5 Capacitancia

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Capacitores
01
Os capacitores
• São dispositivos que armazenam cargas elétricas.
• Em geral, são constituídos por dois condutores• Em geral, são constituídos por dois condutores
separados por um isolante.
• São usados em circuitos elétricos: para sintonizar a
frequência dos receptores de rádio; como filtros, nas
fontes de potência; armazenadores de energia nas
unidades de flash eletrônico, etc ...
02
unidades de flash eletrônico, etc ...
• A capacidade de um capacitor depende da sua forma
geométrica e da natureza do material que separa os
condutores carregados, o dielétrico.
Separação de cargas representa
energia potencial.
Elétrons se movem do
fio para a placa.
Elétrons são conduzidos
da placa para o fio,
deixando-a com excesso
Carregando um capacitor
fio para a placa.
Campo
Campo
Elétrico
no fio.
Campo
Elétrico
entre as
deixando-a com excesso
de carga positivo.
Campo
Elétrico
no fio.
no fio. entre as
placas.
03
Capacitância
- A capacidade que um capacitor tem para armazenar cargas entre suas placas é
chamada capacitância.
- A capacitância depende da sua forma geométrica e da natureza do material
isolante (chamado dielétrico) que separa os condutores carregados.
- A capacitância é uma grandeza sempre positiva e é definida por:
V
Q
C =
- No SI, a Capacitância é medida em Faraday (F)
isolante (chamado dielétrico) que separa os condutores carregados.
- No SI, a Capacitância é medida em Faraday (F)
V
C
F
1
1
1 =
04
5.1 Capacitor Plano
0ε
σ
=E
Módulo do campo elétrico 
na região entre as placas
E
r
0
EdV =
Diferença de potencial 
entre as placas
Densidade superficial de 
carga de cada placa
Q
Da definição de capacitância:
E
V
Q
C =
Ed
Aσ
=
d
A
)/( εσ
σ
=
A
Q
=σ
onde A é a área de cada placa.
V
C =
Ed
=
d)/( 0εσ
=
d
A
C 0ε=
05
Linhas de Campo em um Capacitor Plano
(a) O campo elétrico entre as placas de placas paralelas é uniforme próximo ao seu
06
(a) O campo elétrico entre as placas de placas paralelas é uniforme próximo ao seu
centro, mas não é uniforme próximo das extremidades.
(b) Padrão do campo elétrico de duas placas condutoras com cargas opostas. Pequenos
filamentos de fibra suspensos em óleo, se alinham com o campo elétrico.
Exercício 5.1: Medida de capacitância
Um capacitor com placas paralelas possui uma capacitância igual a 1 F. Se a
distância entre as placas for igual a 1 mm, qual será a área de cada placa?
Resolução: FC 1= md
310−=
)/1085,8(
)10)(1(
12
3
0 mF
mFCd
A
−
−
×
==
ε
⇒ 281013,1 mA ×=
d
A
C 0ε= ⇒
)/1085,8(0 mF×ε
o que corresponde a 113 km2. Este resultado mostra que a unidade 1 F é muito grande. 
d
07
Capacitor Plano
Capacitor Cilíndrico
Capacitor 
Esférico
08
Exercícios Propostos 
Capacitores planos
5.1 - Quanta carga há em cada placa de um capacitor de 4,00 µF quando ele está conectado a uma bateria de 12 V? (b) Se esse capacitor
fosse conectado a uma bateria de 1,50 V qual seria a carga armazenada? [Resp. (a) 48 µC ; (b) 6,00 µC ]
5.2 - Um capacitor de placas paralelas, cada uma com 7,60 cm2, separadas por uma distância de 1,8 mm. Se uma diferença de potencial de
20 V for aplicada a essas placas, calcule (a) o campo elétrico entre as placas, (b) a densidade de carga na superfície das placas, (c) a
capacitância e a (e) carga em cada placa. [Resp. (a) 11 kV/m ; (b) 98,3 nC/m2 ; (c) 3,74 pF ; (d) 74,7 pC]
5.3 - Os objetos de metal da figura possuem cargas +70 pC e –70 pC , que resultam em uma dife-
rença de potencial de 20 V entre eles. (a) Qual é a capacitância do sistema? (b) Se as cargas mu-
darem para +200 pC e –200 pC, qual é o novo valor da capacitância? (c) Qual é o novo valor da
diferença de potencial?diferença de potencial?
[Resp. (a) 3,5 pF ; (b) 3,5 pF (a capacitância independe da carga q) ; (c) 57 V]
5.4 - O capacitor da figura possui uma capacitância de 25 µF e está inicialmente descarregado. A bateria produz
uma diferença de potencial de 120 V. Quando a chave S for fechada qual será a carga total que passará por ela?
[Resp. 3 x 10–3 C]
5.5 - Um capacitor de placas circulares com um raio de 8,20 cm, separados por uma distancia de 1,30 mm . (a)
Calcule a sua capacitância. (b) Qual é a carga das placas se uma diferença de potencial de 120 V é aplicada?
[Resp. (a) 114 pF ; (b) 3,5 nC]
5.6 - Um capacitor de placas paralelas de área igual a 8 cm2 e separadas por uma distância de 1,00 mm é ligado aos de uma bateria de 15
V. (a) Qual a capacitância e carga acumulada neste dispositivo? Se o capacitor, ainda carregado, for desligado da bateria e suas placas
forem afastadas para uma distancia de 1,50 mm, encontre a carga em cada placa, a diferença de potencial e a nova capacitância.
[Resp. (a) 7,08 pF ; 106,2 pC ; (b) 106,2 pC ; 22,5 V ; 4,72 pF ]
5.7 - Um capacitor de placas paralelas de área igual a 8 cm2 e separadas por uma distância de 1,00 mm é ligado aos de uma bateria de 155.7 - Um capacitor de placas paralelas de área igual a 8 cm2 e separadas por uma distância de 1,00 mm é ligado aos de uma bateria de 15
V. (a) Qual a capacitância e carga acumulada neste dispositivo? Se as placas do capacitor, ainda ligado na bateria, for forem afastadas
para uma distancia de 1,50 mm, encontre a carga em cada placa, a diferença de potencial e a nova capacitância.
[Resp. (a) 7,08 pF ; 106,2 pC ; (b) 70,8 pC ; 15 V ; 4,72 pF ]
Capacitores cilíndricos e esféricos
5.8 - Um cabo coaxial de 50 m de comprimento tem um condutor tem um condutor interno de diâmetro 2,58 mm e carga de 8,10 µC. O
condutor externo tem diâmetro interno de7,27 mm e carga – 8,10 µC . (a) Qual a capacitância desse cabo? (b) Qual a diferença de
potencial entre os condutores. Considere que a região entre os condutores é preenchida com ar. [Resp. (a) 2,68 nF ; (b) 3,02 kV ]
5.9 – As placas de um capacitor esférico têm 38,0 mm e 40,0 mm de raio. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual é a carga se uma diferença
de potencial de 120 V é aplicada ao capacitor? [Resp. (a) 84,5 pF ; (b) 1,27 nC ]
09
Associação de Capacitores
A diferença de potencial entre capacitores conectados em paralelo é a mesma e é igual a
diferença de potencial aplicada através da combinação.
21 QQQ +=
- Associação em Paralelo
As cargas acumuladas no capacitores C1 e C2 são, respectivamente:
(1)
A carga total na associação em paralelo é a soma das cargas de cada capacitor.
VCQ eq∆=
VCQ ∆= 11
VCQ ∆= 22
Definindo o capacitor úni-
co Ceq que é equivalente à
associação
As cargas acumuladas no capacitores C1 e C2 são, respectivamente:
(3)
(2)
(4)
Substituindo (1), (2) e (3)Substituindo (1), (2) e (3)
em (4)
21 CCCeq +=
Associando n capacitores
em paralelo:
neq CCCC +++= K21
10
∑=
n
i
ieq CC
As cargas acumuladas em cada capacitor conectados em série é a mesma.
21 VVV ∆+∆=∆
- Associação em Série
eqCQV /=∆
11 / CQV =∆
Aplicando a definição de capacitância:
(1)
(3)
(2)
111
+=
/ CQV =∆








+=∆+∆
21
21
11
CC
QVV
A diferença de potencial através de capacitores combinados em série é igual a soma das
diferenças de potencial individual de cada capacitor.
Substituindo (2) e (3) em (1)
(3)
21 CCCeq
+=
Associando n capacitores em série:
neq CCCC
1111
21
+++= K
22 / CQV =∆
∑=
n
i ieq CC
11
⇒
11
Exercício 5.2: Associação de capacitores
Na figura C1 = 8 µF, C2 = 10 µF, C3 = 5 µF e C4 = 12 µF. (a) Encontre a capacitância
equivalente do circuito. Se o conjunto for ligado a uma bateria de 12 V qual a diferença
de e a carga em cada capacitor?
3C1C
Resolução: 
(a) Associando em serie 
C1com C2 :
Associando em paralelo:
FFCeq µµ 53,344,4 +=
FCeq µ97,7=
Fµ97,7
12
4C2C
C1com C2 :
21
12
211
111
CC
CC
CCCeq
+
=+=
F
FF
FF
CC
CC
Ceq µ
µµ
µµ
44,4
)10()8(
)10)(8(
12
21
1 =
+
=
+
=
F
FF
FF
CC
CC
Ceq µ
µµ
µµ
53,3
)12()5(
)12)(5(43
2 =
+
=
+
=
(b) V1+ V2 =V3+ V4 =12 V
Q1 = Q2 e Q3 = Q4
Carga em Q1 e Q2:
=== )12)(44,4(21 VFQQ µ Cµ3,53
Carga em Q3 e Q4:
=== )12)(53,3(43 VFQQ µ Cµ4,42
Diferença de potencial :
Após a associação em serie tem-se o 
circuito: 
FFCCeq
µµ )12()5(43
2
++
Fµ44,4 Fµ53,3
Diferença de potencial :
)8()3,53(111 FCCQV µµ ÷=÷= ⇒ VV 63,61 =
)10()3,53(222 FCCQV µµ ÷=÷= ⇒ VV 33,52 =
)5()4,42(333 FCCQV µµ ÷=÷= ⇒ VV 48,83 =
)12()4,42(444 FCCQV µµ ÷=÷= ⇒ VV 53,34 =
Exercícios Propostos 
Combinação de capacitores
5.10 - Os capacitores C1 = 5,00 µC e C2 = 12,0 µF estão conectados em paralelo e a combinação resultante é conectada a uma bateria de
9,00 V. Qual é a capacitância equivalente da combinação? Quais são (b) a diferença de potencial em cada capacitor e (c) a carga
armazenada em cada capacitor? [Resp. (a) 17,0 µF ; (b) ∆V1 = ∆V2= 9,00 V ; (c)Q1 = 45,0 µC ; Q2 = 108 µC ]
5.10 - Os capacitores C1 = 5,00 µC e C2 = 12,0 µF estão conectados em serie e a combinação resultante é conectada a uma bateria de 9,00
V. Qual é a capacitância equivalente da combinação? Quais são (b) a diferença de potencial em cada capacitor e (c) a carga armazenada
em cada capacitor? [Resp. (a) 3,53 µF ; (b) ∆V1 =6,35 V ; ∆V2= 2,65 V ; (c)Q1 = Q2 = 31,8 µC]
5.11 - Quatro capacitores são conectados como mostra a figura. (a) Encontre a capacitância equivalente entre
os pontos a e b. Calcule (b) a carga (c) e a diferença de potencial em cada capacitor se ∆Vab = 15,0 V.
[Resp. (a) 5,96 µF ;
capacitor 15 µF capacitor 3 µF capacitor 6 µF capacitor 20 µFcapacitor 15 µF capacitor 3 µF capacitor 6 µF capacitor 20 µF
(b) Q15µF = 26,3 µC Q3µF =26,3 µC Q6µF =63,2 µC Q20µF =89,5 µC
(c) V15µF = 1,75V V3µF =8,77V V6µF =10,53V V20µF =4,475 V ]
5.12 – Na figura uma bateria de 20,0 V é ligada ao circuito constituído por capacitores de capacitâncias
C1 = C6 = 3,00 µF e C3 = C5 = 2C2 ,= 2C4 = 4,00 µF. Determine (a) a capacitância equivalente Ceq do
circuito ; a carga arma zenda por Ceq ; V1 e (d) Q1 do capacitor 1; (e) V2 e Q do capacitor 2; (g) V3 e (h)
Q3 do capacitor 3. [Resp. (a) 3,00 µF ; (b) 6,00 x 10
–5 C ; (c)10 V ; (d) 3,00 x 10–5 C ; (e) 10 V ; (f) 2,00 x 10–5 C ; (g) 5 V ; 2,00 x 10–5 C]
13
Energia Armazenada em um Capacitor
O trabalho adicional para transferir um
elemento de carga dq sob um potencial V
de uma placa para outra do capacitor é:
VdqdW −= dq
q
−=
Mas C = Q/V
)/(2
2
VQ
Q
U =
2
QV
=
VdqdW −= dq
C
−=
O trabalho total para carregar com uma
carga Q as placar de um capacitor é:
dqq
C
W
Q
∫−=
0
1
C
Q
2
2
−=
W = -∆∆∆∆U = -(U – U ).
2
Mas Q = CV
2
)( VCV
U =
2
2
CV
=
Assim,
Mas W = -∆∆∆∆U = -(U – U0).
Fazendo a referência U0 = 0, tem-se que:
C
Q
U
2
2
=
222
22
CVQV
C
Q
U ===
14
Exercício 4.3: Energia armazenada em um capacitor
A distância entre as placas paralelas de um capacitor é igual a 5 mm e a área
da placa é de 2 mm2. Uma diferença de potencial de 104V é mantida entre as
placas do capacitor. Calcule (a) a capacitância; (b) a carga adquirida em cada
placa; (c) o módulo do campo elétrico entre a as placas (d) Qual a energia
armazenada?
Resolução: 
A
(d)
)1054,3( 2112 CQ
U
−
−⋅
==
d
A
C 0ε=(a)
FC 151054,3 −⋅=
)105(
)102(
)/1085,8(
3
26
12
m
m
mFC
−
−
−
⋅
⋅
⋅=
(b) )10)(1054,3( 415 VFCVQ −⋅==
)1054,3(22 15 FC
U
−⋅⋅
==
JJU µ177,01077,1 7 =×= −
15
)10)(1054,3( VFCVQ ⋅==
pCCQ 4,351054,3 11 =×= −
(c) No capacitor plano o campo elétrico
no interior é uniforme e é calculado por:
EdV = ⇒ )105()10(/ 34 mVdVE −⋅÷==
mMVmVE /2/102 6 =×=
Exercícios Propostos 
Energia armazenada em um capacitor
5.13 - (a)Um capacitor de 3,00 µJ é conectado a uma bateria 12,0 V.. Quanta energia é armazenada no capacitor? (b) Se o capacitor for
conectado a uma bateria de 6,00 V, quanta energia armazenará? [Resp. (a) 216 µJ ; (b) 54 µJ]
5.14 - Um capacitor de 2,0 µF e um capacitor de 4,0 µF estão ligados em paralelos a uma fonte de 300 V. Calcule a energia total
armazenada nos capacitores. [Resp. 0,27 J]
5.15 - Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma diferença de potencial de 600 V. A área das placas é de
40 cm2 e a distância entre as placas 1,00 mm. Determine a capacitância, (b) O valor absoluto da carga em uma das placas, (c) a energia
armazenada, (d) o campo elétrico na região entre as placas, e (e)a densidade de energia na região entre as placas.
[Resp. (a) 35 pF ; (b) 21 nC ; (c) 6,3 µJ ; (d) 0,60 MV/m ; (e) 1,6 J/m3]
5.16 - Um capacitor de placas paralelas com área A e separação d e é carregado para uma diferença de potencial V. A bateria que o5.16 - Um capacitor de placas paralelas com área A e separação d e é carregado para uma diferença de potencial V. A bateria que o
carregou é então desconectada, e as placas são afastadas até que a sua separação seja 2d. Deduza a expressões em termos de A, d e V para
(a) a nova diferença de potencial. (b) as energias armazenadas inicial final, Ui e Uf, e (c)o trabalho necessário para separar as placas.
[Resp.(a) 2V ; (b)Ui = ε0 AV
2/2d Uf = 2Ui ; (c)ε0 AV
2/2d]
5.17 - Um capacitor de placas planas e placas paralelas de área de 8,50 cm2 e estão separadas por uma distância de 3,00 mm é carregado
por uma bateria de 6,00 V. A bateria é desligada (sem descarregá-lo) e sua distancia é aumentada para 8,00 mm. Determine (a) a diferença
de potencial entre as placas; (b) a energia armazenada no capacitor no estado inicial; (c) a energia armazenada no capacitor no estado
final; a energia necessária para separar as placas. [Resp. (a) 16V ; (b) 4,51 x 10–11 J ; (c) 1,20 x 10–10 J ; (d) 7,52 x 10–11 J]
5.18 - Como engenheiro de segurança, o leitor precisa emitir um parecer a respeito da prática de armazenar líquido condutores
inflamáveis em recipientes de materiais não condutor. A companhia que fornece certo líquido vem usando um recipiente cilíndrico, feito
com plástico de raio r = 0,20 m, que está cheio ate uma altura de h =10,0 cm, menor que a altura interna do recipiente (figura). A
investigação do leitor que revela durante o transporte a superfície externa do recipiente adquiri uma densidade de cargas de 2,0 µC/m2
(aproximadamente uniforme). Como o líquido é um bom condutor de eletricidade, essa carga faz com que as cargas do líquido se separem.
(a) Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido? (b) Suponha que a capacitância da parte central do liquido em relação à terra(a) Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido? (b) Suponha que a capacitância da parte central do liquido em relação à terra
seja 35 pF) . Qual é a energia potencial associada a essa carga negativa desse capacitor efetivo? (c) Se ocorrer uma centelha entre à terra e
a parte central do líquido (através de um respiradouro) , a energia potencial pode alimentar a centelha. A energia mínima necessária para
inflamar o liquido é 10 mJ. Nessa situação pode pegar fogo por causa de um centelha?
[Resp.(a) 0,25 m2 ; 3,6 x 10–3 J ; (c) não é suficiente]
16
Dielétrico (material isolante)
Ação de um campo sobre um átomo 
ou molécula de um material isolante.
E
r
+ -
0E
r
(a) Neutro (b) Polarizado
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
Capacitor com 
dielétrico polarizado
+ -
17
Capacitor com Dielétrico
+
+
-
-
-
-
+
+
Placas carregadas
0E
r
indE
r
indEEE −= 0
0EE =
dV /0=
≡E
r
≡E
r
Campo elétrico resultante
no interior do dielétrico
Campo entre as placas
No interior do dielétrico tem-se:
onde, o campo resultante E fica 
reduzido por um fator κ. Assim,
,
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
σ+σ-
Dielétrico
indE
κ
0EE =
κ
dV /0=
V
Q
C =
κ/0V
Q
=
0V
Q
κ=
≡0E Campo entre as placas
≡indE
r
Campo induzido
,
κ/0VV =de modo que .
Da definição de capacitância:
σ+ e σ- são as densidades de carga 
induzida na superfície do dielétrico
Dielétrico
Inserindo um dielétrico entre as placas do capacitor, a
capacitância fica aumentada por um fator κ.
0 0V
0
0 C
d
A
C κ
ε
κ ==
18
19
4,7
4.4 - Um capacitor de placas paralelas tem como dimensões 2 cm x 3 cm. As placas paralelas 
estão separadas por uma folha de papel de 1mm de espessura. (a) Achar a capacitância do 
dispositivo. (b) Qual a carga máxima que pode ser colocada no capacitor? (c) Qual a energia 
máxima que pode ser armazenadano capacitor?
Resolução:
(a) Devemos consultar uma tabela para 
para obter o constante dielétrica do papel,
cujo valor é:
k= 3,7
(b) A rigidez dielétrica é o campo elétrico máximo 
que o material dielétrico suporta. Se aplicamos um 
campo com intensidade maior que a rigidez dielétri-
ca, ficará ionizado, tornando-se um condutor. Con-
sultando na tabela, a rigidez dielétrica do papel é: 
E = 16× 10
6
V /m
A= 2× 10
− 2
× 3× 10
− 2
= 6× 10
− 4
m
2
k= 3,7
A capacitância com dielétrico de papel é:
onde, 
Assim, 
Emax= 16× 10
6
V /m
Como a espessura do papel é de 1 mm, então a
diferença de potencial máxima que pode ser
aplicada entre as placas é:
V max= Emax d= 16× 10
6
× 10
− 3
V max= 16× 10
3
V
Logo, a carga máxima é:
0εε k=
d
A
C
ε
=
d
A
k
0ε
=
A= 2× 10
− 2
× 3× 10
− 2
= 6× 10
− 4
m
2
C= 3,7
8,85× 10
− 12
6× 10
− 4
10
− 3
C= 1,967× 10
− 11
F
C= 19,67 pF
Qmax= C V max= 19,7× 10
− 12
× 16× 10
3
Qmax= 315,2× 10
− 9
C= 315,2 nC
(c) A energia máxima é dada por:
U max= 2,52× 10
− 3
J
( )
12
292
max
max
107,192
102,315
2 −
−
××
×
==
C
Q
U
20
V1
4.5 - Um capacitor plano de placas paralelas de área A tem uma separação d. Uma chapa metálica
de espessura a é inserida na região entre as placas. Calcule a capacitância deste dispositivo.
Resolução: Inserindo uma chapa metálica de espessura a no
capacitor carregado, induzirá na superfície da chapa, uma
quantidade de cargas igual, porém de sinal contrário ao excesso
de cargas da placa próximo a ela. Com isso, a superfície próxima
da placa com densidade de carga +σ+σ+σ+σ ficará com excesso de carga
−−−− σσσσ, e próxima da placa com densidade −−−− σσσσ, a superfície da chapa
ficará com densidade ++++ σσσσ. O potencial em toda a chapa metálica é
V2
ficará com densidade ++++ σσσσ. O potencial em toda a chapa metálica é
constante de modo que a diferença de potencial entre as placas do
capacitor é dado por V=V1+V2 (figura ao lado). A configuração
expressa na figura é equivalente à associação de dois capacitores
em série com separação (d - a)/2 , ou seja,
2/)(
0
1
ad
A
C
−
=
ε
ad
A
−
= 02
ε
2/)(
0
2
ad
A
C
−
=
ε
ad
A
−
= 02
ε
e
Associando os dois capacitores em série:
Obs: Este resultado mostra que
introduzindo uma chapa metálica
entre as placas de espessura a, é
ad
A
ad
A
−






−
=
0
2
0
4
4
ε
ε
21
21
CC
CC
C
+
⋅
=′
ad
A
C
−
=′ 0
ε
entre as placas de espessura a, é
equivalente a um capacitor a um
capacitor de separação d – a , ou
seja, não depen-
de da posição
da chapa entre
as placas.
20
d-a
4.6 - Um capacitor plano de placas paralelas tem uma separação d e capacitância C0 na ausência
de um dielétrico. Qual é a capacitância quando uma chapa de um material dielétrico com
constante κ e espessura d/3 é introduzido entre as placas?
Resolução: Introduzindo uma chapa de um material dielétrico com espessura d/3, a diferença de potencial
V no capacitor é igual a diferença de potencial V1 no interior do dielétrico somado com a diferença de
potencial V2 na região preenchida pelo ar. Isto é equivalente à associação de dois capacitores em série.
0 A
C
κε
=
A0
3
ε
κ= 3 Cκ=
A capacitância na região preenchida pelo dielétrico é :
3/2
0
2
d
A
C
ε
=
3/
0
1
d
C =
21
21
CC
CC
C
+
=′
d
A0
3
ε
κ= 03 Cκ=
A capacitância na região preenchida pelo ar é :
d
A0
2
3 ε
=
0
2
3
C=
00
00
)2/3(3
)2/3(3
CC
CC
+
⋅
=
κ
κ
( )12)2/3(
)2/3(3 00
+
⋅
=
κ
κ
C
CC
Associando os capacitores
V1
V2
21 CC +
d
A
C
0
12
3 ε
κ
κ






+
=′
0
12
3
CC 





+
=′
κ
κ
22
00 )2/3(3 CC +κ ( )12)2/3( 0 +κC
Ou ainda podemos expressar da seguinte forma:
4.7 - Um capacitor plano de placas paralelas é preenchido por dois blocos de material dielétrico,
assumindo que . (a) Encontre a capacitância do dispositivo em termos da área A das
placas, da separação d e das constantes dielétricas κ1, κ2. (b) Calcule a capacitância usando os
valores A = 1,00 cm2 , d = 2,00 mm , κ1 = 4,9 , κ2 = 5,6.
l>>A
Resolução: Como os dois dielétricos estão submetidos a mesma
diferença de potencial, a configuração dada na figura ao lado é
equivalente à associação em paralelo de dois capacitores com
constantes dielétricas κ1 e κ2 .
A capacitância do capacitor de constante κ1 e κ2 são respectivamente:
( )
d
A
C
2/01
1
εκ
= 0
1
2
C
κ
= e
( )
d
A
C
2/02
2
εκ
= 0
2
2
C
κ
=
21 CCC +=′ 021 )(
2
1
Cκκ +=
d
A021
2
)( εκκ +
=
23
4.8 - Um capacitor plano de placas paralelas é preenchido por três blocos de material dielétrico.
Assumindo que . (a) Encontre a capacitância do dispositivo em termos da área das placas
A, da separação d e das constantes dielétricas κ1, κ2 e κ3. (b) Calcule a capacitância usando os
valores A = 1,00 cm2 , d = 2,00 mm , κ1 = 4,9 , κ2 = 5,6 e κ3 = 2,1.
l>>A
As capacitâncias para os blocos dielétricos de constantes κ1 , κ2 e
κ3 , são respectivamente:
( )A
C
2/01εκ
= 1 C
κ
=
d
C
01
1 = 0
1
2
C=
( )
)2/(
2/02
2
d
A
C
εκ
= 02Cκ=
( )
)2/(
2/03
3
d
A
C
εκ
= 03Cκ=
Resolução: O circuito equivalente
para o capacitor representado
acima é:
24
32
32
1
CC
CC
CC
+
+=′
( ) 032
0302
0
1
2 C
CC
C
κκ
κκκ
+
⋅
+=
0
32
321
2
CC
κκ
κκκ
+
+=′
2C
3C
1C
Exercícios Propostos 
Capacitores com dielétricos 
5.19 - Um capacitor plano tem planas de dimensões 2,0 cm por 3,0 cm separados com um papel de espessura de 1,0 mm. (a) encontre a
sua capacitância (b) Qual a carga máxima que pode ser obtida por esse capacitor? (c) Encontre a energia armazenada nesse capacitor
quando ele atinge a sua carga máxima. [Resp. (a) 2,0 pF ; (b) 54 µJ]
5.20 - Um cabo coaxial usado em uma linha de transmissão possui um raio interno de 0,10 mm e um raio externo de 0,60 mm. Calcule a
capacitância por metro para o cabo. Suponha que o espaço entre os condutores é preenchido com poliestireno. [Resp. 81 pF/m]
5.21 - Certa substância possui uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se ela for usada como material
dielétrico em um capacitor de placas paralelas, que área mínima as placas do capacitor deveriam ter para se obter um capacitância de 7,0 x
10-2 µF e para assegurar que o capacitor será capaz de resistir a uma diferença de potencial de 40kV? [Resp. 0,63 m2]
5.22 - Dado um capacitor de 7,4 pF, cheio de ar entre as placas. Pede – se para convertê–lo em um capacitor que possa armazenar até
7,4µJ com uma diferença de potencial máximo de 652 V. Que dielétrico deveria ser preencher o intervalo no capacitor cheio de ar senão
fosse permitida uma margem de erro? [Resp. Pirex]
5.23 - Um capacitor de placas paralelas com uma separação d e placas de área A. Uma chapa metálica descarregada de espessura a é
inserida no na distância média entre as placas. (a) Encontre a capacitância do dispositivo. (b) Mostre que a capacitância original fica
inalterada quando inserido uma chapa metálica muito fina. [Resp. (a) ε0A/(d – a)]
5.24 - Um capacitor de placas paralelas e separação d tem uma capacitância C0 na ausência de dielétrico. Qual será a sua capacitância após
inserir um pedaço de material dielétrico de constante dielétrica k e espessura d/4? [Resp. 4ε0A/3d ]
5.25 - Você está interessado em construir um capacitor com uma capacitância aproximada de 1 nF e um potencial de ruptura de 10 kV, e
pensa em usar as superfícies laterais de um copo pirex como dielétrico, revestindo as faces externa e interna com uma folha de alumínio
para fazer as placas. O copo tem 15 cm de altura, um raio interno de 3,6 cm e um raio externo de 3,8 cm. Determine (a) a capacitância e
(b) o potencial de ruptura deste capacitor.(b) o potencial de ruptura deste capacitor.
[Resp.(a) 0,73 nF ; (b) 28 kV]
5.26 - Certo capacitor de placas paralelas tem certo dielétrico para o qual k = 5,5. A área das placas é de 0,034 m2 e a distância entre as
placas é de 2,00 mm. O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 kN/C. Qual é a energia máxima que
pode ser armazenada nesse capacitor?
[Resp.66 µJ]25
Exercícios Propostos 
Capacitores com dielétricos 
5.27 - Um bloco de cobre com espessura b = 2,00 mm é colocado entre as placas de um capacitor de placas
paralelas. A área das placas é de 2,40 cm2 e a distância entre elas é d = 5,00 mm. Como mostra a figura, o bloco
é colocado exatamente no centro entre do espaço entre as placas. (a) Qual é a capacitância após a introdução do
bloco? (b) Se uma carga q = 3,40 µC é mantida entre as placas, qual é a razão entre as energias armazenadas
antes e depois da introdução do bloco? Qual o trabalho executado quando o bloco é introduzido? (d) O bloco é
atraído ou repelido pelo espaço entre as placas? [Resp. (a) 0,78 pF ; (b) 5/3 ; (c) 1,02 x 10–9 J]
5.28 - A figura mostra capacitor de placas paralela com uma área A = 5,56 cm2 e uma distância entre as
placas d = 5,56 mm. A metade esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante
dielétrica κ = 7,00; a metade da direita é preenchida por um material de constante dielétrica κ = 12,0. Qualdielétrica κ1 = 7,00; a metade da direita é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 = 12,0. Qual
é a capacitância? [Resp. 8,41 pF]
5.29 - A figura mostra capacitor de placas paralela com uma área A = 7,89 cm2 e uma distância entre as placas
d = 4,62 mm. A metade superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica
κ1 = 7,00; a metade inferior é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 = 12,0. Qual é a capacitância?
[Resp. 17,3 pF]
5.30 - A figura mostra capacitor de placas paralela com uma área A = 10,5 cm2 e uma distância entre as placas
2d = 7,12 mm. O lado esquerdo do espaço entre as placas é preenchido por um material de constante dielétrica
κ1 = 21,00; a metade superior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 = 42,0, e a
metade inferior do lado direito é preenchido por um material de constante dielétrica κ3 = 58,0. Qual é a
capacitância? [Resp.45,5 pF]capacitância? [Resp.45,5 pF]