Lista 06 - Transformacoes lineares

Prévia do material em texto

1.   Seja T: ℝ" 	
  → ℝ% a transformação Tx = Ax, onde 𝐴 = 1 2 2−1 2 1 . Encontre 
a imagem de 𝑢 =
2
−3
0
 e 𝑣 =
−1
1
1
.	
  
 
2.   Qual é o tipo da matriz A, sendo que A define uma aplicação do ℝ/ em ℝ0 
por T(x) = Ax. 
 
3.   Para os valores da matriz A e o vetor b, nos itens abaixo, encontre, se for 
possível, um vetor x tal que Tx = b. 
 
a.   𝐴 = 	
   1 0 12 −1 3 , 𝑏 =
2
3 
b.   𝐴 = 	
  
11 −1
2 5
1 6
 𝑏 =
2
−3
2
 
 
4.   Encontre os valores de 𝑥	
  ℰ	
  ℝ/ que são levados no vetor nulo pela 
transformação 𝐴 = 	
  
1 1 1 1
1 −1 −1 2
1 2 3 −1
 
 
5.   Represente os vetores u = 21 , v = 
3
−1 , Tu e Tv. Faça uma descrição 
geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de ℝ" 
a.   T (x) = 2 00 2 
 
b.   T (x) = 0,5 00 0,5 
 
 
c.   T (x) = −1 00 −1 
 
d.   T (x) = 0 00 1 
 
6.   Seja T: ℝ" 	
  → ℝ" uma transformação linear. Se 𝑇 10 = 	
  
2
1 e 𝑇
0
1 =
	
   −13 , determine 𝑇
2
1 𝑒	
  𝑇(
𝑥:
𝑥" ) 
 
5a	
  	
  Lista	
  da	
  Exercícios	
  –	
  Transformações	
  
Lineares	
  
	
  
Prof.	
  Traldi	
  
 
7.   Seja T: ℝ" 	
  → ℝ	
  	
  	
  	
  a transformação linear para a qual T(1,1) = 3 e T (0,1) = -2. 
Encontre T(x,y), para (𝑥, 𝑦)	
  ℰ	
  ℝ". 
 
 
8.   Um operador linear T, definido em P2 (	
  ℝ), é	
  𝑡𝑎𝑙	
  𝑞𝑢𝑒	
  𝑇 1 = 	
  𝑡2 , T(x) = 1 – t 
e T (t2)= 1 + t + t2. 
a.   Determinar T (a + bt+ ct2), onde a + bt + ct2 é um vetor genérico de P2 
(ℝ). 
b.   Determine p ℰ P2 (	
  ℝ)	
  𝑡𝑎𝑙	
  𝑞𝑢𝑒	
  𝑇 𝑝 = 3 − 𝑡 − 𝑡2. 
9.   Encontre T(x,y) onde T: ℝ" 	
  → ℝ% é definida por T(1,2)= (3,-1,5) e T(0,1)= 
(2,1,-1). 
 
10.  Determine T(x,y,z) onde T: ℝ% 	
  → ℝ	
  	
  é dada por T(1,1,1) = 3, T (),1,-2)= 1 e 
T(0,0,1) = -2 
 
11.  Verifique se as funções abaixo são transformações lineares. 
a.   33F ℜ→ℜ: , tal que ( ) ( )0yxyxzyx ,,,, +−! 
b.   23F ℜ→ℜ: definida por ( ) ( )zy2xzyxF −= ,,, 
c.   22MT ℜ→ℜ)(: definida por: 
( )00
00
01
,!⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ , ( )02
00
10
,!⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ , ( )00
01
00
,!⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ e ( )10
10
00
,!⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 
12. Quais das seguintes aplicações de 3ℜ em 3ℜ são operadores lineares? 
a) ),,(),,( 00yx2zyxF −= b) ),,(),,( xxxzyxF = 
c) ),,(),,( zxy3x2zyxF 2 += d) ),,(),,( 00zyx2zyxF +−=
13. Sendo 33F ℜ→ℜ: o operador linear assim definido na base canônica: 
 ),,(),,( 132001F = ; ),,(),,( 725010F = e ),,(),,( 702100F −= , 
 determine ),,( zyxF e mostre que F é um operador linear. 
14. Verifique se a aplicação 23F ℜ→ℜ: definida por ),(),,( yxzzyxF += é 
linear. 
15. Verifique se 2F ℜ→ℜ: sendo ),()( 2xxF = é transformação linear. 
16. Verifique se a aplicação 22F ℜ→ℜ: definida por ( )xyxyxF 22 ,),( += é 
linear. 
 
17.  Verifique se é linear a transformação ℜ→ℜ3G : dada por 
z7y3x2zyxG ++−=),,( . 
18.   Existe um operador linear 33F ℜ→ℜ: tal que ),,(),,( 321111F = , 
),,(),,( 941321F = e ),,(),,( 2781432F = ? Justifique sua resposta. 
19.  De os valores de a que fazem com que seguinte aplicação preserve a 
linearidade : 
i)   32 RF →ℜ: dada por ( )ayayxaxyxF ++= ,,),( 
ii)   21PF ℜ→ℜ)(: , ),( cabctb !+ 
 
20.  Dê uma aplicação linear que : 
i)   Tenha como domínio o 4ℜ e como contra - domínio o )(ℜ2M . 
ii)   Tenha como domínio o 4ℜ e como contra - domínio o 5ℜ 
 
21.  Mostre que a função 33F ℜ→ℜ: tal que ( ) ( )0yxyxzyx ,,,,, +−! é uma 
transformação linear.