3) Seja m um inteiro positivo, prove que: a) “a relação de congruência no módulo m é reflexiva.” b) “a relação de congruência no módulo m é simétri...

a) Para provar que a relação de congruência no módulo m é reflexiva, precisamos mostrar que para todo inteiro a, a ≡ a (mod m). Isso é verdade, pois a - a = 0, que é divisível por m. b) Para provar que a relação de congruência no módulo m é simétrica, precisamos mostrar que se a ≡ b (mod m), então b ≡ a (mod m). Isso é verdade, pois se a ≡ b (mod m), então a - b é divisível por m. Mas então, -(a - b) = b - a também é divisível por m, o que significa que b ≡ a (mod m). c) Para provar que a relação de congruência no módulo m não é antissimétrica, precisamos encontrar um exemplo em que a ≡ b (mod m) e b ≡ a (mod m), mas a ≠ b. Um exemplo é m = 6, a = 2 e b = 8. Temos que 2 ≡ 8 (mod 6) e 8 ≡ 2 (mod 6), mas 2 ≠ 8. d) Para provar que a relação de congruência no módulo m é transitiva, precisamos mostrar que se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então a ≡ c (mod m). Isso é verdade, pois se a ≡ b (mod m), então a - b é divisível por m, e se b ≡ c (mod m), então b - c é divisível por m. Somando essas duas equações, temos que a - c = (a - b) + (b - c) é divisível por m, o que significa que a ≡ c (mod m).