LISTA DE INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA E PARA O DESVIO

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LISTA DE INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA E PARA O DESVIO-PADRÃO POPULACIONAIS 
 
(EXERCÍCIO 8 – Larson, pág. 281): Você seleciona, aleatoriamente, e mede o conteúdo de 15 frascos de xarope 
para tosse. Os resultados (em onças fluidas) são apresentados a seguir. Suponha que a amostra tenha sido retirada 
de uma população normalmente distribuída. Use um nível de confiança de 90% para construir os intervalos de 
confiança para a variância e para o desvio-padrão populacionais. 
 
4,211 4,246 4,269 4,241 4,260 4,293 4,189 4,248 4,220 4,239 4,253 4,209 4,300 4,256 4,290 
 
�̅� = 
63,724
15
= 4,248266667 
 
𝑿𝒊 ( 𝑿𝒊 - �̅� ) 
 2 
4,211 (4,211 – 4,248266667)2 = 0,001388804 
4,246 (4,246 – 4,248266667)2 = 0,000005138 
4,269 (4,269 – 4,248266667)2 = 0,000429871 
4,241 (4,241 – 4,248266667)2 = 0,000052804 
4,260 (4,260 – 4,248266667)2 = 0,000137671 
4,293 (4,293 – 4,248266667)2 = 0,002001071 
4,189 (4,189 – 4,248266667)2 = 0,003512538 
4,248 (4,248 – 4,248266667)2 = 0,000000071 
4,220 (4,220 – 4,248266667)2 = 0,000799004 
4,239 (4,239 – 4,248266667)2 = 0,000085871 
4,253 (4,253 – 4,248266667)2 = 0,000022404 
4,209 (4,209 – 4,248266667)2 = 0,001541871 
4,300 (4,300 – 4,248266667)2 = 0,002676338 
4,256 (4,256 – 4,248266667)2 = 0,000059804 
4,290 (4,290 – 4,248266667)2 = 0,001741671 
63,724 0,014454933 Somatórios 
 
( ) ( )
===
−
−
=
−
−
=

== 001032495,0
14
30,01445493
1151
15
1
2
1
2
2 i
i
n
i
i Xx
n
Xx
s Variância 
 
�̅� = 4,248266667 𝑠 = 0,032132464 𝑠2 = 0,001032495 𝑛 = 15 
 
 1 − 𝛼 = 0,90 𝛼 = 1 − 0,90 𝛼 = 0,10 
 
 
 
Valor de 𝜒𝑅
2 = 𝜒(0,05 ; 15−1)
2 = 𝜒(0,05 ; 14)
2 = 23,685 
 
Valor de 𝜒𝐿
2 = 𝜒(0,95 ; 15−1)
2 = 𝜒(0,95 ; 14)
2 = 6,571 
 
O Intervalo de 90% de Confiança para a Variância Populacional 𝜎2 é: 
 
(
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝑅
 ; 
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝐿
) 
 
(
(15 − 1) . 0,0321324642
23,685
 ; 
(15 − 1) . 0,0321324642
6,571
) 
 
(
(15 − 1) . 0,001032495 
23,685
 ; 
(15 − 1) . 0,001032495 
6,571
) 
 
[0,000610299 ; 0,002199807] 
 
Pode-se dizer, com 90% de confiança, que a variância do conteúdo dos frascos de xarope para tosse está entre 
0,000610299 e 0,002199807 (onças fluidas)2. 
 
O Intervalo de 90% de Confiança para o Desvio-padrão Populacional 𝜎 é: 
 
[√0,000610299 ; √0,002199807] 
 
[0,024704229 ; 0,046902097] 
 
Pode-se dizer, com 90% de confiança, que o desvio-padrão do conteúdo dos frascos de xarope para tosse está 
entre 0,024704229 e 0,046902097 onças fluidas. 
 
(EXERCÍCIO 10 – Larson, pág. 282): Você seleciona, aleatoriamente, e mede o comprimento de 17 parafusos. Os 
resultados (em polegadas) são apresentados. Suponha que a amostra tenha sido retirada de uma população 
normalmente distribuída. Use um nível de confiança de 95% para construir os intervalos de confiança para a 
variância e para o desvio-padrão populacionais. 
 
1,286 1,138 1,240 1,132 1,381 1,137 1,300 1,167 1,240 1,401 1,241 1,171 1,217 1,360 1,302 1,331 
1,383 
 
�̅� = 
21,427
17
= 1,260411765 
 
𝑿𝒊 ( 𝑿𝒊 - �̅� ) 
 2 
1,286 (1,286 – 1,260411765)2 = 0,000654758 
1,138 (1,138 – 1,260411765)2 = 0,014984640 
1,240 (1,240 – 1,260411765)2 = 0,000416640 
1,132 (1,132 – 1,260411765)2 = 0,016489581 
1,381 (1,381 – 1,260411765)2 = 0,014541522 
1,137 (1,137 – 1,260411765)2 = 0,015230464 
1,300 (1,300 – 1,260411765)2 = 0,001567228 
1,167 (1,167 – 1,260411765)2 = 0,008725758 
1,240 (1,240 – 1,260411765)2 = 0,000416640 
1,401 (1,401 – 1,260411765)2 = 0,019765052 
1,241 (1,241 – 1,260411765)2 = 0,000376817 
1,171 (1,171 – 1,260411765)2 = 0,007994464 
1,217 (1,217 – 1,260411765)2 = 0,001884581 
1,360 (1,360 – 1,260411765)2 = 0,009917817 
1,302 (1,302 – 1,260411765)2 = 0,001729581 
1,331 (1,331 – 1,260411765)2 = 0,004982699 
1,383 (1,383 – 1,260411765)2 = 0,015027875 
𝟐𝟏, 𝟒𝟐𝟕 0,134706118 Somatórios 
 
( ) ( )
===
−
−
=
−
−
=

== 008419132,0
16
80,13470611
1171
17
1
2
1
2
2 i
i
n
i
i Xx
n
Xx
s Variância 
 
�̅� = 1,260411765 𝑠 = 0,091755830 𝑠2 = 008419132,0 𝑛 = 17 
 
 1 − 𝛼 = 0,95 𝛼 = 1 − 0,95 𝛼 = 0,05 
 
 
 
Valor de 𝜒𝑅
2 = 𝜒(0,025 ; 17−1)
2 = 𝜒(0,025 ; 16)
2 = 28,845 
 
Valor de 𝜒𝐿
2 = 𝜒(0,975 ; 17−1)
2 = 𝜒(0,975 ; 16)
2 = 6,908 
 
O Intervalo de 95% de Confiança para a Variância Populacional 𝜎2 é: 
 
(
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝑅
 ; 
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝐿
) 
 
(
(17 − 1) . 0,0917558302
28,845
 ; 
(17 − 1) . 0,0917558302
6,908
) 
 
(
(17 − 1) . 008419132,0 
28,845
 ; 
(17 − 1) . 008419132,0
6,908
) 
 
[0,004669999 ; 0,019500016] 
 
Pode-se dizer, com 95% de confiança, que a variância do comprimento dos parafusos está entre 0,004669999 e 
0,019500016 polegadas2. 
 
O Intervalo de 95% de Confiança para o Desvio-padrão Populacional 𝜎 é: 
 
[√0,004669999 ; √0,019500016] 
[0,068337389 ; 0,139642458] 
 
Pode-se dizer, com 95% de confiança, que o desvio-padrão do comprimento dos parafusos está entre 
0,068337389 e 0,139642458 polegadas. 
 
(EXERCÍCIO 11 – Larson, pág. 282): Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o 
desvio-padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona, aleatoriamente, 12 
máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio-padrão da amostra é 3,25 anos. Suponha que a 
amostra tenha sido retirada de uma população normalmente distribuída. Use um nível de confiança de 99% para 
construir os intervalos de confiança para a variância e para o desvio-padrão populacionais. 
 
𝑠 = 3,25 𝑠2 = 3,252 = 10,5625 n = 12 
 
 1 − 𝛼 = 0,99 𝛼 = 1 − 0,99 𝛼 = 0,01 
 
 Área à Direita de 𝜒𝑅
2 = 0,005 
 
 Área à Direita de 𝜒𝐿
2 = 0,995 
 
 A tabela, no final desse arquivo, lista os valores de 𝜒2 para vários graus de liberdade e áreas. Cada área na tabela 
 representa a região sob a curva do qui-quadrado à direita do valor crítico. Assim: 
 
 Valor de 𝜒𝑅
2 = 𝜒(0,005 ; 12−1)
2 = 𝜒(0,005 ; 11)
2 = 26,757 
 
 Valor de 𝜒𝐿
2 = 𝜒(0,995 ; 12−1)
2 = 𝜒(0,995 ; 11)
2 = 2,603 
 
O Intervalo de 99% de Confiança para a Variância Populacional 𝜎2 é: 
 
(
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝑅
 ; 
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝐿
) 
 
(
(12 − 1) . 3,252
26,757
 ; 
(12 − 1) . 3,252
2,603
) 
 
(
(12 − 1) . 10,5625
26,757
 ; 
(12 − 1) . 10,5625
2,603
) 
 
[4,342321635 ; 44,63599693] 
 
Pode-se dizer, com 99% de confiança, que a variância da vida de um de seus modelos de máquinas está entre 
4,3423 e 44,6360 anos2. 
 
O Intervalo de 99% de Confiança para o Desvio-padrão Populacional 𝜎 é: 
 
 
(√4,342321635 ; √44,63599693) = 
 
[2,083823801 ; 6,681017657] 
 
Pode-se dizer, com 99% de confiança, que o desvio-padrão da vida de um de seus modelos de máquinas está entre 
2,083823801 𝑒 6,681017657 anos. 
 
(EXERCÍCIO 14 – Larson, pág. 282): As frequências de pulso de uma amostra aleatória de 16 adultos são 
apresentadas no gráfico ramo-e-folhas. Suponha que a amostra tenha sido retirada de uma população 
normalmente distribuída. Use um nível de confiança de 95% para construir os intervalos de confiança para a 
variância e para o desvio-padrão populacionais. 
 
Ramo |-----------------Folhas------------------ 
6 2 
6 5 8 9 
7 0 1 4 4 
7 6 6 7 9 9 
8 0 0 
8 7 
 
Assim, a amostra é: 
 
62 65 68 69 70 71 74 74 76 76 77 79 79 80 80 87 
 
𝑛 = 16 (𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎) 
 
�̅� = 
1.187
16
= 74,1875 𝑠 = 6,420994212 
 
𝑿𝒊 ( 𝑿𝒊 - �̅� ) 
 2 
62 (62 – 74,1875)2 = 148,5351563 
65 (65 – 74,1875)2 = 84,41015625 
68 (68 – 74,1875)2 = 38,28515625 
69 (69 – 74,1875)2 = 26,91015625 
70 (70 – 74,1875)2 = 17,53515625 
71 (71 – 74,1875)2 = 10,16015625 
74 (74 – 74,1875)2 = 0,035156250 
74 (74 – 74,1875)2 = 0,035156250 
76 (76 – 74,1875)2 = 3,285156250 
76 (76 – 74,1875)2 = 3,28515625077 (77 – 74,1875)2 = 7,910156250 
79 (79 – 74,1875)2 = 23,16015625 
79 (79 – 74,1875)2 = 23,16015625 
80 (80 – 74,1875)2 = 33,78515625 
80 (80 – 74,1875)2 = 33,78515625 
87 (87 – 74,1875)2 = 164,1601563 
1.187 618,4375 Somatórios 
 
( ) ( )
===
−
−
=
−
−
=

== 22916667,41
15
618,4375
1161
16
1
2
1
2
2 i
i
n
i
i Xx
n
Xx
s Variância 
 
�̅� = 74,1875 𝑠 = 6,420994212 𝑠2 = 22916667,41 𝑛 = 16 
 
 1 − 𝛼 = 0,95 𝛼 = 1 − 0,95 𝛼 = 0,05 
 
 
 
Valor de 𝜒𝑅
2 = 𝜒(0,025 ; 16−1)
2 = 𝜒(0,025 ; 15)
2 = 27,488 
 
Valor de 𝜒𝐿
2 = 𝜒(0,975 ; 16−1)
2 = 𝜒(0,975 ; 15)
2 = 6,262 
 
O Intervalo de 95% de Confiança para a Variância Populacional 𝜎2 é: 
 
(
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝑅
 ; 
(𝑛 − 1) . 𝑠2
𝜒2𝐿
) 
 
(
(16 − 1) . 6,4209942122
27,488
 ; 
(16 − 1) . 6,4209942122
6,262
) 
 
(
(16 − 1) . 22916667,41 
27,488
 ; 
(16 − 1) . 22916667,41
6,262
) 
 
[22,49845387 ; 98,76038008] 
 
Pode-se dizer, com 95% de confiança, que a variância das frequências de pulso de adultos está entre 
22,49845387 𝑒 98,76038008. 
 
O Intervalo de 95% de Confiança para o Desvio-padrão Populacional 𝜎 é: 
 
[√22,49845387 ; √98,76038008] 
 
[4,743253511 ; 9,937825722] 
 
Pode-se dizer, com 95% de confiança, que o desvio-padrão das frequências de pulso de adultos está entre 
4,743253511 e 9,937825722.