cap_3-modulacao_fm_pm

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Fundamentos de 
Telecomunicações
ModulaModulaçção FM e PMão FM e PM
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 2
Modulação FM e PM
Na modulação de amplitude, variamos a amplitude 
da portadora de acordo com o sinal modulante.
Na modulação angular (seja ela de frequência ou 
fase), iremos variar o ângulo da portadora, 
mantendo a amplitude da portadora constante.
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Modulação FM e PM
Se assumirmos que θi(t) como sendo o ângulo de uma 
portadora modulada, e que varia de acordo com o sinal 
modulante, então, podemos expressar uma portador com 
modulação angular como:
Podemos também definir a frequência como:
Assim podemos definir a frequência instantânea como:
( ) ( )cosc is t A tθ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
2
i i
t
t t t
f t
t
θ θ
πΔ
+ Δ −= Δ
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0
lim
lim
2
1
2
i tt
i i
t
i
f t f t
t t t
t
d t
dt
θ θ
π
θ
π
ΔΔ →
Δ →
=
⎡ ⎤+ Δ −= ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
=
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Modulação FM e PM
Assim, no caso de uma portadora não modulada, teremos:
Existem várias formas de variar o ângulo de uma portadora 
em função de um sinal modulante, no entanto, iremos focar 
apenas dois métodos: a modulação de fase; e a modulação 
de frequência.
( ) 2i c ct f tθ π φ= +
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Modulação FM e PM
?Modulação de fase (PM)
É a forma de modulação angular, na qual o ângulo instantâneo 
θi(t) é variado linearmente com o sinal modulante m(t) da 
seguinte forma:
Em que kp é a sensibilidade de fase.
Assim podemos descrever uma portadora modulada em fase da 
seguinte forma:
( ) ( )2i c pt f t k m tθ π= +
( ) ( )cos 2c c ps t A f t k m tπ⎡ ⎤= +⎣ ⎦
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Modulação FM e PM
?Modulação de frequência (FM)
É a forma de modulação angular, na qual a frequência 
instantânea fi(t) é variada linearmente com o sinal modulante 
m(t) da seguinte forma:
Em que kp é a sensibilidade de frequência.
Integrando então a frequência instantânea, obtemos:
Assim podemos descrever uma portadora modulada em 
frequência da seguinte forma:
( ) ( )i c ff t f k m t= +
( ) ( )
0
cos 2 2
t
c c fs t A f t k m t dtπ π⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( ) ( )
0
2 2
t
i c ft f t k m t dtθ π π= + ∫
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Modulação FM e PM
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Modulação FM e PM
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Modulação FM e PM
?Modulação de Frequência
Como se viu na definição matemática do FM, a variação da 
portadora é feita de uma forma não linear, assim, iremos 
dividir em duas formas:
?Modulação com um sinal sinusoidal que produza um 
sinal FM de banda estreita;
?Modulação com um sinal sinusoidal que produza um 
sinal FM de banda larga.
Consideremos então o seguinte sinal modulante:
( ) ( )cos 2m mm t A f tπ=
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Modulação FM e PM
A frequência instantânea do sinal FM será:
Em que:
Ao valor Δf dá-se o nome desvio de frequência, e 
representa o máximo desvio de frequência instantâneo em 
relação a fc, sendo proporcional ao sinal modulante e 
independente da frequência da portadora.
( ) ( )
( )
cos 2
cos 2
i c f m m
c m
f t f k A f t
f f f t
π
π
= +
= + Δ
f mf k AΔ =
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Modulação FM e PM
Será necessário ainda obter o valor de θi(t):
Ao valor da relação entre Δf e fm dá-se o nome de índice 
de modulação de um sinal FM, e é normalmente 
apresentado por β:
De forma que θi(t) fica:
( ) ( )
( )
0
2
2 sen 2
t
i i
c m
m
t f t dt
f
f f t
f
θ π
π π
=
Δ= +
∫
m
f
f
β Δ=
( ) ( )2 sen 2i c mt f t f tθ π β π= +
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Modulação FM e PM
Obtemos então a equação do sinal FM modulado por um 
sinal sinusoidal:
Dependendo do valor do índice de modulação podemos 
distinguir dois tipos de modulação FM:
? FM de banda estreita, para valores de β pequenos 
quando comparados com 1 radiano.
? FM de banda larga, para valores de β grandes quando 
comparados com 1 radiano.
( ) ( )cos 2 sen 2c c ms t A f t f tπ β π⎡ ⎤= +⎣ ⎦
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Modulação FM e PM
?Modulação FM de banda estreita
Expandindo a equação anterior iremos obter:
Se assumirmos que β é pequeno comparando com 1 
radiano, poderemos efectuar as seguintes aproximações:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
cos 2 cos sen 2
sen 2 sen sen 2
c c m
c c m
s t A f t f t
A f t f t
π β π
π β π
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⎣ ⎦
( )
( ) ( )
cos sen 2 1
sen sen 2 sen 2
m
m m
f t
e
f t f t
β π
β π β π
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
�
�
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Modulação FM e PM
Podemos então simplificar, e obtemos o seguinte sinal:
Trata-se forma aproximada de um sinal FM de banda 
estreita modulado por um sinal sinusoidal. Pode ser obtido 
pelo modulador representado no diagrama de blocos da 
figura.
( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sen 2 sen 2c c c c ms t A f t A f t f tπ β π π−�
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Modulação FM e PM
Expandindo a equação anterior da seguinte forma:
Esta equação é bastante semelhante à da modulação AM:
Podemos então concluir que o FM de banda estreita 
necessita de uma largura de banda semelhante ao AM 
(2fm).
( ) ( ) ( ) ( ){ }1cos 2 cos 2 cos 22c c c c m c ms t A f t A f f t f f tπ β π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦�
( ) ( ) ( ) ( ){ }1cos 2 cos 2 cos 22AM c c c c m c ms t A f t A f f t f f tπ μ π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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Modulação FM e PM
?Modulação FM de banda larga
Voltando à equação da modulação FM por um sinal 
sinusoidal:
Como:
Obtém-se:
( ) ( )cos 2 sen 2c c ms t A f t f tπ β π⎡ ⎤= +⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1cos cos cos sen sen
2
a b a b a b⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 cos sen 2 sen 2 sen sen 2
2
c
c m c m
A
s t f t f t f t f tπ β π π β π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
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Modulação FM e PM
Como:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 2
4
cos sen 2 2 cos 2 2
2 cos 4 2
2 cos 2 2
m m
m
n m
f t J J f t
J f t
J n f t
β π β β π
β π
β π
⎡ ⎤ = + ⋅ +⎣ ⎦
+ ⋅ +
+ ⋅ +
…
… …
… …
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3
2 1
sen sen 2 2 sen 2
2 sen 3 2
2 sen 2 1 2
m m
m
n m
f t J f t
J f t
J n f t
β π β π
β π
β π−
⎡ ⎤ = +⎣ ⎦
+ ⋅ +
⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦
…
… …
… …
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
1
sen sen cos cos
2
a b a b a b
a b a b a b
⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
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Modulação FM e PM
O sinal FM de banda larga será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ }
0 1
2
3
cos 2 cos 2 cos 2
2 2
cos 2 2 cos 2 2
2
cos 2 3 cos 2 3
2
cos 2 cos 2
2
c c
m c m c m
c
c m c m
c
c m c m
c
n c m c m
A A
s t J f t J f f t f f t
A
J f f t f f t
A
J f f t f f t
A
J f nf t f nf t
β π β π π
β π π
β π π
β π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
… …
… …
… …
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Modulação FM e PM
A transformação vista anteriormente usando Jn(β), são as 
funções de Bessel do primeiro tipo.
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Modulação FM e PM
0,19530,06340,00960,00050,00000,00000,00000,00000,000012
0,27040,12310,02560,00200,00000,00000,00000,00000,000011
0,30050,20750,06080,00700,00020,00000,00000,00000,000010
0,23040,29190,12630,02120,00090,00010,00000,00000,00009
0,04510,31790,22350,05650,00400,00050,00000,00000,00008
-0,17030,21670,32060,12960,01520,00250,00020,00000,00007
-0,2437-0,01450,33760,24580,04910,01140,00120,00000,00006
-0,0735-0,23410,18580,36210,13210,04300,00700,00020,00005
0,1825-0,2196-0,10540,35760,28110,13200,03400,00250,00024
0,19510,0584-0,29110,11480,43020,30910,12890,01960,00263
-0,08490,2546-0,1130-0,24290,36410,48610,35280,11490,03062
-0,22340,04350,2346-0,2767-0,06600,33910,57670,44010,24231
0,0477-0,24590,17170,1506-0,3971-0,26010,22390,76520,93850
Ordem
Da
função (n)
12108643210,5
Valores de β
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Modulação FM e PM
?Largura de banda de um sinal FM – Regra de 
Carlson
β elevado 
β baixo
Regra de Carlson
2B f�
2 mB f�
1
2 2 2 1mB f f f β
⎛ ⎞Δ + = Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠�
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 22
Modulação FM e PM
?Largura de banda de um sinal FM – Curva 
Universal
Banda (a 99%) 2 mmáxB n f�
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Modulação FM e PM
?Moduladores FM
Existem basicamente dois métodos para gerar sinais 
modulados em frequência:
?Método directo
?Método indirecto
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 24
Modulação FM e PM
?Método indirecto 
Na figura podemos ver o diagrama de blocos de um 
modulador FM indirecto.
Como se pode ver o sinal é primeiro integrado e depois 
aplicado a um modulador de fae de banda estreita.
O multiplicador é feito através da utilização de um 
dispositivo não linear, cuja equação é do tipo:
( ) ( ) ( ) ( )21 2 nnv t a s t a s t a s t= + + +…
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 25
Modulação FM e PM
Sendo que o multiplicador é constituído pelo dispositivo não 
linear, e por um filtro passa banda centrado em nfc e cuja 
largura de banda é n vezes a largura de banda de s(t), 
sendo o sinal á saída dado por:
( ) ( )'
0
' cos 2 2
t
c c fs t A nf t nk m t dtπ π⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
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Modulação FM e PM
?Exemplo
O modulador da figura é usado para transmitir sinais entre 
100Hz e 15kHz, a frequência central do modulador dde fase é
100kHz.
Sabendo que a frequência da portadora pretendida é de 
100MHz, e que o desvio mínimo de frequência Δf é de 75KHz, 
calcule n1 e n2.
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 27
Modulação FM e PM
De forma a limitar a distorção harmónica produzida no 
modulador de fase, o β deverá se inferior a 0,3 radianos, assim 
escolhemos 0,2 por exemplo.
As frequências mais baixas (100Hz) irão produzir um Δf1 de 
20Hz à saída do modulador, enquanto as mais altas serão de 
3KHz.
Assim teremos de garantir que passamos de 100Hz para 75KHz.
Para garantir que na saída do modulador teremos um desvio 
mínimo de 75kHz, será necessário multiplicar o sinal (como se 
vê pelo próprio diagrama de blocos), sendo que no total teremos 
um factor de multiplicação de 3750. No entanto a aplicação 
directa deste factor multiplicativo iria produzir uma portadora be
maior do que os 100MHz pretendidos.
Assim, e tal como se vê no diagrama de blocos, será necessária 
a multiplicação em dois estágios.
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 28
Modulação FM e PM
Sabemos então que:
A frequência n1f1 à saída do primeiro multiplicador é convertida 
para f2-n1f1, através do misturador com um sinal de 9,5MHz, no 
entanto a frequência à saída do segundo multiplicador deve ser 
fc/n2 assim, 
E uma vez que f1=100KHz, f2=9,5MHz e fc=100MHz, teremos:
Resolvendo teremos:
1 2
1
75000
3750
20
f
n n
f
Δ= = =Δ
2 1 1
2
cff n f
n
− =
1
2
100
9.5 0.1n
n
− =
1
2
75
50
n
n
=
=
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 29
Modulação FM e PM
75KHz75KHz1,5KHz1,5KHz1,5KHz1,5KHz20Hz20HzDesvio de 
Desvio de 
frequênciafrequência
100MHz100MHz2,0MHz2,0MHz7,5MHz7,5MHz0,1MHz0,1MHzPortadoraPortadora
SaSaíída do da do 
segundo segundo 
multiplicadormultiplicador
SaSaíída do da do 
misturadormisturador
SaSaíída do da do 
primeiro primeiro 
multiplicadormultiplicador
SaSaíída do da do 
moduladormodulador
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 30
Modulação FM e PM
?Método directo
Neste método, o valor da frequência instantânea da 
portadora é variada directamente de acordo com o sinal 
modulante, através de um dispositivo conhecido por 
Oscilador Controlado por Tensão (Voltage Controlled
Oscillator - VCO).
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 31
Modulação FM e PM
O circuito da figura anterior é um oscilador de Hartley, cuja 
frequência é dada por:
Em que C(t) será constituído por um condensador em 
paralelo com um diodo chamado VARICAP, e cuja 
capacidade da junção pn depende directamente da tensão 
aplicada aos seus terminais, assim, C(t) será dado por:
( ) ( ) ( )1 2
1
2
if t
L L C tπ= +
( ) ( )0 cos 2 mC t C C f tπ= + Δ
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Modulação FM e PM
No entanto, este tipo de circuito, e tendo em conta as 
características do dispositivo usado (diodo varicap), terá
desvios de frequência pequenos, assim, para obter um sinal 
FM de banda larga, será necessário usar um circuito com a 
seguinte configuração.
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 33
Modulação FM e PM
Outro dos problemas deste método, é que a portadora é
obtida através de um oscilador que não é muito estável, 
desta forma será necessária a utilização de um circuito que 
permita a sua estabilização, na figura podemos ver um 
diagrama de blocos desse tipo de circuitos.
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 34
Modulação FM e PM
?Desmoduladores FM
Tal como nos moduladores, existem dois tipos de detecção 
de sinais FM (desmodulação):
?Directa
? Discriminador de frequência
? Detector de zeros
?Indirecta
? PLL (Phase Locked Loop)
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 35
Modulação FM e PM
?Detector de zeros
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 36
Modulação FM e PM
?Discriminador de frequência (1)
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 37
Modulação FM e PM
?Discriminador de frequência (1)
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 38
Modulação FM e PM
?PLL
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 39
Modulação FM e PM
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 40
Modulação FM e PM
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 41
Modulação FM e PM
Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 42
Modulação FM e PM
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Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicações - 06/07 43
Modulação FM e PM