AER02 - LEI DE ESCALA (5)

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UNICAMP
IFGW - Instituto de Física "Gleb Wataghin"
Atividade Experimental 1
Data de Entrega: 07/10/2021
Turma I F129
Estudo de Crateras: Lei de Escala
Maria Beatriz Teixeira, RA:239129
Reynaldo Souza de Carvalho, RA: 251874
Italo Petriccioni Silva, RA: 240358
São Paulo – SP
2021
Introdução: Tenho como objetivo fazer uma análise da formação de crateras após a colisão
entre uma esfera, em uma altura h, e a areia. A análise será pautada em previsões teóricas e
reais, cálculos matemáticos e o uso da lei de escala.
Objetivo: Definir a equação matemática que relaciona o diâmetro D da cratera com a energia
cinética E da esfera no momento do impacto e identificar o mecanismo mais provável através
do qual a energia da esfera é gasta ao impactar com a areia.
Materiais e métodos: Para realizar o experimento foi utilizado uma esfera de aço de massa
pré-determinada que será lançada em diferentes alturas e irá sofrer colisão com a areia. Após
todo este processo, mediu-se as crateras formadas.
Resultados: Para estimar os valores de energia cinética correspondentes, foram consideradas
diferentes alturas de lançamento. Assim, foram construídas duas tabelas (tabela 3 e 4) com os
dados fornecidos e pré-estabelecidos (tabela 1 e 2). Assim, com esses dados, foi possível
construir dois gráficos - um em escala linear e outro, em escala logarítmica - gráfico log-log -
(gráficos 1 e 2, respectivamente). O gráfico de escala linear conclui-se que é uma função
potência de expoente . Já o segundo, abraça a “Lei de Escalas” e, assim, temos ,𝑛 𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
com e . Assim, estabelece desta forma: ,𝑘 ≃ 0, 095 𝑚/𝐽𝑛 𝑛 = 0, 27 𝐷 = 0, 095 . 𝐸0,275
tendo uma relação matemática entre o diâmetro e a energia cinética da cratera no momento do
impacto.
Discussão: Tendo , o expoente da lei utilizada é a melhor aceitação com o𝑛 = 0, 27
fenômeno pois é caracterizado por ter um expoente ¼ em oposição com o da areia que é ⅓ -
Segundo Willians e Amarato, em 1997 - . Com isso, foi possível identificar a energia liberado
no impacto, sendo . Sabe-se que este valor varia dado as incertezas𝐸 = 1, 82 . 1023𝐽 𝑘 𝑒 𝑛 
tendo que e , ocorrendo incertezas instrumentais na altura, cálculo da𝑘 = 𝑚
𝐽𝑛
𝑛 =
𝐿
2
𝐿
1
massa que influenciam diretamente nos valores das constantes. Além disso, temos fatores
naturais como o tempo geológico da cratera, processo artificiais e limitações da borda da
mesma.
Conclusão: Com o desenvolvimento do experimento, conclui-se a relação matemática entre a
energia cinética e o diâmetro da cratera no impacto da esfera e da areia. Também foi
descoberto os valores das constantes . Elas correspondem a e𝑘 𝑒 𝑛 𝑘 = 0, 095 𝑚/𝐽𝑛
. Assim, é descoberto a equação que relaciona D x E é .𝑛 = 0, 27 𝐷 = 0, 095 . 𝐸0,275
Referência:
[1] “Size and morphology of the Chicxulub impact crater”, Morgan, 1997
[2] “Extraterrestrial Cause for Cretaceous-Tertiary Extinct Experimental results and
theoretical interpret”. Luis W. Alvarez, Walter Alvarez, Frank Asaro, Helen V.1 1980
[3]”Crater formation in the laboratory: An introductory experiment in error analysis”. Joseph
C. Amatoa) and Roger E. Willian, 1997
Anexos
Anexo 1:
Informações sobre a esfera
Material Aço
Massa (kg) 0,007
Diâmetro (m) 0,012
Tabela 1: Dados da esfera fornecidos e utilizados.
Anexo 2:
Altura h (m) Diâmetro da cratera D (m)
0,05 0,0213
0,1 0,0277
0,25 0,035
0,5 0,0393
1 0,0485
2,5 0,059
3,7 0,0663
Tabela 2: Dados da altura de lançamento e diâmetro da cratera.
Anexo 3:
Sabendo que, antes do lançamento, a energia total era potencial e, depois do lançamento, ela
foi transformada e tornou-se cinética, temos:
𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐸𝑐 = 𝑚𝑔ℎ
Como o experimento utiliza diferentes alturas, os dados estão organizados em uma tabela.
Altura h (m) Ec (J)
0,05 0,00343
0,1 0,00686
0,25 0,01715
0,5 0,0343
1 0,0686
2,5 0,1715
3,7 0,25382
Tabela 3: Relação entre a massa da esfera, a determinada altura e sua energia cinética Ec.
Pode-se relacionar a energia cinética Ec com a altura, assim temos:
Diâmetro da cratera D (m) Ec (J)
0,0213 0,00343
0,0277 0,00686
0,035 0,01715
0,0393 0,0343
0,0485 0,0686
0,059 0,1715
0,0663 0,25382
Tabela 4: Relação do diâmetro da cratera D em função da energia cinética.
Anexo 5:
Gráfico 1: Diâmetro da cratera em função da energia cinética correspondente em um gráfico
linear.
Anexo 6:
Gráfico 2: Diâmetro da cratera em função da energia cinética correspondente em um gráfico
log-log
Anexo 7:
Ao analisar o gráfico 1, percebe-se que ele não há uma relação linear, mas há uma do tipo
função exponencial . Sendo que essa função obedece a seguinte condição: . Ou𝑓 1 > 𝑓 > 0
seja, . Para o gráfico 2, a relação é observada. Ou seja, a reta é linear. A partir dele,𝑦 = 𝑥
conseguimos perceber, pela Lei de Escala, que os números obtidos revelam que são uma
função potência.
Anexo 8:
Tendo em vista a conclusão tida no anexo 7, é possível encontrar a equação que relaciona D e
E. Sabendo que a Lei de escala conclui que e que D e E se relacionam,𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
consegue-se achar valor das constantes n e k.
Para n, utiliza-se a relação . Para descobrir é medido com uma régua𝑛 =
𝐿
2
𝐿
1
𝐿
1
 𝑒 𝐿
2
milimetrada. Assim,
𝑛 =
𝐿
2
𝐿
1
𝑛 = 2,5 𝑐𝑚9,1 𝑐𝑚 = 0, 274 ≃ 0, 275
Para descobrir o valor do k, tem-se que igualar , quando . Fazendo um 𝐸 = 0 𝑛 = 0
prolongamento na reta do gráfico 2 até cruzar o ponto ou . Assim,𝑘 = 100; 𝐷( ) 𝑘 = (1; 𝐷)
temos que . Para descobrir a unidade de medida de k, tem-se:𝑘 ≃ 0, 095
𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚 = 𝑘 . (𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐽)𝑛 
𝑘 = 𝑚
𝐽𝑛
Então, .𝑘 ≃ 9, 5 𝑚/𝐽𝑛
Assim, pela equação da Lei de Escala, tem-se: . Substituindo pelos valores𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
correspondentes, tem-se:
𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
.𝑘 ≃ 0, 095 𝑚/𝐽𝑛
𝑛 = 0, 27
𝐷 = 0, 095 . 𝐸0,275
Anexo 8:
Tendo como base o artigo de Morgan, em seu artigo “Size and morphology of the Chicxulub
impact crater”, a cratera é de 180 km e libera , podemos avaliar a precisão e5 . 1023 𝐽
qualidade pela Lei de Escala. Sabendo que , tem-se:𝐷 = 𝑘𝐸𝑛
180 km = m1, 8 . 105
= 0,095 .1, 8 . 105 𝐸( )0,27
= = = = 1894737𝐸( )0,27 1,8 . 10
5
0,095
1,8 . 105
9500 . 10−5
0, 0001894737 . 1010
𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 
𝑙𝑜𝑔 1,8 . 10
5
9500 . 10−5
0,27
𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 𝑙𝑜𝑔 18947370,27 
𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 6,280,27
𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 23, 26
𝐸 = 1023,26
𝐸 = 1, 82 . 1023𝐽
Assim, há uma diferença de duas ordens de grandeza que, dadas as proporções, é aceitável.
Além disso, há outros fatores - como o tempo de acontecimento, a profundidade, a velocidade
- que impedem de determinar o verdadeiro tamanho da cratera. Isso impede, diretamente, na
precisão e na exatidão da elaboração do modelo.
Anexo 9:
Como dito anteriormente, há vários fatores que implicam no resultado do modelo e de sua
realidade. As incertezas presentes neste relatório são da régua milimetrada, da trena, do
paquímetro e das medições feitas em papel milimetrado pois depende da pessoa que está
analisando e se os instrumentos utilizados para medir estavam corretos, ou, até mesmo,
posicionados corretamente. Os arredondamentos feitos durantes os cálculos realizados
também são uma fonte de incertezas.