AD2-C2-2020-1-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD2 (2020/1) - Gabarito 
 
1ª Questão (2,5 pontos)  Utilize substituições adequadas para calcular a integral indefinida  
 
4 2
4
sen .cos .sen 2
sen 9
x x x
x
dx
  
 
Solução da Questão 1 
 
 
Inicialmente façamos 
2senu x     (I) 
 
 
2sen cos sen 2du x x dx du x dx     
 
a integral fica 
 
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2
sen .cos .sen 2 (sen ) .(1 sen ).sen 2 .(1 )
sen 9 (sen ) 9 9
x x x x x x u
x x
u
dx dx
u
du  
     (II) 
 
 
Note  que  o  denominador  possui  uma  expressão  da  forma  2 2u a ,  com  3a   ,  o  que  sugere 
aplicar  uma mudança  de  variável  via método  de  substituição  trigonométrica  usando  a  função 
tangente (ou cotangente), como mostra o triângulo associado da Figura 1 a seguir 
 
 
 
Figura 1 
 
 
Assim     
2
3
3 3
u tgu
tg
du sec d


 

  

     (III) 
 E ainda:  2 29 9u sec       
 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
na
2	
 
Usando esta substituição na última integral em (II) tem‐se:  
 
 
   
 
2 22
2 2
2 1/22
2 2 3
2 2
sec tg sec
(*
9tg . 1 3tg 9tg . 1 3tg.(1 )
.3sec .3sec
(9sec ) 3sec
9tg . 1 3tg sec 9sec tg 27 tg sec
9sec (sec 1) 27 (sec 1) tg sec
9
w dw d
u
d d
d d d
d d
u
u
du
   
   
   
 
         
      
  
 
  

    
    

 
  
 


)
3 2
3
3
9 sec 9 sec 27 ( 1)
9
tg sec sec 9ln tg sec 27
2 3
9 9 sec
tg sec ln tg sec 27 sec
2 2 3
d d w dw
w
d w
C
   
     
    
   
   
         
  
 
      
 
  

 
 
 
Substituindo em (II) e usando as mudanças (I) e (III), fica 
 
 
   
   
3/2 1/22 24 2 2 2
4
3/2 1/24 42 4
2 4
9 9sen .cos .sen 2 9 9 9 9
. . .ln 27
2 3 3 2 3 81 3sen 9
sen 9 sen 9sen . sen 9 9
.ln sen sen 9 27
2 2 81 3
u ux x x u u u u
C
x
x xx x
x x C
dx
           
   
          
 
 

 
Obs.: Na integral (*), pode‐se usar, por exemplo, a fórmula de recorrência 
  
 
2
2sec .tg 2
1 1
sec sec
n
n nx x n
n n
dx dxx x

 
   , com 3n  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pá
gi
na
3	
 
2ª Questão (3,0 pontos)  
 
a) (1,5)   Analise se a integral dada converge ou diverge 
52 3
14 7 4 1/5
6
3 5 116
.
4 317 ( 5)
( 1)
2 7 .
x x
dx
x x x
e
x x x

  



         
    
b) (1,5) Calcule a integral imprópria a seguir 
 
2
2 4
5 25 180
144 7
4
x x
x x
dx
 
 

  
 
 
Solução da Questão 2 a) 
 
 
Queremos estudar a convergência da integral imprópria 
17
( )f x dx

 , em que 
 
52 3 6
3 5 11 14 7 4 1/56
.( 1)
( )
2 7 . ( 4 3 5)
xe x
f x
x x x x x x
 

    
. 
Observemos que se tem  2( ) . ( )xf x e h x , sendo  
 
5 3 6
3 5 11 14 7 4 1/56
( 1)
( )
2 7 . ( 4 3 5)
x
h x
x x x x x x


    
. 
 
Note que ambas as funções são positivas para  17x  , já que envolvem apenas produtos e quocientes 
com expressões aditivas, além da exponencial, que também é sempre positiva. 
 
Agora  
2 3417 2 34 2 34 xx x x e e         , 
portanto  
2 34( ) . ( ) . ( )xf x e h x e h x   . 
 
Se provarmos que a integral imprópria 
17
( )h x dx

 é convergente, seguirá do critério de comparação que a 
integral imprópria 
17
( )f x dx

  também é convergente. 
 
Notemos que a função  ( )h x  envolve potências da variável  x e em geral usamos, para fim de comparação, 
as integrais da forma 
1
p
r
dx
x

   , com  0r  . Busquemos portanto uma comparação com uma função 
destas tentando reescrever a função  ( )h x colocando em evidência um fator semelhante ( aqui será 
17r  ): 
 
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Pá
gi
na
4	
 
 

63/55 3 6
1/63 5 11 14 7 4 1/5 3 5 11 14 7 4 1/56
6
3/5
0 3/5
1/6 1/5
11 14
8 6 7 10 14
6
18/5
3/5
7( 1)
( )
2 7 . ( 4 3 5) 2 7 .( 4 3 5)
7
. 1
2 1 4 3 5
. 7 . . 1
7
. 1
x
xx
h x
x x x x x x x x x x x x
x
x
x x
x x x x x
x
x


  
         
       
                      
  
  1/6 1/5
11/6 14/5
8 6 7 10 14
6
3/5
1/6 1/531/30
8 6 7 10 14
2 1 4 3 5
. 7 . 1
7
1
1
.
2 1 4 3 5
7 . 1
x x
x x x x x
x
x
x x x x x

          
   
  
 
          
     
 
pois 
11 14 18 31
6 5 5 30
   . 
 
Sendo 
31/30
1
( )g x
x
 , temos que  
 
 
6
3/5
1/6 1/5
8 6 7 10 14
7
1
( )
( ) 2 1 4 3 5
7 . 1
h x x
g x
x x x x x
  
 
          
   
 
assim      
6
3/5
1/6 1/5 6
8 6 7 10 14
7
1
( ) 1
lim lim 0
( ) 72 1 4 3 5
7 . 1
x x
h x x
g x
x x x x x
 
  
   
          
   
, 
 
 
De acordo com o critério do limite do quociente, no que diz respeito à convergência, as integrais impróprias 
17
( )h x dx

 e 
17
( )g x dx

 comportam‐se da mesma forma. 
 
Agora   
31/30
17 17
( )
1
g x dx dx
x
 
  . 
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Pá
gi
na
5	
De acordo com os exemplos de referência vistos nas aulas, a integral imprópria 
17
1
p dxx

  é convergente 
se, e somente se,  1p  . Portanto 
17
( )g x dx

  converge  e com isto pode‐se concluir que a integral dada 
no enunciado é convergente.  
 
 
Solução da Questão 2 b) 
 
 
2
2 4
5 25 180
144 7
4
x x
x x
dx
 
 

  
 
Observe que a integral dada é imprópria do primeiro tipo, pois intervalo de integração [4, ) é infinito. 
Obs.: note que o polinômio do denominador assume valores positivos  se  3x  . Em particular, não  se 
anula no intervalo [4, ) . 
Note‐se que o integrando 
2
2 4
5 25 180
144 7
x x
x x
 
 
 pode ser escrito como 
 
2 2 2 2
2 4 4 2 2 2 2
5 25 180 5 25 180 5 25 180 5 25 180
144 7 ( 7 144) ( 16).( 9) ( 16).( 3)( 3)
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
        
   
          
 
 
e está definido no intervalo dado. Pela definição de integral imprópria, onde o limite de integração superior 
é infinito, temos  
 
 
2 2 2
2 4 2 2
444
5 25 180 5 25 180 5 25 180
lim
144 7 ( 16).( 3)( 3) ( 16).( 3)( 3)t
t
x x x x x x
x x x x x x x x
dx dx dx

        
       
   (*) 
 
 
Calculemos separadamente a integral indefinida 
2
2
5 25 180
( 16).( 3)( 3)
x x
x x x
dx  
   
Decompondo o integrando em frações parciais , fica: 
 
2
2
2 2 2
2
3 2 3 2 3 2
2
3
2
5 25 180
( 16).( 3)( 3)
( 16).( 3) ( 16).( 3) ( ).( 9)
( 16).( 3)( 3)
( 3 16 48) ( 3 16 48) ( 9 9 )
( 16).( 3)( 3)
( ) (3(
3 3 16
x x
x x x
A x x B x x Cx D x
x x x
A x x x B x x x Cx Dx Cx D
x x x
A B C x A
A B Cx D
x x x
  
   
  
       
 
  
          
 
  
   


  
2
2
) ) (16( ) 9 ) (48( ) 9 )
( 16).( 3).( 3)
B D x A B C x A B D
x x x
      
  
 
 
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Pá
gi
na
6	
 
e então 
 
3 2 2( ) (3( ) ) (16( ) 9 ) (48( ) 9 ) 5 25 180A B C x A B D x A B C x A B D x x               
 
0 ( )
3( ) 5 ( )
16( ) 9 25 ( )
48( ) 9 180 ( )
A B C I
A B D II
A B C III
A B D IV
  
         
    
 
 
Fazendo  (III) – 16(I): 25 25 1C C     
 
Fazendo  (IV) – 16(II): 25 100 4D D     
 
 
Substituindo  nas equações (I) e (II)  
 
1 2
3 1
A B A
A B B
          
 
 
Assim: 
 
2
2 2
5 25 180
( 16).( 3)( 3)
2 1 4
3 3 16
x x
x x x
x
x x x
  
  
  
 
  
 
e  portanto 
 
2
2
2
2 1/2
2
2 2
5 25 180
( 16).( 3)( 3)
1
.
2
1
16 arctg
2 4
( 3)( 16)
arctg
( 3) 4
2 1 2 4
3 3 16 162ln | 3| ln | 3| ln( )
ln
x x
x x x
x
x C
x x x
C
x
dx
xdx dx dx dx
x x x x
x x
  
  
    
 
       
    
   
      

   
 
 
 
 
Logo, substituindo em (*); 
 
 
2 2 2 1/2
2 4 2 2
444
5 25 180 5 25 180 ( 3)( 16)
lim lim arctg
144 7 ( 16).( 3)( 3) ( 3) 4
ln
t
t t
tx x x x x x x
x x x x x x
dx dx
 
          
          
   
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
na
7	
 
 
 
2 1/2 1/2
2
( 3)( 16) (7)(32)
lim arctg arctg 1
( 3) 4 1
ln 28 2
2 4
ln 28 2
4
ln ln
t
t t t
t
 


                 
    
 
 
 
, pois 
 
 
pois  
1/2 1/2
2 2
22 1/2 2
2 22
2 2
2 1/2
2
3 16 3 161 . 1 1 . 1
( 3)( 16)
lim lim lim 1
( 3) 3 3
. 1 1
( 3)( 16)
lim 0
( 3)
ln
t t t
t
t t t
t tt t t t
t
t t
t t
t t
t
  

                               
        
   
 
 

 
 
 e  lim arctg
4 2t
t 

   
 
. 
 
Logo    
2
2 4
4
5 25 180
ln 28 2
144 7 4
x x
x x
dx
  

 
  , em particular, é convergente. 
 
 
3ª Questão  (3,0 pontos)  Seja R  a  região  limitada pelas curvas  10 05 2x y  , 6 5 12 0x y   , 
22 2xy   ,  32 1 5 xy   . Apresente o que se pede.  
( obs.: os pontos de interseção das retas com as curvas exponenciais são 
5
1,
2
 
 
 
 e 
12
4,
5
 
 
 
 ). 
 
a) (1,5 ponto)  Represente, por meio de uma ou mais integrais relativas a mesma variável, o volume 
do sólido obtido fazendo R  girar  em torno do eixo  x , indicando qual o método utilizado. Calcule 
este volume.     
b) (1,5 ponto)  Represente, por meio de uma ou mais integrais relativas a mesma variável, o volume 
do sólido obtido fazendo R  girar  em torno do eixo  y , indicando qual o método utilizado. Calcule 
este volume. 
 
 
Solução da Questão 3 a) 
 
 
A região considerada é mostrada na figura 3.1 a seguir: 
 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
na
8	
 
Figura 3.1                                                                    
 
Além dos dois dados no enunciado, os outros dois pontos de interseção são facilmente obtidos, igualando‐
se as respectivas equações das curvas. Sendo assim, os pontos de interseção das curvas são  
5
1,
2
 
 
 
, 
(2,0) , (3, 4) e 
12
4,
5
 
 
 
. 
 
a1) Usando o método das Cascas Cilíndricas: 
 
Note que como o eixo de rotação é o eixo  x , ao se aplicar o método das cascas cilíndricas, a 
integração tem que ser feita em relação à variável  y .  
Vamos dividir a região dada em três regiões  1R  ,  2R  e   3R , como mostra a figura 3.2 a seguir, e 
então somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo  x . 
 
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Pá
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9	
 
 
Figura 3.2 
 
‐ em  1R  ,  1
5 12 10 2 37
( )
6 5 30
y y y
h y
         
   
  e   1( )r y y , com 
12
0
5
y  ; 
‐ em  2R  ,  2 5 5
2 10 2 2 2
( ) 3 log 1 log
2 5 5 2
y y y y
h y
                   
      
  e   2 ( )r y y , com 
12 5
5 2
y    ( ou seja 2,4 2,5y  . Por isso a região é tão fina, no desenho !!!) 
‐ em  3R  ,      3 5 2 5 22 2( ) 3 log 2 log 2 1 log log 22 2
y y
h y y y
                 
    
  e  
3( )r y y , com 
5
4
2
y  . 
 
 
Assim, os volumes  1V ,  2V  e  3V  dos sólidos obtidos pela rotação de cada uma das regiões  1R ,  2R  e  3R , 
respectivamente, em torno do eixo  x , são dados por 
 
12 12 12
25 5 5
1 1 1
0 0 0
37 37
2 ( ). ( ) 2 . 2
30 30
y y
V r y h y dy y dy dy       . 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
10
	
5 5
2 2
2 2 2 5
12 12
5 5
2 2
2 ( ). ( ) 2 . 1 log
5 2
y y
V r y h y dy y dy          
  
   
 
 
4 4
3 3 3 5 2
5 5
2 2
2
2 ( ). ( ) 2 . 1 log log 2
2
y
V r y h y dy y y dy          
  
   
 
Enfim, o volume total do sólido é a soma dos três volumes acima 
 
 
1 2 3
12 5
425 2
5 5 2
12 50
5 2
37 2 2 2
2 . 1 log . 1 log log 2
30 5 2 2
V V V V
y y y y
dy y dy y y dy
   
 
                              
  
 
 
 
a2) Usando o método dos Discos: 
 
Note que como o eixo de rotação é o eixo  x , ao se aplicar o método dos discos, a integração tem que ser 
feita em relação à variável  x .  
 
Vamos dividir a região dada em três regiões  1R  ,  2R  e   3R , como mostra a figura 3.3 a seguir, e então 
somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo  x . 
 
            
      Figura 3.3   
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
na
11
	
 
Neste caso,  na região  1R    para 1 2x  os raios dos discos da arruela típica são dados por   
2
1( ) 2 2
xR x   e 1
10 5
( )
2
x
r x

   . 
 
Logo denotando por  1V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo x , temos  que  
 
22
22
1
1
10 5
2 2
2
x xV dx 
      
   
 . 
 
Analogamente na região  2R    para 2 3x   os raios dos discos da arruela típica são dados por 
2
2 ( ) 2 2
xR x     e  2
6 12
( )
5
x
r x

 . 
Logo denotando por  2V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo x , temos  que  
 
23
22
2
2
6 12
2 2
5
x xV dx 
      
   
 . 
Por fim,  na região  3R    para 3 4x   os raios dos discos da arruela típica são dados por 
 33( ) 2 1 5 xR x     e  3 6 12( ) 5
x
r x

 . 
Logo denotando por  3V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo x , temos  que  
  
24 2
3
3
3
6 12
2 1 5
5
x xV dx 
      
   
 . 
 
Assim neste caso  
      
    
1 2 3
2 2 22 3 4 22 22 2 3
1 2 3
2 23 4 2 4222 3
1 3 1 2
10 5 6 12 6 12
2 2 2 2 2 1 5
2 5 5
10 5 6 12
2 2 2 1 5
2 5
x x x
x x
V V V V
x x x
dx dx dx
x x
dx dx dx dx
  

  
 
   
                               
               
              
     
  
   
 
 
Calculando o volume por esta última expressão obtida no método dos discos, temos: 
 
(I)  
   
33 3 2 4
22 2 4
1 1 1
2 2
2 2 4 2 2 4
ln 2 2ln 2
8 4 2 1 63
12 4 8
ln 2 2ln 2 ln 2 8ln 2 8ln 2
x x
x x xdx dx x

           
 
                
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
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12
	
(II)  
    
44 4 3 6 22
3 3 6 2
3 3 3
5 5
2 1 5 4 8.5 4.5 4 8. 4.
ln 5 2ln 5
8 2 8 2 208
16 12 4
5ln 5 25ln 5 ln 5 ln 5 25ln 5
x x
x x xdx dx x
 
            
 
                
 
 
 
(III)         
22 32
1 1
10 5 2 10 5 2 125 25
0
2 15 2 15 8 12
x x
dx
                             
  
 
(IV)  
42 3 34
2 2
6 12 5 6 12 5 12 96
0
5 18 5 18 5 25
x x
dx
                    
           
  
 
 
Juntando tudo: 
 
 
        63 208 25 96 1823 63 208I + II - III - IV 8 4 u.v.
8ln 2 25ln 5 12 25 300 8ln 2 25ln 5
V                                 
 
(Obs.: Usando uma calculadora, só para ter uma ideia, o valor aproximado do volume é de 71,02 
u.v.) 
 
 
Solução da Questão 3 b) 
 
 
b1) Usando o método das Cascas Cilíndricas: 
 
Note que como o eixo de rotação é o eixo  y , ao se aplicar o método das cascas cilíndricas a 
integração tem que ser feita em relação à variável  x .  
Vamos dividir a região dada em três regiões  1R  ,  2R  e   3R , como mostra a figura 3.4a seguir, e 
então somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo  y . 
 
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Figura 3.4 
 
‐ em  1R  ,   21 10 5( ) 2 2 2
x xh x 
    
 
  e   1( )r x x , com 1 2x  ; 
‐ em  2R  ,   22 6 12( ) 2 2 5
x xh x 
    
 
  e   2 ( )r x x , com 2 3x     
‐ em  3R  ,    33 6 12( ) 2 1 5 5
x xh x 
    
 
  e   3( )r x x , com 3 4x  . 
 
 
Assim, os volumes  1V ,  2V  e  3V  dos sólidos obtidos pela rotação de cada uma das regiões  1R ,  2R  e  3R , 
respectivamente, em torno do eixo  y , são dados por 
 
 
2 2
2
1 1 1
1 1
10 5
2 ( ). ( ) 2 . 2 2
2
x xV r x h x dx x dx          
  
  . 
 
 
3 3
2
2 2 2
2 2
6 12
2 ( ). ( ) 2 . 2 2
5
x xV r x h x dx x dx         
  
   
 
  
4 4
3
3 3 3
3 3
6 12
2 ( ). ( ) 2 . 2 1 5
5
x xV r x h x dx x dx          
  
   
 
Enfim, o volume total do sólido é a soma dos três volumes acima 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
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Pá
gi
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14
	
      
   
1 2 3
2 3 4
2 2 3
1 2 3
3 4 2 4
2 3
1 3 1 2
10 5 6 12 6 12
2 . 2 2 . 2 2 . 2 1 5
2 5 5
10 5 6 12
2 . 2 2 2 . 1 5 . .
2 5
x x x
x x
V V V V
x x x
x dx x dx x dx
x x
x dx x dx x dx x dx


  
 
   
                                 
           
              
    
  
   
 
 
 
b2) Usando o método dos Discos: 
 
Note que como o eixo de rotação é o eixo  y , ao se aplicar o método dos discos, a integração tem que ser 
feita em relação à variável  y .  
 
Vamos dividir a região dada em três regiões  1R  ,  2R  e   3R , como mostra a figura 3.5 a seguir, e então 
somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo  y . 
 
            
      Figura 3.5   
 
 
Neste caso, na região  1R    para 
12
0
5
y  os raios dos discos da arruela típica são dados por   
 
1
5 12
( )
6
y
R y

 e 1
10 2
( )
5
y
r y

   . 
 
Logo denotando por  1V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo  y  , temos  que  
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
15
	
12
2 25
1
0
5 12 10 2
6 5
y y
V dy
          
     
 . 
 
Analogamente na região  2R    para 
12 5
5 2
y   os raios dos discos da arruela típica são dados por 
2 5
2
( ) 3 log
2
y
R y
    
 
  e  2
10 2
( )
5
y
r y

 . 
Logo denotando por  2V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo  y  , temos  que  
5
2 22
2 5
12
5
2 10 2
3 log
2 5
y y
V dy
             
      
 . 
Por fim,  na região  3R    para 
5
4
2
y   os raios dos discos da arruela típica são dados por 
3 5
2
( ) 3 log
2
y
R y
    
 
  e   3 2( ) 2 log 2r y y   . 
Logo denotando por  3V  o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo  y  , temos  que  
  
24
2
3 5 2
5
2
2
3 log 2 log 2
2
y
V y dy
          
    
 . 
 
Assim neste caso  
  
1 2 3
12 5
22 24 45 2
2
5 2
12 50 0
5 2
5 12 2 10 2
3 log 2 log 2
6 2 5
V V V V
y y y
dy dy dy y dy
   
 
                              
   
 
 
 
Calculando o volume pela expressão obtida no método das cascas cilíndricas , temos: 
 
   
3 4 2 4
2 3
1 3 1 2
10 5 6 12
2 . 2 2 2 . 1 5 . .
2 5
x x x xx dx x dx x dx x dx  
             
    
     
 
 
(I)  
 

  
     
333 3 3
32 2 2 2
21
1 1 11 1
2 2 2
.2 2 .2 2
2 2 .2
4 4ln 2 4ln 2 4ln 2 4 ln 2
6 2 1 1 11 3
9 1 8
ln 2 2ln 2 2ln 2ln 2 2 ln 2 2 ln 2
x x x x
x x
dv
u
x x x
x dx x dx x dx x
  
                  
   
           
      
  
 
 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
16
	
 
(II)  
    
     
444 4 43 3 3 3
43 2 3 2 2
23
3 3 33 3
2 2 2
2 .5 2.5 2 .5 2.5
2 . 1 5 2 .5
ln 5 ln 5 ln 5 ln 5
8 2 6 2 22 8
16 9 7
5ln 5 ln 5 5ln 55 ln 5 ln 5 5 ln 5
x x x x
x x
u dv
x x
x dx x x dx x dx x
   
 
  
                  
   
           
      
  
 
 
(III)      
22 2 2 2 3
1 1 1
10 5 5 5 5 20 5 5 5
. 5 10
2 2 2 6 3 2 6 3
x x x x
x dx x dx
                                
   
 
(IV) 
44 4 2 3 2
2 2 2
6 12 6 12 6 6 384 96 48 24
. 8
5 5 15 5 15 5 15 5
x x x x x
x dx dx
                                
   
 
 
Juntando tudo: 
 
       
   
   
2 2
2 2
11 3 22 8 5
2 I + II - III - IV 2 8 7 8
2ln 2 5ln 5 32 ln 2 5 ln 5
16 11.ln 2 3 22.ln 5 8
2 u.v.
3 2 ln 2 5 ln 5
V  

    
                        
     
 
 
 
(Obs.: Usando uma calculadora, só para ter uma ideia, o valor aproximado do volume é de 91,35 
u.v.) 
 
 
 
4ª Questão  (1,5 ponto) Calcule o comprimento do gráfico da função  
 
27 . 1
arcsen
8 8
( ) x xxf x    , 
 para   
2 3
2 2
x   . 
 
Solução da Questão 4) 
 
De acordo com a aula 29 do caderno didático, se uma curva é dada por  ( )y y x  , com  a x b  , então 
seu comprimento é dado por 
21 ( '( ))
b
a
L y x dx 
 
Temos 
 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
17
	
 
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 4 2 4 2 2
2
2 2 22
2 2
2
7 . 1
arcsen
8 8
7 1 7 1
8 88 1 8 1 8 1
7 (1 ) 6 2 3
8 1 8 1 4 1
3 9 6 25 10 (5 )
1 ( ') 1 1
16(1 ) 16(1 ) 16(1 )4 1
(5 )
1 ( '( ))
16(1
'
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
y
x x xx
x
y x
xy
y


  
    
  
    
  
  
      
           

  


2 2 2
2 2 2 2 2
5 4 1 1 1
) 44 1 4 1 4 1 1
x x x
x x x x x
  
    
    
 
 
 
2 2
2
2
1 1 1
1 ( '( )) arcsen (*)
4 41
x x
y x dx dx x dx
x
    
             
  
     
 
Nesta última integral, considerando o triângulo associado mostrado a seguir 
 
 
podemos fazer a mudança 
sen cosx dx d    
 Assim:    2cos 1 x  
  
e   arcsen x 
 
. Portanto : 
 
2
2
2
1 1 1
cos (1 cos 2 )
4 4 8
sen 2 2sen cos sen cos arcsen 1
8 16 8 16 8 8 8
x
dx d d
x x x
   
       
 
     
 
 
      
  
 
 
Voltando para a integral (*): 
Cálculo II  AD2 – Gabarito  2020/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
18
	
 
2 2
2
2
22 2
22 2
33 3
22 2 1 1 9arcsen 1
1 ( '( ))
4 81
9 1 3 1 2 1 21 3 2
. . . .
8 3 4 8 2 2 2 322
x x x x
L y x dx dx
x
u c
  
 
     
              
                                
 