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MATEMÁTICA 
Prof.: DIEGO G. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para a elaboração deste PDF foram consultadas as seguintes fontes 
bibliográficas: 
 
a) DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. 
4ª edição. Editora Ática, 2011 
b) DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática. Vol. Único, 1ª, 2ª e 3ª 
Parte. 4ª edição. São Paulo: Ática, 2015 (Coleção Projeto VOAZ). 
c) GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto e GIOVANNI JR, José 
Ruy. Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem. Volume único. São 
Paulo: FTD, 2013. 
d) IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, 
Roberto & ALMEIDA, Nilze de. Matemática – Ciências e Aplicações. Volumes 
1, 2 e 3. 8ª edição. São Paulo: Atual, 2014. 
 
 
 
Sumário 
TEORIA DOS CONJUNTOS ............................................................................................................ 3 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA (∈) .................................................................................................... 4 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO (⊂) ......................................................................................................... 6 
UNIÃO DE CONJUNTOS ................................................................................................................. 7 
CONUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................................ 13 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte I) ............................................................................................. 17 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE I) ........................................................................................ 21 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM N E Z ................................................................................ 24 
DIVISIBILIDADE ............................................................................................................................. 24 
MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL ............................................................ 27 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ............................................................................................... 31 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ............................................................................................ 32 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES IMPORTANTES EM Z ............................................................ 35 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte II) ............................................................................................ 35 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE II)........................................................................................ 39 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM Q E R ............................................................................... 41 
ESTUDO DAS FRAÇÕES .............................................................................................................. 41 
DÍZIMAS PERIÓDICAS .................................................................................................................. 46 
POTENCIAÇÃO EM R ................................................................................................................... 48 
RADICIAÇÃO EM R ....................................................................................................................... 50 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ......................................................................................................... 54 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte III) ........................................................................................... 55 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE III)....................................................................................... 63 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ............................................................................................. 65 
 
 
 
 
 
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Este PDF Nº 01 contém o seguinte assunto: Teoria dos Conjuntos e Conjuntos 
numéricos, Representação de Conjuntos e subconjuntos, União, Intersecção e 
Diferença de Conjuntos; Operações e Propriedades com Números Naturais e 
Números Inteiros, Divisibilidade, MDC, MMC; Operações e Propriedades com 
Números Racionais e Números Reais, Potenciação, Radiciação e Estudo das 
Frações. 
 
 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definição, isto é, são 
consideradas noções primitivas: 
 
• CONJUNTO 
• ELEMENTO 
• PERTINÊNCIA ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO 
Conjunto é o mesmo que agrupamento, coleção, classe, sistema. Observe alguns 
exemplos: 
1. Conjunto das vogais 
2. Conjunto dos números ímpares positivos 
3. Conjuntos dos meses do ano 
4. Conjunto dos planetas do Sistema Solar 
 
 
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Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado de 
ELEMENTO. De acordo com exemplo anterior, temos os elementos: 
1. a, e, i, o, u 
2. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 
3. Janeiro, fevereiro, março, ... 
4. Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, ... 
Indicamos um CONJUNTO, em geral, por letras maiúsculas e ELEMENTOS, por 
letras minúsculas. Observe que existem conjuntos que são FINITOS e conjuntos 
INFINITOS. 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA (∈) 
 
Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, indicamos: 
 
𝑥 ∈ 𝐴 (lê-se x pertence a A) 
 
Para indicar que x não é elemento do conjunto A, indicamos: 
 
𝑥 ∉ 𝐴 (lê-se x não pertence a A) 
 
ATENÇÃO: 
Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados na relação ELEMENTO X CONJUNTO. 
 
REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Podemos representar os conjuntos através de chaves com os elementos, através 
de uma propriedade característica dos elementos deste conjunto, bem como com um 
diagrama de EULER-VENN. 
 
Exemplo: Veja as representações para o conjunto das vogais 
 
A = {a, e, i, o, u} (elementos entre chaves) 
 
A = {x | x é vogal} (propriedade) 
 
 
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Diagrama 
 
Observação: Conjuntos infinitos sempre serão representados entre chaves. 
 
Exercício: 
 
Represente os seguintes conjuntos: 
a) {x | x é estado da região sul do Brasil} 
b) {x | x é divisor natural de 6} 
c) {x | x é inteiro positivo e menor que 7} 
d) {x | x é o conjunto das soluções da equação 3x+1=10} 
 
Conjunto Unitário 
 
Aquele que possui um único elemento. Exemplo: {3} 
 
Conjunto Vazio (∅) 
 
Aquele que não possui elemento algum. Representa-se por: ∅ 𝑜𝑢 {} 
 
Exemplos: 
{𝑥 | 𝑥 ≠ 𝑥} = ∅ 
 
{𝑥 |𝑥 > 𝑒 𝑥 < 0} = ∅ 
 
{𝑥 |𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2} = ∅ 
 
 
 
 
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Conjuntos Iguais 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, 
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. 
 
𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) 
 
Exemplos: 
 
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑑, 𝑐, 𝑏, 𝑎} 
 
{1, 3, 5, 7, 9, 11, … } = {𝑥 | 𝑥 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒 í𝑚𝑝𝑎𝑟} 
 
Se A não é igual a B, escrevemos 𝑨 ≠ 𝑩. (símbolo de diferente} 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO (⊂) 
 
Subconjuntos 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento 
de A pertence tambéma B. 
 
Com a notação 𝑨 ⊂ 𝑩, indicamos que: “A é subconjunto de B” ou “A está contido 
em B” ou que “A é parte de B”. 
 
O sinal ⊂ é denominado sinal de inclusão. Em símbolos fica: 
 
𝐴 ⊂ 𝐵 ↔ (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) 
 
Exemplos: 
 
{𝑎, 𝑏} ⊂ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 
 
{𝑥 | 𝑥 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒 𝑝𝑎𝑟} ⊂ {𝑥 |𝑥 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜} 
 
Quando 𝐴 ⊂ 𝐵, podemos escrever tambem 𝐵 ⊃ 𝐴, que significa B contém A. 
 
Podemos resumir da seguinte maneira os símbolos. 
 
 
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ATENÇÃO: 
Os símbolos ⊂ ⊃ ⊄ ⊅ são utilizados na relação CONJUNTO X CONJUNTO. 
 
Observação: o conjunto vazio é o menor subconjunto de qualquer conjunto e o 
próprio conjunto, é o maior subconjunto de um conjunto. 
 
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO 
 
Se um conjunto possui n elementos, então ele possui 2n subconjuntos. 
 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 = 𝟐𝒏 
 
CONJUNTO DAS PARTES 
 
Dado um conjunto “A”, chama-se conjunto de partes de A – notação P(A) – aquele 
que é formado por todos os subconjuntos de A, ou seja: 
 
𝑃(𝐴) = {𝑋/𝑋 ⊂ 𝐴} 
 
Exemplo: A = {a, b, c} → nº de subconjuntos de A é 23 = 8 subconjuntos. 
 
Logo: 
𝑃(𝐴) = { { } , {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐} } 
 
UNIÃO DE CONJUNTOS 
 
Definição: 
𝐴⋃𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Considerando A e B dois conjuntos quaisquer, definimos a união entre os 
conjuntos A e B (A⋃B) como o conjunto formado por elementos de A ou por elementos 
de B. 
 
 
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Exemplo: 
Sejam os conjuntos M = {0,1, 3, 5} e N = {2, 3, 4, 5}. Desta maneira: 
 
M⋃N = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
Representando em diagrama temos: 
 
 
O conjunto UNIÃO é formado pela reunião em um único conjunto de todos os 
elementos pertencentes aos conjuntos N e M. 
 
Propriedades: 
 
(1). AA = A (idempotente) 
(2). A  = A (elemento neutro) 
(3). AB = BA (comutativa) 
(4). (A  B)  C = A  (B  C) (associativa) 
 
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Definição: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
A intersecção entre A e B, indicada por (A  B) é um conjunto formado por 
elementos que estão em A e B simultaneamente (ao mesmo tempo). 
 
 
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Exemplo: 
Sejam os conjuntos N ={2, 3, 4, 5} e M = {0, 1, 3, 5}. 
Desta maneira, N  M = {3, 5}. 
 
Representando em diagrama: 
 
 
 
O conjunto INTERSECÇÃO é formado pelos elementos pertencentes a ambos 
os conjuntos N e M. 
 
Propriedades: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes : 
 
(1). A  A = A (idempotente) 
(2). A  U = A (elemento neutro) 
(3). A  B = B  A (comutativa) 
(4). A  (B  C) = (A  B)  C (associativa) 
 
Observação: se M  N = { }, então M e N são denominados conjuntos 
DISJUNTOS. 
 
CONJUNTOS DISJUNTOS 
 
Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, 
A e B são denominados CONJUNTOS DISJUNTOS. 
 
 
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Propriedades envolvendo UNIÃO e INTERSEÇÃO: 
 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades que 
relacionam a reunião e a interseção de conjuntos: 
 
(1). A (AB) = A 
(2). A (AB) = A 
(3). A (BC) = (AB) (AC) 
 (Distributiva da reunião em relação à intersecção) 
(4). A (BC) = (A  B)  (AC) 
(distributiva da intelecção em relação à reunião). 
 
NÚMERO E ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS 
 
Sejam A e B dois conjuntos finitos, 𝑛(𝐴) o número de elementos de A e 𝑛(𝐵) o 
número de elementos de B. Sendo 𝑛(𝐴𝑈𝐵) o número de elementos da união entre A 
e B e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) o número de elementos da interseção de A e B, notemos que: 
 
𝑛(𝐴𝑈𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
ATENÇÃO: (importante para os problemas envolvendo conjunto) 
 
Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, teremos 𝑛(𝐴𝑈𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) 
 
O número de elementos da união de três conjuntos é: 
 
𝑛(𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
 
Definição: 
𝐴−𝐵=𝑥 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
 
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Considere A e B dois conjuntos quaisquer. Definimos a diferença entre A e B (A 
- B) como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem 
a B. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos M = {0, 1, 3, 5} e N = {2, 3,4, 5}. 
 M – N = { 0,1}. 
Representando diagrama: 
 
 
O conjunto DIFERENÇA (M – N) é formado pelos elementos pertencentes a M, 
mas que não pertencem a N (somente a M). 
 
ATENÇÃO: 
A diferença de conjuntos pode ser representada pela contra barra \, como no 
exemplo a seguir. 
 
Exercício: 
 
 
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Represente através de chaves os conjuntos do exemplo anterior: 
a) 𝐶 ∪ 𝐷 b) 𝐶 ∩ 𝐷 c) 𝐶 − 𝐷 d) 𝐷 − 𝐶 e) 𝐶 f) 𝐷 
 
COMPLEMENTAR DE B EM A 
 
Definição: 
Dados dois conjuntos A e B, tais que 𝐵 ⊂ 𝐴, chama-se complementar de B em 
relação a A oconjunto 𝐴 − 𝐵, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem 
a B. 
 
Indicamos o complementar de B em relação a A por: 
 
𝐶𝐴
𝐵 𝑜𝑢 𝐶𝐴𝐵 
 
Notemos que 𝐶𝐴
𝐵 só é definido para 𝐵 ⊂ 𝐴, e aí temos: 
 
𝐶𝐴
𝐵 = 𝐴 − 𝐵 
 
 
Propriedades da complementação: 
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades: 
 
(1). =BC
B
A  e 
B
AC  B = A 
(2). 
A
AC =  e 

AC = A 
(3). AC (
B
AC ) = B 
(4). 
CB
AC

 = 
B
AC  
C
AC 
(5). 
)( CB
AC

= 
B
AC  
C
AC 
 
 
 
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CONUNTOS NUMÉRICOS 
 
NÚMEROS NATURAIS (ℕ) 
 
Iniciado pelo 0 (zero) e acrescentando sempre uma unidade teremos os 
chamados números naturais, que são representados de acordo 
 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, . . . } 
 
•Quando se exclui o zero do conjunto ℕ temos o conjunto dos números 
naturais não nulos, indicados por ℕ∗. 
•Todo número natural tem um sucessor, que obtido adicionando-se uma 
unidade ao número. Exemplo: o sucessor de 3 é 4. 
•Se um número natural é sucessor de outro, então eles são consecutivos. 
•Com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor, que é 
obtido subtraindo-se uma unidade do número. Exemplo: o antecessor de 5 é 4. 
Não esqueça: as relações de ordem são muito importantes na matemática. Para 
representar que um determinado número é maior ou menor que outro se usa os 
símbolos de maior ou menor do que, de acordo com o exemplo a seguir: 
𝑎 < 𝑏 → 𝑎 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 
𝑎 > 𝑏 → 𝑎 é 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 
 
NÚMEROS INTEIROS(ℤ) 
 
Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também o 
Conjunto dos Números Naturais. Os números positivos são opostos aos números 
negativos e os negativos opostos aos positivos. Sua representação é feita pela letra 
Z maiúscula. 
 
ℤ = {. . . , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, +𝟏, +𝟐, +𝟑, . . . } 
 
Classificação dos Números Inteiros (ℤ) 
 
Inteiros não nulos: todos os números inteiros, com exceção do zero. São 
representados pelo acréscimo do '*' ao lado do ℤ: 
 
ℤ∗ = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, . . . } 
 
Inteiros não negativos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos. 
São representados pelo acréscimo do '+' ao lado do ℤ. 
 
 
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ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } 
 
Inteiros não positivos: todos os números inteiros, com exceção dos positivos. 
São representados pelo acréscimo do '-' ao lado do ℤ: 
 
ℤ− = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0} 
 
Inteiros positivos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos e do 
zero. São representados pelo acréscimo de '*' e '+' ao lado do ℤ: 
 
ℤ +
∗ = {1,2,3,4, 5. . . } 
 
Inteiros negativos: todos os números inteiros, com exceção dos positivos e do 
zero. São representados pelo acréscimo de '*' e '-' ao lado do ℤ: 
 
ℤ−
∗ = {. . . , −4, −3, −2, −1} 
 
NÚMEROS RACIONAIS (ℚ) 
 
ℚ = { 𝒙/𝒙 = 𝒑/𝒒, 𝒄𝒐𝒎 𝒑  𝒁 𝒆 𝑸  𝒁 ∗} 
 
É o conjunto formado por todos os números que podem ser escritos na forma de 
fração p/q em que p  Z, é o numerador, e q  Z *, é o denominador. 
Exemplos de números racionais: 
 
*4/5 = 0,8 é um decimal exato; 
*3/8 = 0,375 é um decimal exato; 
*2/3 = 0,666... é um decimal periódico (dízima periódica de período 6) 
*5/11 = 0,454545... é um decimal periódico (dízima periódica de período 45) 
 
Repare que quando p é múltiplo de q, o número racional p/q representa um 
inteiro, logo, podemos identificar todo número inteiro com um número racional, logo: 
Z  Q 
OBSERVAÇÃO: São números racionais, todos os naturais, todos os inteiros, as 
frações de números inteiros, os números decimais, e as dízimas periódicas. 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS (𝕀) 
 
Existem números cuja representação decimal apresenta um número com infinitas 
casas decimais não periódicas (infinitas casas decimais sem formar período). 
 
 
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Por exemplo, o número decimal 0,10100100001 … (em que o número de 
algarismos 0 intercalados entre os algarismos 1’s vai crescendo) não é periódico. 
Ele representa um número irracional. 
 
Outros exemplos de números irracionais: 
 
0,75689989878... 
 
34,568254... 
 
√5 = 2,2360679774... (não tem período) 
 
𝜋 = 3,14159265... (não tem período) 
 
√2 = 1,41421356... (não tem período) 
 
ℯ = 2,718281828459045235360287471352662497757... (número de Euler) 
 
 
OBSERVAÇÃO: Os números irracionais são números decimais infinitos e não 
periódicos. 
Um recurso para construção de irracionais é usar o fato de que, se  é irracional e 
r é racional não nulo então:  + r,  . r, 
r

 e 

r
são todos irracionais. 
 
Os números abaixo são alguns exemplos de irracionais: 
 
√𝟐 + 𝟏, 𝟑√𝟐,
√𝟑
𝟑
 ,
𝟐
√𝟕
 
NÚMEROS REAIS (ℝ) 
 
Conjunto formado pelos números Racionais e Irracionais, isto é: 
 
ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
 
Além de Q, destacamos em IR três outros subconjuntos importantes: 
IR
+
 = conjunto dos reais não negativos; 
IR
−
= conjunto dos reais não positivos; 
IR * = conjunto dos reais não nulos. 
 
Resumo: 
 
 
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Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pelo 
diagrama abaixo: 
 
Observemos que: 
 
IN  Z  Q  IR 
Z – IN = conjunto dos números inteiros negativos 
Q – Z = conjunto dos números racionais não inteiros 
IR – Q = conjunto dos números reais irracionais 
 
A partir dessa representação gráfica, iremos observar algumas propriedades 
importantes dos números reais. O eixo real apresenta uma ordenação dos números 
de tal maneira que qualquer número colocado à direita de outro será maior que este 
outro. 
 
Observe que 𝒃 > 𝒂 
 
Assim, numa comparação entre números reais representados no eixo real, 
podemos estabelecer subconjuntos de extrema importância e que serão chamados 
de INTERVALOS REAIS, cuja representação veremos a seguir: 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte I) 
 
(F01). Escreva uma propriedade que define o conjunto: 
a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
b) {11, 13, 15, 17}. 
 
(F02). Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, finito ou infinito: 
a) A é o conjunto das soluções da equação 2x + 5 = 19. 
b) B = {x / x é número natural maior que 10 e menor que 11}. 
c) C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }. 
d) D = {0, 10, 20, 30, ..., 90} 
 
(F03). Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 
4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) A  B 
b) C  A 
c) B  D 
d) D  B 
e) A  D 
f) B  C 
 
(F04). Dados os conjuntos A={0}, B={1,2} e C={0,1,2,3}, determine: 
a) 𝐵𝑈𝐶 
b) 𝐴𝑈𝐵 
c) 𝐵 ∩ 𝐶 
d) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 
e) 𝐶 − 𝐵 
 
 
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f) (𝐴𝑈𝐵) ∩ 𝐶 
 
(F05). Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos: 
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 ≥ 3} 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 0 < 𝑥 ≤ 4} 
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍∗ | − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑄 | 2𝑥2 + 𝑥 = 0} 
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅+ | 𝑥
2 − 5𝑥 + 4 = 0} 
 
(F06). Calcule o número de elementos do conjunto 𝐴𝑈𝐵, sabendo que A, B e 𝐴 ∩ 𝐵 
são conjuntos com 80, 40 e 20 elementos, respectivamente. 
 
 
(F07). Sendo 𝐴 =] − ∞, 2[ e 𝐵 = [−3,0], determine: 
a) 𝐴𝑈𝐵 
b) 𝐴 ∩ 𝐵 
c) 𝐴 − 𝐵 
d) 𝐶𝐵
𝐴 
 
(F08). Determine o número de elementos de P(A), quando: 
a) 𝐴 = {1,2,3} 
b) 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 9} 
 
(F09). Sendo 𝐴 =] − ∞, 2[, 𝐵 = [−1, +∞[ e 𝐶 = [−3,4[, determine 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶). 
 
 
(F10). Com base nos conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
preencha o campo abaixo com a simbologia adequada: 
a) 3___A 
b) 7___C 
c) A___B 
d) B___C 
e) C___A 
f) C___B 
 
(F11). Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo: 
a) { x ∈ R / 1 < x ≤ 2 } 
b) { x ∈ R / -2 ≤ x < 4 } 
c) { x ∈ R / x ≤ 5 } 
d) { x ∈ R / -1 < x < 2 
 
 
 
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(F12). Se }20|{ = xRxA e }}13|{ −= xRxB , determine o conjunto 
( ) ( )BABA − . 
 
 
(F13). Uma escola de ensino médio oferece aos seus 300 alunos cursos optativos de 
Teatro (T) e História da Arte (H). Um levantamento mostrou que 180 alunos 
inscreveram-se em Teatro, 143 em História da Arte e 48 em ambos. Determine o 
número de alunos inscritos em: 
a) Exatamente um curso 
b) Nenhum curso 
 
(F14). Numa pesquisa sobre preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 
500 pessoas e o resultado foi o seguinte: 220 delas leem o jornal X, 150 leem o jornal 
Y e 40 leem os jornais X e Y. Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas leem apenas o jornal X? 
b) Quantas pessoas leem apenas o jornal Y? 
c) Quantas pessoas leem jornais? 
d) Quantas pessoas não leem jornais? 
 
(F15). Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo 
masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos 
masculinos não fumam? 
 
 
(F16). Considere os conjuntos representados abaixo: 
 
Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: 
a) P, Q e R 
b) (P ∩ Q) – R 
c) (P U Q) ∩ R 
d) (P U R) – P 
e) (Q ∩ R) U P 
 
 
 
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(F17). Na figura abaixo se têm representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos. A 
região sombreada representa o conjunto: 
 
 
(F18). Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: 
- 600 entrevistados leem o jornal A. 
- 825 entrevistados leem o jornal B. 
- 525 entrevistados leem o jornal C. 
- 180 entrevistados leem os jornais A e B. 
- 225 entrevistados leem os jornais A e C. 
- 285 entrevistados leem os jornais B e C. 
- 105 entrevistados leem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. 
Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de 
entrevistados foi: 
 
(F19). Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche. 
Analisando as carteiras de vacinação, verificamosque 132 receberam a vacina Sabin, 
100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos 
orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina 
faltante. 
a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina Sabin? 
b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina contra 
sarampo? 
c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas? 
 
(F20). Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou 
que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e 
automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE I) 
 
(P01). Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, 0, 4, 3, 5} e B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7} assinale a 
afirmação verdadeira: 
a) A U B = {2, 4, 0, -1} 
b) A ∩ (B - A) = Ø 
c) A ∩ B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7, 3} 
d) (A U B) ∩ A = {-1, 0} 
e) Nenhuma das respostas anteriores 
 
(P02). Dados os conjuntos A = {x  IΝ / - 1< x ≤ 4} e B = {x  Ζ | 0 ≤ x < 2}, o conjunto 
A ∩ B é igual a: 
a) {-1; 0; 1} 
b) {-1; 0; 1; 2} 
c) {0; 1} 
d) {1; 1; 2} 
e) {-1; 0; 1; 2; 3; 4} 
 
(P03). 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São 
Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 
5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou 
São Paulo foi: 
a) 29 
b) 24 
c) 11 
d) 8 
e) 5 
 
(P04). Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da 
mesma leem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo 
menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos 
que leem ambos: 
a) 80% 
b) 14% 
c) 40% 
d) 60% 
e) 48% 
 
(P05). Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 
pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 
comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas? 
a) 1 
 
 
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b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
(P06). No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-
se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos 
ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram 
corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o 
Flamengo. Pergunta-se: 
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? 
b) Quantos cariocas foram ao estádio? 
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? 
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? 
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? 
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? 
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? 
h) Quantos eram corintianos ou paulistas? 
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 
 
(P07). Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4,...} P = { x  IN / 6 ≤ x ≤ 20 } A = { x  P / x é par } 
B = { 6, 8, 12, 16 } C = { x  P / x é múltiplo de 5 } 
O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
(P08). Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e 
constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham 
problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. 
Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: 
a) 4 000 
b) 3 700 
c) 3 500 
d) 2 800 
e) 2 500 
 
(P09). Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números 
inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o 
 
 
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matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos 
desses conjuntos, é correto afirmar que: 
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. 
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. 
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro 
negativo. 
 
(P10). Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa 
turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, 
tendo chegado ao seguinte resultado: 
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos 
torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida 
turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos 
dessa turma é 
a) 49. 
b) 50. 
c) 47. 
d) 45. 
e) 46. 
 
 
 
Números Primos 
Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível 
apenas por um e por ele mesmo. 
Exemplos: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM N E Z 
 
(Divisibilidade, Múltiplos e Divisores, MMC, MDC, Expressões) 
 
DIVISIBILIDADE 
 
Um número é divisível por outro quando o resto da divisão entre os dois é zero. 
Dessa maneira, para sabermos se um número é divisível por outro precisaremos 
conhecer os critérios de divisibilidade, os quais veremos a seguir. 
 
Divisibilidade por 2: 
 
Um número é divisível por 2 quando ele for par, isto é, quando. 
 
Exemplos: 
a) 70 é divisível por 2, pois é par (terminado em 0). 
b) 1252 é divisível por 2, pois é par (terminado em 2). 
c) 754 é divisível por dois, pois é par (terminado em 4). 
d) 1896 é divisível por 2, pois é par (terminado em 6). 
e) 23458 é divisível por 2, pois é par (terminado em 8). 
f) 451 não é divisível por 2, pois não é par. 
g) 3333 não é divisível por 2, pois não é par. 
 
Divisibilidade por 3: 
 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número 
divisível por 3, isto é, quando a soma for um múltiplo de 3. 
 
Exemplos: 
a) 192 é divisível por 3, pois a soma dos seus algarismos 1+9+2 é igual a 12 e 
12 é divisível por 3. 
 
b) 894 é divisível por 3, pois 8+9+4=21 e 21 é divisível por 3. 
 
c) 3576 é divisível por 3, pois 3+8+7+6=24 e 24 é divisível por 3. 
 
d) 122 não é divisível por 3, pois 1+2+2=5 e 5 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: 
 
Um número é divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando seus dois últimos 
algarismos for um número divisível por 4. 
 
 
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Exemplos: 
a) 600 é divisível por 4, pois termina em 00. 
 
b) 1124 é divisível por 4, pois seus dois últimos algarismos formam 24, o qual é 
divisível por 4. 
 
c) 50936 é divisível por 4, pois termina em 36 que é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: 
 
Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo for 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
a) 85 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 
b) 1020 é divisível por 5, pois termina em 0. 
 
Divisibilidade por 6: 
 
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplos: 
a) 72 é divisível por 6, pois é divisível por 2 por ser par e é divisível por 3 pela 
soma dos seus algarismos 7+2=9 e 9 é divisível por 3. 
 
b) 1200 é divisível por 6, pois é divisível por 2 por ser par e é divisível por 3 pela 
soma dos seus algarismos 1+2+0+0=3 e 3 é divisível por 3 
 
Divisibilidade por 7: 
 
Umnúmero é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo subtraído do 
número sem o último algarismo resultar em um número divisível por 7. Caso ainda 
ocorra um número grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão 
por 7. 
 
Exemplos: 
a) 553 é divisível por 7, pois 2 x 3 = 6 e 55 – 6 = 49, sendo 49 divisível por 7. 
 
b) 1477 é divisível por 7, pois: 
2 x 7 = 14 e 147 – 14 = 133 (repete-se o processo com o 133) 
2 x 3 = 6 e 13 – 6 = 7 sendo 7 divisível por 7 
 
 
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Divisibilidade por 8: 
 
Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou o número formado por 
seus três últimos algarismos for divisível por 8. 
 
Exemplos: 
a) 2000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
b) 6120 é divisível por 8 pois 120 é divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: 
 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número 
divisível por 9. 
 
Exemplos: 
a) 1215 é divisível por 9, pois 1+2+1+5=9 e 9 é divisível por 9. 
b) 1953 é divisível por 9, pois 1+9+5+3=18 e 18 é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: 
 
Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo for 0 (zero). 
 
Exemplos: 
a) 7430 é divisível por 10, pois termina em 0. 
b) 20000 é divisível por 10, pois termina em 0. 
 
Divisibilidade por 11: 
 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores 
absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O 
algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas 
de 3ª ordem, e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
a) 715 é divisível por 11, pois: 
Soma dos algarismos de ordem par: SP=1 
Soma dos algarismos de ordem ímpar: SI= 7+5=12 
SI-SP=12-1=11 e 11 é divisível por 11 
 
b) 7865 é divisível por 11, pois SP=13 e SI=13 e SP-SI=0. 
 
 
 
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c) 43813 é divisível por 11, pois SP=4 e SI=15 e SI-SP=11. 
 
Divisibilidade por 13: 
 
Um número natural é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último 
algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível 
por 13. 
 
(Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa 
verificar a divisão por 13) 
 
Exemplos: 
312 é divisível por 13 
16562 é divisível por 13 
 
DICA: para confirmar as divisibilidades, faça a divisão e verifique se o resto da mesma é 
ZERO 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 
 
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte 
forma: 
Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. 
Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. 
Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. 
 
Múltiplos 
 
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número 
natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional 
tabuada. 
 
Múltiplos de 2: (tabuada da multiplicação do número 2) 
 
2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2 x 4 = 8 
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
 
 
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2 x 7 = 14 
..... 
..... 
E assim sucessivamente. 
Múltiplos de 3: (tabuada da multiplicação do número 3) 
3 x 0 = 0 
3 x 1 = 3 
3 x 2 = 6 
..... 
... 
E assim sucessivamente. 
Portanto, os múltiplos de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... 
E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... 
Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão 
aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, 
nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos: 
 
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... 
 
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ... 
 
Divisores 
 
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 
 
12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. 
Observações importantes: 
*O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 
*O maior divisor de um número é o próprio número. 
*O zero não é divisor de nenhum número. 
*Os divisores de um número formam um conjunto finito. 
 
Decomposição em Fatores Primos 
 
 
 
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Todo número natural não primo, maior do que 1, pode ser escrito na forma de 
uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Observe os exemplos a seguir: 
 
 
 
 
Observe que seguimos a ordem crescente dos números primos {2, 3, 5, 7,11...,}, 
ou seja, começa-se dividindo por 2, se houver números divisíveis por 2, quando não 
for mais possível dividir por 2, passamos ao 3 (se houver números divisíveis por 3), 
seguimos com 5, 7, 11 e assim por diante, até que todos os quocientes sejam 1. 
 
Determinando o número de Divisores 
 
Para tanto: Decompomos em fatores primos o número dado; e, em seguida, 
tomamos os expoentes de cada um dos fatores primos (escritos uma única vez), e a 
cada um dos expoentes adicionamos uma unidade, em seguida multiplicamos os 
números obtidos, obtendo assim a quantidade de divisores (QD) do número dado. 
 
Assim, para determinar o número de divisores de 72, fazemos o seguinte: 
 
72 = 23 x 32 
 
Como 72 só pode ser escrito da seguinte maneira: 
Então: 𝑄𝐷 (72) = (3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12 
 
 
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Exemplo: Encontre a quantidade de divisores naturais de 600. 
 
 
Determinando quem são os Divisores 
Para a determinação dos divisores de um número procede-se da seguinte 
maneira: 
 
a) Decompõe-se o número dado em fatores primos; 
 
b) Traça-se outra reta vertical ao lado da decomposição em fatores primos. 
 
c) A seguir efetua-se o produto do primeiro fator primo pela unidade após 
colocarmos o resultado na linha abaixo, à direita do fator. 
 
d) Multiplica-se cada um dos fatores por todos os números que estão acima da 
linha dele, formando-se então o conjunto dos divisores do número dado, com o 
cuidado de não repetir os números. 
 
Exemplificando, teríamos: Determinar o conjunto de divisores de 72. 
 
 
 
 
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Simplificando 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
Dados dois ou mais números naturais, não simultaneamente nulos, denomina-se 
máximo divisor comum (MDC) desses números o maior dos seus divisores comuns. 
 
Exemplo: Determinar o MDC entre 36 e 42 
 
Solução: Para tanto, determinaremos o conjunto de divisores de cada um dos 
números dados, isto é: 
 
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} 
 
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 
 
Determinemos o conjunto dos divisores comuns, ou seja, a intersecção 
entre os conjuntos de divisores: D(36) ∩ D(42) = {1,2,3,6} 
 
Sendo finito o conjunto dos divisores, conclui-se que o conjunto dos divisores 
comuns também é finito. O MDC entre os números dados é o maior dos divisores 
comuns aos números dados, isto é, MDC (36,42) = 6 
 
Processo de decomposição simultânea para cálculo do MDC. 
Decompomos, simultaneamente, os números dados em fatores primos. Para 
tanto, traçamos uma reta vertical, onde ficarão os divisores simultâneos, e marcamos 
os que dividirem todos da linha. Abaixo de cada número, colocamos o quociente 
obtido: 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO 1: podemos também calcular o MDC das seguinte forma: 
 
• Decomponha os números em fatores primos separadamente; 
• Tome os fatores comuns de menor expoente 
• Multiplique estes fatores 
 
OBSERVAÇÃO 2: Ainda há outro método que é o das divisõessucessivas, 
aplicando o algoritmo de Euclides, porém este método é útil apenas quando temos 
apenas dois números para determinar o MDC. 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
Dados dois ou mais números naturais, não nulos, denomina-se mínimo múltiplo 
comum (MMC) desses números o menor dos múltiplos comuns dos números dados, 
que seja diferente de zero. 
 
Exemplo: Determinar o MMC entre 5 e 6. 
 
Solução: Para tanto, determinemos o conjunto dos múltiplos de cada um, isto é: 
 
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} 
 
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} 
 
e, em seguida, o conjunto dos múltiplos comuns, isto é: M(5) ∩ M(6) = {0, 30, ...} 
 
Fatores que 
dividem 
simultaneamente 
todos os 
números. 
 
 
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Como o conjunto dos múltiplos de um número é infinito, e assim não podemos 
determinar o maior múltiplo comum, haverá então um número que será o menor 
múltiplo comum, diferente de zero, que será denominado Mínimo Múltiplo Comum. 
 
Portanto, concluímos que o MMC (5,6) = 30. 
 
Processo de decomposição simultânea para o cálculo do MMC 
 
Decompomos, simultaneamente, os números dados em fatores primos. Para 
tanto, traçamos uma reta vertical, onde ficarão os divisores simultâneos. Abaixo de 
cada número, colocamos o quociente obtido: 
 
Exemplo: Calcule o MMC entre 24, 32 e 48: 
 
 
 
Portanto, o 𝑚. 𝑚. 𝑐 (24, 32, 48) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 32 × 3 = 96 
 
DICA: o produto de dois números naturais diferentes de zero é igual ao produto 
entre o MMC e MDC desses números. 
 
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑚𝑚𝑐(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) 
 
Propriedade: Dados dois números primos entre si (tem somente o número 1 como 
divisor comum), o m.m.c. deles é o produto desses números. (IMPORTANTE) 
 
Exemplo: MMC (5,6)=30 
 
Resumindo MDC e MMC... 
 
Podemos determinar o MDC e o MMC de dois ou mais números com a fatoração 
simultânea de todos os números dados. Ao longo da fatoração devemos assinalar 
os divisores que dividirem ao mesmo tempo os números envolvidos na operação. 
Para encontrar o MMC multiplicam-se todos os fatores primos da decomposição. 
Para o MDC, multiplicamos apenas os fatores primos assinalados. 
 
 
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Propriedades Importantes em N: 
 
 Adição Multiplicação 
Fechamento 𝑎 + 𝑏 é um número natural 𝑎 ∙ 𝑏 é um número natural 
Associativa 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 
Comutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 
Elemento Neutro 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 
Distributiva 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝑐) 
Nenhum divisor de Zero Se 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, então 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0 (ou os dois) 
* A propriedade distributiva é importantíssima. 
 
Elementos de uma Divisão 
 
 
 
Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor 
pelo quociente. 
 
Exemplo: 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 ∙ 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
10 = 5 ∙ 2 
 
A divisão de um número natural n por zero é dita impossível, isto é, não existe. 
 
Exemplo: 
40 ∶ 0 = ∄ 
 
Se a divisão não é exata, temos: 
Dividendo = Divisor X Quociente + Resto 
 
 
 
 
 
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OPERAÇÕES E PROPRIEDADES IMPORTANTES EM Z 
 
Elementos de uma subtração: 
 
 
 
Multiplicação e divisão de números inteiros: 
 
Regra de sinais (IMPORTANTÍSSIMA) 
 
(+) ∙ (+) = (+) → Operação de Multiplicação 
 
(– ) ∙ (– ) = (+) → Operação de Multiplicação 
 
(+) ∶ (+) = (+) → Operação de Divisão 
 
(– ) ∶ (– ) = (+) → Operação de Divisão 
 
 
NÃO ESQUEÇA 
Em uma multiplicação, a ORDEM DOS FATORES NÃO ALTERA O PRODUTO. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte II) 
 
(F21). Verifique a divisibilidade por 2, por 3 e por 6: 
a) 202 
b) 100020000450 
c) 201096 
d) 98765434 
e) 678 
f) 709191 
 
(F22). Verifique a divisibilidade por 4, por 5 e por 10: 
a) 255505 
b) 5340 
c) 100000 
d) 98765 
 
 
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e) 87620 
f) 761980 
 
(F23). Verifique a divisibilidade por 7. 
a) 7203 
b) 6481 
c) 25851 
d) 180957 
 
(F24). Verifique a divisibilidade por 8 e por 9. 
a) 36000 
b) 13104 
c) 36182745 
d) 27815463 
e) 678426258132 
 
(F25). Verifique a divisibilidade por 11. 
a) 3025 
b) 1234 
c) 76615 
d) 792187 
e) 5467 
 
(F26). Quantos divisores naturais tem o número: 
a) 12 
b) 30 
c) 36 
d) 72 
e) 360 
 
(F27). Quem são os divisores positivos de: 
a) 12 
b) 30 
c) 36 
d) 72 
e) 360 
 
(F28). A divisão de um número m por 4 deixa resto 3. Qual é o resto da divisão de 
m+5 por 4? 
 
 
 
 
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(F29). Um número n deixa resto 7 quando dividido por 9. Qual é o resto da divisão de 
n−7 por 9? 
 
 
(F30). Que algarismo deve ser colocado no lugar de □ no número abaixo para que ele 
seja divisível por 3 e por 4? 
52.7□2 
 
 
(F31). No número 34n27, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível 
por 9. 
 
 
(F32). Bruno e Evandro possuem coleções de lápis, sendo que Evandro possui o 
dobro da quantidade de Bruno. Eles decidiram juntar suas coleções para tirar uma 
foto. Qual destas não pode ser a quantidade de lápis vista na foto: 
a) 112 
b) 333 
c) 96 
d) 147 
e) 204 
 
(F33). Calcule o MDC entre os números: 
a) 24, 96, 120 
b) 300, 330 e 450 
c) 12, 18, 72, 144 
 
(F34). Calcule o MMC entre os números: 
a) 5, 6, 12 
b) 9, 8, 24 
c) 10, 20, 22, 24 
 
(F35). Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em 
pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir: 
a) 4m 
b) 6m 
c) 14m 
d) 15m 
e) 18m 
 
(F36). Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, 
operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a 
 
 
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operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa 
realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários 
participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários 
com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de 
cada equipe e o número possível de equipes. 
 
(F37). Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 2.100 e m.d.c(140, x) = 10, 
podemos dizer que x: 
a) é um número primo 
b) é um número par 
c) é maior que 150 
d) é divisível por 11 
e) é múltiplo de 14 
 
(F38). Um comerciante vende balas em pacotinhos, sempre com a mesma 
quantidade. Ao fazer isso, percebeu que dentre as balas que possuía poderia colocar 
8, 12 ou 20 balas em cada pacote. Nessas condições, assinale a alternativa que 
apresenta o número mínimo de balas que o comerciante dispunha: 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 60 
e) 180 
 
(F39). No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com 
frequências diferentes. A primeira, “pisca“ 12 vezes por minuto e a segunda, “pisca“ 
15 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após 
quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
a) 10 segundos. 
b) 20 segundos. 
c) 15 segundos. 
d) 40 segundos. 
e) 30 segundos. 
 
(F40). É divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente o número: 
a) 235 
b) 520 
c) 230 
d) 510 
e) 532 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE II) 
 
(P11). Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores 
naturais de 1296, então o valor de 2.D + 3.N será: 
a) 18 
b) 25 
c) 43 
d) 75 
e) 111 
 
(P12). Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra 
de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por 
aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente? 
a) 1990 
b) 1996 
c) 2000 
d) 2003 
e) 2006 
 
(P13).Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em 
pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então, quantos pedaços de fio iguais 
foram obtidos? 
a) 30 
b) 33 
c) 36 
d) 39 
e) 42 
 
(P14). O MDC de dois números A e B é 2𝑥. 33. 54. 7. Sendo 𝐴 = 2𝑥 . 34. 5𝑧. 7 e 𝐵 =
 26. 3𝑦 . 55. 7, então o valor do produto x.y.z é 
a) 20 
b) 80 
c) 60 
d) 40 
e) 11 
 
(P15). Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A, a 
cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 
2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, a próxima manutenção com 
as três máquinas juntas ocorrerá em ___de dezembro. 
a) 10 
b) 12 
 
 
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c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
(P16). O MMC entre dois números é 24. Encontre o produto desses números sabendo 
que o MDC entre eles é 4. 
a) 24 
b) 48 
c) 96 
d) 108 
e) 120 
 
(P17). Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de 
gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro 
tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos 
em todas as gavetas e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas 
gavetas ele deverá usar? 
a) 33 
b) 48 
c) 75 
d) 99 
e) 165 
 
(P18). Um distribuidor de materiais esportivos recebeu três pedidos da bola oficial da 
Copa do Mundo 2014. Um de 280 unidades para a loja A, outro de 320 unidades para 
a loja B e outro de 840 unidades para a loja C. Para acelerar o processamento, o 
distribuidor pretende fazer embalagens contendo quantidades iguais de bolas em 
cada uma e, para reduzir custos, quer fazer o menor número possível dessas 
embalagens. Nessas condições, o número dessas embalagens que a loja C receberá, 
considerando-se a entrega total de seu pedido é: 
a) 15 
b) 18 
c) 20 
d) 21 
e) 24 
 
(P19). Determinar o número 𝑁 sabendo-se que ele admite 48 divisores e que é da 
forma 𝑁 = 25 ∙ 3𝑥: 
a) 128 
b) 1024 
c) 4096 
d) 53010 
 
 
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e) 69984 
 
(P20). Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo 
ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o 
outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar 
novamente. 
a) 1.320 
b) 132 
c) 120 
d) 60 
e) 22 
 
 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM Q E R 
 
(Frações, Dízimas, Potenciação, Radiciação) 
 
ESTUDO DAS FRAÇÕES 
 
Uma fração envolve a seguinte ideia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas 
partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. 
 
Exemplo: Joãozinho comeu 
3
4
 de um chocolate. Isso significa que, se 
dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Joãozinho teria comido 3 partes. 
 
 
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Joãozinho, e a 
parte branca é a parte que sobrou do chocolate. 
 
Suponhamos que um garçom tenha de dividir igualmente uma pizza entre seis 
pessoas. Assim sendo, a pizza toda é um inteiro e cada uma das partes em que ficar 
dividido será representada pelo número fracionário: 
 
1
6 
 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙ê 𝑢𝑚 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜, 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 
1
6 
 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎çã𝑜. 
 
Os termos da fração, nesse exemplo 1 e 6 são chamados de numerador e 
denominador, respectivamente. 
 
 
 
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O denominador indica em quantas partes iguais o todo foi dividido e o numerador 
indica quantas partes iguais foram tomadas. 
 
Classificação das Frações 
 
• Frações próprias: Quando o numerador for menor do que o denominador. 
 
Exemplificando: 
• Frações impróprias: Quando o numerador for maior do que o denominador. 
 
 Exemplificando: 
• Frações aparentes: Quando o numerador for múltiplo do denominador. 
 
Exemplificando: = 4 (número inteiro) 
 
Conclusão: Qualquer número natural poderá ser expresso por um número 
racional, onde o denominador (segundo elemento do par) é a unidade. 
 
Com isso podemos concluir que o conjunto dos números naturais representado 
por N, está contido no conjunto dos números racionais, representados por, Q ou em 
notação de conjunto: N Q (fato que já sabíamos). 
 
Propriedades das Frações 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma fração por um 
mesmo número diferente de zero, o valor da fração não se altera. As frações obtidas 
são chamadas de FRAÇÕES EQUIVALENTES. 
 
Exemplo: 
Se multiplicarmos sucessivamente o numerador e o denominador da fração 
por 2 teremos: 
 
1
4
=
2
8
=
4
16
… 
 
3
2
3
5
3
12

4
1
 
 
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Números Mistos 
 
Para extrair os inteiros de uma fração imprópria, basta dividirmos o numerador 
pelo denominador. O quociente assim obtido constituirá a parte inteira da fração 
imprópria, a qual terá para parte fracionária um par formado da seguinte maneira: 
 
• para numerador, o resto e 
• para denominador, o divisor. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Para transformar um número misto em fração imprópria, devemos formar uma 
fração que possua para numerador o produto entre a parte inteira e o denominador 
da parte fracionária somado ao numerador da parte fracionária, e para o denominador, 
o mesmo denominador do número misto. 
 
 
 
Simplificação de Frações 
 
Para simplificar uma fração, basta dividirmos ambos os termos pelo máximo 
divisor comum entre eles. Assim, temos: 
 
temosdivisãoaseEfetuandonumerooSeja −
3
17
3
17
3
2
5,tan
3
17
3
215
3
235
3
2
5 ==
+
=
+
= topor
x
Seja
 
 
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. 
 
Redução de Frações ao mesmo Denominador 
 
Para reduzir frações ao mesmo denominador, calcula-se o MMC entre os 
denominadores, o qual será o denominador comum. A seguir, divide-se o MMC obtido 
pelo denominador de cada uma das frações, e o resultado obtido multiplica-se pelo 
numerador, ou seja: constroem-se frações equivalentes às frações dadas. 
 
Exemplificando, temos: 
 
•Reduzir as frações abaixo ao mesmo denominador: 
 
( )
60
48
,
60
45
,
60
40
60
4)5:60(
,
60
3)4:60(
,
60
2)3:60(
:60,5,4,3
5
4
,
4
3
,
3
2
XXX
EMRESULTANDOMMC =
 
As frações assim obtidas são chamadas de homogêneas, pois possuem os 
mesmos denominadores. 
 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para comparar duas ou mais frações, devemos determinar uma relação de 
igualdade ou desigualdade entre elas. Assim sendo, devemos considerar os seguintes 
casos: 
 
• Frações com o mesmo denominador. Será maior o que tiver o maior numerador. 
• Frações com o mesmo numerador. Será maior tiver o menor denominador. 
• Frações com numeradores e denominadores diferentes: 
 
O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador. E então proceder 
a comparação: 
( )27,24
27
24
mdc→
9
8
3:27
3:24
3 =→=
lirredutívefraçãodechamadaéobtidaassimfraçãoA
9
8
 
 
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Exemplo 
5
4
4
3
3
2
60
48
60
45
60
40
60
45
,
60
40
,
60
48
60)4,3,5(
5
4
4
3
,
3
2
→
→=mmce
 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
1. Adição de frações: 
* Primeiro caso: frações com o mesmo denominador. Neste caso, conserva-se o 
denominador comum e adicionam-se os numeradores. 
 
7
3
7
72
7
1
7
2
=
+
=+ 
 
Assim, temos: 
* Segundo caso: frações com denominadores diferentes. Neste caso, determina-
se o MMC entre os denominadores, reduzindo as frações aos mesmos 
denominadores recai-se no primeiro caso. 
 
MMC (3, 5) = 15 15
19
15
910
15
9
15
10
5
3
3
2
=
+
=+=+ 
Assim temos 
 
 
2. Subtrações de Frações: 
* Primeiro caso: frações com o mesmo denomina. Neste caso, conserva-se o 
denominador comum e subtraem- se os numeradores.7
1
7
12
7
1
7
2
=
−
=− 
Assim, temos: 
* Segundo caso: frações com denominadores diferente. Neste caso, 
determina-se o mmc entre os denominadores, reduzindo as frações aos mesmos 
denominadores. 
15
1
15
910
15
9
15
10
5
3
3
2
15)5,3( =
−
=−=−=mmc 
Assim, temos: 
 
 
 
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3. Multiplicação de frações: 
Para multiplicar várias frações, devemos formar uma nova fração que terá, para 
numerador, o produto dos numeradores; para denominador, o produto dos 
denominadores. 
 
63
10
373
152
3
1
7
5
3
2
==
xx
xx
xx 
 
 
4. Divisão entre frações: 
Para *(dividir uma fração por outra, conservamos a primeira fração e 
multiplicamos pela inversa da segunda fração. 
 
 
15
14
5
7
3
2
7
5
:
3
2
== x 
Assim, temos: 
 
5. Potenciação de frações: 
Para resolver a potenciação de uma fração, devemos elevar tanto o numerador 
como o denominador à potência indicada. 
 
27
8
33
2
3
2
33
==





 
 Assim, temos: 
 
6. Radiciação de frações: 
Para resolver a radiciação de uma fração, devemos extrair a raiz indicada tanto 
do numerador como do denominador. 
 
7
4
49
16
49
16
== 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS 
 
 
 
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As dízimas periódicas são decimais infinitos que, a partir de alguma casa após a 
vírgula, passam a repetir determinada sequência de algarismos de forma infinita. Essa 
repetição é indicada por reticências, como mostram os exemplos a seguir: 
 
2,666666… 
 
13,454545… 
 
12,3210652652652… 
 
No primeiro caso, note que apenas um algarismo repete-se após a vírgula. No 
segundo, há a repetição de dois algarismos. Já no terceiro existem quatro algarismos 
quaisquer antes de se iniciar a repetição de três algarismos. 
 
O período de uma dízima periódica é formado pelos algarismos que se repetem 
nela. Portanto, na dízima 23,5656565…, o período é 56. Quando a dízima possui 
alguns algarismos antes do período, esses algarismos são chamados de antiperíodo. 
Por exemplo, na dízima 12,321559559…, o período é 559, e o antiperíodo é 321. 
 
Toda dízima periódica é um número racional e, por isso, pode ser escrita na 
forma de fração. A fração que representa uma dízima periódica é chamada de fração 
geratriz, e existem alguns métodos para encontrá-la. A seguir, discutiremos o método 
prático para determinar dízimas simples (que não possui antiperíodo) e compostas 
(possuem antiperíodo). 
 
Como encontrar a Fração Geratriz 
 
* A geratriz será uma fração que tem para numerador o número formado por uma 
vez a parte inteira, seguida de uma vez o Antiperíodo, seguido de uma vez o período, 
menos uma vez a parte inteira, seguida de uma vez o Antiperíodo. 
* A geratriz terá para denominador o número formado por tantos “noves” quantos 
forem os algarismos do período seguidos de tantos “zeros” quantos forem os 
algarismos do Antiperíodo. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
(part int) seg (ant per) seg (per) menos (part int) seg (ant per) 
 
Tantos “9”s (alg per) seg tantos “0”s ( alg ant per) 
 
 
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90
113
90
12125
...2555,1/
990
232
990
2234
...2343434,0/
9
23
9
225
...55,2/
9
7
...777,0 =
−
==
−
==
−
== 
 
POTENCIAÇÃO EM R 
 
Exemplos: 
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
 
 
POTÊNCIAS COM BASE DECIMAL 
 
São assim denominadas as potências cuja base é o numeral 10. 
 
Assim, temos: 
 
100 = 1 
101 = 10 
102 = 100 
... ... 
... ... 
... ... 
10n = 10 ......0 
 
 
 
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Assim vários números muito grandes, especialmente aqueles usados em 
Astronomia ou em Física, podem ser escritos de maneira simplificados. Aqui estão 
alguns exemplos de grandezas astronômicas que podem ser simplificadas com as 
potências de base 10: 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM DECIMAIS 
 
Adição e Subtração 
 
 
Multiplicação 
 
 
Divisão 
 
 
 
 
 
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RADICIAÇÃO EM R 
 
Radiciação é a operação inversa da Potenciação, pois: 
 
√𝒂
𝒏
= 𝒃 ↔ 𝒃𝒏 = 𝒂 
 
 
 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO: Raiz de índice par de números negativos não pertence ao 
conjunto dos números reais, trata-se de número imaginário. 
 
Exemplo: 
 √−64 não pertence ao conjunto dos números reais. *Fique atento: não é -8. 
PROPRIEDADES DOS RADICAIS ARITMÉTICOS (A>0) 
 
 
 
RADICAIS SEMELHANTES 
 
Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando 
Exemplos de radicais semelhantes: 
a) 7√5 e −2√5 
b) 5√2
3
 e 4√2
3
 
 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
Adição e Subtração 
 
1º CASO : Os radicais não são semelhantes. 
Devemos proceder do seguinte modo: 
 
a) Extrair as raízes (exatas quando existentes) 
 
 
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Exemplos 
 
1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7 
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2 
 
 
2º CASO: Os radicais são semelhantes. 
 
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de 
termos semelhantes de uma soma algébrica, ou seja, conservamos o índice e o 
radicando e somamos ou subtraímos apenas os coeficientes. 
 
Exemplos: 
 
a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2 
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5 
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7 
 
3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados. 
 
Exemplos 
a)5√3 + √12 
..5√3 + √2².3 
..5√3 + 2√3 
..7√3 
 
b)√8 + 10√2 - √50 
..√2².√2 +10√2 - √5². √2 
..2√2 + 10√2 - 5√2 
..7√2 
 
Multiplicação e Divisão 
 
1º CASO: Os radicais têm o mesmo índice. Efetuamos a operação entre os 
radicandos, bem como entre os coeficientes. 
Exemplos: 
 
a) √5 . √7 = √35 
b) 4√2 . 5√3 = 20√6 
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5 
d) 15√6 : 3√2 = 5√3 
 
 
 
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2º CASO: Os radicais não têm o mesmo índice. Inicialmente devemos reduzi-los ao 
mesmo índice. 
Exemplos 
 
a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500 
 
b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243 
 
RADICAIS DUPLOS 
 
 onde C 
OBSERVAÇÃO: Só se pode Transformar um radical duplo numa soma 
algébrica de radicais simples se A2 - B for quadrado perfeito 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 
= BA
2
BA+  ,
2
CA −
BA −= 2
BA +
 
 
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EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Como uma expressão numérica é formada por mais de uma operação, devemos 
resolvê-las na seguinte ordem: 
 
(1º) potências e as raízes. 
(2º) multiplicação ou divisão. 
(3º) adição e subtração. 
 
É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas. Quando 
aparecerem em uma expressão numérica, devemos eliminá-los. Essa eliminação irá 
acontecer na seguinte ordem: 
(1º) parênteses ( ). 
(2º) colchetes [ ]. 
(3º) chaves { }. 
 
Exemplo: 
– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] = 
– 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] = 
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] = 
 
 
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– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] = 
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] = 
– 62 : (– 2) – [– 6] = 
– 62 : (– 2) + 6 = 
31 + 6 = 37 
 
O valor numérico da expressão é 37. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (Parte III) 
 
(F41). Calcule (24 − 30+11000) ∙ 4−1 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
(F42). Calcule: 
a) 9
100
 
b) 81
256
 
c) 25
1
2 −
 
d) 9
10
4
1
+
 
 
(F43). Simplifique as expressões: 
 
a) 5
3
.
3
2
5
2






−
 
c) 
6
7
:
20
3
81
4
.
2
1
5
2






+





+
 
b) 






−





−
5
2
1.
2
1
2
2
 
d) 













+








−
4
1
.
9
4
.2
1
1:
2
1
16
9
 
 
 
 
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(F44). Saí de casa com determinada quantia no bolso. Gastei, na farmácia, 2/5 da 
quantia que tinha. Em seguida, encontrei um compadre que me pagou uma dívida 
antiga que correspondia exatamente à terça parte do que eu tinha no bolso. Continuei 
meu caminho e gastei a metade do que tinha em alimentos que doei para uma casa 
de apoio a necessitados. Depois disso, restavam-me 420 reais. O valor que o 
compadre me pagou é, e 
m reais, igual a 
a) 105. 
b) 210. 
c) 315. 
d) 420. 
e) 525. 
 
(F45). Hoje a soma da idade do pai com a do filho é igual a 46 anos. Daqui a um ano, 
a idade do pai será o dobro da idade do filho. A idade do filho será igual a 2/3 da idade 
do pai daqui a 
a) 32 anos. 
b) 29 anos. 
c) 23 anos. 
d) 19 anos. 
e) 17 anos. 
 
(F46). Uma empresa aluga containers para guarda de bens. Se o custo de alugar 1/4 
de um container é R$ 1.400,00 mensais, quanto custa alugar 4/5 deste container? 
a) Mais do que R$ 4550,00. 
b) Mais do que R$ 4500,00 e menos que R$ 4550,00. 
c) Mais do que R$ 4450,00 e menos que R$ 4500,00. 
d) Mais do que R$ 4400,00 e menos que R$ 4450,00. 
e) Menos do que R$ 4400,00 
 
(F47). Simplifique a expressão 
1
1
−
−
−
+
yx
yx
 e dê o valor numérico dessa expressão quando 
𝑥 = 𝑦 = 3. 
 
 
 
(F48). Calcule: 
 
 
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5
6
3
192)
270)
128)
54
500)
e
d
c
b
a
 
 
(F49). Pense um pouco e descubra o valor de: 
 
81253215 −+−
 
 
(F50). Dê o valor de cada radical no campo dos números reais, caso exista: 
 
 
(F51). Aplique a propriedade conveniente e resolva os radicais. 
 
 
(F52). Aplique a propriedade conveniente e resolva os radicais. 
 
 
(F53). Escreva sob a forma de uma única raiz. 
 
 
 
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(F54). Transforme as potências em raízes 
 
 
(F55). Calcule: 
 
 
(F56). Efetue os cálculos com radicais de índices diferentes 
a) √5 ∙ √3
3
= 
b) √3
4
∙ √2
6
= 
c) 
√3
3
√4
6 = 
 
(F57). Calcule o valor de: 
 
 
(F58). Qual dos números a seguir é o maior? 
a) 345 
b) 920 
c) 2714 
d) 2439 
e) 8112 
 
 
 
 
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(F59). Simplifique as expressões: 
a) 
1n1n
n2n
33
33
−+
+
+
−
= 
b) 
n2
n1n2
2
42 −+
= 
c) 
n
2n1n
2
22 −+ −
= 
 
(F60). Dividir um número por 0,025 é equivalente a multiplicá-lo por: 
a) -5 
b) 25 
c) 40 
d) 1000 
e) 75 
 
(F61). Analise as afirmativas a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
I)1/3=0,33333 … 
II) 2/3 = 0,66666 … 
III) 3/3 = 0,99999 … 
A(s) afirmativa(s) CORRETA(S) é/são: 
a) I somente. 
b) I e II somente. 
c) I, II e III. 
d) II somente 
e)N.D.A. 
 
(F62). A fração geratriz da seguinte dízima periódica = 0,5111... é igual a: 
a) 46/90. 
b) 51/99. 
c) 51/90. 
d) 46/99. 
e) 99/46 
 
(F63). Se x = 3,2666... e y = 3,333..., o período da dízima periódica resultante do 
produto de x por y é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
 
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(F64). Assinale a alternativa que apresenta o resultado de 2/31/2 . 
a)1/3. 
b) 1/6. 
c) 1/9. 
d) 4/3. 
e) Nenhuma alternativa está correta. 
 
(F65). O valor da expressão numérica 0,00003 . 200 . 0,0014 ÷ (0,05 . 12000 . 0,8) é 
igual a: 
 
 
(F66). Qual das afirmações abaixo é incorreta? 
a) 4,5= 4,50. 
b) 3,02 = 3,2. 
c) 7,100= 7,1. 
d) 9,03= 9,030. 
e) 2, 5=2,5 
 
(F67). O valor da expressão 1/6 + 0,666... + 0,6 é: 
a) 28/30. 
b) 11/10. 
c) 43/30. 
d) 47/30. 
e) 28/10. 
 
(F66). Racionaliza os denominadores abaixo: 
 
 
 
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(F67). O valor da expressão abaixo é: 
 
a) 4 
b) 4,5 
c) 5 
d) 5,5 
 
(F68). Escolha a alternativa falsa: 
 
 
(F69). 
 
 
(F70). 
 
 
 
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(F71). Resolva a expressão: 
 
 
 
 
 
(F72). Determine o valor de: 
 
 
(F73). Expressão abaixo tem resultado igual a: 
 
 
(F74). O valor da expressão abaixo é: 
 
a) √−
1
3
3
 
b) √
2
3
3
 
c) 0 
d) 1 
e) -1 
 
(F75). O denominador racionalizado da expressão abaixo é: 
 
 
 
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a) 10 
b) 8 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PARTE III) 
 
(P31). O número de algarismos do produto 517 × 49 é igual a: 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
(P32). A expressão é igual a: 
(A) 285 (B) 295 (C) 28 (D) 29 (E) 2581013 
 
(P33). O valor da expressão é: 
a) √2 
b) 1/√2 
c) 2 
d) ½ 
e) √2 + 1 
 
(P34). Qual a metade de 222? 
a) 111 
b) 211 
c) 110 
d) 121 
a) 221 
 
(P35). A expressão 2√27 − √75 + 3√12 é igual a: 
a) 2√3 
b) 4√12 
c) 4√27 
 
 
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d) 7√3 
e) 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 
 
(P36). Calcule o valor da expressão 2𝑥3 + 𝑦2 + 4, sendo 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 3: 
a) 09 
b) 19 
c) 29 
d) 39 
e) 49 
 
(P37). O valor da expressão 𝑥 = 25 ∙ 103 ∙ 8 ∙ 10−7 é: 
(A) 20∙10−3 (B) 20∙10−4 (C) 2∙10−3 (D) 2∙10−2 (E) 20∙10−2(A) 20∙10−3 (B) 20∙10−4 
(C) 2∙10−3 (D) 2∙10−2 (E) 20∙10−2a) 20 ∙ 10−3 
b) 20 ∙ 10−4 
c) 2 ∙ 10−3 
d) 2 ∙ 10−2 
e) 20 ∙ 10−2 
 
(P38). Qual dos números a seguir é o maior? 
a) 345 
b) 920 
c) 2714 
d) 2439 
e) 8112 
 
(P39). O valor da soma 
22003∙91001 
41001∙32003
+
22002∙91001 
41001∙32003
 é: 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1 
d) 4/3 
e) 2 
 
(P40). Sabendo que √𝑥2
3
= 19996, √𝑦 = 19994 e √𝑧4
5
= 19998, (𝑥 > 0, 𝑦 > 0 𝑒 𝑧 > 0), 
o valor de (𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧)−
1
3 é: 
a) 19999 
b) 19996 
c) 1999
1
9 
d) 1999−6 
e) 1999−9 
 
 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
(C01 - ESA). Uma fração equivalente a 
15
24
, cuja soma dos termos seja 78, é: 
a) 48 30 
b) 20 58 
c) 40 38 
d) 30 
 
(C02 - ESA). A geratriz de 1,20303... é: 
a) 
1191
900
 
b) 
1173
990
 
c) 1
201
990
 
d) 1
183
990
 
 
(C03 - ESA). Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo 
ponto e contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma 
mais acelerada e dá uma volta completa na pista em 12 59 minutos, enquanto a outra 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas 
voltarão a se encontrar no ponto de partida? 
a) 40 minutos; 
b) 50 minutos; 
c) 60 minutos; 
d) 70 minutos; 
e) 90 minutos. 
 
(C04 - ESA). A forma fatorada de um número natural x é 23. 3 . 52 e a forma fatorada 
de um número natural y é 24. 32. 5 .7. Então, podemos afirmar que o MDC de (x,y) é: 
a) 102 
b) 120 
c) 840 
d) 3600 
e) 5880 
 
(C05 - ESA). Em uma creche são consumidos 15 litros de leite por dia. O leite chega 
à creche em caixas de 1/3 de litro. Sabe-se que todas as crianças da creche tomam 
leite; 17 delas tomam 2 caixas por dia e as demais, uma caixa por dia. Sendo assim, 
temos que o número de crianças dessa creche é um número: 
a) primo 
b) divisível por 3 
 
 
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c) divisível por 5 
d) múltiplo de 7 
e) com 4 divisores 
 
(C06 - ESA). Determine o número cuja soma de sua metade, seu triplo e sua quinta 
parte com 26 é igual ao quíntuplo do próprio número: 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
(C07 - ESA). A potência (𝟐𝟎,𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐…)𝟗𝟗𝟎 tem quantos divisores naturais? 
a) 12 
b) 13 
c) 120 
d) 121 
e) 991 
 
(C08 - ESA). Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicação ao 
longo de três rodovias distintas, que medem 450 km, 330 km e 300 km. Parafacilitar 
sua localização, decidiram-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre as 
mesmas distâncias nas três rodovias. Foi utilizada a maior distância possível, e elas 
foram instaladas a partir do quilômetro zero de cada rodovia. O número de torres 
instaladas nas rodovias foi: 
a) 35 
b) 38 
c) 37 
d) 39 
e) 36 
 
(C09 - ESA). Dividindo-se 2100 por meio encontra-se: 
a) 250 
b) 1100 
c) 299 
d) 2101 
e) 4100 
 
(C10 - EsPCEx). O resultado da expressão numérica 
 
 
 
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é igual a : 
a) − 6. 
b) 9. 
c) −12. 
d) 8. 
e) − 4 
 
(C11 – ESA). Somando-se 15 a certo número, obtemos 12/7 desse número. Esse 
número é: 
a) 14 
b) 21 
c) 20 
d) 28 
e) 34 
 
(C12 – ESA). Se 3a9b é divisível ao mesmo tempo por 2 e 5, então b é iguaI a: 
a) -2 
b) -1 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
(C13 – ESA). O valor simplificado da expressão 
3−1,2.2
1
0,06
0,15
 é: 
a) 2/3 
b) 1 
c) 4 
d) 6 
e) 6
2
3
 
 
(C14 – ESA). Um número é formado por três algarismos, cuja soma é 15. O algarismo 
das dezenas é o triplo do algarismo das unidades e o algarismo das centenas é o 
sucessor do algarismo das dezenas. Esse número é: 
a) 276 
b) 267 
c) 726 
d) 762 
e) 627 
 
(C15 – ESA). Sejam a e b inteiros positivos não nulos e a divisível por b. Então o MMC 
(a, b) é: 
 
 
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a) 1 
b) a 
c) b 
d) ab 
e) n.d.a