 25=· )(
Caso 2x2:
Solução:
Obtenha:
yy = DD
São conjuntos de m equações lineares 
e n incógnitas.
JAM
AIS
 SE
Rão
IMP
OS
SÍV
Eis
Matemática
GEOMETRIA
ANALÍTICA
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Meridiano
de greenwich
equador
Você sabia?
*a, b e c com a e b não 
nulos simultaneamente!
A ordem é indiferente!
Mediana relativa 
ao lado BC ou ao 
vértice A.
É o ponto de 
encontro das três 
medianas!
ruas
paralelas
Retas Perpendiculares
ruas perpendiculares
A ordem dos vértices no 
determinante é indiferente!
Escrita em função de uma terceira 
variável denominada parâmetro.
A mediatriz é uma reta que passa 
no ponto médio de um segmento 
de reta e é perpendicular a ele.
ax + by + c = 0
y = mx + n
∆y
∆x
x = 1 + t
y = 3 - 2t
y - y 
x - x m = tg �� =
EX.:
x + x 
2x =M
y =M
A B
1
2
· |D|A =
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
m > 0 m < 0 m = 0
y = y₀
m = E/
x = x₀
D =
x + x + x 
2x =G
A CB
A
A
B
B
y + y + y 
2y =G
A CB
y + y 
2
A Bd = (x - x )² + (y - y )²
Geometria Analítica
Distância entre dois pontos
Ponto médio de um segmento
Mediana de 
um triângulo
Área do triângulo 
Condição de 
alinhamento 
de três pontos
Equação segmentária 
da reta
Equação 
paramétrica da reta
Posição relativa 
entre retas
Distância entre ponto e reta
Intersecção de duas
retas/circunferências
Equação geral da reta
Equação 
reduzida da reta
Coeficiente Angular Reta com declividade 
e ponto conhecidos
Coeficiente 
Linear
Área de um polígono convexo
Baricentro de um triângulo 
A ordem é indiferente!
x
p
r//s m = m
r s m = - 1m 
y
q+ = 1xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
= 0
y - y₀ = m(x - x₀)
P(x₀, y₀) ax + by + c = 0
d = P, r
|ax₀ + by₀ + c|
a² + b²
Intersecção Sistema 
Assista a videoaula 
para saber mais!
Isole t em uma das 
equações e subtitua 
na outra!
Calcule o MMC e 
iguale a equação 
a zero!
A ordem dos vértices no 
determinante importa! 
=
r
r
s
s
rP
P’
AB B A B A
y
x
y
x
y
y y
q
p x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
xx₀
y₀
y
A
 ∆x
∆y
B
C
C C
n
D
EA
M M
G
MB
A
MC
M
M
A A
A
A
d
B
B
B B
B (x , y )B B
C (x , y )C C
A (x , y )A A
B
A
B
xxBxA
yA
yB
y
x
r
r s
s
T
Retas Paralelas
Isole y
yA
xA xB
xA xB
yB
yA
yM
xM
yB
AB
{
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
R₁ é o maior
FIQUE ATENTO
Ângulo entre duas retas Equação reduzida da circunferência
Equação geral da circunferência
Posição relativa entre 
ponto e circunferência
Posição relativa entre duas circunferências
Posição relativa entre 
reta e circunferência
CIRCUNFERÊNCIA
θ é o ângulo agudo. Para calcular o
ângulo obtuso entre duas retas, 
obtenha θ e lembre que θ + β = 180˚.
Substitua as coordenadas deste ponto na 
equação geral ou reduzida da circunferência!
Utilize a fórmula da distância entre ponto e reta!
Calcule quando as duas 
retas r e s são concorrentes 
e não perpendiculares!
Para que esta 
equação represente 
uma circunferência:
Quando A = B ≠ 1, você deve dividir 
toda a equação pelo valor de A ou de B.
Desenvolva os termos 
elevados ao quadrado
Quando uma das retas é vertical
Quando nenhuma das retas é vertical
P pertence à
circunferência
P é externo à
circunferência
P é interno à
circunferência
Tangentes
Externas
Tangentes
Internas Externas Secantes Internas Concêntricas
Reta Tangente
Reta Externa
Reta SecanteComo descobrir a posição 
relativa do ponto P em 
relação a circunferência � ?
Como descobrir a posição relativa da 
reta r em relação a circunferência � ?
d = R₁ + R₂OC d = R₁ - R₂OC
= 0 P ��
> 0 P é externo
< 0 P é interno
(x - x )² + (y - y )² - R² = 0
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = R²
A = B
C = 0
(x - x )² + (y - y )² = R²
P C
r
P C
d > R₁ + R₂OC
d = RPC
d = RC,r
d > RC,r
d < RC,r
d > RPC
d < R
R₁ R₂ R₁ R₂CO
R
C
R
R R
R
R
C
C
C
y
yc
x xr
s
r
rs
s
y
y
x
x
c
P (x, y)
β
β
θ
θ
θ
θ
C
C
C
r
r
r
P
P
P
C C C CO O O O O
PC
d < R₁ + R₂OC d < R₁ - R₂OC d = 0OC
mr ≠ ms
θ + β = 180˚
tg θ = 1
m 
r s
r s
tg θ = m - m 1 + m · m 
C C
D
-2
x =
R = x ² + y ² - F
C
E
-2
y =C
C C
R
Matemática
CÔNICAS
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
elipse
elipse Hipérbole
HipérboleParábola
Quando elipse e hipérbole estão
centradas na origem, x₀ = 0 e y₀ = 0.
O → centro
F₁ e F₂ → focos
A₁A₂ → eixo maior: mede 2a.
B₁B₂ → eixo menor: mede 2b.
F₁F₂ → distância focal: mede 2c.
*a, b e c são sempre
valores positivos.
F → foco
d → diretriz
p → parâmetro
V(x , y )→ vértice
VF → c
O → centro
A₁ e A₂ → vértices
F₁ e F₂ → focos
A₁A₂ → eixo real: mede 2a.
B₁B₂ → eixo imaginário: mede 2b.
F₁F₂ → distância focal: mede 2c.
Quando a parábola está centrada
na origem, x = 0 e y = 0.
quando o centro é 
na origem
onde corta o eixo y
eixo de
simetria
Utilize o método de completar 
quadrados para obter a 
equação reduzida das cônicas
a partir de sua equação geral!
Cônicas
Assíntotas da 
hipérbole (l₁ e l₂)
Excentricidade Hipérbole
Equilátera
Elipse
Parábola
Hipérbole
a² = b² + c² c² = a² + b²
PF = Pd
PF₁ + PF₂ = 2a PF₁ - PF₂ = 2a
(x - x )² = 4c(y - y )v v
v v(y - y )² = 4c(x - x )
(y - y )² = -4c(x - x )
(x - x )² = -4c(y - y )
l₁: y = mx + n a = b → m = 1
l₂: y = -mx + n
 n = 0
l₁: y = x
l₂: y = -x 
m = ba
v v
v v
c = p
2
(y - y₀)²
a²
(x - x₀)²
b²
= 1-
(y - y₀)²
a²
(x - x₀)²
b²
= 1+ (y - y₀)²
b²
(x - x₀)²
a²
= 1-
(y - y₀)²
b²
(x - x₀)²
a²
= 1+
e = 
B₁
A₁
F₁ O O
B₂
B₁
B₂
A₂
F₂ A₁F₁ A₂ F₂
0 < e < 1 e > 1
c
a
c
ab
c
a
b
l₁l₂
v
v v
v
O’
O’
O’
O’ A₁
F₁
x₀ x0 x₀ x
y
y₀
y
y₀
0x₀ x0
x₀ x
y₀
y₀
y
y
0
A₂
A₁ A₂
F₂
A₁
F₁
A₂
A₁ A₂
A₁ A₂
F₂
F₁
d
d
d
p
F
F
V
V
F
d
V F
d
VF
V
F₂
x
y
0
F₁ F₂
B₁ B₂
B₁
B₂
B₁
B₂
F₁ F₂
Matemática
MÓDULO
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Módulo
x, se x ≥ 0
- x, se x < 0{|x|=
Geometricamente, o módulo é a
distância do número até a origem.
Propriedades do Módulo de um Número Real
P1.
P2.
P3.
P4.
P5.
P6.
P7.
P8.
|x| ≥ 0 
|x| = 0 x = 0
|x|⋅|y| = |xy|
|x|2 = |x2| = x2
|x| = |– x|
|2x - 1| = 3
2x - 1 = 3
2x = 3 + 1
2x = 4 
x = 2
2x - 1 = - 3
2x = - 3 + 1
2x = - 2 
x = - 1
Ex: 5 = |5| e - 2 < |- 2|
x ≤ |x|
|x + y| ≤ |x| + |y|
ƒ(x) = |x|
ƒ:
 x2 = |x|
x
y
x
f
gy
x
3
2
-2
1
1-1 0-2 2 3-3 -1
f
y
x
3
2
1
-2
1-1-2 2 3-3
-1
0
g
Logo: 
ou 
|x| < k -k < x < k |x| > k x > k ou x < -k
S = {- 1, 2}
a = b ou a = - b
|a| = |b|
- 4 < x - 1 < 4
Ex: |x – 1| < 4
- 4 + 1 < x < 4 + 1
- 3 < x < 5
3 ou -3
EX.:
número não
negativo
número
negativo
módulo é igual ao
oposto do número
5 unidades
3 unidades
seja positivo!
módulo é igual ao
próprio número|5| = 5
ƒ(x) =|x|+ 2
g(x)
g(x)
ƒ(x) =|x + 2|
|-3| = 3
0 5
0-3
Essa é perigosa!
Domínio
contradomínio
Você pode rebater a 
parte negativa do 
gráfico!
Realize a translação 
do gráfico!
São equações em que a incógnita aparece dentro de módulos.
São inequações que envolvem a incógnita em um módulo.
Utilize a definição de módulo e as suas 
propriedades para resolver equações 
modulares!
Observe a inequação 
dada e determine em 
qual propriedade ela 
se encaixa! 
Função Modular
Gráficos que envolvem a Função Modular
Inequações Modulares 
Equações Modulares
PROPRIEDADES
k-k x
4-4 x
k-k x
S = {x |- 3 < x < 5}
Matemática
NÚMEROS
COMPLEXOS
essa
 é
barb
ada!
Vem com
a Gente
aqui!
TIME DO FERRETTO
MATEMÁTICA
professor
ferretto
www.professorferretto.com.br/
Unidade
Imaginária
Plano de ARGAND-GAUSS 
Igualdade entre números complexos
Operações com números complexos
Operações na forma trigonométrica ou polar 
Multiplicação 
Adição e 
Subtração 
Conjugado 
Multiplicação
Divisão 
Divisão
Potenciação
NORMA
= .
1ª fórmula de Moivre 
Deve ser medido sempre no 
sentido anti-horário.
Dois números complexos são iguais se 
possuírem suas partes reais iguais e suas 
partes imaginárias também iguais.
Some/subtraia “termo real” com “termo real"
e “termo imaginário” com “termo imaginário”. 
Troca o sinal da parte imaginária!
Utilize a propriedade distributiva! 
Multiplique o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador!
Seria muito 
trabalhosa na 
forma algébrica 
As potências de i se repetem de 4 em 4. Ao se deparar com 
um expoente elevado, divida-o por 4 e eleve i ao resto!
i
z = a + bi
z = a - bi-
z = (a, b)
ex.:
É verdade!
Ele é o maior 
conjunto 
numérico!
ex.:
Parte Real Parte 
Imaginária
É um
número real!
É um número
imaginário puro!
Re(z) = a
Im(z) = b
ou
com a, b
=
+-
x
x
÷
÷
z · z = (a + bi)·(a - bi) = a² + b²
_
_
z₂
z₂
_z₁
z₂
_z₁
z₂
_
MÓDULO: |z|