EXERCICIOS CALCULO NUMERICO

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EXERCÍCIOS – CALCULO NUMÉRICO 
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	4/3
	
	
	- 3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	3/4
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = 55    
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1084
	
	
	1086
	
	
	10085
	
	
	1085
	
	
	10860
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	-7
	
	
	-11
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	1000 + 50x
	
	
	50x
	
	
	1000
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a e R*, b e c e R)
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função afim.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
	
	
	
	 7      
	
	
	10      
	
	
	  6    
	
	
	14
	
	
	 9      
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
	
	
	
		1.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	x1    
	
	
	 x2      
	
	
	 x4             
	
	
	x3      
	
	
	x5  
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
	
	
	
	0,55
	
	
	1,14
	
	
	1,56
	
	
	1,00
	
	
	1,85
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
Explicação:
Programação estruturada admite estruturas de repetição
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que umarotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	Percentual
	
	
	Absoluto
	
	
	Relativo
	
	
	De modelo
	
	
	De truncamento
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	tem uma raiz
	
	
	não tem raízes reais
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	tem três raízes
	
	
	nada pode ser afirmado
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas
	
	
	
		1.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Newton Raphson  
	
	
	Ponto fixo      
	
	
	Gauss Jordan        
	
	
	Bisseção      
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	3,243
	
	
	2,443
	
	
	2,143
	
	
	1,243
	
	
	1,143
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(2, 3)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(-1, 0)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2,354
	
	
	2.154
	
	
	3,104
	
	
	2,854
	
	
	3,254
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0909
	
	
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	1.0800
	
	
	1.0746
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-1
	
	
	1.75
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
 
		
	
		1.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
Explicação:
Multiplicando a segunda  por ( -2 ) e somando com a  primeira elimina-se o x2  e resulta :
-3x1 = -60   ..donde  x1 = 20 .
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-sex2 :
5.20 + 4 x2  = 180  ...  4  x2  = 180 -100  = 80   ... x2  = 20. 
 
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	1,-2,3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	-1,2, 3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
	
	
	
		1.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = ax + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = a.2-bx
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro absoluto
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		1.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos.
	
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente,o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,017
	
	
	 13,857
	
	
	 13,000
	
	
	 13,900
	
	
	 13,500
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(11,14,17)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(6,10,14)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logarítmica.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(11,14,17)
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	Y = abx+c
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	Y = ax + b
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
		
	
		1.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	3,14
	
	
	0.0015926536
	
	
	3,1416
	
	
	0,14
	
	
	0,1415926536
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
	
	
	
	0,81 %        
	
	
	0,88 %
	
	
	10%
	
	
	8,1 %        
	
	
	8,8 %
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
	
	
	
	99,5 cm   
	
	
	0,05 cm.
	
	
	 0,5 cm
	
	
	5 cm     
	
	
	 95 cm
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	30
	
	
	0,3
	
	
	3
	
	
	0,5
	
	
	Indefinido
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,1415
	
	
	3,14159
	
	
	3,142
	
	
	3,1416
	
	
	3,141
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
	
	
	
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente,
 
 
	
	
	
	50 , 0.003 , 0.3%
	
	
	Nenhum dos itens anteriores
	
	
	500 , 0.003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.003 , 0.003%
	
	
	50 , 0.0003 , 0.3%
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	2,5
	
	
	indeterminado
	
	
	3
		
	
		1.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	1,053
	
	
	0,382
	
	
	1,567
	
	
	0,725
	
	
	0,351
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemosafirmar:
	
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	1/4
	
	
	1/5
	
	
	1/2
	
	
	1/3
	
	
	0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	0,2500
	
	
	0,2750
	
	
	0,3000
	
	
	0,3125
	
	
	0,3225
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	quarto
	
	
	segundo
	
	
	terceiro
	
	
	nunca é exata
	
	
	primeiro
	
	
	
		1.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
	
	
	
	2
	
	
	-8
	
	
	-11
	
	
	-7
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3
	
	
	-2
	
	
	-3
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	certo
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3,00
	
	
	2,54
	
	
	1,00
	
	
	1,34
	
	
	2,50
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro relativo
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro booleano
	
	
	
		1.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
	
	
	
	2
	
	
	-8
	
	
	-11
	
	
	-7
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3
	
	
	-2
	
	
	-3
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3,00
	
	
	2,541,00
	
	
	1,34
	
	
	2,50
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro relativo
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro booleano
		
	
		1.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	0,992
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,8%
	
	
	99,8%
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de dados de tabelas
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
	
	
	
	todas estão corretas
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
Um enge
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	0,030 e 1,9%
	
	
	2.10-2 e 1,9%
	
	
	0,030 e 3,0%