Lista de Questões Dissertativas - Revisão 2 Fase REVISADA

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Lista de Exercícios – Questões Dissertativas 
Revisão 2ª Fase - Waldemática 
 
Álgebras 1 e 2 
1. Vunesp 
A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui quatro 
unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao conjunto original, a média 
aritmética dos elementos desse novo conjunto aumenta três unidades em relação a média inicial. Qual o 
valor da soma dos elementos originais do conjunto? 
 
2. UFES 
Em um grupo de 57 pessoas, 3 pessoas gostam de arroz-doce, brigadeiro e cocada; 7 pessoas gostam de 
brigadeiro e cocada; 8 pessoas gostam de arroz-doce e cocada; 10 pessoas gostam de arroz-doce e 
brigadeiro. O total de pessoas do grupo que gostam de cocada é 15, de brigadeiro é 25 e de arroz-doce é 
30. Calcule o número de pessoas do grupo que: 
a) gostam de pelo menos um dos três doces; 
b) não gostam de nenhum dos três doces; 
c) gostam de arroz-doce, mas não gostam nem de brigadeiro nem de cocada. 
 
3. UFG-GO 
O gráfico a seguir representa, em um semicírculo, como foi a evolução do Ideb (Índice de 
Desenvolvimento da Educação Básica) de 2011 em comparação ao Ideb de 2007, considerando-se as 2 
700 escolas públicas brasileiras que obtiveram as menores notas em 2007. 
 
Pelo gráfico, sabe-se que as escolas que melhoraram mas não atingiram a média nacional são 
representadas pelo setor circular determinado por um ângulo de 140° e que os setores circulares que 
indicam as escolas que mantiveram a mesma nota e as que pioraram correspondem a 2/35 e 1/7, 
respectivamente, da área do setor circular que indica as escolas que tiveram melhora, mas não atingiram a 
média nacional. Diante do exposto, determine o número das escolas que melhoraram e atingiram a média, 
das que mantiveram a nota e das que pioraram. 
 
 
 
 
4. Unifesp 
A heparina é um medicamento de ação anticoagulante prescrito em diversas patologias. De acordo com a 
indicação médica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades de heparina por quilograma por 
hora (via intravenosa). 
No rótulo da solução de heparina a ser ministrada, consta a informação 10.000 unidades/50 mL. 
a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente deverá receber por hora. 
b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá receber 1 gota a cada x segundos. 
Calcule x. 
 
5. UFRN 
O sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos 
lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras, 
perpendiculares e ele (ver figura). 
 
Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, quais são os valores de x e y, respectivamente? 
 
6. FGV 
Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeira qualidade é 
anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidade n = 400 − 5p 
quilogramas nesse dia (20 ≤ p ≤ 60). 
No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos é conhecida e o gerente paga ao fornecedor a 
quantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma vendido. 
a) Determine a quantia que o gerente arrecada, quanto paga ao fornecedor e qual é o seu lucro quando 
anuncia o preço p = 32 reais por quilograma. 
b) Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo. 
 
7. Mackenzie-SP (Adaptado) 
Dadas as funções reais definidas por f(x) = |x|2 – 4|x| e g(x) = |x2 – 4x|: 
a) esboce o gráfico de cada uma dessas funções; 
b) determine o conjunto solução da equação f(x) = g(x). 
 
8. UFF-RJ 
Considere a função h(x) = a (x – b)2. Sabe-se que o gráfico de h contém os pontos (1, 0) e (0, 2). 
a) Determine os valores das constantes a e b. Justifique sua resposta. 
b) Sabendo-se que h(x) = (fog)(x), em que f(x) = 2x2 e g(x) é uma função afim decrescente, determine g(3). 
Justifique sua resposta. 
c) Resolva a equação f(x) – h(x) = |x|. 
 
9. UFPR 
O gráfico a seguir corresponde a uma função exponencial da forma f(x) = 2ax +b, sendo a e b constantes e x 
∈ IR. 
 
a) Calcule os valores a e b da expressão de f(x) que correspondem a esse gráfico. 
b) Calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 1. 
c) Dado k > 0 qualquer, mostre que o ponto x = log2(4k
2) satisfaz a equação f(x) = k. 
 
10. Unicamp 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que 
apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 − 2− 0,1T) 
a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apre-
sentado falhas? 
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o 
modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado 
por uma função na forma Q(T) = 100(1 − 2CT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de 
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor 
obtido empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se 
necessário, utilize log2(7) ≈ 2,81. 
 
11. Fuvest 
Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos é dada por Sn = bn
2 + n, 
sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine: 
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética; 
b) o 20
o
 termo da progressão; 
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão. 
 
12. Unifesp 
Em uma sequência de 8 números, a1, a2, ..., a7, a8, os 5 primeiros termos formam uma progressão 
aritmética (PA) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (PG) de primeiro 
termo 2. 
Sabendo que a5 = a6 e a4 = a7: 
a) determine as razões da PA e da PG; 
b) escreva os oito termos dessa sequência. 
 
13. UFPR 
Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 – i, sendo i = 1 a unidade imaginária. 
a) Escreva os números z3 e z 4 na forma x + iy. 
b) Sabendo que z, z e 2 são raízes do polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, calcule os valores de a, b e c. 
 
14. UFMG - Adaptada 
a) Escreva, na forma trigonométrica, os números complexos z = 3 + i e w = 2 2 (1 + i), em que i2 = -1. 
b) Calcule os menores inteiros positivos m e n tais que:     nm ii  1223 
 
15. Unicamp 
O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18 tem três raízes: r, –r e s. 
a) Determine os valores de r e s. 
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. 
 
16. Fuvest 
Seja o sistema 








mmzyx
zmyx
zyx
3
03
02
 
a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução. 
b) Resolva o sistema, supondo m = 0. 
 
17. Unicamp 
Considere a matriz A = 












02
01
11
c
b
a
, onde a, b e c sejam números reais. 
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que AT = A. 
b) Dados a = 1 e b = 1, para que valores de c e d o sistema linear A  










z
y
x
 = 










d
1
1
 tem infinitas soluções? 
 
18. UFBA 
Durante uma reunião, ocorreu uma divergência quanto à formação de uma comissão gestora a ser 
escolhida entre os presentes. Um grupo defendia uma comissão com três membros, sendo um presidente, 
um vice-presidente e um secretário. Outro grupo queria uma comissão com três membros sem cargos 
definidos. A primeira alternativa oferece 280 possibilidades de escolha a mais que a segunda. 
Determine o número de pessoas presentes à reunião, sabendo-se que esse número é maior que 7. 
 
19. ITA 
Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos formados com os 
elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62.417 ocupa o n-ésimo lugar. Calcule o valor de n. 
 
20. UERJ 
Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o 
jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que essetrio de arbitragem seja escolhido 
aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha, 
um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal. 
Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal. 
 
21. Vunesp 
Duas máquinas, A e B, produzem, juntas, 5 000 peças em um dia. A máquina A produz 2 000 peças, das 
quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3 000 peças, das quais 3% são defeituosas. 
Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatou-se que ela é 
defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A? 
 
22. PUC 
Em uma caixa, existem 10 bolas vermelhas numeradas de 1 a 10 e também 10 bolas verdes numeradas 
de 1 a 10. 
a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma de número 3? 
b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabilidade de ele obter 2 bolas com o mesmo número? 
c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma verde com um 
número par? 
 
23. UERJ 
Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as regiões I, II e III, conforme 
mostra a ilustração. 
 
 
Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as 
regiões I, II e III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII. 
Para esse atirador, valem as seguintes relações: 
PII = 3PI 
PIII = 2PII 
Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a região I exatamente duas vezes ao fazer dois 
lançamentos. 
 
 
Geometria Plana, Espacial e Analítica 
24. UERJ 
Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela seguinte estrutura: 
-duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes 
e formam o ângulo DÂE igual a 45 
-uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu 
ponto médio M; 
-um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade; 
nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes. Observe o esquema que representa essa 
estrutura: 
 
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta 
que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada. Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85º. 
 
25. Fuvest 
Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com 
formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no 
ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a 
P e de θ a medida do ângulo QPR. 
 
a) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ? 
b) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a PQ? 
c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre uma expressão, em função de θ, para a medida α do ângulo 
agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira 
reflexão na borda. 
 
26. UERJ 
Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e 
papel. 
 
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das 
varetas, e o papel reveste a área total da pipa. 
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ABC e ADC são retos. 
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18cm e 32cm, determine o comprimento total da linha, 
representada por AB + BC + CD + DA. 
 
27. Unicamp 
Considere um hexágono, como o exibido na figura a seguir, de cinco lados com comprimento 1 cm e um 
lado com comprimento de x cm. 
 
a) Encontre o valor de x. 
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150º. 
 
28. UEL 
Uma indústria de café desenvolveu uma logomarca inspirada na bandeira do Brasil, como ilustrado no 
esboço a seguir. 
 
O idealizador fez seu esboço em um plano cartesiano com unidades de medida em centímetros. A partir 
das informações presentes nesse esboço, determine a área sombreada da logomarca. Justifique sua 
resposta apresentando os cálculos realizados. 
 
29. Fuvest 
São dadas três circunferências de raio r, duas tangentes. Os pontos de tangência são . e , 321 PPP 
 
Calcule, em função de r: 
a) o comprimento do lado do triângulo equiláteroT determinado pelas três retas que são definidas pela 
seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira; 
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto 321 e , PPP aos dois 
vértices do triânguloT mais próximos a ele. 
 
30. UFG 
Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos 
misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos 
seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices 
de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum. 
 
Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três 
círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores. 
 
31. UFG 
O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para 
abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo 
com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à 
cinta para rebocá-lo. 
 
Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do 
volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg 
com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 
 
32. Unicamp 
Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os 
comprimentos das arestas, 𝑎 e 𝑏, são tais que 𝑎 > 𝑏 > 0. 
 
a) Determine a razão 𝑟 = 𝑎/𝑏 para a qual o volume de 𝑆1 é igual à soma dos volumes de 𝑆2 e 𝑆3. 
b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 𝑐𝑚, determine 
a soma das áreas de superfície dos três sólidos. 
 
33. UFJF 
Na figura a seguir, ABCD é um tetraedro regular de lado L e N é um ponto sobre a aresta AC tal que 
NCAN 2 . 
 
a) Calcule DN. 
b) Calcule a área do triângulo BDN. 
 
34. UEL 
Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente de formato cônico com 
uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir. 
 
Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice 
deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade de sua capacidade? 
Despreze a espessura do material do qual é feito o recipiente. Apresente os cálculos realizados na 
resolução desta questão. 
 
35. UFPE 
Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em 
esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o 
diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? 
 
36. UERJ 
Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos centros A e 
B de dois municípios. Em seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em 
quilômetros, em que A  (1, 2) e B  (7,14). Observe o gráfico: 
 
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte desse trecho retilíneo da 
ferrovia. 
 
37. UFJF 
Considere os pontos A = (2, 0), B = (-1, 3 ) e C = (-1, -3 ) em um plano cartesiano. 
a) Determine o ângulo A B̂ C 
b) Calcule a área do triângulo ABC. 
 
38. PUC 
A figura abaixo mostra uma reta e uma parábola de eixo vertical. 
 
a) Sabendo que a reta corta os eixos nos pontos  2,0 e  0,2 , encontre a equação da reta. 
b) Sabendo que a parábola corta os eixos nos pontos  0,8 ,  2,0 e  4,0 , encontre a equação da 
parábola. 
c) Encontre os pontos de interseção entre a reta e a parábola. 
 
 
39. UFJF 
Considere a circunferência C: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9. 
a) Determine se o ponto A = (4, -3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C. 
b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y = ax possuam dois pontos em 
comum. 
 
TRIGONOMETRIA 
40. PUC – Modificado 
Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado 
um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M 
representam os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R 
representa o refeitório. 
 
Se o escritório da coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e 
masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos 
metros ele distará do refeitório? 
 
41. Vunesp 
Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do 
farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura: 
 
a) Admitindo-se que sen α = 3/5, calcule a distância x. 
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o 
ângulo α passou exatamente para 2α, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do 
farol. 
 
42. Vunesp 
A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (P, em mmHg) em função do tempo (t, em 
segundos) está representada no gráfico seguinte. 
 
Observe que a imagem da função está no intervalo [80, 120] e que seu período é de 0,75 segundos, ou 
seja, 3/4 de segundos. 
Com base nessas informações, determine uma função da forma y = a + b · cos(k · t), em que a, b e k são 
constantes reais, que represente esse gráfico. 
 
43. Fuvest 
Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < /2 e /2 < y < , satisfazendo sen y = 4/5 e 11 sen x + 5 cos 
(y – x) = 3. 
Nessas condições, determine: 
a) cos y; 
b) sen 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 240 
 
2. 
a) 48 
b) 9 
c) 15 
 
3. 120 escolas mantiveram a nota, 300 escolas pioraram e 180 
escolas melhoraram e atingiram a média. 
 
4. 
a) 36 mL/h 
b) x = 5 
 
5. x = 30 m e y = 90 m 
 
6. 
a) Arrecadação: R$ 7.680,00; pago ao fornecedor: 
R$ 2.600,00; lucro: R$ 5.080,00 
b) p = R$ 45,00 
 
7. 
a) gráficos 
b) S = {x ∈ IR| x = 0 ou x ≥ 4} 
 
8. 
a) a = 2; b = 1 
b) g(3) = – 2 
c) x < 0 e x = 2/5, sistema incompatível 
 x > 0 e x = 2/3 
 
9. 
a) a = 1/2 
b) x = 2 
c) demonstração 
 
10. 
a) T = 20 anos 
b) C = -0,019 
 
11. 
a) r = 12/5 
b) a20 = 239/5 
c) S20 = 500 
 
12. 
a) r = 1/4 e q = 7/8 
b) 1, 5/4, 3/2, 7/4, 2, 2, 7/4, 49/32 
 
13. 
a) z
3
 = -2 + 2i e z
4
 = -4 + 0i 
b) a = -4, b = 6 e c = -4 
 
14. 
a) z = 2 (cos 30° + i sen 30°) e w = 4 (cos 45° + i sen 45°) 
b) n = 24 e m = 48 
 
15. 
a) r = 3 e s = 2 
b) p(z) = 7 – 11i 
 
16. 
a) m ≠ - 3 
b) S = {(3α, -α, α)} 
 
17. 
a) a = 0, b = 2 e c = -1 
b) c = 0 e d = -4 
 
18. n = 8 
 
19. 81ª. Posição 
 
20. 1/10 
 
21. 4/13 
 
22. 
a) 1/10 
b) 1/19 
c) 1/4 
 
23. 1% 
 
24. 17º 30´ 
 
25. 
a) 60º 
b) 30º 
c) α = 180 - 3θ 
 
26. 140 cm 
 
27. 
a) x = 5 
b) Demonstração 
 
28. (4 - ) cm
2
 
 
29. 
a) L = 2r(3 + 1) 
b) Área = r
2
(3 + 3) 
 
30. 4/3 
 
31. V = 24.105,6 m
3
 
 
32. 
a) r = (1 + 5)/2 
b) A = 50 cm
2
 
 
33. 
a) DN = (L7)/3 
b) A = (L
2
19)/12 
 
34. x = 30
3 4 cm 
 
35. 48 esferas 
 
36. x + 2y – 20 = 0 
 
37. 
a) 60º 
b) 33 u.a. 
 
38. 
a) x – y + 2 = 0 
b) y = x
2
 – 6x + 8 
c) (1, 3) e (6, 8) 
 
39. 
a) Pertencente à circunferência C 
b) a < 0 ou a > ¾ 
 
40. 10 metros 
 
41. 
a) x = 48 m 
b) x´= 10,5 m 
 
42. y = 100 – 20 cos(8t/3) 
 
43. 
a) cos y = -3/5 
b) sen(2x) = 120/169