gabarito - Lista8_Semanal_Calculo1

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho
Gabarito - Lista Semanal 08
Questão 1. Um estudo de e�ciência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que
um operário que começa a trabalhar às 8h terá produzido em média Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t unidades
t horas mais tarde. Em que hora da manhã os operários são mais produtivos? Faça um esboço que
ilustre a situação.
Solução: Devemos encontrar o valor de t para o qual a produção de Q(t) unidades é máxima no
período da manhã.
Consideremos que o período de trabalho da manhã seja de 8h, que é quando os operários iniciam seu
trabalho, até as 12h, que é quando se inicia a tarde. Logo, o intervalo analisado será o que vai do início
do trabalho até 4h mais tarde, isto é, 0 ≤ t ≤ 4. Assim, como Q(t) é contínua em [0, 4], aplicaremos o
método do intervalo fechado com a �nalidade de encontrarmos a solução. Temos que
Q′(t) = −3t2 + 18t+ 12 = −3[t− (3−
√
13)][t− (3 +
√
13)].
Uma vez que Q′(t) existe para todo t, os únicos pontos críticos de Q são os pontos em que Q′(t) = 0
se , isto é, t = 3+
√
13 ≈ 6, 6 ou t = 3−
√
13 ≈ −0, 6. Mas esses dois valores não pertencem ao intervalo
analisado. Sendo assim, apenas iremos calcular o valor de Q(t) nos extremos do intervalo, que são:
Q(0) = −03 + 9 · 02 + 12 · 0 = 0
e
Q(4) = −43 + 9 · 42 + 12 · 4 = 128.
Veri�camos assim que para t = 4 a produção é máxima. Ou seja, às 12h é o horário da manhã em que
os operários são mais produtivos.
Grá�co da função Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t, em que 0 ≤ t ≤ 4
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Questão 2. Dada a função f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
,
(a) Encontre as assíntotas;
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente;
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
(d) Encontre os pontos de in�exão e os intervalos de concavidade;
(e) Use as informações anteriores para fazer o esboço grá�co da função, sem calcular a segunda
derivada.
Solução:
(a) Assíntotas: Como f está de�nida em R, então f não apresenta assíntotas verticais.
Para veri�car se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os limites lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
Temos que
lim
x→±∞
f(x) = lim
x→±∞
(x+ 1)2
1 + x2
= lim
x→±∞
x2 + 2x+ 1
1 + x2
= lim
x→±∞
x2
(
1 +
2
x
+
1
x2
)
x2
(
1 +
1
x2
) = lim
x→±∞
1 +
2
x
+
1
x2
1 +
1
x2
= 1.
Então y = 1 é a única assíntota horizontal.
Para veri�car se o grá�co f tem assíntotas oblíquas, notamos que
f(x)
x
=
(x+ 1)2
x(1 + x2)
=
x2
(
1 +
2
x
+
1
x2
)
x3
(
1 +
1
x2
)
Logo
lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x2
(
1 +
2
x
+
1
x2
)
x3
(
1 +
1
x2
) = lim
x→±∞
1 +
2
x
+
1
x2
x
(
1 +
1
x2
) = 0,
pois
lim
x→±∞
1 + 2x+
1
x2
= 1 e lim
x→±∞
x
(
1 +
1
x2
)
= ±∞.
Portanto, o grá�co de f não tem assíntota oblíqua.
(b) Crescente / Decrescente: Temos que
f ′(x) =
2(x+ 1)(−x+ 1)
(1 + x2)2
Vamos fazer o estudo do sinal de f ′(x). Para isso, notamos que (1+x2)2 > 0 para todo x e analisamos
o quadro abaixo
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Como o sinal f ′(x) é negativo para x em (−∞,−1)∪ (1,+∞) e positivo para x em (−1, 1), então f(x)
é decrescente em (−∞,−1) ∪ (1,+∞) e crescente em (−1, 1).
(c) Máximos e Mínimos: Como o sinal de f ′ muda de negativo para positivo em x = −1, então f tem
um mínimo local em x = −1. Como o sinal de f ′ muda de positivo pra negativo em x = 1, f tem um
máximo local em x = 1.
(d) Pontos de in�exão / Concavidade: Temos que
f ′′(x) =
4x(1 + x2)(x2 − 3)
(1 + x2)4
.
Faremos o estudo de sinal de f ′′(x). Para isso, observamos que 1 + x2 > 0 para todo x e analisamos o
quadro abaixo
Como f ′′(x) < 0 para x em (−∞,−
√
3) ∪ (0,
√
3), então o grá�co de f é côncavo para baixo em
(−∞,−
√
3) e em (0,
√
3). Como f ′′(x) > 0 para x em (−
√
3, 0) ∪ (
√
3,+∞) , então o grá�co de f é
côncavo para cima em (−
√
3, 0) e em (
√
3,+∞). Os pontos de in�exão,ou seja, os pontos em que há
mudança de concavidade são x = −
√
3, x = 0 e x =
√
3.
(e) Abaixo temos o grá�co de f
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Figura: Grá�co da função f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
Questão 3. Sejam a, b, c, d e e números reais tais que
a < b < c < d < e
e seja f : R→ R uma função derivável para qual são válidas as seguintes propriedades:
(i) f
′
é contínua.
(ii) as soluções da equação f
′
(x) = 0 são os números a, c e e.
(iii) x = c é o único ponto de mínimo local de f
′
.
(iv) os pontos de máximo local de f
′
são b e d.
Utilizando estas propriedades de f , responda os itens abaixo:
(a) Quais são os pontos de máximo local de f?
(b) Quais são os pontos de mínimo local de f?
(c) Quais são os pontos de in�exão do grá�co de f?
Solução: A partir das informações dadas, traçamos um possível grá�co para f ′(x) que nos dará
auxílio na resolução.
Figura: Grá�co de f ′(x)
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(a) Como o sinal de f ′ muda de positivo para negativo em e, então f tem um máximo local em e.
(b) Como o sinal de f ′ muda de negativo para positivo em a, então f tem um mínimo local em a.
(c) Notamos que f ′ é crescente em (a, b) e decrescente em (b, a), assim o grá�co de f tem ponto de
in�exão em b, do mesmo modo o grá�co de f tem ponto de in�exão em d. Notamos que f ′ é decrescente
em (b, c) e crescente em (c, d), assim o grá�co de f tem ponto de in�exão em c.
Questão 4. O gerente de uma fábrica de calçados determina que t meses após o início de uma
campanha publicitária S(t) centenas de pares serão vendidos, onde
S(t) =
3
t+ 2
− 12
(t+ 2)2
+ 5.
(a) Determine S
′
(t) e S
′′
(t).
(b) Em que mês o número de pares vendidos será máximo? Qual é o número de pares vendidos neste
mês?
Solução:
(a) Temos que
S
′
(t) =
[
3
t+ 2
− 12
(t+ 2)2
+ 5
]′
= 3
[
1
t+ 2
]′
− 12
[
1
(t+ 2)2
]′
+ [5]′
= 3[(t+ 2)−1]′ − 12[(t+ 2)−2]′ + 0
= 3(−1)(t+ 2)−2(t+ 2)′ − 12(−2)(t+ 2)−3(t+ 2)′
= 3(−1)(t+ 2)−2 − 12(−2)(t+ 2)−3
=
−3
(t+ 2)2
+
24
(t+ 2)3
.
E
S
′′
(t) =
[
−3
(t+ 2)2
+
24
(t+ 2)3
]′
= −3[(t+ 2)−2]′ + 24[(t+ 2)−3]′
=
6
(t+ 2)3
− 72
(t+ 2)4
.
(b) Temos que
S′(t) = 0 ⇔ −3
(t+ 2)2
+
24
(t+ 2)3
= 0
⇔ −(t+ 2)
3 + 24(t+ 2)2
(t+ 2)5
= 0
⇔ (t+ 2)
2[−3(t+ 2) + 24]
(t+ 2)5
= 0
⇔ (t+ 2)
2(−3t+ 18)
(t+ 2)5
= 0
⇔ −3t+ 18 = 0
⇔ t = 6
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Uma vez que S′(6) = 0 e
S
′′
(6) =
6
(6 + 2)3
− 72
(6 + 2)4
= − 3
512
< 0.
Então, pelo teste da segunda derivada, t = 6 é número de máximo da função. Portanto, após 6 meses
do início da campanha o número de pares vendidos será máximo e o número de pares vendidos neste
mês será
S(6) =
3
6 + 8
− 12
(6 + 8)2
+ 5 =
83
16
≈ 5, 18 centenas de pares.
Questão 5. Faça um esboço da curva de uma função com as seguintes propriedades:
(a) O grá�co apresenta descontinuidade em x = −1 e em x = 3
(b) f
′
(x) > 0 para x < 1, x 6= −1
(c) f
′
(x) < 0 para x > 1, x 6= 3
(d) f
′′
(x) > 0 para x < −1 e x > 3 e f ′′(x) < 0 para −1 < x < 3
(e) f(0) = 0 = f(2), f(1) = 3
Solução: O grá�co apresenta descontinuidade em x = −1 e em x = 3, logo x = −1 e x = 3 está no
domínio de f , mas ou lim
x→−1
f(x) e lim
x→3
f(x) não existem ou lim
x→−1
f(x) 6= f(−1) e lim
x→3
f(x) 6= f(3).
Como f
′
(x) > 0 para x < 1, x 6= −1, temos que f é crescente nos intervalos (−∞,−1) e (−1, 1).
E uma vez que f
′
(x) < 0 para x > 1, x 6= 3, temos que f é decrescente nos intervalos (1, 3) e (3,+∞).
E como o sinal de f ′ muda de positivo para negativo em x = 1, temos que f tem um máximo local em
x = 1.
Como f
′′
(x) > 0 para x < −1 e x > 3 e f ′′(x) < 0 para −1 < x < 3. concluímos que o grá�co de f
tem a concavidade voltada pra baixo em (−1, 3) e tem a concavidade voltada pra cima nos intervalos
(−∞,−1) e (3,+∞).
Ainda temos que f(0) = 0 = f(2), f(1) = 3, que nos diz que os pontos (0, 0), (2, 0) e (1, 3) perten-
cem ao grá�co de f .
Unindo as informações, tesmo abaixo um possível grá�co para f
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Note que aqui por opção de�nimos f(−1) = 1 e f(3) = 2 e �zemos
lim
x→−1−
f(x) = +∞, lim
x→−1+
f(x) = −∞, lim
x→3−
f(x) = −∞ e lim
x→3+
f(x) = +∞.
E assim f está de�nida em x = −1 e x = 3, mas os limites lim
x→−1
f(x) e lim
x→3
f(x) não existem e portanto
f não é contínua em x = −1 e em x = 3.
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