Métodos de Euler e Monte Carlo

Prévia do material em texto

Cálculo Numérico 
Aluna: Clara Amorim Mozine 
 
MÉTODO DE EULER NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR 
INICIAL (EQUAÇÕES DIFERENCIAIS) 
 
O método de Euler também é conhecido como método da reta secante. 
Considerando o PVI 
 
O método de Euler é baseado na expansão da função y(x) em séries de Taylor 
de ordem 1. 
O método de Euler aproxima o valor yn do valor exato y(xn) no ponto xn no 
intervalo [a, b]. 
De forma geral: 
Onde h = xn+1 – xn = 
(𝑏−𝑎)
𝑛
 , chamado de tamanho do passo. 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Geometricamente, o método de Euler 
aproxima y(xn) pela reta tangente no ponto (xn, y(xn)) e define yn+1 como o valor 
sobre a reta tangente a um passo de tamanho h a frente de xn. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
Aluna: Clara Amorim Mozine 
 
MÉTODO DE EULER MELHORADO 
Para construir a fórmula do método de Euler melhorado, utiliza-se como base a 
regra do trapézio. 
Fórmula geral: 
 , sendo n= 0, 1, 2, 3, ... 
Graficamente: 
 
ERRO 
Erro de truncamento local 
O método de Euler possui em cada interação um erro proporcional à h². Já o 
método de Euler melhorado possui um erro de h³. Respectivamente, 
𝐸 = |𝑦′′(𝑥)
ℎ2
2
| , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] e 𝐸 = |𝑦′′(𝑥)
ℎ3
2
| , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 
 
Para o erro máximo, y’’(x) = máx. | y’’(x) |, 
𝐸 = 𝑚á𝑥 |𝑦′′(𝑥)|
ℎ2
2
, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] e 𝐸 = 𝑚á𝑥 |𝑦′′(𝑥)|
ℎ3
2
, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 
 
Erro de truncamento global 
O erro de truncamento global para o método de Euler é da ordem de h. Já para 
o método de Euler melhorado esse erro é de h². 
Cálculo Numérico 
Aluna: Clara Amorim Mozine 
 
MÉTODO DE MONTE CARLO PARA OBTENÇÃO DE RAÍZES 
 
o O método de monte Carlo é um método da classe dos métodos 
estatísticos. 
o Pode ser usado para resolver quaisquer problemas com interpretação 
probabilística. 
o Se baseia em amostragens aleatórias para obter resultados numéricos. 
o É mais utilizado em problemas que são difíceis de serem resolvidos por 
outros métodos. 
o É utilizado na obtenção de aproximações numéricas de funções 
complexas muito difíceis de serem calculadas por uma solução analítica. 
o É um método computacional que utiliza números aleatórios e estatísticas 
para resolver problemas. 
o O método de Monte Carlo, por utilizar números aleatórios, apresenta uma 
estimativa do valor que se procura e não um valor exato, mas é bastante 
eficiente. 
 
IDEIA GERAL DO MÉTODO: dado um problema que contém uma variável 
aleatória, obter uma aproximação do resultado, atribuindo a essa variável valores 
fornecidos por algum método de geração de números aleatórios. 
Um dos métodos para se obter raízes de uma equação é o método da bisseção, 
onde é utilizado o ponto médio de um intervalo [a, b] para se aproximar da raiz. 
Se o primeiro ponto médio não for a raiz, escolhemos a metade do intervalo que 
contém a raiz, por meio do teorema de Bolzano, e não analisamos mais a outra 
metade. Esse processo é repetido até se obter um valor de x tal que f(x) esteja 
suficientemente próximo de zero. Uma alternativa a esse método é utilizar a ideia 
do método de Monte Carlo, em que em vez de usar o ponto médio do intervalo, 
utiliza-se números aleatórios divisores desse intervalo. Se a ideia é diminuir 
gradativamente o comprimento do intervalo que contém a raiz, então qualquer 
número – aleatoriamente escolhido ou sorteado - no intervalo [a, b] pode ser 
utilizado no lugar do ponto de seção.