Relatório_EfeitoHall_2021 11 22

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Universidade de São Paulo 
Instituto de Física de São Carlos 
Licenciatura em Ciências Exatas – 
Habilitação em Física 
Disciplina SLC0650 – Laboratório de Estrutura da 
Matéria 
Relatório 3: 
EFEITO HALL 
Docente: Prof. Dr. Antonio R. Zanatta 
Discente: Fábio F. Pinto Jr – nºUSP 
São Carlos, 22 Novembro de 2021.
2 
 
1. Introdução 
Entre as diversas tecnologias de detecção usadas atualmente para 
detectar campos magnéticos, o efeito Hall é talvez o mais difundido e comumente 
usado. Devido à possibilidade de se construir transdutores de efeito Hall de alta 
qualidade, com os processos padrões de circuito integrado usados na indústria 
de microeletrônica, e afim de integrar os circuitos auxiliares de processamento 
de sinal, na mesma matriz de silício, os sensores utilizáveis podem ser 
fabricados de forma rápida e barata.1 
Centenas de milhões desses dispositivos são produzidos todos os anos 
para uso em uma gama das mais variadas aplicações. Alguns lugares onde os 
transdutores de efeito Hall podem ser encontrados são: 
 
 Automóveis: Nos sistemas do tempo de ignição e nos freios 
antibloqueio (ABS); 
 Computadores: Na comutação para ventiladores sem “escova” e 
nos sensores do índice da unidade de disco; 
 Controles Industriais: Sensores de velocidade, sensores de fim de 
curso e codificadores; 
 Dispositivos de consumo: Equipamentos de exercícios e telefones 
celulares. 
 
É notável que os experimentos de Hall permitiram que ele observasse o 
efeito em tudo, quando se considera a instrumentação disponível à época e a 
natureza sutil do experimento, que provavelmente forneceu sinais de apenas 
microvolts. No entanto, o efeito Hall tornou-se razoavelmente bem conhecido no 
início; o Smithsonian Institute Physical Tables de 1920 inclui uma tabela que 
descreve a magnitude do efeito Hall para uma série de substâncias.1,2 
À medida que se tornou possível colocar mais transistores em uma matriz 
de silício de determinado tamanho, o transdutor básico pode ser aprimorado com 
mais funções de suporte a um pequeno custo adicional. Isso permitiu a 
construção de sensores de efeito Hall com lógica integrada para interface de 
barramento, compensação de temperatura e processamento de sinal específico 
3 
 
de aplicação. Os circuitos integrados, CIs, de efeito Hall com os circuitos 
sofisticados de interface no chip começaram a aparecer no final da década de 
1980, com novos dispositivos ainda sendo desenvolvidos para atender às 
necessidades de aplicações especializadas.1 
Embora o objetivo final de medir um campo magnético seja raro fora de 
um laboratório de física, os campos magnéticos são intermediários úteis para 
detectar outros fenômenos. Como grandes campos magnéticos não são 
comumente encontrados na natureza e que podem passar pela maioria dos 
materiais sem obstáculos, eles são indicadores flexíveis e vívidos do quanto 
podem ser controlados por outros fenômenos. Um exemplo simples disso é a 
detecção de proximidade, que é a função de detectar se um objeto está presente 
ou ausente. As características do objeto podem dificultar a percepção direta de 
sua presença em um determinado ambiente.1 
Um ímã conectado, no entanto, pode facilitar a detecção em uma 
variedade de condições. Embora o objetivo final seja a detecção do objeto, ele é 
realizado, neste caso, pela detecção de um campo magnético. As aplicações de 
detecção mais comuns para sensores de efeito Hall são a proximidade, a 
posição, a velocidade e a corrente. Sensores de efeito Hall integrados são a 
escolha preferida por uma série de razões, como1: 
 
 Tamanho pequeno - Sensores de efeito Hall integrados com 
amplificadores on-board podem ser obtidos em pacotes CI de 
montagem em superfície, ocupando não mais a área em uma 
placa do circuito impresso do que a mesma de um transistor 
discreto. Transdutores de efeito Hall simples podem ser obtidos 
em embalagens quase microscópicas. O pequeno tamanho dos 
sensores de efeito Hall permite que eles se encaixem fisicamente 
em muitos lugares onde outros transdutores magnéticos seriam 
muito volumosos.1 
 
 Robustez - Como a maioria dos sensores de efeito Hall são 
fabricados como circuitos integrados monolíticos, eles são muito 
imunes a choques e vibrações. Além disso, a embalagem CI 
padrão é altamente resistente à umidade e contaminantes 
ambientais. Finalmente, CIs monolíticos de efeito Hall que 
4 
 
operam na faixa de temperatura de -40 ~ a + 150 ~ estão 
prontamente disponíveis em várias fontes. Os CIs de efeito Hall 
têm sido usados com sucesso em ambientes hostis, como dentro 
de transmissões automotivas e em equipamentos de perfuração 
de poços de petróleo.1 
 
 Facilidade de uso- Embora os transdutores de efeito Hall não 
cheguem nem perto de ser o meio mais sensível ou preciso de 
medir campos magnéticos, eles são previsíveis e comportam-se 
bem. A saída de um transdutor de efeito Hall é quase linear em 
uma faixa substancial de campo magnético e não exibe histerese 
significativa ou efeitos de memória. Ao contrário de muitos tipos 
de sensores magnéticos, os transdutores de efeito Hall podem 
diferenciar os campos norte e sul. Por causa de seu pequeno 
tamanho, eles são efetivamente sensores "pontuais", medindo o 
campo em um único ponto no espaço. Finalmente, os 
transdutores de efeito Hall medem um único componente espacial 
de um campo, permitindo sentir a direção de um campo, bem 
como sua magnitude.1 
 
 Custo- Embora um sensor de efeito Hall de grau de 
instrumentação possa custar várias centenas de dólares, a 
grande maioria dos transdutores produzidos atualmente no 
mundo é vendida por menos de 50 cents, de dólar americano, 
incluindo eletrônicos de processamento de sinal. Os sensores 
efeito Hall estão entre os sensores de campo magnético mais 
econômicos disponíveis atualmente.1 
 
Por todas as razões anteriores, os sensores de efeito Hall são itens úteis 
na caixa de ferramentas de todo projetista, mostrando a sua importância nestes 
quase de 150 anos e suas implicações e aplicações no atual mundo tecnológico.1 
Por isso, neste relatório será discutido minunciosamente na parte teórica os 
aspectos fundamentais da técnica, obviamente após a contextualização 
histórica. 
 
5 
 
2. Contexto Histórico 
É claro que o professor Hall sempre será mais conhecido pelo efeito "Hall", 
e a maior parte de sua atividade científica estava ligada diretamente a esse efeito 
ou a fenômenos intimamente relacionados. O conhecimento do próprio efeito 
Hall é bastante antigo, pois foi descoberto experimentalmente por Edwin Herbert 
Hall em 1879, enquanto realizava o seu doutorado em Física sob a supervisão 
de Henry Augustus Rowland na Universidade Johns Hopkins, em Baltimore, 
EUA, e foi o tema de sua tese.3 A descoberta do efeito, aliás, precedeu a 
descoberta do elétron por Thomson em 1897 em quase 20 anos. Na época em 
que Hall realizava seus experimentos, acreditava-se comumente que a corrente 
elétrica era um fluido contínuo, não uma coleção de partículas elementares 
discretas.1 
A teoria moderna do eletromagnetismo foi sistematizada por James Clerk 
Maxwell no artigo "On Physical Lines of Force", que foi publicado em quatro 
partes entre 1861 e 1862. Enquanto o artigo de Maxwell estabeleceu uma base 
matemática sólida para a teoria eletromagnética, os mecanismos detalhados da 
teoria ainda estavam sendo explorados. Uma dessas questões era sobre os 
detalhes da interação entre os ímãs e a corrente elétrica, incluindo se os campos 
magnéticos interagiam com os condutores ou com a própria corrente elétrica.3 
Em seu artigo, On a New Action of the Magnet on Electric Currents 4, Hall 
afirma que enquanto lia uma passagem de Maxwell sobre Eletricidade e 
Magnetismo, juntamente com as aulas do Professor Rowland, ficou atraído por 
uma passagem em especial do penúltimo parágrafo do final do Capítulo 1, 
apontamento 501] da página 157do Tratado de Eletricidade & Magnetismo, 
Volume II, aqui livremente traduzida assim: 
 
6 
 
"Deve ser lembrado com muito cuidado, que a força 
mecânica que impele um condutor transportando uma corrente 
através das linhas de força magnética, atua, não na corrente elétrica, 
mas no condutor que a carrega. Se o condutor for um disco giratório 
ou um fluido se moverá em obediência a esta força, e este movimento 
pode ser acompanhado ou não por uma mudança de posição da 
corrente elétrica que carrega. Mas se a própria corrente for livre para 
escolher qualquer caminho através de um condutor sólido fixo ou uma 
rede de fios, dessa forma, quando uma força magnética constante for 
feita para atuar no sistema, o caminho da corrente através dos 
condutores não será permanentemente alterado, mas após certos 
fenômenos transitórios, chamados de correntes de indução, terem 
diminuídos, a distribuição da corrente será considerada a mesma 
como se nenhuma força magnética estivesse em ação. A única força 
que atua sobre as correntes elétricas é a força eletromotriz, que deve 
ser distinguida da força mecânica que é o assunto deste capítulo." 4,5 
 
Segundo Hall, esta declaração parecia ser contrária à suposição mais 
natural no caso considerado, levando-se em consideração o fato de que um fio 
que não carrega corrente em geral não é afetado por uma rede magnética e que 
um fio que carrega uma corrente é afetado exatamente na proporção da 
intensidade da corrente, enquanto o tamanho e, em geral, do material e do fio 
são indiferentes. Além disso, ao explicar os fenômenos da eletricidade estática, 
é costume dizer que os corpos carregados são atraídos uns para os outros ou o 
contrário unicamente pela atração ou repulsão das cargas uns pelos outros.4 
Então, logo após a leitura da declaração acima de Maxwell, Hall leu um 
artigo do Prof. Edlund, intitulado "Unipolar Induction”, no qual o autor, segundo 
Hall, evidentemente assume que um ímã atua sobre uma corrente em um 
condutor fixo da mesma forma que atua sobre o próprio condutor quando está 
livre para se mover.4 
Estava criada a divergência em sua cabeça. Assim, ele começou a dar 
mais atenção ao assunto e encontrou um método que parecia prometer uma 
solução para o problema. Apresentou o seu plano ao Prof. Rowland, que aprovou 
meu método embora tivesse sugerido algumas mudanças significativas na forma 
proposta e no arranjo do aparelho.4 Com isso, ele encontrou no artigo do 
Professor Edlund, que apoiava seu sentimento de que havia problemas com a 
concepção de Maxwell, e foi encorajado a iniciar sua busca pelo efeito suspeito 
pela observação de Rowland de que ele duvidava a verdade da afirmação de 
Maxwell, e ele próprio fez uma experiência apressada para detectar alguma ação 
de um campo magnético em uma corrente, mas com resultados negativos.3 
7 
 
Dessa forma, o experimento proposto foi sugerido pela seguinte reflexão, 
conforme Hall descreve: 
 
Se a corrente de elétrica em um condutor fixo é 
atraída por um magneto, a corrente deve ser puxada para 
um lado do fio e, portanto, a resistência experimentada 
deve ser aumentada. 
 
Na primeira montagem experimental, após "mudanças importantes na 
forma proposta e no arranjo do aparelho" terem sido feitas por Rowland, foi feita 
a busca por um aumento da resistência em um fio conduzindo uma corrente 
quando um campo magnético era aplicado, o que pensava-se que seria o 
resultado de uma suspeita de aglomeração das linhas de fluxo da corrente sob 
a ação do campo. O resultado dessa primeira tentativa foi negativo novamente. 
Em seguida, Hall procurou por uma diferença transversal de potencial, os 
arranjos sendo praticamente os mesmos que os arranjos atuais, para medir o 
efeito e sendo também os mesmos que haviam sido tentados anteriormente por 
Rowland, mas novamente com resultados negativos. A razão para esta falha que 
agora sabemos foi meramente falta de sensibilidade, principalmente devido à 
grande espessura do condutor. Por sugestão de Rowland, ele tentou novamente 
com folha de ouro transportar a corrente, aumentando assim a sensibilidade ao 
aumentar a densidade da corrente, e imediatamente foi recompensado com um 
resultado positivo.3 
O efeito parece ter sido vagamente previsto por Kelvin, em 1851, que 
indicou a possibilidade de um termo em suas equações correspondente ao 
efeito. Houve pelo menos três tentativas anteriores malsucedidas de descobrir o 
efeito: por Feilitzsch, Mach e Gore. Wiedemann, em seu "Galvanismus" 
descreveu um experimento para provar que o efeito não existiria, com aparato 
praticamente idêntico ao usado mais tarde aparentemente de forma 
independente por Rowland, e com aquele com o qual o efeito foi eventualmente 
descoberto.3 
Embora um efeito tenha sido antecipado, procurado e a descoberta final 
de Hall deva ser reconhecida como a compensatória da sua persistência, que foi 
uma de suas características mais proeminentes, o efeito realmente encontrado 
8 
 
foi essencialmente diferente do predito. O efeito previsto foi conectado com a 
força “ponderomotriz” agindo sobre um condutor que conduz uma corrente. 3 
Parecia quase necessário, que a ação primária responsável pela força 
“ponderomotriz” em um condutor carregando uma corrente em um campo 
magnético, deveria ser entre a corrente e o campo magnético. A ação na corrente 
sendo então propagada para o material do condutor, por algum tipo de ação 
secundária. Na verdade, essa ação primária é explicitamente escrita nas 
equações da teoria do elétron de Lorentz como uma força em um elétron 
movendo-se em um campo magnético. 3 
Essa imagem simples estava definitivamente presente nas mentes de 
muitos dos primeiros experimentadores e levou a sérios equívocos quanto à 
natureza do efeito. Assim, houve muitas tentativas de detectar uma distorção das 
linhas de fluxo da corrente e uma consequente mudança da resistência efetiva, 
como na tentativa malsucedida original de Hall. 3 
A impossibilidade de manter a imagem simples original era tão óbvia para 
todos quando, atualmente, foram encontrados metais em que o sinal do efeito 
era diferente do que se esperava da imagem simples. Isso é uma coincidência 
interessante que a maioria dos metais, incluindo aqueles medidos pela primeira 
vez, tenham o sinal esperado. Parece que temos aqui outro exemplo, do qual 
não são poucos na história da física, de um efeito suspeitado, buscado 
obstinadamente e descoberto atualmente, a partir de um quadro que se mostrou 
não pertinente. 3 
 
 
9 
 
3. Teoria 
Nos subitens seguintes de 3.1 até 3.5, que fazem parte desta teoria, você 
encontrará basicamente uma mescla da tradução de Hall-Effect Sensors – 
Theory and Applications, Chap.1 (pag.1-10), de E. Ramsden1, e da transcrição 
fiel com apenas algumas adequações para que o texto faça sentido de Lições 
de Física de Feynman, Cap.14, Vol.3. (pág. 222 – 229), de Richard P. 
Feynman8 
3.1. Uma Breve Análise Qualitativa 
Conceitualmente, uma demonstração do efeito Hall é simples de 
configurar e está ilustrada na Figura 1. A Figura 1(a) mostra uma fina placa de 
material condutor, como o cobre por exemplo, que carrega uma corrente (I), 
neste caso alimentada por uma bateria. Pode-se posicionar um par de pontas de 
prova conectadas a um voltímetro opostas uma à outra ao longo das laterais 
desta placa de modo que a tensão medida seja zero.1 
 
 
 Figura 1 – O Efeito Hall em uma lâmina condutora 
 Fonte: E. Ramsdem 1(pág.1) 
10 
 
Quando um campo magnético é aplicado à placa de forma que ele fique 
perpendicular ao fluxo da corrente, conforme mostrado na Figura 1(b), uma 
pequena tensão aparece na placa, que pode ser medida pelas pontas de prova. 
Se você inverter a direção (polaridade) do campo magnético, a polaridade dessa 
tensão induzida também será invertida. Este fenômeno é chamado de Efeito Hall, 
em homenagem a Edwin Hall, como já foi visto.1 
O que tornou o efeitoHall uma descoberta surpreendente para a época 
(1879) é que ele ocorre em condições de estado estacionário, o que significa que 
a tensão na placa persiste mesmo quando a corrente e o campo magnético são 
constantes ao longo do tempo. Quando um campo magnético varia com o tempo, 
as tensões são estabelecidas pelo mecanismo de indução, e a indução era bem 
compreendida no final do século XIX. Observar um curto pulso de voltagem 
através da placa quando um ímã foi levado até ela, e outro quando o campo 
magnético foi removido, não teria surpreendido um físico da época. O 
comportamento contínuo do efeito Hall, no entanto, apresentou um fenômeno 
genuinamente novo.1 
Na maioria das condições, a tensão de efeito Hall nos metais é 
extremamente pequena e difícil de medir e não é algo que provavelmente teria 
sido descoberto por acidente. A observação inicial que levou à descoberta do 
efeito Hall ocorreu na década de 1820, quando Andre A. Ampère descobriu que 
fios condutores de corrente sofriam força mecânica quando colocados em um 
campo magnético (Figura 2). A pergunta de Hall era se eram os fios ou a corrente 
nos fios que estavam sentindo a força. Hall raciocinou que, se a força estava 
agindo na própria corrente, ela deveria pressionar a corrente para um lado do 
fio. Além de produzir uma força, esse congestionamento da corrente também 
deve causar uma tensão leve, mas mensurável, no fio.1 
 
11 
 
 
Figura 2 - Um campo magnético (B) exercendo uma força mecânica (IxB) em um fio 
condutor de corrente. 
Fonte: E. Ramsdem 1(pág.2) 
 
A hipótese de Hall estava substancialmente correta; a corrente fluindo por 
um fio em um campo magnético se aglomera ligeiramente para um lado, 
conforme ilustrado na Figura 1(b), e o grau de aglomeração vai sendo altamente 
exagerado. Esse fenômeno ocorreria quer a corrente consistisse ou não em um 
grande número de partículas discretas, como agora se sabe, quer fosse um fluido 
contínuo, como comumente se acreditava à época de Hall.1 
3.2. Uma Análise Quantitativa 
Atualmente, já se sabe o suficiente sobre o eletromagnetismo e as 
propriedades de vários materiais para permitir a análise e o projeto de 
transdutores magnéticos práticos baseados no efeito Hall. Onde na seção 
anterior descreveu o efeito Hall qualitativamente, esta seção tentará fornecer 
uma descrição mais quantitativa do efeito Hall e relacioná-lo com a teoria 
eletromagnética fundamental.1 
Para entender o efeito Hall, é preciso entender como as partículas 
carregadas, como os elétrons, se movem em resposta a campos elétricos e 
12 
 
magnéticos. A força exercida sobre uma partícula carregada por um campo 
eletromagnético é descrita por:1 
 
0 0F q E q v B  
  
 (Equação 1) 
 
onde F

 é a força resultante, E

 é o campo elétrico, v

 é a velocidade da 
carga, B

 é o campo magnético e 0q é a magnitude da carga. Essa relação é 
comumente conhecida como equação de força de Lorentz. Observe que, exceto 
para 0q , todas essas variáveis são quantidades vetoriais, o que significa que 
contêm componentes x, y e z independentes. Essa equação representa dois 
efeitos separados:1 
 
 a resposta de uma carga a um campo elétrico; 
 e, a resposta de uma carga em movimento a um campo magnético. 
 
No caso do campo elétrico, uma carga experimentará uma força na 
direção do campo, proporcional tanto à magnitude da carga quanto à intensidade 
do campo. Esse efeito é o que faz com que uma corrente elétrica flua. Os elétrons 
em um condutor são puxados pelo campo elétrico desenvolvido por diferenças 
de potencial (voltagem) em pontos diferentes.1 
No caso do campo magnético, uma partícula carregada não experimenta 
nenhuma força a menos que esteja se movendo. Quando ela está se movendo, 
a força experimentada por uma partícula carregada é uma função de sua carga, 
da direção em que se move e da orientação do campo magnético através do qual 
está se movendo. Observe que as partículas com cargas opostas sofrerão força 
em direções opostas. Note que os sinais de todas as variáveis são significativos. 
No caso simples em que a velocidade está em ângulo perpendicular ao campo 
magnético, a força exercida também está em ângulos retos com a velocidade e 
com o campo magnético. O operador de produtos cruzados ( ) descreve essa 
relação exatamente. Expandido, a força em cada eixo  , , x y z tem-se que ela 
está relacionada aos componentes de velocidade e campo magnético nos vários 
eixos por:1 
13 
 
0
0
0
( )
( )
( )
x y z z y
y x z z x
z x y y x
F q v B v B
F q v B v B
F q v B v B
 
 
 
 (Equação 2) 
 
As forças que uma carga em movimento experimenta em um campo 
magnético faz com que ela se mova em trajetórias curvas, conforme ilustrado na 
Figura 3. Dependendo da relação da velocidade com o campo magnético, o 
movimento pode ser em padrões circulares ou helicoidais.1 
 
 
Figura 3 - Os campos magnéticos fazem com que as partículas carregadas se movam 
em caminhos circulares (a) ou helicoidais (b). 
Fonte: E. Ramsdem 1(pág.4) 
 
No caso de portadores de carga que se movem através de um transdutor 
de Hall, ou apenas transdutor Hall, a velocidade do portador de carga é 
substancialmente em uma direção ao longo do comprimento do dispositivo, como 
mostrado na Figura 4, e os eletrodos de detecção são conectados ao longo de 
um eixo perpendicular ao longo da largura. Ao restringir a velocidade da partícula 
portadora ao eixo x  0, 0y zv v  e a detecção de desequilíbrio de carga ao 
eixo z , podemos simplificar os três conjuntos de equações acima apenas por1 
 
0z x yF q v B  (Equação 3) 
14 
 
o que implica que o transdutor de efeito Hall será sensível apenas ao 
componente y do campo magnético. Isso levaria alguém a esperar que um 
transdutor de efeito Hall fosse sensível à orientação, e este é realmente o caso. 
Dispositivos práticos são sensíveis aos componentes do campo magnético ao 
longo de um único eixo e são substancialmente insensíveis aos componentes 
nos dois eixos restantes. (Observe a Figura 4.)1 
Embora o campo magnético force os portadores de carga para um lado 
do transdutor Hall, esse processo é autolimitado, porque a concentração 
excessiva de cargas em um lado e a consequente depleção no outro dá origem 
a um campo elétrico através do transdutor. Este campo faz com que as cargas 
tentem se redistribuir de maneira mais uniforme. Também dá origem a uma 
tensão que pode ser medida na placa. Um equilíbrio se desenvolve onde a força 
magnética empurra os portadores de carga para o lado e seja equilibrada pela 
força elétrica que tenta empurrá-los de volta para o meio.1 
 
 
Figura 4 – Transdutor de efeito Hall mostrando dimensões críticas e eixo de referência. 
Do inglês observamos Length ‘L’ (Comprimento), Thickness ‘d’ (Espessura), Width ‘W’ 
(Largura), Applied Magnetic Field ‘B’ (Campo Magnético Aplicado), Carrier Drift Velocity 
‘v’ (Velocidade de escoamento) e Sense Terminals on side of Transducer (Terminais 
de detecção na lateral do transdutor) 
Fonte: E. Ramsdem 1(pág.5) 
 
0 0 0Hq E q v B   (Equação 4) 
 
15 
 
onde HE é o campo elétrico de Hall através do transdutor. Resolvendo para o 
produto HE 
 
HE v B   (Equação 5) 
 
o que significa que o campo de Hall é apenas uma função da velocidade dos 
portadores de carga e da força do campo magnético. Para um transdutor com 
uma dada largura ‘w’ entre os eletrodos de detecção, o campo elétrico Hall pode 
ser integrado sobre ‘w’, assumindo que seja uniforme, nos dando a tensão Hall. 
1 
 
HV wvB  (Equação 6) 
 
A tensão Hall é, portanto, uma função linear: 
 
a. da velocidade do portador de carga no corpo do transdutor; 
b. do campo magnético aplicado no eixo "sensível", 
c. da separação espacial dos contatos sensoriais, em ângulos retos ao 
movimento da partícula portadora. 1 
3.3. O Efeito Hall nos Metais 
Para estimara sensibilidade de um dado transdutor Hall, é necessário 
saber a velocidade média do portador de carga. Em um metal, os elétrons de 
condução são livres para se mover e o fazem aleatoriamente por causa de sua 
energia térmica. Essas "velocidades térmicas" aleatórias podem ser bastante 
altas para qualquer elétron, mas, como o movimento é aleatório, os movimentos 
dos elétrons individuais têm a média de um movimento líquido zero, resultando 
em falta de corrente. Quando um campo elétrico é aplicado a um condutor, os 
elétrons "derivam" na direção do campo aplicado, enquanto ainda realizam um 
passeio aleatório rápido a partir de sua energia térmica. Essa taxa média de 
movimento de um campo elétrico é conhecida como velocidade de deriva.1 
16 
 
No caso de metais altamente condutores, a velocidade de deriva pode ser 
estimada. A primeira etapa é calcular a densidade dos portadores de carga por 
unidade de volume. No caso de um metal como o cobre, por exemplo, pode-se 
presumir que cada átomo de cobre tem um elétron em sua camada externa que 
está disponível para conduzir corrente elétrica. A densidade volumétrica do 
portador é, portanto, o produto do número de átomos por unidade de peso e a 
gravidade específica, ou densidade relativa. Para o caso do cobre, isso pode ser 
calculado da seguinte forma: 1 
 
23 1
3 22 3
1
6,02 10 ( )
8,89( . ) 8,42 10
63,55( . )
A
m
N mol
N D g cm cm
M g mol

 


    
 (Equação 7) 
 
onde: 
 N é o número de portadores de carga por centímetro cúbico; 
 AN é a constante de Avogadro (
23 16,02 10 mol ); 
 mM é a massa molar do cobre (
163,55 .g mol ); 
 D é a densidade relativa ou gravidade específica do cobre ( 3.g cm ) 
 
Uma vez que se tem a densidade do portador de cargas, pode-se estimar 
a velocidade de deriva das cargas com base na corrente. A unidade de corrente, 
o ampere (A), é definida como a passagem de 186,2 10  portadores de carga 
por segundo e é igual a
0
1
q
 . 1 
Considere o caso de um pedaço de material condutor com uma 
determinada área de seção transversal A . A velocidade dos portadores de carga 
será proporcional à corrente, já que o dobro da corrente empurrará o dobro de 
portadoras por unidade de tempo. Assumindo que a densidade do transportador 
é constante, e que os transportadores se comportam como um fluido 
incompressível, a velocidade também será inversamente proporcional à seção 
transversal. Assim, uma seção transversal maior significa menor velocidade do 
17 
 
transportador. Então, a velocidade de deriva dos transportadores de carga pode 
ser determinada por: 1 
 
0
I
v
q NA
 (Equação 8) 
 
onde: 
 v é a velocidade da carga, 
cm
s
 
 I é corrente em amperes 
 0q é a carga em um elétron (
191,60 10 C ) 
 N é a densidade dos portadores de cargas, ou das cargas, 
 A é a seção transversal em 2cm 
 
Um resultado surpreendente é a velocidade de deriva das cargas nos 
metais. Enquanto o campo elétrico faz com que os portadores de carga se 
movimentem se propagando, através de um condutor, a aproximadamente 
metade da velocidade da luz ( 6300 10 m s ), as cargas reais se movem em um 
ritmo médio muito mais lento. Para se ter uma ideia da disparidade, considere 
um pedaço de fio de cobre com o calibre #18 carregando um ampere. Esta bitola 
de fio, que é comumente usada para fiação de lâmpadas e outros 
eletrodomésticos, tem uma seção transversal de cerca de 20,0078cm . Sendo 
um ampere a quantidade de corrente necessária para acender uma lâmpada de 
100 watts e usando a densidade dos portadores de carga do cobre, 
anteriormente descrita (Equação-7), e substituindo na equação anterior 
(Equação-8), obtém-se: 1 
 
19 22 3 2
0
1
0,009
1,6 10 8,42 10 0,078
I A
v cm s
q NA C cm cm 
  
    (Equação 9) 
 
18 
 
A velocidade de deriva das cargas no exemplo acima é 
consideravelmente mais lenta do que a velocidade da luz. Na verdade, ela é 
consideravelmente mais lenta do que a velocidade de um caracol comum de 
jardim. 1 
Mas, ao combinarmos as equações (Equação-6) e (Equação-8), podemos 
derivar uma expressão que descreve a sensibilidade de um transdutor Hall como 
uma função das dimensões da seção transversal, corrente e densidade da 
portadora: 1 
 
0
H
IB
V
q Nd
 (Equação 10) 
 
onde d é a espessura do condutor. 
Agora, considere o caso de um transdutor consistindo de um pedaço de 
uma folha de cobre, semelhante ao mostrado na Figura 1. Suponha que a 
corrente seja de 1A e a espessura de 25 m (0,001'' ). Para um campo 
magnético de 1T (10 000 𝑔𝑎𝑢𝑠) a tensão Hall resultante será de: 1 
 
6
19 28 3 6
0
1 1
3,0 10
1,6 10 8,42 10 25 10H
IB A T
V V
q Nd C m m

  

   
     (Equação 11) 
 
Observe a conversão de todas as quantidades em unidades SI (metro-
quilograma-segundo) para consistência no cálculo. 
Note também que, mesmo para o caso de um campo magnético tão forte 
quanto10 000 gauss, a voltagem resultante do efeito Hall é extremamente 
pequena e, por esse motivo, geralmente não é prático fazer transdutores de 
efeito Hall com a maioria dos metais. 1 
 
19 
 
3.4. Elétrons e Buracos em Semicondutores 
A partir da descrição anterior do efeito Hall em metais, pode-se ver que 
um meio de melhoria na busca de um aprimoramento pode ser o de encontrar 
materiais que não tenham tantos portadores por unidade de volume quanto os 
metais. Assim, um material com uma densidade de portadores de cargas mais 
baixa exibirá o efeito Hall mais fortemente para uma dada corrente e uma dada 
profundidade. Felizmente, materiais semicondutores como silício, germânio e o 
arseneto de gálio fornecem as baixas densidades de cargas necessárias para 
realizar a confecção de elementos transdutores mais práticos.1 As substâncias 
semicondutoras de uso mais comum hoje são o silício e o germânio. Esses 
elementos cristalizam-se na rede do diamante, uma espécie de estrutura cúbica 
na qual os átomos fazem ligações tetraédricas com os seus quatro vizinhos mais 
próximos. Eles são isolantes em temperaturas muito baixas – perto do zero 
absoluto – embora eles conduzam um pouco de eletricidade na temperatura 
ambiente. Como eles não são metais; eles são chamados de semicondutores.8 
O transistor, assim como outros dispositivos úteis tais como os diodos 
semicondutores, diodos túneis, etc. fazem usos de semicondutores de 
impurezas, que resulta da adição controlada de certas impurezas a certos 
semicondutores intrínsecos. Considere, por exemplo, o efeito de adicionar uma 
pequena quantidade de arsênio a um cristal de germânio. O átomo de arsênio 
tem cinco elétrons livres de valência na camada 4n  , em vez de 4 como o 
germânio. Se um átomo de germânio é substituído por um átomo de arsênio, 
quatro dos elétrons participam da ligação covalente na estrutura de natureza do 
diamante ne cristal de germânio. O restante dos elétrons do átomo de arsênio 
não fazem parte da ligação e são, de fato, apenas fracamente ligados ao átomo 
de arsênio. (Um cálculo da órbita de “Bohr” deste elétron mostra que ela é muito 
maior que o espaçamento da rede, de maneira que esse elétron está fracamente 
ligado e é facilmente libertado do seu átomo original) Este elétron extra ocupa 
um nível de energia que está ligeiramente abaixo da banda de condução (termo 
explicitado mais a frente) no cristal e é facilmente excitado nessa banda de 
condução, onde pode contribuir para o transporte de carga na condução elétrica. 
10 
20 
 
No caso de semicondutores, a densidade de cargas é geralmente referida 
como a concentração de cargas. 1 
 
 
Tabela 1 – Concentrações intrínsecas de cargas em ~300K. 
Fonte: E. Ramsdem 1(pág.8) 
 
Como pode ser visto na Tabela 1, esses materiais semicondutores têm 
concentrações de cargas com ordens de magnitude mais baixas do que aquelas 
encontradas nos metais. Isso ocorre porque nos metais a maioria dos átomos 
contribuicom um elétron de condução, ao passo que os elétrons de condução 
nos semicondutores são mantidos mais firmemente. Assim, os elétrons em um 
semicondutor só se tornam disponíveis para condução quando adquirem energia 
térmica suficiente para atingir um estado de condução. Isso torna a concentração 
dos transportadores de carga altamente dependente da temperatura. 1 
Ao aprofundar essa questão do movimento do elétron no cristal, temos 
que se introduzirmos um elétron extra em um cristal de silício ou germânio que 
está em uma temperatura baixa, obteremos simplesmente a situação que o 
elétron será capaz de vagar pelo cristal saltando de um sítio atômico para outro. 
De fato, se somente investigássemos o comportamento de elétrons em uma rede 
retangular, e as equações obtidas seriam um pouco diferentes para a verdadeira 
rede do silício ou germânio, mas temos que todos os pontos essenciais são, 
contudo, ilustrados pelos resultados da rede retangular, como será 
apresentado.8 
Como sabe-se por meio do estudo da propagação de um elétron em uma 
rede cristalina, e em específico do entendimento de um elétron em uma rede 
tridimensional (como explicados no cap. 13 do livro as Lições de Física de 
Feynman), em um cristal semicondutor, esses elétrons podem ter energias 
somente em certas banda de energia – chamada de banda de condução. Dentro 
21 
 
desta banda a energia está relacionada ao número de onda k da amplitude de 
probabilidade C por: 
 
0 2 cos 2 cos 2 cosx x y y z zE E A k a A k b A k c    (Equação 12) 
 
Os As são as amplitudes para saltar ao longo das direções ,x y e z , e ,a b e 
c são os parâmetros de rede nessas direções. 
Para energias próximas ao fundo da banda, podemos aproximar a Eq. 
(12) por: 
 
2 2 2 2 2 2
min x x y y z zE E A a k A b k A c k    (Equação 13) 
 
Se considerarmos o movimento do elétron em uma dada direção, de 
maneira que as componentes do vetor k estejam sempre na mesma proporção, 
a energia é uma função quadrática do número de onda – e do momento do 
elétron. Podemos escrever 
 
2
minE E k  (Equação 14) 
 
onde  é uma constante, e podemos fazer um gráfico de E em função de k 
como na Fig. 5. Chamaremos esse gráfico de um “diagrama de energia”. Um 
elétron em um determinado estado de energia e momento pode ser indicado por 
um ponto, como o ponto S na figura (Fig.5).8 
 
22 
 
 
Figura 5 – Diagrama de energia de um elétron em um cristal isolante. 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
Dessa forma, podemos ter uma situação semelhante se retirarmos um 
elétron de um isolante neutro. Então, um elétron pode saltar de um átomo 
próximo e preencher o “buraco”, mas deixando outro “buraco” no átomo do qual 
ele partiu. Podemos descrever este comportamento escrevendo uma amplitude 
para encontrar o buraco em qualquer um dos átomos, e dizendo que o buraco 
pode saltar de um átomo ao seguinte. (Claramente, a amplitude A que o buraco 
salte do átomo a ao átomo b é a mesma que a amplitude que um elétron no 
átomo b pule no buraco do átomo a ). A matemática é exatamente a mesma para 
o buraco como foi para o elétron adicional, e obtemos mais uma vez que a 
energia do buraco está relacionada ao seu número de onda por uma equação 
como a Eq. (12) ou (13), exceto, naturalmente, com valores numéricos diferentes 
para as amplitudes xA , yA e zA . O buraco tem a energia relacionada ao número 
de onda das suas amplitudes de probabilidade. As suas energias localizam-se 
em uma banda restrita, e próximo do fundo da banda a sua energia varia de 
maneira quadrática com o número de onda – ou momento – tal como na Fig. 5. 
Assim, encontraríamos que o buraco também se comporta como uma partícula 
clássica com uma certa massa efetiva – exceto que em cristais não-cúbicos a 
massa depende da direção do movimento. Portanto o buraco comporta-se como 
uma partícula positiva que se move pelo cristal. A carga da partícula-buraco é 
23 
 
positiva, porque ela está localizada no sítio de um elétron ausente; e quando ela 
se move em uma direção há de fato elétrons que se movem no sentido contrário.8 
Em alguns metais, como o zinco e berílio por exemplo, o efeito Hall indica 
a presença efetiva de portadores de carga positiva. Isso é interpretado como 
sendo consequência de transições de elétrons da banda de valência cheia para 
a banda de condução, deixando buracos na banda de valência. No caso dos 
metais com uma configuração atômica 2s , como o zinco e o berílio, a mobilidade 
dos buracos da banda s é muito maior do que os elétrons da banda p . Como 
o sinal do coeficiente de Hall depende do tipo de portador que tem a maior 
mobilidade, o coeficiente de Hall é positivo para os metais 9, como veremos a 
seguir. 
Se pusermos vários elétrons em um cristal neutro, eles vão se mover pelo 
cristal de maneira parecida com os átomos de um gás à baixa pressão. Se não 
houver um número demasiado deles, as suas interações não serão muito 
importantes. Se então pusermos um campo elétrico através do cristal, os elétrons 
começarão a se mover e uma corrente elétrica fluirá. Eventualmente todos 
seriam levados a uma das bordas do cristal, e, se há um eletrodo metálico lá, 
eles seriam coletados, deixando o cristal neutro.8 
Da mesma maneira podemos pôr muitos buracos em um cristal. Eles 
vagariam pelo cristal à toa a menos que haja um campo elétrico. Com um campo 
eles fluiriam em direção ao terminal negativo, e seriam “coletados” – o que de 
fato acontece é que eles são neutralizados por elétrons do terminal metálico. 
Podemos também ter tanto buracos como elétrons em conjunto no cristal. 
Se não houver um número demasiado, eles seguirão todos os seus caminhos de 
maneira independente. Com um campo elétrico, eles contribuirão todos para a 
corrente. Por razões óbvias, os elétrons são chamados de portadores negativos 
e os buracos são chamados de portadores positivos.8 
Consideramos até o momento que os elétrons são inseridos no cristal do 
exterior, ou são retirados para fazer um buraco. É também possível “criar” um 
par elétron-buraco retirando um elétron de um átomo neutro e colocando-o 
distante, mas no mesmo cristal. Então temos um elétron livre e um buraco livre, 
e os dois podem se deslocar como já descrevemos.8 
24 
 
A energia necessária para colocar um elétron em um estado S – dizemos 
“para criar” o estado S – é a energia E – mostrada na Fig. 5. Ela é uma energia 
um pouco acima de minE
 . A energia necessária para “criar” um buraco em algum 
estado 'S é a energia E da Fig. 6, que é uma energia um pouco maior do que 
minE
 . Agora, se criamos um par nos estados S e 'S , a energia necessária é 
simplesmente E E  .8 
 
 
Figura 6 – Energia E necessária para “criar” um buraco no estado 'S . 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
A criação de pares é um processo tão comum, que muitas pessoas 
gostam de colocar as Fig. 5 e Fig. 6 juntas no mesmo gráfico – com a energia do 
buraco traçada para baixo, embora seja, naturalmente uma energia positiva. 
Combinamos os nossos dois gráficos deste modo na Fig. 7.8 
 
25 
 
 
Figura 7 – Diagrama de energia para um elétron e um buraco desenhados 
juntos. 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
A vantagem de tal gráfico é que a energia parE E E
   necessária 
para criar um par com o elétron em S e o buraco em 'S é simplesmente a 
distância vertical entre S e 'S , como mostrado na Fig. 7. A energia mínima 
necessária para criar um par é chamada de energia do “gap” e é igual a 
min minE E
  .8 
Às vezes pode ser possível ver um diagrama mais simples chamado de 
diagrama de níveis de energia, que é desenhado quando as pessoas não estão 
interessadas na variável k . Tal diagrama – mostrado na Fig. 8 – simplesmente 
apresenta as energias possíveis dos elétrons e buracos.†8 
 
26 
 
 
Figura 8 – Diagrama de níveis de energia para um elétrons e um buracos. 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
Comoos pares elétron-buraco podem ser criados? Há várias maneiras. 
Por exemplo, fótons de luz (ou Raios x) podem ser absorvidos e criar um par se 
a energia do fóton for maior que a energia do gap. A taxa com a qual os pares 
são produzidos é proporcional à intensidade da luz. Se uma bolacha (“wafer”) do 
cristal for colocada entre dois eletrodos e uma diferença de potencial é aplicada, 
os elétrons e os buracos serão conduzidos aos eletrodos. A corrente no circuito 
será proporcional à intensidade da luz. Este mecanismo é responsável pelo 
fenômeno da fotocondutividade e a operação de células fotocondutoras.8 
Os pares elétron-buraco também podem ser produzidos por partículas de 
alta energia. Quando uma partícula rápida e carregada, por exemplo, um próton 
ou um píon com uma energia de dezenas ou centenas de MeV – atravessa um 
cristal, o seu campo elétrico irá retirar elétrons para fora dos seus estados ligados 
criando pares elétron-buraco. Tais eventos ocorrem centenas de milhares de 
vezes por milímetro ao longo do caminho da partícula carregada. Após a 
passagem da partícula, os portadores podem ser coletados e nesse processo 
gerarão um pulso elétrico. Este é o mecanismo em jogo nos detectores 
semicondutor recentemente empregados em experimentos de física nuclear. 
† Em muitos livros este mesmo 
diagrama de energia é interpretado 
de um modo diferente. A escala de 
energia refere-se só a elétrons. Em 
vez de pensar na energia do buraco, 
eles pensam na energia que um 
elétron teria se ele preenchesse o 
buraco. Esta energia é mais baixa do 
que a energia do elétron livre – com 
efeito, exatamente pelo valor mais 
baixo que você vê na Fig. 8. Com 
esta interpretação da escala de 
energia, a energia do gap é a 
energia mínima que deve ser dada a 
um elétron para movê-lo do seu 
estado ligado para a banda de 
condução. 
27 
 
Tais detectores não necessitam semicondutores: eles também podem ser feitos 
com cristais isolantes. De fato, o primeiro de tais detectores foi feito usando um 
cristal de diamante que é um isolante à temperatura ambiente. Cristais 
extremamente puros são necessários se os buracos e os elétrons devem ser 
capazes de mover-se livremente aos eletrodos sem serem aprisionados. Os 
semicondutores silício e germânio são utilizados porque eles podem ser 
produzidos com alta pureza e em tamanhos razoavelmente grandes (dimensões 
de centímetros).8 
Por enquanto estivemos preocupados com cristais de semicondutores em 
temperaturas próximas do zero absoluto. Em qualquer temperatura finita há 
ainda outro mecanismo pelo qual os pares elétron-buraco podem ser criados. A 
energia do par pode ser fornecida pela energia térmica do cristal. As vibrações 
térmicas do cristal podem transferir a sua energia para um par – dando origem à 
uma criação “espontânea”.8 
A probabilidade por unidade de tempo que uma energia tão grande quanto 
a energia do gap, gapE , seja concentrada em um sítio atômico é proporcional a 
/gapE Te  , onde T é a temperatura e  é a constante de Boltzmann. Perto do 
zero absoluto não há nenhuma probabilidade apreciável, mas com o aumento da 
temperatura existe uma probabilidade crescente de produzir tais pares. Em 
qualquer temperatura finita a produção deve continuar para sempre com uma 
taxa constante produzindo mais e mais portadores negativos e positivos. 
Obviamente isso não ocorre porque após um tempo os elétrons e buracos 
acidentalmente se encontram – o elétron pula para o buraco e a energia em 
excesso é fornecida à rede. Dizemos que o elétron e o buraco se “aniquilam”. Há 
uma certa probabilidade por segundo que um buraco encontre um elétron e que 
os dois se aniquilem.8 
Se o número de elétrons por unidade de volume for nN ( n para 
portadores negativos) e a densidade de portadores positivos for pN ( p para 
portadores positivos), a possibilidade por unidade de tempo que um elétron e um 
buraco encontrem um ao outro e se aniquilem é proporcional ao produto n pN N
. Em equilíbrio esta taxa deve ser igual a taxa com a qual os pares são criados. 
28 
 
Você vê que em equilíbrio o produto n pN N deve ser dado por uma constante 
vezes o fator de Boltzmann, assim8: 
 
n pN N const 
/gapE Te  (Equação 15) 
 
Quando dizemos constante, queremos dizer quase constante. Uma teoria mais 
completa – que inclui mais detalhes sobre como os buracos e os elétrons se 
“encontram” – mostra que a “constante” é ligeiramente dependente da 
temperatura, mas a dependência principal com a temperatura está no fator 
exponencial.8 
Vamos considerar, como um exemplo, um material puro que está 
originalmente neutro. Em uma temperatura finita você esperaria que o número 
de portadores positivos e negativos fosse igual, n pN N . E cada um deles deve 
variar com a temperatura como 
/2gapE Te  . A variação de muitas das propriedades 
de um semicondutor – a condutividade, por exemplo – é basicamente 
determinada pelo fator exponencial porque todos os outros fatores variam muito 
mais lentamente com a temperatura. A energia do gap para o germânio é 
aproximadamente 0,72eV e para o silício é1,1eV .8 
Na temperatura ambiente T é aproximadamente 1 / 40 de um elétron 
volt. Nessas temperaturas há suficientes buracos e elétrons para dar uma 
condutividade significante, enquanto que, digamos, a 30º K – um décimo da 
temperatura ambiente – a condutividade é imperceptível. A energia do gap do 
diamante é 6 ou 7 eV eV e o diamante é um bom isolante na temperatura 
ambiente.8 
Os materiais semicondutores, no entanto, raramente são usados em sua 
forma pura, normalmente são dopados com materiais para aumentar 
deliberadamente a concentração das cargas a um nível desejado. Ao adicionar 
uma substância como o fósforo, por exemplo, que tem cinco elétrons em seu 
orbital externo (e aparece na coluna V da tabela periódica) adicionam-se os 
elétrons como os portadores de carga. Isso resulta no que é conhecido como 
semicondutor do tipo N. Da mesma forma, também se pode adicionar portadores 
de carga positiva dopando um semicondutor com materiais da coluna III (três 
29 
 
elétrons no orbital externo), como o boro. Embora isso não signifique que existam 
prótons flutuantes disponíveis para transportar a carga, ao adicionar um átomo 
da coluna III remove-se um elétron do cristal semicondutor para criar um "buraco" 
que se move e se comporta como se fosse na verdade uma partícula 
carregadora de carga, como foi explicado anteriormente. Esse tipo de 
semicondutor é chamado de material do tipo P. 1 
Para fins de fabricação de transdutores Hall, existem várias vantagens em 
usar materiais semicondutores dopados. A primeira é que, por causa das baixas 
concentrações intrínsecas dos portadores de carga dos semicondutores puros, 
a menos que os materiais possam ser obtidos com níveis de pureza parcelados, 
o material será dopado de qualquer forma – mas será desconhecido com o quê 
ou em que grau. 1 
A segunda razão para dopar o material é que ele permite a escolha do 
portador de carga predominante. Nos metais, não há escolha pois os elétrons 
são os portadores de carga padrão. No entanto, nos semicondutores existem as 
escolhas dos elétrons ou das lacunas (dos “buracos”). Uma vez que os elétrons 
tendem a se mover mais rápido sob um determinado conjunto de condições do 
que os buracos, os transdutores Hall mais sensíveis podem ser feitos usando um 
material do tipo N no qual os elétrons são os portadores majoritários do que com 
um material do tipo P no qual a corrente é transportada pelos buracos. 1 
A terceira razão para usar materiais dopados é que para semicondutores 
puros a concentração de portadores tem uma forte função com a temperatura. 
Já a concentração do carreador resultante da adição de dopantes é 
principalmente uma função da concentração de dopante, que não vai mudar com 
a temperatura. Com isso, usando uma concentração suficientemente alta de 
dopante, pode-seobter concentrações de transportadores relativamente 
estáveis em relação à temperatura. Como a tensão Hall é uma função da 
concentração do portador, o uso de materiais altamente dopados resulta em um 
transdutor com temperatura mais estáveis. 1 
No caso dos transdutores Hall em circuitos integrados, CI, há mais uma 
razão para usar silício dopado – principalmente porque é tudo o que está 
disponível. As várias camadas de silício usadas em processos de CI comuns são 
dopadas com vários níveis de materiais N e P, dependendo de sua função 
30 
 
pretendida. Camadas de silício puro geralmente não estão disponíveis como 
parte dos processos de fabricação de CI padrão. 1 
Quando um campo elétrico é aplicado a um semicondutor do tipo-n, cada 
portador negativo será acelerado neste campo, ganhando velocidade até que 
seja espalhado por um dos sítios doadores. Isto significa que os portadores, que 
estão em geral se deslocando de uma maneira aleatória com as suas energias 
térmicas, adquirirão uma velocidade de arrasto média ao longo das linhas do 
campo elétrico e darão origem a uma corrente pelo cristal. A velocidade de 
arrasto é em geral bastante pequena quando comparada com a velocidade 
térmica típica de tal forma que podemos estimar a corrente supondo que o tempo 
médio que os portadores se deslocam entre espalhamentos é uma constante. 
Vamos considerar que um portador negativo tem uma carga elétrica efetiva nq . 
Na presença de um campo elétrico  , a força no portador será nq  . Sabendo 
que a velocidade média de arrasto em tais circunstâncias é dada por /F m , 
onde F é a força na carga,  é o tempo médio entre colisões, e m é a massa. 
Deveríamos utilizar a massa efetiva, mas como desejamos fazer somente uma 
estimativa vamos supor que essa massa efetiva é a mesma para todas as 
direções. Aqui iremos chamá-la de nm . Com essa aproximação a velocidade de 
arrasto média será dada por 8: 
 
n n
arrasto
n
q
v
m

 (Equação 16) 
 
Conhecendo a velocidade de arrasto podemos encontrar a corrente. A 
densidade de corrente elétrica j é simplesmente o número de portadores por 
unidade de volume, nN , multiplicado pela velocidade de arrasto média, e pela 
carga de cada portador. A densidade de corrente é, portanto,8 
 
2
n n n
n arrasto n
n
N q
j N v q
m
   (Equação 17) 
 
31 
 
Vemos que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico; tal 
material semicondutor obedece a lei de Ohm. O coeficiente da proporcionalidade 
entre j e , a condutividade  , é8 
 
2
n n n
n
N q
m
  (Equação 18) 
 
Para um material do tipo- n a condutividade é relativamente independente 
da temperatura. Em primeiro lugar, o número de portadores majoritários nN é 
determinado principalmente pela densidade de doadores no cristal (contanto que 
a temperatura não seja tão baixa que muitos dos portadores sejam 
aprisionados). Em segundo lugar, o tempo médio entre colisões n é 
principalmente controlado pela densidade de átomos de impureza, que é, 
naturalmente, independente da temperatura.8 
Podemos aplicar todos os mesmos argumentos a um material do tipo- p , 
modificando somente os valores dos parâmetros que aparecem na Eq. (18). Se 
há números comparáveis de portadores negativos e positivos presentes no 
cristal ao mesmo tempo, devemos acrescentar as contribuições de cada espécie 
de portadores. A condutividade total será dada por8 
 
22
p p pn n n
n p
N qN q
m m
   (Equação 19) 
 
Para materiais muito puros, nN e pN serão quase iguais. Eles serão 
menores do que em um material dopado portanto, a condutividade será menor. 
Eles também variarão rapidamente com a temperatura (como 
/gapE Te  como já 
vimos), portanto a condutividade pode modificar-se de maneira bastante rápida 
com a temperatura. 
32 
 
3.5. O Efeito Hall em Semicondutores 
É certamente uma coisa peculiar que em uma substância onde os únicos 
objetos relativamente livres são elétrons, deve haver uma corrente elétrica 
transportada por buracos que se comportam como partículas positivas. 
Gostaríamos, por isso, de descrever um experimento que mostra de um modo 
bastante claro que o sinal dos portadores da corrente elétrica é, de forma 
bastante definitiva, positivo. Suponha que temos um bloco feito de material 
semicondutor – ele também poderia ser um metal – e colocamos um campo 
elétrico nele de tal forma a estabelecer uma corrente em alguma direção, por 
exemplo, na direção horizontal como desenhado na Fig. 9. 
 
 
Figura 9 – O Efeito Hall resulta de forças magnéticas nos portadores. 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
Agora suponha que colocamos um campo magnético no bloco fazendo 
um ângulo reto com a corrente, digamos, para dentro do plano da figura. Os 
portadores livres sentirão uma força magnética ( )q v B . E desde que a 
velocidade de arrasto média é ou para a direita ou para a esquerda – 
dependendo do sinal da carga do portador – a força magnética média nos 
portadores será ou para cima ou para baixo. Não, isso não está correto! Para as 
direções que consideramos para a corrente e para o campo magnético a força 
magnética nas cargas móveis será sempre para cima. As cargas positivas que 
se movem na direção de j (para a direita) sentirão uma força para cima. Se a 
corrente é transportada por cargas negativas, elas estarão movendo-se para a 
esquerda (para o mesmo sinal da corrente de condução) e elas também sentirão 
uma força para cima. Em condições estacionárias, contudo, não há nenhum 
movimento dos portadores para cima porque a corrente pode fluir somente da 
33 
 
esquerda para a direita. O que acontece é que algumas das cargas inicialmente 
fluem para cima, produzindo uma densidade de carga de superfície ao longo da 
superfície superior do semicondutor – deixando uma densidade de carga de 
superfície igual e oposta ao longo da superfície inferior do cristal. As cargas 
acumulam-se nas superfícies superior e inferior até que as forças elétricas que 
elas produzem nas cargas móveis cancelem exatamente a força magnética (na 
média) de tal maneira que a corrente estacionária flua horizontalmente. As 
cargas nas superfícies superior e inferior produzirão uma diferença de potencial 
vertical através do cristal que pode ser medida com um voltímetro de alta 
resistência, como mostrado na Fig. 10. O sinal da diferença de potencial 
registrada pelo voltímetro dependerá do sinal das cargas dos portadores 
responsáveis pela corrente.8 
 
 
Figura 10 – Medindo o Efeito Hall. 
Fonte: Richard P. Feynman8 
 
Quando tais experimentos foram feitos pela primeira vez era esperado 
que o sinal da diferença de potencial seria negativo como se esperaria para 
elétrons de condução negativos. As pessoas ficaram, entretanto, bastante 
surpresas ao encontrar que para alguns materiais o sinal da diferença de 
potencial era na direção contrária. Parecia que o portador da corrente era uma 
partícula com uma carga positiva. Da nossa discussão de semicondutores 
dopados é compreensível que um semicondutor do tipo- n deva produzir o sinal 
da diferença de potencial apropriado a portadores negativos, e que um 
semicondutor do tipo- p deva dar uma diferença de potencial oposta, pois a 
corrente é transportada pelos buracos positivamente carregados.8 
34 
 
A descoberta original do sinal anômalo da diferença de potencial no efeito 
Hall foi feita em um metal e não em um semicondutor. Supunha-se que em 
metais a condução seria sempre por elétrons; contudo, descobriu-se que para o 
berílio a diferença de potencial tinha o sinal incorreto. Hoje em dia entendemos 
que em metais como em semicondutores é possível, em certas circunstâncias, 
que os “objetos” responsáveis pela condução sejam buracos. Embora sejam, no 
final das contas, os elétrons no cristal que se movem, a relação entre o momento 
e a energia, e a resposta a campos externos são exatamente as que se 
esperariampara uma corrente elétrica transportada por partículas positivas.8 
Vamos ver se podemos fazer uma estimativa quantitativa da magnitude 
da diferença de voltagem esperada no efeito Hall. Se a corrente através do 
voltímetro na Fig. 10 for desprezível, então as cargas dentro do semicondutor 
devem estar se movendo da esquerda para a direita e a força magnética vertical 
deve ser precisamente cancelada por um campo elétrico vertical que 
chamaremos tr (o “tr” é para “transversal”). Se este campo elétrico dever 
cancelar as forças magnéticas, devemos ter 8 
 
tr arrastov B    (Equação 20) 
 
A utilização da relação entre a velocidade de arrasto e a densidade de 
corrente elétrica dada na Eq. (17), fornece8 
 
1
tr jBqN
   (Equação 21) 
 
A diferença de potencial entre o topo e o fundo do cristal é, naturalmente, 
essa intensidade de campo elétrico multiplicado pela altura do cristal. A 
intensidade de campo elétrico tr no cristal é proporcional à densidade de 
corrente e à intensidade do campo magnético. A constante de proporcionalidade 
1/ qN é chamada de coeficiente Hall e é normalmente representada pelo 
símbolo HR . O coeficiente Hall depende somente da densidade de portadores 
– contanto que os portadores com um dado sinal estejam em ampla maioria. A 
35 
 
medida do efeito Hall é, por isso, uma maneira conveniente de determinar 
experimentalmente a densidade de portadores em um semicondutor.8 
3.6. Resumindo o que Foi Visto para o Experimento 
A fim de entender o efeito, consideremos uma chapa de material condutor 
de faces paralelas ao plano x y (Fig. 11). 
 
 
Figura 11 – Medindo o Efeito Hall. 
Fonte: Antonio R. Zanatta6 
 
Um campo elétrico externo é aplicado na direção x (com o auxílio de um 
gerador de corrente constante CCG), fazendo com que uma corrente I 
atravesse o material. Se a largura do condutor é w e a sua espessura é t , 
teremos que a densidade de corrente é dada por 6 
 
x
I
j
wt
 (Equação 22) 
 
Se, agora, um campo magnético B é aplicado na direção Z , a força de 
Lorentz ( mF qv B 
  
) sobre os elétrons aponta na direção y . Isto faz com que 
elétrons sejam acumulados na parte superior do condutor, dando origem a um 
campo elétrico yE no interior do mesmo. Este campo é responsável por uma 
36 
 
diferença de potencial ao longo do eixo y (também conhecida por voltagem Hall 
HV ) e este é o Efeito Hall.6 
A diferença de potencial entre as partes inferior e superior da placa da 
Fig.11 também pode ser chamada de tensão de Hall. Pode-se calcular o módulo 
da tensão de Hall em termos da velocidade de migração, como foi visto. Assim, 
o módulo da força magnética sobre os portadores de carga é qvB . Essa força 
magnética é equilibrada pela força eletrostática de módulo HqE , em que HE é 
o campo elétrico devido à separação de cargas. Assim, têm-se HE vB . Se a 
largura da placa for w , a diferença de potencial é HE w . Dessa forma, a tensão 
de Hall é 11,12 
 
H HV E w vBw  (Equação 23) 
 
Ainda que haja uma corrente fluindo pelo condutor, sempre que o campo 
magnético B (externo e perpendicular à superfície do condutor) for nulo, a 
voltagem HV será igual a zero. Na medida em que ambos os campos elétrico e 
magnético externos são aplicados sobre o condutor, desenvolver-se-á HV , a 
qual é proporcional: à intensidade dos campos aplicados, à densidade de 
portadores de carga presentes, e ao tipo de portador de carga (elétrons ou 
buracos - os quais determinam o sinal de HV ).6 
Em condições de estado estacionário, i.e., quando a força magnética 
(devida ao campo B ) é contra-balanceada pela força elétrica interna (devida ao 
acúmulo de cargas em uma das extremidades do condutor)6 
 
eE evB (Equação 24) 
 
a corrente “induzida” será dada por 
 
I neAv (Equação 25) 
 
37 
 
onde: n  densidade de portadores de carga; e  carga elementar do elétron; 
A  área da superfície do condutor ( A wt ). Rearranjando as Equações (22), 
(24) e (25) chegamos a6 
 
H
H
V t
R
IB
 (Equação 26) 
 
ou, simplesmente, 
 
1
HR ne
 (Equação 27) 
 
para a expressão para aquilo que é conhecido como coeficiente Hall. 
 
38 
 
4. Objetivos 
 Determinar a voltagem Hall presente em metais (Alumínio, Cobre e 
Ouro) e no semicondutor Germânio. 
 Calcular o coeficiente Hall e a concentração de portadores de carga 
nestes materiais. 
 
39 
 
5. Parte Experimental 
Para a realização deste experimento será utilizado o simulador Hall Effect 
Experiment: - Determination of Carrier Density (disponível em 
http://vlab.amrita.edu/?sub=1&brch=282&sim=879&cnt=4) conforme o roteiro.6 
 
 
Figura 12 – Imagem do Esquema Experimental do Simulador 
Fonte: A. R. Zanatta 6 
 
A primeira etapa consistiu na calibração do campo magnético, uma vez 
que as quantidades relativas ao Efeito Hall dependem da intensidade deste 
campo, conforme explicado na teoria. Dessa forma, após a inserção da haste de 
prova variou-se a corrente de 1 A até 5 A. Com os valores obtidos construiu-se 
uma tabela de Corrente (A) X B (T) e o seu referido gráfico.6 
A segunda etapa, é o experimento em si, em que foram realizadas as 
medições dos materiais constituídos por Germânio, Alumínio, Cobre e Ouro. No 
entanto, para o elemento Germânio foram realizadas todas as possíveis 
variações de Espessura, 100 900 m com variação de 100 m em 100 m , 
da Corrente de Hall, de 1 5mA com variação de 0,5mA em 0,5mA ,e do valor 
da Corrente aplicada nas bobinas, de 1 5A com variações de 0,5A entre uma 
e outra. Já para o Alumínio, o Cobre e o Ouro, foram definidas a espessura em 
0,1mm e a corrente Hall de 1mA . Todos os valores obtidos foram anotados na 
planilha que se encontra na Pasta Efeito Hall, disponível no Google Drive. E com 
40 
 
os valores obtidos e anotados na planilha, foram construídos os gráficos do 
produto “ HV t ” em função de “ I B ”, em que se obteve o valor de HR ,como 
sendo a inclinação da curva obtida e que em alguns gráficos aparecerá como 
sendo slope, do inglês inclinação. Na planilha ainda apresentam-se o cálculo da 
obtenção dos portadores de carga para cada um destes elementos. 
Então, as tabelas que serão apresentadas foram construídas por meio da 
cópia dos valores obtidos na planilha em questão discutida que contém: 
 COLUNA A: Valores da corrente em ampère, referentes à 
calibração; 
 COLUNA B: Valores do campo magnético em tesla, referentes à 
calibração; 
 COLUNA C: Vazia; 
 COLUNA D: O tipo de material utilizado na haste de prova; 
 COLUNA E: Espessura, t (do inglês thickness), da haste de prova; 
 COLUNA F: Repetição da coluna A, para efeito de cálculo na 
planilha; 
 COLUNA G: Repetição da coluna B, para efeito de cálculo na 
planilha; 
 COLUNA H: Valor da tensão de Hall, VH, em mili Volt obtido da 
leitura durante o experimento; 
 COLUNA I: Valor da corrente de Hall, IH, em mili Ampère obtido da 
variação no simulador durante o experimento; 
 COLUNA J: Vazia; 
 COLUNA K: Produto da espessura pela tensão de Hall, t*VH, com 
o devido acréscimo do fator de 0,001 para o SI e usando a fórmula: 
=CÉLULA DA COLUNA E*(0,001)*CÉLULA DA COLUNA 
H*(0,001); 
 COLUNA L: Produto do campo magnético pela corrente de Hall, 
B*IH, com o devido acréscimo do fator de 0,001 para o SI e usando 
a fórmula: =CÉLULA DA COLUNA G*CÉLULA DA COLUNA 
I*(0,001); 
41 
 
 COLUNA M: Cálculo do coeficiente de Hall, RH, obtida pela divisão 
da coluna K pela L com o uso da fórmula: =CÉLULA DA COLUNA 
K / CÉLULA DA COLUNA L; 
 COLUNA N: Densidade dos portadores de carga, n, obtido pelo 
inverso do produto do coeficiente Hall pelo valor da carga do 
elétron, usado 1,6x10-19 coulombs, com o uso da fórmula: =1 / 
(CÉLULA DA COLUNA M * ( 1,6E-19)). 
 
42 
 
6. Resultados Experimentais 
A seguir, serão apresentados todos resultados experimentais obtidos 
conformedescritos anteriormente. 
6.1. Apresentação Tabela de Corrente, I, (A) X Campo 
Magnético, B, (T) 
Os valores apresentados na tabela a seguir, repetiu-se para todos os 
materiais testados, ou seja, para o Germânio, Alumínio, Cobre e Ouro. Assim, 
tem-se: 
I(A) B(T) 
1,0 0,1482 
1,5 0,2223 
2,0 0,2964 
2,5 0,3706 
3,0 0,4447 
3,5 0,5188 
4,0 0,5929 
4,5 0,6670 
5,0 0,7411 
Tabela 2 – Pontos de Calibração BxI 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
43 
 
6.2. Gráfico de Corrente, I, (A) X Campo Magnético, B, (T) 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
B
(T
)
I(A)
Equação do tipo y = a + b*x
Interceção -2,33333E-5 ± 2,569
Inclinação 0,14823 ± 7,86796E
 
Figura 13 – Curva de Calibração BxI 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
44 
 
6.3. Tabelas e Gráficos com as Medições para o Germânio com 
todas as Variações para a Corrente Hall, de 1,0 – 5,0 mA, e 
para a Espessura de 0,1-0,9 mm 
6.3.1. Tabela e Gráfico da variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,1 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,1  1,0  0,1482  28,756  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019404  3,2211E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,1  1,5  0,2223  43,133  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019403  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,1  2,0  0,2964  57,511  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019403  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,1  2,5  0,3706  71,889  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,222E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,1  3,0  0,4447  86,267  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,1  3,5  0,5188  100,645  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,0194  3,2217E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,1  4,0  0,5929  115,023  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,1  4,5  0,6670  129,400  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,1  5,0  0,7411  143,778  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.1 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,00539E-6
RH - Germânio - t (0,1mm) IH(1,0mA)
 
Figura 14 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
45 
 
 
6.3.2. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,2 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,2  1,0  0,1482  14,378  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019404  3,2211E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,2  1,5  0,2223  21,567  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019404  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,2  2,0  0,2964  28,756  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019404  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,2  2,5  0,3706  35,945  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,2219E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,2  3,0  0,4447  43,133  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2219E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,2  3,5  0,5188  50,322  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,019399  3,2218E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,2  4,0  0,5929  57,511  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2217E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,2  4,5  0,6670  64,700  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,2  5,0  0,7411  71,889  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.2 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,2mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,06111E-6
 
Figura 15 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
46 
 
6.3.3. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,3 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,3  1,0  0,1482  9,585  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019403  3,2212E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,3  1,5  0,2223  14,378  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019404  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,3  2,0  0,2964  19,170  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019403  3,2212E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,3  2,5  0,3706  23,963  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,222E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,3  3,0  0,4447  28,756  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,3  3,5  0,5188  33,548  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,019399  3,2218E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,3  4,0  0,5929  38,341  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,3  4,5  0,6670  43,133  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,3  5,0  0,7411  47,926  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.3 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,3mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 9,74692E-7
 
Figura 16 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
47 
 
6.3.4. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,4 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,4  1,0  0,1482  7,189  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019404  3,2211E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,4  1,5  0,2223  10,783  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019403  3,2212E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,4  2,0  0,2964  14,378  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019404  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,4  2,5  0,3706  17,972  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,222E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,4  3,0  0,4447  21,567  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,4  3,5  0,5188  25,161  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,019399  3,2218E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,4  4,0  0,5929  28,756  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,4  4,5  0,6670  32,350  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,4  5,0  0,7411  35,945  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.4 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,4mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,10044E-6
 
Figura 17 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
48 
 
6.3.5. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,5 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,5  1,0  0,1482  5,751  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019403  3,2212E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,5  1,5  0,2223  8,627  1,0    4,314E‐06  0,000222  0,019404  3,221E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,5  2,0  0,2964  11,502  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019403  3,2212E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,5  2,5  0,3706  14,378  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,2219E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,5  3,0  0,4447  17,253  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019398  3,2219E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,5  3,50,5188  20,129  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,0194  3,2217E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,5  4,0  0,5929  23,005  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,5  4,5  0,6670  25,880  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,5  5,0  0,7411  28,756  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.5 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,5mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,08803E-6
 
Figura 18 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
49 
 
6.3.6. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,6 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,6  1,0  0,1482  4,793  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019405  3,2208E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,6  1,5  0,2223  7,189  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019404  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,6  2,0  0,2964  9,585  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019403  3,2212E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,6  2,5  0,3706  11,982  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019399  3,2218E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,6  3,0  0,4447  14,378  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,6  3,5  0,5188  16,774  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,019399  3,2218E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,6  4,0  0,5929  19,170  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2217E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,6  4,5  0,6670  21,576  1,0    1,295E‐05  0,000667  0,019409  3,2202E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,6  5,0  0,7411  23,963  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.6 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,6mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 3,4873E-6
 
Figura 19 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
50 
 
6.3.7. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,7 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,7  1,0  0,1482  4,108  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019404  3,2211E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,7  1,5  0,2223  6,162  1,0    4,313E‐06  0,000222  0,019404  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,7  2,0  0,2964  8,216  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019404  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,7  2,5  0,3706  10,270  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,2219E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,7  3,0  0,4447  12,324  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,7  3,5  0,5188  14,378  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,0194  3,2217E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,7  4,0  0,5929  16,432  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,7  4,5  0,6670  18,486  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,019401  3,2215E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,7  5,0  0,7411  20,540  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,019401  3,2215E+20 
Tabela 3.7 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,7mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,02972E-6
 
Figura 20 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
51 
 
6.3.8. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,8 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,8  1,0  0,1482  3,594  1,0    2,875E‐06  0,000148  0,019401  3,2215E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,8  1,5  0,2223  5,392  1,0    4,314E‐06  0,000222  0,019404  3,2209E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,8  2,0  0,2964  7,189  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019404  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,8  2,5  0,3706  8,986  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019398  3,222E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,8  3,0  0,4447  10,783  1,0    8,626E‐06  0,000445  0,019398  3,2219E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,8  3,5  0,5188  12,581  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,0194  3,2216E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,8  4,0  0,5929  14,378  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2216E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,8  4,5  0,6670  16,175  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,0194  3,2216E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,8  5,0  0,7411  17,972  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,0194  3,2216E+20 
Tabela 3.8 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,8mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,18248E-6
 
Figura 21 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
52 
 
6.3.9. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,9 mm e IH de 1,0 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  IH *B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,9  1,0  0,1482  3,195  1,0    2,876E‐06  0,000148  0,019403  3,2212E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,9  1,5  0,2223  4,793  1,0    4,314E‐06  0,000222  0,019405  3,2208E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,9  2,0  0,2964  6,390  1,0    5,751E‐06  0,000296  0,019403  3,2212E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,9  2,5  0,3706  7,988  1,0    7,189E‐06  0,000371  0,019399  3,2218E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,9  3,0  0,4447  9,585  1,0    8,627E‐06  0,000445  0,019398  3,2219E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,9  3,5  0,5188  11,183  1,0    1,006E‐05  0,000519  0,0194  3,2217E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,9  4,0  0,5929  12,780  1,0    1,15E‐05  0,000593  0,0194  3,2217E+20 
4,5  0,6670    Germânio  0,9  4,5  0,6670  14,378  1,0    1,294E‐05  0,000667  0,019401  3,2215E+20 
5,0  0,7411     Germânio  0,9  5,0  0,7411  15,975  1,0     1,438E‐05  0,000741  0,0194  3,2216E+20 
Tabela 3.9 – Tabela com os dados das variações da Corrente no Germânio 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 7,0E-04 8,0E-04
2,0E-06
4,0E-06
6,0E-06
8,0E-06
1,0E-05
1,2E-05
1,4E-05
1,6E-05
RH - Germânio - t (0,9mm) IH(1,0mA)
V
H
 (
m
V
) 
* 
t 
(m
m
)
IH (A)*B (T)
Equation y = a + b*x
Slope 0,0194 ± 1,00152E-6
 
Figura 22 – Curva para obtenção do RH 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
 
 
 
 
53 
 
6.3.10. Tabela e Gráfico da Variação da Corrente no Germânio com 
Espessura de 0,1 mm e IH de 1,5 mA 
I(A)  B(T)     Material 
t 
(mm) 
I(A)  B(T)  VH (mV) 
IH 
(mA) 
   VH * t  I*B  RH  n 
1,0  0,1482    Germânio  0,1  1,0  0,1482  43,133  1,5    4,313E‐06  0,000222  0,019403  3,2211E+20 
1,5  0,2223    Germânio  0,1  1,5  0,2223  64,700  1,5    6,47E‐06  0,000333  0,019403  3,2211E+20 
2,0  0,2964    Germânio  0,1  2,0  0,2964  86,267  1,5    8,627E‐06  0,000445  0,019403  3,2211E+20 
2,5  0,3706    Germânio  0,1  2,5  0,3706  107,834  1,5    1,078E‐05  0,000556  0,019398  3,222E+20 
3,0  0,4447    Germânio  0,1  3,0  0,4447  129,400  1,5    1,294E‐05  0,000667  0,019399  3,2218E+20 
3,5  0,5188    Germânio  0,1  3,5  0,5188  150,967  1,5    1,51E‐05  0,000778  0,0194  3,2217E+20 
4,0  0,5929    Germânio  0,1  4,0  0,5929  172,534  1,5    1,725E‐05