LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANO CARTESIANO E RELAÇÕES BINÁRIAS

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LISTA DE EXERCÍCIOS – PLANO CARTESIANO E RELAÇÕES BINÁRIAS – 
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1. (Enem) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo 
urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma 
determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus 
nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por 𝑃 e 𝑄. 
 
 
 
Os estudos indicam que o novo ponto 𝑇 deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas 
já existentes 𝑃 e 𝑄, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos 𝑃 e 𝑇 e 
entre os pontos 𝑇 e 𝑄 sejam iguais. 
 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
a) (290;  20). 
b) (410;  0). 
c) (410;  20). 
d) (440;  0). 
e) (440;  20). 
 
2. (Enem) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os 
dias, milhares de motoristas brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de 
um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade de um veículo durante um 
congestionamento. 
 
 
 
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo total analisado? 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
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e) 0 
 
3. (Enem) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que 
são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As 
coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a 
latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à 
altitude da região. 
 
 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto 𝑋 =
(20;  60). O helicóptero segue o percurso: 
 
0,8°𝐿 → 0,5°𝑁 → 0,2°𝑂 → 0,1°𝑆 → 0,4°𝑁 → 0,3°𝐿 
 
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é 
a) menor ou igual a 200 𝑚. 
b) maior que 200 𝑚 e menor ou igual a 400 𝑚. 
c) maior que 400 𝑚 e menor ou igual a 600 𝑚. 
d) maior que 600 𝑚 e menor ou igual a 800 𝑚. 
e) maior que 800 𝑚. 
 
4. (Enem) Nos seis cômodos de uma casa há sensores de presença posicionados de forma 
que a luz de cada cômodo acende assim que uma pessoa nele adentra, e apaga assim que a 
pessoa se retira desse cômodo. Suponha que o acendimento e o desligamento sejam 
instantâneos. 
O morador dessa casa visitou alguns desses cômodos, ficando exatamente um minuto em 
cada um deles. O gráfico descreve o consumo acumulado de energia, em watt × minuto, em 
função do tempo 𝑡, em minuto, das lâmpadas de LED dessa casa, enquanto a figura apresenta 
a planta baixa da casa, na qual os cômodos estão numerados de 1 a 6, com as potências das 
respectivas lâmpadas indicadas. 
 
 
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A sequência de deslocamento pelos cômodos, conforme o consumo de energia apresentado 
no gráfico, é 
a) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4 
b) 1 → 2 → 3 → 1 → 4 → 1 → 4 → 4 
c) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 2 → 3 
d) 1 → 2 → 3 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4 
e) 1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1 → 6 → 1 → 4 
 
5. (Enem PPL) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira 
ordeira e organizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos 
foram esboçados em um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. 
As duas formigas partiram juntas do ponto 𝑂, origem do plano cartesiana 𝑥𝑂𝑦. Uma delas 
caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 
𝑘𝑚
ℎ
. A outra caminhou 
verticalmente para cima, à velocidade de 3 
𝑘𝑚
ℎ
. 
 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? 
a) (8;  0) e (0;  6). 
b) (4;  0) e (0;  6). 
c) (4;  0) e (0;  3). 
d) (0;  8) e (6;  0). 
e) (0;  4) e (3;  0). 
 
6. (Enem PPL) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô “anfíbio” que 
executa saltos somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a 
posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra 𝑃, na ilustração. 
 
 
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A direção norte-sul é a mesma do eixo 𝑦, sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento 
de 𝑦, e a direção leste-oeste é a mesma do eixo 𝑥, sendo que o sentido leste é o sentido de 
crescimento de 𝑥. 
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô: 4 norte, 2 
leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas 
direções correspondentes, e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano. 
 
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no plano cartesiano, será 
a) (0;  2). 
b) (0;  3). 
c) (1;  2). 
d) (1;  4). 
e) (2;  1). 
 
7. (Ufrn) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, 
no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o 
jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças. 
Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da 
geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano 
cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do 
plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o 
registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um 
anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida 
sem perceber que um deles havia ganhado. 
 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que 
anotava sua jogada com a cor 
a) cinza, em sua terceira jogada. 
b) preta, em sua terceira jogada. 
c) cinza, em sua quarta jogada. 
d) preta, em sua quarta jogada. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
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As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas 
necessidades de sobrevivência. O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a 
própria história humana no decorrer dos tempos. Assim como para os índios mundurucus, do 
sul do Pará, os waimiri-atroari, contam somente de um até cinco, adotando os seguintes 
vocábulos: awynimi é o número 1, typytyna é o 2, takynima é o 3, takyninapa é o 4, e, 
finalmente, warenipa é o 5. 
 
Texto Adaptado: Scientific American – Brasil, “Etnomatática”. Edição Especial, Nº 11, ISSN 
1679-5229 
 
 
8. (Uepa) Considere 𝐴 o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem 
dos waimiriatroari, ou seja, 𝐴 = {1,2,3,4,5}. Nestas condições, o número de elementos da 
relação 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴|𝑦 ≥ 𝑥} é igual a: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 15. 
d) 20. 
e) 25. 
 
9. (Ufsm) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa 
livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida 
por R = {(x,y) ∈ A × B │ x ≥ y}. Dessa forma, 
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} 
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} 
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} 
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} 
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8} 
 
10. (Uepb) Os conjuntos 𝐴 e 𝐵 têm, respectivamente, 5 − 𝑥 e 3𝑥 elementos e 𝐴 × 𝐵 tem 8𝑥 + 2 
elementos. Então, se pode admitir como verdadeiroque: 
a) A tem cinco elementos 
b) B tem quatro elementos 
c) B tem seis elementos 
d) A tem mais de seis elementos 
e) B tem menos de três elementos 
 
11. (G1 - cftce) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos 
da seguinte relação: R = {(x, y) ∈ A × B │ y = x + 1}. 
 
12. (Uel) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, 
definida por R = {(x,y) ∈ A x B │ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto 
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} 
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} 
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)} 
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} 
e) {(2,0), (2,2), (2,4)} 
 
13. (G1 - cftmg) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) ∈ P x P │ x + y < 3}, o número de 
elementos do conjunto R é igual a 
 
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a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
14. (Ufrn) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto 
cartesiano K × K. 
 
 
15. (Ufv) Os pares ordenados (1,2), (2,6), (3,7), (4,8) e (1,9) pertencem ao produto cartesiano 
A×B. Sabendo-se que A×B tem 20 elementos, é CORRETO afirmar que a soma dos elementos 
de A é: 
a) 9 
b) 11 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
A distância entre os pontos 𝑃 e 𝑄 no percurso indicado é igual a 
 
(550 − 30) + (320 − 20) = 820. 
 
Logo, a distância entre 𝑇 e os pontos 𝑃 e 𝑄 deverá ser de 
820
2
= 410. Portanto, como 30 +
410 = 440 < 550, segue-se que 𝑇 = (440,  20). 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Analisando o gráfico, percebe-se que a velocidade atinge valor igual a zero entre os minutos 6 
e 8, portanto o carro permaneceu imóvel por 2 minutos. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Esboço do trajeto descrito pelo avião 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
As diferenças entre as ordenadas de dois pontos de abscissas consecutivas são: 20 − 0 = 20, 
35 − 20 = 15, 40 − 35 = 5, 55 − 40 = 15, 75 − 55 = 20, 85 − 75 = 10, 105 − 85 = 20 e 120 −
105 = 15. 
 
Em consequência, como as potências das lâmpadas são distintas, só pode ser 
1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Após 2 horas, a formiga que caminhou horizontalmente para o lado direito caminhou 8 km 
(velocidade de 4 
𝑘𝑚
ℎ
). Assim sua coordenada será (8;  0). 
 
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Após 2 horas, a formiga que caminhou verticalmente para cima caminhou 6 km (velocidade de 
3 
𝑘𝑚
ℎ
). Assim sua coordenada será (0;  6). 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Tem-se que 𝑃 = (−1,  1). Portanto, após realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do 
robô, no plano cartesiano, será (−1 + 2,1 + 4 − 3) = (1,  2). 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
De acordo com a sequência de jogadas apresentada, podemos concluir que o jogador que 
ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor cinza, em sua terceira jogada, ou 
seja, na jogada (1,  3). 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
É fácil ver que o resultado pedido é dado por 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Sendo 𝑥 ∈ ℕ, e sabendo que 𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑛(𝐴) ⋅ 𝑛(𝐵), vem 
 
8𝑥 + 2 = (5 − 𝑥) ⋅ 3𝑥 ⇔ 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 
   ⇒ 𝑥 = 2. 
 
Portanto, segue que 𝑛(𝐵) = 3 ⋅ 2 = 6. 
 
Resposta da questão 11: 
 R = { (0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9) } 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Resposta da questão 15: 
 [C]