SLIDES - PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÕES BINÁRIAS

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PRODUTO 
CARTESIANO E 
RELAÇÕES 
BINÁRIAS
Prof. Aruã Dias
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o
conjunto 𝐀 × 𝐁 cujos elementos são todos pares ordenados (𝐱, 𝐲), em que o primeiro
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
𝐀 × 𝐁 = 𝐱, 𝐲 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁
O símbolo 𝐀 × 𝐁 lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”.
✓ Exemplo:
Se 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, temos que:
𝐀 × 𝐁 =
𝐁 × 𝐀 =
1. Produto Cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o
conjunto 𝐀 × 𝐁 cujos elementos são todos pares ordenados (𝐱, 𝐲), em que o primeiro
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
𝐀 × 𝐁 = 𝐱, 𝐲 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁
O símbolo 𝐀 × 𝐁 lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”.
✓ Exemplo:
Se 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, temos que:
𝐀 × 𝐁 =
𝐁 × 𝐀 =
1. Produto Cartesiano
𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟐 , 𝟑, 𝟏 , 𝟑, 𝟐
𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟏, 𝟑 , 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟐 , 𝟐, 𝟑
2. Representação do Produto Cartesiano
✓ Exemplo – Sendo 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, represente o produto cartesiano 𝐀 × 𝐁, 
através do(a):
a) Forma Listável:
b) Diagrama de Flechas:
c) Plano Cartesiano:
2. Representação do Produto Cartesiano
✓ Exemplo – Sendo 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, represente o produto cartesiano 𝐀 × 𝐁, 
através do(a):
a) Forma Listável:
b) Diagrama de Flechas:
c) Plano Cartesiano:
* Propriedades do Produto Cartesiano
1ª - Se A ou B for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano de A por B como sendo o 
conjunto vazio.
𝐚) 𝐀 × ∅ = ∅
𝐛) ∅ × 𝐁 = ∅
𝐜) ∅ × ∅ = ∅
2ª - Se 𝐀 ≠ 𝐁, então 𝐀 × 𝐁 ≠ 𝐁 × 𝐀, isto é, para o produto cartesiano de dois conjuntos não é
válida a propriedade comutativa;
3ª - Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então 𝐀 × 𝐁 é um conjunto infinito.
4ª - Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então 𝐀 × 𝐁 é um
conjunto finito com 𝐦 ∙ 𝐧 elementos;
𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Número de elementos de 𝐀 × 𝐁: 
Exercício – Produto Cartesiano:
Dados 𝐀 = {𝟎,−𝟑, 𝟐} e 𝐁 = {−𝟐, 𝟎}
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Represente 𝐀 × 𝐁 através de diagrama de flechas e no plano 
cartesiano
c) Dê o número de elementos de 𝐀 × 𝐁 𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Número de elementos de 𝐀 × 𝐁: 
Dados 𝐀 = {𝟎,−𝟑, 𝟐} e 𝐁 = {−𝟐, 𝟎}
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Represente 𝐀 × 𝐁 através de diagrama de flechas e no plano 
cartesiano
c) Dê o número de elementos de 𝐀 × 𝐁 𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Número de elementos de 𝐀 × 𝐁: 
Exercício – Produto Cartesiano:
3. Relação Binária
Considere os conjuntos 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
a) Determine 𝐀 × 𝐁 e o seu número de elementos.
b) Obtenha a relação R definida por 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱 + 𝟏}.
3. Relação Binária
Considere os conjuntos 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
a) Determine 𝐀 × 𝐁 e o seu número de elementos.
b) Obtenha a relação R definida por 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱 + 𝟏}.
𝐑 = { 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 }
c) Represente a relação R através do diagrama 
de flechas
d) Determine o conjunto de partida, o 
domínio, o contra domínio e o conjunto 
imagem de R
e) Determine a relação inversa (𝑹−𝟏) de R 
3. Relação Binária
𝐑 = { 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 }
c) Represente a relação R através do diagrama 
de flechas
d) Determine o conjunto de partida, o 
domínio, o contra domínio e o conjunto 
imagem de R
e) Determine a relação inversa (𝑹−𝟏) de R 
3. Relação Binária
Exercício – Relção Binária:
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano
Exercício – Relção Binária:
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano
Exercício – Relção Binária: