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Circuitos Elétricos Senoides e Fasores Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR) Introdução • Corrente contínua x corrente alternada. – VerWar of Currentes • Análise de circuitos onde a fonte de tensão ou corrente varia no tempo. • Em particular, nosso interesse é em fontes variantes no tempo de forma senoidal. • Uma senoide é um sinal que tem a forma de uma função seno ou coseno. Introdução • Uma corrente senoidal é normalmente chamda de corrente alternada (ca) (alternating current – ac). • A corrente é revertida em intervalos de tempo regulares e tem, alternadamente, valores positivos e negativos. Senóides • Considere a tensão senoidal ݒ ݐ = ܸݏ݁݊߱ݐ onde – Vm = amplitude da senóide – ω = frequência angular em radianos/s – ωt = argumento da senóide – A senóide se repete a cada T segundos, logo T é chamado de período da senóide. – Temos a relação: ܶ = 2ߨ߱ Senóides • Como v(t) se repete a cada T segundos: • Uma função periódica é aquele que satisfaz para todo t e para todos inteiros n. • Vamos considerar agora uma expressão mais geral para a senoide: onde é o argumento e é a fase. Senóides • Considerando duas senóides: 1 2 2 ocorre primeiro tempo. Portanto 2 está na frente de 1 por ϕ ou 1 está atrasada de 2 por ϕ. Senóides • Se ߮ ≠ 0, ݒ1 e ݒ2 estão fora de fase. • Se ߮ = 0, ݒ1 e ݒ2 estão em fase. • Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e cosseno. Podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: ݏ݁݊ ܣ ± ܤ = ݏ݁݊ ܣ cos ܤ ± cos ܣ ݏ݁݊ ܤ ܿݏ ܣ ± ܤ = cos ܣ cos ܤ ∓ senܣ ݏ݁݊ܤ • Com estas identidades… ݏ݁݊ ߱ݐ ± 180 = −ݏ݁݊߱ݐ ܿݏ ߱ݐ ± 180 = −ܿݏ߱ݐ ݏ݁݊ ߱ݐ ± 90 = ±ܿݏ߱ݐ ܿݏ ߱ݐ ± 90 = ∓ݏ݁݊߱ݐ Senóides • Para adicionar duas senoides de mesma frequência: onde 2 2 ିଵ Fasores • Senoides podem ser expressar em termos de fasores, que são convenientes para trabalhar com funções seno e cosseno. • Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senoide. • Um número complexo z pode ser escrito na forma retangular como: onde ; x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z. Fasores • O número complexo z pode ser escrito na forma polar como: ݖ = ݎ ߮ =⁄ ݎ݆݁߮ onde r é a magnitude de z e ϕ é a fase de z. z pode ser representado em três formas: retangular: ݖ = ݔ + ݆ݕ polar: ݖ = ݎ ߮⁄ exponencial: ݖ = ݎ݆݁߮ • Se conhecemos x e y, a relação entre a forma polar e retangular é: ݎ = ݔ2 + ݕ2 ߮ = ݐܽ݊ିଵ ݕݔ Fasores • Se conhecemos r e ϕ, podemos obter x e y: • Então, z pode ser escrito como: Fasores • Operações: • OBS: notar que ଵ = −݆ Fasores • A idéia da representação por fasores é baseada na identidade de Euler: ±ఝ • O que mostra que podemos tratar e como as partes real e imaginária de ఝ. Podemos escrever: ఝ ఝ • Dada uma senoide ݉ , podemos expressá-la por: ݉ ఠ௧ାఝ Fasores ou ݒ ݐ = Re( ܸ݁ఝ݁ఠ௧) então ݒ ݐ = Re(܄݁ఠ௧) onde ܄ = ܸ݁ఝ = ܸ݉ ߮⁄ • V é portanto a representação fasorial da senoide v(t). Fasores • Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide do dominio do tempo para o dominio do fasor: ݉ • Note que fator ఠ௧ foi suprimido e a frequencia não aparece no fasor, pois é constante, porém a resposta depende dela, por isso, o domínio fasor é também conhecido como domínio da frequencia. Fasores Fasores • Das equações anteriores temos: ݒ ݐ = Re ܄݁ఠ௧ = ܸ݉ܿݏ ߱ݐ + ߮ então: ݀ݒ ݀ݐ = −ܸ߱݉ݏ݁݊ ߱ݐ + ߮ = ܸ߱݉ܿݏ ߱ݐ + ߮ + 90 = Re ωܸ݉݁ఠ௧݁ఝ݁ଽ = Re ݆߱܄݁ఠ௧ • Isso mostra que: ݀ݒ ݀ݐ ⟺ ݆߱܄ • Do mesmo modo: නݒ݀ݐ ⟺ ܄݆߱ Fasores • As equações anteriores são úteis para encontrar a solução em regime permanente, sem precisar conhecer as condições iniciais das variáveis envolvidas. • As diferenças entre v(t) e V são: 1. v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto V é a representação fasor ou no domínio da frequencia. 2. v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é. 3. v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto V é geralmente complexo. • Atenção! A análise de fasores somente se aplica quando a frequência é constante e é a mesma para dois ou mais sinais senoidais. Fasores e Elementos de Circuitos • Transformar a relação tensão-corrente do domínio do tempo para o domínio da frequência. • Novamente, assumimos a convenção de sinais para os elementos passivos. • Para o resistor, assumindo que a corrente através dele é , a tensão sobre ele será: ݒ = ܴ݅ = ܴܫܿݏ ߱ݐ + ߮ = ܴܫ ߮⁄ • Mas a representação fasor da corrente é ۷ = ܫ ߮⁄ , então: ܄ = ܴ۷ Fasores e Elementos de Circuitos • Relação tensão-corrente para o RESISTOR no domínio do tempo e da frequência. • Diagrama de fasores para o RESISTOR: Fasores e Elementos de Circuitos • Para o indutor, assumindo que a corrente através dele é , a tensão sobre ele será: ݒ = ܮ ݀݅݀ݐ = −߱ܮܫݏ݅݊ ߱ݐ + ߮ = ߱ܮܫܿݏ ߱ݐ + ߮ + 90 o • Sendo a representação fasor: ܄ = ߱ܮܫ݁(ఝାଽ୭) = ߱ܮܫ݁ఝ݁ଽ୭ = ߱ܮܫ ߮ + 90o⁄ • Mas a representação fasor da corrente é ۷ = ܫ ߮⁄ e ݁ଽ୭ = ݆ , então: ܄ = ݆߱ܮ۷ Fasores e Elementos de Circuitos • Relação tensão-corrente para o INDUTOR no domínio do tempo e da frequência. • Diagrama de fasores para o INDUTOR: Fasores e Elementos de Circuitos • Para o capacitor, assumindo que a tensão sobre ele é , a corrente sobre ele será: ݅ = ܥ ݀ݒ݀ݐ • Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representação fasor: ۷ = ݆߱ܥ܄ ⟹ ܄ = ۷݆߱ܥ Fasores e Elementos de Circuitos • Relação tensão-corrente para o CAPACITOR no domínio do tempo e da frequência. • Diagrama de fasores para o CAPACITOR: Fasores e Elementos de Circuitos • Resumo das relações tensão-corrente: Impedância e Admitância • A partir da relação tensão-corrente para os três elementos passivos: ܄ = ܴ۷ ܄ = ݆߱ܮ۷ ܄ = ۷ఠ temos: ܄ ۷ = ܴ ܄ ۷ = ݆߱ܮ ܄ ۷ = ଵ ఠ • Podemos então obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de elemento, como: ܈ = ܄۷ ou ܄ = ܈۷ onde Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como impedância, medida em ohms (Ω). Impedância e Admitância • A impedância Z de um circuito é a relação entre a tensão fasor V e a corrente fasor I, medida em ohms (Ω). • Da tabela, temos que para ߱ = 0 (܈ = 0, ܈ → ∞) e para ߱ → ∞(܈ → ∞, ܈ = 0), assim: Impedância e Admitância • Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa na forma retangular: ܈ = ܴ + ݆ܺ onde ܴ = Re(܈) é a resistência e ܺ = Im(܈) é a reatância. • Observe que a reatância ܺ pode ser positiva (reatância indutiva) ou negativa (reatância capacitiva), pois: ܈ = −݆ ߱ܥ então: ܈ = ܴ + ݆ܺ (reatância indutiva – corrente atrasada em relação a tensão) ܈ = ܴ − ݆ܺ (reatância capacitiva – corrente adiantada em relação a tensão) • A impedância Z pode também ser escrita na forma polar: ܈ = ܈ ߠ⁄ Impedância e Admitância onde: ܈ = ܴ + ݆ܺ = ܈ ߠ⁄ e: ܈ = ܴଶ + ܺଶ ߠ = ݐܽ݊ିଵ ܴܺ ܴ = ܈ ܿݏߠ ܺ = ܈ ݏ݁݊ߠ • As vezes é conveniente utilizar o reciproco da impedância, chamada de admitância. Impedância e Admitância • A admitância Y é reciproca à impedância, medida em siemens (S). ܇ = 1܈ = ۷ ܄ • e pode ser escrita: ܇ = ܩ + ݆ܤ onde ܩ = Re(܇) é a condutância e ܤ = Im(܇) é a susceptância. • Relacionando Y e Z: ܩ + ݆ܤ = 1ܴ + ݆ܺ temos os termos real e imaginário: ܩ = ܴܴଶ + ܺଶ ܤ = − ܺ ܴଶ + ܺଶ Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência • Para analisar circuitos no domínio da frequênciadevemos expressar as Leis de Kirchhoff no domínio da frequência: ݒଵ + ݒଶ + ⋯+ ݒ = 0 • No regime permanente senoidal: ܸଵcos (߱ݐ + ߠଵ) + ܸଶcos (߱ݐ + ߠଶ) + ⋯+ ܸcos (߱ݐ + ߠ) = 0 Re( ܸଵ݁ఏଵ݁ఠ௧) + Re( ܸଶ݁ఏଶ݁ఠ௧)+…+Re( ܸ݁ఏ݁ఠ௧) = 0 Re[( ܸଵ݁ఏଵ + ܸଶ݁ఏଶ + …+ ܸ ݁ఏ)݁ఠ௧] = 0 • Se ܸ = ܸ݁ఏ, então: Re[(܄ଵ + ܄ଶ + …+ ܄ )݁ఠ௧] = 0 • Como ݁ఠ௧ ≠ 0, então: ܄ଵ + ܄ଶ + …+ ܄ = 0 uu seja, a LTK se mantém para fasores. Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência • Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCK se mantém para fasores: ݅ଵ + ݅ଶ + ⋯+ ݅ = 0 • Se I1, I2, …, In são a forma fasor das senoides i1, i2, …, in, então: ۷ଵ + ۷ଶ + …+ ۷ = 0 que é a LCK no domínio da frequência. Combinação de Impedâncias • Em série: ܈܍ܙ = ܈ଵ + ܈ଶ + …+ ܈ே = 0 • Em paralelo: ܈܍ܙ = 1 ܈ଵ + 1 ܈ଶ + ⋯+ 1 ܈ே ܇܍ܙ = ܇ଵ + ܇ଶ + …+ ܇ே = 0 Combinação de Impedâncias • Transformações Delta-Y e Y-Delta: