LIVRO - FÍSICA CLÁSSICA

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CAPÍtULO
26Fluidostática – Princípio de Arquimedes
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 517
Figura 1.
Felizmente, o grande matemático e físico Arquimedes (287-212 a.C.) descobriu 
um modo simples de calcular essa força, a qual ele chamou empuxo. A seguir apre-
sentaremos esse modo, usando a linguagem atual dos físicos (que Arquimedes ob-
viamente não conhecia, pois viveu há mais de dois mil anos). É importante ressaltar 
que o raciocínio que desenvolveremos vale para um corpo no interior de um fl uido 
qualquer: líquido ou gás.
Arquimedes fez uso de um raciocínio que, mais tarde, o físico Albert einstein 
(1879-1955), criador da teoria da relatividade, chamou de “experimento de pensa-
mento”, isto é, um experimento que é apenas imaginado, mas que nos permite tirar 
conclusões sem realmente fazer o experimento.
no interior de um fl uido em equilíbrio 
e sob a ação da gravidade, consideremos 
uma porção desse fl uido delimitada por 
uma superfície S (fi g. 2a). uma das for-
ças que atuam nessa porção de fl uido é 
o peso P
F
. Se essa porção está em equi-
líbrio, deve estar atuando sobre ela uma 
força vertical E, de sentido oposto a P
F
 e 
de mesmo módulo que P
F
:
e = p
F
1. Empuxo 
no capítulo anterior, usando a lei de Stevin, calculamos a força total exercida por 
um líquido num corpo cilíndrico cujo eixo é vertical, como o da fi gura 1a. (isso foi 
feito nos exercícios 18 e 20.)
porém, se o cilindro estiver na posição da fi gura 1b ou se o corpo tiver um for-
mato arbitrário, como o da fi gura 1c, é mais complicado calcular a força exercida 
pelo líquido a partir da lei de Stevin; seria necessário recorrer ao Cálculo Diferencial 
e integral (desde que soubéssemos exatamente a forma do corpo).
(a) (b) (c) 
1. Empuxo
2. Empuxo e densidade
3. Centro de empuxo
4. O signifi cado do 
empuxo
Figura 2.
(a) (b)
il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
lu
iz
 F
er
n
A
n
D
o
 r
u
b
io
g
p
2
p
1
g g
S
E
P
F
C
E
P
C
C
Capítulo 26518
Um corpo homogêneo de volume V
C
 = 0,16 m3 flutua em um 
líquido de massa específica d
L
 = 0,80 · 103 kg/m3, de modo que o 
volume da parte emersa é V
1
 = 0,04 m3. Considerando g = 10 m/s2, 
vamos calcular:
a) o módulo do empuxo que atua sobre o corpo;
b) o peso do corpo;
c) a densidade do corpo.
A
le
x
 A
r
g
o
z
in
o
 
z
A
p
t
Suponhamos agora que o fluido no interior de S seja substituído por um corpo C 
que ocupa todo o espaço no interior de S (fig. 2b). Como a superfície S não mudou, as 
forças exercidas sobre S pelo fluido que está fora de S são as mesmas, tanto no caso da 
figura 2a como no da figura 2b. portanto, nos dois casos o empuxo é o mesmo, tendo 
módulo dado por:
E = P
F
 1
isto é:
O módulo do empuxo é igual ao módulo do peso do fluido que caberia 
no espaço ocupado pelo corpo no interior do líquido. 
(Princípio de Arquimedes)
Se o corpo estiver parcialmente submerso em um líquido, como o navio da figura 
3a, o empuxo terá módulo igual ao peso do líquido que caberia no espaço ocupado 
pela parte submersa do corpo (fig. 3b). A parte submersa é também chamada de 
parte imersa e a parte do corpo que está acima da superfície livre do líquido é a parte 
emersa.
Arquimedes chamou o fluido que caberia no espaço ocupado pela parte submersa 
do corpo de fluido deslocado e, por isso, o princípio de Arquimedes frequentemente 
é enunciado do seguinte modo:
O empuxo exercido por um fluido sobre um corpo total ou parcialmente 
submerso no fluido tem módulo igual ao módulo do peso do fluido 
deslocado pelo corpo.
o nome fluido deslocado é útil no desenvolvimento das argumentações. porém 
ele tem um problema, que analisaremos mais adiante no item 4 (o significado do 
empuxo).
Sendo m
F
, d
F
 e V
F
, respectivamente, a massa, a densidade e o volume do fluido des-
locado, a partir da equação e = p
F
 temos:
e = p
F
p
F
 = m
F
 · g
m
F
 = d
F
 · V
F
 ⇒ E = d
F
 · V
F
 · g 2
(a)
(b)
Figura 3.
Exemplo 
Figura 4.
(a)
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 519
2. Empuxo e densidade 
Abandonemos um corpo qualquer, de densidade d
C
, no interior de um fluido de 
densidade d
F 
(fig. 5). estando o corpo totalmente imerso, o volume do fluido deslocado 
é igual ao volume do corpo: V
F
 = V
C
 = V. As intensidades do peso e do empuxo serão 
dadas, então, por: 
p
C
 = d
C
Vg e e = d
F
Vg 3
em relação às densidades d
C
 e d
F
 há três possibilidades:
1ª. ) d
C
 > d
F
Das equações 3 temos:
d
C
 > d
F
 ⇒ p
C
 > e
portanto, neste caso, a força resultante F
r
 terá sentido para baixo (fig. 6a), e o corpo 
afundará até atingir o fundo do recipiente.
2ª. ) d
C
 = d
F
neste caso, de 3 concluímos que p
C
 = e, e a força resultante será nula. o corpo 
ficará em equilíbrio em qualquer posição em que for colocado.
3ª. ) d
C
 < d
F
De 3 temos:
d
C
 < d
F
 ⇒ p
C
 < p
F
neste caso, a força resultante F
r
 terá sentido para cima (fig. 6b), e o corpo subirá até 
ficar flutuando com uma parte emersa (fig. 6c).
a) O volume total do corpo é V
C
 = 0,16 m3 e o volume da parte emersa é V
1
 = 0,04 m3. 
Portanto, o volume da parte submersa, isto é, o volume do líquido deslocado, é:
 V
L
 = V
C
 – V
1
 = 0,16 m3 – 0,04 m3 = 0,12 m3
A intensidade do empuxo (E ) é igual ao peso do líquido deslocado, isto é, o peso do 
líquido que caberia no espaço ocupado pela parte submersa do corpo, que é o espaço 
de volume V
L
:
 E = P
L
 = m
L
 · g = d
L
 · V
L
 · g = (0,80 · 103 kg/m3)(0,12 m3)(10 m/s2) ⇒ E = 9,6 · 102 N
b) Dizer que o corpo flutua significa dizer que ele está em equilíbrio. Portanto, o peso do corpo (PC ) e o empuxo têm a mes-
ma intensidade:
 
P
C
 = E = 9,6 · 102 N
c) P
C
 = E = P
L
 ⇒ P
C
 = P
L
 ⇒ m
C
 · g = m
L
 · g ⇒ m
C
 = m
L
 ⇒ d
C
 · V
C
 = d
L
 · V
L
 ⇒
 ⇒ d
C
 = 
V
L
V
C
 d
L
 ⇒ d
C
 = 
0,12
0,16
 · (0,80 · 103) ⇒ d
C
 = 0,60 · 103 kg/m3
Figura 5.
(a)
(b)
(c)
Figura 6.
il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
zA
pt
E
P
C
E
P
C
F
R
E
P
C
F
R
Figura 4.
(b)
E
V
1
 = 0,04 m3
P
C
V
L
 = 0,12 m3
Capítulo 26520
Navios e submarinos
A densidade do aço é maior que a da água. Assim, de acordo 
com os casos considerados na discussão sobre empuxo e densida-
de, se jogarmos na água um bloco maciço de aço, ele afundará. 
no entanto, embora tenham cascos feitos de aço, os navios não 
afundam; eles flutuam na água, parcialmente submersos (fig. 7). 
isso acontece porque um navio não é um bloco maciço de aço. o 
fato de os navios terem partes ocas faz com que sua densidade seja 
menor que a da água e, assim, eles não afundam.
para um submarino (fig. 8) emergir ou imergir, há um tanque no 
seu interior. para submergir, esse tanque é cheio de água, aumen-
tando sua densidade. para emergir, essa água é expulsa. Quando se 
movimenta submerso, para efetuar pequenos deslocamentos para 
cima e para baixo, ele utiliza pequenas asas móveis, semelhantes 
às dos aviões.
Flutuação do gelo
De modo geral, ao passar do estado líquido para o estado sólido, as substâncias 
sofrem contração, isto é, diminuem seu volume e consequentemente aumentam sua 
densidade. no entanto, a água tem comportamento diferente. Ao passar do estado 
líquido para o estado sólido (transformando-se em gelo), a água sofre uma expansão, 
aumentando seu volume e, desse modo, diminuindo sua densidade. À temperatura de 
0 oC, a densidade do gelo é 0,917 g/cm3. É por isso que o gelo flutua na água (fig. 9), 
ficando com uma parte para fora.
Devido a essa expansão do volume da água ao solidificar-se, não é recomendável 
guardar garrafas de vidro cheias de água (ou refrigerante) no congelador. Ao passar 
para o estado sólido, a água se expande e pode quebrar a garrafa.
Façamos uma estimativa da fração do volume total do gelo que fica acima do ní-
vel da água. Sendo V o volume do gelo, V
1
 o volume emerso, V
l
 o volume submerso 
(fig. 10), d
g
 a densidade do gelo e d
l
 a densidade da água, temos:
empuxo = peso ⇒ d
l
V
l
g = d
g
Vg ⇒ V
l
 = 
d
gd
l
 V ⇒ V
l
 = 
0,917
1
 V ⇒
⇒ V
l
 = 0,917 V = 91,7% de V
portanto, a parte imersa é 91,7% do volume total, e a parte 
emersa (fora da água) é apenas 8,3%.
próximo dos polos da terra, aparecem no mar blocos de gelo 
flutuantes, denominados icebergs (fig. 11). essa palavra parece ter 
sido derivada do dinamarquês (ou norueguês) isberg, em que is 
significa “gelo” e berg significa “montanha”. A palavra is aparece 
também em Isl‰ndia (que significa “terra de gelo”).
por causa do sal, a densidade da água do mar é um pouco 
maior que a da água pura, variando de 1,01 a 1,03 g/cm3. por isso, 
no caso do iceberg, a fração do volume que está fora da água é 
pouco maior que a calculada acima: aproximadamente 10%.
Suponhamos que um cubo de gelo feito de água pura esteja 
flutuando em um copo com água pura até a boca (fig. 12) com o 
gelo começando a derreter. Quando o gelo acabar de derreter, o 
que acontecerá com o nível da água no copo? 
Figura 7.
Figura 8.
Figura 9.
Figura 10.
Figura 11.
 t
h
in
k
St
o
C
k
/g
et
ty
 im
A
g
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A
lA
m
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g
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A
lp
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C
le
V
en
g
er
/C
o
r
b
iS
/l
A
ti
n
St
o
C
k
Figura 12.
V
1
V
2
V = V
1
 + V
2
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 521
estando o gelo em equilíbrio, o empuxo deve ser igual ao peso, isto é, o peso do 
gelo (P
g
) deve ser igual ao peso da água deslocada (P
l
), que é o peso da água que ca-
beria no espaço de volume V
l 
(fig. 13):
p
g
 = p
l
 ⇒ m
g
 · g = m
l
 · g ⇒ m
g
 = m
l
portanto, a massa do gelo é igual a m
l
, isto é, igual à massa de água que cabe no 
espaço de volume V
l
. Quando o gelo derreter, sua densidade será igual à da água; as-
sim, a água resultante do derretimento preencherá exatamente o espaço de volume V
l
, 
não se alterando, portanto, o nível da água.
Queda em um fluido
no capítulo 15 vimos que, quando um corpo se move no interior de um fluido, há 
uma força de resistência (Fr ) ao movimento, que, para baixas velocidades, tem módulo 
dado por:
F
r
 = kv
sendo v o módulo da velocidade e k uma constante que depende da natureza do fluido 
e da forma e do tamanho do corpo (fig. 14a).
Suponhamos agora que uma bolinha B, cuja densidade é d
b
, seja abandonada no 
interior de um fluido de densidade d
F
 tal que d
b
 > d
F
. A bolinha vai afundar sob a ação 
de três forças (fig. 14b): o peso P, a força da resistência F
r
 e o empuxo E (no capítulo 15 
desprezamos o empuxo). o módulo de F
r
 vai aumentando com a velocidade até que:
e + F
r
 = p 1
quando a bolinha atinge a velocidade limite (v
l
). Sendo V o volume da bolinha e g a 
aceleração da gravidade, sabemos que:
e = d
F
Vg; F
r
 = kv; p = d
b
Vg
Substituindo em 1 , temos:
d
F
Vg + kv
l
 = d
b
Vg ⇒ v
L
 = 
(d
B
 – d
F
) V
k
 · g 2
Sedimentação
Se você misturar bastante açúcar na água contida em um copo, verá que, depois de 
certo tempo, haverá um pouco de açúcar no fundo do copo: dizemos que houve sedi-
menta•‹o. Algumas partículas de açúcar desceram, atingindo uma velocidade limite 
dada pela equação 2 do item anterior.
em laboratórios de Física, Química e biologia, às vezes há necessidade de provocar 
a sedimentação de partículas contidas em um líquido. porém, em alguns casos, a sedi-
mentação é muito lenta, pelo fato de a velocidade limite ser muito pequena. mas há um 
modo de aumentar a velocidade limite, sugerido pela inspeção da equação 2 acima: 
aumentando artificialmente o valor de g. isso é feito usando-se uma centrífuga. inicial-
mente o líquido (com as partículas dissolvidas) é colocado num tubo de ensaio preso a 
uma haste. Quando o sistema girar, o tubo ficará “quase” na horizontal, de modo que 
a aceleração centrífuga a
cf
 (para o referencial do tubo) faz o papel de g. lembrando que 
a
cf
 = ω2r, em que ω é a velocidade angular e r o raio da trajetória, vemos que, quanto 
Figura 13.
(a)
(b)
Figura 14.
z
A
p
t
v
F
r
v
E
B
P
F
r
A
le
x
 A
r
g
o
z
in
o
V
1
V
L
Capítulo 26522
(a) O líquido é colocado em um tubo 
preso a uma haste.
(b) Ao ser girado, o tubo fica quase na 
horizontal.
Figura 15.
Exercícios de Aplicação
1. Na figura representamos um bloco de massa 
m
B
 = 60 kg e densidade d
B
 = 3,0 · 103 kg/m3, 
imerso em um líquido de densidade 
d
L
 = 0,90 · 103 kg/m3 
e preso por um fio ideal 
a um dinamômetro. Con-
sidere g = 10 m/s2 e 
calcule:
a) o volume do bloco;
b) o módulo do empuxo 
exercido pelo líquido 
sobre o bloco;
c) o peso aparente do 
bloco.
Resolução:
a) Sendo V o volume do bloco, temos:
 d
B
 = 
m
B
V
 ⇒ V = 
m
B
d
B
 = 
60 kg
3,0 · 103 kg/m3
 
 V = 2,0 · 10–2 m3
b) A intensidade do empuxo é igual ao peso do 
líquido que caberia no volume ocupado pelo 
bloco:
 E = P
L
 = m
L
 · g = d
L
 · V · g =
 
 = (0,90 · 103)(2,0 · 10–2)(10)
E = 180 N
c) As forças que atuam no bloco são o peso 
(P), o empuxo (E) e a tração (T ) exercida 
pelo fio.
 P = m
B
 · g = 
 = (60 kg)(10 m/s2) = 600 N
 Como o bloco está em equilíbrio, 
temos:
 T + E = P ⇒ T = P – E = 
 = 600 N – 180 N ⇒
 ⇒ T = 420 N
 Portanto, o dinamômetro está marcando 420 N, 
e esse é o peso aparente, que é a diferença 
entre P e E:
 peso aparente = P – E = 420 N
2. Um bloco de volume 2,0 · 10–3 m3 
e densidade 3,0 · 103 kg/m3 
está totalmente submerso 
na água, cuja densidade é 
1,0 · 103 kg/m3, e preso por um 
fio a um dinamômetro, como 
mostra a figura. Considere 
g = 10 m/s2. Calcule:
a) a massa do bloco;
b) o empuxo sobre o bloco;
c) a marcação do dinamômetro 
(peso aparente).
3. Um corpo esférico de volume 
12 cm3 flutua em um líquido 
de densidade 0,80 g/cm3, de 
modo que o volume da parte 
imersa é 3,0 cm3.
a) Qual é a massa do corpo?
b) Qual é a densidade do corpo?
lu
iz
 F
er
n
A
n
D
o
 r
u
b
io
maior for o valor de ω, maior será o valor de a
cf
 e, assim, maior será o valor da velocida-
de limite. em alguns laboratórios há centrífugas que atingem frequência de 50 000 rpm. 
na figura 15, apresentamos um esquema do funcionamento de uma centrífuga.
P
E
T
il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
zA
pt
v = 0
a
cf
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 523
4. Um bloco de madeira em 
forma de cubo de aresta 
igual a 10 cm flutua na 
água, como mostra a figura. 
Sabendo que as densidades 
dessa madeira e da água 
são respectivamente iguais 
a 0,75 g/cm3 e 1,00 g/cm3, 
calcule a altura da parte 
submersa.
5. Um corpo em forma de casca esférica de raio inter-
no r = 9,0 cm e raio externo R = 10 cm é feito 
de alumínio, cuja massa específica é 2,7 g/cm3. 
Colocado em um líquido, ele 
flutua com 3
5
 de seu volume 
submerso. Calcule:
a) a massa do corpo;
b) a densidade do corpo;
c) a densidade do líquido.
6. Uma bolinha de madeira, cuja densidade é 
0,80 g/cm3, é abandonada no interior da água de 
uma piscina, a uma profundidade de 5,0 metros. 
5,0 m
 
Sabendo que g = 10 m/s2, que a densidade da água 
é 1,0 g/cm3 e desprezando os atritos, responda:
a) Qual é a aceleração adquirida pela bolinha?
b) Depois de quanto tempo a bolinha atinge a 
superfície livre da água?
7. Uma bolinha (B), de volume 4,0 · 10–9 m3 e densi-
dade 7,8 · 103 kg/m3, é abandonada na superfície 
do óleo contido em um recipiente, como ilustra 
a figura. A força de resistência sobre a bolinha 
tem módulo dado por F = kv, sendo v o módulo 
da velocidade e k = 2,8 · 10–2 N · s/m. Sabendo 
que a densidade do óleo é 0,8 · 103 kg/m3 
e g = 10 m/s2, calcule a velocidade limite atin-
gida pela bolinha.
B
g
 
8. Um balão esférico de raio R = 10 m foi cheio 
com gás hélio, cuja densidade é 0,16 kg/m3. 
O balão vazio, os cabos e a cesta têm massa 
total de 200 kg. Desprezando o volume da cesta 
e sabendo que a densidade do ar é 1,21 kg/m3, 
calcule o valor máximo da massa da carga que 
esse balão pode sustentar.
 
9. Na situação representada na figura, a barra, de 
peso desprezível, está em equilíbrio.Em suas 
extremidades há fios ideais que sustentam os 
corpos A e B, sendo a massa de A igual a 9,0 kg 
e o volume do corpo B igual a 2,0 litros. 
água
60 cm20 cm
A B
 
z
A
p
t
Sendo a densidade da água igual a 1,0 g/cm3, 
calcule:
a) a massa do corpo B;
b) a densidade do corpo B.
10. Uma caixa prismática, de massa 400 kg e dimen-
sões x = 2,0 m, y = 1,0 m e z = 0,50 m, flu-
tua na água, cuja densidade é 1,0 · 103 kg/m3. 
Quantas pessoas de massa 70 kg podem entrar na 
caixa sem que entre água?
x
y
z
11. Na figura a seguir representamos um densíme-
tro, instrumento usado para medir densidades 
de líquidos. Ele é constituído de um tubo de 
vidro com um pouco de uma substância mais 
densa que o vidro no fundo (o lastro), para 
dar estabilidade. Suponhamos que o volume do 
R r
l
u
iz
 A
u
g
u
S
t
o
 r
ib
e
ir
o
l
u
iz
 A
u
g
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o
h
z
A
p
t
z
A
p
t
z
A
p
t
z
A
p
t
Capítulo 26524
densímetro seja 60 cm3, sua 
massa seja 50 g e a área 
da seção reta do trecho 
cilíndrico seja A = 2,0 cm2. 
Supondo que a densidade 
do líquido seja 1,0 g/cm3, 
calcule o valor de x.
12. Um corpo cilíndrico e homogêneo flutua parcial-
mente imerso na água e parcialmente imerso no 
óleo, como ilustra a figura ao 
lado. Sabe-se que a densidade 
do óleo é d
1
 = 0,90 g/cm3, 
a densidade da água é d
2
 = 
= 1,0 g/cm3, h
1
 = 8,0 cm e 
h
2
 = 2,0 cm. Calcule a densida-
de do corpo (d
C
).
Resoluç‹o:
Este exercício é idêntico ao exercício 24 do capí-
tulo anterior, o qual resolvemos usando a Lei de 
Stevin. Vamos agora resolvê-lo usando o Princípio 
de Arquimedes.
O peso do corpo (P) é equilibrado pelo empuxo 
total E, que é a soma de dois empuxos: o empuxo 
da água (E
2
) e o empuxo do óleo (E
1
).
E = E
1
 + E
2 
= P 1
Mas: 
E
1
 = d
1
V
1
g = d
1
Ah
1
g
E
2
 = d
2
V
2
g = d
2
Ah
2
g
P = d
C
Vg = d
C
 · A(h
1
 + h
2
)g
h
2
h
1 E
1
E
2
P 
il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
zA
pt
Substituindo em 1 :
d
1
Ah
1
g + d
2
Ah
2
g = d
C
A(h
1
 + h
2
)g
ou
d
C
 = 
d
1
h
1
 + d
2
h
2
h
1
 + h
2
 = 
(0,90)(8,0) + (1,0)(2,0)
8,0 + 2,0
 
d
C
 = 0,92 g/cm3
13. Um corpo em forma de cubo de aresta 10 cm flu-
tua parcialmente imerso no óleo e parcialmente 
imerso na água, como mostra 
a figura. Sabendo que as den-
sidades do óleo e da água são, 
respectivamente, 0,90 g/cm3 
e 1,00 g/cm3, calcule a den-
sidade do corpo.
14. Um corpo de densidade 0,64 g/cm3 flutua com 
20% de seu volume acima da superfície de um 
líquido. Qual a densidade do líquido?
15. Um recipiente está cheio de água, numa região em 
que g = 10 m/s2. Colocando-se na água um corpo 
de massa 0,30 kg, há um transbordamento de água 
cuja massa é 0,20 kg. Calcule a intensidade do 
empuxo exercido pela água sobre o corpo.
lastro
x
A
água
óleo
h
2
h
1
6,0 cm
4,0 cm
óleo
água
16. (UE-PI) A existência de empuxo é um fenômeno 
observado:
a) tanto em gases quanto em líquidos.
b) apenas em substâncias líquidas.
c) apenas em materiais sólidos.
d) apenas na atmosfera terrestre.
e) apenas na água.
17. (Fuvest-SP) Imagine que, no final deste século 
XXI, os habitantes da Lua vivam em um grande 
complexo pressurizado, em condições equiva-
lentes às da Terra, tendo como única diferença 
a aceleração da gravidade, que é menor na Lua. 
Considere as situações imaginadas bem como as 
possíveis descrições de seus resultados, se reali-
zadas dentro desse complexo, na Lua:
Exercícios de Reforço
I. Ao saltar, atinge-se uma altura maior do que 
quando o salto é realizado na Terra.
II. Se uma bola está boiando em uma piscina, 
essa bola manterá maior volume fora da água 
do que quando a experiência é realizada na 
Terra.
III. Em pista horizontal, um carro, com veloci-
dade V
0 
consegue parar completamente em 
uma distância maior do que quando o carro é 
freado na Terra.
Assim, pode-se afirmar que estão corretos apenas 
os resultados propostos em:
a) I d) II e III
b) I e II e) I, II e III
c) I e III
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 525
 
18. (PUC-RS) Duas esferas metá-
licas, A e B, de mesmo volu-
me e massas diferentes, estão 
totalmente imersas na água. 
Analisando essa situação, é 
possível afirmar que a inten-
sidade do empuxo que a água 
exerce nas esferas: 
a) é a mesma nas duas esferas.
b) é maior na esfera A.
c) é maior na esfera B.
d) depende das massas das esferas.
e) depende da quantidade de água no recipiente.
19. (UF-MA) Um menino segura, através de um fio 
ideal, um balão de gás em equilíbrio na vertical, 
em uma região onde não há vento. As forças que 
atuam no balão são: o seu peso P, a tração no fio 
T e o empuxo E que o ar exerce sobre o balão. A 
relação entre essas forças está expressa na opção:
a) P + T = E d) P – T = E
b) P + T = –E e) P + T = 2E
c) P – T = –E
20. (UE-PA) Saturno, denominado planeta dos anéis, 
está muito distante do Sol, levando quase trinta 
anos para dar uma volta completa em sua órbita. 
Possui um volume de aproximadamente 1024 m3 
e massa da ordem de 6 · 1026 kg. Suponha que 
uma esfera de densidade igual à do planeta 
Saturno seja colocada em cada um dos recipien-
tes contendo líquidos de densidades de acordo 
com a figura. 
 
álcool
800 kg/m3
água
1 000 kg/m3
mercúrio
13 600 kg/m3
 
z
A
p
t
Analise as afirmativas abaixo sobre o que aconte-
cerá com a esfera nos três líquidos:
I. Afundará no álcool e flutuará na água e no 
mercúrio.
II. Flutuará nos três recipientes.
III. Sofrerá o mesmo empuxo nos três líquidos.
IV. Sofrerá maior empuxo no mercúrio.
Estão corretas somente as afirmativas:
a) I, II e IV d) II e III
b) I e III e) II e IV
c) I, III e IV
21. (Unifor-CE) Uma esfera de volume 4,0 dm3 e 
massa 24 kg é colocada no fundo de uma pis-
cina de 2,0 m de profundidade. Considerando a 
ação da água sobre a esfera, a aceleração local 
da gravidade igual a 10 m/s2 e a densidade da 
água igual a 1,0 g/cm3, a intensidade da força 
exercida pela esfera sobre o fundo da piscina, em 
newtons, vale:
a) 40 d) 200
b) 120 e) 240
c) 160
22. (UF-MS) Uma esfera maciça 
de volume 2,0 litros e que 
pesa 1,0 kgf no vácuo, presa a 
um cabo de massa desprezível, 
repousa no interior de um tan-
que contendo água (densidade 
1,0 g/cm3) (figura). A aceleração da gravidade 
local é g = 9,8 m/s2. 
Analise as sentenças a seguir e dê como resposta 
a soma dos números que antecedem as sentenças 
verdadeiras.
(01) A força tensora no cabo que prende a esfera 
é de 1,0 kgf.
(02) Se o cabo se romper, no final, a esfera flu-
tuará na superfície da água com 20% do seu 
volume submerso.
(04) O empuxo atuante sobre a esfera, que está 
totalmente dentro do tanque, tem módulo 
menor do que seu peso.
(16) Se o cabo se romper, a esfera adquire uma 
aceleração vertical para cima de 2,0 m/s2.
(64) O empuxo atuante sobre a esfera presa é de 
2,0 kgf.
23. (UF-PE) Uma mola ideal de comprimento 
L = 65 cm está presa no fundo de uma piscina 
que está sendo cheia. Um cubo de isopor de 
aresta a = 10 cm e massa desprezível é preso 
na extremidade superior da mola. O cubo fica 
totalmente coberto no instante em que o nível 
da água atinge a altura H = 1,0 m em relação ao 
fundo da piscina. Calcule a constante elástica da 
mola, em N/m.
a
L
 
H
m
A
r
C
o
S
 z
o
l
e
z
i
A
B
z
A
p
t
z
A
p
t
Capítulo 26526
24. (UF-SC) A figura representa um navio flutuando 
em equilíbrio, submetido à ação apenas do seu 
próprio peso e do empuxo exercido pela água. 
 
Considerando a situação descrita, verifique a(s) 
proposição(ões) correta(s) e dê como resposta a 
soma dos números que antecedem as sentenças 
verdadeiras:
(01) Mesmo sendo construído com chapas de 
aço, a densidade média do navio é menor 
do que a densidade da água.
(02) O empuxo exercido sobre o navio é igual ao 
seu peso.
(04) Um volume de água igual ao volume sub-
merso do navio tem o mesmo peso do 
navio.
(08) O empuxoexercido sobre o navio é maior do 
que o seu peso. Caso contrário, um pequeno 
acréscimo de carga provocaria o seu afunda-
mento.
(16) Se um dano no navio permitir que água 
penetre no seu interior, enchendo-o, ele 
afundará totalmente, porque, cheio de 
água, sua densidade média será maior do 
que a densidade da água.
(32) Sendo o empuxo exercido sobre o navio 
igual ao seu peso, a densidade média do 
navio é igual à densidade da água.
25. (UF-PA) A distância vertical entre a superfície da 
água em que uma embarcação navega e a parte 
mais baixa de sua quilha é chamada de calado. 
Nos navios a marcação do calado é feita com 
uma escala visível na lateral, na qual aparece a 
medida em metros. Dependendo das condições de 
flutuação, o calado de um navio pode variar.
calado
4,0 linha d’água
2,0
3,0
i
Substância Densidade (g/cm3)
gasolina 0,65
óleo lubrificante 0,91
água doce 1,015
água salgada 1,025
Com base na definição do calado de um navio 
e nos dados da tabela de densidades, analise as 
afirmativas abaixo: 
I. Se o navio estiver em um porto como o de 
Fortaleza, no oceano Atlântico, seu calado 
será maior do que se estiver no porto de 
Santarém, no rio Tapajós. 
II. Se um navio-tanque está carregado com óleo 
lubrificante, seu calado será maior do que se 
estiver carregado com volume igual de gasolina. 
III. Quando o calado de um navio aumenta, a 
pressão total na parte mais baixa do seu casco 
também aumenta. 
IV. Se a pressão atmosférica no local onde o 
navio se encontra aumentar, seu calado tam-
bém aumentará. 
Estão corretas as afirmativas:
a) I e II c) II e III e) III e IV
b) I e IV d) II e IV
26. (UF-RJ) Dois recipientes idênticos estão cheios 
de água até a mesma altura. Uma esfera metálica 
é colocada em um deles, vai para o fundo e ali 
permanece em repouso. No outro recipiente, é 
posto um barquinho que termina por flutuar em 
repouso com uma pequena parte submersa. Ao 
final desses procedimentos, volta-se ao equilíbrio 
hidrostático e observa-se que os níveis de água 
nos dois recipientes subiram até uma mesma 
altura. Indique se, na situação final de equilíbrio, 
o módulo E
e
 do empuxo sobre a esfera é maior, 
menor ou igual ao módulo E
b
 do empuxo sobre o 
barquinho. Justifique sua resposta.
27. (Fuvest-SP) Um objeto menos denso que a água 
está preso por um fio fino, fixado no fundo de 
um aquário cheio de água, conforme a figura a 
seguir. Sobre esse objeto atuam as forças peso, 
empuxo e tensão no fio. Imagine que tal aquá-
A
l
e
x
 A
r
g
o
z
in
o
A
l
e
x
 A
r
g
o
z
in
o
A
l
e
x
 A
r
g
o
z
in
o
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 527
3. Centro de empuxo 
no interior de um fluido qualquer, sob a ação da gravidade, 
consideremos uma superfície S de formato qualquer (fig. 16a). Se 
o fluido estiver em equilíbrio, o peso do fluido que está no interior 
de S (P) deve ter o mesmo módulo do empuxo (E) que o resto do 
fluido exerce sobre o fluido interno: |e| = |p|. Além disso, para haver 
equilíbrio de rotação, o ponto de aplicação do empuxo deve coin-
cidir com o centro de gravidade (C ) do fluido interno. o ponto C é 
chamado centro de empuxo.
Substituamos agora o fluido interno por um corpo que preen-
che todo o espaço no interior de S. Se o corpo for homogêneo, seu 
centro de gravidade (G) coincidirá com C. mas, se o corpo não for 
homogêneo, G será diferente de C, como no caso da figura 16b.
no caso de um corpo que flutua, com uma parte emersa 
(fig. 17), mesmo que ele seja homogêneo, o centro de gravidade 
não coincide com o centro de empuxo.
rio seja transportado para a 
superfície de Marte, onde a 
aceleração gravitacional é de 
aproximadamente 
g
3
, sendo 
g a aceleração da gravidade 
na Terra. Em relação aos 
valores das forças observa-
das na Terra, pode-se concluir que, em Marte:
a) o empuxo é igual e a tensão é igual.
b) o empuxo é igual e a tensão aumenta.
c) o empuxo diminui e a tensão é igual.
d) o empuxo diminui e a tensão diminui.
e) o empuxo diminui e a tensão aumenta.
28. (Unifor-CE) O esquema repre-
senta dois corpos A e B em 
equilíbrio. As roldanas e os 
fios são considerados ideais. 
Nessas condições, sendo 
g = 10 m/s2, a massa do 
corpo A igual a 8,0 kg e a 
massa do corpo B igual a 
7,0 kg, o empuxo sobre o 
corpo B vale, em newtons:
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
29. (UF-PE) Um bloco homogêneo e impermeável, de 
densidade p = 0,25 g/cm3, está em repouso, imer-
so em um tanque completamente cheio de água e 
vedado, como mostrado na figura a seguir. Calcule a 
razão entre os módulos da força que o bloco exerce 
na tampa superior do tanque e do peso do bloco.
g
tampa
‡gua
30. Um recipiente contendo água está sobre uma 
balança graduada em newtons que assinala 
420 N (fig. a). Um corpo cilíndrico de massa 12 kg 
e densidade 6,0 g/cm3, preso a um dinamô-
metro, é parcialmente mergulhado na água 
(fig. b), de modo que fica com metade de seu 
volume submerso. Sabendo que g = 10 m/s2 e 
que a densidade da água é de 1,0 g/cm3, calcule, 
para a situação da figura b:
a) a marcação do dinamômetro;
b) a marcação da balança.
 
 Figura a. Figura b.
Figura 16.
Figura 17.
C
S
E
P
G
C
(a) (b)
g
A
água B
g
E
P
C
S
G
E
il
u
St
r
A
ç
õ
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zA
pt
Capítulo 26528
na figura 18a representamos a seção reta de um corpo que flutua, em equilíbrio, em 
um líquido. para que haja equilíbrio de rotação, o centro de empuxo (C ) e o centro de 
gravidade (G) do corpo devem estar em uma mesma reta vertical.
Se provocarmos no corpo uma pequena inclinação (figs. 18b e 18c), o centro de gra-
vidade não se altera, mas o centro de empuxo muda de posição (em relação ao corpo) 
e, então, temos duas possibilidades:
1a. ) Se acontecer o que está representado na figura 18b, haverá um torque resultante 
que tenderá a fazer o corpo voltar a sua posição inicial.
2a. ) Se acontecer o que está representado na figura 18c, o torque resultante provocará 
um aumento da inclinação e o corpo “tombará”.
Exercícios de Aplicação
32. Um martelo de cabo de madeira e cabeça de aço é 
abandonado dentro da água na posição indicada 
na figura. Em que sentido ele irá inicialmente 
girar?
33. Uma barra cilíndrica e homogênea flutua com 
metade de seu comprimento submerso na água, 
como indica a figura, 
tendo sua extremidade X 
presa a um fio que, por 
sua vez, está preso a um 
suporte S. Sabendo que 
a densidade da água é 
1,0 g/cm3, calcule a densi-
dade da barra.
 
31. Uma barra cilíndrica é 
feita metade de aço e 
metade de madeira. Essa 
barra é abandonada den-
tro da água na posição 
horizontal, como mostra 
a figura a. Em que senti-
do vai girar a barra?
Resolu•‹o:
Como a barra é cilíndrica, o centro de gravidade 
(C) da água que caberia no espaço ocupado pela 
barra está no centro dela, isto é, o centro de 
empuxo é o centro da barra.
Porém, sendo o aço mais denso 
que a madeira, o centro de 
gravidade (G) da barra estará à 
esquerda do centro.
Percebemos, então, a partir da 
figura b, que o peso P e o empu-
xo produzem um torque resul-
tante no sentido anti-horário.
G
C
E
P
G
C
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G
C
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A
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C
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zo
le
zi
(a) (b) (c)
Figura 18.
Figura a.
gaço madeira
água
C
x x
G
E
P
Figura b.
zA
pt
zA
pt
zA
pt
lu
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 A
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g
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 r
ib
ei
r
o
X
S
g
4. O significado do empuxo 
no início do capítulo afirmamos que o empuxo, calculado pelo peso do fluido deslo-
cado, é a força que o fluido faz num corpo total ou parcialmente imerso no fluido. isso é 
certamente verdade quando o corpo está totalmente imerso, como você pode verificar 
seguindo o raciocínio de Arquimedes. porém, quando o corpo está parcialmente sub-
merso, tal afirmação pode não ser verdade.
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 529
Para percebermos isso, consideremos a situação ilustrada na figura 19. Um corpo 
cilíndrico, cujo eixoestá na vertical e cuja área da base é A, está parcialmente submerso 
em um líquido de densidade d
L
, sendo h a altura da parte submersa. A face superior 
sofre a ação de uma força F
1
, em decorrência da pressão atmosférica:
F
1
 = p
atm
 · A
A pressão na face inferior (p
2
) é dada pela Lei de Stevin:
p
2
 = p
atm
 + d
L
gh
Assim, a força exercida pelo líquido na face inferior é F
2
, cujo módulo é:
F
2
 = p
2
 · A = (p
atm
 + d
L
gh) · A = (p
atm
 · A) + d
L
ghA
 F
1
 V
L
Mas o produto hA é o volume da parte submersa, isto é, o volume do líquido deslo-
cado (V
L
). Assim, a equação acima fica:
F
2
 = F
1
 + d
L
V
L
g
 P
L
ou: 
F
2
 – F
1
 = P
L
E
sendo P
L
 o peso do líquido deslocado.
Portanto, o empuxo E é a resultante de F
2
 e F
1
, sendo F
2
 a força exercida pelo líquido e 
F
1
 a força exercida pela atmosfera. O empuxo só será igual à força exercida pelo líquido 
se F
1
 = 0, isto é, se não houver ar acima da superfície do líquido.
A situação aqui descrita é semelhante à que foi discutida no exercício 12.
Empuxo e fluido deslocado
A expressão fluido deslocado significa fluido afastado. Assim, quando dizemos 
que um corpo (total ou parcialmente submerso em um fluido) deslocou uma quantida-
de de fluido de volume V
L
, estamos dizendo que o corpo ocupa um volume V
L
 anterior-
mente ocupado pelo fluido.
Usualmente, na apresentação do Princípio de Arquimedes, afirma-se: 
“O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado”.
Porém essa afirmação nem sempre é verdade.
Para percebermos isso, consideremos a situação ilustrada na figura 20, em 
que representamos a seção reta de um corpo prismático flutuando em um líqui-
do contido em um recipiente também prismático, sendo V
e
 o volume da parte 
emersa e V
i
 o volume da parte imersa.
Usando as medidas dadas na figura, é fácil concluir que o volume do líquido 
é menor que o volume imerso, isto é:
“o volume do líquido deslocado é maior que 
o volume total de líquido disponível no recipiente”.
Portanto, quando há pouco líquido disponível, é possível que o corpo flutue 
de modo que o empuxo não seja igual ao volume de líquido deslocado. Assim, 
o modo mais adequado de apresentar o Princípio de Arquimedes é:
“O empuxo tem o mesmo módulo do fluido que caberia no 
espaço ocupado pela parte submersa do corpo”.
Figura 19.
Figura 20.
V
e
V
i
16 cm
20 cm
2 cm
4 cm
10 cm
14 cm M
A
r
c
O
S
 Z
O
Le
Z
i
Z
A
P
t
p
atm
F
1
F
2
h
Capítulo 26530
Exercícios de Aprofundamento
Figura 21.
vidro
mercœrio
F
R
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A
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m
A
r
C
o
S 
zo
le
zi
(a)
(b)
(c)
Um caso especial
A densidade do mercúrio é maior que a densidade do vidro. Assim, se colocarmos 
um bloco de vidro no mercúrio, o bloco deverá flutuar. 
no entanto, se colocarmos um cubo de vidro bem polido no fundo de um recipiente, 
também muito liso, inicialmente vazio e, a seguir, colocarmos o mercúrio lentamen-
te sobre o vidro até cobri-lo, pode acontecer de o vidro não subir, ficando no fundo 
(fig. 21a). por quê?
para entender essa situação precisamos nos lembrar de que o empuxo é na realidade 
a resultante das forças de pressão exercidas sobre o corpo. Ao procedermos da maneira 
descrita, o mercúrio não penetra na parte de baixo do vidro, isto é, não há mercúrio 
entre o vidro e o fundo. Assim, na vertical, o mercúrio só exerce forças na parte superior 
do bloco (fig. 21b), ocasionando uma resultante para baixo (F
r
), comprimindo o bloco 
contra o fundo.
Se levantarmos um pouco o bloco, permitindo que o mercúrio penetre entre o vidro 
e o fundo (fig. 21c), aparecerão forças de pressão para cima e aí a resultante das forças 
na vertical será o empuxo E (para cima), cuja intensidade será igual ao peso do fluido 
deslocado.
34. Um vaso de vidro de paredes finas e cuja área da 
base é A = 120 cm2 (fig. a) contém água até uma 
altura de 20 cm. Um corpo de volume 400 cm3 e den-
sidade 0,60 g/cm3 é posto a flutuar na água (fig. b). 
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, 
calcule o novo valor (x) do nível da água.
 
20 cm
A
Figura a. 
x
 Figura b. 
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r
A
ç
õ
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zA
pt
35. Quando penduramos um corpo C em um dinamô-
metro (fig. a), este marca 60 N. Ao mergulharmos 
o corpo na água (fig. b), o dinamômetro registra 
40 N e, ao mergulharmos o corpo num outro líqui-
do (fig. c), o dinamômetro marca 45 N. Sabendo 
que a densidade da água é 1,0 g/cm3, calcule a 
densidade do outro líquido (g = 10 m/s2).
60 N 40 N 45 N
C
C
C
Figura a. Figura b. Figura c.
36. (UF-GO) Considere um líquido de densidade 
1 000 kg/m3, adote g = 10 m/s2 e suponha que 
1 atm = 105 N/m2. Verifique, entre as sentenças 
a seguir, quais são verdadeiras.
I. Se um submarino de 150 000 kg, com suas 
turbinas desligadas, permanece em repouso 
no interior do líquido, então seu volume é de 
150 m3.
II. A pressão hidrostática no interior do líquido 
aumenta 1 atm a cada 1 m de profundidade.
III. Um objeto é capaz de permanecer em repouso 
a qualquer profundidade, se sua densidade for 
igual à do líquido.
IV. Se um corpo flutua com 95% do seu volume 
submerso, sua densidade é 95% menor do que 
a do líquido.
37. Um corpo esférico e homogêneo de raio 3,0 cm 
flutua em um líquido de densidade 2,7 g/cm3, de 
modo que a altura da parte submersa é 4,0 cm. 
Qual é a densidade do corpo? Dado: volume do 
segmento esférico V = πh
2
3
(3R – h).
h
R
Figura a. 
m
A
r
C
o
S 
zo
le
zi
 
4,0 cm
Figura b.
Capítulo 26530
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 531
38. Uma barra cilíndrica e homogênea flutua com 
metade de seu comprimento submerso na água, 
como indica a figura, tendo sua extremidade X 
presa a um fio que, por sua vez, está preso a um 
suporte S. O comprimento da barra é 2,0 m, a 
área de sua seção reta é 4,0 cm2 e g = 10 m/s2.
X
S
g
 
Calcule:
a) o volume da barra;
b) a massa da barra;
c) a intensidade da tração no fio.
39. Descartes imaginou um interessante brinquedo 
para ilustrar as propriedades dos fluidos. Ele 
pegou um pequeno tubo de vidro, parcialmen-
te cheio de água, e o colocou invertido dentro 
de uma garrafa contendo água, como mostra a 
figura. A seguir, tapou a garrafa com uma rolha. 
Verificou então que, comprimindo a rolha, o tubo 
descia. Como explicar isso?
 
40. Dentro de um cilindro há um corpo flutuando 
em água, sendo h a altura da parte submersa na 
água. Um êmbolo que pode mover-se sem atrito 
impede que o ar interno escape. Se aplicarmos ao 
êmbolo uma força vertical F , aumentando a pres-
são do ar, o que acontecerá com h? Aumentará, 
diminuirá ou continuará igual?
água
ar
h
êmbolo
F
41. O plástico é menos denso que a água. No entanto, 
se tivermos um tanque cujo ralo está fechado 
com uma tampa de plástico, precisamos exercer 
mais força para destampar o ralo com o tanque 
cheio de água do que quando vazio. Por quê?
42. A figura mostra uma pequena esfera, de volume 
300 cm3 e densidade 0,200 g/cm3, em equilíbrio e 
imersa em água, presa por um fio ideal ao fundo 
do recipiente. 
g
Adotando g = 10 m/s2, calcule:
a) o módulo do empuxo sobre a esfera;
b) o peso da esfera;
c) a tração no fio.
43. Suponhamos que o recipiente da questão ante-
rior adquira movimento acelerado para a direita, 
com aceleração de módulo a = 
25
6
 m/s2.
a) Em seu caderno, faça um desenho mostrando 
a nova situação de equilíbrio da esfera.
b) Determine os módulos do empuxo e da tração.
44. (UF-RJ) Um aluno, primeiramente, colocou água 
em um recipiente e o posicionou sobre uma 
balança, obtendo uma leitura m
0
 em gramas. 
Depois imergiu na água uma bola de acrílico com 
massa igual a 600 g e volume 400 cm3, presa por 
um fio ao teto. Considere a densidade da água 
igual a 1 000 kg/m3 e a aceleração da gravidade 
10 m/s2. Calcule:
a) a tensão do fio;
b) a variação em gramas da medida da balança 
devido à introdução da bola de acrílico na 
água.
l
u
iz
 Fe
r
n
A
n
D
o
 r
u
b
io
ar
Fluidostática – Princípio de Arquimedes 531
z
A
p
t
z
A
p
t
z
A
p
t
r
o
D
V
A
l
 m
A
t
iA
S
Capítulo 26532
45. (Fuvest-SP) Uma bolinha de isopor é mantida 
submersa, em um tanque, por um fio preso ao 
fundo. O tanque contém um líquido de densi-
dade d igual à da água (1 g/cm3). A bolinha, de 
volume V = 200 cm3 e massa m = 40 g, tem seu 
centro mantido a uma distância H
0
 = 50 cm da 
superfície (fig. I). Cortando o fio, observa-se que 
a bolinha sobe, salta fora do líquido, e que seu 
centro atinge uma altura h = 30 cm acima da 
superfície (fig. II). Desprezando os efeitos do ar 
e adotando g = 10 m/s2, determine:
situação inicial
H
0
Figura I. Figura II.
h
situação final
 
m
A
r
C
o
S
 z
o
l
e
z
i
a) a altura h', acima da superfície do líquido, 
que a bolinha atingiria se não houvesse atrito 
com o líquido;
b) a energia mecânica dissipada entre a situação 
inicial e a final.
46. (UF-GO) Uma boia de sinalização tem a forma de 
um cone invertido encimado por um hemisfério 
e está presa por um fio, de massa desprezível, ao 
fundo de um reservatório de água, de maneira a 
ter apenas a parte cônica submersa, como mostra 
a figura. O cone tem altura h = 1 m e o raio de sua 
base, que é o mesmo do hemisfério, é R = 30 cm. 
A boia é maciça e construída de um material de 
densidade 0,45 g/cm3. Estime o valor da tensão 
no fio, considerando π = 3, g = 10 m/s2 e a 
densidade da água 1,0 g/cm3.
h
R
47. (Fuvest-SP) um recipiente cilíndrico vazio flutua 
em um tanque de água com parte de seu volume 
submerso, como na figura a seguir. 
O recipiente possui marcas graduadas igualmente 
espaçadas, paredes laterais de volume desprezível 
e um fundo grosso e pesado. Quando o recipiente 
começa a ser preenchido, lentamente, com água, 
a altura máxima que a água pode atingir em 
seu interior, sem que ele afunde totalmente, é 
melhor representada por:
a) d) 
b) e) 
c) 
SUgEStÃO DE LEItURA
Bendick, Jeanne. Arquimedes, uma porta para 
a Ciência. São Paulo: Odysseus, 2002.
Este livro apresenta uma boa exposição da vida 
e da obra de Arquimedes.
Capítulo 26532
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	26. Fluidostática –
Princípio de Arquimedes