P2 - 2012.2 - Gabarito (Solução)

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P2 - Probabilidade e Estatística – 2012.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
Problema 1 (1.6 pts) (Demonstrações 
a) (0.4 pt) - Se X é uma v.a. discreta, descreva o domínio de X, caso X fosse: Bernoulli, Binomial, 
Binomial Negativa, Geométrica e Poisson. 
SOLUÇÃO 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
 
b) (0.4 pt) - Seja 
nXXX ,..., 21
 uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N(μ,
)2
. 
Se 
nXXXY  ...21
, quem é a distribuição de Y? E da v.a 
nY
. 
 SOLUÇÃO 
- 
),(~
2
yyNY 
, onde 
iy  
 e 
22
iy  
 
-
),(~
2
yyN
n
Y

, onde 
n
i
y




 ou
i
 e 
n
i
y
2
2 


 
 
c) (0.4 pt) - Quais as propriedades que a função de densidade f(x) de uma v.a. Normal deve ter? 
SOLUÇÃO 
- f(x) como definida integra a 1. 
- f(x) > 0 sempre. 
- Os limites de f(x) quando x tende a +  e -  são iguais a zero. 
- A densidade N(μ, σ2) é simétrica em torno de μ, ou seja: f(μ + x) = f(μ - x) 
- O valor máximo de f(x) ocorre em x = μ 
- Os pontos de inflexão de f(x) são x = μ + σ e x = μ – σ. 
 
d) (0.4 pt) – Na transformação de v.a. contínuas, existem dois métodos. Quais são eles? Quando 
usar um e o outro? 
SOLUÇÃO 
- O método da função de distribuição 
- O método do jacobiano 
 
- O método da função de distribuição é bastante geral, não há restrição, pois pode ser 
empregado para transformações não injetoras e injetoras. 
- O método do Jacobiano requer que a função Y = h(X) seja injetora. 
 
 
 
 
Problema 2 (1.6 pts) O administrador de um hospital estudou o número de emergências cardíacas 
diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, concluiu que elas estão distribuídos de acordo com 
um modelo de POISSON, com média de três (3) emergências por dia. 
 
a) (0.8 pt) - Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 
emergências? 
b) (0.8 pt) - Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três 
emergências? 
 
SOLUÇÃO 
 Distribuição Poisson 
X~Poisson(μ) 
E(X) = μ 
 
a) Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 
emêrgências? 
 
1 dia - 3 emergências 
 
X~Poisson(μ=3) 
Pr(X≥3) = 1 – Pr(X<3) 
F(2) = 1 – [f(0)+f(1)+f(2) 
f(0) = Pr(X=0) = 
050,0
!0
.3 30

e
 
f(1) = Pr(X=1) = 
149,0
!1
.3 31

e
 
f(2) = Pr(X=2) = 
224,0
!2
.3 32

e
 
 
F(2) =1 – [0,050 + 0,149 + 0,224]= 0,577 = 57,7% 
 
 
b) Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três emergências? 
1 dia - 3 emergências 
2 dias - 6 emergências 
 
X~Poisson(μ=6) 
Pr(X≤3) 
 
F(2) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 
f(0) = Pr(X=0) = 
03
60
1048,2
!0
.6 

 x
e
 
 
f(1) = Pr(X=1) = 
0149,0
!1
.6 61

e
 
f(2) = Pr(X=2) = 
0446,0
!2
.6 62

e
 
f(3) = Pr(X=3) = 
0892,0
!3
.6 63

e
 
 
 
F(3) =2,48.10-03 + 0,0149 + 0,044 + 0,0892 = 0,1512 = 15,12% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (2.6 pts) A duração (Y) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade 
Rayleigh, mostrada a seguir. 
 
 
 
Pede-se: 
a) (1.0 pt) Densidade de 
4
2Y
Z 
. 
b) (0.4 pt) Quem é esta densidade da variável aleatória Z? 
c) (0.6 pt) Prob(Z
)5
 e Prob 
)21(  Z
, para 

=2. 
d) (0.6 pt) Média e a Variância de “Z”, para 

=2. 
 
 
SOLUÇÃO 
a) Achara a Densidade de 
4
2Y
Z 
. 
 
Seja: 
 
 
 
4
2Y
Z 
 , é injetora y>0 
 
4
2y
z 
 

 
zy 42 
 

 
zy 2
 

 
2
1
2zy 
 
2
1
.
2
1
.2

 z
dz
dy  
zdz
dy 1

 
 
dz
dy
yfzg ).()( 
 
z
e
z
zg
z
1
..
2.2
)(
4




 

 


z
ezg
4
.
4
)(


 
 


z
ezg
4
.
4
)(


 
 
 
 
 
 
 
 
  0y onde exp
2 2













 
yy
yf
  0 y onde 












 
2
exp
2 yy
yf
 
 
b) Quem é esta densidade da variável aleatória Z? 
 
Z ~ EXPONENCIAL (

4
) 
 
 
 
 
c) Prob(Z
)5
 e Prob 
)21(  Z
, para 

=2. 
 
 
I – Prob (1≤Z≤2). 
 




3
1
).()21Pr(
y
y
dzzfZ
 
 





2
1
4
..
4
z
z
z
dye 

 = 
2
1
4
4
.
4


















z
e
 = 
2
1
4










z
e =











zz
ee
44 =










2
1.4
2
2.4
ee
= 
 (-0,01832 +0,13534) = 0,1170 
 




y
y
dzzfZ
5
).()5Pr(
 









z
z
z
dye
5
4
..
4 = 




0
4
4
.
4















z
e
 = 


5
4









z
e =











zz
ee
44 =










2
5.4
2
.4
ee
 = 4,54.10
-5 
ou 






5
0
4
..
4
1
z
z
z
dye 

 = 1 - 
5
0
4
4
.
4


















z
e
 = 1 - 
5
0
4










z
e = 1 - 











0.45.4
ee
= 1 -  110.54,4 5   = 
 = ( 1 -0,9999546) = 4,54.10
-5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Média e a Variância de “Z”, onde 

=2. 
 
Densidade exponencial é: 
 
 
 
Se X é Exponencial com parâmetro λ, então: 
 
 
 
 
Se “Z” é exponencial com parâmetro 

4
, e 

=2, então: 
 
Média (Z) 

4
1
)( ZE
 

 
2
1
4
)( 

ZE
 
Variância (Z) 
2
2
4
1
)( 








ZVAR
 

4
1
16
)(
2


ZVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
2
( ) 1/
( ) 1/
E X
VAR X




 
Problema 4 (2.8 pts): Os resultados de um certo teste de medida que mede o peso em uma 
população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 64 kg e desvio 
padrão 16 kg. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes: 
a) (0.7 pt) Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as 
pontuações que delimitam esses grupos? 
b) (0.7 pt) Qual a probabilidade de alguém pesar entre 57 kg e 74 kg? 
c) (0.7 pt) Se os 25 alunos matriculados em Engenharia Civil que fazem a matéria de PROBEST 
fizerem o teste, qual é a probabilidade que tenham o peso médio superiores a 70 kg? 
d) (0.7 pt) Dentre 25 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que teve o peso 
maior, não exceda 70 kg no teste? 
 
SOLUÇÃO 
X~Normal(64,162) 
 
a) Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que 
delimitam esses grupos? 
 
a.1) Pr (Q1) = 75% 
 Ф(Q1) = 0,75 
 
 ZQ1 = -0,675 Φ(Q1) = 75% 
 Φ(Q2) = 50% 
 ZQ1= 
 

1Q Φ(Q3) = 25% 
 Q1 = (-0,675x16) + 64 = 53,2 
 
 
 
 Q1 Q2 Q3 
5 25 45 
a.2) Pr (Q2) = 50% 
 Ф(Z) = 0,50 
 
 ZQ2 = 0 
 
Q2 = (0x16) + 64 = 64,0 
 
 
a.3) Pr (Q3) = 25% 
 Ф(Q3) = 0,25 
 
 ZQ3 = 0,675 
 
Q3 = (0,675x16) + 64 = 74,8 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de alguém pesar entre 57 kg e 74 kg? 
 
 Pr(X>57) Pr(X>74) 
 Pr
)7457(  X
 = Pr 





 




16
6474
16
64
16
6457 X= Pr 





 


16
6474
16
6457
Z 
 
 57 74 
 32 64 96 
 
 =Pr(-0,4375<Z<0,625) 
 
 
Tabela lado esquerdo 
 
 
Pela tabela: Ф (-0,4375) = 1 – 0,6688 = 0,3312 
 
Pela tabela: Ф (0,625) = 0,7341 
 
 Zo=-0,4375 0 Zo=0,625 
Pr (57<X<74) = 0,7341 – 0,3312 = 0,4029 = 40,29% 
 
Ou 
 
Pr (57<X<74) = 1 – [(0,3312 + (1-0,7341)] = 0,4029 = 40,29% 
 
 
 
Tabela lado direito 
 
 
 
 
Pela tabela: Ф (-0,4375) = 1 - 0,3312 = 0,6688 
 
Pela tabela: Ф (0,625) = 0,2659 
 
 Zo=-0,4375 0 Zo=0,625 
Pr (57<X<74) = 0,6688 – 0,2659 = 0,4029 = 40,29% 
 
Ou 
 
Pr (57<X<74) = 1 – [0,3312 +0,2659] = 0,4029 = 40,29% 
 
 
 
 
 
c) Se os 25 alunos matriculados em Engenharia Civil que fazem a matéria de PROBEST 
fizerem o teste, qual é a probabilidade que tenham o peso médio superiores a 70 kg? 
 
X
 ~ NORMAL 






25
16
,64
2 
 
 
)70Pr( X
 
 Pr
)70( X
 = Pr 













25
16
6470
25
16
64X 
 = Pr 












25
16
6470
Z 
 = Ф (1,875) = 0,0304 
X
 
 32 64 96 
 
 Pr 
)70( X
 = 3,04% 
 
d) Dentre 25 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que teve o peso 
maior, não exceda 70 kg no teste? 
 
 n = 25 alunos 
 
 V = Max 
),...,,,( 25321 XXXX
 
Pr 
)70( V
= ? 
 
 Pr 
)70,...,70,70,70( 25321  XXXX
 
 
sX i
 iid 
 
 Pr (V ≤ 70) = Pr (V≤70) 
 = [Pr
)70,...,70,70,70( 25321  XXXX
] 
 = [Pr
)70( iX
]25 
 Pr
)70( iX
 = Pr 




 


16
6470
16
64iX 
 
 = Pr 




 

16
6470
Z 
 = Ф (0,375) 
 
 
 Pr (V ≤70) = (1-0,3538)25 = Pr (V ≤70) = 1,81x10-5 
 
 
 
Problema 5 (1.4 pts): Uma empresa aérea sabe que 15% das pessoas que fazem reservas 
aéreas cancelam suas reservas. 
A empresa vende 60 passagens para um vôo que contém apenas 56 lugares. Supondo 
que as pessoas cancelam suas reservas de maneira independente, calcule a 
probabilidade de que haverá assentos para todos os passageiros. 
 
SOLUÇÃO 
 
X~BINOMIAL(n,p), sendo “p” a probabilidade de sucesso. 
Domínio de X = (0,n) 
 
 
 
 
RESPOSTA: 
 
X ~ BINOMIAL(n=60;p=0,85) 
Pr (x≤56) = 
 
F(56) = 0,985165 = 98,52% 
ou 
1 – [f(57)+f(58)+f(59)+f(60)] = 1 – (0,01095+0,00321+0,000617+5,82.10-5 ) = 0,9852 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
  0,01095 )15,0(85,0
)!5760(!57
!60
)85,01(85,0
57
60
57Pr)57( 357)5760(57 







 Xf
  nxpp
xnx
n
pp
x
n
xXxf xnxxnx ,...,2,1,0 para )1(
)!(!
!
)1(Pr)( 







 
  0,00321 )15,0(85,0
)!5860(!58
!60
)85,01(85,0
58
60
58Pr)58( 258)5860(58 







 Xf
  0,000617 )15,0(85,0
)!5960(!59
!60
)85,01(85,0
59
60
59Pr)59( 159)5960(59 







 Xf
  5,82x10 )15,0(85,0
)!6060(!60
!60
)85,01(85,0
60
60
60Pr)60( 5-060)6060(60 







 Xf
 
 
X ~ BINOMIAL(n=60;p=0,15) 
Pr (x≥4) = 
 
1 -F(3) = 0,985165 = 98,52% 
ou 
1 – [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)] = 1 – (0,01095+0,00321+0,000617+5,82.10-5 ) = 0,9852 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa sorte! 
 
 
  0,01095 )85,0(15,0
)!360(!3
!60
)15,01(15,0
3
60
3Pr)3( 573)360(3 







 Xf
  0,00321 )85,0(15,0
)!260(!2
!60
)15,01(15,0
2
60
2Pr)2( 582)260(2 







 Xf
  0,000617 )85,0(15,0
)!160(!1
!60
)15,01(15,0
1
60
1Pr)1( 591)160(1 







 Xf
  5,82x10 )85,0(15,0
)!060(!0
!60
)15,01(15,0
0
60
0Pr)0( 5-600)060(0 







 Xf
 
 
FORMULÁRIO: 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Distribuição Uniforme 
Notação : X ~ Uniforme(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial 
Notação : X ~ Exp (λ) 
 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
Distribuição Normal 
Notação : X ~ Normal (μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
Se X~N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
Se X tem densidade f(x) e Y=h(X) é uma transformação qualquer, então, a densidade de Y, 
denotada por g(y) é: 
g(y) = 
y
yG

 )(
 , onde G(y) é a função de distribuição acumulada de Y. 
Se Y = X2 , então : 
 
Finalmente, pelo Método do Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 )()(.
.2
1
)( yfyf
y
yg 
y
x
xfyg


 ).()(
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.90661.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
μ X 
σ
Z 
 
 
TABELA NORMAL 
Desv. 
Normal z 
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 
0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 
1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 
1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 
2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 
2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 
2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 
2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 
2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 
2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 
2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 
2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 
3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 
 
 
 
 
 
Exemplo: