Calculo 2 - Christian Q. Pinedo - GABARITO

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SUMÁRIO
1 ANTIDERIVADAS 3
1.1 Integral Imediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Método de Integração por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Integração de Funções Racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercícios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6 Integração de Funções Racionais Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercícios 1-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7 Outros Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercícios 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 INTEGRAL DEFINIDA 115
2.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.2 Cálculo de Área de uma Região Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Significado Geométrico das Somas: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . 137
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.4 Mudança de Variável em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5 Integrais Impróprias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Miscelânea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 219
3.1 Aplicações Geométricas. Comprimento de Arco de uma Curva. . . . . . . . . . . 219
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
i
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 1
3.2 Áreas de superfície de revolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.3 Volume de um Corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.4 Aplicações à Mecânica e Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3.5 Outras Aplicações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Miscelânea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 291
4.1 Espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.2 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.3 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5 DERIVADAS 313
5.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.3 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.4 Diferencial exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Exercícios 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.5 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Exercícios 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Miscelânea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6 Aplicações das derivadas parciais 357
6.1 Máximos e Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.2 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Exercícios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Miscelânea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
2 Integração e Funções de Várias Variáveis
Capítulo 1
ANTIDERIVADAS
1.1 Integral Imediata.
Exercícios 1-1
Exercício 1.1.1.
Determine as funções primitivas para as seguintes funções:
Solução.
1. Ant(2x8) =
2
9
x9 + C
2. Ant(
5
x
+
8
x2
) = 5Lnx− 8
x
+ C
3. Ant(
x6 − 7x2 + 2
x
) = Ant(x5 − 7x + 2 · 1
x
) =
1
6
x6 − 7
2
x2 + 2Lnx + C
4. Ant(1− 2sen2x) = Ant(1− (1− cos 2x)) = Ant[cos(2x)] = 1
2
sen(2x) + C
5. Ant(
1√
a + bx
) = Ant[(a + bx)
−
1
2 ] =
2
b
√
a + bx + C
6. Ant(e2−5x) = −1
5
e2−5x + C
7. Ant(
1
3
√
7x
) = Ant[(7x)
−
1
3 ] =
3
14
3
√
49x2 + C
8. Ant(
1
cos2 3x
) = Ant[sec2(3x)] =
1
3
tan 3x + C
9. Ant(
x6 − 1
x2 − 1) = Ant(x
4 + x2 + 1) =
1
5
x5 +
1
3
x3 + x + C
Exercício 1.1.2.
Determine a validade das seguintes igualdades:
Solução.
É suficiente derivar a parte direita da igualdade.
3
4 Integração e Funções de Várias Variáveis
1. I =
∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan
x
3
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
1
3
arctan
x
3
+ C
]
=
1
3
· 1
1− (x3 )2
· 1
3
=
dx
9 + x2
2. I =
∫
x
√
2x2 + 5dx =
√
(2x + 5)3
6
+ C. . . . . . falso
d
dx
[√
(2x + 5)3
6
+ C
]
=
d
dx
[
1
6
· (2x2 + 5)3/2
]
=
3
12
√
2x2 + 5 · 2x = x
√
2x2 + 5
2
3. I =
∫
x3 · dx√
a2 + x4
=√
a2 + x4
2
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[√
a2 + x4
2
+ C
]
=
d
dx
[
1
2
(a2 + x4)1/2
]
=
1
4
(a2 + x4)−1/2 · 4x3 = x
3
√
a2 + x4
4. I =
∫
dx
(a + bx)3
= − 1
2b(a + bx)2
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
− 1
2b(a + bx)2
+ C
]
=
d
dx
[
− 1
2b
(a + bx)−2
]
= −−2
2b
(a + bx)−3 · b = 1
(a + bx)3
5. I =
∫
6x.dx
(5− 3x2)2 =
1
5− 3x2 + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
1
5− 3x2 + C
]
=
d
dx
[(5− 3x2)−1] = −(5− 3x2)−2(−6x) = 6x
(5− 3x2)2
6. I =
∫
x(a− bx2)dx = −(a− bx
2)2
4b
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
−(a− bx
2)2
4b
+ C
]
= −2(a− bx
2) · (−2xb)
4b
= x(a− bx2)
7. I =
∫
8x · dx
3
√
x2 + 8
=
8
√
x2 + 8
3
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
8
√
x2 + 8
3
+ C
]
=
d
dx
[
8(x2 + 8)1/2
3
]
=
8(x2 + 8)−1/2 · 2x
6
=
8x
3
√
x2 + 8
8. I =
∫
x.dx
(a + bx2)3
= − 1
4b(a + bx2)2
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
− 1
4b(a + bx2)2
+ C
]
= − 1
4b
d
dx
[(a + bx2)−2] =
2
4b
(a + bx2)−3(2bx) =
x
(a + bx2)3
9. I =
∫
(a + bx)2dx =
(a + bx)3
3b
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
(a + bx)3
3b
+ C
]
=
3(a + bx)2 · b
3b
= (a + bx)2
10. I =
∫
x.dx
(a + bx2)2
=
(−1)
2b(a + bx2)
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
(−1)
2b(a + bx2)
+ C
]
=
−1
2b
d
dx
[(a + bx2)−1] =
1
2b
(a + bx2)−2(2bx) =
x
(a + bx2)2
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 5
11. I =
∫
tan2 x.dx = tan x− x + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[tan x− x + C] = sec2 x− 1 = tan2
12. I =
∫
x(x2 + 2)2dx =
(x2 + 2)3
6
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
(x2 + 2)3
6
+ C
]
=
3(x2 + 2)2 · 2x
6
= x(x2 + 2)2
13. I =
∫
(
√
a−√x)2√
x
· dx = −2(
√
a−√x)3
3
+ C. . . . . . falsa
d
dx
[
−2(
√
a−√x)3
3
+ C
]
= −6(
√
a−√x)2(−x−1/2)
3
=
2(
√
a−√x)2√
x
14. I =
∫
(2x + 3)dx√
x2 + 3x
= 2
√
x2 + 3x + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
2
√
x2 + 3x + C
]
= 2 · 1
2
(x2 + 3x)−1/2(2x + 3) =
(2x + 3)√
x2 + 3x
15. I =
∫
dx√
8− x2 = arcsen[
x
2
√
2
] + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
arcsen[
x
2
√
2
] + C
]
=
1√
1− ( x
2
√
2
)2
· 1
2
√
2
=
1√
8− x2
16. I =
∫
(
√
a−√x)2dx = ax− 4x
√
ax
3
+
x2
2
+ C
d
dx
[
ax− 4x
√
ax
3
+
x2
2
+ C
]
17 I =
∫
x(2x + 1)2dx = x4 +
4
3
x3 +
1
2
x2 + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
x4 +
4
3
x3 +
1
2
x2 + C
]
= 4x3 + 4x2 + x = x(2x + 1)2
18. I =
∫ √
x(
√
a−√x)2dx = 2
3
a
√
x3 − x2√a + 2
5
√
x5 + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
2
3
a
√
x3 − x2√a + 2
5
√
x5 + C
]
= a
√
x− 2x√a +
√
x3 =
√
x(
√
a−√x)2
19. I =
∫
x(a + bx3)2dx =
a2x2
2
+
2abx5
5
+
b2x8
8
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
a2x2
2
+
2abx5
5
+
b2x8
8
+ C
]
= a2x + 2abx4 + b2x7 = x(a + bx3)2
20. I =
∫
xn−1
√
a + bxndx =
2
√
(a + bxn)3
3nb
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
2
√
(a + bxn)3
3nb
+ C
]
=
2
3nb
· 3
2
√
a + bxn(nbxn−1) = xn−1
√
a + bxn
6 Integração e Funções de Várias Variáveis
21.
∫
(
√
a−√x)4√
x
dx = −1
2
x2 + 2x
√
ax− 3ax + 2a√ax + C
d
dx
[
−1
2
x2 + 2x
√
ax− 3ax + 2a√ax + C
]
22. I =
∫
dx
x2 − 10 =
1
2
√
10
Ln | x−
√
10
x +
√
10
| +C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
1
2
√
10
Ln | x−
√
10
x +
√
10
| +C
]
=
1
2
√
10
[
1
x−√10 −
1
x +
√
10
]
=
1
x2 − 10
Exercício 1.1.3.
Calcular as integrais dos seguintes exercícios.
Solução.
1. I =
∫
5a2x2dx = 5a2
∫
x2dx =
5
3
a2x3 + C.
2. I =
∫ √
2pxdx =
√
2p
∫
x
1
2 dx =
2
3
·
√
2p · x 32 = 2
3
√
2px3 + C.
3. I =
∫
x(x + a)(x + b)dx =
∫
(x3 + (a + b)x2 + abx)dx =
1
4
x4 +
1
3
(a + b)x3 +
1
2
abx2 + C.
4.
∫
(nx)
1−n
n dx = n
√
nx + C.
5. I =
∫
cot2 x.dx =
∫
(csc2 x− 1)dx = − cot x− x + C
6. I =
∫
(
√
x + 1)(x−√x + 1)dx =
∫
(
√
x + 1)[(
√
x)2 −√x + 1]dx =
∫
[(
√
x)3 + 13]dx
=
∫
(x3/2 + 1)dx =
2
5
√
x5 + x + C
7. I =
∫
dx√
4 + x2
= Ln(x +
√
4 + x2) + C. . . . (Veja1 fórmula 27)
8. I =
∫
(xm − xn)2√
x
dx =
∫
(x2m−
1
2 − 2xm+n− 12 + x2n− 12 )dx =
=
2x2m+
1
2
4m + 1
− 4x
m+n+ 1
2
2m + 2n + 1
+
2x2n+
1
2
2n + 1
+ C
9. I =
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 dx =
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
2− x2 · √2 + x2 dx =
∫ [
1√
2− x2 −
1√
2 + x2
]
dx
I =
∫  1√
(
√
2)2 − x2
− 1√
((
√
2) + x2

 dx = arcsen x√
2
− Ln(x +
√
2 + x2) + C
10. I =
∫
dx
x2 + 7
=
∫
dx
x2 + (
√
7)2
=
1√
7
arctan
x√
7
+ C . . . (Veja fórmula 23)
1Ver “Integração e Funções de Várias Variáveis”.- Notas de aula N o9 do mesmo autor.
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 7
11. I =
∫
a.dx
a− x = −a
∫
dx
x− a = −aLn(a− x) + C. . . . (Veja
2 fórmula 2)
12. I =
∫
x2 + 5x + 7
x + 3
dx =
∫
(x2 + 3x) + 2(x + 3) + 1
x + 3
dx =
I =
∫
[x + 2 +
1
x + 3
]dx =
1
2
x2 + 2x + Ln(x + 3) + C.
13.
∫
ax + b
αx + β
=
ax
α
+
b
α
Ln(αx + β)− βa
α2
Ln(αx + β) + C.
14.
∫
1− 3x
3 + 2x
dx = − 3
2
x +
11
4
Ln(6 + 4x) + C.
15.
∫
(a +
b
x− a)
2dx = a2x− b
2
x− a + 2ab · Ln(x− a) + C.
16.
∫
b.dy√
1− y = −2b
√
1− y + C.
17.
∫
x.dx√
x2 + 1
=
√
x2 + 1 + C.
18.
∫
(6x2 + 8x + 3)dx = 2x3 + 4x2 + 3x + C.
19.
∫
3xexdx =
(3e)x
1 + Ln3
+ C.
20.
∫
dx
3x2 + 5
=
√
15
15
arctan[
√
15x
5
] + C.
21.
∫
(a + bx3)2dx = a2x +
abx4
2
+
b2x7
7
+ C.
22.
∫
1
n
√
x
dx =
n
n− 1
n
√
xn−1 + C.
23.
∫
(
3
√
a2 − 3
√
x2)3dx = a2x− 9
5
3
√
a4x5 +
9
7
3
√
a2x7 − x
3
3
+ C.
24. I =
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
3
√
x2
dx =
∫
x4 − x2 − 2
3
√
x2
dx =
∫
(
3
√
x10 − 3
√
x4 − 2 3
√
x−2)dx =
=
3x4 3
√
x
13
− 3x
2 3
√
x
7
− 6 3√x + C.
Exercício 1.1.4.
Sejam a e b constantes reais tais que a 6= b, determine a antiderivada para as seguintes
funções:
1. sen(ax)sen(bx) 2. cos(ax) cos(bx) 3. sen(ax) cos(bx)
Solução.
2Ver “Integração e Funções de Várias Variáveis”.- Notas de aula N o9 do mesmo autor.
8 Integração e Funções de Várias Variáveis
1. Ant[sen(ax)sen(bx)] =
1
2
Ant[cos(ax− bx)− cos(ax + bx)] =
=
1
2
Ant[cos(a− b)x− cos(a + b)x] = 1
2
[
sen(a− b)x
(a− b) −
sen(a + b)x
(a + b)
]
2. Ant([cos(ax) cos(bx)] =
1
2
Ant[cos(ax− bx) + cos(ax + bx)]
=
1
2
Ant[cos(a− b)x + cos(a + b)x] = 1
2
[
sen(a− b)x
(a− b) +
sen(a + b)x
(a + b)
]
3. Ant(sen(ax) cos(bx)] =
1
2
Ant[sen(ax− bx) + sen(ax + bx)] =
=
1
2
Ant[sen(a− b)x + sen(a + b)x] = −1
2
[
cos(a− b)x
(a− b) +
cos(a + b)x
(a + b)
]
Exercício 1.1.5.
Mostre, calculando de duas maneiras, que:
∫
tan x. sec2 x.dx =
1
2
tan2 x + C1 =
1
2
sec2 x + C2
Solução.
•
∫
tan x. sec2 x · dx =
∫
tan x · d(tan x) = 1
2
tan2 x + C1
•
∫
tan x. sec2 x · dx =
∫
secx · (secx · tan x)dx · dx =
∫
secx · d(sec x) = 1
2
sec2 x + C2
Exercício 1.1.6.
Mostre, calculando de três maneiras distintas, que:
∫
senx. cosx.dx =
1
2
sen2x + C1 = −1
2
cos2 x + C2 =
1
4
cos 2x + C3
Solução.
•
∫
senx.cosx · dx =
∫
senx · d(senx) = 1
2
sen2x + C1
•
∫
senx. cosx · dx =
∫
cos x · d(− cos x) = −1
2
cos2 x + C2
•
∫
senx. cosx · dx = 1
2
∫
2senx. cos x · dx = 1
2
∫
sen2xdx = −1
4
cos 2x + C3
Exercício 1.1.7.
O preço de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo. Quando o carro
tiver x anos de uso, a taxa de variação de seu valor será 200(x − 9) reais por ano. Se hoje o
carro foi comprado por 12.000, 00 reais, qual será o custo do carro dentro de cinco anos?
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 9
Seja C(x) o custo do carro, a taxa de variação é C ′(x) = 200(x− 9), logo
∫
C ′(x)dx =
∫
200(x− 9)dx = 100(x− 9)2 + K = C(x), K constante
Logo o preço de revenda é C(x) = 100(x− 9)2 + K.
Hoje acontece quando x = 0, logo C(0) = 100(0− 9)2 + K = 1200 de onde k = 3900. Assim,
C(x) = 100(x− 9)2 + 3900.
Dentro de cinco anos x = 5 e C(5) = 100(5− 9)2 + 3900 = 5500
Portanto, dentro de cinco anos o custo será de 5500 reais.
Exercício 1.1.8.
Determine uma função y = f(x) que satisfaz
dy
dx
=
x + 6x2√
y
e passe pelo ponto (2, 4).
Solução.
De
dy
dx
=
x + 6x2√
y
⇒ √ydy = (x +
√
6x2)dx integrando
∫ √
ydy =
∫
(x +
√
6x2)dx ⇒ 2
3
√
y3 =
1
2
x2 + 2x3 + C
assim y = 3
√
(
3
4
x2 +
1
3
x3 + C)2
A curva passa pelo ponto (2, 4), logo 4 = 3
√
(
3
4
(2)2 +
1
3
(2)3 + C)2 ⇒ C = 7
3
.
Portanto, y = 3
√
(
3
4
x2 +
1
3
x3 +
7
3
)2.
10 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.2 Métodos de Integração.
Exercícios 1-2
Exercício 1.2.1.
Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras:
Solução.
É suficiente derivar a parte direita das igualdades.
1. I =
∫
(
√
x + 5)dx =
2
3
√
x3 + 5x + C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
2
3
√
x3 + 5x + C
]
=
d
dx
[
2
3
x3/2 + 5x + C
]
=
√
x + 5
2. I =
∫
senhx.dx
(1 + cosh x)4
= − 1
3(1 + cosh x)3
. . . . . . verdadeira
d
dx
[
− 1
3(1 + cosh x)3
]
=
d
dx
[
− 1
3
(1 + cosh x)−3
]
= (1 + cosh x)−4senhx =
senhx
(1 + cosh x)4
3.
∫
e
√
x · 3e
√
x
dx√
x
=
2(3e
√
x
)
Ln3
+ C
d
dx
[
2(3e
√
x
)
Ln3
+ C
]
=
4.
∫
cos(7x + 4)dx =
1
7
sen(7x + 4) + C
d
dx
[
1
7
sen(7x + 4) + C
]
=
5.
∫
e2x−5dx =
1
2
e2x−5 + C
d
dx
[
1
2
e2x−5 + C
]
=
6.
∫
18dx
9x2 − x4 = −
2
x
+
2
3
Ln[
x + 3
x− 3] + C
d
dx
[
− 2
x
+
2
3
Ln[
x + 3
x− 3] + C
]
=
7.
∫
4xex · dx = (4e)
x
1 + Ln4
+ C
d
dx
[
(4e)x
1 + Ln4
+ C
]
=
8.
∫
7x2 + 16
x4 + 4x2
dx =
3
2
arctan[
x
2
]− 4
x
+ C
d
dx
[
3
2
arctan[
x
2
]− 4
x
+ C
]
=
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 11
9. I =
∫
dx
1 + cos 10x
=
tan 5x
10
+ C. . . . . . verdadeira
d
dx
[
tan 5x
10
+ C
]
=
5 sec2 5x
10
=
1
2
sec2 5x =
1
2 cos2 5x
=
1
1 + cos 10x
10.
∫
dx
cos2(1− 4x) = −
1
4
tan(1− 4x) + C
d
dx
[
− 1
4
tan(1− 4x) + C
]
=
11.
∫
dx
xLn2x
= − 1
Lnx
+ C
d
dx
[
− 1
Lnx
+ C
]
=
12.
∫ 5√x2 − 2x + 1
1− x dx = −
5
2
5
√
(x− 1)2 + C
d
dx
[
− 5
2
5
√
(x− 1)2 + C
]
=
13.
∫
[Lnx + 1].ex.Lnxdx = xx + C
d
dx
[xx + C] =
14.
∫
2x · 3x+1
5x+2
dx =
3
25
(
6
5
)x(
1
Ln6− Ln5) + C
d
dx
[
3
25
(
6
5
)x(
1
Ln6− Ln5) + C
]
=
15.
∫
senx · etan2 x
cos3 x
dx =
1
2
etan
2 x + C
d
dx
[
1
2
etan
2 x + C
]
=
16.
∫ √
x(x + 1)dx =
2
√
x5
5
+
2
√
x3
3
+ C
d
dx
[
2
√
x5
5
+
2
√
x3
3
+ C
]
=
17.
∫
7dx√
5− x2 = 7arcsen[
x√
5
] + C
d
dx
[
7arcsen[
x√
5
] + C
]
=
18.
∫
3dx
x2 + 4x− 5 =
1
2
Ln[
x− 1
x + 5
] + C
d
dx
[
1
2
Ln[
x− 1
x + 5
] + C
]
=
12 Integração e Funções de Várias Variáveis
19.
∫
dx
1 + senx
= tan x− sec +C
d
dx
[tan x− sec +C] =
20.
∫
xdx
x2(x2 − 8) = Ln
16
√
x2 − 8
x2
+ C
d
dx
[
Ln
16
√
x2 − 8
x2
+ C
]
=
21.
∫
x2x(1 + Lnx)dx =
x2x
2
+ C
d
dx
[
x2x
2
+ C
]
=
22.
∫
cos3 x.dx
1− senx = senx +
sen2x
2
+ C
d
dx
[
senx +
sen2x
2
+ C
]
=
23.
∫
dx
sen2x( 3
√
cot x− 1 =
−3 3
√
(cot x− 1)2
2
+ C
d
dx
[
−3 3
√
(cot x− 1)2
2
+ C
]
=
24.
∫
4 · dx√−4x2 − 20x− 9 = 2arcsen[
2x + 5
4
] + C
d
dx
[
2arcsen[
2x + 5
4
] + C
]
=
25.
∫ √
−4x2 − 12x− 5 · dx = 1
4
[(2x + 3)
√
−4x2 − 12x− 5 + 4arcsen(2x + 3
2
)] + C
d
dx
[
1
4
[(2x + 3)
√
−4x2 − 12x− 5 + 4arcsen(2x + 3
2
)] + C
]
=
26.
∫
dx√
(1 + x2)Ln(x +
√
1 + x2)
= 2
√
Ln(x +
√
1 + x2) + C
d
dx
[
2
√
Ln(x +
√
1 + x2) + C
]
=
27.
∫
earctan x + xLn(x2 + 1) + 1
1 + x2
· dx = earctan x + 1
4
Ln2(x2 + 1) + arctan x + C
d
dx
[
earctan x +
1
4
Ln2(x2 + 1) + arctan x + C
]
=
28.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 · dx = arcsen(
x√
2
)− arcsenh( x√
2
) + C
d
dx
[
arcsen(
x√
2
)− arcsenh( x√
2
) + C
]
=
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 13
29.
∫
dx√
x− 1 +√x + 1 =
1
3
[(
√
(x + 1)3 −
√
(x− 1)3] + C
d
dx
[
1
3
[(
√
(x + 1)3 −
√
(x− 1)3] + C
]
=
Exercício 1.2.2.
Calcular as seguintes integrais utilizando regras principais e fórmulas de integração.
Solução.
1. I =
∫
sen2x · dx = 1
2
∫
(1− cos 2x) · dx = 1
2
[x− 1
2
sen2x] + C =
1
4
(2x− sen2x) + C
2. I =
∫
sec2(ax + b)dx =
1
a
∫
sec2 udu =
1
a
tan(ax + b) + C
3. I =
∫
tan
√
x√
x
dx = 2
∫
tan udu = − 2Ln(cos u) + C = − 2Ln(cos√x) + C
4. I =
∫
senh2x · dx = 1
2
∫
(cosh 2x− 1)dx = − x
2
+
1
4
senh2x + C
5. I =
∫
dx
cosh x
=
∫
2 · dx
ex + e−x
= 2
∫
ex · dx
1 + e2x
= 2
∫
du
1 + u2
= 2 · arctan(ex) + C
6. I =
∫
tanh x · dx =
∫
senhx
cosh x
· dx = Ln(cosh x) + C
7. I =
∫
dx
senxa
=
∫
csc
x
a
dx = a
∫
cscudu = . . . (Veja3 fórmula 11)
I = aLn[cscu− cot u] + C = aLn[csc x
a
− cot x
a
] + C = a · Ln[tan( x
2a
)] + C
8. I =
∫
dx
sen(ax + b)
=
∫
csc(ax + b)dx =
1
a
∫
cscudu = . . . (Veja fórmula 11)
I =
1
a
Ln[csc u− cot u] + C = 1
a
Ln[tan(
ax + b
2
)] + C
9.
∫
xsen(1− x2)dx = −1
2
∫
senu · du = 1
2
cos u + C =
1
2
cos(1− x2) + C
10. I =
∫
tan x · dx = −
∫ −senx
cos x
· dx = −Ln(cos x) + C
11.
∫
dx
senx cos x
= Ln(tan x) + C
12.
∫
cot(
x
a− b)dx = (a− b)Ln[sen(
x
a− b)] + C
13. I =
∫
sen36x · cos 6x · dx = 1
6
∫
sen3u · cos u · du = 1
24
sen4u + C =
1
24
sen46x + C
3Ver “Integração e Funções de Várias Variáveis”.- Notas de aula N o9 do mesmo autor.
14 Integração e Funções de Várias Variáveis
14. I =
∫
sen2x · cos 6x · dx = 1
2
∫
[sen(6x + 2x)− sen(6x− 2x)]dx
I =
1
2
∫
[sen8x− sen4x]dx = 1
2
[−1
8
cos 8x +
1
4
cos 4x]
Portanto,
1
8
cos(4x)− 1
16
cos(8x) + C.
15.
∫ √
tan x
cos2 x
dx =
2
3
√
tan3 x + C
16.
∫
sen3x · dx
3 + cos 3x
= − 1
3
Ln(3 + cos 3x) + C
17.
∫
1 + sen3x
cos2 3x
dx =
1
3
(tan 3x + sec 3x + C
18.
∫
csc2 3x
b− a · cot 3xdx =
1
3a
Ln(b− a · cot 3x) + C
19.
∫
x
5
√
5− x2dx = − 5
12
5
√
(5− x2)6 + C
20.
∫
x3· dx
x8 + 5
=
1
4
√
5
arctan(
x4√
5
) + C
21.
∫
3−√2 + 3x2
2 + 3x2
dx =
√
6
2
arctan(
x
√
6
2
)−
√
3
3
arcsenh(
x
√
6
2
) + C
22.
∫ √
a− bxdx = − 2
3b
√
(a− bx)3 + C
23.
∫
x2
x2 + 2
dx = x−
√
2 arctan(
x√
2
) + C
24.
∫
x2 + 1
x− 1 dx = x +
x2
2
+ 2Ln(x− 1) + C
25.
∫
2x + 3
2x + 1
dx = x + Ln(2x + 1) + C
26. I =
∫
x2 − 5x + 6
x2 + 4
dx =
∫
(x2 + 4)− 5x + 2
x2 + 4
dx =
∫
[1− 5 x
x2 + 4
+
2
x2 + 4
dx =
I =
∫
dx− 5
2
∫
2x
x2 + 4
dx + 2
∫
1
x2 + 4
dx = x− 5
2
Ln(x2 + 4) + arctan(
x
2
) + C
27.
∫
dx√
7− 5x2 =
1√
5
arcsen(x
√
5
7
) + C
28.
∫
dx
7x2 − 8 = −
√
14
28
arctanh(
x
√
14
14
) + C
29.
∫
x
(x + 1)2
dx =
1
x + 1
+ Ln(x + 1) + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 15
30.
∫
3− 2x
5x2 + 7
dx =
3
√
35
35
arctan(
x
√
35
35
)− 1
5
Ln(5x2 + 7) + C
Exercício 1.2.3.
Determine o valor das seguintes integrais mediante mudança da variável apropriada:
Solução.
1. I =
∫
senax · senbx · dx = 1
2
∫
[cos(a− b)x− cos(a + b)x]dx ⇔
Fazer u = (a− b)x e v = (a + b)x ⇒ du = (a− b)dx e dv = (a + b)dx, logo
I =
1
2(a− b)
∫
cos udu− 1
2(a + b)
∫
senvdv ⇔ I = 1
2
[
sen(a− b)x
a− b −
sen(a + b)x
a + b
] + C
2. I =
∫
cos ax · cos bx · dx = 1
2
∫
[cos(a− b)x + cos(a + b)x]dx ⇔
Fazer u = (a− b)x e v = (a + b)x ⇒ du = (a− b)dx e dv = (a + b)dx, logo
I =
1
2(a− b)
∫
cos udu+
1
2(a + b)
∫
cos vdv ⇔ I = 1
2
[
sen(a− b)x
a− b +
sen(a + b)x
a + b
]+C
3. I =
∫
senax · cos bx · dx = 1
2
∫
[sen(a− b)x + sen(a + b)x]dx ⇔
Fazer u = (a− b)x e v = (a + b)x ⇒ du = (a− b)dx e dv = (a + b)dx, logo
I =
1
2(a− b)
∫
senudu+
1
2(a + b)
∫
senvdv ⇔ I = −1
2
[
cos(a− b)x
a− b +
cos(a + b)x
a + b
]+C
4. I =
∫
sen3x · cos x · dx =
∫
u3du =
1
4
sen4x + C. Mudança: u = senx
5. I =
∫
x
ax + b
dx =
1
a
∫
ax
ax + b
dx =
1
a
[
∫
(ax + b)− b
ax + b
dx] ⇔
⇔ I = 1
a
∫
[1− b
ax + b
]dx =
1
a2
[ax− bLn(ax + b)] + C. Mudança: u = ax + b
6. I =
∫
x
√
1 + x2dx =
1
2
∫ √
udu =
1
3
√
(1 + x2)3 + C . Mudança: u = 1 + x2.
7. I =
∫
x2
x3 − adx =
1
3
∫
1
u
du =
1
3
Lnu + C =
1
3
Ln(x3 − a) + C. Mudança: u = x3 − a.
8. I =
∫
senx
cos2 x
dx =
∫
secx tan xdx =
∫
d(secx) = secx + C
9.
∫
x(a + bx2)3dx =
1
8b
(a + bx2)4 + C
10. I =
∫
tan x
cos2 x
dx =
∫
tan x sec2 xdx =
∫
udu =
1
2
tan2 x + C Mudança: u = tan x
16 Integração e Funções de Várias Variáveis
11.
∫
(Lnx)p
x
dx =
1
p + 1
(Lnx)p+1 se p 6= −1; e Ln(Lnx) se p = −1
12. I =
∫
ex
1 + e2x
dx = arctan(ex) + C. Mudança: u = ex.
13. I =
∫
ex
1 + ex
dx = Ln(1 + ex) + C. Mudança: u = 1 + ex.
14. I =
∫
cos x · dx
a + bsenx
=
1
b
Ln(a + b · senx) + C. Mudança: u = a + bx.
15. I =
∫
arcsenx√
1− x2 dx =
∫
udu =
1
2
(arcsenx)2 + C. Mudança: u = arcsenx
16.
∫
(3x− 1)dx
3x2 − 2x + 5 =
1
2
Ln(3x2 − 2x + 5) + C
17.
∫
dx
x(1 + Lnx)3
= − 1
2
(1 + Lnx)−2 + C
18.
∫
cos x
1 + sen2x
dx =
∫
1
1 + u2
du = arctan(senx) + C. Mudança: u = senx.
19.
∫
dx
x
√
1− Ln2x
= arcsen(Lnx) + C
20.
∫
dx√
x cos2(
√
x)
= 2 tan
√
x + C
21.
∫
sen2x
1 + cos2 x
dx = − Ln(1 + cos2 x) + C
22.
∫
cos(Lnx)
x
dx = sen(Lnx) + C
23.
∫
cos x · √1 + senx · dx = 2
3
√
(1 + senx)3 + C
24. I =
∫
senx · cos x
1 + cos2 x
dx. Fazer u = 1 + cos2 x ⇒ −1
2
du = senx cosxdx, logo
I =
∫
senx · cos x
1 + cos2 x
dx = −1
2
∫
1
u
du = −1
2
Lnu + C = − 1
2
Ln(1 + cos2 x) + C
25.
∫
cot x · dx = Ln(cot x− cscx) + C
26.
∫
(3x2 − 6x)3(x− 1)dx. Fazer u = 3x2 − 6x ⇒ 1
6
du = (x− 1)dx, logo
I =
∫
(3x2 − 6x)3(x− 1)dx = 1
6
∫
u3du =
1
24
u4 + C =
1
24
(3x2 − 6x)4 + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 17
27. I =
∫
x · e1+x2dx. Fazer u = 1 + x2 ⇒ 1
2
du = xdx, logo
I =
∫
x · e1+x2dx = 1
2
∫
eudu =
1
2
eu + C =
1
2
e1+x
2
+ C
28.
∫
dx√
1 + x
= 2
√
1 + x + C
29.
∫
senx + cos x
3 + sen2x
dx =
1
4
Ln[
senx− cos x + 2
senx− cos x− 2 ] + C
30.
∫
dx√
1− x2 = arcsenx + C
31.
∫ √
x · dx√
a3 − x3 = −
2
3
arctan
√
a3 − x3
x3
+ C
32.
∫
dx
(x + 1)
√
x
= 2 arctan
√
x + C
33.
∫
x2√
1 + x6
· dx = 1
3
arcsen(x3) + C
34.
∫ √
a− x√
x
dx = [
√
x · √a− x + a(arcsen
√
x
a
)] + C
35. I =
∫
x2 · dx
a6 − x6 . Fazer u = x
3 ⇒ du = 3x2dx logo I = 1
3
∫
du
a6 − u2 ⇔
⇔ I = 1
6a3
∫
[
1
a3 + u
+
1
a3 − u ]du =
1
6a3
Ln[
a3 + x3
a3 − x3 ] + C
Exercício 1.2.4.
Calcular as integrais dos seguintes exercícios:
Solução.
1. I =
∫
x3
a2 − x2 dx = −
∫
(a2x− x3)− a2x
a2 − x2 dx = a
2
∫
x
a2 − x2 dx−
∫
x(a2 − x2)
a2 − x2 dx
I = a2
∫
x
a2 − x2 dx−
∫
xdx = −a
2
2
∫
1
u
du− x
2
2
onde u = a2 − x2
Portanto, I = −1
2
x2 − a
2
2
Ln(a2 − x2) + C
2.
∫
dx√
7 + 8x2
dx =
√
2
4
arcsenh(
2
√
14x
7
) + C
3.
∫
dx
(a + b)− (a− b)x2 =
1√
a2 − b2 arctanh[
(a− b)x√
a2 − b2 ] + C 0 < b < a
4.
∫
2x− 5
3x2 − 2dx =
1
3
· Ln(3x2 − 2) + 5
√
6
6
arctanh(
x
√
6
2
) + C
18 Integração e Funções de Várias Variáveis
5.
∫
3x + 1√
5x2 + 1
dx =
3
√
5x2 + 1
5
+
√
5
5
arcsenh(
√
5x) + C
6.
∫
x
x2 − 5dx =
1
2
Ln(x2 − 5) + C
7.
∫
ax + b
a2x2 + b2
dx =
1
2a
[Ln(a2x2 + b2) + 2 arctan(
ax
b
)] + C
8.
∫
x2
1 + x6
dx =
1
3
arctan(x3) + C
9.
∫ √
arcsenx
1− x2 · dx =
2
3
√
(arcsenx)3 + C
10.
∫
x
√
e
x2
dx = − x√e + C
11.
∫
a · e−mxdx = − a
m
e−mx + C
12.
∫
(et − e−t)dt = (et + e−t) + C
13.
∫
(ax − bx)2
ax · bx dx =
1
Lna− Lnb [(
a
b
)x − ( b
a
)x]− 2x + C
14.
∫
x · e(x2+1)dx = 1
2
e(x
2+1) + C
15.
∫
x−√arctan 2x
1 + 4x2
dx =
1
8
Ln(1 + 4x2)− 1
3
√
(arctan 2x)3 + C
16. I =
∫
ex
ex − 1dx =
∫
1
u
du = Ln(ex − 1) + C. Considerar: u = ex − 1.
17. I =
∫
ax · dx
1 + a2x
=
1
Lna
∫
axLna · dx
1 + a2x
=
1
Lna
arctan(ax) + C. Considerar: u = ax.
18.
∫
3
√
( a
√
ex + 1) · a
√
exdx =
3a
4
· 3
√
( a
√
e + 1)4 + C
19. I =
∫
et
1− e2t dt =
1
2
∫
[
1
1− et −
1
1 + et
]dt =
1
2
∫
[
e−t
e−t − 1 −
e−t
e−t + 1
]dt =
I =
1
2
[−Ln(e−t − 1) + Ln(e−t + 1)] = 1
2
Ln
e−t + 1
e−t − 1
Portanto, I =
1
2
Ln(coth
t
2
) + C
20. I =
∫
cos(
x√
5
)dx =
∫
cos udu =
√
5sen(
x√
5
) + C. Considerar: u =
5√
x
.
21. I =
∫
(cos
√
x)√
x
dx = 2
∫
cos udu = 2sen
√
x + C. Considerar: u =
√
x.
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 19
Exercício 1.2.5.
Resolver as seguintes integrais:
Solução.
1. I =
∫
x− arctan 2x
1 + 4x2
dx =
∫
x
1 + 4x2
dx−
∫
arctan 2x
1 + 4x2
dx
I =
1
2
∫
2x
1 + (2x)2
dx−
∫
arctan 2x
1 + (2x)2
dx =
1
4
∫
u
1 + u2
du− 1
2
∫
arctan v
1 + v2
dv =
I =
1
8
Ln(1 + u2)− 1
4
arctan2 v + C =
Portanto, I =
1
8
Ln(1 + 4x2)− 1
4
arctan2(2x) + C
2.
∫
Ln(Lnx)
x · Lnx dx Rpta.
1
2
Ln2(Lnx) + C
3. I =
∫
dx
2x + 3
=
1
3
∫
(2x + 3)− 2xdx
2x + 3
=
13
∫
dx−
∫
2xdx
2x + 3
dx
Portanto,
1
3
[x− 1
Ln2
Ln(2x + 3)] + C
4.
∫
dx√
ex − 1 Rpta. 2 arctan
√
ex − 1 + C
5. I =
∫
senx · cos x · dx√
2− sen4x =
1
2
∫
2senx · cos x√
2− sen4x dx =
1
2
∫
2senx · cos x√
(
√
2)2 − (sen2x)2
dx =
I =
1
2
∫
du√
(
√
2)2 − u2
dx =
1
2
arcsen
sen2x√
2
+ C onde u = sen2x
6. I =
∫
dx
4 + 5sen2x
=
∫
dx
cos2 x(4 sec2 x + 5 tan2 x)
=
∫
sec2 xdx
(4(1 + tan2 x) + 5 tan2 x)
=
I =
∫
sec2 xdx
4 + 9 tan2 x
=
1
3
∫
3 sec2 xdx
4 + (3 tan x)2
=
1
3
∫
3 sec2 xdx
22 + (3 tan x)2
=
I =
1
3
∫
du
22 + u2
=
1
6
arctan(
u
2
) =
1
6
arctan(
3 tan x
2
) + C =
Portanto, I =
1
6
arctan(
3 tan x
2
) + C
7. I =
∫
dx
4 + 5 cos2 x
∫
dx
sen2x(4 csc2 x + 5 cot2 x)
=
∫
csc2 xdx
(4(1 + cot2 x) + 5 cot2 x)
=
I =
∫
csc2 xdx
4 + 9 cot2 x
= −1
3
∫ −3 csc2 xdx
4 + (3 cot x)2
= −1
3
∫
3 csc2 xdx
22 + (3 cot x)2
=
I = −1
3
∫
du
22 + u2
= −1
6
arctan(
u
2
) =
1
6
arctan(
3 cot x
2
) + C =
20 Integração e Funções de Várias Variáveis
Portanto, I =
1
6
arctan(
3 cot x
2
) + C
8. I =
∫
dx
ex + 4
=
∫
e−xdx
1 + 4e−x
=
1
4
∫
4e−xdx
1 + 4e−x
= −1
4
∫
du
1 + u
=
1
4
Ln(1 + u)
Portanto, I = −1
4
Ln(1 + 4e−x) + C
9.
∫
Ln3x · dx
x · Ln5x u =
Ln3x
Ln5x
Rpta.
3
5
[Ln(Ln5x) + Lnx] + C
10. I =
∫ √
Ln(x +
√
x2 + 1)
1 + x2
dx. Seja u = Ln(x +
√
1 + x2), então du =
1√
1 + x2
dx, logo
I =
∫ √
Ln(x +
√
x2 + 1)
1 + x2
dx =
∫ √Ln(x +√x2 + 1)
√
1 + x2
dx =
∫ √
udu
I =
2
3
√
u3 + C =
2
3
√[
Ln(x +
√
x2 + 1)
]3
+ C
11. I =
∫ √
1 + senxdx =
∫ √
1 + senx ·
√
1− senx√
1− senx =
∫
cosx√
1− senxdx =.
I = −
∫
du√
u
= −2√u + C = −2√1− senx + C
12. I =
∫ √
1 + cos xdx =
∫ √
1 + cos x ·
√
1− cos x√
1− cos x =
∫
senx√
1− cos x
I =
∫
du√
u
= 2
√
u + C = 2
√
1− cos x + C
13. I =
∫
dx
e−x + ex
=
∫
dx
e−x(1 + e2x)
=
∫
exdx
1 + (ex)2
. Considerar u = ex, logo
Portanto, I = arctan(ex) + C
14.
∫
dx√√
x + 1
Rpta.
4
3
√
(
√
x + 1)3 − 4
√√
x + 1 + C
15.
∫
arctan
√
x√
x + 2x2 + x3
dx Rpta. [arctan
√
x]2 + C
16. I =
∫
(x− 2)dx
x
√
x− 1 · √x2 − x + 1 . Considerar: u =
√
x2 − x + 1
x
, logo u2 =
x2 − x + 1
x2
2udu = (
1
x2
− 2
x3
)dx ⇒ 2ux3du = (x− 2)dx
Como x2u2 = x2 − x + 1 ⇒ x− 1 = x2(1− u2) ⇒ x√x− 1 = x2√1− u2, assim
I =
∫
(x− 2)dx
x
√
x− 1 · √x2 − x + 1 =
∫
2ux3du
x2
√
1− u2 · xu =
∫
2√
1− u2 du
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 21
I = 2arcsenu + C = 2arcsen
[√
x2 − x + 1
x
]
+ C
17.
∫
sen8x · dx
9 + sen44x
Rpta.
1
12
arctan
sen24x
3
+ C
18.
∫
csc3 x · dx
Rpta. −1
2
[csc x cot x + Ln(csc x− cot x)] + C
19.
∫
(2ex + e−x)dx
3ex − 4e−x
Rpta. Ln( 3
√
3e2x − 4 · 8√3− 4e−2x) + ‘C
20.
∫
Lnx · dx
x3(Lnx− 1)3 Rpta. −
1
2x2(Lnx− 1)2 + C
21.
∫
x · dx
(x− 1)5e4x
Rpta. − 1
4(x− 1)4e4x + C
22. I =
∫
ex
√
ex + 2 · dx
6 + ex
Seja u2 = ex + 2 ⇒ 2udu = exdx, substituindo na integral
I =
∫
u(2udu)
4 + u2
= 2
∫
(4 + u2)
4 + u2
du− 2
∫
4
4 + u2
du = 2
∫
du− 4
∫ 1
2
1 + (
u
2
)2
du
I = 2u− 4 arctan u
2
+ C = 2
√
ex + 2− 4 arctan
√
ex + 2
2
+ C
23. I =
∫
cos2 x(tan2 x + 1)
(senx + cos x)2
dx =
∫
cos2 x(sec2 x)
cos2 x(tan x + 1)2
dx =
∫
sec2 x
(tan x + 1)2
dx
I =
∫
du
u2
= −1
u
+ C = − 1
1 + tan x
+ C onde u = tan x + 1
24.
∫
(1 + tan x)dx
sen2x
Rpta.
1
2
[Ln(csc 2x− cot 2x) + tan x] + C
25. I =
∫
dx
eLn(2x)
√
Lnx +
√
Lnx +
√
Lnx + . . . +∞ − x
Seja u =
√
Lnx +
√
Lnx +
√
Lnx + . . . +∞ ⇒ u2 = Lnx+u, logo (2u−1)du = 1
x
dx,
assim du =
dx
x(2u− 1) então
I =
∫
dx
2x · u− x =
∫
dx
x(2u− 1) =
∫
du = u + C
22 Integração e Funções de Várias Variáveis
Portanto, I =
√
Lnx +
√
Lnx +
√
Lnx + . . . +∞+ C
26. I =
∫
sec3 x · dx = 1
3− 1 tan x sec
3−2 x +
3− 2
3− 1
∫
secxdx = . . . (Veja fórmula 53)
I =
1
2
tan x sec x +
1
2
Ln(sec x + tan x) + C
27.
∫
x2senx−1(senx + x · cosx · Lnx)dx. Seja u = x2senx ⇒ Lnu = (2senx)Lnx.
Calculando a derivada
du
u
= 2 cos xLnx +
1
x
(2senx) ⇒ du = x2senx−1(2x cos xLnx + 2senx)dx
I =
1
2
∫
du =
1
2
u + C =
1
2
x2senx + C
28. I =
∫
x5 · dx
x3 − 8 =
∫
(x5 − 8x2 + 8x2) · dx
x3 − 8 =
∫
[
x2(x3 − 8)
x3 − 8 +
8x2
x3 − 8dx =
I =
∫
x2dx +
8
3
∫
3x2
x3 − 8]dx =
x3
3
+
8
3
Ln(x3 − 8) + C
29. I =
∫
(cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10)dx
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
• cos 6x + cos 4x = cos(5x + x) + cos(5x− x) = 2 cos 5x cos x
• cos 4x + cos 2x = cos(3x + x) + cos(3x− x) = 2 cos 3x cos x
• cos 2x + 1 = 2 cos2 x
I =
∫ [
(cos 6x + cos 4x) + 5(cos 4x + cos 2x) + 10(cos 2x + 1))
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
]
dx =
I =
∫ [
(2 cos 5x cos x) + 5(2 cos 3x cos x) + 10(2 cos2 x))
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
]
dx =
I =
∫ [
2 cos x(cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x)
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
]
dx = 2
∫
cosxdx = 2senx + C
Exercício 1.2.6.
Uma função contínua, real de variável real satisfaz as seguintes condições : f(1) = 0 e
f ′(x) =
x+ | 1− x |
x2 + 1
. Achar f(x).
Solução.
Suponhamos 1− x ≥ 0, então f ′(x) = x+ | 1− x |
x2 + 1
=
1
x2 + 1
, de onde f(x) = arctan x + C.
Como f(1) = 0, então f(1) = arctan 1 + C = 0 implica que C = −pi
4
.
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 23
Por outro lado, suponhamos que 1− x < 0, então f ′(x) = 2x− 1
x2 + 1
, assim
∫
f ′(x)dx =
∫
2x− 1
x2 + 1
dx =
∫ [
2x
x2 + 1
− 1
x2 + 1
]
dx = Ln(x2 + 1)− arctan x + C = f(x)
Portanto, f(x) =
{
arctan x− pi
4
, se 1 ≥ x
Ln(x2 + 1)− arctan x + C, se 1 < x
Exercício 1.2.7.
Determine a equação da curva para o qual y′ =
4
x3
é tangente à reta 2x + y = 5 no ponto
(1, 3).
Solução.
Resposta: y =
2
x
+ 1
Exercício 1.2.8.
Determine a equação da curva y = f(x) cuja tangente no ponto (0, 2) é horizontal e tenha
como ponto inflexão (−1, 2
3
) e satisfaz y′′′ = 4 .
Solução.
Commo y′′′ = 4 então y′′ = 4x + C onde C é uma constante.
Quando y′′ = f ′′(x0) = 4x0 +C = 0 obteremos que o ponto x0 é de inflexão. Assim, do ponto
de inflexão (−1, 2
3
) , segue que y′′ = f ′′(−1) = 4(−1) + C = 0 ⇒ C = 4.
Da igualdade y′′ = 4x−4 tem-se que y′ = 2x2−4x+C1 onde C1 é uma constante. Quando
x = 0 nesta última igualdade, teremos o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x)
no ponto (0, 2) .
Logo y′ = f ′(0) = 2(0)2− 4(0) + C1 = 0 pelo fato ser a tangente horizontal. Isto implica que
y′ = 2x2 − 4x.
Deste modo y =
2
3
x3 − 2x2 + C2 onde C2 é uma constante.
No ponto (0, 2) tem-se que 2 =
2
3
(0)3 − 2(0)2 + C2 ⇒ C2 = 0.
Portanto, y =
2
3
x3 − 2x2 + 2 é a função procurada.
24 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.3 Método de Integração por Partes.
Exercícios 1-3
Exercício 1.3.1.
Mediante integração por partes, resolver as seguintes integrais indefinidas:
Solução.
1. I =
∫
Lnx · dx. Sejam u = Lnx e dv = dx, então u′ = 1
x
e v = x, logo
I =
∫
Lnx · dx = xLnx−
∫
1
x
· xdx ⇒ I = xLnx− x + C
2. I =
∫
x2Lnx · dx. Sejam u = Lnx e dv = x2dx, então u′ = 1
x
e v =
1
3
x3, logo
I =
∫
x2Lnx · dx = 1
3
x3Lnx− 1
3
∫
1
x
· x3dx ⇒ I = 1
3
x3Lnx−1
3
x3 + C
3. I =
∫
xpLnx·dx. Seja p 6= 1, e sejam u = Lnx e dv = xpdx, então u′ = 1
x
e v =
1
p + 1
xp+1,
logo I =
∫
xpLnx · dx = 1
p + 1
xp+1Lnx− 1
p + 1
∫
1
x
· xp+1dx
⇒ I = 1
p + 1
xp+1Lnx− 1
(p + 1)2
xp+1 + C ⇒ I = x
p+1
p + 1
[(p + 1)Lnx− 1] + C.
4. I =
∫
Lnx
x3
dx. Sejam u = Lnx e dv =
1
x3
dx, então u′ =
1
x
e v = − 1
2x2
, logo
I = − 1
2x2
Lnx +
1
2
∫
· 1
x3
dx ⇒ I = − 1
2x2
Lnx− 1
8x4
+ C
5. I =
∫
Ln(Lnx)
x
dx. Sejam u = Ln(Lnx) e dv =
1
x
dx, então u′ =
1
xLnx
e v = Lnx, logo
I = (Lnx)[Ln(Lnx)]−
∫
1
xLnx
· Lnxdx ⇒ I = (Lnx) · [Ln(Lnx) − 1] + C
6. I =
∫
Ln(x +
√
1 + x2)dx. Sejam u = Ln(x +
√
1 + x2) e dv = dx, então
du
dx
=
1√
1 + x2
e v = x, logo
I = xLn(x +
√
1 + x2)−
∫
x√
1 + x2
= x · Ln(x +
√
1 + x2)−
√
1 + x2 + C
7.
∫
x · Ln(x− 1
x + 1
)dx =
x2 − 1
2
· Ln[x− 1
x + 1
] + C
8.
∫
e−x cos2 x · dx = e
− x
5
[cos x(2senx− cos x)− 2] + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 25
9.
∫
x · cos x
sen2x
dx = Ln(csc x− cot x)− x
senx
+ C
10. I =
∫
x · senx · dx. Sejam u = x e dv = senxdx, então u′ = dx e v = − cos x, logo
I = −x cosx−
∫
(− cos x)dx ⇒ I = −x cosx + senxC
11. I =
∫
x · cos x · dx. Sejam u = x e dv = cos xdx, então u′ = dx e v = senx, logo
I = xsenx−
∫
(senx)dx ⇒ I = xsenx + cos x + C
12.
∫
sen(Lnx)dx =
x
2
· [sen(Lnx) − cos(Lnx)] + C
13.
∫
x · eaxdx = e
ax(ax− 1)
a2
+ C
14.
∫
x · 2−xdx = − 2
− x
Ln22
− x · 2
− x
Ln2
+ C
15.
∫
x · senx · cos x · dx = x
4
+
senx cos x
4
− x · cos
2 x
2
+ C
16. I =
∫
arcsenx · dx. Sejam u = arcsenx e dv = dx, então du = 1√
1−x2 dx e v = x, logo
I = x · arcsenx−
∫
x√
1− x2 dx = x · arcsenx +
√
1− x2 + C
17.
∫
arctan x · dx = x · arctan x− Ln(
√
1 + x2) + C
18.
∫
cosh x · senhx · dx = 1
2
senh2x + C
19.
∫
arcsenhx · dx = x · arcsenhx−
√
1 + x2 + C
20.
∫
x2 arctan x · dx = x
3
3
arctan x− x
2
6
+
1
6
Ln(1 + x2) + C
21.
∫
x · arctan x · dx = 1
2
(x2 + 1) · arctan x + C
22.
∫
e
√
xdx = 2e
√
x(
√
x− 1) + C
23.
∫
x(arctan x)2dx =
1
2
· [(x2 + 1)(arctan x)2 + Ln(x2 + 1)] − x · arctan x + C
24.
∫
(x2 − 2x + 5) · e−xdx = 1
2
e2x(x3 + 2x2 − 4x− 18) + C
26 Integração e Funções de Várias Variáveis
25. I =
∫ √
a2 − x2dx. Sejam u = √a2 − x2 e dv = dx, então du
dx
=
−x√
a2 − x2 e v = x,
logo
I = x
√
a2 − x2 +
∫
x2√
a2 − x2 dx = x
√
a2 − x2 −
∫
(a2 − x2)− a2√
a2 − x2 dx =
I = x
√
a2 − x2 −
∫ √
a2 − x2dx +
∫
a2√
a2 − x2 dx = x
√
a2 − x2 − I − Ln(x +
√
a2 − x2)
Portanto, I =
1
2
[x
√
a2 − x2 − a2Ln(x +
√
a2 − x2)] + C
26.
∫
arcsenx
x2
dx = − arcsenx
x
− arctan[ 1√
1− x2 ] + C
27.
∫
cos x · Ln(1 + cos x) · dx = senx · [1 + Ln(1 + cos x)] + C
28.
∫
x · dx
cos2 x
= x · tan x + Ln(cos x) + C
29.
∫
x · tan2 x · dx = x · tan x− 1
2
· [x2 + Ln(sec2 x)] + C
30.
∫
(x3 + 5x2 − 2)e2xdx = e
2x
8
[4x3 + 14x2 − 14x− 1] + C
31. I =
∫ √
x2 + a2 · dx. Sejam u = √x2 + a2 e dv = dx, então u′ = x√
x2 + a2
dx e v = x,
logo
I = x
√
x2 + a2 −
∫
x2√
x2 + a2
dx = x
√
x2 + a2 −
∫
x2 + a2√
x2 + a2
dx +
∫
a2√
x2 + a2
dx =
I = x
√
x2 + a2 − I +
∫
a2√
x2 + a2
dx ⇒ 2I = x
√
x2 + a2 + a2Ln(x +
√
x2 + a2)
Portanto, I =
1
2
[x
√
a2 + x2 + a2Ln(x +
√
a2 + x2)] + C
32. I =
∫ √
x2 − a2dx. Sejam u = √x2 − a2 e dv = dx, então u′ = x√
x2 − a2 dx e v = x,
logo
I = x
√
x2 − a2 −
∫
x2√
x2 − a2 dx = x
√
x2 − a2 −
∫
x2 − a2√
x2 − a2 dx−
∫
a2√
x2 − a2 dx =
I = x
√
x2 − a2 − I +
∫
a2√
x2 − a2 dx ⇒ 2I = x
√
x2 − a2 − a2Ln(x +
√
x2 − a2)
Portanto, I =
1
2
[x
√
a2 − x2 − a2Ln(x +
√
a2 − x2)] + C
33.
∫ √
x2 + 2x + 5 · dx = 1
2
· (x + 1)
√
x2 + 2x + 5 + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 27
34.
∫ √
x(3x− 2)dx = 1
6
(3x− 1)
√
x(3x− 2)−
√
3
18
Ln(
√
3(3x + 1)
3
+
√
x(3x− 2) + C
35.
∫
x · sen(ax) · dx = 1
a2
senax − 1
a
x · cos ax; +C
36.
∫
x2Ln(x6 − 1)dx = 1
3
x3Ln(x6 − 1)− 2
3
x3 +
1
3
Ln[
x3 + 1
x3 − 1] + C
37.
∫
x2 · e2x · dx = e
2x
2
· [1
4
− x
2
+
x2
2
] + C
38.
∫
x · cosh(x
2
) · dx = 2x · senh(x
2
)− 4 cosh(x
2
) + C
39.
∫
ex · cos2 x · dx = e
x · cos x
5
[cosx + 2senx] +
2
5
ex + C
40.
∫
3x · cos x · dx = 3
x
1 + (Ln3)3
[senx + (Ln3) · cos x] + C
41.
∫
x2 · e−xdx = − e− x(x2 + 2x + 2) + C
42.
∫
eax cos bx · dx = e
ax
a2 + b2
[a · sen(bx) + b · cos(bx)] + C
43.
∫
e2xsen2x · dx = e
2x
4
senx[senx− cos x] + e
x
8
+ C
44.
∫
earcsenx · dx = e
arcsenx
2
[x +
√
1− x2] + C
45.
∫
senhx · cos x · dx = 1
2
[cosh x · cosx + senhx · senx] + C
46.
∫
x2 · e3x · dx = e
3x
27
[9x2 − 6x + 2] + C
47.
∫
x3 · e− x3 · dx = − 3e− x3 [x3 + 9x2 + 54x + 162] + C
48.
∫
Lnx√
x
· dx = 2√x · Lnx− 4√x + C
49.
∫
ex · senx · dx = e
x
2
[senx− cos x] + C
50.
∫
x · arcsenx · dx = x
2
2
arcsenx− 1
4
· arcsenx + 1
4
x
√
1− x2 + C
51.
∫
(x2 + 5x + 6) cos 2x · dx = 1
4
(x2 + 10x + 11)sen2x +
1
4
(2x + 5) + C
52.
∫
(arcsenx)2dx = x · (arcsenx)2 + 2
√
1− x2 · arcsenx− 2x + C
53.
∫
arcsen
√
x√
1− x · dx = 2
√
x− 2√1− x · arcsen√x + C
28 Integração e Funções de Várias Variáveis
54.
∫
Ln2x · dx = x · Ln2x − 2x · Lnx + 2x + C
55.
∫
x3 · e−x2 · dx = e
− x2
2
(x2 + 1) + C
56.
∫
Ln2x
x2
· dx = − [Ln
2x
x
+
2Lnx
x
+
2
x
] + C
57.
∫
(x2 − 2x + 3)Lnx · dx = (x
3
3
− x2 + 3x)Lnx− x
3
9
+
x2
2
− 3x + C
58.
∫
sen2x
ex
· dx = e
− x
10
(cos 2x− 2 · sen2x− 5) + C
69.
∫
x · arctan x · dx = 1
2
arctan x− x
2(x2 + 1)
+ C
60. I =
∫
x2 · dx√
9− x2 = −
∫
(9− x2)− 9 · dx√
9− x2 =
∫
9 · dx√
32 − x2 −
∫ √
32 − x2dx
I = 9arcsen(
x
3
)− 1
2
[x
√
32 − x2 + 9arcsen(x
3
) + C] =
9
2
arcsen(
x
3
)− x
√
9− x2
2
61.
∫
x · dx
sen2x
= − x · cot x + Ln(senx) + C
62.
∫
x2 · arctan 3x · dx = x
3
3
arctan 3x− x
2
18
+
1
162
Ln(9x2 + 1) + C
Exercício 1.3.2.
Se P (x) é um polinômio em x, e P ′, P”, P”′, . . . indicam as derivadas, mostre que:
1.
∫
P (x)eaxdx =
eax
a
(1− P
′
a
+
P ′′
a2
− P
′′′
a3
+ . . .)
2.
∫
P (x) cos(ax)dx =
sen(ax)
a
(1− P
′′
a2
+
P (4)
a4
− P
(6)
a6
+ . . .) +
+
cos(ax)
a
(
P ′
a
− P
′′′
a3
+
P (5)
a5
− . . .)
Solução.
Exercício 1.3.3.
Suponha m 6= 1 e n 6= 1 deduzir a fórmula de recorrência para cada uma das integrais:
1. In =
∫
xn · eax · dx satisfaz In = 1
a
· xn · eax − n
a
· In−1.
2. In =
∫
(Lnx)n · dx satisfaz In = x · (Lnx)n − n · In−1.
3. Imn =
∫
xm · (Lnx)n · dx satisfaz Imn =
xm+1
1 + m
· (Lnx)n − n
m + 1
· Im−1n
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 29
4. In =
∫
ex
xn
· dx satisfaz In = − e
x
(n− 1)xx−1 +
1
n− 1 · In−1
5. In =
∫
(a + bxp)n · dx satisfaz (np + 1)In = x(a + bxp)n + anp · In−1.
Solução.
1. Sejam u = xn e dv = eaxdx, então du = nxn−1dx e v =
1
a
eax, logo
In =
1
a
xneax − n
a
∫
xn−1eaxdx =
1
a
xneax − n
a
In−1
Portanto, In =
1
a
· xn · eax − n
a
· In−1, n ∈ N, n 6= 1
2. Sejam u = (Lnx)n e dv = dx, então du = nx (Lnx)
n−1dx e v = x, logo
In = x · (Lnx)n − n
∫
x · 1
x
(Lnx)n−1dx = x · (Lnx)n− nIn−1
Portanto, In = x · (Lnx)n − n · In−1, n ∈ N, n 6= 1
3. Sejam u = (Lnx)n e dv = xmdx, então du =
n
x
(Lnx)n−1dx e v =
1
m + 1
xm+1, logo
Imn =
1
m + 1
xm+1 · (Lnx)n− n
m + 1
∫
xm+1 · 1
x
(Lnx)n−1dx =
xm+1
m + 1
· (Lnx)n− n
m + 1
Im−1n
Portanto, Imn =
xm+1
1 + m
· (Lnx)n − n
m + 1
Im−1n , m, n ∈ N, n 6= 1, m 6= 1
4.
5. Sejam u = (a + bxp)n e dv = dx, então du = nbpxp−1(a + bxp)n−1dx e v = x, logo
In = x(a+bx
p)n−
∫
[nbpxp(a+bxp)n−1]dx = x(a+bxp)n−np
∫
[(a+bxp−a)(a+bxp)n−1]dx
In = x(a + bx
p)n − np
∫
(a + bxp)ndx + npa
∫
(a + bxp)n−1dx
(1 + np)In = x(a + bx
p)n + npaIn−1
Portanto, (1 + np)In = x(a + bxp)n + anp · In−1.
Exercício 1.3.4.
Determine
∫
sen4x · dx de dois modos diferentes: primeiro, utilizando a fórmula de redução,
e logo utilizando a fórmula do sen2x.
Solução.
30 Integração e Funções de Várias Variáveis
1. I =
∫
sen4x · dx = 1
2
∫
(1− cos 2x)2dx = 1
2
∫
[1− 2 cos 2x + cos2 2x]dx ⇔
⇔ I = 1
2
∫
[
3
2
− 2 cos 2x + 1
2
cos 4x]dx = [
3
4
x− 1
2
sen2x +
1
16
sen4x]
2. I =
∫
sen4x · dx =
∫
sen2(1− cos2 x)dx =
∫
(sen2x− 1
4
sen22x)dx ⇔
⇔ I =
∫
[
1
2
(1− cos 2x)− 1
4
(1− cos 4x)]dx = 1
4
x− 1
4
sen2x +
1
16
sen4x
Exercício 1.3.5.
Combine-se as duas soluções do exercício anterior para obter uma identidade impressionante.
Solução.
Pelos resultados do exercício anterior tem-se
[
3
4
x− 1
2
sen2x +
1
16
sen4x] =
1
4
x− 1
4
sen2x +
1
16
sen4x ⇔ 2x = sen2x ? ? ?
Este resultado impressionante obtém-se pelo fato nos não considerar as constantes de inte-
gração.
Na verdade, 0 ≤ senα < α se 0 ≤ α < pi
2
, também se obtém resultados análogos para os
outros intervalos de α.
Exercício 1.3.6.
Expressar
∫
Ln(Lnx) · dx em função de,
∫
dx
Ln
(as duas integrais não são possíveis
expressar como combinação de funções elementares)
Solução.
Dada I =
∫
Ln(Lnx) · dx, seja u = Ln(Lnx) e dv = dx, então du = 1
xLnx
dx e v = x.
Logo
I =
∫
Ln(Lnx) · dx = xLn(Lnx)−
∫
x · 1
xLnx
dx
Portanto, I = xLn(Lnx)−
∫
1
Lnx
dx.
Exercício 1.3.7.
Mostre que a fórmula
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C é válida.
Solução.
Sabe-se que se y = F (x) então dy = F ′(x)dx, logo
∫
dy =
∫
F ′(x)dx, assim y =
∫
dy =∫
F ′(x)dx = F (x) + C. Em particular, se F (x) =
f(x)√
g(x)
tem-se:
∫ f ′(x)√g(x)− f(x) g′(x)
2
√
g(x)
[
√
g(x)]2
dx = F (x) + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 31
Portanto,
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C.
Solução. (Outra solução)
Integrando por partes
∫
1√
g(x)
· f ′(x)dx ⇒
∫
1√
g(x)
· f ′(x)dx = 1√
g(x)
· f(x) + C −
∫
f(x) · [−g
′(x)]
2
√
g(x)
dx
∫ f ′(x)√g(x)− f(x) g′(x)
2
√
g(x)
[
√
g(x)]2
dx =
1√
g(x)
· f(x)
Portanto,
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C.
32 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.4 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas.
Exercícios 1-4
Exercício 1.4.1.
Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras :
Solução.
É suficiente derivar a parte direita da igualdade.
1. I =
∫
sen2x · dx. . . . . . verdadeira
d
dx
[
2x− sen2x
4
+ C =
1
4
(2− 2cos2x)] = 1− cos2x
2
= sen2x
2. I =
∫
cosh2(5x) · dx. . . . . . verdadeira
d
dx
[
10x + senh(10x)
20
+ C] =
1
20
[10 + 10 cosh 10x] =
1 + cos10x
2
= cosh2 5x
3.
∫
sen3x
cos4 x
· dx = 1
3 cos3 x
− secx + C
4.
∫
tanh4 x · dx = x− tanh x− tanh
3 x
3
+ C
5.
∫
dx
1− senx = tan x + sec x + C
6.
∫
dx√
senx · cos3 x
= 2
√
tan x + C
7.
∫
sen(3x) · sen(5x) · dx = sen2x
4
− sen8x
16
+ C
8.
∫
tanh6 x · sech4x · dx = 1
7
tanh7 x− 1
9
tanh9 x + C
9.
∫ √
2 · dx
cos3 x · √sen2x =
2
5
√
tan x(5 + tan2 x) + C
10.
∫
sen52x · cos3 2x · dx = 1
12
sen62x− 1
16
sen82x + C
11.
∫ √
(1 + cos 4x)3 · dx =
√
2sen2x−
√
2
3
sen32x + C
12.
∫
tan3 3x · sec3 3x · dx = 1
15
sec5 3x− 1
9
sec3 3x + C
13.
∫
cosh 3x · cosh x · dx = 1
8
cosh 5x +
1
4
senh2x + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 33
14.
∫
sen3x · dx
3
√
cos4 x
= 3
√
secx(
3
5
cos2 x + 3) + C
15.
∫ √
cot x · cos9 x · dx = 2√senx− 4
5
√
sen5x +
2
9
√
sen9x + C
16.
∫
sen3x · cos x · dx = 3
16
cos 2x− 3
32
cos 4x +
1
48
cos 6x + C
17.
∫
cos5 x
senx
· dx = Ln(senx)− sen2x + 1
4
sen4x + C
18.
∫
cos3 x · dx
sen2x + senx
= Ln(senx)− senx + C
19.
∫
tan4(
x
4
) · dx = 2
3
tan3(
x
2
)− 2 tan(x
2
) + x + C
20.
∫
cos(
x
2
) · cos(x
3
) · dx = 3
5
sen(
5x
6
) + 3sen(
x
3
) + C
21.
∫
dx
x4
√
x2 + 3
=
√
x2 + 3
9x
−
√
(x2 + 3)3
27x3
+ C
22.
∫ √
4 + x2 =
1
2
[x
√
4 + x2 + Ln(x +
√
4 + x2)] + C
23.
∫
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x
=
1
2
arcsec(x + 1) +
√
x2 + 2x
2(x + 1)2
+ C
24.
∫
senx · dx√
cos2 x + 4 cos x + 1
= − Ln(cos x + 2 +
√
cos2 x + 4 cos x + 1) + C
25.
∫
x2 − 3
x
√
x2 − 4 · dx =
1
2
[Ln(x2 +
√
x4 − 4) − 3
2
arcsec(
x2
2
)] + C
26.
∫
dx
(x2 − 3)√4− x2 =
1
2
Ln[
x−√3√4− x2
x +
√
3
√
4− x2 ] + C
27.
∫
dx
(x2 + 1)(x +
√
x2 + 1)
= Ln[
x +
√
x2 + 1√
x2 + 1
] + C
28.
∫
x5 · dx√
x2 − 9 =
x2 − 9
5
(x4 − 4x2 + 19) + C
29.
∫
x
√
1− x√
2− x · dx = −
√
x2 − 3x + 2
4
(5 + 2x)− 7
8
Ln(2x− 3 + 2
√
x2 − 3x + 2) + C
30.
∫
x2
√
x2 + 4 · dx =
√
x2 + 4
4
(x2 + 2)− senh−1(x
2
) + C
31.
∫
x2 · dx√
x2 + 4x− 5 =
√
x2 + 4x− 5
6
(x− 6) + 15
2
cosh−1(
x + 2
3
+ C
32.
∫
e−x · dx√
(3e−x)2 + 1)3
= − e
−x
√
1 + 9e−2x
+ C
34 Integração e Funções de Várias Variáveis
33.
∫
(x2 − x)dx√
x2 + 3
=
√
x2 + 3
5
(x4 − 4x2 + 19) + C
Exercício 1.4.2.
Calcular as integrais de funções trigonométricas e hiperbólicas:
Solução.
1. I =
∫
sen4x · dx =
∫
(
1− cos 2x
2
)2 · dx = 1
4
∫
(1− 2 cos 2x + cos2 2x)dx ⇔
I =
1
4
∫
(1− 2 cos 2x + 1
2
(1 + cos 4x))dx =
1
8
∫
(3− 4 cos 2x + cos 4x))dx
Portanto, I =
3x
8
− sen2x
4
+
sen4x
32
+ C.
2.
∫
cos5 x · dx = senx− 2sen
3x
3
+
sen5x
5
+ C
3.
∫
tan5 x ·
√
cos3 x · dx = 2
√
sec5 x
5
− 4 · √sec x− 2
√
cos3 x
3
+ C
4.
∫
tan6 x · dx = 1
5
tan5 x− 1
3
tan3 x− tan x + x + C
5.
∫
cos7 x · sen3x · dx = cos
8 x
40
(4 cos2 x− 5) + C
6. I =
∫
sen23x · cos4 3x · dx = 1
4
∫
sen26x · cos2 3x · dx = 1
8
∫
sen26x(1 + cos 6x) · dx ⇔
⇔ I = 1
16
∫
(1− cos 12x)dx + 1
8
∫
sen26x cos 6x · dx = x
16
− sen12x
192
+
sen36x
144
+ C
7. I =
∫
cot5 x · dx =
∫
cot x(csc2 x− 1)2 · dx =
∫
cot x(csc4 x− 2 csc2 x + 1)dx ⇔
⇔ I = − 1
4
csc4 x + csc2 x + Ln(senx) + C
8. I =
∫
cos 2x · cos 7x · dx = 1
2
∫
[cos(7x + 2x) + cos(7x− 2x)]dx ⇔
⇔ I = 1
2
∫
[cos 9x + cos 5x]dx =
sen5x
10
+
sen9x
18
+ C
9.
∫
sec4 x ·
√
cot3 x · dx = 2
√
cot x +
2
3
√
tan3 x + C
10.
∫
senh3x · dx = 1
3
cosh x(cosh2 x− 3) + C
11. I =
∫
sen3x · cos3 x · dx = 1
8
∫
sen32x · dx = 1
8
∫
(1− cos2 2x)sen2x · dx ⇔
Fazer t = 2x logo I =
1
16
∫
[sent− cos2 t · sent]dt = 1
16
(− cos t + 1
3
cos3 t) + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 35
Portanto, I =
cos3 2x
48
− cos 2x
16+ C
12.
∫
senh2x · cosh 5x · dx = senh7x
28
+
senh3x
12
− senh5x
10
+ C
13.
∫
tan3 x · dx = tan
2 x
2
+ Ln(cos x) + C
14.
∫
sen4x · cos 5x · dx = cos x
2
− cos 9x
18
+ C
15.
∫
sen8x · sen3x · dx = sen11x
22
− sen5x
10
+ C
16.
∫
sen3x · dx = cos
3 x
3
+ cosx + C
17.
∫
senh4x · senhx · dx = cosh 5x
10
+
cosh 3x
6
+ C
18. I =
∫
senx · sen2x · sen3x · dx = 1
2
∫
sen3x[cos(2x− x)− cos(2x + x)]dx ⇔
I =
1
2
∫
sen3x[cosx− cos 3x]dx = 1
2
∫
sen3x cos xdx− 1
2
∫
sen3x cos 3xdx ⇔
I =
1
4
∫
[sen(3x + x) + sen(3x− x)]dx− 1
4
∫
sen6xdx = −cos 4x
16
− cos 2x
8
+
cos 6x
24
+ C
19.
∫
sec4 x
tan4 x
· dx = − cot x− cot
3 x
3
+ C
20. I =
∫
dx
sen2x · cos4 x =
∫
sen2x + cos2 x
sen2x · cos4 x · dx =
∫
sec4 xdx +
∫
dx
sen2x cos2 x
=
I =
∫
(1 + tan2 x) sec2 xdx + 4
∫
csc2(2x) = tan x +
1
3
tan3 x− 2 cot(2x) + C
21. I =
∫
cos2 x · dx
sen2x + 4senx · cosx =
1
4
∫ [
cos x
senx
− cos x
senx + 4 cos x
]
dx =
I =
1
4
Ln(senx)− 1
16
∫
4 cos x
senx + 4 cos x
=
1
4
Ln(senx)− 1
16
∫
[
senx + 4 cos x− senx
senx + 4 cos x
]dx
I =
1
4
Ln(senx)− x
16
+
1
16
∫
senx
senx + 4 cos x
+ C1 (1.1)
Por outro lado
I =
1
4
Ln(senx)− 1
4
∫
cos x
senx + 4 cos x
=
1
4
Ln(senx)− 1
4
∫
[
cos x− 4senx + 4senx
senx + 4 cos x
]dx
I =
1
4
Ln(senx)− 1
4
Ln(senx + 4 cos x)−
∫
senx
senx + 4 cos x
+ C2 (1.2)
36 Integração e Funções de Várias Variáveis
Multiplicando por 16 a equação (1.1) e somando com a equação (1.2) resulta
17 · I = 9
4
Ln(senx)− x− 1
4
Ln(senx + 4 cos x) + C1 + C2
Portanto, I =
9
68
Ln(senx)− x
17
− 1
68
· Ln(senx + 4 cos x) + C
22.
∫
cot2 x · dx = − cot x− x + C
23.
∫
cos2 x · sen24x · dx = x
4
− sen8x
32
+
sen2x
8
− sen6x
48
− sen10x
80
+ C
24. I =
∫
sen2(
x
4
) · cos2(x
4
) · dx = 1
4
∫
sen2(
x
2
) · dx = 1
4
∫
1− cos x
2
dx
Portanto, I =
x
8
− senx
8
+ C
25.
∫
tan4(
x
2
) · dx = 2
3
· tan3(x
2
)− 2 tan(x
2
) + x + C
26.
∫
dx√
sen3x · cos5 x = − 2 cot x + C
27. I =
∫
dx
3 + 5senx + 3 cos x
=
∫
dx
3(1 + cosx) + 52sen
x
2 cos
x
2
=
∫
dx
6 cos2 x2 +
5
2sen
x
2 cos
x
2
⇔
I =
∫
sec2 x2dx
6 + 52 tan
x
2
=
∫
2 sec2 x2dx
12 + 5 tan x2
=
∫
4du
12 + 5u
onde u = tan
x
2
Portanto, I =
4
5
Ln[12 + 5 tan(
x
2
)] + C
28. I =
∫
sen2(pix)
cos6(pix)
· dx =
∫
tan2(pix) · sec4(pix)dx =
I =
∫
tan2(pix)(tan2(pix) + 1) sec2(pix) =
1
pi
∫
(u3 + u4)du onde u = tan(pix)
Portanto,
1
pi
[
tan3(pix)
3
+
tan5(pix)
5
] + C
29.
∫
cot2 x · csc x · dx = 1
2
· Ln[tan(x
2
) +
pi
4
]− 1
2
· cot x · cscx + C
30.
∫
sen2x · dx
cos3 x− sen2x− 1 =
1
5
· Ln[cos
2 x− 2 · cos x + 2
(1− cosx)2 ]−
6
5
arctan(1 + cos x) + C
Exercício 1.4.3.
Obter a fórmula
∫
sec x · dx do modo seguinte:
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 37
1. Escrevendo:
sec x =
1
cos x
=
cos x
cos2 x
=
cosx
1− sen2x =
1
2
[
cos x
1 + senx
+
cos x
1− senx ]
2. Mediante a substituição t = tan(
x
2
)
Solução.
1. I =
∫
sec xdx =
1
2
∫
[
cos x
1 + senx
+
cos x
1− senx ]dx
I =
1
2
Ln(1 + senx)− Ln(1− senx) + C = Ln(1 + senx
cos x
) + C = Ln(sec x + tan x) + C
2. I =
∫
sec x · dx =
∫
1
cos x
dx =
∫
1
cos2 x2 − sen2 x2
dx =
∫
sec2 x2
1− tan2 x2
dx =
∫
2dt
1− t2
I =
∫
[
1
t− 1 −
1
t + 1
]dt = Ln(
t− 1
t + 1
) + C = Ln
(t− 1)2
t2 − 1 + C = Ln
(senx2 − cos x2 )2
sen2 x2 − cos2 x2
+ C
I = Ln
1− senx
cos x
= Ln(sec x + tan x) + C
Exercício 1.4.4.
Mediante substituição trigonométrica, calcular as seguintes integrais:
Solução.
1. I =
∫
x2 · dx√
1− x2 . Seja senα = x, então cos αdα = dx, logo
I =
∫
x2 · dx√
1− x2 =
∫
sen2α · cosα√
1− sen2α dα =
∫
sen2αdα =
1
2
∫
(1− cos 2α)dα
Onde I =
1
2
∫
(sec2 α− 1)dα = 1
2
[α− 1
2
sen2α] + C =
1
2
[α− senα cosα] + C
Portanto, I =
1
2
arcsenx− 1
2
x
√
1− x2 + C.
2. I =
∫ √
x2 − 1
x
dx. Considere tan α =
√
x2 − 1, logo sec α = x e secα tan αdα = dx.
Assim, I =
∫ √
x2 − 1
x
dx =
∫
senα(sec α tan α)dα =
∫
tan2 αdα
Onde I =
∫
(sec2 α− 1)dα = tan α− α + C
Portanto, I =
√
x2 − 1− arcsenx + C.
3.
∫
x2
√
4− x2 = 2 · arcsen(x
2
)−
√
4− x2
4
(x3 − x) + C
38 Integração e Funções de Várias Variáveis
4. I =
∫
dx
x2
√
1 + x2
Considere secα =
√
1 + x2, logo tan α = x, então sec2 αdα = dx.
Substituindo: I =
∫
dx
x2
√
1 + x2
=
∫
sec2 α
tanα sec α
dα =
∫
secα
tan2 α
dα.
Isto é I =
∫
cos α
sen2α
dα =
∫
cot α cscαdα = − cscα + C
Resposta: I = −
√
1 + x2
x
5.
∫
dx
(x2 + 1)
√
1− x2 =
√
2
2
· arctan(
√
2x√
1− x2 ) + C
6.
∫
x3 · dx√
2x2 + 7
=
√
2x2 + 7
6
(x2 + 7) + C
7.
∫
dx√
a2 − x2 = arcsen(
x
a
) + C
8. I =
∫
(4x + 5) · dx√
(x2 − 2x + 2)3 .
Considere secα =
√
(x− 1)2 + 1, logo tan α = (x− 1) e sec2 αdα = dx.
I =
∫
(4x + 5) · dx√
(x2 − 2x + 2)3 =
∫
(4 tan α + 9) sec2 α · dα
sec3 α
=
∫
(4 tan α + 9) · dα
sec α
I =
∫
(4senα + 9 cos α)dα = −4 cos α + 9senα + C = −4(x− 1)√
(x− 1)2 + 1 +
9√
(x− 1)2 + 1 + C
Portanto, I = − 4x− 13√
x2 − 2x + 2 + C.
9.
∫
(2x− 3) · dx√
(x2 + 2x− 3)3 =
5x− 31
2
√
x2 + 2x− 3 + C
10. I =
∫ √
x2 − 4x · dx
x3
Observe que x2 − 4x = (x− 2)2 − 22. Considere 2 tan α = √x2 − 4x, logo 2 sec α = x− 2
ou 2 sec α + 2 = x, então 2 secα tan αdα = dx, de onde:
I =
∫ √
x2 − 4x · dx
x3
=
∫
(2 tan α)2(sec α tan α)dα
8(sec α + 1)3
=
1
4
∫
sec α tan2 α
(sec α + 1)3
dα =
=
1
4
∫
sec α tan2 α
sec3 α(1 + cosα)3
dα =
1
4
∫
sen2α
(1 + cos α)3
dα =
1
4
∫
4sen2 x2 cos
2 α
2
(2 cos2 α2 )
3
dα =
=
1
8
∫
dα =
1
8
∫
tan2
α
2
sec2
α
2
dα =
1
12
tan3
α
2
+ C =
1
12
(
√
1− cos α
1 + cos α
)3 + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 39
Portanto, I =
1
12
(
√
x− 4
x
)3 + C.
11.
∫
x4 · dx√
(4− x2)7 =
x5
20
√
(4− x2)5 + C
12.
∫ √
(x2 − 25)3 · dx
x6
=
√
(x2 − 25)5
125x5
+ C
13.
∫ √
1− 2x− x2dx = (x + 1)
2
·
√
1− 2x− x2 + arcsen(x + 1√
2
) + C
14.
∫
dx√
(x2 + 9)3
=
x
9
√
x2 + 9
+ C
15.
∫
x3 · dx√
4− x2 = − (8 + x
2)
√
4− x2
3
+ C
16.
∫
2x2 − 4x + 1√
3 + 2x− x2 dx = arcsen(
x− 1
2
) + C
17.
∫ √
y2 − 4
y4
dy =
√
(y2 − 4)3
12y3
+ C
18. I =
∫
dx√
(x2 − 2x + 5)3
Observe que x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 22. Considere 2 sec α = √x2 − 2x + 5, de onde
2 tan α = x− 1, então 2 sec2 αdα = dx. Substituindo:
I =
∫
dx√
(x2 − 2x + 5)3 =
∫
2 sec2 α
(2 sec α)3
dα =
2
8
∫
1
sec α
dα =
=
1
4
∫
cos αdα =
1
4
senα + C =
x− 1
4
√
x2 − 2x + 5 + C
Portanto, I =
∫
dx√
(x2 − 2x + 5)3 =
x− 1
4
√
x2 − 2x + 5 + C.
19.
∫
dx
(x2 − 1)√x2 − 2 = arctan(
√
x2 − 2
x
) + C
20.
∫
2x2 + 1
(x2 + 4)2
· dx = 1
16
· [9 arctan(x
2
)− 14x
x2 + 4
] + C
21.
∫
dx
(2x2 + 1)
√
x2 + 1
= arctan(
x√
1 + x2
) + C
22.
∫
x2 · dx
(x2 − 1)4 =
1
32
· [ 2x
x2 − 1 + Ln(
x− 1
x + 1
)]− 1
24
[
x3 + 3x
(x2 − 1)3 ] + C
23.
∫
x2· dx
(x2 + 4)3
=
1
64
[arctan(
x
2
)− 2x(4− x
2)
(4 + x2)2
+ C
40 Integração e Funções de Várias Variáveis
24. I =
∫
x · dx
(x2 − 2)√x4 − 4x2 + 5 . Considere tan α =
x2 − 2
1
, logo sec2 αdα = 2xdx .
I =
∫
x · dx
(x2 − 2)√x4 − 4x2 + 5 =
∫
sec2 αdα
2 tan α secα
=
1
2
∫
1
senα
dα =
1
2
∫
cscαdα
I =
1
2
Ln(csc α− cot α) + C = 1
2
Ln
(√
(x− 2)2 + 1
x2 − 2 −
1
x2 − 2
)
+ C
Portanto, I =
1
2
Ln
[√
x4 − 4x2 + 5− 1
x2 − 2
]
+ C.
25. I =
∫
2x3 · dx
(x2 − 1)4 =
1
2
·Ln[
√
x4 − 4x2 + 5− 1
x2 − 2 ]+C. Seja tan α =
√
x2 − 1
1
, então secα = x
e sec α tan αdα = dx. Substituindo aa integral
I =
∫
2x3 · dx
(x2 − 1)4 =
∫
2 sec3 α · (sec α tan αdα)
(tan2 α)4
= 2
∫
sec4 α tan α
tan8 α
dα =
I = 2
∫
tan−7 α(tan2 α + 1) sec2 α · dα = 2[−1
4
tan−4 α− 1
6
tan−6 α + C]
I = −1
2
cot4 α +
1
3
cot6 α + C
26. I =
∫
e2x · dx√
(e2x − 2ex + 5)3
Tem-se que e2x − 2ex + 5 = (ex − 1)2 − 22. Considere 2 sec α = √e2x − 2ex + 5, de onde
2 tan α = ex − 1, então 2 sec2 αdα = exdx. Substituindo:
I =
∫
e2x · dx√
(e2x − 2ex + 5)3 =
∫
(2 tan α + 1)2 sec2 α
(2 sec α)3
dα =
2
8
∫
2 tan α + 1
sec α
dα =
=
1
4
∫
(2senα+cos α)dα =
1
4
(senα−2 cos α)+C = 1
4
(
ex − 1√
e2x − 2ex + 5−
2(2)√
e2x − 2ex + 5)+C
Portanto, I =
∫
e2x · dx√
(e2x − 2ex + 5)3 =
ex − 5
4
√
e2x − 2ex + 5 + C.
27. I =
∫ √
(3− 2x− x2)3 · dx
Seja 2 cos β =
√
4− (x + 1)2, 2senβ = x + 1 ⇒ 2 cos βdβ = dx
I =
∫ √
(3− 2x− x2)3 · dx =
∫ √
[4− (x + 1)2]3 · dx =
∫
(2 cos β)3 · 2 cos βdβ
I = 16
∫
cos4 βdβ = 4
∫
(1 + cos 2β)2dβ = 4
∫
[1 + 2 cos 2β + cos2 β]dβ
I = 4β + 4sen2β + 2
∫
(1 + cos 4β)dβ = 4β + 4sen2β + 2(β +
1
4
sen4β)
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 41
I = 6β + 10senβ cos β − 4sen3β cos β + C
I = 6arcsen
x + 1
2
+
5
2
(x + 1)
√
4− (x + 1)2 − 1
4
(x + 1)3
√
4− (x + 1)2 + C
28.
∫
x · dx√
x2 + 1
=
√
x2 + 1 + C
29.
∫
dx√
x2 + px + q
= Ln[x +
p
2
+
√
x2 + px + q] + C
30.
∫ √
x2 + 2x + 5 · dx = arcsen( 1
x + 1
) + C
31.
∫
(2x− 8) · dx√
1− x− x2 = − 2
√
1− x− x2 − 9 · arcsen(2x + 1√
5
) + C
32.
∫ √
2− x− x2 · dx = 2x + 1
4
√
2− x− x2 + 9
8
arcsen(
2x + 1
3
) + C
33. I =
∫ √
1− cos2 x · dx√
4 cos x + 1 + cos2 x
=
∫ √
1− cos x · dx√
(cos x + 2)2 − (√3)2
=
Considere secα =
cos x + 2√
3
, logo
√
3 secα = cos x+2, então
√
3 sec α tan αdα = −senxdx,
assim −√3 secα tan αdα = √1− cos2 xdx.
Substituindo na integral
I =
∫ √
1− cos2 x · dx√
(cos x + 2)2 − (√3)2
=
∫ −√3 sec α tan αdα√
3 tan α
=
I = −
∫
secα · d = −Ln[secα + tan α] + C1 =
Portanto, I = −Ln[cosx + 2 +
√
cos2 x + 4 cos x + 1] + C
34.
∫
dx
x3
√
x2 − a2 =
1
2a3
· [arcsen(x
2
) +
a
√
x2 − a2
x2
] + C
35.
∫
dt
t · √16− t2 =
1
4
Ln[
4−√16− t2
t
] + C
36.
∫
x2
√
(a2 − x2)3 · dx = a
6
16
· [arcsen(x
a
)− x(2x
2 − a2)√a2 − x2
a4
+
8x3
√
(a2 − x2)3
3a6
] + C
37.
∫
x5 · 3
√
8 + x2 · dx = 3
√
2 3
√
(x2 + 8)4 · [ (x
2 + 8)2
160
− x
2 + 1
7
] + C
38.
∫ √
x + 5
x
· dx = 2√x + 5 +
√
5 · Ln
[√
x + 5−√5√
x + 5 +
√
5
]
+ C
39.
∫
dx
9x2 − 6x + 2 =
1
3
· arctan(3x− 1) + C
42 Integração e Funções de Várias Variáveis
40.
∫
x2 + 1
x3 + 1
· dx = Ln[x
2 − 1
x
] + C
41.
∫
x3 · dx√
(ax + b)3
=
√
a
b
· [
√
a + bx2
a
+
√
a− bx2
a + bx2
] + C
42.
∫ √
(x4 + 1)3
x2
· dx = 1
4
[x2
√
x4 + 1 + 3Ln(
√
x4 + 1 + x2)− 2
√
x4 + 1
x2
] + C
43.
∫ √
a + x
a− x · dx = a · [arcsen(
x
a
)−
√
a2 − x2
a
] + C
44.
∫ √
(2x2 + 7)7 · dx
x
= 7
√
7 · [
√
(2x2 + 7)3
7
√
7
+
√
2x2 + 7√
7
+ Ln(
√
2x2 + 7√
7
−
√
7√
2x
)] + C
45.
∫
x · Lnx · dx√
1− x2 =
√
1− x2 · (1− Lnx) + Ln[1−
√
1− x2
x
] + C
46.
∫
x · dx√
1− 2x2 − x4 =
1
2
· arcsen(x
2 + 1√
2
) + C
47.
∫
(2x + 1) · dx√
(4x2 + 1− 2x)3 =
2x + 1√
4x2 + 1− 2x + C
Resposta: 48)Lnx−Ln(2x+2+
√
x2 + x + 1).
ex − 5
4
√
e2x − 2ex + 5; 49)
(a2 − x2)
√
(a2 − x2)
6x3
;
Exercício 1.4.5.
Mediante integração por partes, mostre as seguintes fórmulas de redução [?]:
1.
∫
sennx · dx = − sen
n−1x · cos x
n
+
n− 1
n
∫
senn−2x · dx
2.
∫
cosn x · dx = cos
n−1 x · senx
n
+
n− 1
n
∫
cosn−2 x · dx
3.
∫
dx
(x2 + 1)2
=
x
2(n− 1)(x2 + 1)n−1 +
2n− 3
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + 1)n−1
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 43
1.5 Integração de Funções Racionais.
Exercícios 1-5
Exercício 1.5.1.
Determine a veracidade das seguintes igualdades:
Solução.
1.
∫
dx
(x− 1)4 = −
1
3(x− 1)3 + C
2.
∫
dx
4x2 + 4x + 5
=
1
4
arctan(
2x + 1
2
) + C
3.
∫
dx
(2x + 3)3
= − 1
4(2x + 3)2
+ C
4.
∫
dx
x2 − 4x + 2 = −
√
2
2
arctanh(
x− 2√
2
) + C
5.
∫
(x + 2)dx
x(x− 3) =
1
3
Ln[
(x− 3)5
x2
+ C
6.
∫
x3 − 2
x3 − x2 · dx = x−
2
x
+ Ln[
x2
| x− 1 | ] + C
7.
∫
dx
x2 − 6x + 18 =
1
3
arctan[
x− 3
3
] + C
8.
∫
dx
(x2 − 2x)3 =
1
4
Ln[
x
x + 2
− x− 1
2x(x− 2) + C
9.
∫
(x + 1)dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
=
1
16
Ln[
x2 + 1
x2 + 9
] +
1
8
arctan x− 1
24
arccot(
x
3
) + C
10.
∫
x4dx
x4 − 16 = x +
1
2
Ln[
x− 2
x + 2
] − arctan[x
2
] + C
Exercício 1.5.2.
Calcular as seguintes integrais, sabe-se que o denominador tem raízes reais distintas:
Solução.
1. I =
∫
(x3 + x2)dx
x2 − 6x + 5 =
∫
[(x + 7) +
(37x− 35)
(x− 1)(x− 5)
(37x− 35)
(x− 1)(x− 5) =
A
x− 1 +
B
x− 5 =
A(x− 5) + B(x− 1)
(x− 1)(x− 5)
37x− 35 = A(x− 5) + B(x− 1) = x(A + B)− (5A + B) ⇒ A = −1
2
, B =
75
2
I =
∫
[(x + 7)− 1
2
( 1
x− 1
)
+
75
2
( 1
x− 1
)
]dx =
Portanto, I =
x2
2
+ 7x +
75
2
· Ln(x− 5)− 1
2
· Ln(x− 1) + C
44 Integração e Funções de Várias Variáveis
2.
∫
x2 + 5x + 7
x + 3
· dx = x
2
2
+ 2x + Ln(x + 3) + C
3.
∫
x2dx
x2 − 4x + 3 = x +
9
2
· Ln(x− 3)− 1
2
· Ln(x− 1) + C
4.
∫
dx
(x + a)(x + b)
=
1
a− bLn[
x + b
x + a
] + C a 6= b
5.
∫
x · dx
(2x + 1)(x + 1)
=
1
2
Ln[
(x + 1)2
2x + 1
] + C
6.
∫
(2x2 − 5)dx
x4 − 5x2 + 6 =
1
2
√
3
· Ln[(x−
√
2)(x−√3)
(x +
√
2)(x +
√
3)
] + C
7.
∫
(x3 − 1)dx
4x3 − x =
x
4
− Lnx − 7
16
Ln(2x + 1)− 9
16
Ln(2x + 1) + C
8.
∫
(x− 1)2dx
x2 + 3x + 4
= x− 5
2
Ln(x2 + 3x + 4) + C
9.
∫
dx
6x3 − 7x2 − 3x =
3
11
Ln(3x + 1) +
2
33
Ln(2x− 3)− 1
3
Lnx + C
10.
∫
dx
x2 + 2x
=
1
2
Ln[
x
x + 2
] + C
11. I =
∫
5x3 + 2
x3 − 5x2 + 4x · dx
Tem-se que
∫
5x3 + 2
x3 − 5x2 + 4x = 5 +
25x2 − 20x + 2
x3 − 5x2 + 4x . Usando frações parciais:
Tem-se:
25x2 − 20x + 2
x3 − 5x2 + 4x =
A
x
+
B
x− 1 +
C
x− 4 , de onde 25x
2−20x+2 = A(x−1)(x−4)+
Bx(x− 4) + Cx(x− 1). Fazendo x = 0, obtém-se A = 1
2
, quando x = 1 obtém-se B = −7
3
e, para x = 4 obtém-se C =
161
6
.
Assim, I =
∫
5x3 + 2
x3 − 5x2 + 4x · dx =
∫
5dx +
∫
1/2
x
dx +
∫ −7/3
x− 1dx +
∫
161/6
x− 4 dx.
De onde I = 5x +
1
2
Lnx− 7
3
Ln(x− 1) + 161
6
Ln(x− 4) + C.
Resposta: 5x + Ln[
√
x · 3
√
(x− 4)161
3
√
(x− 1)7 ]
12.
∫
(x5 + x4 − 8)dx
x3 − 4x =
x3
3
+
x2
2+ 4x + 2Lnx + 5Ln(x− 2)− 3Ln(x + 2) + C
13.
∫
x · dx
2x2 − 3x− 2 =
1
10
· Ln(2x + 1) + 2
5
· Ln(x− 2) + C
14.
∫
x · dx
x4 − 3x2 + 2 =
1
2
· Ln[x
2 − 2
x2 − 1] + C
15.
∫
x2 · dx
(x2 − 4)(x + 1) =
1
3
· Ln[x− 2
x + 1
] + Ln(x + 2) + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 45
16.
∫
(2x2 + 41x− 91) · dx
(x− 1)(x + 3)(x− 4) = Ln[
(x− 1)4(x− 4)5
(x− 3)7 ] + C
17.
∫
(x2 + 5x + 6) · dx
(x− 1)(x + 3)(x− 4) = 2Ln(x− 4)− Ln(x− 1) + C
18.
∫
(x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4) · dx
x5 − 5x3 + 4 =
x2
2
+ Ln[
x(x− 2)
√
(x− 1)(x + 1)3
x + 2
] + C
19.
∫
32x · dx
(2x− 1)(4x2 − 16x + 15) = Ln(2x− 1)− 6Ln(2x− 3) + 5Ln(2x + 5) + C
Exercício 1.5.3.
Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes reais múltiplas.
Solução.
1. I =
∫
(
x + 2
x− 1)
2 · dx
x
=
∫
(x + 2)2
x(x− 1)2 dx
(x + 2)2
x(x− 1)2 =
A
x− 1 +
B
(x− 1)2 +
C
x
=
Ax(x− 1) + Bx + E(x− 1)2
x(x− 1)2
(x + 2)2 = Ax(x− 1) + Bx + E(x− 1)2 ⇒ A = −3, B = 9, E = 4
Portanto, I = 4Lnx− 3Ln(x− 1) − 9
x− 1 + C.
2.
∫
(2x− 3) · dx
(x2 − 3x + 2)2 =
−1
2(x2 − 3x + 2)2 + C
3.
∫
(5x3 − 17x2 + 18x− 5) · dx
(x− 1)3(x− 2) =
1
2(x− 1)2 + Ln[(x− 1)
2(x− 2)3] + C
4. I +
∫
(x3 + 1) · dx
x3 − x2 =
∫
(x3 − x2) + (x2 + 1) · dx
x3 − x2 =
∫
[1 +
x2 + 1
x2(x− 1) ]dx
x2 + 1
x2(x− 1) =
A
x
+
B
x2
+
E
(x− 1) =
Ax(x− 1) + B(x− 1) + Ex2
x2(x− 1)
x2+1 = Ax(x−1)+B(x−1)+Cx2 = x2(A+E)+x(B−A)−B ⇒ B = −1, A = −1, E = 2
I =
∫
[1 + (
−1
x
+
−1
x2
+
2
(x− 1))]dx = x− Lnx +
1
x
+ 2Ln(x− 1) + C
Portanto, I = x +
1
x
+ Ln[
(x− 1)2
x
] + C.
5.
∫
(x2 − 3x + 2) · dx
x(x2 + 2x + 1)
= Ln[
x2
x + 1
] +
6
x + 1
+ C
6.
∫
(5x2 + 6x + 9) · dx
(x− 3)2(x + 1) = −
9
2(x− 3) −
1
2(x + 1)
+ C
7.
∫
dx
x4 − x2 =
1
x
+
1
2
Ln[
x− 1
x + 1
] + C
46 Integração e Funções de Várias Variáveis
8.
∫
x2 · dx
(x + 2)2(x + 4)2
= 2Ln[
x + 4
x + 2
]− 5x + 12
x2 + 6x + 8
+ C
9.
∫
(x3 − 6x2 + 11x− 5) · dx
(x− 2)4 =
1
2(x− 2)2 + Ln(x− 2)−
1
3(x− 2)3 + C
10.
∫
1
8
(
x− 1
x + 1
)4 · dx = x
8
− 2
3(x + 1)2
+
2
(x + 1)2
− 3
x + 1
− Ln(x + 1) + C
11.
∫
x2 · dx
x3 + 5x2 + 8x + 4
=
4
x + 2
+ Ln(x + 1) + C
12. I =
∫
(x2 − 2x + 3) · dx
(x− 1)(x3 − 4x2 + 3x) =
∫
(x2 − 2x + 3)dx
x(x− 1)(x− 3)(x− 1) =
∫
(x2 − 2x + 3)dx
x(x− 3)(x− 1)2
x2 − 2x + 3
x(x− 3)(x− 1)2 =
A
x
+
B
x− 3 +
E
x− 1 +
D
(x− 1)2
x2 − 2x + 3 = A(x− 3)(x− 1)2 + Bx(x− 1)2 + Ex(x− 3)(x− 1) + Dx(x− 3)
Quando x = 1 ⇒ 2 = −2D, logo D = −1. Quando x = 0 ⇒ 3 = 3A, logo
A = −1. Quando x = 3 ⇒ 6 = 12B, logo B = 1/2. Quando x = −1 ⇒ 6 =
−16(−1)− 4(1/2)− 8E + 4(−1), logo E = 1/2.
I =
∫
[
−1
x
+
1/2
x− 3 +
1/2
x− 1 +
−1
(x− 1)2 ]dx = −Lnx+
1
2
Ln(x−3)+ 1
2
Ln(x−1)− 1
x− 1 +C
Portanto, I =
1
x− 1 + Ln[
√
(x− 1)(x− 3)
x
] + C.
13.
∫
(3x2 + 1) · dx
(x2 − 1)3 =
− x
(x2 − 1)2 + C
14.
∫
(x3 − 2x2 + 4) · dx
x3(x− 2)2 =
1
4
Ln[
x
x− 2]−
2x + 1
2x2
− 1
2(x− 2) + C
15.
∫
(x3 − 6x2 + 9x + 7) · dx
(x− 2)2(x− 5) =
3
2(x− 2)7 + Ln(x− 5) + C
16.
∫
(7x3 − 9) · dx
x4 − 5x3 + 6x2 =
3
2x
+
5
4
Lnx + 20Ln(x− 3)− 47
4
Ln(x− 2) + C
17.
∫
x5 · dx
(x− 1)2(x2 − 1) =
(x + 2)2
2
+
1
4(x− 1)2 −
9
4(x− 1) +
31
8
Ln(x− 1) + C
18.
∫
dx
(x2 − 16)(x2 − 1)(x2 − 9) =
1
840
Ln[
x− 4
x + 4
] +
1
240
Ln[
x− 1
x + 1
] +
1
136
Ln[
x + 3
x− 3] + C
Exercício 1.5.4.
Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas distintas.
Solução.
1. I =
∫
dx
3x2 + 5
=
1
3
∫
dx
x2 + (
√
5
3)
2
=
1
3
[
1√
5
3
] arctan
x√
5
3
=
1√
15
arctan(
3x√
15
) + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 47
2.
∫
x · dx
x2 + x + 1
= Ln[
√
x2 + x + 1]− 1√
13
arctan[
2x + 1√
3
] + C
3.
∫
(2x2 − 3x− 3) · dx
(x− 1)(x2 − 2x + 5) = Ln[
√
(x2 − 2x + 5)3
x− 1 ] +
1
2
arctan(
x− 1
2
) + C
4.
∫
dx
x3 − 8 =
1
24
[2Ln(x− 2)− Ln(x2 + 2x + 4)]− 1
2
√
3
arctan[
x + 1√
3
] + C
5.
∫
(x3 − 1) · dx
4x3 − 1 =
x
4
+
1
16
Ln[
x16
(2x− 1)7(2x + 1)9 ] + C
6.
∫
(2x2 + x + 3) · dx
(x + 2)(x2 + x + 1
= Ln[
(x + 2)3√
x2 + x + 1
] +
1√
3
arctan[
2x + 1√
3
] + C
7.
∫
dx
x(x2 + 1)
= Ln[
x√
x2 + 1
] + C
8. I =
∫
(x2 + 2) · dx
x4 + 4
=
x2 + 2
x4 + 4
=
x2 + 2
x4 + 4x2 + 4− 4x2 =
Ax + B
x2 + 2− 2x +
Dx + F
x2 + 2 + 2x
x2 + 2 = (Ax + B)(x2 + 2− 2x) + (Dx + F )(x2 + 2 + 2x)
Se x = 0 ⇒ 2 = 2B + 2F . Quando x = 1 ⇒ 3 = (A + B) + 5(D + F ). Quando
x = −1 ⇒ 3 = 5(B −A) + (F −D). Quando x = 2 ⇒ 6 = 2(2A + B) + 10(2D +
F ) ⇒ 3 = (2A + B) + 5(2D + F ).
Resolvendo tem-se: A = 0, B =
1
2
, D = 0, F =
1
2
, logo
I =
1
2
∫
[
1
(x− 1)2 + 1 +
1
(x + 1)2 + 1
]dx
Portanto, I =
1
2
[arctan(x− 1) + arctan(x + 1)] + C
9.
∫
(x4 + 1) · dx
x3 − x2 + x + 1 =
(x + 1)2
2
+ Ln[
x− 1√
x2 + x + 1
]− arctan x + C
10. I =
∫
dx
x3 + 1
=
∫
1
(x + 1)(x2 − x + 1)dx =
∫
[
A
x + 1
+
(Bx + D)
x2 − x + 1]dx
1 = A(x2 − x + 1) + (Bx + D)(x + 1)
Se x = −1 ⇒ A = 1
3
. Quando x = 0 ⇒ D = 2
3
.
:Quando x = 1 ⇒ B = −1
3
I =
∫
[
1/3
x + 1
+
−x/3 + 2/3
x2 − x + 1 ]dx =
1
3
Ln(x + 1)− 1
3
∫
[
x− 2
x2 − x + 1]dx
48 Integração e Funções de Várias Variáveis
I = Ln 3
√
(x + 1)− 1
6
∫
[
2x− 1
x2 − x + 1 −
3
x2 − x + 1]dx
I =
1
3
Ln(x + 1)− Ln(x2 − x + 1)− 1
2
· 1√
3
2
arctan(
2x− 1√
3
)
Portanto, I =
1
6
Ln[
(x + 1)2
x2 − x + 1] +
1√
3
arctan[
2x− 1√
3
] + C
11.
∫
(x− 2) · dx
x2 − 4x + 7 = Ln[
1√
x2 − 4x + 7] + C
12.
∫
(3x2 + x + 3) · dx
(x− 1)3(x2 + 1) =
1
4
Ln[
√
x2 + 1
x− 1 ] + arctan x−
7
(x− 1)2 + C
13.
∫
x · dx
x3 − 1 =
1
3
Ln[
x− 1√
x2 + x + 1
] +
1√
3
arctan[
2x + 1√
3
] + C
14.
∫
(x3 + x + 1) · dx
x4 − 81 =
1
108
Ln[(x− 3)31(x + 3)29(x2 + 9)24]− 1
54
arctan[
x
3
] + C
15.
∫
cos x · dx
sen2x− 6senx + 12 =
1√
3
arctan[
senx− 3√
3
] + C
16.
∫
x2 · dx
1− x4 =
1
4
Ln[
1 + x
1− x ]−
1
2
arctan x + C
17.
∫
dx
(x + 1)2(x2 + 1)
=
1
2
Ln(x + 1)− 1
4
Ln(x2 + 1)− 1
2(x + 1)
+ C
18. I =
∫
(3x3 + x2 + 5x + 1) · dx
x3 + x
I =
∫
[3 +
x2 + 2x + 1
x(x2 + 1)
]dx = 3
∫
dx +
∫
dx
x
+
∫
2dx
x2 + 1
Portanto, I = 3x + Lnx + 2 arctan x + C.
19.
∫
(x− 2) · dx
5x2 + 2x + 1
=
1
10
Ln[5x2 + 2x + 1] +
2
5
arctan[
5x + 1
2
] + C
20.
∫
(5x + 3) · dx
x2 + 10x + 29
=
5
2
Ln[x2 + 10x + 29]− 11 arctan[x + 5
2
] + C
21.
∫
(x5 + 2x3 + 4x + 4) · dx
x4 + 2x3 + 2x2
=
x2
2
− 2x− 2
x
+ 2Ln(x2 + 2x + 2)− 2 arctan(x + 1) + C
22.
∫
dx
x4 + 1
=
1
4
√
2
Ln[
x2 + x
√
2 + 1
x2 − x√2 + 1] +
√
2
2
arctan[
x
√
2
1− x2 ]−
1
2
arctan x + C
Sugestão: adicionar e substrair 2x2 ao denominador.
23.
∫
dx
(x2 + 1)(x2 + x)
=
1
4
Ln[
x4
(x + 1)2(x2 + 1)
]− 1
2
arctan x + C
Christian José Quintana Pinedo 24/9/2010 49
Exercício 1.5.5.
Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas múltiplas.
Solução.
1.
∫
dx
(x2 + 2)3
=
x
8(x2 + 2)2
+
3x
32(x2 + 2)
+
3
√
2
64
· arctan( x√
2
) + C
2.
∫
x2 · dx
x6 + 2x3 + 3
=
1
3
√
2
· arctan(x