Aula 1 - Isostática

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 1: Isostática
Apresentação
A análise estrutural é a fase do projeto na qual é feita a idealização do comportamento da estrutura. Nesta aula,
apresentaremos o método de análise para calcular as deformações em estruturas isostáticas.
Reconheceremos o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos Trabalhos Virtuais, por meio de suas duas
formulações — Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais. O objetivo é dar subsídios para os
Métodos das Forças e o Método dos Deslocamentos. A capacidade de uma estrutura de resistir às solicitações que lhe são
impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura quando o carregamento for excessivo. É necessário reconhecer esta
capacidade para que se projete com segurança.
Objetivos
• Aplicar o princípio dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos;
• Reconhecer o Método da Carga Unitária.
Resistência dos materiais — Relembrando alguns conceitos
básicos
Este item é para relembrar o conceito de deformação estudado em Resistência dos Materiais, como pode ser visto nas Figuras
1 e 2.
1
 Figura 1 — Viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q em toda a viga.
 Figura 2 — Deformação da viga após aplicação da carga distribuída q.
A tendência da estrutura de voltar à forma original devido à carga representa a elasticidade do material (da estrutura). Quanto
mais uma estrutura tende a voltar à sua forma original, mais elástico é seu material.
Toda a estrutura sofre uma deformação, mesmo que imperceptível. A maior parte da deformação é provocada pela �exão
(Momento Fletor). A deformação pode ser de dois tipos, vejamos.
Deformação elástica
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, ela se deforma, mudando a posição de seu eixo. A forma que a viga
toma é descrita pela sua elástica e pelas suas deformações.
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta à sua forma original, conforme pode ser visto
na Figura 4.
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 Figura 4 — Deformação elástica. Após a retirada da carga distribuída a viga volta à forma inicial.
Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica. A �exão pura, sim. Logo, é o momento �etor que causa a
deforma na estrutura.
Quando a viga é �exionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo:
• uma de�exão (u) e
• uma rotação (q).
As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de Resistência dos Materiais, logo, temos:
• Deformação devido a uma rotação:
  = dθ
dx
M
E I
( )M
E×I
• Deformação linear:
  =  yd
2
dx2
M
EI
A maioria dos projetos será tratada no regime elástico do material.
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas
Teorema dos trabalhos virtuais sobre corpos elásticos.
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual.
Comentário
Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças P tais que sua resultante R é nula.
Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema, ou seja, mantendo R
= 0.
Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria
necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Então, teremos,
este deslocamento δ, dado nestas condições (R = 0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de
deslocamento virtual.
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças P (reais), que atuam sobre o ponto m, quando ele sofre o deslocamento
virtual δ vale W = δ . R = 0. Dizemos, então, que, ‘para um ponto material em equilíbrio (R = 0), o trabalho virtual realizado pelo
sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é
nulo’, o que constitui o princípio de d’Alembert.
SUSSEKIND, v. 2, cap. 1., s/d.
i
i
Deformação linear — Principio dos trabalhos virtuais (PTV)
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário, portanto. Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um
deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural.
O trabalho virtual pode ser considerado como aquele produzido em uma das duas situações:
• Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual;
• Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real.
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual o provocado por alguma outra
ação que não o sistema de carregamento em questão, atuante na estrutura.
Esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada, e o deslocamento
calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força.
O PFV utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, completamente independente do
sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou uma rotação.
A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à �exão
resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos �etores nos sistemas
real e virtual.
A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em
uma barra.
Método da carga unitária (MCU)
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com
valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU).
O MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em
estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), sua formulação geral pode
ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não linear.
2
Pelo MCU, considera-se outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual
unitária P correspondente ao deslocamento provocado ∆.
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Tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, . O trabalho virtual nesse caso é devido a forças virtuais e
deslocamentos reais.
O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento:
δ   =  δWext Wint
δ U =  P   Δ  = 1  ×  Δ  =  Δ
Assim:
△=  fedu  =    mdθ  +   qdλ  +   td∅∫
ext
∫
ext
∫
ext
∫
ext
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas anteriormente, na equação geral do MCU acima,
tem-se:
△=   dx  +     dx  +    fs dx  +     d∅∫
ext
fF
EA
∫
ext
mM
EI
∫
ext
vV
GA
∫
ext
tT
Gj
Exemplos de exercícios
O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) e do Método da Carga Unitária (MCU) será explicado detalhadamente por
meio do exemplo de exercício a seguir.
Exemplo 1
Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da viga. Figura 5.
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h)
E = 3 x 10 kN/m7 2
 Figura 5 — Viga Isostática biapoiada de 4 metros de comprimento com carregamento distribuído de 20 kN/m
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga
Como a viga é simples não precisamos determinar as reações de apoio para desenhar o diagrama de momento �etor (a viga é
simétrica).
Lembrando-se de que para calcular a deformação por esse método, que é a multiplicação dos momentos �etores, temos que
desenhar momentos �etores para o caso real e virtual.
2º Passo: Apósachar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento
�etor
Sabemos que nos apoios o momento é zero e com uma carga distribuída de 20 kN/m, temos um momento �etor de ql2/8 no
meio da viga. Como pode ser visto na Figura 6.
 Figura 6 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema Real M=q l28=20× 428=40 kNm
3º Passo: calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais
Para calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais, na mesma viga (tirando a carga real) colocando uma força (virtual) de valor
de P = 1 kN (método da carga unitária), no ponto onde queremos saber a deformação linear (no exemplo será no meio da viga) e
desenhar o diagrama de momento �etor da viga (Figura 7)
 Figura 7 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual
M   =   =   = 1kNmPab
l
1 x 2 x 2
4
4º Passo: Equações da Deformação
Para estruturas compostas por barras retas de inércias constantes, a fórmula da deformação:
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI 
Deformação será a combinação dos diagramas de momentos �etores (real e virtual) ao longo do comprimento (x), dividido pelo
produto de rigidez à �exão (E I). Obteremos por um simples uso da Tabela de Kurt Beyer, simpli�cando muito o trabalho numérico
dos problemas a solucionar.
5º Passo: Calcular a σ
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI
A multiplicação dos dois momentos �etores, o de carga distribuída com o de carga concentrada, lembrando-se de que os dois
momentos são positivos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
13L'1 +   ∝ βL2MM  
Ao usar a Tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da multiplicação dos dois momentos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
 L'  (1 + )M13 αβL2 M̄̄̄
 Figura 8 — Tabela de Kurt Beyer (4ª coluna com a 10ª linha)
Ao colocarmos a fórmula na integral da deformação, temos:
δ = [ L' (1 + )M ]1
EI
1
3
αβ
L2
M̄̄̄
Onde:
L' = 4m (comprimento da viga)
a = 2m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual)
b = 2m (comprimento do lado direito da carga pontual)
M = 40kNm
M = 1kNm
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
δ = [ x4x (1 + )1 ]1
EI
1
3
2x2
42
x40
δ =  x 1
EI
200
3
Onde:
I = bh /12 = 0,0170667m
E = 3 x 10 kN/m
E I = 512000kNm
Temos a deformação no meio da viga de:
O resultado da deformação deu positivo, logo signi�ca dizer que a deformação é para baixo, conforme está aplicada a força de
1kN.
Na Figura 9 temos o resultado da deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia da viga). Observa-se que o resultado deu
Dy = -1,302 e-4m.
3 4
7 2
2
δ = 0, 0001302 m ↓
 Figura 9 — Resultado do Programa Ftool. Deformação Dy = -1,302 e-004m
E por �m, na Figura 10 segue a Tabela de Kurt Beyer.
 Figura 10 — Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg <https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg>
Saiba mais
Esse conhecimento não se esgota por aqui. Para saber mais sobre outros exemplos desta construção acesse a leitura Exemplo
de Exercícios <galeria/aula1/anexo/doc01.pdf> .
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
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Atividade
1. Calcular a deformação na seção A. Considerar EI = 63800 kN/m .2
2. Calcular a deformação na seção C. Considerar E = 2.0e+07kN/m2 e a seção da viga = 0,30 x 0,50m.
3. Calcular a deformação no meio do pórtico (2,50m). Considerar EI = 1.0e+08kN/m2.
4. Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
5. Calcular a deformação no meio do vão da viga (seção S). Considerar 5208,33kNm2.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Referências
CELSA, Cleusa Gimenes. Organização de eventos: manual para planejamento e execução. 9. ed. São Paulo: Summus, 2009.
COUTINHO, Helen Rita Menezes. Organização de eventos: Centro de Educação Tecnológica do Amazonas, 2010.
MATIAS, Marlene. Organização de eventos. Procedimentos e técnicas. 5. ed. Barueri (SP): Manole, 2010.
MEIRELLES, Gilda Fleury. Eventos: seu negócio, seu sucesso. Brasil: IBRADEP, 2003.
SEBRAE — Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas. Guia prático de eventos gastronômicos: saiba como
idealizar o seu. Brasília, 2016.
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
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https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
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https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
• Método das Forças;
• As reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
• Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Aprimore seus conheceimentos. Acesse:
• CADTEC. Centro Avançado de Desenvolvimento Tecnológico e Ensino da Computação Grá�ca. Departamento de Engenharia
de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Análise Estrutural I. Disponível em //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum
/arquivos/apostila_ptv.pdf <//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
• MARTHA, Luiz Fernando. Soluções fundamentais. Disponível em: //coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads
/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf <//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
• PROFWILLIAN. Exercícios – Hiperestática – Método da Carga Unitária. Disponível em: //www.profwillian.com/estruturas
/HiperMCU.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
• ______. Hiperestástica. Disponível em: //www.profwillian.com/estruturas/ <//www.profwillian.com/estruturas/> . Acesso em:
03 dez. 2018.
• Método da Carga Unitária. Cálculo de deslocamento em vigas isostáticas – Lista de Exercícios. Disponível em:
//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf> . Acesso
em: 03 dez. 2018.
• SILVA, Isaac N. L. Mecânica do contínuo. Método dos trabalhos virtuais. Disponível em: //www.politecnica.pucrs.br/~isaac
/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf <//www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf> . Acesso em: 03 dez.
2018.
Vídeos
• AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação linear - Princípio dos Trabalhos Virtuais #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE <https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE>.
Acesso em: 03 dez. 2018.
• AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 01/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM <https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
• AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 02/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE <https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
• AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas Isostáticas - Deformação por rotação e De�exão de uma viga (ISO 12) #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA <https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
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