EM_LIVRO REVISIONAL_VOL 03_FÍSICA PROFESSOR

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Livro de Revisão 3
Física
Helio Luiz de Almeida
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
A447 Almeida, Helio Luiz de.
 Física : livro de revisão / Helio Luiz de Almeida. – Curitiba : 
Positivo, 2017.
 v. 3 : il.
 ISBN 978-85-467-1721-7 (aluno)
 ISBN 978-85-467-1710-1 (professor)
 1. Ensino médio. 2. Física – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
Livro do ProfessorLLivro do Professor
Ensino Médio
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
iv
o.
 2
01
5.
 3
D.
1. Movimento harmônico simples e Ondulatória 
Movimentos periódicos 
Movimentos periódicos são aqueles que se repetem ao longo do tempo, como o pêndulo de um relógio, a rotação da 
Terra em torno de seu próprio eixo, etc. Um típico movimento periódico é o movimento oscilatório, caracterizado por um 
móvel que se desloca em sentidos alternados, em torno de uma posição de equilíbrio estável. Entende-se por oscilação, 
portanto, o movimento de um móvel em um percurso completo de ida e volta. O intervalo de tempo para que o móvel 
execute uma oscilação completa é chamado de período. 
Uma artista circense em um trapézio, por exemplo, executa um movimento oscilatório. Na ilustração, observa-se que, 
no início do movimento, a trapezista, a determinada altura, é impulsionada pela componente da força peso. 
P
Px
P
P
Px
 O movimento de uma artista circense em um trapézio é um exemplo de movimento oscilatório.
Para movimentos que ocorrem periodicamente, o período T é definido pela razão entre o intervalo de tempo Δt e o número 
de oscilações n. A unidade de período no SI é o segundo (s).
T
t
n
=
Δ
Outro conceito importante é o número de oscilações que ocorrem em determinado intervalo de tempo. Essa relação 
é chamada de frequência. 
A frequência f é definida pela razão entre o número de oscilações do móvel n e o intervalo de tempo Δt. A unidade de fre-
quência no SI é o segundo elevado a menos um (s–1) ou hertz (Hz).
f
n
t
=
Δ
Por meio das definições de período e frequência, constata-se a relação inversa entre eles:
T
f
1
 ou f
T
1
Movimento harmônico simples 
O movimento harmônico simples (MHS) é aquele em que um móvel descreve uma trajetória linear, com período 
de oscilação constante, e sempre passa pela mesma posição inicial. Por constituir um caso especial dos movimentos 
oscilatórios, o MHS pode ser estudado por meio de um oscilador massa-mola, que é um modelo físico constituído por uma 
mola acoplada a um corpo de massa m, no qual não age nenhuma força dissipativa, como atrito ou resistência do ar. Nessa 
situação, a mola tende a restituir sua dimensão original, à medida que é alongada ou comprimida. 
2 Livro de Revisão 3
Física
Ao se esticar o sistema massa-mola, a mola é deformada 
e surge uma força elástica restituidora que acelera o 
sistema. O bloco passa pela posição de equilíbrio (x = 0) e, 
por inércia, começa a comprimir a mola. Surge então uma 
nova força restituidora que é aplicada ao bloco, na direção 
da posição de equilíbrio, e faz com que ele desacelere até 
que sua velocidade seja zero. Nesse ponto, como a mola está 
comprimida, a força elástica empurra o bloco para a posição 
de equilíbrio, que, por inércia, continua seu movimento, 
alongando a mola. A força elástica age no sentido contrário 
ao movimento e freia o bloco até pará-lo. O bloco retorna ao 
ponto inicial e recomeça a oscilação.
x x
x x
x
x
x = 0
equilíbrio
Fel
Fel
Fel
Fel
Fel = 0
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/F
ou
ad
 A
. S
aa
d
 O sistema formado por uma massa e uma mola reproduz um 
movimento harmônico simples na ausência de forças dissipativas. 
Na ausência de perdas mecânicas, o movimento seria 
repetido com a mesma amplitude a cada oscilação. Na prática, 
porém, forças dissipativas como o arrasto e o atrito diminuem 
a energia mecânica e fazem o móvel parar gradualmente.
Cinemática do movimento harmônico 
simples 
No estudo dos movimentos uniformes e uniformemente 
variados, analisam-se descritivamente os movimentos com 
base no comportamento da posição em função do tempo.
No movimento harmônico simples (MHS), também é 
possível analisar como a posição do móvel se comporta 
em função do tempo, ou seja, analisar a função horária da 
posição de um corpo em MHS.
Para isso, vamos associar o movimento harmônico 
simples a um movimento circular uniforme. Isso é feito 
assumindo que um móvel em movimento oscilatório no 
Período
Temos, pela ilustração, que o raio do movimento 
circular equivale à amplitude de oscilação do MHS. O 
período do movimento circular coincide com o período de 
uma oscilação no MHS. 
T TMCU MHS= =
2π
ω
No movimento harmônico simples, ω é a frequência 
angular ou pulsação.
Velocidade máxima
O módulo da velocidade máxima em um MHS pode ser 
determinado por meio da relação direta entre MCU e MHS.
Sabemos que o módulo da velocidade de uma partícula 
em MCU é determinado por v = ω ⋅ r. Como o raio do MCU 
corresponde à amplitude do MHS (r = A), podemos calcular o 
módulo da velocidade máxima de oscilação em um MHS por:
vmáx = ω ⋅ A
Aceleração máxima 
No movimento circular, é a aceleração centrípeta que 
condiciona o móvel a essa trajetória, direcionada ao centro 
da circunferência. Seu valor é dado por ac = ω
2 ⋅ r. No MHS, 
o módulo da aceleração máxima é definido pelo módulo 
da projeção dessa aceleração na direção horizontal:
amáx = ω
2 ⋅ A
 As posições do 
movimento 
harmônico 
simples de um 
sistema massa-
-mola podem 
ser relacionadas 
à projeção 
horizontal ou 
vertical do 
movimento 
circular uniforme.
eixo x é a projeção horizontal de um movimento circular 
uniforme, como na imagem:
3
Considerando que a posição do corpo em MHS corres-
ponde à projeção horizontal do corpo em MCU, a posição 
x é igual ao cateto adjacente em relação ao ângulo θ do 
triângulo retângulo indicado na figura.
x
A
= cos θ 
x A= ⋅cos θ (II)
Combinando as equações I e II, temos:
x t A t( ) cos ( )= ⋅ +ω θ 0
Período do movimento harmônico simples 
 No sistema massa-mola, o período do movimento do 
móvel depende da constante elástica da mola e da massa 
do corpo. Sua expressão é dada por:
T
m
K
= ⋅2π
Em que:
– T é o período do oscilador massa-mola, medido no SI 
em segundo (s);
– m é a massa do corpo, medida no SI em quilograma 
(kg);
– K é a constante elástica da mola, medida no SI em 
newton por metro (N/m).
Movimento pendular 
Pêndulos são sistemas que se constituem por uma par-
tícula de massa m ligada a um fio inextensível de compri-
mento L e de massa desprezível que está presa a um ponto 
fixo. Ao se deslocar o pêndulo de sua posição de equilíbrio 
e, em seguida, soltá-lo do repouso, a partícula descreve um 
movimento oscilatório. Sobre a partícula, atuam a força de 
tração, sempre orientada em direção do fio, e a força peso, 
sempre orientada verticalmente para baixo.
x
y
x
r = A
(t)
x
T x
L
Py
Px
P
 O movimento pendular tem comportamento semelhante ao 
movimento harmônico simples para amplitudes angulares 
pequenas, em torno de 10º.
Função horária da posição do movimento 
harmônico simples 
No movimento harmônico simples, é possível anali-
sar como a posição do móvel se comporta em função do 
tempo por meio da função horária da posição de um corpo 
em MHS. Para que se determine, no MHS, a posição de um 
móvel em função do tempo, vamos considerar um móvel 
em movimento circular uniforme, de raio r, com veloci-
dade angular ω e posição angular θ0. A posição angular do 
móvel, em função do tempo, é dada por:
θ ω θ( )t t= ⋅ + 0 (I)
x
y
t
t = 0
r
(t)
0
=
t
 O deslocamento angular de um corpo em movimento circular 
uniforme depende da velocidade angular (ω) e do intervalo de 
tempo (Δt) em que ele se movimenta.
 A posição x de uma partícula em movimento harmônico simples 
pode ser determinada pela projeção horizontal da posição de um 
objeto em movimentocircular uniforme.
4 Livro de Revisão 3
Física
1. (MACKENZIE – SP) Uma partícula em MHS tem veloci-
dade máxima 2,0π m/s. Se a amplitude do movimento 
é 20 cm, seu período é de:
a) 2,0 min
b) 0,20 min
c) 20 s
d) 2,0 s
X e) 0,2 s
vmáx = 2π m/s e A = 20 cm = 0,2 m
⋅π= ω⋅ ⇒ ω = ⇒ ω = ⇒ ω = πmáxmáx
v 2
v A 10 rad/s
A 0,2
ω
π π
ω
π
π
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2 2 2
10
0 2
T
T T T , s
2. (UFPR) Como resultado de uma série de experiências, 
concluiu-se que o período T das pequenas oscilações 
de um pêndulo simples de comprimento L é dado por 
T k
L
g
= ⋅ , onde g é a aceleração da gravidade e k uma 
constante. Com base neste resultado e usando conceitos 
do movimento oscilatório, é correto afirmar: 
X 01) k é uma constante adimensional.
02) Se o mesmo pêndulo for levado a um local onde g é 
maior, seu período também será maior. 
X 04) Se o comprimento L for reduzido à metade, o período 
medido será igual a 
T
2
. 
X 08) O período medido das oscilações não mudará se 
suas amplitudes forem variadas, contanto que per-
maneçam pequenas.
16) A frequência das oscilações do pêndulo será de 
5 Hz caso ele leve 5 s para efetuar uma oscilação 
completa.
X 32) Se o intervalo de tempo entre duas passagens con-
secutivas do pêndulo pelo ponto mais baixo de sua 
trajetória for 2 s, seu período será igual a 4 s.
 Somatório: 45 (01 + 04 + 08 + 32)
3. (UNESP – SP) Um móvel com MHS obedece à função 
horária x t= ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟7 2
cos ,
π
 onde x é medido em centíme-
tros e t em segundos. Calcule:
a) O tempo necessário para que este móvel vá da posi-
ção de equilíbrio para a posição de elongação máxima.
A = 7 cm e ω
π
=
2
rad/s
ω
π π
ω
π
π
=
⋅
⇒ =
⋅
⇒ =
⋅
⇒ =
2 2 2
2
4
T
T T T s
Para que o móvel se desloque da posição de equilíbrio até o 
ponto de elongação máxima, ele deve se deslocar durante 
1/4 de seu período, correspondente a 4 s. Portanto:
t
T
t t s= ⇒ = ⇒ =
4
4
4
1 (é o tempo necessário para que o 
móvel chegue à posição de elongação máxima)
b) A velocidade máxima e a aceleração máxima.
π= ω⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅πmáx máx máxv A v 7 v 3,5 cm/s2
π⎛ ⎞= ω ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅π⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 2 2
máx máx máxa A a 7 a 1,75 cm /s2
4. (FUVEST – SP) O pêndulo de Foucault – popularizado 
pela famosa obra de Umberto Eco – consistia de uma 
esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Panthéon de 
Paris por um fio de 67 m de comprimento. Sabe-se que 
o período T de oscilação de um pêndulo simples é rela-
cionado com seu comprimento L e com a aceleração da 
gravidade g pela seguinte expressão: 
 T
L
g
= ⋅2π
O tempo que um pêndulo simples leva para completar 
uma oscilação é determinado pela seguinte relação: 
T
L
g
= ⋅2π
Em que:
– T representa o período, medido no SI em segundo (s);
– L é o comprimento do fio ou da haste, medido no SI 
em metro (m);
– g é a aceleração da gravidade, medida no SI em metro 
por segundo ao quadrado (m/s2).
5
a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Foucault? 
Despreze as frações de segundos.
T
L
g
T T T s= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ≅2 2
67
10
2 6 7 16π π π ,
b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se 
dobrássemos sua massa?
 (Adote g = 10 m/s2 e 10 = π )
O período continuaria o mesmo, já que, para o pêndulo 
simples, o período não depende da massa.
5. (UFRGS – RS) A figura a seguir representa seis pêndulos 
simples, que estão oscilando num mesmo local.
 O pêndulo P executa uma oscilação completa em 2 s. 
Qual dos outros pêndulos executa uma oscilação com-
pleta em 1 s?
a) I
b) II
c) III
d) IV
X e) V
6. (UFU – MG) Em um laboratório de Física, um grupo de 
alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela a 
seguir, para a frequência (em hertz) num experimento de 
Pêndulo Simples, utilizando-se três pêndulos diferentes.
Pêndulo Frequência (Hz)
1 0,91
2 0,70
3 0,60
 Esses resultados foram passados para um segundo 
grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez 
que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os 
integrantes desse grupo formularam uma série de hipó-
teses para interpretar os resultados. Assinale a ÚNICA 
hipótese correta.
a) A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do 
pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa 
do pêndulo 3.
b) A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do 
pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa 
do pêndulo 3.
c) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que 
o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior 
do que o comprimento do pêndulo 3.
X d) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do 
que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é 
menor do que o comprimento do pêndulo 3.
7. (UFAL) Um relógio de pêndulo é construído tal que o 
seu pêndulo realize 3 600 oscilações completas a cada 
hora. O relógio está descalibrado, de modo que o pên-
dulo oscila em um movimento harmônico simples de fre-
quência angular igual a 5π/2 rad/s. Nessa situação, ao 
final de 3 600 oscilações completas do pêndulo terão se 
passado:
a) 32 min
b) 45 min
X c) 48 min
d) 52 min
e) 56 min
Calculando o período T para cada oscilação, temos:
ω
π π
ω
π
π
=
⋅
⇒ =
⋅
⇒ =
⋅
⋅
⇒ =
2 2 2
5
2
0 8
T
T T T s,
Tempo ( t) transcorrido em n = 3 600 oscilações:
t = n ∙ T ⇒ t = 3 600 ∙ 0,8
t = 2 880 s ⇒ t = 48 min
6 Livro de Revisão 3
Física
As ondas transportam energia, mas não transportam matéria. Por isso, objetos que estão sobre ondas em superfícies 
de líquidos oscilam verticalmente, sem sofrer deslocamentos horizontais.
Pulsos de onda: perturbações isoladas (não periódicas) que transportam energia.
Onda: sucessão de pulsos periódicos.
Classificação de ondas 
Quanto à direção de oscilação 
Ondas longitudinais: ondas que vibram no mesmo 
sentido em que se propagam.
região de 
compressão
região de 
expansão
comprimento
de onda
Di
vo
. 2
01
5.
 3
D.
 Ondas longitudinais se caracterizam pela direção de 
oscilação paralela à direção de propagação da onda.
Ondas transversais: ondas que vibram em um sen-
tido perpendicular ao sentido em que se propagam.
Di
vo
. 2
01
5.
 3
D.
comprimento
de onda
 Ondas transversais se caracterizam pela direção de 
oscilação perpendicular à direção de propagação da 
onda.
Quanto à natureza 
Ondas mecânicas: ondas que necessitam de meios materiais para se propagar, como as ondas na água, o som, a 
vibração em cordas, etc.
Ondas eletromagnéticas: ondas que se propagam em meios materiais e no vácuo com variações de campos elétricos 
e magnéticos, como a luz visível, os raios X, o ultravioleta, o infravermelho, etc. 
É importante salientar que as ondas mecânicas podem ser tanto longitudinais quanto transversais, enquanto as ondas 
eletromagnéticas sempre são transversais.
As ondas eletromagnéticas são classificadas de acordo com o comprimento de onda e a frequência dentro do espectro 
eletromagnético.
2. Ondulatória 
Conceitos fundamentais da Ondulatória 
Sa
nd
ra
 R
ib
ei
ro
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
 Apenas ondas eletromagnéticas que apresentam frequências entre 400 THz e 750 THz são visíveis.
7
Ondas 
A posição vertical y de um elemento de onda pode ser 
determinada por meio da função do tempo t e da posição 
x e é calculada por:
y A sen
t
T
x
x t( , ) = ⋅ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2 0π λ
θ
Em que:
– A é a amplitude da onda, medida no SI em metro (m);
– t é o instante de tempo, medido no SI em segundo (s);
– T é o período de oscilação da onda, medido no SI em 
segundo (s);
– x é a posição horizontal de um ponto da onda, medida 
no SI em metro (m);
– λ é o comprimento de onda, medido no SI em metro (m);
– θ0 é a fase da onda, medida no SI em radiano (rad).
Fenômenos ondulatórios 
Reflexão de ondas 
Como na reflexão não há mudança no meio de propa-
gação, as propriedades físicas velocidade, frequência e 
comprimento de onda se mantêm constantes.
Reflexão de ondas unidimensionais 
– Extremidades fixas: nessa situação, a onda incidente 
é refletida com sua fase invertida (vai por um sentido 
e volta por outro).
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
nt
Go
r
 O treinamento com cordanaval é realizado por pessoas 
que querem melhorar seu condicionamento físico. Nesse 
exercício, uma corda é presa a um suporte e a pessoa deve 
movimentá-la, enviando pulsos transversais.
Di
vo
. 2
01
5.
 3
D.
comprimento
de onda
crista vale
amplitude
Quanto à direção de propagação 
Ondas unidimensionais: apresentam apenas uma 
direção de propagação, como as ondas em cordas de ins-
trumentos musicais.
Ondas bidimensionais: apresentam duas direções de 
propagação, como as ondas produzidas em uma superfície 
líquida.
Ondas tridimensionais: apresentam três direções de 
propagação, como o som. 
Elementos das ondas 
 Os elementos das ondas são identificações que permitem definir 
grandezas como comprimento e amplitude.
Crista: ponto máximo vertical de uma onda.
Vale: ponto mínimo vertical de uma onda.
Amplitude (A): distância de uma crista ou de um vale 
até o ponto de equilíbrio.
Comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas 
ou dois vales consecutivos.
Velocidade de propagação 
O módulo da velocidade de propagação de uma onda 
é definido por: 
v f= ⋅λ
Para o módulo da velocidade de propagação de uma 
onda em uma corda, vale a relação definida experimental-
mente por Taylor: 
v
T
=
μ
Em que:
– v é a velocidade de propagação da onda em uma corda 
(em módulo), medida em metro por segundo (m/s);
– T é a força de tensão da corda, medida no SI em 
 newton (N);
– μ é a densidade linear da corda, medida no SI em 
quilograma por metro cúbico (kg/m3).
8 Livro de Revisão 3
Física
– Extremidades móveis: nessa situação, a onda 
incidente é refletida sem mudança de fase (vai e volta 
com a mesma orientação do pulso inicial).
pulso incidente
extremidade móvel
pulso refletido
 Pulsos enviados em cordas com extremidades móveis refletem sem 
mudança de fase.
Reflexão de ondas bi ou tridimensionais 
Valem as mesmas propriedades das ondas unidimen-
sionais, entretanto, além de o sentido de propagação das 
ondas refletidas ser alterado, ocorre a alteração da direção 
de propagação.
ondas 
incidentes
superfície
ondas
refletidas
N
î r
∧
ondas refletidas
A A’
obstáculo
ond
as
inc
ide
nte
s
 A primeira ilustração pode representar a reflexão de uma onda 
luminosa e a ilustração de baixo, a reflexão de uma onda na água.
As mesmas leis da reflexão da Óptica Geométrica valem 
para a reflexão das ondas.
1°.: onda incidente, onda refletida e reta normal são 
coplanares.
2°.: o ângulo incidente de uma onda é igual ao ângulo 
de reflexão dessa onda.
Refração de ondas 
Ocorre quando a velocidade de propagação da onda é 
alterada, ao mudar de meio de propagação.
Refração de ondas unidimensionais 
Considere uma onda propagando-se com velocidade 
v em uma corda composta de dois materiais com den-
sidades diferentes. Ao atingir o ponto de mudança de 
densidade, uma parte da onda é refratada e outra parte é 
refletida.
pulso
incidente
pulso
refletido pulso
refratado
vA
vA
vB
 Ondas que inicialmente se propagam em cordas de alta densidade 
e passam a se propagar em cordas de pequena densidade 
apresentam parte do pulso refletido sem mudança de fase.
O módulo da velocidade de propagação de uma onda 
em uma corda depende da densidade da corda em ques-
tão e pode ser calculado pela seguinte expressão: 
v
T
=
μ
Em que:
– v é o módulo da velocidade de propagação da onda, 
medido no SI em metro por segundo (m/s);
– T é o módulo da força de tração na corda, medido no 
SI em newton (N);
– μ é a densidade da corda, medida no SI em quilo-
grama por metro cúbico (kg/m3).
Refração de ondas bi ou tridimensionais
Para a refração de ondas bi ou tridimensionais, valem as 
mesmas leis da refração da Óptica Geométrica. 
1°. : o raio incidente, o raio refratado e a reta normal são 
coplanares.
2°. : o raio incidente e o raio refletido seguem a Lei de 
Snell-Descartes:
sen i
sen r
v
v
( )
( )
= =1
2
1
2
λ
λ
9
N
î
r^
v1 1
2
n1
(n1 n2)
n2v2
 Uma onda que está em um meio menos refringente e incide em um 
meio mais refringente tem o raio refratado se aproximando da reta 
normal.
Difração de ondas 
É o fenômeno pelo qual as ondas podem contornar 
obstáculos ou fendas. Ocorre quando as dimensões do 
obstáculo ou da fenda são comparáveis às dimensões do 
comprimento da onda em questão. 
onda plana
fonte de ondas fenda
onda difratada
 Ao passar por um orifício, a onda pode contorná-lo. Esse fenômeno 
é chamado de difração.
Polarização de ondas 
Uma onda é dita polarizada quando tem uma das dire-
ções de oscilação selecionada após passar por um disposi-
tivo chamado polarizador. A polarização é um fenômeno 
que ocorre exclusivamente com ondas transversais. 
Di
vo
. 2
01
5.
 3
D.
A F B
 Uma onda gerada por um pulso circular incide em uma fenda e tem 
sua direção de oscilação alterada para vertical.
Interferência de ondas 
Considere dois pulsos em fase, os quais são produzi-
dos em extremidades distintas de uma corda. No ponto 
de encontro, ocorre a interferência das amplitudes de um 
pulso com o outro. Esse fenômeno é denominado de prin-
cípio da superposição e o pulso resultante é determinado 
pela soma algébrica das amplitudes de onda.
Interferência de ondas unidimensionais: ondas 
em cordas
a) Interferência construtiva: quando dois pulsos de 
onda se encontram em fase, o pulso resultante terá ampli-
tude igual à soma das amplitudes iniciais de cada pulso.
A1 A2
V V
A
 Duas crianças seguram as extremidades de uma corda e enviam um 
pulso verticalmente para cima. No ponto de encontro dos pulsos, 
ocorre uma interferência construtiva.
b) Interferência destrutiva: quando dois pulsos de 
onda se interferem em fases diferentes (crista-vale ou vale-
-crista), a amplitude do pulso resultante será a subtração 
das amplitudes iniciais de cada onda.
A1
A2
VV
V
A1
A2
V
V
Ilu
st
ra
çõ
es
: M
ilt
on
 B
. 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 Em uma corda, uma criança envia um pulso vertical para cima e 
outra criança, na extremidade oposta, envia um pulso vertical para 
baixo. No ponto de encontro dos pulsos, ocorre uma interferência 
destrutiva.
10 Livro de Revisão 3
Física
Interferência de ondas bidimensionais ou tridimensionais para fontes coerentes 
Em ondas bi e tridimensionais, é necessário considerar a distância d do ponto da fonte emissora.
d n= ⋅
λ
2
a) Interferência construtiva: a interferência de duas 
ondas será dita construtiva quando a sobreposição de duas 
frentes de onda for dada em fase, ou seja, quando houver 
encontro de crista com crista ou de vale com vale.
F1 F2
A
B
C
Δd d d= −2 1
 Dadas duas fontes coerentes F1 e F2, a interferência é construtiva 
quando o resultado da diferença de distância resultar em n igual a 
um número inteiro par.
b) Interferência destrutiva: a interferência de duas 
ondas será dita destrutiva quando a sobreposição de duas 
frentes de onda for dada em contrafase, ou seja, quando 
houver encontro de crista com vale e vice-versa.
F1 F2
A
Δd d d= −2 1
 Dadas duas fontes coerentes F1 e F2, a interferência é destrutiva 
quando o resultado da diferença de distância resultar em n igual a 
um número inteiro ímpar.
– d é a distância de um ponto qualquer da onda, dada no SI em metro (m);
– n é o número de meios comprimentos de onda;
– λ é o comprimento de onda, dado no SI em metro (m).
c) Interferência parcial: todas as interferências que não forem construtivas ou destrutivas serão ditas parciais. É a 
interferência que ocorre com maior frequência, já que as duas primeiras situações são muito específicas. Nesse caso, o 
resultado da diferença de distância resulta em n igual a um número decimal.
1. (UFG – GO) As ondas eletromagnéticas foram previstas 
por Maxwell e comprovadas experimentalmente por 
Hertz (final do século XlX). Essa descoberta revolucionou 
o mundo moderno. Sobre as ondas eletromagnéticas são 
feitas as afirmações:
 I. Ondas eletromagnéticas são ondas longitudinais que 
se propagam no vácuo com velocidade constante 
c = 3,0 ⋅ 108 m/s.
 II. Variações nocampo magnético produzem campos 
elétricos variáveis que, por sua vez, produzem campos 
magnéticos também dependentes do tempo e assim 
por diante, permitindo que energia e informações 
sejam transmitidas a grandes distâncias.
 III. São exemplos de ondas eletromagnéticas muito fre-
quentes no cotidiano: ondas de rádio, sonoras, micro-
-ondas e raios X.
 Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
X b) II, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I e III, apenas.
e) II e III, apenas.
2. (UFSM – RS) Quando o badalo bate num sino e o faz 
vibrar comprimindo e rarefazendo o ar nas suas proxi-
midades, produz-se uma onda sonora. As ondas sonoras 
no ar são _______________ e ________________. 
A velocidade das ondas sonoras em outro meio é 
_______________.
 Selecione a alternativa que preenche corretamente as 
lacunas.
a) eletromagnéticas – transversais – igual
b) mecânicas – longitudinais – igual
11
c) mecânicas – transversais – diferente
d) eletromagnéticas – longitudinais – igual
X e) mecânicas – longitudinais – diferente 
3. (FGV – SP) Analise as afirmações.
 I. Massa, carga elétrica, temperatura e densidade são 
algumas das várias grandezas físicas escalares que 
dispensam as noções de direção e sentido.
 II. Campos gravitacional, elétrico e magnético são gran-
dezas vetoriais que caracterizam determinada pro-
priedade física dos pontos de uma região.
 III. O estudo das ondas em Física pode ser feito dispen-
sando a aplicação de grandezas vetoriais.
 É correto apenas o que se afirma em
a) I
b) II
X c) I e II
d) I e III
e) II e III
4. (UFSM – RS) A presença e a abrangência dos meios de 
comunicação na sociedade contemporânea vêm intro-
duzindo elementos novos na relação entre as pessoas 
e entre elas e o seu contexto. Rádio, televisão e tele-
fone celular são meios de comunicação que utilizam 
ondas eletromagnéticas, as quais têm a(s) seguinte(s) 
propriedade(s):
 I. propagação no vácuo.
 II. existência de campos elétricos variáveis perpendi-
culares a campos magnéticos variáveis.
 III. transporte de energia e não de matéria.
 Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
X e) I, II e III.
5. (UFRJ) Uma perturbação periódica em uma corda produz 
ondas de frequência 40 Hz e comprimento de onda 15 cm.
 Neste caso, calcule:
a) o período da onda.
f Hz T
f
T T s= ⇒ = ⇒ = ⇒ =40
1 1
40
0 025,
b) a velocidade da onda.
Analisando o gráfico, em f = 1 000 Hz
v f v v= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =λ 40 0 15 6, m/s
6. (UEPB) 
O SONAR (sound navigation and ranging) é um 
dispositivo que, instalado em navios e submari-
nos, permite medir profundidades oceânicas e 
detectar a presença de obstáculos. Originalmen-
te foi desenvolvido com finalidades bélicas du-
rante a Segunda Guerra Mundial (1939-1945) 
para permitir a localização de submarinos e ou-
tras embarcações do inimigo. O seu princípio é 
bastante simples, encontrando-se ilustrado na 
figura [...]. Inicialmente é emitido um impulso 
sonoro por um dispositivo instalado no navio, 
A sua frequência dominante é normalmente de 
10 kHz a 40 kHz. O sinal sonoro propaga-se 
na água em todas as direções até encontrar um 
obstáculo. O sinal sonoro é então refletido (eco) 
dirigindo-se uma parte da energia de volta para o 
navio onde é detectado por um hidrofone.
(Adaptado de JUNIOR, F. R. Os Fundamentos da Física. 8. ed. vol. 2. 
São Paulo: Moderna, 2003. p. 417)
 Acerca do assunto tratado no texto, analise a seguinte 
situação-problema:
 Um submarino é equipado com um aparelho denomi-
nado sonar, que emite ondas sonoras de frequência 
4,00 ∙ 104 Hz. A velocidade de propagação do som na 
água é de 1,60 ∙ 103 m/s. Esse submarino, quando em 
repouso na superfície, emite um sinal na direção vertical 
através do oceano e o eco é recebido após 0,80 s. A 
profundidade do oceano nesse local e o comprimento de 
ondas do som na água, em metros, são, respectivamente:
X a) 640 e 4 ∙ 10–2
b) 620 e 4 ∙ 10–2
c) 630 e 4,5 ∙ 10–2
d) 610 e 3,5 ∙ 10–2
e) 600 e 3 ∙ 10–2
,
O tempo de captação do sinal corresponde a uma 
propagação de duas vezes a profundidade de onde se 
encontra o sonar ( s = 2 ∙ h).
 
v
s
t
h
h m
v f
v
f
= ⇒ ⋅ =
⋅
⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⇒ =
⋅
⋅
⇒ = ⋅
Δ
Δ
16 10
2
0 8
640
16 10
4 10
4
3
3
4
,
,
,
λ λ λ λ 110 2− m
12 Livro de Revisão 3
Física
3. Acústica 
Características do som 
Velocidade do som 
A velocidade de propagação do som depende apenas 
do meio no qual ele se propaga. Por exemplo, no ar a 15 ºC 
a velocidade do som é de aproximadamente 340 m/s. Já na 
água do mar a 20 ºC a velocidade é de 1 500 m/s.
Qualidades fisiológicas do som 
Quando as ondas sonoras chegam até a orelha, são 
transformadas em pulsos elétricos, que são conduzidos 
pelo nervo auditivo até o cérebro. O ser humano consegue 
compreender frequências entre 20 Hz e 20 000 Hz. Sons 
abaixo de 20 Hz são conhecidos como infrassons e sons 
acima de 20 000 Hz são os ultrassons. Além da frequência, 
outras características, como intensidade, altura e timbre, 
são responsáveis pela distinção de sons.
Intensidade sonora e nível sonoro 
A intensidade sonora e o nível sonoro são as qualidades 
fisiológicas que permitem diferenciar sons fortes de sons 
fracos.
A intensidade sonora está relacionada com o som emi-
tido por uma fonte que chega a determinada região. Assim, 
ela é definida pela razão entre a potência sonora da fonte 
(em watts) e a área de superfície que é atravessada pela 
onda (em m2):
I
P
A
ot
Em que:
– Pot é a potência sonora da fonte, medida no SI em 
watt (W);
– A é a área, medida no SI em metro quadrado (m2);
– I é a intensidade sonora, medida no SI em watt por 
metro quadrado (W/m2).
A maneira como a intensidade sonora é percebida pelo 
sistema auditivo do ser humano é chamada de nível sonoro e 
representada por β. O nível sonoro varia de acordo com uma 
função logarítmica. Para calculá-lo, utiliza-se como referência 
a menor intensidade física audível I0 = 10
–12 W/m2. 
β=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟log
I
I0
A unidade de nível sonoro é o bel, cujo símbolo é B. 
Comumente se usa o decibel (dB), que corresponde à 
décima parte do bel. Assim:
β= ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟10
0
log
I
I
Altura e timbre 
A altura de um som está relacionada com a frequência 
com que ele é emitido. Assim, um som alto corresponde a 
um som de alta frequência (som agudo), e um som baixo 
corresponde a um som de baixa frequência (som grave).
O timbre de um som está relacionado com o formato 
da onda sonora. É por ele que podemos diferenciar a voz 
das pessoas e os instrumentos musicais, mesmo quando 
emitem sons de mesma intensidade e frequência. 
Fenômenos acústicos 
Eco e reverberação 
Ondas sonoras são refletidas ao atingirem obstáculos e 
retornarem sem mudança de velocidade. Dois fenômenos 
associados à reflexão do som são o eco e a reverberação. O 
eco ocorre quando o som refletido retorna ao ouvinte em 
tempo superior a 0,1 s. Nesse caso, o obstáculo está posi-
cionado a mais de 17 m de um observador. A reverberação 
ocorre quando o som sofre múltiplas reflexões e retorna ao 
ouvinte em tempo inferior a 0,1 s. Nesse caso, os obstáculos 
estão posicionados a menos de 17 m de um observador.
emissor
objeto
onda refletida
(eco)
onda original
 O eco é um fenômeno acústico decorrente da reflexão das ondas 
sonoras em um objeto.
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/t
ts
z
13
Ressonância 
Quando a frequência de uma vibração periódica 
de um sistema oscilatório for igual ou múltipla da sua 
frequência natural, há um aumento gradativo de sua 
energia mecânica. Nesses casos, temos que a frequência 
da vibração aplicada entra em ressonância com a 
frequência do sistema.
Amplitude
Tempo
 A amplitude do movimento oscilatório em ressonância aumenta 
com o tempo.
Efeito Doppler 
Quando a distância entre o observador e a fonte sonora 
varia, há alteração de frequência do som. Esse fenômeno é 
conhecido como efeito Doppler. 
A frequência aparente é maior do que a frequência 
emitida quando há aproximação entre a fonte e o 
observador.Por outro lado, a frequência aparente é menor 
do que a frequência emitida quando há afastamento entre 
a fonte e o observador. 
Para se estabelecer a expressão matemática que fornece 
a frequência aparente, para casos em que o observador e a 
fonte se aproximam ou se afastam, deve-se usar a seguinte 
relação:
f f
v v
v vap
s o
s f
= ⋅
±
Em que:
– fap é a frequência aparente do som percebido pelo 
observador, medida no SI em hertz (Hz);
– f é a frequência real do som emitido pela fonte, 
medida no SI em hertz (Hz);
– vo é a velocidade do observador, medida no SI em 
metro por segundo (m/s);
– vs é a velocidade do som no meio, medida no SI em 
metro por segundo (m/s);
– vf é a velocidade da fonte, medida no SI em metro por 
segundo (m/s).
Para escolher corretamente os sinais, deve-se construir 
um eixo orientado do observador à fonte. Quem se 
movimentar a favor dessa orientação terá velocidade com 
sinal positivo e quem se movimentar no sentido contrário 
ao dessa orientação terá velocidade com sinal negativo. 
Ondas estacionárias 
Quando a fonte de onda produz sucessivos trens de 
ondas de modo contínuo, há, dependendo da relação 
entre o comprimento de onda e o comprimento da corda 
ou tubo, situações em que esse padrão de interferência 
é continuamente reproduzido, formando uma onda 
estacionária.
A imagem a seguir ilustra uma onda estacionária pro-
duzida em uma corda. 
V
N
V V V
N N N N
/2 /2 /4
 Os ventres (V) correspondem aos pontos que oscilam com máxima 
amplitude, ou seja, aqueles que ora são cristas, ora são vales; os nós 
ou nodos (N) correspondem aos pontos que permanecem o tempo 
todo sobre a linha central da onda e não apresentam movimento 
oscilatório. 
Ondas estacionárias em cordas 
Uma corda, ao sofrer vibração, pode emitir um conjunto 
de frequências chamadas harmônicos. Os harmônicos 
apresentam frequências que são múltiplos inteiros da 
menor frequência emitida pela corda, chamada de 
primeiro harmônico ou frequência fundamental.
Harmônicos em cordas 
Os harmônicos em cordas são produzidos pelas 
interferências construtivas e destrutivas de ondas emitidas 
pela fonte e refletidas na extremidade fixa. Os harmônicos 
gerados dependem das razões entre o comprimento de 
onda e o comprimento da corda. 
14 Livro de Revisão 3
Física
primeiro harmônico
L
1 ·
2
segundo harmônico
L
2 ·
2
terceiro harmônico
L
3 ·
2
 No primeiro harmônico (figura à esquerda), o comprimento da corda é igual a uma metade do comprimento de onda. No segundo harmônico 
(figura do centro), o comprimento da corda é igual a duas metades do comprimento da onda. No terceiro harmônico (figura à direita), o 
comprimento da corda é igual a três metades do comprimento da onda.
De modo geral, o número do harmônico n está vinculado à relação entre o comprimento da corda L e o comprimento 
de onda λ:
L n= ⋅
λ
2 Como λ =
v
f
, temos: L n
v
f
f n
v
L
= ⋅ ⇒ = ⋅
2 2
Para qualquer harmônico obtido em cordas sonoras, o número de ventres é igual ao número do harmônico emitido 
pela corda. 
Ondas estacionárias em tubos 
Todo tubo que, ao ser percorrido por um jato de ar, produz ondas sonoras é chamado de tubo sonoro. Um tubo sonoro 
pode ser aberto ou fechado. 
Harmônicos em tubos abertos 
Em tubos abertos, a onda estacionária forma ventres nas duas pontas do tubo, o número de nós formados coincide 
com o número do harmônico correspondente. Por exemplo, um nó para o primeiro harmônico, dois nós para o segundo 
e assim sucessivamente. 
L L
1 .
2
λ
L
3 .
2
λ
L
2 .
2
λ
 No primeiro harmônico (figura à esquerda), o comprimento do tubo é igual a uma metade do comprimento de onda. No segundo (figura do 
centro), o comprimento do tubo é igual a duas metades do comprimento da onda. No terceiro (figura à direita), o comprimento do tubo é igual 
a três metades do comprimento da onda.
De modo geral, o número do harmônico n está vinculado à relação entre o comprimento do tubo L e o comprimento 
de onda λ:
L n= ⋅
λ
2
 Como λ =
v
f
, temos: L n
v
f
f n
v
L
= ⋅ ⇒ = ⋅
2 2
Para qualquer harmônico obtido em tubos sonoros, o número de nós é igual ao número do harmônico emitido pelo tubo.
Harmônicos em tubos fechados 
Em tubos fechados, a onda estacionária forma ventres em uma extremidade e nó na outra. O número de quartos de 
onda gerados coincide com o número do harmônico correspondente. Não são formados harmônicos pares nos tubos 
fechados.
L
5 .
4
λ5
L
3 .
4
λ3
L L
1 .
4
λ1
 No primeiro harmônico (figura à esquerda), o comprimento do tubo é igual a um quarto do comprimento de onda. No terceiro harmônico 
(figura do centro), o comprimento do tubo é igual a três quartos do comprimento da onda. No quinto harmônico (figura à direita), o 
comprimento do tubo é igual a cinco quartos do comprimento da onda.
15
De modo geral, o número do harmônico n está vin- 
culado à relação entre o comprimento do tubo L e o 
comprimento de onda λ:
L n= ⋅
λ
4
Como λ =
v
f
, temos:
1. (PUC-Campinas – SP) 
Na escuridão, morcegos navegam e procuram 
suas presas emitindo ondas de ultrassom e depois 
detectando as suas reflexões. Estas são ondas 
sonoras com frequências maiores do que as que 
podem ser ouvidas por um ser humano. Depois 
de o som ser emitido através das narinas do 
morcego, ele poderia se refletir em uma mariposa, 
e então retornar aos ouvidos do morcego. Os 
movimentos do morcego e da mariposa em 
relação ao ar fazem com que a frequência ouvida 
pelo morcego seja diferente da frequência que ele 
emite. O morcego automaticamente traduz esta 
diferença em uma velocidade relativa entre ele e a 
mariposa. Algumas mariposas conseguem escapar 
da captura voando para longe da direção em que 
elas ouvem ondas ultrassônicas, o que reduz a 
diferença de frequência entre o que o morcego 
emite e o que escuta, fazendo com que o morcego 
possivelmente não perceba o eco. 
(Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, v. 2, 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2002. p. 131) 2.
 Tanto o morcego quanto a mariposa parecem conhecer 
a física, ou seja, conhecem a natureza. O fenômeno rela-
cionado ao texto é
X a) o efeito Doppler.
b) a onda de choque.
c) o cone de Mach.
d) a propagação [...] do 
som.
e) a redução do nível 
sonoro.
2. (UFRGS – RS) Os radares usados para a medida da velo-
cidade dos automóveis em estradas têm como princípio 
de funcionamento o chamado efeito Doppler. O radar 
emite ondas eletromagnéticas que retornam a ele após 
serem refletidas no automóvel. A velocidade relativa 
entre o automóvel e o radar é determinada, então, a par-
tir da diferença de ................ entre as ondas emitida e 
refletida. Em um radar estacionado à beira da estrada, a 
onda refletida por um automóvel que se aproxima apre-
senta ................ frequência e ................ velocidade, 
comparativamente à onda emitida pelo radar. 
a) velocidades – igual 
– maior 
b) frequências – menor 
– igual 
c) velocidades – menor 
– maior 
X d) frequências – maior 
– igual
e) velocidades – igual 
– menor
3. (PUCRS) Quando uma ambulância se aproxima ou se 
afasta de um observador, este percebe uma variação na 
altura do som emitido pela sirene (o som percebido fica 
mais grave ou mais agudo). Esse fenômeno é denomi-
nado Efeito Doppler. Considerando o observador parado,
a) o som PERCEBIDO fica mais agudo à medida que a 
ambulância se afasta.
X b) o som PERCEBIDO fica mais agudo à medida que a 
ambulância se aproxima.
c) a frequência do som EMITIDO aumenta à medida que 
a ambulância se aproxima.
d) o comprimento de onda do som PERCEBIDO aumenta 
à medida que a ambulância se aproxima.
e) o comprimento de onda do som PERCEBIDO é cons-
tante, quer a ambulância se aproxime ou se afaste do 
observador, mas a frequência do som EMITIDO varia.
4. (UFPR) 
Quando uma pessoa fala, o que de fato ouvimos 
é o som resultante da superposição de vários sons 
de frequências diferentes. Porém, a frequência 
do som percebido é igual à do som de menor 
frequência emitido. Em 1984, uma pesquisarealizada com uma população de 90 pessoas, 
na cidade de São Paulo, apresentou os seguintes 
valores médios para as frequências mais baixas 
da voz falada: 100 Hz para homens, 200 Hz para 
mulheres e 240 Hz para crianças. 
(Tafner, Malcon Anderson. Reconhecimento de palavras faladas isoladas 
usando redes neurais artificiais. Dissertação de Mestrado, Universidade 
Federal de Santa Catarina.) 
 Segundo a teoria ondulatória, a intensidade I de uma 
onda mecânica se propagando num meio elástico é 
= ⋅ ⇒ = ⋅v vL n f n (n natural e ímpar)
4f 4L
Para qualquer harmônico obtido em tubos sonoros 
fechados, o número de quartos de onda é igual ao número 
do harmônico emitido pelo tubo.
16 Livro de Revisão 3
Física
diretamente proporcional ao quadrado de sua frequên-
cia para uma mesma amplitude. Portanto, a razão 
I
I
F
M
 
entre a intensidade da voz feminina e a intensidade da 
voz masculina é:
X a) 4,00
b) 0,50
c) 2,00 
d) 0,25
e) 1,50 
5. (UFRGS – RS) A menor intensidade de som que um ser 
humano pode ouvir é da ordem de 10–16 W/cm2. Já a 
maior intensidade suportável (limiar da dor) situa-se em 
torno de 10–3 W/cm2. Usa-se uma unidade especial para 
expressar essa grande variação de intensidades perce-
bidas pelo ouvido humano: o bel (B). O significado dessa 
unidade é o seguinte: dois sons diferem de 1 B quando 
a intensidade de um deles é 10 vezes maior (ou menor) 
que a do outro, diferem de 2 B quando essa intensidade 
é 100 vezes maior (ou menor) que a do outro, de 3 B 
quando ela é 1 000 vezes maior (ou menor) que a do 
outro, e assim por diante. Na prática, usa-se o decibel 
(dB), que corresponde a 
1
10
 do bel. Quantas vezes maior 
é, então, a intensidade dos sons produzidos em concer-
tos de rock (110 dB) quando comparada com a intensi-
dade do som produzido por uma buzina de automóvel 
(90 dB)?
a) 1,22 b) 10 c) 20 X d) 100 e) 200
6. (UNICAMP – SP) O menor intervalo de tempo entre 
dois sons percebido pelo ouvido humano é de 0,10 s. 
Considere uma pessoa defronte a uma parede em um 
local onde a velocidade do som é de 340 m/s. 
a) Determine a distância x para a qual o eco é ouvido 3,0 s 
após a emissão da voz.
b) Determine a menor distância para que a pessoa possa 
distinguir a sua voz e o eco.
7. (PUCRS) Para a percepção inteligível de dois sons conse-
cutivos, o intervalo de tempo entre os mesmos deve ser 
igual ou maior que 0,100 s. Portanto, num local onde a 
velocidade de propagação do som no ar é de 350 m/s, 
para que ocorra eco, a distância mínima entre uma pes-
soa gritando seu nome na direção de uma parede alta e 
a referida parede deve ser de
X a) 17,5 m
b) 35,0 m
c) 175 m
d) 350 m
e) 700 m
8. (UDESC) Dois tubos sonoros de mesmo comprimento se 
diferem pela seguinte característica: o primeiro é aberto 
nas duas extremidades e o segundo é fechado em uma 
das extremidades. Considerando que a temperatura 
ambiente seja de 20 ºC e a velocidade do som igual a 
344 m/s, assinale a alternativa que representa a razão 
entre a frequência fundamental do primeiro tubo e a do 
segundo tubo.
X a) 2,0 b) 1,0 c) 8,0 d) 0,50 e) 0,25
9. (ENEM) Um dos modelos usados na caracterização dos 
sons ouvidos pelo ser humano baseia-se na hipótese de 
que ele funciona como um tubo ressonante. Neste caso, 
os sons externos produzem uma variação de pressão 
do ar no interior do canal auditivo, fazendo a membrana 
(tímpano) vibrar. Esse modelo pressupõe que o sistema 
funciona de forma equivalente à propagação de ondas 
sonoras em tubos com uma das extremidades fechadas 
pelo tímpano. As frequências que apresentam ressonân-
cia com o canal auditivo têm sua intensidade reforçada, 
enquanto outras podem ter sua intensidade atenuada. 
 Considere que, no caso de ressonância, ocorra um nó 
sobre o tímpano e ocorra um ventre da onda na saída 
do canal auditivo, de comprimento L igual a 3,4 cm. 
Assumindo que a velocidade do som no ar (v) é igual a 
340 m/s, a frequência do primeiro harmônico (frequência 
fundamental, n = 1) que se formaria no canal, ou seja, a 
frequência mais baixa que seria reforçada por uma res-
sonância no canal auditivo, usando este modelo é:
a) 0,025 kHz, valor que considera a frequência do primeiro 
harmônico como igual a 
n v
L4
 e equipara o ouvido a um 
tubo com ambas as extremidades abertas.
X b) 2,5 kHz, valor que considera a frequência do primeiro 
harmônico como igual a 
n v
L4
 e equipara o ouvido a 
um tubo com uma extremidade fechada.
c) 10 kHz, valor que considera a frequência do primeiro 
harmônico como igual a 
n v
L
e equipara o ouvido a 
um tubo com ambas as extremidades fechadas.
d) 2 500 kHz, valor que expressa a frequência do pri-
meiro harmônico como igual a 
n v
L
, aplicável ao 
ouvido humano.
e) 10 000 kHz, valor que expressa a frequência do 
primeiro harmônico como igual a 
n v
L
, aplicável ao 
ouvido e a tubo aberto e fechado.
17
4. Fundamentos da Eletricidade I: 
grandezas vetoriais 
Princípios da Eletrostática 
Carga elétrica 
Ernest Rutherford, no início do século XX, propôs que todos os átomos são constituídos de um núcleo maciço em 
que se situam as cargas positivas (os prótons), circundado por cargas muito pequenas e negativas (elétrons). Apesar 
de o modelo atômico de Rutherford ter sido substituído pelo modelo-padrão, ainda podemos afirmar que os elétrons 
apresentam carga negativa e os prótons apresentam carga positiva.
Para determinarmos a carga elétrica de um corpo, multiplicamos o seu número de elétrons em excesso ou em falta 
pela carga elementar:
Q n e= ± ⋅
Em que:
– Q é a quantidade de carga do corpo, medida no SI em coulomb (C);
– n é o número de elétrons que o corpo ganhou ou perdeu;
– e é a carga elementar do elétron. Seu valor é 1,6 ⋅ 10–19 C.
Princípio de Du Fay 
O pensador francês Charles François de Cisternay du Fay (1698-1739), em 1737, constatou que os objetos eletrizados 
poderiam ser atraídos ou repelidos entre si, conforme as características da eletricidade. 
 Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal contrário se atraem.
Princípio da conservação da carga elétrica 
Em um sistema isolado, a somatória de todas as cargas desse sistema se mantém constante, independentemente do 
processo de eletrização. 
Processos de eletrização 
Eletrização por atrito 
Ocorre quando dois corpos constituídos de materiais 
diferentes deslizam suas superfícies uma sobre a outra. Nesse 
caso, um corpo adquire elétrons do outro, fazendo com que 
ambos fiquem carregados, com o mesmo módulo de carga, 
porém sinal oposto.
Atrito entre 
pente e flanela 
 Falta de cargas 
negativas na flanela 
Excesso de cargas 
negativas no pente
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
iv
o.
 2
01
5.
 3
D.
 Os elétrons perdidos pela flanela estão no pente.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
=∑ ∑início finalQ Q
 Em um sistema isolado eletricamente, 
a somatória das cargas dos corpos se 
mantém constante, mesmo que seus 
constituintes troquem carga entre si.
+8 C
– 6 C
–
–
––
–
+5 C
Trocas
de
cargas
B
C
+3 C
+2 C
+2 C
BAA
C
–
18 Livro de Revisão 3
Física
Eletrização por indução 
A eletrização por indução ocorre a distância. Toda vez que um corpo carregado se aproxima de um corpo neutro, este 
divide suas cargas por sua superfície, dando origem a uma força de atração.
Afastados Próximos
Bastão
eletrizado
Base de haste
isolante
Esfera
condutora
neutra Indutor
Induzido
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 Ao aproximar um corpo eletrizado positivamente de um corpo neutro, parte dos elétrons livres se movimenta 
em direção ao corpo eletrizado.
Eletroscópio 
Os eletroscópios são utilizados para verificarmos se um corpo se 
encontra neutro ou carregado eletricamente. Existem dois tipos de 
eletroscópio: o eletroscópio de folhas e o eletroscópio pendular.
Eletroscópio de folhas: pode ser constituído de uma esfera de 
material condutor ligada a duas lâminas de ouro ou tiras de alumínio 
isoladas dentro de um recipiente transparente. Ao aproximar um 
corpo eletrizado (indutor)da esfera condutora (induzido), temos 
uma indução eletrostática. Como as duas lâminas do indutor 
passam a ter cargas de mesmo sinal, elas acabam se repelindo e, 
consequentemente, afastam-se.
Eletroscópio pendular: pode ser constituído de uma esfera de cortiça 
envolvida por uma fina camada de material condutor e suspensa por um 
fio preso em uma haste isolante. Ao aproximar um corpo eletrizado da 
esfera, ela sofre indução, sendo atraída por ele.
Eletrização por contato 
Quando um ou mais corpos carregados se tocam, há uma divisão de cargas entre os envolvidos no processo, pro-
porcional a suas áreas superficiais. O planeta Terra, por ser muito maior que os objetos dispostos na sua superfície, tem a 
capacidade de doar ou receber elétrons aos corpos carregados, deixando-os neutros.
 Aplicando a condição de equilíbrio, é possível determinar a força elétrica sabendo a 
massa da esfera e o ângulo do fio com a vertical.
 Corpos com características e dimensões idênticas, colocados simultaneamente em contato, apresentam 
carga final igual à média da carga total dos corpos.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
e–
e–
Antes do contato: carga total +Q Contato: elétrons passam dos corpos neutros 
para o corpo eletrizado positivamente
Depois do contato: carga total +Q
+Q/3
+Q/3
+Q/3
+Q
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
Esfera neutra
induzida
Bastão 
eletrizado
Haste
isolante
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 Quanto maior a carga do corpo indutor, maior a 
separação entre as lâminas ou tiras.
Esfera de
material 
condutor
Haste de
material
condutor
Rolha de 
material
isolante
Lâminas
de ouro 
ou tiras de 
alumínio
Frasco
de vidro
+
++
++
+
+
+
+ +
––
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
––
–
–
–
–
– –
–
–
–
–
19
Lei de Coulomb 
O módulo da força elétrica entre dois corpos 
carregados Q e q, separados por uma distância d, é dado 
pela seguinte relação matemática:
Q
d
qFe Fe
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
F K
Q q
d
e = ⋅
⋅
2
 O módulo da força elétrica do corpo Q sobre q é igual ao módulo da 
força elétrica do corpo q sobre Q.
Em que:
– Fe é o módulo da força elétrica, dado no SI em newton 
(N);
– K é a constante eletrostática do meio. No vácuo, 
K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2;
– |Q| é o módulo de uma carga, medido no SI em 
coulomb (C);
– |q| é o módulo da outra carga, medido no SI em 
coulomb (C);
– d é a distância entre as cargas, medida no SI em metro 
(m).
Gráfico da força elétrica 
A força elétrica entre duas cargas elétricas decai 
proporcionalmente com o quadrado da distância entre 
elas.
F
força
elétrica
(N)
distância
entre
cargas (m)
d 2d 3d 4d
F/4
F/9
F/16
Força elétrica resultante 
A força elétrica resultante sobre uma carga é a soma 
vetorial de todas as forças elétricas que atuam sobre a 
carga.
F F F F FR n= + + + +1 2 3 ...
Resultante de duas forças elétricas 
Se duas forças agirem sobre uma carga elétrica, a força 
resultante pode ser determinada por:
F F F F FR
2
1
2
2
2
1
2
2
22= + + ⋅ ⋅ ⋅cos α
Lembrando que α é o ângulo formado entre as forças 
F1 e F2 .
Resultante de n forças elétricas 
Para a determinação da força elétrica resultante, em um 
sistema de n forças elétricas, seguem os passos:
– decompõem-se todas as forças envolvidas em 
componentes x e y, pelas relações trigonométricas: 
F Fx = ⋅cos α e F F seny = ⋅ α;
– somam-se todas as componentes x e y, obtendo-se 
as componentes Fxn e Fyn ;
– finalmente, utiliza-se a Relação de Pitágoras para deter-
minar o módulo da força resultante: F F FR xn yn
2 2 2= + .
Campo elétrico 
Um corpo carregado eletricamente produz uma 
influência elétrica ao seu redor, chamada campo elétrico 
E. A influência elétrica poderá ser detectada por uma 
carga de prova que seja colocada propositadamente nessa 
região. Nesse caso, será exercida uma força elétrica sobre a 
carga de prova, que pode ser determinada por:
E
F
q
e
Em que:
– E é o módulo do campo elétrico gerado por uma 
carga Q, medido no SI em newton por coulomb (N/C);
– Fe é o módulo da força elétrica entre Q e q, medido no 
SI em newton (N);
– q é a carga de prova, medida no SI em coulomb (C).
20 Livro de Revisão 3
Física
Linhas de campo elétrico 
Linhas de campo são linhas imaginárias desenhadas ao redor de uma ou mais cargas elétricas e cuja função é representar 
o comportamento do vetor campo elétrico E em determinada região do espaço.
 Enquanto as linhas de campo elétrico 
de uma carga positiva divergem, ou seja, 
saem da carga elétrica positiva, as linhas 
de campo elétrico de uma carga negativa 
convergem, ou seja, entram na carga 
negativa.
Na presença de uma segunda carga elétrica, as linhas de campo elétrico interagem entre si. A seguir, temos as linhas 
de campo elétrico em regiões de dipolos elétricos. 
 Em dipolos de mesma carga, o ponto médio entre as cargas apresenta campo elétrico nulo. Em dipolos de cargas elétricas de sinais contrários 
e mesmo módulo, o ponto médio entre as cargas apresenta campo elétrico com intensidade dobrada em relação ao campo individual.
Determinação do campo elétrico 
Para determinação do módulo do campo elétrico produzido por uma carga, utilizamos a seguinte relação:
E K
Q
d
= ⋅ 2
Em que:
– K é a constante eletrostática, que no vácuo tem valor de 9 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2;
– |Q| é o módulo da carga em questão, no SI, sua unidade é o coulomb (C);
– d é a distância entre a carga Q e um ponto P qualquer, no SI, sua unidade é o metro (m);
– E é o módulo do campo elétrico gerado, no SI, sua unidade é o newton por coulomb (N/C).
Campo elétrico resultante 
Para o cálculo do campo elétrico resultante em um ponto P, utilizamos os mesmos procedimentos adotados para o 
cálculo de força resultante.
Campo elétrico uniforme 
Diz-se que uma região apresenta campo elétrico 
uniforme quando, em qualquer ponto dessa região, o 
vetor campo elétrico apresenta intensidade, direção e 
sentido constantes.
E
E E E
E E
E E
 Em uma região de campo elétrico uniforme, as linhas de campo 
elétrico são paralelas.
21
1. (ACAFE – SC) Utilizado nos laboratórios didáticos de 
física, os eletroscópios são aparelhos geralmente utiliza-
dos para detectar se um corpo possui carga elétrica ou 
não.
 Considerando o eletroscópio da figura anterior, carre-
gado positivamente, assinale a alternativa correta que 
completa a lacuna da frase a seguir.
 Tocando-se o dedo na esfera, verifica-se que as lâminas 
se fecham, porque o eletroscópio ___________.
a) perde elétrons.
X b) ganha elétrons.
c) ganha prótons.
d) perde prótons.
2. (PUCPR) Um corpo possui 5 ⋅ 1019 prótons e 4 ⋅ 1019 
elétrons. Considerando a carga elementar igual a 
1,6 ⋅ 10–19 C, este corpo está:
a) carregado negativamente com uma carga igual a 
1 ⋅ 10–19 C.
b) neutro.
X c) carregado positivamente com uma carga igual a 1,6 C.
d) carregado negativamente com uma carga igual a 1,6 C.
e) carregado positivamente com uma carga igual a 
1 ⋅ 10–19 C.1 10  C.
O corpo tem uma falta de 1 ⋅ 10–19 elétron.
Q n e Q Q C= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =−1 10 16 10 1619 19, ,
3. (ESAN – RN) As palavras que completam corretamente 
as lacunas do texto abaixo são, respectivamente:
 Se a um corpo eletricamente neutro acrescentarmos 
partículas negativas, desaparece o equilíbrio de car-
gas. O efeito total das partículas negativas supera o 
das positivas e podemos dizer que o corpo está carre-
gado negativamente. Podemos também carregar posi-
tivamente um objeto ________________ partículas 
____________e deixando, portanto, um excesso de 
cargas ____________.
a) acrescentando; negativas; positivas
X b) retirando; negativas; positivas
c) retirando; positivas; negativas
d) acrescentando; positivas; negativas
e) retirando; positivas; positivas
4. (FURG – RS) Sobre os núcleos atômicos e seus consti-
tuintes, são feitas quatro afirmativas.
 I. Os núcleos atômicos são constituídos por prótons, 
nêutrons e elétrons.
 II. O próton é uma partícula idêntica ao elétron, porém 
de cargapositiva.
 III. Nos núcleos atômicos está concentrada a quase tota-
lidade da massa do átomo.
 IV. As forças nucleares são as responsáveis por man-
ter unidas as partículas que compõem os núcleos 
atômicos.
 Quais afirmativas estão corretas?
a) Apenas II
b) Apenas I e III
X c) Apenas III e IV
d) Apenas I, II e IV
e) I, II, III e IV
5. (UNIUBE – MG) Uma aluna de cabelos compridos, num 
dia bastante seco, percebe que depois de penteá-los, o 
pente utilizado atrai pedaços de papel. Isto ocorre porque
X a) o pente se eletrizou por atrito.
b) os pedaços de papel estavam eletrizados.
c) o papel é um bom condutor elétrico.
d) há atração gravitacional entre o pente e os pedaços 
de papel.
e) o pente é um bom condutor elétrico.
6. (UEL – PR) Campos eletrizados ocorrem naturalmente no 
nosso cotidiano. Um exemplo disso é o fato de algumas 
vezes levarmos pequenos choques elétricos ao encostar-
mos em automóveis. Tais choques são devidos ao fato de 
estarem os automóveis eletricamente carregados. Sobre 
a natureza dos corpos (eletrizados ou neutros), considere 
as afirmativas a seguir:
 I. Se um corpo está eletrizado, então o número de car-
gas elétricas negativas e positivas não é o mesmo.
 II. Se um corpo tem cargas elétricas, então está eletrizado.
 III. Um corpo neutro é aquele que não tem cargas elétricas.
22 Livro de Revisão 3
Física
 IV. Ao serem atritados, dois corpos neutros, de materiais 
diferentes, tornam-se eletrizados com cargas opos-
tas, devido ao princípio de conservação das cargas 
elétricas.
 V. Na eletrização por indução, é possível obter-se corpos 
eletrizados com quantidades diferentes de cargas.
 Sobre as afirmativas acima, assinale a alternativa correta.
a) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
X b) Apenas as afirmativas I, IV e V são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas II, IV e V são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas II, III e V são verdadeiras.
7. (UEFS – BA) Suponha que uma partícula eletricamente 
carregada seja colocada em repouso numa região do 
espaço onde há um campo elétrico uniforme e onde o 
campo gravitacional é desprezível. Essa partícula vai:
a) permanecer em repouso.
b) adquirir uma velocidade constante.
X c) adquirir uma aceleração constante.
d) adquirir um movimento circular.
e) adquirir um movimento parabólico.
8. (UNIFESP) Duas partículas de cargas elétricas 
Q1 = 4,0 ⋅ 10
–16 C e q = 6,0 ⋅ 10–16 C estão separadas 
no vácuo por uma distância de 3,0 ⋅ 10–9 m. Sendo 
k = 9,0 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2, a intensidade da força de 
interação entre elas, em newtons, é de:
a) 1,2 ⋅ 10–5
b) 1,8 ⋅ 10–4
c) 2,0 ⋅ 10–4
X d) 2,4 ⋅ 10–4
e) 3,0 ⋅ 10–3 
F K
Q q
d
F
F F
e e
e e
= ⋅
⋅
⇒ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅( )
= ⋅ ⇒ =
− −
−
−
2
9
16 16
9 2
5
9 10
4 10 6 10
3 10
24 10 22 4 10 4, ⋅ − N
9. (PUC-Rio – RJ) Três cargas elétricas estão em equilíbrio 
ao longo de uma linha reta de modo que uma carga posi-
tiva (+Q) está no centro e duas cargas negativas (–q) 
e (–q) estão colocadas em lados opostos e à mesma 
distância (d) da carga Q. Se aproximamos as duas car-
gas negativas para 
d
2
 de distância da carga positiva, 
para quanto temos que aumentar o valor de Q (o valor 
final será Q’), de modo que o equilíbrio de forças se 
mantenha?
X a) Q’ = 1 Q b) Q’ = 2 Q c) Q’ = 4 Q
d) Q’ = 
Q
2
e) Q’ = 
Q
4
10. (UFB) De que maneira você consegue detectar a presença 
de um campo elétrico em uma determinada região do 
espaço?
11. (PUC Minas – MG) Duas cargas elétricas puntiformes são 
separadas por uma distância de 4,0 cm e se repelem 
mutuamente com uma força de 3,6 ⋅ 10–5 N. Se a 
distância entre as cargas for aumentada para 12,0 cm, a 
força entre as cargas passará a ser de:
a) 1,5 ⋅ 10–6 N
X b) 4,0 ⋅ 10–6 N
c) 1,8 ⋅ 10–6 N
d) 7,2 ⋅ 10–6 N
12. (UFPI) Uma carga de prova q, colocada num ponto de um 
campo elétrico E = 2,0 ⋅ 10–3 N/C, sofre ação de uma 
força F = 18 ⋅ 10–5 N. O valor dessa carga, em coulombs, 
é de:
a) 9 ⋅ 10–8
b) 20 ⋅ 10–8
c) 36 ⋅ 10–8
X d) 9 ⋅ 10–2
e) 36 ⋅ 10–2
F q E q
F
E
q q Ce
e= ⋅ ⇒ = ⇒ =
⋅
⋅
⇒ = ⋅
−
−
−18 10
2 10
9 10
5
3
2
13. (UFPE) Três cargas pontuais de valor Q = 10–6 C foram 
posicionadas sobre uma circunferência de raio igual a 
1 cm formando um triângulo equilátero, conforme indica 
a figura. Determine o módulo do campo elétrico no centro 
da circunferência, em N/C.
Como as cargas têm mesma intensidade e mesmo sinal:
No centro do triângulo, os três vetores do campo elétrico 
produzidos pelas três cargas farão entre si 120°. Decompondo 
os três vetores em componentes horizontais e verticais, 
percebemos que a soma das duas componentes é igual a zero. 
Logo, o campo elétrico resultante no centro do triângulo é igual 
a 0 N/C.
23
5. Fundamentos da Eletricidade II: 
grandezas escalares 
Energia potencial elétrica 
Considere, numa região do espaço, uma carga 
elétrica puntiforme e fixa Q. Nas proximidades dessa 
carga, é abandonada uma carga de prova q. A energia 
potencial elétrica Epe armazenada em um sistema 
constituído por cargas Q e q, separadas por uma 
distância d, é dada por:
E K
Q q
dpe
=
⋅
Combinando a equação anterior com a expressão da 
Lei de Coulomb, temos:
F
E
d
ou E F de
pe
pe e= = ⋅
Relação entre energia potencial e 
trabalho da força elétrica 
Segundo o teorema da energia potencial, o trabalho de 
forças conservativas é igual ao oposto da variação da ener-
gia potencial.
B
q
Q
A τ
τ
Fe pe
Fe pe A peB
E
E E
= −
= −
Δ
 O trabalho realizado pela força elétrica depende unicamente 
da diferença de energia potencial entre os pontos A e B.
Temos, portanto, que cargas positivas têm a tendên-
cia de se movimentar espontaneamente para regiões de 
menor energia potencial ( ),E Epe A peB> percorrendo uma 
trajetória a favor das linhas de campo. Já as cargas negati-
vas têm a tendência de se movimentar espontaneamente 
para regiões de maior potencial ( ),E Epe A peB< percor-
rendo uma trajetória contra as linhas de campo.
Potencial elétrico 
Potencial elétrico V é uma grandeza escalar que mede a 
energia potencial elétrica por unidade de carga. A unidade 
de potencial elétrico é o volt (V).
V
E
q
pe
Para cargas puntiformes, a definição de potencial elé-
trico é dada por:
V K
Q
d
Cargas elétricas positivas produzem potenciais elétricos 
positivos; cargas elétricas negativas produzem potenciais 
elétricos negativos. 
Potencial elétrico produzido por um 
sistema de cargas 
Em um meio, são colocadas várias cargas elétricas (Q1, 
Q2, Q3, Q4, ..., Qn). Em um ponto P qualquer dessa região, o 
potencial elétrico relativo à distribuição das diversas cargas 
colocadas nas proximidades é dado pela soma algébrica 
dos potenciais elétricos de cada uma das cargas em relação 
a esse ponto. Portanto:
VP = V1 + V2 + V3 + V4 + ... + VN 
Diferença de potencial entre dois 
pontos 
Em um campo elétrico, a diferença de potencial entre 
dois pontos A e B, com potenciais elétricos VA e VB, é deter-
minada pela diferença algébrica desses potenciais:
UAB = VA – VB
Superfícies equipotenciais 
Quando todos os pontos de uma superfície apresentam 
o mesmo potencial elétrico, dizemos que se trata de uma 
superfície equipotencial. A superfície esférica é o formato 
geométrico das superfícies equipotenciais de uma carga 
puntiforme. 
24 Livro de Revisão 3
Física
Trabalho e potencial 
elétrico em um campo 
elétrico uniforme 
Considere que uma carga de prova q, puntiforme e 
positiva, é abandonada em um campo elétrico uniforme 
em um ponto A (sA), com potencial elétrico VA. Por meio da 
ação da força elétrica constante, essa carga se desloca até 
B (sB), de potencial elétrico VB.
q
VBVA
A B
sAB
 No movimento de uma superfície (A) equipotencial para outra 
(B), há a realização de trabalho, uma vez que há força aplicada e 
deslocamento realizado. 
No transporte da carga de prova do ponto entre essas 
superfícies equipotenciais, a força elétrica realiza um traba-
lho que pode ser calculado de duas maneiras:τFe A B A Bq V V→ = ⋅ −( ) ou τFe A B e AB
oF s
→
= ⋅ ⋅Δ cos 0
Com base nas equações anteriores, é possível deduzir 
que:
U E s AB= ⋅Δ
Distribuição de cargas em 
condutores em equilíbrio 
As cargas elétricas em um condutor eletrizado e em 
equilíbrio eletrostático sempre se distribuem em sua 
superfície, independentemente de ele ser oco ou maciço.
–
–
–
– –
– –
–
 Em condutores esféricos carregados, as cargas se distribuem 
uniformemente.
Distribuição de cargas em condutores 
esféricos 
Considere uma esfera de raio r, neutra inicialmente e 
eletrizada em seguida. Nesse tipo de condutor, o potencial 
elétrico e o módulo do campo elétrico são dados conforme 
mostra a tabela a seguir. 
Campo elétrico Potencial elétrico
Pontos 
externos à 
esfera
E K
Q
d
externa 2 V K
Q
d
externo
Pontos 
próximos da 
esfera
próxima 2
Q
E K
r
= próximo externo
Q
V V K
d
= =
Pontos na 
superfície da 
esfera
superfície 2
Q
E K
2 r
=
⋅
superfície
Q
V K
r
=
Pontos no 
interior da 
esfera
E eriorint 0 int erior superfície
Q
V V K
r
= =
O módulo do vetor campo elétrico e o potencial elé-
trico podem ser graficamente representados das seguintes 
formas:
E
EP
d
EI = 0 r
EPEP 2
0
V
VI = VS
r d
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 À esquerda, o gráfico do campo elétrico. No interior de um condutor 
esférico, o campo elétrico é nulo. À direita, o gráfico do potencial 
elétrico. No interior de um condutor esférico, o potencial elétrico é 
igual ao potencial da superfície. 
Distribuição de cargas em condutores 
pontiagudos 
Para o caso geral, como em condutores pontiagudos, 
as cargas se distribuem pela superfície, gerando uma alta 
concentração de cargas nas pontas. 
++
+
+
+
+
+
+ + ++ +++++++
++
+++
++
+
+
 O poder das pontas é a propriedade segundo a qual as cargas se 
concentram nas pontas de um condutor, elevando o potencial elétrico. 
25
U, também se aumenta Q. Graficamente, Q e U são 
relacionadas por uma reta que passa pela origem. 
Temos então que a energia potencial elétrica (Epe) 
armazenada por um capacitor pode ser obtida:
Q
Q
0 U U
A EN pe
N
pe pe
2
pe pe
Q U
E Área E
2
(C U) U C U
E E
2 2
⋅= ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =
Associação de capacitores 
Associam-se capacitores para obter a capacitância 
desejada com aquele único capacitor.
Associações em série 
Nesse caso, a diferença de potencial elétrico se divide 
entre os capacitores que a constituem. Considere três 
capacitores com capacidades eletrostáticas C1, C2 e C3, 
associados em série e submetidos a uma tensão U. Ao lado, 
o capacitor equivalente, com capacidade Ceqs.
– +
U
–Q +Q –Q +Q –Q +Q
C1 U1 C2 U2 C3 U3
– +
U
–Q +Q
Ceqs U
A expressão para se obter Ceqs é dada por:
1 1 1 1
1 2C C C Ceqs n
= + + +...
Associações em paralelo 
Nesse caso, todos os capacitores estão submetidos 
à mesma diferença de potencial e, como cada capacitor 
armazena sua carga elétrica, a carga total da associação é 
dada pela soma das cargas armazenadas em cada capacitor. 
C1 U
–Q1 +Q1
C2 U
–Q2 +Q2
– +
C3 U
–Q3 +Q3
– +
U
–Q +Q
Ceqp U
A expressão para se obter Ceqs é dada por:
C C C Ceqp n= + + +1 2 ...
Capacitores 
Dispositivos elétricos que têm a capacidade de acumu-
lar e armazenar energia potencial elétrica são denominados 
de capacitores. Diferentemente das baterias, os capacitores 
se descarregam rapidamente e podem fornecer potenciais 
elevados da ordem de quilovolt (kV). 
Capacidade eletrostática 
A capacidade eletrostática de um condutor elétrico é 
definida como a sua propriedade de armazenar carga e 
energia potencial elétrica. 
C
Q
VEm que:
– Q é a carga elétrica, medida no SI em coulomb (C);
– V é o potencial elétrico, medido no SI em volt (V);
– C é a capacitância, medida no SI em coulomb por volt 
(C/V) ou farad (F).
Capacidade eletrostática em condutores 
esféricos 
A capacitância de um condutor esférico com raio r 
adquire uma carga Q e apresenta a seguinte formulação:
C
r
K
Portanto, em condutores esféricos, a capacidade ele-
trostática depende apenas do raio da esfera e do meio em 
que ela está imersa.
Capacidade eletrostática em capacitores planos 
O capacitor plano é um dispositivo elétrico constituído 
por duas placas planas, paralelas e de mesma área, com um 
meio isolante entre elas, chamado de dielétrico. A capaci-
tância de um capacitor plano é definida por:
C
A
d
=
⋅ε
– A é a área de cada placa, medida no SI em metro qua-
drado (m2);
– d é a distância entre as placas, medida no SI em metro (m);
– ε é a constante de permissividade elétrica do mate-
rial isolante colocado entre as placas do capacitor. No 
vácuo e no ar, essa constante vale 8,85 ⋅ 10–12 F/m.
Energia armazenada em capacitores 
Considerando que a capacidade eletrostática de 
um capacitor seja constante, à medida que se aumenta 
26 Livro de Revisão 3
Física
1. (PUC-Rio – RJ) Uma carga positiva puntiforme é liberada 
a partir do repouso em uma região do espaço onde o 
campo elétrico é uniforme e constante. Se a partícula se 
move na mesma direção e sentido do campo elétrico, a 
energia potencial eletrostática do sistema
a) aumenta e a energia cinética da partícula aumenta.
b) diminui e a energia cinética da partícula diminui.
c) e a energia cinética da partícula permanecem constantes.
d) aumenta e a energia cinética da partícula diminui.
X e) diminui e a energia cinética da partícula aumenta.
2. (PUC Minas – MG) A diferença de energia potencial elé-
trica existente entre duas cargas puntiformes separadas 
por uma certa distância ficará inalterada se:
a) as cargas forem mantidas e a distância dividida por dois.
b) cada carga for dobrada e a distância também.
c) uma das cargas for dobrada e a distância multiplicada 
por quatro.
d) cada carga for quadruplicada e a distância dividida 
por dois.
X e) cada carga for dobrada e a distância multiplicada por 
quatro.
Considerando E K
Q q
dpe
=
⋅ , se cada carga for dobrada, a 
Epe será quadruplicada. Se a distância for multiplicada por 
4, Epe será dividida por 4. Logo, a energia potencial elétrica 
ficará inalterada.
3. (PUCRS)  Uma carga de 2,0 ⋅ 10–7 C encontra-se iso-
lada, no vácuo, distante 6,0 cm de um ponto P. Dado: 
K0 = 9,0 ⋅ 10
9 unidades SI. Qual a proposição correta?
a) O vetor campo elétrico no ponto P está voltado para a 
carga.
b) O campo elétrico no ponto P é nulo porque não há 
nenhuma carga elétrica em P.
X c) O potencial elétrico no ponto P é positivo e vale 
3,0 ⋅ 104 V.
d) O potencial elétrico no ponto P é negativo e vale 
–5,0 ⋅ 104 V.
e) Em P são nulos o campo elétrico e o potencial, pois aí 
não existe carga elétrica.
4. (UFLA – MG) O diagrama potencial elétrico versus dis-
tância de uma carga elétrica puntiforme Q no vácuo é 
mostrado a seguir.
 Considere a constante eletrostática do vácuo 
K0 = 9,0 ⋅ 10
9 Nm2/C2. Pode-se afirmar que o valor de 
Q é 
a) +3,0 ⋅ 10–12 C
b) +0,1 ⋅ 10–12 C
c) +3,0 ⋅ 10–9 C
X d) +0,1 ⋅ 10–9 C
e) –3,0 ⋅ 10–12 C
V K
Q
d
Q
V d
K
Q
Q C Q C
= ⇒ =
⋅
⇒ =
⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅
−
− −
30 3 10
9 10
1 10 0 1 10
2
9
10 9,
5. (FUVEST – SP) Um sistema formado por três cargas pun-
tiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de 
um triângulo equilátero, tem energia potencial eletros-
tática igual a U. Substitui-se uma das cargas por outra, 
na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia 
potencial eletrostática do novo sistema será igual a:
a) 
4
3
U
b) 
3
2
U
X c) 
5
3
U
d) 2 ⋅ U
e) 3 ⋅ U
Sistema 1: 
E K
q
d
K
q
d
K
q
d
E K
q
d
U K
q
d
U
K
q
d
pe pe1
2 2 2
1
2
2 2
3
3
3
= + + ⇒ = ⋅
= ⋅ ⇒ =
Sistema 2: 
E K
q
d
K
q
d
K
q
d
E K
q
d
E
U
pe
pe pe
2
2 2 2
2
2
2
2 2
5 5
3
= +
⋅
+
⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅
27
6. (UFRGS – RS) Uma carga de –10–6 C está uniformemente 
distribuída sobre a superfície terrestre. Considerando-se 
que o potencial elétrico criado por essa carga é nulo 
a uma distância infinita, qual será aproximadamente o 
valor desse potencial elétrico sobre a superfície da Lua?
 Dados: DTerra-Lua= 3,8 ⋅ 10
8 m; K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2
a) –2,4 ⋅ 107 V
b) –0,6 ⋅ 10–1 V
X c) –2,4 ⋅ 10–5 V
d) –0,6 ⋅ 107 V
e) –9,0 ⋅ 106 V
Temos que o potencial elétrico será:
V K
q
d
V V V= ⇒ = ⋅ ⋅
−( )
⋅
⇒ = − ⋅
−
−9 10
10
3 8 10
2 368 109
6
8
5
,
,
7. (UECE) N prótons, cada um de carga q, foram distribuídos 
aleatoriamente ao longo de um arco de círculo de 60º e 
raio r, conforme ilustra a figura.
 Considerando k =
⋅ ⋅
1
4 0π ε
 e o potencial de referência 
no infinito igual a zero, assinale a alternativa que contém 
o valor do potencial elétrico no ponto O devido a esses 
prótons.
a) (kqn)/r 
b) [(knq)r] cos 60o 
X c) (knq)/r
d) [(2knq)/r] cos 30o
Temos que o potencial no ponto O é obtido pela soma 
algébrica do potencial em O originado pelos n prótons, 
portanto,
V n K
q
r0
= ⋅
8. (FESP) Considere as seguintes afirmativas sobre o campo 
de uma carga puntiforme:
 I) As superfícies equipotenciais são esféricas.
 II) As linhas de força são perpendiculares às superfícies 
equipotenciais.
 III) A intensidade do vetor campo elétrico varia inversa-
mente com a distância do ponto à carga.
 São corretas:
a) I e III
b) II e III
X c) I e II
d) todas
e) nenhuma
9. (ACAFE – SC)  Entende-se que a diferença de poten-
cial (ddp) entre dois pontos de um campo elétrico 
corresponde:
a) à capacidade de armazenar carga elétrica.
b) à energia consumida por um aparelho elétrico qualquer.
c) ao deslocamento dos elétrons livres entre dois pontos 
considerados.
X d) ao trabalho (energia) realizado pela força elétrica entre 
dois pontos considerados por unidade de carga.
e) à energia consumida por unidade de tempo.
Considerando que  τFe q U= ⋅ , temos U q
Fe=
τ
. 
10. (PUC Minas – MG) Se dobrarmos a carga acumulada nas 
placas de um capacitor, a diferença de potencial entre 
suas placas ficará:
a) inalterada.
b) multiplicada por quatro.
X c) multiplicada por dois.
d) dividida por quatro.
e) dividida por dois.
11. (PUCSP) A carga de um capacitor sofre um aumento de 
6 ⋅ 10–5 C quando a diferença de potencial entre seus 
terminais aumenta de 50 V para 60 V. Esse capacitor tem 
capacidade:
a) 12 ⋅ 10–6 F
b) 10 ⋅ 10–6 F
X c) 6 ⋅ 10–6 F
d) 2 ⋅ 10–6 F
e) 1 ⋅ 10–6 F
Considerando que a capacitância C é uma constante 
própria de cada capacitor, as variações entre Q e U são 
proporcionais. Temos, então, que:
C
Q
U
C C F= ⇒ =
⋅
−
⇒ = ⋅
−
−Δ
Δ
6 10
60 50
6 10
5
6 
12. (UESB – BA) Um capacitor de um circuito de televisão 
tem uma capacitância de 1,2 μF. Sendo a diferença de 
potencial entre seus terminais de 3 000 V, a energia que 
ele armazena é de:
a) 6,7 J X b) 5,4 J c) 4,6 J d) 3,9 J
A energia armazenada é dada por  
E
C U
E E Jpe pe pe=
⋅
⇒ =
⋅ ⋅ ⋅( )
⇒ =
−2 6 3
2
2
12 10 3 10
2
5 4
,
,
28 Livro de Revisão 3
Física
6. Fundamentos da Eletrodinâmica I: 
grandezas e componentes elétricos 
Corrente elétrica
A corrente elétrica é definida pelo movimento ordenado 
de cargas elétricas. Geralmente é dada em um condutor 
submetido a uma diferença de potencial (ddp).
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 Materiais condutores, como fios de cobre, são percorridos por uma 
corrente elétrica quando submetidos a uma diferença de potencial.
Nos metais, os elétrons são portadores de cargas. Nos 
gases, entretanto, os condutores são íons, os quais podem 
ser positivos ou negativos.
Sentido convencional e real da corrente 
elétrica 
Historicamente, acreditava-se que a corrente elétrica 
era um fluido positivo que se deslocava em um condutor 
saindo do polo positivo em direção ao polo negativo.
Com o aprofundamento dos estudos relacionados à 
Eletricidade, percebeu-se que, em um condutor metálico, os 
elétrons são os responsáveis pela corrente elétrica. Assim, 
o sentido da corrente elétrica é contrário ao inicialmente 
estabelecido. Por isso, atualmente, são considerados os dois 
sentidos para a corrente elétrica: um, chamado de sentido 
convencional, sai do polo positivo para o negativo, e o 
outro, chamado de sentido real, sai do polo negativo para 
o positivo.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
 O sentido convencional da corrente elétrica é contrário ao sentido 
real do movimento dos elétrons em um fio condutor.
Intensidade da corrente elétrica 
A intensidade da corrente elétrica que atravessa uma 
secção reta de um condutor é definida como a variação da 
quantidade de carga que passa pela secção reta do fio em 
determinado intervalo de tempo:
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
i
Q
t
=
Δ
Δ
Em que:
– i é a intensidade da corrente elétrica, medida no SI 
em ampere (A);
– ΔQ é a variação da quantidade de carga que atravessa 
a secção reta de um condutor. Sua unidade no SI é o 
coulomb (C);
– Δt é o intervalo de tempo, medido no SI em segundo (s).
Corrente elétrica contínua e alternada 
Uma corrente elétrica é dita contínua quando o 
movimento ordenado de cargas elétricas é dado em apenas 
um sentido, como em pilhas e baterias. Uma corrente 
elétrica é dita alternada quando o movimento das cargas 
elétricas é dado alternadamente em dois sentidos opostos, 
como as que chegam às tomadas residenciais.
Resistores e leis de Ohm 
Resistência elétrica é a grandeza física relacionada com 
a dificuldade da passagem de uma corrente elétrica em 
um meio condutor. Seu símbolo é R e sua unidade no SI 
é o ohm (Ω).
29
Resistor: o resistor é um componente elétrico presente 
em diversos aparelhos e tem a finalidade de controlar a 
passagem da corrente elétrica. Apresenta resistência elé-
trica e pode, por exemplo, transformar energia elétrica em 
energia térmica (efeito Joule).
Primeira Lei de Ohm 
Em um resistor, a queda de potencial elétrico por ele 
produzido é dada pela Primeira Lei de Ohm: 
U R i= ⋅
Em que:
– U representa a diferença de potencial, medida no SI 
em volt (V);
– R é a resistência elétrica, medida no SI em ohm (Ω);
– i é a intensidade da corrente elétrica, medida no SI 
em ampere (A).
Resistores ôhmicos 
Resistores ôhmicos são aqueles em que, independente-
mente da temperatura à qual estejam submetidos, a razão 
U
i
 se mantém constante.
i (A)
U (V)
 Gráfico i × U de um resistor ôhmico
Resistores não ôhmicos 
Resistores não ôhmicos são resistores em que a razão 
U
i
 não se mantém constante para temperaturas diferentes.
i (A)
U (V)
i (A)
U (V)
 Gráficos i × U de resistores não ôhmicos
Segunda Lei de Ohm 
A Segunda Lei de Ohm indica como a resistência de 
um condutor depende de sua geometria, espessura e 
comprimento, bem como de que material é constituído.
Condutor homogêneo
L
A
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l.
R
L
A
= ⋅ρ
Em que:
– R é a resistência do material, medida no SI em ohm 
(Ω);
– ρ é a resistividade do material, medida no SI em ohm 
por metro (Ω ⋅ m);
– L é o comprimento do condutor, medido do SI em 
metro (m);
– A é a área da secção reta do condutor, medida no SI 
em metro quadrado (m2).
Potência e energia elétrica 
A potência é determinada pela relação entre a quanti-
dade de energia transformada ou transferida e o respectivo 
intervalo de tempo para que tal fenômeno ocorra:
P
E
tot
=
Δ
Δ
 
Em que:
– ΔE é a variação da energia, medida no SI em joule (J);
– Pot é a potência, medida no SI em watt (W);
– Δt é o intervalo de tempo, dado no SI em segundo (s).
Para dispositivos elétricos funcionarem, é necessário 
submetê-los a diferenças de potencial U, e os circuitos 
devem estar fechados para serem percorridos por corren-
tes elétricas i. Nesse processo, ocorrem transformações de 
energia durante o tempo em que estiverem em operação, 
o que caracteriza o conceito de potência.
P i Uot = ⋅
Em que:
– Pot representa a potência, medida no SI em watt (W);
30 Livro de Revisão 3
Física
– i representa a intensidade da corrente elétrica, medida 
no SI em ampere (A); 
– U representa a diferença de potencial, medida no SI 
em volt (V).
Substituindo a Primeira Lei de Ohm na equação da 
potência elétrica, obtemos duas equações para a potência 
elétrica de resistores: