Notas de Aula 2 - Fis. IV

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. 1 
 Equações de Maxwell 
 
 
1) 
dVSdE
VS   

0
 ou 
qE  0
 Lei de Gauss para a eletricidade. 
 O fluxo elétrico total 
E
, ou 
 S SdE

, que atravessa a superfície fechada 
S
 é proporcional à carga elétrica 
total 
q
, ou 
V dV
, dentro da superfície. Existe monopólo elétrico isolado. 
 
2) 
 S SdB 0

 ou 
0B
 Lei de Gauss do magnetismo. 
O fluxo magnético total 
B
, ou 
 S SdB

, que atravessa a superfície fechada 
S
 é nulo. Não existe 
monopólo magnético isolado. 
 
3) 
  SC SdBdt
d
dE



 ou 
B
dt
d
 
 Lei de Faraday da indução. 
 
A força eletromotriz induzida através de um circuito de área 
S
 é proporcional à variação temporal do fluxo 
magnético 
B
, ou 
 S SdB

 que atravessa o circuito definido pelas bordas da superfície 
S
. 
 
4) 
   SC S SdEdt
d
SdjdB



000 
 ou 
)(0 d
C
iidB  

 Lei de Ampère-Maxwell. 
Um campo magnético pode ser criado tanto por uma corrente elétrica de condução 
  S Sdji

 quanto por 
uma variação temporal de um fluxo elétrico 
 S SdE

 através de um circuito que são as bordas da superfície 
S
. Defini-se 
  Sd SdEdt
d
i

0
 como sendo a corrente de deslocamento. 
 
 
Exercício: justifique a corrente de deslocamento. 
Solução: A lei de Ampère, sem a corrente de deslocamento 
di
, é incompatível com a equação da 
continuidade 
0 dtdqi
, sabidamente correta. Introduzindo a corrente 
di
 , não só restabelecemos a 
equação da continuidade como passamos a descrever os fenômenos eletromagnéticos temporais que ocorrem 
na natureza. Sem a corrente de deslocamento 
di
 só descrevemos os fenômenos magnéticos estáticos. A lei 
de Ampère é um caso particular da lei de Ampère-Maxwell. 
 
 Exercício: Um capacitor plano está variando sua carga, devido a uma bateria ou a uma lâmpada que foi 
ligada a ele. Mostre que a corrente de condução 
i
, externa ao capacitor, é exatamente igual à corrente de 
deslocamento 
d
i
 entre as placas do capacitor, isto é, dentro do capacitor. 
Solução: 
dtdqi /
. Mas 
CVq 
onde 
dAC /
 e 
EdV 
. Então, substituindo, vem 
d
ii 
. 
 . 2 
Exercício. Mostre que após um capacitor atingir sua carga máxima, ou seja, após estar completamente 
carregado, tem-se 
0
d
ii
. Solução: 
dtdqi /
=0 pois 
.0/ dtdq
 Também 
0/
0
 dtdi
Ed

 pois 
0/ dtd
E

 uma vez que 
E
 não varia no tempo à partir deste instante 
 
Exercício. Considere um capacitor plano, de placas circulares de raio
R
, sendo carregado. Calcule o valor 
do campo magnético 
B
 produzido entre as placas do capacitor devido à variação do campo elétrico 
E
 , para 
os seguintes casos: (a) 
Rr 
 (b) 
Rr 
 (c) 
cmRr 5
 e 
smVdtdE /101/ 12
. 
Solução: Os vetores 
E
 e 
B
 são perpendiculares entre si. Isto pode ser deduzido das equações de Maxwell e 
a experiência confirma este fato. Então, supondo o campo elétrico do capacitor perpendicular a esta folha de 
papel, o campo magnético estará no plano da folha. Explorando as simetrias existentes, percebe-se que o 
campo magnético apresenta linhas circulares concêntricas no centro do capacitor. Da equação de Maxwell-
Ampère 
  SC SdEdt
d
dB



00
0 
 nota-se que os dois membros da equação possuem sempre o mesmo 
sinal. Sabe-se que quando se escolhe o caminho de integração arbitrário 
C
 os vetores 
Sd
 ficam definidos 
através da regra da mão direita. Para uma escolha horária do caminho 
C
, tem-se 
Sd
 penetrando nesta folha 
de papel, devido a esta regra. Como os dois membros da equação têm sinais iguais então o vetor 
B
 tem 
sentido horário, para 
E
 penetrando nesta folha. Veja que se a escolha de 
C
 fosse anti-horária implicaria 
Sd
 saindo do papel e conseqüentemente 
 S SdE

 seria negativa, obrigando 
 C dB 

 ser também negativa. 
Isto implicaria 
B
 horário, coerente com a primeira escolha para a circulação, mostrando, portanto, que a 
escolha arbitrária da circulação não pode alterar o sentido verdadeiro de 
B
 , que no caso do capacitor sendo 
carregado, com 
E
 penetrando neste papel, tem-se 
B
 horário sempre. Como exercício mostre que se o 
capacitor estivesse sendo descarregado, não importa a escolha do caminho de integração, o vetor 
B
 seria 
sempre anti-horário para 
E
 penetrando nesta folha de papel. Faça desenhos para o caso resolvido aqui, e 
também para o que estamos propondo. 
(a) 
  SC SdEdt
d
dB



00
0 
 ou 
)0cos(0cos)2( 2
00
rE
dt
d
rB  
. Assim tira-se 
B
 com o 
valor 
E
dt
dr
B
2
00


 para 
Rr 
. 
(b) 
  SC SdEdt
d
dB



00
0 
 ou 
)0cos(0cos)2( 2
00
RE
dt
d
rB  
. Assim determina-se o valor 
de 
B
 como sendo 
E
dt
d
r
R
B
2
00


 para 
Rr 
. 
(c) 
T
sm
V
m
Nm
C
m
TA
E
dt
dR
B  28,0)101)(105)(1085,8)(104(
2
1
2
122
2
2
12700  
. 
Exercício. Usando o enunciado do exercício anterior calcule a corrente de deslocamento. Resposta 0,0699 
A. Calcule o valor do campo magnético à 5 cm do fio, mas longe do capacitor, usando o resultado conhecido 
de Ampère, 
RiB  2/0
. Veja que o valor é 
T28,0
. Isto é o que você esperava? 
 . 3 
 
 
PRIMEIRA PROVA 1: Considere a lei de Gauss na forma 
dt
dq
SdE
dt
d
S


0

. Use a lei de Ampère-
Maxwell 
   SC S SdEdt
d
SdjdB



000

 duas vezes: uma na parcela aberta de superfície 
1
S
 e outra 
vez na parcela aberta 
2
S
, para o mesmo caminho de integração 
C
. 
Definindo
SSS 
21
 veja que 
SdSd

1
 e 
SdSd


2
. 
Use isto nas duas equações obtidas. Em seguida subtraia 
a equação 2 da equação 1. O resultado será o seguinte: 
 
   2121 0000 SSSS SdEdt
d
Sdj
 
. Olhe então 
 para a equação acima e para a lei de Gauss, e veja que ela 
 é exatamente a equação da continuidade 
dt
dq
i 0
. Se não (atualizado em 13/02/2011 ) 
 fosse levada em conta a corrente de deslocamento 
d
i
 chegaríamos ao resultado falso 
00  i
. 
 
Exercício. Mostre que 
dt
dV
Ci
d

. Demonstre que isto é válido para o capacitor plano. Saiba que a 
relação é válida para um caso geral. Você seria capaz de demonstrá-la para o caso geral? 
 
Exercício. Aplica-se 
tsenVtV o )(
 num capacitor de placas circulares de área 
A
. (a) Mostre que 
tVCi od  cos
. Suponha, para os próximos itens, que 
220,0 mA 
, 
VVo 004
, 
srad /150
 e 
Ai
máxd
5105,4 
. (b) Mostre que a separação entre as placas é 
.36,2 mmd 
 (c) Usando a definição de 
di
 
ache 
smMVdtd
E
/1,5)/(
max

 e 
smVdtdE /1054,2)/( 7
max

. (d) Mostre que o raio R das placas do 
capacitor é 
.25cm
 (e) Mostre ainda que 
TB 11
max
1041,1 
em pontos onde.10cmr 
 
 . 4 
 Ondas Eletromagnéticas 
 
 A equação de onda em três dimensões é 
f
t
f
2
2
2
2
v
1



, onde 
f
é a função de onda que depende da 
posição 
r
 e do tempo 
t
. Pode-se mostrar que 
f
 tem a forma única 
)v();( trftrf


. Para ondas 
eletromagnéticas, propagando-se no vácuo, basta trocar 
v
 por 
c
, onde 
smc /103 8
. Se a onda puder 
ser aproximada para uma onda plana, a equação de onda adquire a forma mais simples seguinte: 
f
t
f
x 2
2
22
2
v
1





. Se a onda for de natureza eletromagnética, então 
f
 representa um campo magnético 
B
 ou um campo elétrico 
E
 . Em 
1d
, para campos variando senoidalmente, as formas de 
B
 e de 
E
 
poderiam ser 
)(
0
ctxsenkBB 
 e 
)(
0
ctxsenkEE 
, por exemplo. Pode-se mostrar que estas duas 
funções de onda, para 
B
 e para 
E
 , satisfazem realmente a equação de onda. Verifique isto. O argumento 
da função 
ctx 
 representa uma onda plana progredindo no sentido ox positivo quando o sinal do 
argumento for negativo e, caminhando no sentido negativo do eixo ox (digamos para a esquerda) quando o 
sinal do argumento for positivo. Podemos verificar isto, pois a fase 
ctx
é constante para uma onda sem 
dissipação. Portanto 
0))(/(  ctxdtd
. Daí 
0/ cdtdx
 ou 
cdtdx /
. Já se tivermos 
ctx
constante, então 
0/ cdtdx
 ou seja 
cdtdx /
. Veja isto, explicitamente, fazendo o problema 9. 
 
PRIMEIRA PROVA 2 : Escreva a função 
f
 na forma 
)(uff 
, onde 
ctxu 
, e usando a regra da 
cadeia para as derivadas, a saber: 
x
u
u
f
x
f







ou 
t
u
u
f
t
f







 e mostre que a função de onda 
)(),( ctxftxf 
 ou 
)( ctxf 
satisfaz a equação de onda. Para isto basta derivar 
)( ctxf 
 duas vezes em 
relação ao tempo, depois duas vezes em relação à 
x
 (usando a regra da cadeira para não sofrer muito) e levar 
estas contas na equação de onda. 
 
Exercício: Define-se o número de onda 
 /2k
, onde o comprimento de onda 

 pode ser calculado pela 
relação geral 
cT
 ou 
fc 
. A grandeza 
T
é o período da onda e 
f
é sua freqüência linear, dada em 
hertz
. A freqüência angular é definida por 
T/2 
e dada em radianos por segundo. Com estas relações 
em mãos demonstre que 
kc
. 
 
Exercício: Usando as equações de Maxwell, aplicadas a uma onda senoidal unidimensional, prove as 
importantes relações: 
cBE 
; 
dtBxE // 
; 
tExB oo  // 
. Combinando estas duas últimas 
relações obtenha a importante equação de onda: 
./)/1(/ 22222 tEcxE 
 
 
Exercício: Define-se média de uma grandeza 
f
, em relação à uma das variáveis de seu argumento, através 
da relação seguinte:



 0
)(
1
dff
. Já o valor médio quadrático (rms) ou valor eficaz, é definido por 



dfff eficazrms  0
2 )(
1

 2f
. Portando, é fácil ver e guardar que: 
 22 ff
eficaz
. 
 . 5 
Exercício: Define-se o vetor de Poynting 
0

BE
S

 

. Mostre que o valor médio deste vetor, denominado 
intensidade 
API /
, pode ser calculado por 
0
2
c
E
IS
ef

. Sua unidade SI é o 
.watt/metro2
 
Integrais importantes: 
aasendasen 4/22/2  
 
aasenda 4/22/cos 2  
. 
 
1) Calcule o valor do campo magnético criado por um capacitor plano quando está sendo descarregado 
através de uma lâmpada. Defina os parâmetros que se fizerem necessários ao cálculo. Faça também um 
desenho da situação. Veja notas de aula 1. 
 
2) A 
m0,1
 de uma lâmpada verifica-se 
2/)/60( mW
. (a) Mostre que a potência da lâmpada vale 
W240
e 
calcule o valor máximo do campo magnético, criado pela lâmpada, a 
m2
 dela. (b) Ache o valor eficaz do 
campo elétrico à 
m3
 da lâmpada. Resp. 
TB
m
71022 
 
mVE
ef
/220
. (Veja 
também os problema 29 e 28) 
 
3) Considerando que o valor médio de uma função 
)(f
 é, de forma completa e rigorosa definido por 
.)(
1




  oo
dff
 (a) mostre que o valor médio da função seno no semi-ciclo positivo é 
 /2sen
 e no semi-ciclo negativo é 
/2
. Mostre que para o ciclo completo o valor médio da função 
seno ou cosseno é nulo. (b) Para degustar mais um pouco, mostre que o valor médio da função 
baxxf )(
, entre os limites zero e 
X
, é 
baXxf  2/)(
. (c) Finalmente, mostre que 
.2/1cos22  ttsen 
 
 
4) Partindo da definição geral para o vetor de Poynting 
o
BES /


 e lembrando que intensidade 
 SAPI /
 mostre que 
oefef
BEI /
 onde 
ef
E
 e 
ef
B
 são os valores eficazes do campo elétrico e do 
campo magnético, respectivamente. 
Pista: Suponha logo no início que 
jtkxsenEE
m
ˆ)( 

 e 
ktkxsenBB m
ˆ)( 

, por exemplo. Isto não deixará a 
solução menos geral, pode acreditar. (Em alguma nota de aula anterior pediu-se para fazer este mesmo exercício?) 
 
5) Sejam 
)(
111
  tkxAseny
 e 
)(
222
  tkxAseny
duas ondas de radar propagando-se no sentido 
positivo de uma estrada 
ox
 reta. Particularize que as fontes oscilem fora de fase, estando a fonte 1 adiantada 
de 
o90
em relação à fonte 2. Coloque a primeira fonte na origem do eixo 
ox
 e a segunda em 
mx 100
. 
Cada fonte emite o mesmo comprimento de onda 
m400
. Coloque um detector além da fonte 2, sobre 
ox
. (a) Calcule a diferença de fase das duas ondas, no detector. Pista: Dê primeiro uma solução gráfica: 
Desenhe as duas ondas sobre o eixo 
ox
 para um instante qualquer; por exemplo, quando a fonte 1 emite um 
máximo. Claro que neste mesmo instante a fonte 2 estará em zero de amplitude. É fácil verificar que a partir 
da fonte 2 as duas ondas seguem em fase. Agora resolva o problema analiticamente. Para isto basta impor 
 . 6 
 )(
11
tkx 2/])100([
22
  txk
 que é a diferença de fase entre as duas ondas num instante 
t
 
e num ponto 
.x
 Resolva esta equação para 
0t
;
0
1
x
;
mx 100
2

e encontrará 
.2/
21
 
Estas são as 
condições iniciais. Resolva novamente para 
4/Tt 
;
mxx 100
21

e encontrará 
0
21

 como na 
solução gráfica. Finalmente resolva para 
4/Tt 
, num ponto 
21
xx 
 porém maior que 
m100
, e encontrará 
sempre 
.0
21

 Notou que trocamos 
2x
 (na realidade 
2
x
) por 
100
2
x
na equação original da segunda 
fonte? Por quê isto é necessário? 
 
6) Escreva a expressão matemática correspondente a cada uma das quatro equações de Maxwell e diga o 
significado de cada um dos dois membros de cada equação. 
 
7) Escreva a expressão matemática de cadarelação contatada até agora em Física IV. Explique o significado 
de cada termo que aparece em cada equação e dê suas respectivas unidades SI. 
 
8) Refaça o caderno em detalhes, demonstrando todas as passagens que nele aparecem. Leia o seu livro texto. 
Estude em seu livro texto ou em um outro que você melhor se adaptar. 
 
 
Exercícios complementares 
 
9) Considere as funções seguintes: 
 I) 
1 txy
 ; para 
10  y
 III) 
tx
ey


 ; para 
10  y
 
 II) 
1)2( 2  txy
; para 
10  y
 IV) 
)2( txseny 
; para 
0y
 e 
20  x
 
a) Para cada uma delas desenhe o pulso correspondente em 
0t
. Para tal construa uma tabela de 
x
 em 
função de 
y
. Serão, então, quatro figuras gráficas. 
b) Em cima de cada figura gráfica anterior, refaça o que se pediu no item (a), porém agora, no instante 
2t
 
para as três primeiras e em 
2/t
 para a última. Finalmente identifique quais pulsos se movem para a 
direita, e quais para a esquerda, e verifique suas correspondentes velocidades. 
 
10) (a) Mostre matematicamente ou dê argumentos físicos de que a função 
)( 22 txy 
 descreve um 
pulso, porem ele se deforma no espaço à medida que o tempo passa. Um modo de ver isto é desenhar o 
pressuposto pulso em instantes diferentes. (b) Esta é uma classe de pulsos ou ondas que nos interessam no 
momento? 
 Resp. (b) Não. Estamos interessados em pulsos ou ondas que mantêm sua forma. 
 
11) Prove, para ondas harmônicas periódicas, que 
tkxtxk  )v(
 , ou seja, que 
vk
. Para isto basta 
usar as relações seguintes: 
 /2k
 ; 
T/2 
; 
.vT
 
 
12) Considere duas ondas planas descritas pelas funções: 
)(1 tkxAseny 
 e 
)(2 tkxAseny 
. Mostre 
que a composição analítica das duas ondas resulta na onda estacionária 
tAsenkxy cos)2(
. Note que a 
 . 7 
amplitude da onda resultante é 
Asenkx2
 e varia ao longo do eixo ox. Impondo 
02 Asenkx
, mostre que em 
;2/3;2/2;2/;0 x
... formam-se nós. Se impuséssemos 
AAsenkx 22 
 o que os x encontrados 
definiriam? Desenhe a onda estacionária para alguns diferentes instantes; por exemplo: 
;...4/3;2/;4/;0  t
. Pista: use 
2
cos
2
2
baba
sensenbsena


 
 
13) Sejam duas ondas planas descritas pelas funções 
)cos(
11
  tkxAy
 e 
)cos(
22
  tkxAy
. 
As duas ondas propagam-se sobre o mesmo eixo ox. Fazendo a diferença de fases entre as ondas 
 
21
, mostre que a função 
)cos(   tkxAy
R
descreve a onda resultante. Nela fizemos 
2/)(
21
 
. Qual a expressão para a amplitude 
RA
 da onda resultante? (b) A onda resultante é 
estacionária? Resp. (a)
2
cos2

A
 (b) não. Use: 
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba


 
 
 14) Sejam, 
0,)( 
zxmy
EEtkxsenEE 
, as equações do campo elétrico de um feixe luminoso 
proveniente de um laser. (a) Escreva a expressão literal do vetor campo magnético 
B
 associado a este feixe 
luminoso. (b) Represente, num sistema de coordenadas oxyz , os vetores 
E
 , 
B
 e 
S
 . 
 Resp. (a) 
0,)ˆ)(()/( 
yxm
BBktkxsencEB 
 
 
15) Uma antena de microondas emite uma potência de 
kW12
. Para fazer acender uma lâmpada fluorescente 
é necessário um campo elétrico eficaz da ordem de 
./10 mV
 A que distância máxima da antena pode-se 
colocar a lâmpada, de modo que ela ainda se acenda? Resp. 60 m 
 
16) Considere os vetores 
E
 e 
B
 , de uma onda eletromagnética plana, variando senoidalmente. (a) Para 
cada um dos 5 casos seguintes represente, num ponto do sistema de eixos oxyz , os três vetores do conjunto 
);;( SBE

, onde dois deles são dados. (b) Entre as diferentes variações, escreva uma forma possível para a 
função de onda para os campos 
E
 e 
B
 . 
 
1) 
iSSjEE ˆ;ˆ 

 
2) 
kEEjBB ˆ;ˆ 

 
3) 
kSSiBB ˆ;ˆ 
 
4) 
jBBiEE ˆ;ˆ 

 
5) 
jSSiBB ˆ;ˆ 

 
 Resp. (b) 1 
jtkxsenEtxE
m
ˆ)();( 
 
kctxsenkcEtxB
m
ˆ)()/();( 
 pois 
kc
 
 2 Faça você. 
 3 
jtzsencBtzE
m
ˆ)/2();(  
 
iTtzsenBtzB
m
ˆ)//(2);(  
 pois 
T/2 
 
 4 Faça. 
 5 
kctysencBtyE
m
ˆ))(/2();(  
 
itkysenBtyB
m
ˆ)();( 
 onde 
cT