Lista_MIII

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
GCET065 - ÁLGEBRA LINEAR TURMA T01/T02/T04/T06
PROF. ANDERSON CRUZ E PROFª ANDRÊSSA CRUZ
Data: 2020.2
Nota:__________
Lista de Exercícios (3ª Avaliação)
1 Transformações lineares
Exercício 1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
1. f1 : R2 → R2 dada por f1 (x, y) = (x+ y, x− y).
2. f2 : R2 → R dada por f2 (x, y) = xy.
3. f3 :M2 (R)→ R dada por f3 (A) = det (A).
4. f4 : P2 → P3 dada por f4
(
ax2 + bx+ c
)
= ax3 + bx2 + cx.
5. f5 : R→ R dada por f5 (x) = |x|.
6. f6 : R3 −→ R2, f6(x, y, z) = (x2, y)
7. f7 : R2 −→ R3, f7(x, y) = (x+ y, x, 0)
8. f8 : R3 −→ R, f8(x, y, z) = 2x− 3y + 4z
9. f9 : V −→ V, f9(v) = −v em que V é um espaço vetorial qualquer.
10. f10 : R2 −→M2(R), f10(x, y) =
[
x+ 2y 0
1 y
]
11. f11 : R3 −→M2(R), f11(x, y, z) =
[
x+ 1 0
z y
]
12. f12 : R3 −→ R4, f12(x, y, z) = (2x+ y, 3y − 8z, y + z, 4x)
13. f13 : R −→ R2, f13(x) = (x, x+ 2)
14. f14 : R3 −→ R, f14(x, y, z) = |x+ y + z|
15. f15 : P3(R) −→ P2(R), f15(xt3 + yt2 + zt+ w) = (x+ w)t2 + (x− 2z + 4y)
16. f16 : P3(R) −→M2(R), f16(xt3 + yt2 + zt+ w) =
[
x+ y y
−z w + z
]
17. f17 :M2(R) −→ R3, f17
(
x y
z w
)
= (x+ y, x− 2y, z − 3w)
18. f18 :M2(R) −→ R, f18(A) = det(A)
19. f19 :Mn(R) −→ R, f19(A) = tr(A)
20. f20 :Mn(R) −→Mn, f20(A) = AB −BA, onde B é uma matriz n× n fixa.
21. f21 : C3 → C4, f21 (x, y, z) = (x+ y + z, x− iz, 2x+ y + (1− i) z, 3x+ 2y + (2− 1) z).
22. f22 : Pn (R)→ Pn (R) dada por f22 (p) = p′. (Pn (R) é o espaço dos polinômios de grau ≤ n.)
23. f23 : R2 −→ R2, f23(x, y) = (x. cos θ − y. sin θ, y. cos θ + x. sin θ)
1
Exercício 2. Responda as seguintes questões:
(a) Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
(b) Determine T (0, 1) e T (1, 0).
(c) Qual a transformação linear S : R3 → R2 tal que S (3, 2, 1) = (1, 1), S (0, 1, 0) = (0,−2) e S (0, 0, 1) = (0, 0)?
(d) Determine P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T .
Exercício 3. No plano uma rotação anti-horária de 45º é seguida por uma expansão pelo fator
√
2. Determine a
transformação linear que representa essa transformação no plano.
Exercício 4. Determine a transformação linear do plano que consiste de uma reflexão em torno da reta y = x.
Exercício 5. Determine o núcleo e a imagem para as seguintes transformações lineares. Determine também bases
para esses espaços e suas dimensões.
(a) T1 : R2 → R2 , T1 (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
(b) T2 : R2 → R3, T2 (x, y) = (x+ y, x, 2y)
(c) T3 :M2 (R)→ R2, T3
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
(d) T4 : P1 → R3, T4 (ax+ b) = (a, 2a, a− b)
Exercício 6. Seja T : R4 → R3 a transformação linear tal que T (e1) = (1,−2, 1), T (e2) = (−1, 0,−1), T (e3) =
(0,−1, 2) e T (e4) = (1,−3, 1), onde B = {e1, e2, e3, e4} é a base canônica de R4.
(a) Determine o núcleo e a imagem de T
(b) Determine bases para o núcleo e a imagem.
Exercício 7. Seja {v1, . . . , vn} uma base para um espaço vetorial V e seja T : V −→ V uma transformação linear.
Prove que, se T (v1) = v1, T (v2) = v2, . . . , T (vn) = vn, então T é a transformação identidade em V .
Exercício 8. Determine:
(a) uma transformação linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (1, 2,−1) e (1,−1, 0).
(b) uma transformação linear T : R3 → R2 cujo núcleo é gerado pelo vetor (1, 0,−1).
(c) uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 3,−1, 2) e (2, 0,−1, 1).
Exercício 9. A expressão geral de um funcional linear f : R3 −→ R é f(x, y, z) = ax+ by + cz. Dados os vetores
u = (1, 2, 3), v = (−1, 2, 3) e w = (1,−2, 3), determine a, b e c de tal modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e
f(w) = 0.
Exercício 10. Considere a transformação linear T : R3 → R2definida por T (x, y, z) = (2x+ y − z, x+ 2y) e as
bases B1 = {(1, 0, 0) , (2,−1, 0) , (0, 1, 1)} do R3 e B2 = {(−1, 1) , (0, 1)} do R2. Determine [T ]B1B2 .
Exercício 11. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas bases B1 = {(−1, 1) , (0, 1)}
do R2 e B2 = {(1, 1,−1) , (2, 1, 0) , (3, 0, 1)} do R3é
[T ]
B1
B2
=
3 12 5
1 −1
 ,
determine T (x, y) e [T ].
Exercício 12. Determine a expressão do operador linear A : R2 → R2, sabendo que, para todo v = (x, y), o
segmento de reta que liga v a A(v) = (x′, y′) é paralelo ao eixo ox e tem seu ponto médio sobre a reta y = x.
Exercício 13. Seja T : E → F uma transformação linear. Se Y é um subespaço vetorial de F prove que o conjunto
A−1(Y ) = {v ∈ E | A(v) ∈ Y }
é um subespaço vetorial de E.
2
Exercício 14. Seja T : R3 → R3 a transformação linear cuja matriz canônica é
[T ] =
1 2 −12 0 1
1 −2 2
 .
T é injetora? T é sobrejetora?
Exercício 15. Para cada uma das transformações lineares abaixo
• Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
• Encontre uma base e dimensão para a imegem;
• Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
1. T : R2 → R3 definida por T (x, y) = (2y, x− y, x).
2. T : P2(R)→ P2(R) definida por T (a+ bt+ ct2) = a+ c+ (b− c)t2.
3. T : M2×2(R)→ R definida por T
([
a b
c d
])
= a+ d.
4. T : M3×1(R)→ M3×1(R) definida por T (X) = AX, onde 1 1 −10 −1 2
1 0 1
 e X =
 xy
z
 .
5. T : P2(R)→ P2(R) definida por T (p) = p′, onde p′ é a derivada de p.
Exercício 16. Sejam α = {e1, e2, e3}, β = {u1, u2, u3} e γ = {w1, w2, w3} bases de um espaço vetorial V . Suponha
que α, β, e γ estão relacionados da seguinte forma: u1 = w1 − w2 + w3u2 = −w2 + 2w3
u3 = w1 + w3
e
 w1 = e1 + e2 − e3w2 = 2e2 + e3
w3 = 3e1 + e3
.
1. Determine T : V → V linear tal que
T (u1) = −e2 + e3, T (u2) = e1 + e3, T (u3) = e1 − e2 + 2e3.
2. Encontre [T ]αβ , [T ]
β
γ , [T ]αγ , [T ]βα, [T ]
γ
β , [T ]
γ
α, [T ]αα, [T ]
β
β e [T ]
γ
γ .
Exercício 17. Sejam v1, . . . , vn vetores em um espaço vetorial V e T : V −→ V uma transformação linear.
1. Se {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em V , prove que {v1, ..., vn} é linearmente indepen-
dente em V .
2. Dê um contraexemplo para provar que a recíproca não é verdadeira, ou seja, que não é verdade que se
{v1, ..., vn} é LI então {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é LI.
3. Dê uma condição sobre T para que a recíproca seja verdadeira.
Exercício 18. Em cada um dos itens abaixo encontre T : V → W tal que [T ]βγ é dada, bem como as bases β e γ
de V e W , respectivamente.
1. T : R3 → R2 com
[T ]βγ =
[
1 0 1
0 −2 −1
]
,
onde β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} e γ = {(1, 2), (2, 5)};
3
2. T : R4 → M2×2(R) com
[T ]βγ =

1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
 ,
onde
β = {(−1, 1, 1, 1), (1,−1, 1, 1), (1, 1,−1, 1), (1, 1, 1,−1)}
e
γ =
{[
1 0
0 1
]
,
[
1 0
0 −1
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 1
−1 0
]}
;
3. T : P2(R)→ R com
[T ]βγ =
[
1 0 −1
]
,
onde β = {1, 1 + t, (1 + t)2} e γ = {3};
4. T : M2×2(R)→ P2(R) com
[T ]βγ =
 1 −1 1 −11 0 1 0
0 1 0 1
 ,
onde
β =
{[
1 0
0 1
]
,
[
1 0
0 −1
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 1
−1 0
]}
e
γ = {1, 1− t, (1− t)2}.
Exercício 19. Mostre que o espaço vetorial R2 é isomorfo ao subespaço S ⊆ R3 definido por
S = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + 2z = 0}.
Exercício 20. Mostre que a transformação linear T : P2(R)→ R3 definida por
T (p(t)) = (p(−1), p(0), p(1))
é bijetora. Determine a matriz [T ]γβ , onde γ é a base canônica de P2(R) e β é a base canônica de R3.
Exercício 21. Sejam V e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial E tais que dim(V ) + dim(W ) = dim(E).
Mostre que existe um operador linear T : E → E tal que U = ker(T ) e W = Im(T ).
2 Autovalores e autovetores
Exercício 22. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes
1. A =
[
3 5
−2 −4
]
;
2. B =
[
4 −5
2 −3
]
;
3. C =
[
3 1
1 3
]
;
4. D =
[
1 2
0 −1
]
;
5. E =
 3 0 −40 3 5
0 0 −1
;
6. F =
 1 2 30 1 2
0 0 1
.
4
Exercício 23. Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:
1. v = (−2, 1) para T =
[
1 3
2 2
]
;
2. u = (−2, 1, 3) para T =
 1 −1 02 3 2
1 2 1
.
Exercício 24. Determine os autovalores e autovetores correspondentes para as seguintes transformações lineares:
(a) T : R2 → R2, T (x, y) = (2y, x)
(b) T : R4 → R4, T (x, y, z, t)= (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w)
(c) T : P2 → P2, T
(
ax2 + bx+ c
)
= ax2 + cx+ b
(d) T :M2 (R)→M2 (R), T (A) = At
Exercício 25. Para cada transformação linear T : V → V definida abaixo.
(i) Encontre o polinômio característico de T ;
(ii) Encontre os autovalores de T ;
(iii) Encontre os autovetores de T . Melhor dizendo, encontre bases para os autoespaços correspondentes aos
autovalores encontrados no item anterior, ou seja, bases para os conjuntos E(λ).
(iv) Verifique se tais operadores são diagonalizáveis, exibindo uma base de autovetores tais que a matriz do operador
T é semelhante a uma matriz diagonal.
1. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (22x+ 4y, x+ 2y);
2. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (2y, x);
3. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y);
4. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (2x+ 2y,−2x+ 6y, 2x− 2y + 2z);
5. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (y, x,−z);
6. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x− y + z,−x, y);
7. T : P2(R)→ P2(R) definida por T (a+ bt+ ct) = a+ ct+ bt2;
8. T : P2(R)→ P2(R) definida por T (a+ bt+ ct) = a+ b+ (a− b+ 2c)t+ (2a+ b− c)t2;
9. T : M2×2(R)→ M2×2(R) definida por T
([
a b
c d
])
=
[
a a+ b
a+ b+ c a+ b+ c+ d
]
;
10. T : M2×2(R)→ M2×2(R) definida por T (A) = AT , onde AT denota a transposta da matriz A;
Exercício 26. Para cada um dos itens abaixo encontre uma transformação linear que tenha como autovalores λi
e autovetores os vetore vi, ou seja, encontre T : V → V tal que T (vi) = λivi.
1. λ1 = 1, λ2 = −2 e v1 = (1,−1), v2 = (1, 1);
2. λ1 = 3, λ2 = 5, λ3 = −1 e v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (−1, 1, 0);
3. λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2 e v1 = 1, v2 = 1 + t, v3 = 1 + t+ t2;
4. λ1 = 1, λ2 = −2 e v1 =
[
1 0
−1 2
]
, v2 =
[
−2 1
0 1
]
;
Exercício 27. Considere T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ 3y − 3z, 4y,−3x+ 3y + z).
(a) Calcule os autovalores e autovetores deste operador linear.
(b) Mostre que T é um isomorfismo.
(c) Cacule os autovalores e autovetores para o operador linear inverso T−1.
5
(d) Calcule os autovalores e autovetores para o operador linear T 2 = T ◦ T .
(e) Calcule os autovalores e autovetores para o operador linear T 3 = T ◦ T ◦ T .
Exercício 28. Determine se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis.
(a) T : R4 → R4, T (x, y, z, t) = (2x+ z, 2y + t, 12x+ 3z,−y)
(b) T :M2 (R)→M2 (R), T
([
a b
c d
])
=
[
2a+ c 2b+ d
12a+ 3c −b
]
(c) T : P2 → P2, T
(
ax2 + bx+ c
)
= (a+ b+ 2c)x2 + (a+ 2b+ c)x+ 2a+ b+ c
(d) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (y, z,−x)
(e) D : P3 → P3, D (p) = p′.
6