GABARITO COMENTADO - MATEMATICA - VERSAO A

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Gabarito Comentado – CFOE 2016 – Matemática – Versão A  - 1 -
 
 
 MATEMÁTICA 
 
31) No laboratório de informática de uma escola encontram-se disponíveis oito computadores dentre os quais apenas 
três são novos. De quantas maneiras cinco desses computadores podem ser ocupados por um grupo de cinco 
alunos, cada um utilizando um dos computadores e sendo que todos os computadores novos estejam entre os 
escolhidos? 
a) 600. 
b) 900. 
c) 1200. 
d) 1500. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA C) 
 
 Computadores disponíveis: ABCDEFGH 
 Computadores novos: ABC 
 Computadores antigos: DEFGH 
 Escolha dos computadores: 
 Os três computadores novos estão entre os escolhidos. São eles: ABC 
 Os dois computadores antigos escolhidos podem ser: 
C5,2=5!/3!2!=5.4.3!/3!2!=10. Estas possibilidades correspondem a: DE; DF; DG; DH; EF; EG; EH; FG; FH; GH. 
Assim, os computadores escolhidos podem ser: 
ABCDE; ABCDF; ABCDG; ABCDH; ABCEF; ABCEG; ABCEH; ABCFG; ABCFH; ABCGH. 
Em cada uma dessas 10 opções de escolha, os alunos podem ser permutados nos cinco computadores escolhidos. 
Assim, o número total de maneiras deles serem utilizados pelos alunos é: 10P5=10.5.4.3.2=1200. 
 
Fonte: HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, probabilidade. 7 ed. São Paulo: 
Atual, 2004. v.5. 
 
32) Sejam as funções f(x) = 2x – 2 e g(x) = x + 4. Cada ponto apresentado na coluna à esquerda, a seguir, pertence 
ao gráfico de uma das funções da coluna à direita. Relacione as duas colunas. 
(1) (–1, 4) 
(2) (–2, –2) 
(3) (2, 2) 
(4) (1, –3) 
( ) g–1(x) 
( ) f-1(x) 
( ) f(g(x)) 
( ) g(f(x)) 
A sequência correta é 
a) 4 – 1 – 3 – 2 
b) 3 – 4 – 2 – 1 
c) 4 – 3 – 1 – 2 
d) 3 – 4 – 1 – 2 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA C) 
 
y = 2x – 2 
x = 2y – 2 
2y = x + 2 
y = 0,5x + 1 
f–1(x) = 0,5x +1 (2, 2) 
g(x) = x + 4 
x = y + 4 
y = x – 4 
g–1(x) = x – 4 (1, –3) 
A sequência que relaciona corretamente as duas colunas é: 
f(x) = 2x – 2 e g(x) = x + 4 
f(g(x)) = 2 . (x + 4) – 2 
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f(g(x)) = 2x + 6 
f(g(x)) = 2x + 6 (–1, 4) 
g(f(x)) = 2x – 2 + 4 
g(f(x)) = 2x + 2 (–2, –2) 
Assim a relação é: 
 (1) (–1, 4) (4) g–1(x) 
 (2) (–2, –2) (3) f–1(x) 
 (3) (2, 2) (1) f(g(x)) 
 (4) (1, –3) (2) g(f(x)) 
 
Fonte: IEZZI, Gelson. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções. 8 ed. 
São Paulo: Atual, 2004. v.1 
 
33) Dos 60 automóveis que se encontram em um estacionamento tem-se que 
 19 possuem tração nas 4 rodas; 
 28 possuem air-bag; 
 7 possuem tração nas 4 rodas e air-bag; e, 
 alguns não possuem air-bag e nem tração nas 4 rodas. 
Considere que um desses carros seja escolhido ao acaso. A probabilidade de que o mesmo tenha apenas um 
dos itens citados é de 
a) 55%. 
b) 60%. 
c) 65%. 
d) 70%. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) 
 
 
x + y + z + w = 60 
y + z = 19 
x + y = 28 
y = 7 
z = 12 
x = 21 
 P=(21+12)/60=33/60=0,55=55% 
 
Fonte: HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, probabilidade. 7 ed. São Paulo: 
Atual, 2004. v.5. 
 
 
 
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34) A soma do terceiro e quinto termos de uma progressão geométrica de razão 6 é 499,5. A diferença entre o quarto 
e o quinto termo dessa progressão é 
a) 225. 
b) 355. 
c) 385. 
d) 405. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) 
 
a3 + a5 = 499,5 
a3 + a3 . q
2 = 499,5 
a3 + a3 . 6
2 = 499,5 
a3 + 36a3 = 499,5 
37a3 = 499,5 
a3 = 13,5 
a4 = 13,5 . 6 = 81 
a5 = 81 . 6 = 486 
a5 – a4 = 486 – 81 = 405 
 
Fonte: IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes, 
determinantes, sistemas. 7 ed. São Paulo: Atual, 2004. v.4. 
 
35) Seja a matriz A =











p11
2k5
12m
 e a sua inversa A–1 =








211
123
012
. A soma dos elementos da diagonal principal 
da matriz A é 
a) 5. 
b) 8. 
c) 11. 
d) 13. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) 
 











p11
2k5
12m
.








211
123
012
= 
 
 
 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 Cálculo do valor de m: 
(1ª linha x 1ª coluna) =1 
m . 2 + (–2) . 3 + 1 . 1 = 1 
2m – 6 +1 = 1 
2m – 5 = 1 
2m = 6 
m = 3 
 Cálculo do valor de k: 
(2ª linha x 2ª coluna)=1 
–5.1 + k . 2 – 2 .1 = 1 
–5 + 2k – 2 = 1 
2k = 8 
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k = 4 
 Cálculo do valor de p: 
(3ª linha x 3ª coluna) 
1.0 + (–1).1 + p.2 =1 
0 – 1 + 2p = 1 
2p = 2 
p = 1 
Soma: m+p+k=3+4+1=8 
 
Fonte: IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes, 
determinantes, sistemas. 7 ed. São Paulo: Atual, 2004. v.4. 
 
36) A razão entre a menor e a maior solução da equação log5[log3(x
2 – 2x + 3)] = log53 é um número 
a) positivo e maior que 2. 
b) positivo e menor que 2. 
c) negativo e maior que –2. 
d) negativo e menor que –2. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA C) 
 
log3(x
2 – 2x + 3) = 3 
x2 – 2x + 3 = 27 
x2 – 2x – 24 = 0 
x	=
2	±	√4 –	4.1. –24
2
 
x	=	
2	±	10
2
 
x = 6 x = –4 
–4/6 = –0,666... (negativo e maior que –2) 
Fonte: IEZZI, Gelson. MURAKAMI, Carlos. DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de matemática elementar: logaritmos. 
9 ed. São Paulo: Atual, 2004. v.2. 
 
37) Seja a circunferência x2 + y2 + 4x – 10y + k = 0, cujo ponto de ordenada máxima é (–2, 8). Informe se as 
afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a 
sequência correta. 
( ) k é igual a 18. 
( ) O raio da circunferência é 3. 
( ) O centro da circunferência é (–2, 4). 
( ) O ponto de ordenada mínima da circunferência é (–2, 2). 
a) V – V – F – F 
b) F – V – F – V 
c) F – F – V – V 
d) V – F – V – F 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) 
 
x2 + y2 + 4x – 10y + k = 0 
C(–2, 8 – r) 
(x + 2)2 + (y– 8 + r)2 = r2 
x2 + 4x + 4 + (y – 8)2 + 2( y- 8) r + r2 = r2 
x2 + 4x + 4 + (y – 8)2 + 2(y–8) r = 0 
x2 + 4x + 4 + y2 – 16y + 64 + 2yr – 16r = 0 
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x2 + y2 + 4x – 16y + 2yr + 68 – 16r = x2 + y2 + 4x – 10y + k 
–16y + 2yr + 68 – 16r = –10y + k 
Assim tem-se que: 
–16y + 2yr = – 10y 68 – 16r = k 
–16 + 2r = –10 68 – 16.3 = k 
2r = 6 68 – 48 = k 
r = 3 k = 20 
C(–2, 8 – 3) 
C(–2, 5) 
Ponto mínimo: (–2, 5 – r) = ( –2, 2) 
Assim tem-se que: 
(F) k é igual a 18. 
(V) O raio da circunferência é 3. 
(F) O centro da circunferência é (–2, 4). 
(V) O ponto de ordenada mínima da circunferência é (–2, 2). 
 
Fonte: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios, equações. 7 ed. São 
Paulo: Atual, 2005. v.6. 
 
38) Os lados de um triângulo medem em centímetros: x, x + 1 e 2x – 1 e o seu maior ângulo interno mede 120°, 
conforme indicado a seguir. 
 
O perímetro desse triângulo mede 
a) 20cm. 
b) 22cm. 
c) 24cm. 
d) 28cm. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) 
 
(2x – 1)2 = x2 + (x + 1)2 – 2 . x . (x + 1) . cos120° 
4x2 – 4x + 1 = x2 + x2 + 2x + 1 – 2 (x2 + x) . ( –0,5) 
2x2 – 6x = x2 + x 
x2 – 7x = 0 
x(x – 7) = 0 
x = 7 ; x + 1 = 8 ; 2x – 1 = 13 
Perímetro = 7 + 8 + 13 = 28 
 
Fonte: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: trigonometria. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004. v.3. 
 
 
 
 
 
 x x + 1
 2x – 1
120°
Gabarito Comentado – CFOE 2016 – Matemática – Versão A  - 6 -
39) O resto da divisão do polinômio p(x)= x4 + 2x3 – 7x2+ mx + 12 por (x2 – 4) é igual a zero. Sobre o valor do 
coeficiente m, é correto afirmar que é 
a) positivo e maior que 8. 
b) positivo e menor que 6. 
c) negativo e maior que –5. 
d) negativo e menor que –7. 
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) 
 
 x4 + 2x3 – 7x2 + mx + 12 |x2+0x–4 
 –x4 +0x3+4x2 x2 + 2x –3 
 2x3 – 3x2 + mx + 12 
 –2x3–0x2+8x 
 –3x2 + (m+8)x + 12 
 +3x2+ 0x –12 
 m+8 
m+8 = 0 
m = –8 
Fonte: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios, equações. 7 ed. São 
Paulo: Atual, 2005. v.6. 
 
40) A caixa de um perfume tem o formato de prisma, conforme indicado a seguir: 
 
Considere que a caixa tem 5cm de altura, volume de 345 cm3 e os ângulos das bases são todos congruentes. A 
área total dessa caixa é de 
a)   .2cm35 . 18  
b)   .2cm34 . 10  
c)   .2cm328 . 15  
d)   .2cm327 . 21  
 
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) 
 
V = Ab.h 
45√3 = (l2.√3 /4) .5 
180 =5l2 
l2=36 
l=√36  
l=6cm 
Área total= 2Abase +3.A face lateral 
A=2. (l2.√3 /4) +3.5.6 
A=2l2√3 /4 +90 
A=2.62√3 /4 +90 
Gabarito Comentado – CFOE 2016 – Matemática – Versão A  - 7 -
A=2.36√3 /4 +90 
A=18√3+90 
A=18.(5 √3 )cm2 
Fonte: DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. 8 
ed. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.