Gabarito das Autoatividades de Cálculo Numérico

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das
A
Gabarito
utoatividades
MAD | 2011/2 | Módulo VI
CÁLCULO NUMÉRICO
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
Prof.ª Debora Cristina Brandt Costa
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
CÁLCULO NUMÉRICO
UNIDADE 1
 
TÓPICO 1
1 Para que serve o Cálculo Numérico?
R.: Quando a resolução analítica de um dado problema se torna inviável, 
utiliza-se o cálculo numérico, que consiste em encontrar soluções numéricas 
para o problema através de determinados métodos.
2 Quais os tipos de erros que podem surgir durante um processo de 
Cálculo Numérico?
R.: Erros de modelagem, erros de arredondamento e erros de truncamento.
3 Converta os seguintes números decimais em números na base binária:
R.: a) (28)10 
Vamos fazer sucessivas divisões por 2 até obter o quociente 1: depois, 
basta pegarmos os valores dos restos obtidos na ordem inversa a que 
foram encontrados, sendo que o primeiro dígito da sequência será o último 
quociente (0 ou 1).
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
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4 Converta os seguintes números binários em números decimais:
R.:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5 Por que cálculos envolvendo números decimais finitos podem 
apresentar erros quando implementados num computador ou 
calculadora? 
R.: Porque um número decimal finito pode ter representação binária infinita. 
Além disso, por mais preciso que seja o computador, ele possui um número 
finito de bits para sua representação numérica.
6 O que são erros de truncamento?
R.: Erros de truncamento são erros que aparecem quando precisamos 
arredondar um determinado número infinito ou mesmo truncar um processo 
muito grande.
TÓPICO 2
1 Resolva as equações:
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b)
2 Resolva as equações de segundo grau:
a)
b)
c)
a)
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d)
A equação tem duas soluções 
distintas!
e)
f)
A equação tem duas soluções 
distintas!
3 Determine o valor de k nas equações, de modo que:
a)
Para que tenha duas raízes reais e distintas, 
Então 
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b)
Para que 0k3x6x2 2 =+− não tenha raízes reais,
4 Resolva as equações fracionárias:
a)
Portanto, não tem solução real.
b)
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5 Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:
a) 06x5x 24 =+−
O primeiro passo para resolver essa equação biquadrada é fazer uma mudança 
de variável, e considerar. Nossa equação passa a ser 06y5y2 =+− , que 
já sabemos resolver:
Encontrados os pontos y que satisfazem essa equação, precisamos desfazer 
a mudança de variável.
b) 
Supondo temos
Desfazendo a substituição, 
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TÓPICO 3
1 Resolva os sistemas lineares através da regra de Cramer:
a)
Forma matricial: 
Onde 
Vamos agora determinar os valores das incógnitas 321 x,x,x
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2 Resolva os sistemas lineares que seguem através do método de 
eliminação de Gauss:
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b)
Primeiro Pivotamento - nova matriz estendida: 
Segundo Pivotamento - nova matriz estendida: 
Portanto, 1x,1y,1z ===
c)
Pivotamento - nova matriz estendida: 
3 Resolva os sistemas pelo Método de Gauss-Jordan:
a)
Primeiro Pivotamento: nova matriz estendida: 
Segundo Pivotamento: nova matriz estendida: 
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Portanto, 
b)
Matriz estendida: 
Primeiro Pivotamento: Nova matriz estendida:
Segundo Pivotamento: Nova matriz estendida: 
Terceiro Pivotamento: Nova matriz estendida: 
Portanto, 
4 Resolva os sistemas a seguir através do método de decomposição 
LU. Em seguida, determine o determinante e a inversa da matriz de 
coeficientes A.
a)
Resolvendo o sistema:
Terceiro Pivotamento: nova matriz estendida: 
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Det A = 253
Cálculo da inversa de A:
b)
Resolvendo o sistema:
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TÓPICO 4
1 Calcule o sistema linear através do método de Jacobi e, em seguida, 
pelo método de Gauss-Seidel, com precisão de 10-2.
Método de Jacobi
k y y y∆ y∆ max∆
0 0 0 0 0 0
1 0 0,299 0 0,299 0,299
2 -0,299 0,299 0,299 0 0,299
3 -0,299 0,348 0 0,049 0,049
4 -0,348 0,348 0,049 0 0,049
5 -0,348 0,357 0 0,009 0,009
Método de Gauss-Seidel:
k 1x y 1x∆ max∆ max∆
0 0 0 0 0 0
1 0 0,299 0 0,299 0,299
2 -0,299 0,349 0,299 0,05 0,299
3 -0,349 0,357 0,05 0,008 0,05
4 -0,357 0,358 0,008 0,001 0,008
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Método de Jacobi
k z z z x∆ y∆ z∆ max∆
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1,167 1,75 1,625 1,167 1,75 1,625 1,75
2 0,854 0,76 0,75 0,313 0,99 0,875 0,99
3 1,038 1,136 1,115 0,184 0,376 0,365 0,376
4 0,974 0,952 0,952 0,064 0,184 0,163 0,184
5 1,008 1,025 1,022 0,034 0,073 0,07 0,073
6 0,995 0,99 0,991 0,013 0,035 0,031 0,035
7 1,002 1,005 1,004 0,007 0,015 0,013 0,015
8 0,999 0,998 0,998 0,003 0,007 0,006 0,007
Método de Gauss-Seidel
k y y z x∆ y∆ z∆ max∆
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1,167 1,166 0,896 1,167 1,166 0,896 1,167
2 0,927 1,062 1,012 0,24 0,104 0,116 0,24
3 0,981 1,006 1,006 0,054 0,056 0,006 0,056
4 0,999 0,999 1,001 0,018 0,007 0,005 0,018
5 1 1 1 0,001 0,001 0,001 0,001
2 Calcule o sistema linear através do método de Gauss-Seidel, formado 
pela situação-problema descrita a seguir. Note que há partes do 
exercício que precisam ser completadas. Preencha-as com base nas 
informações da tabela. 
 Em um concurso em que os candidatos eram avaliados por 4 provas 
de pesos diferenciados, obteve-se o quadro informativo abaixo. Qual 
é o peso de cada prova para obter as médias especificadas?
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Candidatos Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Média
Candidato 1 8,7 6,2 7,5 5,1 7,35
Candidato 2 5,6 9,2 6,1 7,5 6,97
Candidato 3 5,1 4,5 9,4 4,5 5,72
Candidato 4 6,1 4,5 5,3 8,9 5,74
Sistema:
I
1x 2x 3x 4x 1x∆ 2x∆ 4x∆ 4x∆ total∆
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0,845 0,243 0,034 -0,077 0,845 0,243 0,034 0,077 0,845
2 0,687 0,380 0,091 -0,072 0,158 0,137 0,057 0,005 0,158
3 0,538 0,428 0,146 -0,027 0,149 0,048 0,055 0,045 0,149
4 0,430 0,421 0,187 0,026 0,108 0,007 0,041 0,001 0,108
5 0,368 0,388 0,211 0,071 0,062 0,033 0,024 0,045 0,062
6 0,345 0,350 0,220 0,101 0,023 0,038 0,009 0,030 0,038
7 0,347 0,318 0,220 0,115 0,002 0,032 0,000 0,014 0,032
8 0,361 0,298 0,215 0,119 0,014 0,020 0,005 0,004 0,020
9 0,377 0,289 0,209 0,116 0,016 0,009 0,006 0,003 0,016
10 0,391 0,286 0,204 0,111 0,014 0,003 0,005 0,005 0,014
11 0,400 0,288 0,200 0,106 0,009 0,002 0,004 0,005 0,009
3 Resolva os seguintes sistemas complexos:
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Analise os gráficos a seguire indique os intervalos que contêm as 
raízes das funções:
a) 
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É
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b)
c)
2 Esboce os gráficos a seguir e determine em quais intervalos estão 
as raízes destas funções.
 a)
ou 
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Essa função não tem raízes.
b)
Essa função possui uma raiz real no intervalo (-3,-2).
c)
ou
Possui raízes nos intervalos (-2.-1), (-5,-4) (-8,-7)...
d)
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Possui raízes em (-2,-1), no ponto x=0 e em (1,2).
3 Encontre aproximações para as raízes das funções abaixo através 
do Método da Bissecção, considerando a precisão de 10-2.
( )1kbf − ( )1kbf − ( )kxf ka kb 1kx +
- - - -4 -3 -3,5 -
2
3,01 -0,61 1,37 -3,5 -3 -3,25 0,08
3
1,37 -0,61 0,39 -3,25 -3 -3,13 0,04
4
0,39 -0,61 -0,11 -3,25 -3,13 -3,19 0,02
0,39 -0,11 0,14 -3,19 -3,13 -3,16 0,0099
0
k
1
b) ,1x4e)x(g
x +−= no intervalo (1,2)
( )kxg ( )kxg ( )kxg ka kb 1kx +
- - - 1 2 1,5 -
2
-0,28 0,39 -0,52 1,5 2 1,75 0,14
3
-0,52 0,39 -0,25 1,75 2 1,88 0,07
4
-0,25 0,39 0,02 1,75 1,88 1,81 0,03
5
-0,25 0,02 -0,12 1,81 1,88 1,84 0,02
-0,12 0,02 -0,05 1,84 1,88 1,86 0,005
Erro
k
0
1
Erro
ou
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c) 3senxx)x(h
2 −−= , no intervalo (1,2)
( )1kah − ( )1kbh − ka kb 1kx +
- - - 1 2 1,5 -
2
-2,84 0,09 -1,75 1,5 2 1,75 0,14
3
-1,75 0,09 -0,92 1,75 2 1,88 0,07
4
-0,92 0,09 -0,44 1,88 2 1,94 0,03
5
-0,44 0,09 -0,18 1,94 2 1,97 0,02
-0,18 0,09 -0,05 1,97 2 1,98 0,008
( )kxhk
0
1
Erro
4 Repita o exercício anterior utilizando a precisão de 10-3 .
a) 
xesenx4)x(f −= , no intervalo (-4,-3)
( )1kaf − ( )kxf ( )kxf ka kb 1kx +
- - - -4 -3 -3,5 -
2
3,009 -0,614 1,373 -3,5 -3 -3,25 0,077
3
1,373 -0,614 0,394 -3,25 -3 -3,125 0,040
4
0,394 -0,614 -0,110 -3,25 -3,125 -3,188 0,020
5
0,394 -0,110 0,142 -3,188 -3,125 -3,156 0,010
6
0,142 -0,110 0,016 -3,156 -3,125 -3,141 0,005
7
0,016 -0,110 0,047 -3,156 -3,141 -3,148 0,002
8
0,016 -0,047 -0,016 -3,156 -3,148 -3,152 0,001
0,016 -0,016 0,000
k
0
1
Erro
b) ,1x4e)x(g
x +−= no intervalo (1,2)
( )1kag − ( )1kbg − ( )kxg ka 1kx + 1kx +
- - - 1 2 1,5 -
2
-0,282 0,389 -0,518 1,5 2 1,75 0,143
3
-0,518 0,389 -0,245 1,75 2 1,875 0,067
k
0
1
Erro
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c) 3senxx)x(h
2 −−= , no intervalo (1,2)
( )1kbh − ( )1kbh − ( )kxh ka kb 1kx +
- - - 1 2 1,5 -
2
-2,841 0,091 -1,747 1,5 2 1,75 0,143
3
-1,747 0,091 -0,921 1,75 2 1,875 0,067
4
-0,921 0,091 -0,438 1,875 2 1,938 0,032
5
-0,438 0,091 -0,180 1,938 2 1,969 0,016
6
-0,180 0,091 -0,046 1,969 2 1,984 0,008
7
-0,046 0,091 0,022 1,969 1,984 1,977 0,004
8
-0,046 0,022 -0,012 1,977 1,984 1,980 0,002
-0,012 0,022 0,005 1,977 1,980 1,979 0,0005
Errok
0
1
5 Encontre aproximações para as raízes das funções do exercício 3 
através do Método das Cordas, considerando a precisão de 10-2. 
a) 
xesenx4)x(f −= , no intervalo (-4,-3)
k ka kb ( )kbf ( )kbf kx ( )kxf ∆
0 -4 -3 3,01 -0,61 -3,17 0,07 -
1 -3,17 -3 0,07 -0,61 -3,15 0,00
4
-0,245 0,389 0,021 1,75 1,875 1,813 0,034
5
-0,245 0,021 -0,124 1,813 1,875 1,844 0,017
6
-0,124 0,021 -0,055 1,844 1,875 1,859 0,008
7
-0,055 0,021 -0,018 1,859 1,875 1,867 0,004
8
-0,018 0,021 0,001 1,859 1,867 1,863 0,002
9
-0,018 0,001 -0,008 1,863 1,867 1,865 0,001
-0,008 0,001 -0,003 1,865 1,867 1,866 0,0005
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b) ,1x4e)x(g
x +−= no intervalo (1,2)
k ka kb ( )kbf ( )kbf kx ( )kxf ∆
0 1 2 -0,28 0,39 1,42 -0,54 -
1 1,42 2 -0,54 0,39 1,76 -0,23 0,19
2 1,76 2 -0,23 0,39 1,85 -0,04 0,05
3 1,85 2 -0,04 0,39 1,86 -0,01 0,008
c) 3senxx)x(h
2 −−= no intervalo (1,2)
k ka kb ( )kaf ( )kbf kx ( )kxf ∆
0 1 2 -2,84 0,09 1,97 -0,04 -
1 1,97 2 -0,04 0,09 1,98 0,00 0,005
6 Repita o exercício anterior utilizando a precisão de 10-3.
a) 
xesenx4)x(f −= , no intervalo (-4,-3)
ka ka kb ( )kaf ( )kbf kx ( )kxf ∆
0 -4 -3 3,009 -0,614 -3,170 0,070 -
1 -3,170 -3 0,070 -0,614 -3,152 0,000
b) ,1x4e)x(g
x +−= no intervalo (1,2)
k ka kb ( )kaf ( )kbf kx ∆ ∆
0 1 2 -0,282 0,389 1,420 -0,543 -
1 1,420 2 -0,543 0,389 1,758 -0,231 0,192
2 1,758 2 -0,231 0,389 1,848 -0,044 0,049
3 1,848 2 -0,044 0,389 1,864 -0,007 0,008
4 1,864 2 -0,007 0,389 1,866 -0,001 0,0013
5 1,866 2 -0,001 0,389 1,867 0,000 0,0002
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
C
Á
L
C
U
L
O
 
N
U
M
É
R
I
C
O
c) 3senxx)x(h
2 −−= no intervalo (1,2)
k kb kb ( )kaf ( )kbf kx ( )kxf ∆
0 1 2 -2,841 0,091 1,969 -0,045 -
1 1,969 2 -0,045 0,091 1,979 0,000 0,005
2 1,979 2 0,000
7 Encontre aproximações para as raízes das funções do exercício 3 
através do Método de Newton, considerando a precisão de 10-2. 
A função é monótona decrescente neste intervalo, ou seja, tem apenas uma 
raiz em (-4,-3). Como a função vale um número próximo de zero no ponto 
três, vamos supor .14,3x0 −= -3,14.
Note que e 
Como ambos são menores do que zero, o sinal é preservado e 
k kx ( )kxf ( )kxf ′ ( )kxf ′′ ∆
0 -3,14 -0,05 -4,04 -0,04 0,01 -
1 -3,15 0,00
b) ,1x4e)x(g x +−= no intervalo (1,2)
A raíz está mais próxima do ponto 2 do que do ponto 1.
k kx ( )kxf ′ ( )kxf ′ ( )kxf ′′ ∆
0 1,90 0,09 2,69 6,69 0,03 -
1 1,87 0,00
( )
( )k
k
xf
xf
′
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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C
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O
 
N
U
M
É
R
I
C
O
c) 3senxx)x(h 2 −−= no intervalo (1,2)
k kx ( )kxf ( )kxf ′ ∆
0 1,98 0,00 4,39 2,92 0,00 -
1 1,98 0,00
( )kxf ′′
( )
( )k
k
xf
xf
′
8 Repita o exercício acima utilizando a precisão de 10-3.
k kx ( )kxf ( )kxf ′ ( )kxf ′′ ( ) ( )k
k
xf
xf
′
∆
0 -3,14 -0,050 -4,043 -0,037 0,012 -
1 -3,152 0,000 -4,043 -0,086 0,000 0,004
2 -3,152 0,000 -4,043 -0,086 0,000 0,000
a) 
xesenx4)x(f −= , no intervalo (-4,-3)
b) ,1x4e)x(g x +−= no intervalo (1,2)
k kx ( )kxf ′ ( )kxf ′ ( )kxf ′′ ∆
0 1,900 0,086 2,686 6,686 0,032 -
1 1,868 0,003 2,475 6,475 0,001 0,0017
2 1,867 0,000
( )
( )k
k
xf
xf
′
c) 3senxx)x(h 2 −−= no intervalo (1,2)
k ( )kxf ( )kxf ( )kxf ′ ( )kxf ′′ ∆
0 1,980 0,003 4,358 2,917 0,001 -
1 1,979 0,000
( )
( )k
k
xf
xf
′
9 Considere a equação cujas raízes são 0,5 e 2,0
 (FRANCO, 2006). Considere ainda os processos iterativos:
29UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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U
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I
C
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Utilizaremos o processo para o qual para ambas as raízes.
Primeira candidata: 
Segunda candidata: 
Qual dos dois processos você utilizaria para obter a raiz 0,5? Por quê?
R.: Portanto, utilizaremos a primeira candidata, ou seja, o processo iterativo 
de a.
TÓPICO 2
1 Encontre uma aproximação para a solução dos sistemas a seguir, 
utilizando o método de iteração linear para uma precisão de 10-3.
As funções e
são contínuas. Vamos encontrar as funções de iteração F(x,y) e G(x,y)
Primeira candidata: 
Segunda candidata: 
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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O
 Tomando e
temos que ambas são contínuas. 
Próximo passo: calcular as derivadas parciais de F(x,y) e G(x,y).
Note que 
Logo, podemos aplicar o processo de iteração, tomando ( ) ( )5,0 ;5,0y,x 00 = .
K = 1
Essa e as próximas iterações encontram-se na tabela a seguir:
i
1ix − 1iy − i1i1i y)y,x(G =−− i1i1i y)y,x(G =−− ix∆ iy∆ max∆
1 0,5 0,5 0,244 0,029 1,049 15,958 15,958
2 0,244 0,029 0,234 0,133 0,041 0,778 0,778
3 0,234 0,133 0,231 0,112 0,013 0,180 0,180
4 0,231 0,112 0,232 0,117 0,000 0,035 0,035
5 0,232 0,117 0,231 0,116 0,000 0,007 0,007
6 0,231 0,116 0,231 0,116 0,000 0,000 0,000
31UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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Como o erro encontrado está menor do que 0,001, segue que o ponto que 
fornecerá a solução do sistema é (0,231; 0,116).
2 Encontre uma solução dos sistemas não lineares a seguir através do 
método de Newton, utilizando como precisão de 10-3:
Note que as derivadas parciais são polinômios e, portanto,contínuas 
indefinidamente. Também são limitadas perto da solução do sistema. 
Precisamos mostrar que 
para todo )y,x( próximo de )y,x( . 
Como o ponto está próximo da solução )y,x( e as derivadas 
são contínuas, basta mostrarmos que está próximo da solução )y,x( e as 
derivadas são contínuas, basta mostrarmos que
Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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U
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k kx ky f xf ∂∂ x
f
∂
∂
x
g
∂
∂
x
g
∂
∂
y
g
∂
∂
x∆ y∆ max∆
0 -1 -2 -2 0 12 -9 -10 -12 - - -
1 -0,9 -2,09 0,05 0,03 11,29 -10,67 -10,93 -11,79 0,11 0,04 0,11
2 -0,9 -2,09 0,05 0,03 11,29 -10,67 -10,93 -11,79 0 0 0
As derivadas parciais são polinômios e, portanto, contínuas indefinidamente. 
Também são limitadas perto da solução do sistema. Precisamos mostrar que 
para todo )y,x( próximo de )y,x( . 
Como o ponto )9,0;9,0()y,x( 00 = está próximo da solução )y,x( e as 
derivadas são contínuas, basta mostrarmos que
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
C
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C
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L
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N
U
M
É
R
I
C
O
Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
k f f f g xf ∂∂ y
f
∂
∂
x
g
∂
∂
y
g
∂
∂
x∆ y∆ max∆
0 0,9 0,9 0,12 0,33 -2,3 0,9 4,81 -8,38 - - -
1 0,99 0,99 0,01 0,03 -2,03 0,99 4,98 -8,04 0,09 0,09 0,09
2 1 1 0 0
As derivadas parciais são polinômios e constantes e, portanto, contínuas 
indefinidamente. Também são limitadas perto da solução do sistema. 
Precisamos mostrar que para todo 
)y,x( próximo de )y,x( . Como o ponto está próximo da 
da solução )y,x( e as derivadas são contínuas, basta mostrarmos que
Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R
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C
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k
kx ky g g x
f
∂
∂
y
f
∂
∂
x
g
∂
∂
x∆ x∆ y∆ max∆
0 0,5 2,5 -2,5 0 1 5 1 1
1 -0,12 3,12 0,75 0 -0,24 6,24 1 1 5,17 0,2 5,17
2 0 3 0 0
Observe que independentemente
de quem sejam x e y. Portanto, esse sistema não possui solução.
As derivadas parciais são polinômios e constantes e, portanto, contínuas 
indefinidamente. Também são limitadas perto da solução do sistema. 
Precisamos mostrar que para todo 
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C
U
L
O
 
N
U
M
É
R
I
C
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 )y,x( próximo de )y,x( . Como o ponto )1,2()y,x( 00 = está próximo da 
solução )y,x( e as derivadas são contínuas, basta mostrarmos que
Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
k
kx ky f g x
f
∂
∂
y
f
∂
∂
x
g
∂
∂
y
g
∂
∂
y∆ y∆ max∆
0 0,5 2,5 -2,5 0 1 5 1 1
1 -0,12 3,12 0,75 0 -0,24 6,24 1 1 5,17 0,2 5,17
2 0 3 0 0
As derivadas parciais são polinômios e constantes e, portanto, contínuas 
indefinidamente. Também são limitadas perto da solução do sistema. 
Precisamos mostrar que para todo )y,x( 
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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N
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M
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R
I
C
O
próximo de )y,x( . Como o ponto )8,0;8,0()y,x( 00 = está próximo da solução 
)y,x( e as derivadas são contínuas, basta mostrarmos que
Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
k
kx ky f g y
f
∂
∂
y
f
∂
∂
x
g
∂
∂
y
g
∂
∂
x∆ y∆ max∆
0 0,8 0,8 -0,78 -0,31 4,8 1 1 1,92
1 0,94 0,89 0,06 0,01 5,67 1 1 2,37 0,15 0,1 0,15
2 0,93 0,88 0,00 0,00
3 Encontre uma aproximação para a raiz da equação complexa 
 com precisão de 10-3 , partindo do ponto
R.: Inicialmente, vamos reescrever a equação anterior utilizando um artifício 
de cálculo: 
Substituindo agora z por iyx ⋅+ , temos
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Aplicando o método de Newton, encontramos os seguintes valores:
k
kx ky U V x
U
∂
∂
x
V
∂
∂ x
V
∂
∂
x∆ x∆ y∆ max∆
0 0,5 1 0,39 0,39 -0,11 -1,39 1,39 -0,11
1 0,24 1,30 0,09 -0,07 -0,66 -1,23 1,23 -0,66 1,04 0,23 1,04
2 0,32 1,34 0,00 0,00
Portanto, o número complexo que procuramos é 
TÓPICO 3
1 Aplique o método de Newton para determinar as raízes dos polinômios 
a seguir, com precisão 10-3.
k
kx 1 -0,8 -9,32 3 Erro
0 3 1 2,2 -2,72 4,08
1 5,2 12,88 0,118
1 2,683 1 1,883 -4,367 0,254
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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O valor que procuramos é 2,640, e 003,0)640,2(P3 =
k kx 1 1,5 -39,5 -1,5 38,5 Erro
0 6 1 7,5 5,5 31,5 227,5
1 13,5 86,5 550,5 0,0739
1 5,587 1 7,087 0,093 -0,98 33,025
1 12,673 70,894 395,086 0,015
2 5,503 1 7,003 -0,961 -6,789 1,138
1 12,506 67,863 366,678 0,001
3 5,5 1 7 -1 -7 0,000
1 4,566 7,885 0,012
2 2,650 1 1,784 -4,71 0,069
1 4,368 6,578 0,004
3 2,640 1 1,774 -4,755 0,003
1 4,348 6,435 0
4 2,640 0,003
O primeiro valor que procuramos é 5,5, e .0)5,5(4 =P
k kx 1 1,5 -39,5 -1,5 38,5 Erro
0 1,5 1 3 -35 -54 -42,5
1 4,5 -28,25 -96,375 0,416
1 1,059 1 2,559 -36,79 -40,461 -4,349
1 3,618 -32,959 -75,365 0,058
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C
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O segundo ponto que procuramos é 1,012, e .0)012,1(P4 =
2 Aplique o Algoritmo Q-D para determinar todas as raízes dos 
polinômios a seguir:
)0(e )1(q )1(e )2(q
)3(q )3(q )3(e )4(q )4(e
4 0 0 0
0 -0,75 1,333 -1 0
3,25 2,083 -2,333 1
0 -0,481 -1,493 0,429 0
2,769 1,071 -0,411 0,571
0 -0,186 0,573 -0,596 0
2,583 1,83 -1,58 1,167
0 -0,132 -0,495 0,44 0
2,451 1,467 -0,645 0,727
0 -0,079 0,218 -0,496 0
2,372 1,764 -1,359 1,223
0 -0,059 -0,168 0,446 0
2,313 1,655 -0,745 0,777
0 -0,042 0,076 -0,465 0
2,271 1,773 -1,286 1,242
0 -0,033 -0,055 0,449 0
2,238 1,751 -0,782 0,793
0 -0,026 0,025 -0,455 0
2,212 1,802 -1,262 1,248
0 -0,021 -0,018 0,45 0
2 1,001 1 2,501 -36,1 -37,647 0,804
1 3,502 -32,593 -70,283 0,011
3 1,012 1 2,5 -37 -38,5 0,000
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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2,191 1,805 -0,794 0,798
0 -0,017 0,008 -0,452 0
2,174 1,83 -1,254 1,25
0 -0,014 -0,005 0,451 0
2,16 1,839 -0,798 0,799
0 -0,012 0,002 -0,452 0
2,148 1,853 -1,252 1,251
Logo, as raízes do polinômio são números próximos a 2 (multiplicidade 2), 
-1 e 1,25.
)0(e )1(e
)1(e )2(q
)3(q )3(q )3(e
0 2 0 0
0 2,5 -1,2 0
1 4,5 -3,7 1,2
0 -2,056 0,389 0
2 2,444 -1,255 0,811
0 1,056 -0,251 0
3 3,5 -2,562 1,062
0 -0,773 0,104 0
4 2,727 -1,685 0,958
0 0,478 -0,059 0
5 3,205 -2,222 1,017
0 -0,331 0,027 0
6 2,874 -1,864 0,99
0 0,215 -0,014 0
7 3,089 -2,093 1,004
41UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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Logo, as raízes do polinômio são números próximos a 3, -2 e 1.
3 Aplique o Algoritmo Q-D para determinar todas as raízes dos 
polinômios a seguir, e as refine através do método de Newton, dada 
a precisão 10-2:
)0(e )1(q )1(e )2(q )3(e )3(e )3(e
0 -2 0 0
0 -5,5 1,09 0
1 -7,5 6,59 -1,09
0 4,83 -0,18 0
2 -2,67 1,58 -0,91
0 -2,86 0,10 0
3 -5,52 4,54 -1,01
0 2,35 -0,02 0
4 -3,18 2,17 -0,99
0 -1,60 0,01 0
5 -4,78 3,78 -1,00
0 1,27 0,00 0
0 -0,146 0,007 0
8 2,943 -1,94 0,997
0 0,096 -0,004 0
9 3,039 -2,04 1,001
0 -0,064 0,002 0
10 2,975 -1,974 0,999
0 0,042 -0,001 0
11 3,017 -2,017 1
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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U
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Para essa quantidade de passos, obtivemos as seguintes aproximações: 
e
Refinando
k
kx
1 2 -11 -12 Erro
0 -4,42 1 -2,42 -0,3 -10,67
1 -6,84 29,93 0,09
1 -4,06 1 -2,06 -2,63 -1,31
1 -6,12 22,24 0,01
2 -4 1 -2 -3 0,01
1 -6 21 0
3 -4 0,01
6 -3,51 2,51 -1
0 -0,91 0,00 0
7 -4,42 3,42 -1
Portanto, por meio do refinamento, obtivemos 4,3)2( =q
Refinando 4,3)2( =q
kx kx
1 2 -11 -12 Erro
0 3,4 1 5,4 7,36 13,02
1 8,8 37,28 0,11
1 3,05 1 5,05 4,41 1,45
1 8,1 29,12 0,02
2 3 1 5 4 0,00
43UNIASSELVI
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k kx 1 2 -11 -12 Erro
0 -1 1 1 12 0,00
Ou seja, não há o que refinar.
)0(e )1(e )1(e )2(q )2(e )3(q )3(e )4(q )4(e
0 5,3 0 0 0
0 -1,88 -0,78 -0,27 0
1 3,42 1,1 0,51 0,27
0 -0,6 -0,36 -0,14 0
2 2,82 1,34 0,73 0,41
0 -0,29 -0,2 -0,08 0
3 2,53 1,43 0,85 0,49
0 -0,16 -0,12 -0,05 04 2,37 1,47 0,92 0,54
0 -0,1 -0,08 -0,03 0
5 2,27 1,49 0,97 0,57
0 -0,07 -0,05 -0,02 0
6 2,2 1,51 1 0,59
0 -0,05 -0,03 -0,01 0
7 2,15 1,53 1,02 0,60
Para essa quantidade de passos, obtivemos as seguintes aproximações: 
Portanto, por meio do refinamento, obtivemos .3)2( =q
Refinando 1)3( −=q
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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k
kx
1 -5,3 9,96 -7,812 2,117 Erro
0 2,15 1 -3,15 3,19 -0,95 0,07
1 -1 1,04 1,29 0,03
1 2,1 1 -3,19 3,24 -0,99 0,03
1 -1,08 0,97 1,05 0,01
2 2,07 1 -3,2 3,24 -1,01 0,00
Portanto, por meio do refinamento, obtivemos .07,2)1( =q
Refinando 53,1)2( =q
07.
1,53
k
kx
1 -5,3 9,96 -7,812 2,117 Erro
0 1,53 1 -3,77 4,19 -1,4 -0,02
1 -2,24 0,76 -0,23 0,05
1 1,46 1 -3,84 4,36 -1,46 0,00
Portanto, por meio do refinamento, obtivemos 
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
C
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k
kx
1 -5,3 9,96 -7,812 2,117 Erro
0 1,02 1 -4,28 5,59 -2,11 -0,03
1 -3,26 2,26 0,2 0,13
1 1,17 1 -4,16 5,21 -1,86 0,00
Portanto, por meio do refinamento, obtivemos 
k
kx
1 -5,3 9,96 -7,81 2,12 Erro
0 0,6 1 -4,7 7,14 -3,53 0,00
Ou seja, não há o que refinar.
TÓPICO 4
1 Encontre o polinômio interpolador de Lagrange da função f que 
relaciona os seguintes valores:
x -1 0 1 2
( )xf 0,5 2 -0,9 3
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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2 Encontre o polinômio interpolador de Newton da função g que 
relaciona os seguintes valores:
x -1 0 1 2
( )xg 1 -0,4 0,2 -1
47UNIASSELVI
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3 Com base na tabela a seguir, estime ( )3,0f
x -2 -1 0 1 2 3
( )xg 1,25 3,25 3,75 -1,05 0,2 400
4 Considere a seguinte tabela:
x -1 0 1 2
( )xg 1 0,6 0,4 0
Encontre o valor de x para o qual ( ) 35,0xg = .0,35.
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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)(xg 0,4 0
)(1 xg − 1 2
5 Com base na seguinte tabela,
x -1 0 1 2
( )xf -1 0,6 0,64 1,0
Encontre o valor de x para o qual . = 0,35.( )xf
)(xf -1 0,6
)(1 xf − -1 0
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6 A seguir, temos duas tabelas relacionando a quantidade de alcatrão e 
a quantidade de nicotina (em miligramas) de várias marcas de cigarro, 
com e sem filtro:
QUADRO I – CIGARROS COM FILTRO
Alcatrão (mg) 8,3 18,6 27,3 35,9
Nicotina (mg) 0,32 1,10 1,42 2,23
QUADRO II – CIGARROS SEM FILTRO
Alcatrão (mg) 32,5 37,2 43,4
Nicotina (mg) 1,69 2,12 2,65
a) Encontre o polinômio interpolador de Lagrange para o Quadro I.
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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b) Encontre o polinômio interpolador de Newton para o Quadro II.
QUADRO II – CIGARROS SEM FILTRO
Alcatrão (mg) 32,5 37,2 43,4
Nicotina (mg) 1,69 2,12 2,65
a Através da interpolação linear, obtenha a quantidade de nicotina associada 
a 21 mg de alcatrão nos cigarros com filtro (Quadro I).
Através da interpolação linear, obtenha a quantidade de nicotina associada 
a 21mg de alcatrão nos cigarros com filtro: 18,6 < 21 < 27,3.
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7 Considere a tabela a seguir:
x 0,5 0,7 1,0 1,2 1,5 1,6
( )xf -2,63 -2,57 -2,00 -1,23 0,63 0,79
Determine a raiz de ( )xf utilizando interpolação inversa sobre três pontos.
R.: Como queremos o valor de f no ponto x = 0, consideraremos três pontos 
tais que a função inversa de f, 1f − mude de sinal entre dois deles, por exemplo, 
Então
d) Através da interpolação linear, obtenha a quantidade de ALCATRÃO 
associada a 2,5 mg de NICOTINA nos cigarros sem filtro (tabela II).
Através da interpolação linear, obtenha a quantidade de ALCATRÃO associada 
a 2,5mg de NICOTINA nos cigarros sem filtro (Quadro II). 2,12 <2,5 <2,65.
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Então a raiz de f será 0,53.
b) Determine a raiz de ( )xf utilizando interpolação inversa sobre dois pontos 
(linear).
R.: x -1,22 0,63
( )xf 1− 1,2 1,5
8 De 1960 a 2000, o consumo de água (A) nos Estados Unidos em 
bilhões de galões por dia foi o seguinte:
Ano 1960 1970 1980 1990 2000
(A) 136,43 202,70 322,90 411,20 494,10
De acordo com essa distribuição de valores, em que ano podemos estimar 
que foram consumidos 250 bilhões de galões?
x 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5
y 7,0 5,2 4,1 3,1 2,6
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R.:
x 1970 1980
)x(f 202,70 322,90
)x(f 202,70 322,90
)(1 xf − 1970 1980
Utilizando interpolação linear...
Junho de 1972.
9 A resistência à compressão do concreto, σ , decresce com o aumento 
da razão água/cimento ( )cω em galões por saco de cimento.
σ 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5
c
ω 7000 5237 4123 3107 2580
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para a função f que 
relaciona estas duas variáveis.
b) Determine o polinômio interpolador de Newton.
c) Qual a razão água/cimento necessária para obter uma compressão do 
concreto de 6,0 galões por saco de cimento?
DICA: Ao invés de trabalhar com os valores de c
ω conforme aparecem na 
tabela, divida-os por 1.000 e trabalhe com esta razão.
a)
54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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10 A tabela a seguir apresenta um histórico do número de acidentes no 
Brasil envolvendo veículos motorizados.
Ano 1980 1990 1997 2006
Número de Acidentes 
(em milhares) 8.300 10.400 13.600 14.600
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De acordo com a tabela, nesses 26 anos houve um aumento de 78,3% no 
número de acidentes. Em que ano podemos dizer que esse acréscimo foi 
de 50%?
R.:
Ano 1980 1990 1997 2006
Número de Acidentes 
(em milhares) 8.300 10.400 13.600 14.600
Acréscimo de 50% = acréscimo de 4150 acidentes = 8300 + 4150 = 12450 
acidentes.
Como 10400 < 12450 < 13600, o ano que procuramos está entre 1990 e 1997.
x 1990 1997
)x(f 10.400 12.450 13.600
)x(f 10.400 12450 13.600
)x(f 1− 1990 y 1997
Houve um acréscimo de 50% no início de 1994.
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 A tabela a seguir relaciona as alturas e os pesos de uma amostra de 
9 homens entre as idades de 25 e 39 anos, extraída ao acaso entre os 
funcionários de uma grande indústria. (RUGGIERO; LOPES, 1996):
Altura (cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178
Peso (kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73
a) Faça o diagrama de dispersão dos dados e observe que parece existir 
uma relação linear entre peso e altura.
R.:
b) Ajuste uma reta que descreva o comportamento do peso em função da 
altura, isto é, peso = f (altura).
R.:
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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c) Estime o peso de um funcionário com 175 cm de altura; e estime a altura 
de um funcionário com 80 kg.
R.:
d) Ajuste agora a reta que descreve o comportamento da altura em função 
do peso, isto é, altura = f (peso).
R.:
e) Resolva o item c) agora com essa nova função e compare os resultados 
obtidos. Tente encontrar uma explicação.
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Os valores obtidos são os mesmos, considerando os arredondamentos. Isso 
ocorre porque uma função é o inverso da outra.
f) Coloque num gráfico as equações b) e d) e compare-as.
Não dá: são coisas diferentes.
2 Baseado na tabela a seguir, encontre a regressão polinomial de grau 2:
x -1,8 -1,4 0 1 2,3 3,2
y -25 -20,2 -3,1 9,2 15,1 20,4
3 A tabela a seguir relaciona o número de acidentes em veículos motorizados 
no Brasil em alguns anos entre 1980 e 2006 (FRANCO, 2006):
Ano Número de Acidentes(em milhares) Acidentes por 10.000 veículos.
1980 8.300 1.688
1985 9.900 1.577
1990 10.400 1.397
1993 13.200 1.439
1997 13.600 1.418
2000 13.700 1.385
2006 14.600 1.415
a) Calcule a regressão linear do número de acidentesno tempo. Use-a para 
estimar o número de acidentes no ano de 2010 (isto é chamado de análise 
temporal, visto que é uma regressão no tempo, e é usada para prognosticar 
o futuro).
R.:
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x y
1980 8.300
1985 9.900
1990 10.400
1993 13.200
1997 13.600
2000 13.700
2006 14.600
c) Compare os resultados das partes a) e b). Em qual delas você está mais 
propenso a acreditar?
R.: Na segunda. A primeira apresenta uma taxa de crescimento no número 
de acidentes muito alta.
4 Encontre a regressão linear que melhor aproxima os seguintes valores:
1X -3 -1 0 1 3
2X 0,2 0,3 0,5 0,7 0,8
Y 5,9 6,5 8,9 9,5 10,1
5 Em um estudo, determinou-se que a vazão de água em uma tubulação 
está relacionada com o diâmetro e com a inclinação dessa tubulação 
(em relação à horizontal). Os dados experimentais estão na tabela a 
seguir (FRANCO, 2006):
Experimento Diâmetro Inclinação Vazão (m³/s)
1 1 0,001 1,4
2 2 0,001 8,3
3 3 0,001 24,2
4 1 0,01 4,7
5 2 0,01 28,9
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6 3 0,01 84,0
7 1 0,05 11,1
8 2 0,05 200,0
Encontre a regressão linear que descreve a tabela acima pelo método dos 
mínimos quadrados.
Dica: Utilize 2x para o diâmetro e 2x para a inclinação. 
R.:
n
1x 2x y
1 1 0,001 1,4
2 2 0,001 8,3
3 3 0,001 24,2
4 1 0,01 4,7
5 2 0,01 28,9
6 3 0,01 84,0
7 1 0,05 11,1
8 2 0,05 200,0
6 Aproxime os pontos abaixo por uma regressão polinomial do tipo 
2
10 xaa)x(F += :
x -0,6 -0,5 -0,3 0 0,4 0,8
y 0,45 0,4 0,5 0 0,6 1,4
R.:
62 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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7 A tabela a seguir relaciona o teor de ferro na capacidade de carga de 
vigas de concreto.
Ferro (% peso) 6,8 7,3 7,7 8,1 8,5 8,6
Carga (ton/m²) 2,2 2,9 3,0 3,1 3,1 3,4
a) Encontre, através do método dos mínimos quadrados, a regressão linear 
que melhor aproxima estes pontos.
R.:
b) Encontre, através do método dos mínimos quadrados, a regressão 
polinomial que melhor aproxima estes pontos.
R.:
TÓPICO 2
1 Com base na tabela a seguir:
ix 0 1 2 3 4
iy 1 0,5 0,3 0,8 0,2
a) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [0,3] via regra 
do trapézio.
b) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [2,4] regra 
3
1 
de Simpson.
c) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [1,3] via regra 
do trapézio generalizada.
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d) É possível calcular a regra 3
1
 de Simpson generalizada no intervalo [1,4]? 
Se sim, calcule, caso contrário, justifique. 
R.: Não é possível, pois o número de subintervalos conhecidos contidos neste 
intervalo é ímpar, e a regra 3
1
 de Simpson só pode ser aplicada quando o 
número de subintervalos é par.
e) É possível calcular a regra 3
1
 de Simpson generalizada no intervalo [0,4]? 
Se sim, calcule, caso contrário, justifique.
R.: Sim.
f) É possível calcular a quadratura gaussiana no intervalo [0,4]? Se sim, 
calcule, caso contrário, justifique.
R.: Não, pois não conhecemos a função propriamente dita que relaciona as 
duas variáveis.
2 Com base na tabela a seguir:
ix 1 2 3 4 5 6 7 8 9
iy 1 7 13 20 22 31 35 42 44
a) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [1,9] via regra 
do trapézio.
64 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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b) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [1,9] via regra 
3
1 de Simpson.
c) Calcule a integral numérica da função implícita no intervalo [1,9] via regra 
do trapézio generalizada.
d) É possível calcular a regra 3
1
 de Simpson generalizada no intervalo [1,9]? 
Se sim, calcule, caso contrário, justifique. 
R.: Sim, pois há um número par de subintervalos entre 1 e 9.
3 Calcule via regras do trapézio e 
3
1 de Simpson.
Trapézio: 
Simpson:
4 Calcule via regras do trapézio e 
3
1 de Simpson generalizadas,
utilizando n=6.
n=6:
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Trapézio Generalizada: 
Simpson Generalizada: 
5 Calcule via quadratura gaussiana.
6 Calcule via regras do trapézio, 
3
1 de Simpson, quadratura
 gaussiana e analiticamente, e compare os resultados.
Trapézio:
Simpson: 
Quadratura Gaussiana:
Analiticamente:
O valor obtido via quadratura gaussiana coincidiu com o obtido analiticamente. 
Depois disso, o que mais se aproximou foi o via regra do trapézio.
TÓPICO 3
1 Calcule as EDO a seguir no intervalo [ ]1;0 com h=0,1 pelo método de 
Euler e pelo Método de Euler Modificado:
a) 



=
−=′
1)0(y
yy
 Euler:
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n
ny ny
0 0 1
1 0,1 0,9
2 0,2 0,81
3 0,3 0,73
4 0,4 0,66
5 0,5 0,59
6 0,6 0,53
7 0,7 0,48
8 0,8 0,43
9 0,9 0,39
10 1,0 0,35
Euler Modificado:
j jx )y,x(fK 1j1j1 −−= ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 1
1 0,1 -1 -0,9 0,9
2 0,2 -0,9 -0,81 0,81
3 0,3 -0,81 -0,73 0,73
4 0,4 -0,73 -0,66 0,66
5 0,5 -0,66 -0,59 0,60
6 0,6 -0,6 -0,54 0,54
7 0,7 -0,54 -0,49 0,49
8 0,8 -0,49 -0,44 0,44
9 0,9 -0,44 -0,4 0,40
10 1,0 -0,4 -0,2 0,37
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nx ny
0 0 2
1 0,1 2
2 0,2 2,01
3 0,3 2,03
4 0,4 2,06
5 0,5 2,09
6 0,6 2,13
7 0,7 2,18
8 0,8 2,23
9 0,9 2,29
10 1,0 2,35
Euler Modificado:
j jx )y,x(fK 1j1j1 −−= [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 2
1 0,1 0 0,1 2
2 0,2 0,1 0,19 2,01
3 0,3 0,19 0,27 2,03
4 0,4 0,27 0,34 2,06
5 0,5 0,34 0,41 2,1
6 0,6 0,4 0,46 2,14
7 0,7 0,46 0,51 2,19
8 0,8 0,51 0,56 2,24
9 0,9 0,56 0,6 2,3
10 1,0 0,6 0,64 2,36
( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −−
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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n
nx ny
0 0 1
1 0,1 1
2 0,2 0,8
3 0,3 0,3
4 0,4 -1,7
5 0,5 -1,23
6 0,6 -0,42
7 0,7 2,44
8 0,8 1,87
9 0,9 1,01
10 1,0 -0,77
Euler Modificado:
j XJ )y,x(fK 1j1j1 −−= [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 1
1 0,1 1 0,92 1,1
2 0,2 0,92 0,86 1,19
3 0,3 0,85 0,8 1,27
4 0,4 0,8 0,76 1,35
5 0,5 0,76 0,72 1,42
6 0,6 0,72 0,69 1,49
7 0,7 0,68 0,66 1,56
8 0,8 0,66 0,64 1,62
9 0,9 0,63 0,61 1,68
10 1,0 0,61 0,59 1,74
( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −−
2 Calcule o valor de )5,0(y para cada um dos problemas a seguir via Método de Euler e Método de Heun, tomando h = 0,1:
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I
C
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n
nx ny
0 0 0
1 0,1 0
2 0,2 0,01
3 0,3 0,04
4 0,4 0,09
5 0,5 0,17
Euler Modificado:
j jx ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 0
1 0,1 0 0,01 0
2 0,2 0,01 0,04 0
3 0,3 0,04 0,09 0,01
4 0,4 0,09 0,16 0,02
5 0,5 0,16 0,25 0,04
n
nx ny
0 0 1
1 0,1 -1
2 0,2 -0,9
3 0,3 -0,61
4 0,4 -0,07
5 0,5 0,4
70 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
C
Á
L
C
U
L
O
 
N
U
M
É
R
I
C
O
Euler Modificado:
j jx ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 1
1 0,1 -1 -0,71 0,91
2 0,2 -0,73 -0,5 0,85
3 0,3 -0,52 -0,34 0,81
4 0,4 -0,36 -0,2 0,78
5 0,5 -0,21 -0,08 0,77
n
nx ny
0 0 1
1 0,1 1
2 0,2 1,1
3 0,3 1,3
4 0,4 1,6
5 0,5 2
Euler Modificado:
j jx ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− ( )11j1j2 Khy,hxfK ⋅++= −− [ ]211jj KK2
hyy +⋅+= −
0 0 1
1 0,1 1 1,2 1,11
2 0,2 1,21 1,43 1,24
3 0,3 1,44 1,68 1,4
4 0,4 1,7 1,97 1,58
5 0,5 1,98 2,28 1,79