2019_Modelagem, controle e construção de um robô serial acoplado a um robô móvel do tipo diferencial

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
CARLOS LUIZ MACHADO DE SOUZA JUNIOR
MODELAGEM, CONTROLE E CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ SERIAL ACOPLADO
A UM ROBÔ MÓVEL DO TIPO DIFERENCIAL
Rio de Janeiro
2019
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CARLOS LUIZ MACHADO DE SOUZA JUNIOR
MODELAGEM, CONTROLE E CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ
SERIAL ACOPLADO A UM ROBÔ MÓVEL DO TIPO DIFERENCIAL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Mecânica do Instituto Militar de
Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título
de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Gustavo Simão Rodrigues - D.Sc.
Rio de Janeiro
2019
C2019
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80 - Praia Vermelha
Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em
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mento.
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pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita
a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador.
xxx.x Junior, Carlos Luiz Machado de Souza
Jxxs MODELAGEM, CONTROLE E CONSTRUÇÃO DE
UM ROBÔ SERIAL ACOPLADO A UM ROBÔ MÓVEL
DO TIPO DIFERENCIAL/ Carlos Luiz Machado de Souza
Junior. – Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia,
2019.
?? p.:il, graf., tab.
Dissertação (mestrado) – Instituto Militar de Engenharia
– Rio de Janeiro, 2019.
1. Engenharia Mecânica – teses, dissertações. 2.
Cinemática. 3. Robótica Industrial. 4. Robótica Industrial
. II. MODELAGEM, CONTROLE E CONSTRUÇÃO
DE UM ROBÔ SERIAL ACOPLADO A UM ROBÔ
MÓVEL DO TIPO DIFERENCIAL. III. Instituto Militar
de Engenharia.
CDD xxx.x
1
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CARLOS LUIZ MACHADO DE SOUZA JUNIOR
MODELAGEM, CONTROLE E CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ
SERIAL ACOPLADO A UM ROBÔ MÓVEL DO TIPO DIFERENCIAL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me-
cânica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Gustavo Simão Rodrigues - D.Sc.
Aprovada em 09 de Setembro de 2019 pela seguinte Banca Examinadora:
Prof. Gustavo Simão Rodrigues - D.Sc. do IME - Presidente
Prof. Maurício Gruzman - D.Sc. do IME
Prof. Mauro Speranza Neto - D.Sc. da PUC-Rio
Prof. Victor Santoro Santiago - Ph.D. do IME
Prof. Marco Antonio Meggiolaro - Ph.D. do PUC-Rio
Rio de Janeiro
2019
2
3
Aos meus pais, irmãs, minha namorada Paula e a to-
dos da minha família que, com muito carinho e apoio,
não mediram esforços para que eu chegasse até esta
etapa da minha vida.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, a minha família, a minha mãe, Lúcia, ao meu pai, Carlos, as minhas irmãs
Luana, Laís, Laíza e Letícia. Nada disso seria possível sem o apoio de vocês.
A minha namorada, Paula, pela compreensão, pelo suporte e por todo amor.
Ao meu orientador professor Gustavo Simão, primeiramente por aceitar me orientar, também
por todo suporte e atenção dada ao longo do mestrado.
A todos do IDR Lab, Felipe Laborde, Rafael Rosenberg, Felipe Macedo, Michel Alba, Bruno
Miranda, Leonardo Marque, Alexandre Soares, leandro de Almeida, pelo apoio, carinho,
suporte e ensinamentos. Ao Cel Ribeiro por ter me acolhido, seus ensinamentos foram muito
importantes para essa caminhada.
Ao professor Marco Meggiolaro, por me fazer crescer tanto academicamente quanto
pessoalmente, através de seus ensinamentos.
Ao meu cunhado, João Ramos, sem seus ensinamentos e apoio nada disso seria possível.
A equipe RioBotz por todo apoio e momentos de distração e alegria.
A todos do LabRob, obrigado por me abrigar, por todo apoio e paciência.
A todos os funcionários do Instituto Militar de Engenharia que, de alguma forma, colaboraram
com esta etapa que se encerra.
Ao IME e a PUC-Rio, pela estrutura oferecida e pela oportunidade que me foi dada de
ingressar e me formar no mestrado.
À CAPES por todo suporte financeiro dado ao longo do curso.
5
“A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas
pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que
todo mundo vê.” Arthur Schopenhauer
6
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Resultados esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Tipos de robôs industriais de cadeia aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Referenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Representação da posição em função da mudança de orientação . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Rotações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Rotação de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5 Composição de Matrizes de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.6 Ângulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.7 Ângulos ZYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.8 RPY (Roll - Pitch - Yaw) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.9 Representação da localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Modelagem do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Restrições não holonômicas de um robô móvel do tipo diferencial . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 Modelagem cinemática do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3 Modelagem dinâmica do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Modelagem dinâmica do motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Modelagemdo robô Serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7
3.3.1 Modelagem cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Convenção de Denavit-Hartenberg para a modelagem cinemática de mani-
puladores seriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Modelagem dinâmica do manipulador serial de 2 GdL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Modelagem do sistema base + manipulador acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Cinemática acoplada do Sistema robótico base móvel - manipulador . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Tabela com os parâmetros de DH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Matrizes de Transformação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.4 Resultado da Cinemática Direta em home . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Obtenção de trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.1 Obtenção de trajetória da base móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.2 Obtenção de trajetória do robô serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.3 Trajetórias no espaço das juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.4 Trajetória no espaço operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.1 Controle do robô serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.2 Controle do robô móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 PROJETO, CONSTRUÇÃO E OPERAÇÃO DO SISTEMA ROBÓTICO MA-
NIPULADOR + BASE MÓVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1 ROS- Robot Operating System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Projeto e construção da base móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Odometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Reactivision - Visão computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Projeto e construção do braço robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 Controladores de potência e processadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Análise de custos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1 Controle do sistema robótico serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1 Dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Sistema robótico base móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.1 Resultados experimentais da dinâmica base + manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8
5.2.2 Otimização de trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Contribuições científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Perspectivas para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.1 Teoria dos Helicoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.1.1 Rotação pura de um Helicoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 Deslocamento Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.3 Método dos deslocamentos dos helicoides sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.1.4 Modelagem cinemática através da Teoria dos Helicoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2 Cinemática diferencial e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.1.1 Planta baixa fabrica tradicional. Adaptado de Mads Hvilshoj- 2009 . . . . . . . . . . 17
FIG.1.2 Planta baixa fabrica com manipulador móvel. Adaptado de Mads Hvilshoj-
2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
FIG.2.1 Junta prismática ou linear. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
FIG.2.2 Junta rotacional. Fonte: SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
FIG.2.3 Junta esférica. Fonte: SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.4 Junta cilíndrica. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.5 Junta planar. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.6 Junta parafuso.SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.7 Robô cartesiano. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
FIG.2.8 Robô cilíndrico. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
FIG.2.9 Robô esférico. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
FIG.2.10 Robô scara. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
FIG.2.11 Robô antropomórfico. SICILIANO et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIG.2.12 Representação de um corpo rígido no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIG.2.13 Representação de um corpo rígido no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIG.2.14 Representação da rotação de um referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
FIG.2.15 Significado das linhas e colunas de uma matriz de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
FIG.2.16 Representação da rotação de um vetor em um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
FIG.2.17 Ângulos de Euler (ZYZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FIG.2.18 Ângulos de Euler (RPY) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
FIG.2.19 Representação de um ponto em diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . 38
FIG.3.1 Parâmetros da roda. Fonte:Dhaouadi, Hatab.2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FIG.3.2 Robô diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FIG.3.3 Parâmetros de DH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FIG.3.4 Manipulador móvel dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
FIG.3.5 Esquemático Manipulador móvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
FIG.3.6 Simulação Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
FIG.3.7 Trajetória definida por um polinômio de terceira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
FIG.3.8 Trajetória definida por um polinômio de quinta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10
FIG.3.9 Representação paramétrica de um caminho no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
FIG.3.10 controle por torque computado na malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
FIG.3.11 Diagrama de blocos da malha do controle por torque computado . . . . . . . . . . . . 80
FIG.3.12 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
FIG.3.13 Erro de Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
FIG.3.14 Diagrama de controle do sistema assumindo sistemas desacoplados . . . . . . . . . . 84
FIG.4.1 Render da base móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FIG.4.2 CAD base móvel com suporte de motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FIG.4.3 - Base móvel com componentes instalados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
FIG.4.4 Funcionamento de um encoder ótico incremental. Fonte: Bharat Joshi. . . . . . . 88
FIG.4.5 Sistema de odometria com auxilio de câmera. Adaptado de João(2014) . . . . . . 89
FIG.4.6 Fiducial makers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
FIG.4.7 - Esboço do braço robótico com dois graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
FIG.4.8 Esboço 3D do braço robótico com dois graus de liberdade - vista isométrica.
91
FIG.4.9 Protótipo do braço robótico com dois graus de liberdade - vista isométrica.
91
FIG.4.10 Esboço do braço robótico com dois graus de liberdade - vista frontal. . . . . . . . . 91
FIG.4.11 Protótipo do braço robótico com dois graus de liberdade - vista frontal. . . . . . . 91
FIG.4.12 Esboço do braço robótico com dois graus de liberdade. Vista lateral. . . . . . . . . . 92
FIG.4.13 Protótipo do braço robótico com dois graus de liberdade - vista lateral. . . . . . . . 92
FIG.4.14 Controlador de motores Odrive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
FIG.5.1 Trajetória circular dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
FIG.5.2 Posição de juntas para trajetória circular do efetuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.5.3 Velocidade das juntas para trajetória circular do efetuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.5.4 Erro de posição e orientação para trajetória circular do efetuador final . . . . . . . . 99
FIG.5.5 Sinal de entrada: sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
FIG.5.6 - Sinal de entrada: sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
FIG.5.7 Comparação entre a trajetória simulada e a trajetória real obtida com o
protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.5.8 Comparação entre a trajetória simulada (x,y) e a trajetória real (x,y)
obtida com o protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11
FIG.5.9 Comparação entre a trajetória de θb simulada e a trajetória real de θb
obtida com o protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.5.10 Comparação entre as velocidades das rodas simuladas e as velocidades
reais obtida com o protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
FIG.5.11 Esquemático Manipulador móvel a paralelo em relação a base. . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.5.12 Esquemático Manipulador móvel a 180 graus em relação a base. . . . . . . . . . . . . 107
FIG.5.13 Módulo da corrente dos motores da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.5.14 Convergência da função objetivo ao longo das iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
FIG.5.15 Trajetória otimizada a partir do método PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
FIG.8.1 Representação de um helicoide associado a um corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . 126
FIG.8.2 Representação da rotação de um helicoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
FIG.8.3 Projeção de SPP r2 sobre SPP1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
FIG.8.4 Rotação e translação em torno de um único eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
FIG.8.5 Deslocamento de um corpo com dois helicoides sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
FIG.8.6 Deslocamento de um corpo por n helicoides sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
FIG.8.7 Representação do fechamento de cadeia de um manipulador serial com
n juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12
LISTA DE TABELAS
TAB.3.1 Parâmetros de Denavit Hartenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
TAB.4.1 Parâmetros Odrive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
TAB.4.2 Tabela de custo dos componentes utilizados no protótipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
TAB.5.1 Tabela de parâmetros reais do manipulador robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
TAB.5.2 Tabela de parâmetros PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13
RESUMO
A constante evolução e aperfeiçoamento tecnológico permitem que plantas fabris sejam
completamente robotizadas. Mas, devido ao alto custo agregado, muitas vezes tal implemen-
tação torna-se inviável, sobretudo em países com baixo desenvolvimento tecnológico. Visto
isso, o desenvolvimento de tecnologia nacional que possibilite a melhor utilização dos recur-
sos robóticos, visando a diminuição do custo de instalação e operação dos mesmo se torna
altamente desejado. Com isso, a proposta desta dissertação consiste na implementação de um
sistema robótico de baixo custo e alta confiabilidade, que torne possível a ampliação do vo-
lume de trabalho de robôs industriais, otimizando as possibilidades de uso dos mesmos. Para
tornar isso possível, o presente trabalho mostra o desenvolvimento da metodologia que inclui a
modelagem, controle, projeto e construção de um sistema constituído por um robô móvel não
holonômico com tração diferencial e um manipulador serial de 2 graus de liberdade acoplado
a esse robô. Para viabilizar a tarefa, esta dissertação aborda também o problema da movimen-
tação autônoma do manipulador móvel - envolvendo a geração e execução de trajetórias entre
os pontos de interesse. Para o rastreamento e controle de trajetória do manipulador móvel,
optou-sepor uma técnica que se baseia no modelo cinemático do robô e utiliza um modelo de
referência para calculo da lei de controle. Para lidar com os possíveis obstáculos foi adotado
um gerador de trajetórias baseado no uso da técnica de PSO - Particle Swarm Optmization, que
leva em consideração os obstáculos detectados a partir de um sistema de sensoriamento por
câmeras presente no ambiente. Técnicas de controle por torque computado foram utilizadas
para a estabilização do braço robótico de 2 graus de liberdade, possibilitando movimentos com
alta precisão e repetibilidade. Em um primeiro momento, simulações em ambiente MATLAB
e ROS - Robot Operating System foram feitas, demostrando a estabilidade e robustez da so-
lução sugerida, viabilizando assim a validação com a construção e controle do protótipo, que
conseguiu realizar a tarefa go-to-goal em 3 dimensões.
Palavras chaves: Robôs Móveis; Robôs Industriais; Differential Drive; Automação.
14
ABSTRACT
Constant tecnological improvement has allowed factories to robotize their tasks, but that
is a step that not all companies can take due to the high cost of industrial robots, specially in
countries with low tecnological development. Knowing that, the development of a national tech-
nology aiming for a better use of robotic features and a lower cost of installation and operation
of such robots is highly desirable. Thereby, this dissertation proposal consist on implementation
of a low cost and highly reliable robotic system that could expand the workload of industrial
robots, optimizing their possibilities. In order to achieve that, this paper shows the metodology,
modeling, control, project and construction of a non-holonomic differential drive mobile robot
attached to a 2 DOF serial robot manipulator. This dissertation adresses as well the problem of
autonomous movement of the mobile manipulator. Such problem involves trajectory generation
and execution between setpoints. For tracking and controlling the trajectory of the mobile ma-
nipulator, it was chosen a technique based on the kinematic model of the robot, which uses a
reference model to calculate the control law. To deal with possible obstacles, a trajectories gen-
erator based on PSO – Particle Swarm Optimization technique was applied. That method takes
into account the detected obstacles through camera sensoring, installed on the surroundings.
Computed-Torque control methods were used to stabilize the 2 DOF manipulator, enabling
movements with high precision and repeatability. At first, simulations conducted in MATLAB
and ROS demonstrate the stability and robustness of the sugested solution. Thus allowing the
validation with the construction and control of the prototype, which was able to accomplish a
go-to-goal task in 3 dimensions (X ,Y ,Z).
Keywords: Mobile robots; Industrial Robots; Differential Drive; Automation.
15
1 INTRODUÇÃO
Com o constante crescimento das indústrias, começou a tornar-se grande a demanda por
soluções que facilitem os processos de fabricação e também aumentem a eficiência dos mesmos;
devido a essa necessidade, o uso de sistemas de automação e sistemas robóticos começaram a
ser cada vez mais necessários e difundidos. Desde 1956, diversas gerações de robôs têm sido
desenvolvidas e amplamente utilizadas, entretanto, mesmo nesse cenário onde a automação e
a robótica se fazem presentes, a necessidade de novas soluções para dar mais mobilidade e
versatilidade a esses sistemas robóticos tornou-se necessária.
Dentre os inúmeros tipos de robôs, dois tipos vêm se desenvolvendo rapidamente: os robôs
industriais e os robôs móveis. Em um primeiro momento a robótica industrial com a grande
demanda por robôs manipuladores teve seu desenvolvimento acelerado. Após o grande cresci-
mento da robótica industrial outro grupo - os robôs móveis - teve crescimento expressivo. Isto
se deu pela capacidade desses sistemas robóticos terem autonomia e mobilidade suficiente para
reagir e colaborar com o ambiente no qual estão inseridos, possibilitando assim diversas apli-
cações para os mesmos.
Os robôs industriais, segundo a INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARD-
IZATION (2011), são manipuladores multipropósito controlados automaticamente, programáveis,
reprogramáveis e possuem três ou mais eixos. Esta categoria de robôs usualmente é dividida
em 6 subcategorias, sendo elas definidas de acordo com o número, tipo e disposição dos elos e
das juntas.
Já os robôs móveis, de acordo com SIEGWART & NOURBAKHSH (2004a), pertencem a
um campo de pesquisa recente e vêm se tornando alvo de diversos pesquisadores. Sua utilização
é ampla, desde robôs equipados com utensílios de limpeza que agilizam a vida das pessoas a
robôs com ferramentas que podem ser utilizados em missões como o desarmamento de bombas
ou salvamento em locais perigosos. Tais mecanismos podem ser equipados com rodas, pernas,
hélices ou até mesmo turbinas para permitir a sua locomoção. Uma classificação amplamente
aceita pela sociedade acadêmica é a que robôs móveis são divididos em grupos de acordo com
o ambiente que operam e a sua forma de locomoção. Quanto ao ambiente, pode-se classificar
os robôs móveis em 3 categorias:
• Robôs aéreos.
16
• Robôs terrestres.
• Robôs subaquáticos.
Quanto ao tipo de locomoção, os mesmos podem ser subdivididos em 4 classes:
• Pernas.
• Rodas.
• Esteiras.
• Propulsão.
Com o advento dos robôs colaborativos, tornou-se possível a relação mais próxima entre
robôs e os seres humanos, viabilizando assim o uso de plataformas móveis trabalhando em con-
junto com robôs industriais para a expansão da área de trabalho dos mesmos. Como visto na
figura 1.1, uma fábrica com 3 estações de trabalho necessita tradicionalmente de 3 robôs indus-
triais para atender à demanda de operação. Já com a adaptação de uma base móvel, somente
um robô passa a ser necessário, como visto na figura 1.2
FIG. 1.1: Planta baixa fabrica tradicional. Adaptado de Mads Hvilshoj- 2009
17
FIG. 1.2: Planta baixa fabrica com manipulador móvel. Adaptado de Mads Hvilshoj- 2009
Através do uso dessas plataformas móveis, os mesmos robôs industriais que comumente
cobriam uma área de trabalho limitada agora podem ampliar significativamente a área útil de
execução de suas atividades programadas, aliando as vantagens da mobilidade dos robôs móveis
com a alta capacidade de manipulabilidade dos robôs industriais. Tais sistemas permitem as
mais usuais missões de robótica, pois são sistemas que possuem habilidades tanto de locomoção
quanto de manipulação (Arai 1996; Khatib 1997).
Entretanto, a união dessas duas tecnologias por se tratar de uma tarefa com alto custo e
esforço computacional, foi implementada apenas por poucas empresas, tornando-se assim, uma
tecnologia financeiramente inviável para a adoção em larga escala.
1.1 MOTIVAÇÃO
Mesmo com expansão da robotização na indústria mundial, o Brasil, mesmo sendo um
dos países mais populosos do mundo, avança de forma lenta no desenvolvimento e uso dessa
tecnologia. Segundo a IFR (2017a), o Brasil representa somente 0, 55% da instalação de novos
robôs industriais no mundo, quantidade irrisória se comparada a países muito menores como
Coreia do Sul e Japão, que estão entre as 5 nações com o maior consumo dessa tecnologia.
18
Segundo a Confederação Brasileira da Indústria (2018), o principal impedimento para a
instalação de novos robôs pela indústria brasileira é o alto custo agregado com a compra, ins-
talação e treinamento de profissionais especializados para operar tal tecnologia. Desenvolver
um sistema robótico nacional poderia viabilizar a instalação de robôs na indústria brasileira,
trazer avanços tecnológicos e empregos para o país. Além da aplicação em robôs industriais,
diversas outras são possíveis. A incorporação de um robô móvel a um manipulador robótico
pode propiciar melhorias em diversos problemas que demandam que o ser humano se submeta
a situações de risco, como no caso de acidentes e conflitos com alto poder bélico. Desdeo
acidente de Fukushima em 2011, onde um terremoto afetou uma planta de geração de energia
nuclear, o crescimento de sistemas robóticos que tenham destreza suficiente e capacidade de se
locomover para áreas não conhecidas de modo a executar tarefas impróprias para os seres hu-
manos se tornou muito necessário. O veículo robótico proposto nessa dissertação é capaz, desde
que com algumas adaptações, de ser usado não somente em situações desse tipo do acidente no
Japão, como também no desarmamento de minas subterrâneas e artefatos explosivos.
Segundo a Política Nacional de Defesa (2018), não é independente o país que não possui
domínio das tecnologias sensíveis, tanto para a defesa, quanto para o desenvolvimento. Tais
avanços tecnológicos citados também colocariam o país em outro patamar quando o assunto é
tecnologia militar. A nacionalização e criação de novos dispositivos para o auxílio de nossas
tropas seria possível além de altamente desejada.
1.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
De acordo com a ISO10218 (2011), robôs industriais são dispositivos mecânicos programáveis
que podem executar diversas tarefas. A incorporação de uma base móvel aos robôs industriais
tradicionais, além de permitir que os mesmos possam executar novas tarefas, possibilita que
o mesmo possa fazer isso em um ambiente mais amplo do que a área de trabalho de um robô
industrial convencional.
Diversos fatores podem ser considerados como empecilhos para a implementação do sis-
tema proposto. Como os robôs devem ser capazes de se localizarem no ambiente, tomar de-
cisões, planejar e executar rotas independente de intervenções humanas, o sensoriamento do
sistema robótico assim como o controle de estabilidade do manipulador são grandes desafios.
19
1.3 OBJETIVOS
Tendo em vista o alto custo e baixo desenvolvimento de tecnologia voltada para robótica no
Brasil e sabendo também da necessidade de desenvolver novos sistemas robóticos, mesmo com
toda a dificuldade de produzir novas tecnologias e o custo das mesmas, este trabalho tem como
objetivos:
• Desenvolver, simular e construir um protótipo de um sistema robótico móvel, composto
por um braço robótico (manipulador serial) e uma base móvel do tipo diferencial.
• Obter todo equacionamento cinemático e dinâmico necessário para a construção do mo-
delo matemático do sistema robótico proposto.
• Desenvolver a metodologia para a execução do projeto do sistema robótico de modo que
esse tenha custo significativamente menor aos praticados atualmente.
1.4 RESULTADOS ESPERADOS
Ao final dessa dissertação, espera-se como resultado do trabalho de pesquisa e desenvolvi-
mento a:
• Construção de protótipo funcional do sistema robótico composto por um braço robótico
e uma base móvel (manipulador móvel).
• Validação da metodologia proposta com o auxílio do protótipo construído.
1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Este trabalho está organizado de forma que o capítulo 1 mostra a introdução, a motivação, os
objetivos e os resultados esperados, assim como a formulação do problema proposto e a revisão
bibliográfica feita. No capítulo 2, a fundamentação teórica para compreendimento do trabalho é
apresentada. O capítulo 3 aborda a modelagem cinemática e dinâmica usada na implementação
do sistema robótico proposto, assim como a metodologia e as leis de controle utilizadas.
No capítulo 4 é feita a apresentação do protótipo proposto, mostrando seu hardware, eletrônica
e também o sistema de odometria, que auxilia na obtenção da posição e orientação do sistema
robótico.
20
Os resultados numéricos e experimentais são mostrados e analisados ao longo do capítulo
5. Finalmente no sexto capítulo é apresentada a viabilidade do projeto, as conclusões obtidas,
os problemas encontrados durante a execução do projeto e as perspectivas de estudos futuros.
1.6 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Devido a sua alta mobilidade e versatilidade, os manipuladores móveis tornaram-se matéria
de pesquisa YU; CHEN, 2002. Estudos realizados por FUKUSHIMA; HIROSE; HAYASHI,
1998, trazem a integração entre o manipulador e o controlador de movimento como o principal
objetivo de pesquisa. MAILA; PITOWARNO; JAMALUDDIN, 2005 concentram seus estudos
na dinâmica dos manipuladores móveis.
YAMAMOTO E YUN - 1999 mostram o estudo de movimento de um manipulador móvel
de forma desacoplada, mostrando que tratar o movimento da base isolado ao movimento do
manipulador robótico torna a abordagem mais simples e fácil, com a possibilidade de resultados
muito próximos aos trabalhos realizados por NAGASAKA et al em 2010 - que propõe o controle
do dois sistemas de forma acoplada. Para isso, eles sugerem duas técnicas: GID - Generalized
Inverse Dynamics e a IJU Idealized Joint Unit. Ambas as técnicas propostas demostram um
aumento da capacidade de interação física de um robô, sendo que a IJU garante uma resposta
mais precisa quanto ao torque aplicado.
Diversos outros autores também abordam a modelagem dinâmica e cinemática de manipu-
ladores móveis, entre os mais difundidos: SICILIANO E KHATIB 2008, SIDEK E SARKAR
- 2008, GARCIA 2009, PETROV EM 2010.
Ainda em 2010, HAMNER et al. desenvolve um manipulador autônomo a fim de realizar
tarefas em ambiente de linha de produção de veículos, fazendo o uso de sistemas de visão e
força para obter informações sobre o ambiente no qual é utilizado.
IDE et al. (2011) estabelece um sistema de planejamento de trajetória em tempo real e
para resolver tal sistema abordam o planejamento de trajetória como problema de programação
quadrática a fim de otimizar as entradas da malha de controle de movimento. Ainda que a
teoria sobre manipuladores móveis já seja objeto de pesquisa a mais de duas décadas, trabalhos
recentes mostram que o assunto possui ainda uma ampla gama de possibilidades de pesquisa.
LIAN DING et al. 2017 sugere técnicas de controle adaptativo para viabilizar robôs mani-
puladores móveis a abrir portas em situações de risco. Já TAO e FENGFENG 2018 demonstram
a análise de um manipulador móvel considerando condições não ideais, como o deslizamento
das rodas do mesmo.
21
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Nesse capítulo são apresentados conceitos importantes para o entendimento da metodologia
apresentada nessa dissertação. Entre os principais tópicos abordados, estão:
• Graus de liberdade - DoF (Degrees of Freedom)
• Tipos de juntas
• Referenciais
• Representação da posição em função da mudança de orientação
• Ângulos de Euler
• Localização de corpos rígidos no espaço
Os tópicos listados acima são fundamentos essenciais para o entendimento da metodologia
deste trabalho. Conceitos adicionais como a modelagem através da teoria dos helicoides suces-
sivos e cinemática inversa de manipuladores seriais podem ser vistos no capítulo de apêndices
dessa dissertação.
2.1 GRAUS DE LIBERDADE
De acordo com SICILIANO & KHATIB (2008), a mobilidade de um manipulador é garan-
tida com a presença de juntas, assim a articulação entre dois elos consecutivos pode acontecer.
Em robôs de cadeia serial aberta, cada junta de rotação ou prismática é responsável por fornecer
um grau de liberdade (DoF - Degree of freedom do inglês) ao robô; sendo que a junta de revo-
lução cria um movimento relativo de rotação entre dois elos e as juntas prismáticas criam um
movimento de translação entre esses dois elos. A destreza de um robô está diretamente ligada ao
número de graus de liberdade que ele possui. Segundo SICILIANO & KHATIB (2008), para se
executar uma tarefa em um ambiente tridimensional - ou seja, no espaço - 6 graus de liberdade
são necessários: 3 responsáveis pela posição do corpo e outros 3 responsáveis pela orientação
do mesmo. Com mais do que 6 graus de liberdade, os robôs redundantes são conhecidos por
poder executar mais tarefas e/ou executar tarefas similares com poses diferentes, o que auxilia
22
no processo de evitar colisões com os demais objetos do ambiente, além de evitar regiões de
singularidade (propiciando maior precisão e robustez).
A seguir serão apresentadosos tipos de juntas encontrados nos manipuladores robóticos.
Segundo TENENBAUM (1997), juntas são as articulações que conectam os elos e permitem
o movimento do mesmo em relação ao elo anterior. Essas juntas podem ser dos tipos:
JUNTA PRISMÁTICA OU LINEAR
Junta que possui movimento linear, normalmente compostas de duas hastes que deslizam
entre si (figura 2.1).
FIG. 2.1: Junta prismática ou linear. SICILIANO et al. (2010)
JUNTA ROTACIONAL
Junta que gira em torno de uma linha imaginária estacionária chamada de eixo de rotação.
Ela gira como uma cadeira giratória, abre e fecha como uma dobradiça (figura 2.2).
FIG. 2.2: Junta rotacional. Fonte: SICILIANO et al. (2010)
A associação dessas juntas permite a criação de novas juntas, sendo que as mais difundidas
atualmente, são:
JUNTA ESFÉRICA
Funciona com a combinação de três juntas de rotação, realizando rotação em torno de três
eixos (figura 2.3);
23
FIG. 2.3: Junta esférica. Fonte: SICILIANO et al. (2010)
JUNTA CILÍNDRICA
É composta por duas juntas: uma rotacional e uma prismática (figura 2.4);
FIG. 2.4: Junta cilíndrica. SICILIANO et al. (2010)
JUNTA PLANAR
É composta por duas juntas prismáticas e realiza movimentos em duas direções (figura 2.5);
FIG. 2.5: Junta planar. SICILIANO et al. (2010)
JUNTA PARAFUSO
É constituída de um parafuso que contém uma porca que executa um movimento semelhante
ao da junta prismática, porém com movimento no eixo central (figura 2.6).
FIG. 2.6: Junta parafuso.SICILIANO et al. (2010)
24
2.2 TIPOS DE ROBÔS INDUSTRIAIS DE CADEIA ABERTA
Robôs industriais de cadeia aberta são os robôs mais usados nas indústrias; os mesmos po-
dem ser classificados de acordo com o número de juntas, graus de liberdade e disposição dessas
juntas no robô. Essas juntas podem estar dispostas paralelamente(‖) ou ortogonalmente(⊥) em
relação uma a outra.
CARTESIANO
Robô composto por 3 juntas prismáticas (P ) na configuração P ⊥ P ⊥ P . Esse tipo de
robô possui 3 graus de liberdade (figura 2.7).
FIG. 2.7: Robô cartesiano. SICILIANO et al. (2010)
CILÍNDRICO
Robô composto também por 3 juntas (figura 2.8), mas se difere do robô prismático pelo
fato de a primeira junta ser do tipo rotativa(R), tendo esse uma configuração de juntas do tipo
R ‖ P ⊥ P. Esse tipo de robô possui 3 graus de liberdade.
FIG. 2.8: Robô cilíndrico. SICILIANO et al. (2010)
25
ESFÉRICO
Robô composto por 3 juntas, mas com uma disposição do tipo R ‖ R ⊥ P (figura 2.9).
Esse tipo de robô possui 3 graus de liberdade.
FIG. 2.9: Robô esférico. SICILIANO et al. (2010)
SCARA
Robô com 3 juntas: esse tipo de robô foi criado para executar tarefas de Capim-de-planta e
possui 3 juntas dispostas paralelamente entre elas, ou seja, R ‖ R ‖ P (figura 2.10); Esse tipo
de robô possui 3 graus de liberdade.
FIG. 2.10: Robô scara. SICILIANO et al. (2010)
ANTROPOMÓRFICO
Robô industrial que mais se aproxima da configuração de um braço humano: esse tipo de
robô possui no mínimo 3 juntas de rotação, dispostas na maioria das vezes da formaR ⊥ R ‖ R
(figura 2.11). Esses robôs podem possuir mais juntas, sendo comum robôs com 6 juntas, e
também robôs antropomórficos redundantes com 7 juntas.
26
FIG. 2.11: Robô antropomórfico. SICILIANO et al. (2010)
2.2.1 REFERENCIAIS
Um corpo rígido pode ser definido por um corpo em que a distância entre todas as partículas
componentes permanecem fixas sob a ação de uma força, mantendo a sua forma durante o
movimento. Segundo TENENBAUM (1997), o corpo rígido é uma abstração da realidade, um
modelo da mecânica, onde os deslocamentos relativos entre pontos sucessivos pertencentes ao
corpo podem ser desprezados frente ao movimento global do corpo como um todo.
Antes de iniciar qualquer tratativa de localização de um corpo rígido no espaço tridimen-
sional, é necessário estabelecer algumas definições.TENENBAUM (1997)
Definição 1 – Referencial – é definido como um conjunto de pontos não colineares, que
guardam entre si distâncias invariantes com o tempo, podendo se associar um sistema de eixos
cartesianos .
Definição 2 – Referencial Absoluto – é definido como um sistema fixo de eixos coordenados
de referência, permitindo a localização de um corpo rígido no espaço tridimensional .
Definição 3 – Referencial Relativo ou Móvel – é definido como um sistema de eixos co-
ordenados que se movimenta, em relação ao referencial absoluto ou a outro referencial móvel,
sendo útil na determinação da localização de sistemas com múltiplos corpos ligados por juntas.
Esses sistemas coordenados se movem usualmente solidários a elos .
Seja O0 − x0y0z0 o referencial absoluto no espaço tridimensional, com origem O0 e seus
três eixos x0, y0 e z0 ortogonais entre si, e O1 − x1y1z1 um referencial móvel associado a um
determinado ponto de um corpo rígido, com origem O1 e seus três eixos x1, y1 e z1 igualmente
ortogonais entre si, conforme figura 2.12.
Segundo SICILIANO et al. (2009b), a localização de um corpo rígido no espaço tridimen-
27
FIG. 2.12: Representação de um corpo rígido no espaço
sional é determinada quando conhecidas sua posição e orientação com respeito a um dado refe-
rencial. A localização de todos os pontos pertencentes ao corpo rígido podem ser determinadas
quando se conhece a localização do referencial móvel, solidário ao corpo, em relação ao refe-
rencial absoluto.
2.2.2 REPRESENTAÇÃO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO DA MUDANÇA DE ORIENTAÇÃO
Para facilitar a análise, em um primeiro momento, considere que os dois referenciais tenham
origens coincidentes, como ilustrado na figura 2.13. A posição do ponto P , com respeito ao
referencial absoluto O0 − x0y0z0, pode ser descrita por um vetor (3x1) p0, do seguinte modo:
FIG. 2.13: Representação de um corpo rígido no espaço
p0 =

p0x
p0y
p0z
 = p0xi+ p0yj + p0zk (2.1)
28
A representação com um super-índice 0 significa que o vetor p0 tem coordenadas do ponto
P relativas ao referencial absoluto O0 − x0y0z0.
De maneira análoga, a posição do ponto P , com respeito ao referencial móvelO1−x1y1z1,
também pode ser descrita por um vetor (3x1) p1, no seguinte modo:
p1 =

p1x
p1y
p1z
 = p0xu+ p1yv + p1zw (2.2)
A orientação de um corpo rígido é determinada através da representação de seu referencial
móvel em função do absoluto, visto que o mesmo acompanha os movimentos desse corpo,
sendo solidário ao corpo. Inicialmente, considera-se que a movimentação entre o referencial
móvel e o absoluto se dá com um ponto em comum, ou seja, a origem em comum. Isto é
conhecido como rotação ou movimento esférico.
Assumindo que o referencial absoluto O0 − x0y0z0 possua vetores unitários (i, j,k) e o
móvel O1 − x1y1z1, vetores unitários (u,v,w), é possível representar (u,v,w) em função de
(i, j,k), através das respectivas projeções no referencial absoluto, ou seja:
u = uxi + uyj + uzk (2.3)
v = vxi + vyj + vzk (2.4)
w = wxi + wyj + wzk (2.5)
Substituindo os vetores unitários (u,v,w), em função das suas projeções no referencial
fixo (i, j,k), apresentados nas EQ. 2.3, 2.4 e 2.5 , na EQ. 2.1, e agrupando as componentes em
(i, j,k), tem-se
p0 = p1x(uxi + uyj + uzk) + p
1
y(vxi + vyj + vzk) + p
1
z(wxi + wyj + wzk) (2.6)
p0 = (p1xux + p
1
yvx + p
1
zwx)i + (p
1
xuy + p
1
yvy + p
1
zwy)j + (p
1
xuz + p
1
zwz + p
1
yvz)k (2.7)
29
Dessa maneira, comparando as EQs. 2.2 e 2.7, é possível escrever:
p0x = p
1
xux + p
1
yvx + p
1
zwx (2.8)
p0y = p
1
xuy + p
1
yvy + p
1
zwy (2.9)
p0z = p
1
xuz + p
1
yvz + p
1
zwz (2.10)
Agrupando na forma matricial, tem-se:
p0x
p0y
p0z
 =

ux vx wx
uy vy wy
uz vz wz


p1x
p1y
p1z
 (2.11)
Assim, a orientação de um corpo rígido sobre um ponto fixo pode ser determinado através
de uma transformação ortonormal, representada da seguinte forma
p0 = R01 p
1 (2.12)
onde,
R01 =

ux vx wx
uy vy wy
uz vz wz
 =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 (2.13)
A matriz R01 é denominada Matriz de Rotação que move o referencial 1 em relação ao
referencial 0, capaz derepresentar completamente a variação da orientação do corpo, sendo for-
mada por 3 vetores coluna unitários ortogonais, em que as seguintes condições são observadas:
u2 = uTu = 1 (2.14)
v2 = vTv = 1 (2.15)
w2 = wTw = 1 (2.16)
uTv = vTw = wTu = 0 (2.17)
u× v = w = −(v × u) (2.18)
v ×w = u = −(w × v) (2.19)
w × u = v = −(u×w) (2.20)
det(R01) = 1 (2.21)
30
R01 =
[
u0 v0 w0
]
=

i1
T
j1
T
k1
T
 (2.22)
R10 = R
0
1
−1
= R01
T (2.23)
2.2.3 ROTAÇÕES ELEMENTARES
Supondo que o referencial móvel O1−x1y1z1, inicialmente coincidente com O0−x0y0z0,
seja rotacionado por um ângulo α em torno do eixo z comum a ambos, conforme figura 2.14.
FIG. 2.14: Representação da rotação de um referencial
Os vetores unitários do referencial rotacionado, descritos em termos do referencial absoluto,
são obtidos em função das projeções, ou seja:
x1 =

cosα
sinα
0
 (2.24)
y1 =

− sinα
cosα
0
 (2.25)
z1 =

0
0
1
 (2.26)
Sendo assim, a matriz Rz(α), que representa a rotação do referencial O1 − x1y1z1 em
relação a O0 − x0y0z0 em torno de z0 ≡ z1 de um ângulo α é determinada por:
31
R01 = Rz(α) =

cosα − sinα 0
sinα cosα 0
0 0 1
 (2.27)
Note-se que, enquanto as colunas da matriz Rz(α) correspondem às projeções dos vetores
unitários do referencial móvel em relação ao absoluto, as linhas representam as projeções dos
vetores unitários do referencial absoluto em função do móvel, conforme a EQ. 2.13, cujo sig-
nificado físico da forma matricial encontra-se ressaltado na figura 2.15.
FIG. 2.15: Significado das linhas e colunas de uma matriz de rotação
De maneira análoga, é possível obter as matrizes para a rotação elementar em torno de x
de um ângulo β; e em torno de y de γ, que encontram-se representadas conforme descrito nas
EQ. 2.28 e 2.29, respectivamente.
Rx(β) =

1 0 0
0 cos β − sin β
0 sin β cos β
 (2.28)
Ry(γ) =

cos γ 0 sin γ
0 1 0
− sin γ 0 cos γ
 (2.29)
2.2.4 ROTAÇÃO DE UM VETOR
Uma matriz de rotação pode ser interpretada como um operador que rotaciona um deter-
minado vetor em torno de um eixo arbitrário no espaço em dois instantes de tempo distintos
assumindo um super-índice 0 e 1. Como exemplo, seja p1 um vetor cujo referencial encontra-
se em O − xyz, representado na figura 2.16.
O vetor p0 tem as seguintes componente:
32
FIG. 2.16: Representação da rotação de um vetor em um plano
p0x = p
1
x cosα− p1y sinα (2.30)
p0y = p
1
x sinα + p
1
y cosα (2.31)
p0z = p
1
z (2.32)
Observa-se, portanto, que p0 pode ser expresso como:
p0 = Rz(α)p1, (2.33)
onde Rz(α) é a matriz que representa a rotação do vetor em torno de um eixo z comum.
Segundo SICILIANO et al. (2009b), uma matriz de rotação além de funcionar como um
operador que rotaciona um vetor em um mesmo sistema de coordenadas, apresenta outros dois
significados geométricos equivalentes: (1) descreve uma orientação mútua em dois sistemas
de coordenadas, sendo o vetor coluna os cossenos diretores do eixo rotacionado em relação ao
eixo original; (2) representa uma transformação de coordenadas de um ponto expresso em dois
diferentes sistemas de referência, caso a origem seja comum para os dois sistemas.
2.2.5 COMPOSIÇÃO DE MATRIZES DE ROTAÇÃO
SejamO0−x0y0z0,O1−x1y1z1 eO2−x2y2z2 sistemas de referência com origem comum,
ou seja, O0 ≡ O1 ≡ O2 ≡ O. O vetor p descreve a posição de um ponto no espaço em três
instantes distintos, representando sua localização como sendo p0, p1 e p2, respectivamente.
Considerando a relação da expressão p2 do vetor p no referencial 2 e p1 o mesmo vetor no
referencial 1, se Rji denota a matriz de rotação de um referencial i em relação ao referencial j,
então
p1 = R12p
2 (2.34)
33
Analogamente, tem-se que
p0 = R01p
1 (2.35)
p0 = R02p
2 (2.36)
Substituindo a EQ. 2.34 em 2.35 e comparando com a EQ. 2.36, têm-se que
R02 = R
0
1R
1
2 (2.37)
A EQ. 2.37 é interpretada como a composição de rotações sucessivas. Considerando a
posição inicial alinhada com o referencial absolutoO0−x0y0z0, a rotação expressa pela matriz
R02 representa duas rotações sucessivas:
• uma primeira rotação representada pela matriz R01, em um instante 1, onde o referencial
móvel assume O1 − x1y1z1;
• uma segunda rotação, com a qual o referencial passa para O2− x2y2z2, de acordo com a
matriz R12, em relação ao instante anterior.
A composição de sucessivas rotações é obtida pela pós-multiplicação das matrizes de ro-
tação, desde que sejam respeitadas as ordens das rotações, tendo como base a posição do refe-
rencial anterior. Utilizando as propriedades de ortonormalidade e adotando uma notação mais
geral, essa regra pode ser reescrita por:
Rij = (R
j
i)
−1 = (Rji)
T (2.38)
Vale destacar que a composição de rotações é representada sempre por um produtório de
matrizes que não é comutativo, ou seja, sua composição depende da ordem das rotações (SI-
CILIANO et al., 2009b).
2.2.6 ÂNGULOS DE EULER
É usual a utilização dos Ângulos de Euler para representar a orientação de um corpo rígido
por meio de três rotações consecutivas em torno de eixos escolhidos. Matrizes de Rotação pos-
suem uma descrição redundante para a orientação de um sistema, sendo caracterizada por nove
elementos que não são independentes, mas relacionam-se através de seis condições de ortogo-
nalidade. Com isso, três parâmetros são suficientes para descrever a orientação de um corpo
34
rígido no espaço. A representação da orientação através de três parâmetros independentes é de-
nominada representação mínima para um espaço tridimensional, que pode ser obtida utilizando
três ângulos
φ =
[
ϕ ϑ ψ
]T
(2.39)
Considerando uma Matriz de Rotação que represente uma rotação elementar em torno de um
eixo de coordenadas como função de um único ângulo, é possível obter uma Matriz de Rotação
genérica através da composição de três rotações elementares, desde que mais de uma rotação
não ocorra em torno de eixos paralelos. Com isso, SICILIANO et al. (2009b) afirma serem
possíveis 12 conjuntos de ângulos, além de outras 27 combinações. Dois desses conjuntos são
os mais utilizados, sendo comumente denominados de ZYZ e RPY (Roll-Pitch-Yaw, ou ZYX),
que encontram-se analisados a seguir.
2.2.7 ÂNGULOS ZYZ
A rotação descrita pelos ângulos de Euler de ZYZ (movido), exemplificados na figura 2.17,
pode ser obtida da composição das seguintes rotações elementares:
FIG. 2.17: Ângulos de Euler (ZYZ) (Adaptado de SICILIANO et al. (2009b))
• uma rotação do sistema de referência em um ângulo ϕ em torno do eixo z, descrita pela
matriz Rz(ϕ);
• seguida de uma rotação do novo sistema de referência em um ângulo ϑ em torno do eixo
y′ (y movido), representado pela matriz Ry′(ϑ);
35
• realizando uma terceira rotação do sistema de referência obtido em um ângulo de ψ
em torno do eixo z′′ (z movido das duas rotações anteriores), determinado pela matriz
Rz′′(ψ).
O resultado consiste na pós-multiplicação das matrizes correspondentes às rotações indi-
cadas acima, ou seja:
R(φ) = Rz(ϕ)Ry′(ϑ)Rz′′(ψ) (2.40)
A multiplicação das três rotações elementares resulta em:
R(φ) =

cϕcϑcψ − sϕsψ −cϕcϑsψ − sϕcψ cϕsϑ
sϕcϑcψ + cϕsψ −sϕcϑsψ + cϕcψ sϕsϑ
−sϑcψ sϑsψ cϑ
 =

r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
 (2.41)
onde c e s correspondem a uma notação compacta para cos e sin, respectivamente.
Considerando os elementos r13 e r23 não nulos, é possível obter os ângulos ZYZ através de:
ϕ = tan−1(r23/r13) (2.42)
ϑ = tan−1(
√
r213 + r
2
23 /r33) (2.43)
ψ = tan−1(r32/− r31) (2.44)
2.2.8 RPY (ROLL - PITCH - YAW)
Já a rotação descrita pelos os ângulos RPY, representada na figura 2.18, pode ser obtida da
composição das seguintes rotações elementares:
• uma primeira rotação em torno do eixo x do referencial absoluto, representada pela matriz
de rotação R̄x(ψ);
• seguida de uma rotação em torno do eixo y do referencial absoluto, descrito pela matriz
R̄y(ϑ); e
• de uma rotação em torno do eixo z do referencial absoluto, determinado pela matriz
R̄z(ϕ).
36
FIG. 2.18: Ângulosde Euler (RPY) (Adaptado de SICILIANO et al. (2009b))
Como as rotações ocorrem em torno do referencial absoluto, e não do referencial movido, o
resultado consiste na pré-multiplicação de Rx(ψ) pela matriz Ry(ϑ), por sua vez, pré-multiplicada
por Rz(ϕ), resultando em:
R(φ) = Rz(ϕ)Ry(ϑ)Rx(ψ) (2.45)
R(φ) =

cϕcϑ cϕsϑsψ − sϕcψ cϕsϑcψ − sϕsψ
sϕcϑ sϕsϑsψ + cϕcψ sϕsϑcψ − cϕsψ
−sϑ cϑsψ cϑcψ
 =

r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
 (2.46)
Relacionando os elementos da matriz R(φ), é possível obter a solução inversa para o pro-
blema, ou seja:
ϕ = Atan2(r21, r11) (2.47)
ϑ = Atan2(−r31,
√
r232 + r
2
33) (2.48)
ψ = Atan2(r32, r31) (2.49)
2.2.9 REPRESENTAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO
Em todo raciocínio até então descrito considerou-se que as origens dos referenciais são
necessariamente coincidentes. Na prática, isto pode não ocorrer de fato, ou seja, pode haver
variação da posição em instantes distintos de tempos entre as origens dos referenciais.
Assim sendo, considera-se um único ponto P associado ao corpo rígido no espaço, con-
forme apresentado na figura . 2.19, onde:
• p0 é o vetor que expressa a localização desse ponto em relação ao referencial absoluto
37
O0 − x0y0z0;
• p1 o vetor que localiza o mesmo ponto em com respeito ao referencial móvel O1 −
x1y1z1;
• o01 o vetor que descreve a origem do referencial móvel O1 − x1y1z1 em relação à O0 −
x0y0z0; e
• R01 a matriz de rotação do referencial movido (1) em relação ao absoluto (0).
FIG. 2.19: Representação de um ponto em diferentes sistemas de coordenadas
Analisando a geometria do problema, a posição do ponto P em função do referencial abso-
luto pode ser expressa por:
p0 = o01 + R
0
1p
1 (2.50)
Objetivando uma representação mais compacta da relação entre as coordenadas de um
mesmo ponto em diferentes referenciais, a representação de um vetor genérico p3×1 pode ser
feita introduzindo um quarto componente unitário, passando a ser reescrito como p̃4×1, onde:
p̃ =
[
p
1
]
(2.51)
Adotando esta representação para os vetores p0 e p1, a localização expressa na EQ. 2.50
podem ser reescritas em termos de uma matriz (4 × 4), A01, podendo ser reescrita na forma
compacta:
p̃0 = A01p̃
1 (2.52)
38
onde A01 é denominada MTH- Matriz de Transformações homogêneas, com as seguintes com-
ponentes:
A01 =
[
R01 o
0
1
0T 1
]
(2.53)
É possível obter a transformação inversa através da pré-multiplicação de ambos os lados por
R01
T , de maneira que
p1 = −R01
T
o01 + R
0
1
T
p0 (2.54)
que através da relação expressa pela EQ. 2.23, pode ser reescrita como
p1 = −R10o01 + R10p0 (2.55)
Sendo assim, p1 toma a forma
p̃1 = A10p̃
0 = (A01)
−1p̃0 (2.56)
onde a matriz A10 pode ser expressa como
A10 =
[
R01
T −R01
T
o01
0T 1
]
=
[
R10 −R10o01
0T 1
]
(2.57)
Vale salientar que:
A−1 6= AT (2.58)
Como observado, a MTH expressa a localização entre dois referenciais em uma forma com-
pacta e, analogamente ao que foi demonstrado para as matrizes de rotação, também pode ser
associada a uma sequência de transformações de coordenadas através do produtório de todas
transformações.
p̃0 = A01A
1
2 . . .A
n−1
n p̃
n (2.59)
O conceito de MTH é a base para localização de múltiplos corpos rígidos no espaço tridimen-
sional. Como a cadeia cinemática serial do robô industrial, sua modelagem pode ser feita por
duas metodologias principais: utilizando a convenção de Denavit e Hartenberg (detalhada no
39
capitulo 3 dessa dissertação) ou baseada na Teoria dos Helicoides (detalhada no apêndice dessa
dissertação).
40
3 METODOLOGIA
Neste capítulo é apresentada a metodologia proposta para a modelagem cinemática e dinâmica
de robôs seriais e robôs móveis do tipo diferencial e será feita também a apresentação da no-
tação de Denavit&Hartenberg de modo a possibilitar a definição da posição e orientação de
um sistema de múltiplos corpos rígidos no espaço. Como o modelo para robôs seriais apresen-
tado não se aplica aos robôs móveis diferenciais, o equacionamento necessário para a obtenção
do modelo desse sistema robótico também será apresentada. Como a formulação da dinâmica
Lagrangeana será utilizada para descrever a dinâmica tanto do manipulador robótico quanto
do robô móvel, a mesma será apresentada ao longo desse capítulo, porém, com algumas adap-
tações devido a restrições de movimento que os robôs móveis do tipo diferencial estão sujeitos.
A dinâmica do motor DC também será apresentada, possibilitando assim obter um modelo o
mais próximo possível.
3.1 MODELAGEM DO ROBÔ MÓVEL
De acordo com CAMPION & CHUNG (2008) robôs móveis do tipo diferencial pertencem
a uma classe de sistemas mecânicos caracterizados por restrições cinemáticas que não são in-
tegráveis e não podem ser eliminadas das equações do modelo. Por conta dessa restrição, a
abordagem tradicional para modelagem dinâmica de sistemas robóticos deixa de ser aplicável
para esse tipo de robô. Para resolver esse problema surge a necessidade da adequação do equa-
cionamento para a dinâmica de sistemas robóticos. Entre várias diferentes técnicas de modela-
gem possíveis, uma adaptação da mecânica lagrangiana clássica foi usada para modelar o robô
diferencial usado nessa dissertação.
Segundo DHAOUADI & SLEIMAN (2011), para descrever a posição de um robô, dois
sistemas de coordenadas são necessários e precisam ser definidos.
41
• O primeiro sistema, chamado de sistema de coordenadas inercial, denotado como XI , YI
é fixo ao plano e responsável por guardar as coordenadas do robô em relação ao plano.
• O segundo sistema, chamado de sistema de coordenadas do robô, denotado como XrYr
é o sistema de coordenadas local do robô; sua origem se movimenta junto com o próprio
robô.
A pose do robô no sistema inercial pode ser definida como:
qI =

xa
ya
θ
 (3.1)
Onde xa e ya são as coordenadas dor robô no sistema inercial e θ a orientação do robô também
no plano inercial.
A qualquer momento esses dois sistemas de coordenadas podem ser correlacionados, para
isso, utiliza-se a relação XI = R(θ)Xr, onde
Xr =
[
xr yr θr
]T
(3.2)
XI =
[
xI yI θI
]T
(3.3)
R(θ) =

cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1
 (3.4)
3.1.1 RESTRIÇÕES NÃO HOLONÔMICAS DE UM ROBÔ MÓVEL DO TIPO DIFEREN-
CIAL
O robô móvel diferencial tem seu movimento restrito devido ao fato de não poder se movi-
mentar lateralmente, ou seja, ele não pode se mover no sentido ortogonal ao plano de suas rodas.
Essa restrição se dá pelo fato do comportamento natural de rolagem das suas rodas não permitir
o escorregamento lateral da mesma. No sistema de coordenadas do robô isso significa dizer que
a velocidade do centro do eixo das rodas ao longo do eixo lateral é zero (Eq.:3.19).
42
Ẏ ra = 0 (3.5)
Usando a matriz de rotação R(θ) e a velocidade do robô no sistema inercial pode-se chegar
a equação 3.6:
ẋ sin θ − ẏ cos θ = 0 (3.6)
A segunda restrição, leva em consideração que nao há deslizamento entre as rodas e o chão,
essa restrição é chamada de restrição de rolagem pura e se deve ao fato da roda ter somente um
ponto de contato com o solo, como visto na figura 3.1. A velocidade do ponto de contato da
roda (P ) pode ser relacionada com a velocidade angular da roda(ϕ̇R) no sistema de coordenadas
do robô pelas Eqs. 3.7 .
FIG. 3.1: Parâmetros da roda. Fonte:Dhaouadi, Hatab.2013)

vpR = rϕ̇R
vpL = rϕ̇L (3.7)
E no sistema de coordenada inercial através das equações 3.8 e 3.9:
ẋpR = ẋa + Lθ̇ cos θ
ẎpR = ẏa + Lθ̇ sin θ (3.8)

ẋpL = ẋa + Lθ̇ cos θ
ẎpL = ẏa + Lθ̇ sin θ (3.9)
Com o auxilio da matriz de rotaçãoR(θ) (3.4), as restrições de rolagem podem ser definidas
43
de acordo com as equações 3.10:
ẋpR cos θ + ẏpR sin θ = rϕ̇R
ẋpL cos θ + ẏpL sin θ = rϕ̇L (3.10)
As equações 3.6 e 3.10 podem ser escritas na forma matricial de acordo com a matriz 3.11:
Λ(q)q̇ = 0 (3.11)
onde:
Λ(q) =

− sin θ cos θ 0 0 0
cos θ sin θ L −r 0
cos θ sin θ −L 0 −r
 (3.12)
q̇ =

ẋa
ẏa
θ̇
ϕ̇R
ϕ̇L
(3.13)
Essas matrizes são de grande importância no processo da modelagem dinâmica do veículo.
3.1.2 MODELAGEM CINEMÁTICA DO ROBÔ MÓVEL
A modelagem cinemática é necessária pois é preciso saber como as entradas do sistema
- que no caso do robô móvel diferencial são as velocidades de cada motor - irão contribuir
para a posição, velocidade e orientação do robô em relação ao sistema de coordenadas inercial.
Essas informações podem ser extraídas por meio de um conjunto de equações que são conhe-
cidas como cinemática direta, diferencial e inversa. De acordo com DUDEK et al. (2000), um
conceito importante para a formulação dessas equações é o de ICC-Instantaneous Center of
Curvature, que é o nome dado ao ponto sob o qual o robô esta rotacionando; esse ponto ne-
cessariamente está alinhado com o eixo comum às duas rodas do robô. Tanto o ICC, quanto
alguns outros parâmetros necessários para o desenvolvimento da cinemática de robôs diferen-
ciais podem ser vistos na figura 3.2.
44
FIG. 3.2: Robô diferencial
A posição do ICC pode ser escrita de acordo com a equação 3.14.
ICC = [x−R sin θ, y +R cos θ] (3.14)
A variação da velocidade das rodas pode variar a trajetória do robô; como a taxa de rotação
de ω ao redor do ICC é sempre a mesma para ambas as rodas, podemos escrever:
ω(R +
L
2
) = Vr (3.15)
ω(R− L
2
) = Vl (3.16)
onde l é a distância entre as duas rodas, Vr e Vl são as velocidades lineares das rodas direita
e esquerda respectivamente e R é a distância entre o ICC e o ponto médio entre as duas rodas.
A qualquer instante pode-se escrever as equações para determinar R, ω e V .
R =
L
2
Vl + Vr
Vr − Vl
(3.17)
45
ω =
Vr − Vl
L
(3.18)
V =
Vr + Vl
2
(3.19)
Com esse sistema de equações determinado, algumas considerações podem ser feitas:
• Quando Vr = Vl, o robô descreve um movimento em linha reta, enquanto R tende a
infinito e ω = 0;
• Quando Vr = −Vl, o robô gira em seu próprio eixo, ou seja, uma rotação em torno do
ponto central entre as duas rodas. R = 0;
• Quando Vr = 0 e Vl 6= 0, o robô passa a descrever uma rotação ao redor da roda direita,
fazendo com que R = l
2
. A mesma condição é valida para quando Vl = 0 e Vr 6= 0.
Pode-se escrever a pose do robô no instante t+ δt usando a Eq.(3.20)
x′
y′
θ′
 =

cos (ωδt) − sin (ωδ) 0
sin (ωδt) cos (ωδt) 0
0 0 1


x− ICCx
y − ICCy
θ
+

ICCx
ICCy
ωδt
 (3.20)
Todas essas equações resultam na relação entre a velocidade angular das rodas e a veloci-
dade/posição do robô. Considerando a pose de um robô, não é prático pensar nas velocidades
das rodas como entrada do sistema. Com isso surge a questão de como controlar a pose (x, y, θ)
de um robô, sem pensar em termos da velocidade angular das rodas. A cinemática inversa
tem como entrada a pose do robô e como saída as velocidades angulares das rodas. Segundo
DUDEK et al. (2000), a cinemática inversa de robôs diferenciais é definida pela equação 3.21:
x(t) = 1
2
∫ t
0
[vr(t) + vl(t)] cos(θ(t))dt
y(t) = 1
2
∫ t
0
[vr(t) + vl(t)] sin(θ(t))dt
θ(t) = 1
l
∫ t
0
[vr(t)− vl(t)]dt
(3.21)
Robôs diferenciais possuem restrições que impedem o contole direto de sua pose(x, y, θ). Al-
guns casos especiais permitem simplificações que permitem o controle da pose do robô, os
quais serão apresentados a seguir.
46
• Quando vr = vl = v, a seguinte equação se torna válida:
x′
y′
θ′
 =

x+ v cos (θ)δt
y + v sin (θ)δt
θ
 (3.22)
• Quando vr = −vl = v:

x′
y′
θ′
 =

x
y
θ + 2vδt
l
 (3.23)
3.1.3 MODELAGEM DINÂMICA DO ROBÔ MÓVEL
Como na seção anterior as forças que atuam sobre o robô móvel não foram necessárias para
o cálculo da cinemática, as mesmas precisam ser consideradas nesse capítulo. O estudo dessas
forças é essencial para a análise do movimento, comportamento dinâmico e também para o
desenvolvimento de algoritmos de controle para esses sistemas. Um robô não holonômico do
tipo diferencial com n coordenadas generalizadas (q1, q2..., qn) e sujeito a m restrições pode ser
descrito por meio da equação 3.24.
M(q)q̈ + V (q, q̇)q̇ + F (q̇) +G(q) + τd = B(q)τ − ΛT (q)λ (3.24)
Onde: M(q) é uma matriz simétrica n× n definida como matriz de inércia, V (q, q̇) a matriz de
forças centrípetas e Coriolis, F (q̇) a matriz que contem os atritos, G(q) o vetor gravitacional,
τd é o vetor de pertubações do sistema, B(q) é a matriz de entradas do sistema, τ o vetor de
entradas, ΛT a matriz que relaciona as restrições cinemáticas mostradas no capítulo anterior e
λ é o vetor com os multiplicadores de Lagrange.
Como dito anteriormente, dentro de diferentes abordagens possíveis a dinâmica de Lagrange
foi escolhida para a modelagem dinâmica desse robô. Essa escolha se deu pelo fato de ser
uma técnica que, embora precise ser modificada para poder tratar as restrições cinemáticas do
modelo, ainda se mostra uma solução viável e confiável. Além disso é amplamente difundida
na literatura, o que facilita futuros aperfeiçoamentos. Esse método, introduzido por Lagrange
em 1788, leva em consideração as energias cinéticas e potenciais do sistema e pode ser escrita
de acordo com a Eq.(3.25)
47
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
− ∂L
∂qi
= F − ΛT (q)λ (3.25)
Onde L = T − V é a função de Lagrange. T é a energia cinética do sistema, V a energia
potencial, qi as coordenadas generalizadas, F o vetor das forças generalizadas, Λ a matriz com
as restrições cinemáticas e λ o vetor com os multiplicadores de Lagrange associados com as
restrições. Com isso, o próximo passo para obtenção do modelo dinâmico do robô diferencial
é obter as energias cinética e potencial a qual o modelo está sujeito. Como o robô se move no
plano XI , YI a energia gravitacional pode ser considerada nula, ou seja, V = 0.
As coordenadas generalizadas do sistema são definidas como:
q =
[
xa ya θ ϕR ϕL
]T
(3.26)
A energia cinética do robô é a soma da energia cinética do corpo do robô, com a energia
cinética de cada um dos dois sistema de locomoção. Sendo elas definidas pelas equações 3.27,
3.28 e 3.29
Tc =
1
2
mcv
2
c +
1
2
Icθ̇
2 (3.27)
TwR =
1
2
mwv
2
wR +
1
2
Imθ̇
2ϕ̇2R (3.28)
TwL =
1
2
mwv
2
wL +
1
2
Imθ̇
2ϕ̇2L (3.29)
onde mc é a massa do robô sem os sistemas de locomoção (motores e rodas), mw é a massa
de cada sistema de locomoção, Ic é o momento de inércia do robô em relação ao eixo vertical
através do centro de inércia, Iw é o momento de inércia de cada locomoção e Im é o momento
de inércia de cada roda. vc é a velocidade ro robô e vwR, vwL são as velocidades da roda direita
e esquerda respectivamente. Todas as velocidades foram nesse primeiro momento escritas em
função das coordenadas generalizadas; a equação 3.30 é usada para descrever as velocidades no
sistema de coordenadas inerciais.
v2i = ẋ
2
i + ẏ
2
i (3.30)
As componentes x e y(no sistema de coordenadas inercial) do centro de massa do robô e
48
das rodas podem ser obtidas em termo das coordenadas generalizadas como:xc = xa + d cos θyc = ya + d sin θ (3.31)
xwR = xa + L cos θywR = ya + L cos θ (3.32)xwL = xa + L cos θywL = ya + L cos θ (3.33)
Pode-se reescrever as equações acima com o auxilio das equações 3.27, 3.28 e 3.29 da
forma:
T =
1
2
m(ẋ2a + ẏ
2
a)−mcdθ̇(ẏa cos θ − ẋa sin θ) +
1
2
Iw(ϕ̇
2
R + ϕ̇
2
L) +
1
2
Iθ̇2 (3.34)
Onde m = mc + 2mw é a massa total do robô e I = Ic +mcd2 + 2mwL2 + 2Im é a inércia
total do sistema.
Usando a equação 3.25 e fazendo L=T, pode-se escrever as equações de movimento do robô
como:

mẍa −mdθ̈ sin θ −mdθ̇2 cos θ = C1
mÿa −mdθ̈ cos θ −mdθ̇2 sin θ = C2
Iθ̈ −mdẍa sin θ +mdÿa cos θ = C3
Iwϕ̈R = τR + C4
Iwϕ̈L = τL + C5
(3.35)
Onde (C1, C2, C3, C4eC5) são as funções relacionadas com as restrições cinemáticas, e po-
49
dem ser escritos em termos dos multiplicadores de Lagrange λ:
ΛT =

c1
c2
c3
c4
c5

(3.36)
Com isso, o sistema pode ser escrito na forma geral dada pela equação 3.24, como Eq. 3.37:
M(q)q̈ + V (q, q̇)q̇= B(q)τ − ΛT (q)λ (3.37)
onde:
M(q) =

m 0 −md sin θ 0 0
0 m md cos θ 0 0
−md sin θ md cos θ I 0 0
0 0 0 IwR 0
0 0 0 0 IwL

(3.38)
V (q, q̇) =

0 −mdθ̇ cos θ 0 0 0
0 −mdθ̇ sin θ 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

(3.39)
B(q) =

0 0
0 0
0 0
1 0
0 1

(3.40)
50
ΛT (q)λ =

− sin θ cos θ cos θ
cos θ sin θ sin θ
0 L −L
0 −r 0
0 0 −r

×

λ1
λ2
λ3
λ4
λ5

(3.41)
3.2 MODELAGEM DINÂMICA DO MOTOR DC
A modelagem de um motor DC é amplamente difundida em livros sobre robótica. Segundo
TSAI (1999a) a mesma pode ser escrita como na Eq.3.42: L
di
dt
+Ri +Kωφ̇ = E
Isφ̈−Kti+ νφ̇− τ = 0
(3.42)
Onde i é a corrente, E a tensão da armadura do motor, R e L são respectivamente a re-
sistência e a indutância da armadura do motor, enquanto Is é a inércia do eixo do motor,φ̇ é a
velocidade angular do motor, ν o coeficiente de atrito viscoso, τ a carga dinâmica aplicada no
motor, Kt a constante de torque e Kw a constante de tensão.
Através da observação do comportamento dinâmico do motor elétrico, pode-se concluir que
a constante elétrica L
R
é muito menor do que a constante mecânica I
ν
. Considerando L = 0,
um modelo reduzido para a dinâmica do motor pode ser escrito. A primeira equação em 3.42
pode ser reduzida de acordo com a eq. 3.43. Assim é possível reescrever a primeira equação da
dinâmica do motor 3.42 na forma:
i =
E −Kwφ̇
R
(3.43)
onde o i pode ser substituído na segunda equação do motor 3.42, o que fornece o modelo
reduzido representado na equação 3.44
Isφ̈+ (
KtKw
R
+ ν)φ̇− Kt
R
E = τ (3.44)
51
3.3 MODELAGEM DO ROBÔ SERIAL
Da mesma forma como a modelagem do robô móvel se faz necessária para a conclusão dos
objetivos dessa dissertação, a modelagem do sistema robótico serial também se faz necessária,
visando obter as posições, velocidade e acelerações do sistema a todo momento. Como a fer-
ramenta do robô é o elemento que efetivamente realizará a tarefa, é importante conhecer a
sua localização em função da variação dos atuadores. Assim são apresentados os modelos
matemáticos usualmente empregados para este fim.
3.3.1 MODELAGEM CINEMÁTICA
Um conceito teórico fundamental da Robótica é a modelagem cinemática de manipulados
através da convenção desenvolvida por Jacques Denavit e Richard Hartenberg, denominada
metodologia de Denavit e Hartenberg. A cinemática constitui um ramo da Física voltado para
o estudo dos movimentos sem considerar suas causas, o que possibilita o estudo da posição,
velocidade e aceleração como funções do tempo a eles associado. Para um manipulador, esta
análise pode ser feita em relação às juntas ou em relação à ferramenta, podendo ser divida,
segundo SICILIANO et al. (2009), em:
1. cinemática direta: cujo objetivo é determinar a posição da ferramenta em relação ao refe-
rencial absoluto, tendo como parâmetros as variáveis de juntas;
2. cinemática inversa: onde, a partir da localização conhecida do efetuador final, determina-
se as variáveis das juntas.
Nessa seção será mostrada toda a sistemática por trás da convenção de D&H. Os conceitos
para a a obtenção da cinamética direta e inversa através da metodologia de D&H por ser tópico
amplamente difundido, podem ser revistos em SICILIANO et al. (2009b). Já a metodologia
para a obtenção da cinemática direta e inversa através do método dos helicoides sucessivos
pode ser encontrada no capítulo de apêndices dessa dissertação.
3.3.2 CONVENÇÃO DE DENAVIT-HARTENBERG PARA A MODELAGEM CINEMÁ-
TICA DE MANIPULADORES SERIAIS
Esta seção apresenta a sistematização da modelagem cinemática de robôs seriais utilizando
a convenção de Denavit-Hartenberg para cadeias cinemáticas abertas. Essa técnica de mode-
lagem, assim como diversas outras, tem o objetivo de relacionar sistemas de eixos cartesianos
52
valendo-se de produtórios de matrizes de transformações homogêneas que utilizam quatro pa-
râmetros (a, d, α, θ) conhecidos como parâmetros de Denavit-Hartenberg, de modo a localizar
a posição e orientação da ferramenta em relação ao referencial absoluto. Essa metodologia pro-
posta por Jacques Denavit e Richard Hartenberg, mesmo sendo introduzida em 1955, ainda é
uma das técnicas de modelagens mais usadas e aceitas pela comunidade acadêmica até os dias
de hoje. A modelagem através da metodologia do deslocamento dos Helicoides sucessivos tam-
bém é apresentada no apêndice dessa dissertação, comprovando que independente do método
utilizado, as equações que regem a cinemática do modelo têm o mesmo resultado.
Esta convenção tem como objetivo apresentar regras para se definir a posição e orientação
relativa entre dois elos consecutivos ligados por uma junta, ou seja, um par cinemático. Assim
sendo, o movimento relativo entre pares cinemáticos é definido em função da:
1. escolha de um eixo alinhado ao referencial i − 1 e uma translação di ao longo do eixo
zi−1 do referencial escolhido;
(
Ai−1i′
)
Translação =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1
 (3.45)
2. seguida por uma rotação ϑi em torno do eixo zi−1. Essa primeira sequência de movimen-
tações alinha o referencial atual ao referencial i′
(
Ai−1i′
)
Rotação =

cϑi −sϑi 0 0
sϑi cϑi 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 (3.46)
de maneira que sua transformação pode ser descrita na forma homogênea através do pro-
duto dessas duas matrizes
53
Ai−1i′ =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1


cϑi −sϑi 0 0
sϑi cϑi 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 =

cϑi −sϑi 0 0
sϑi cϑi 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1
 (3.47)
3. Logo após uma nova translação ai agora alinhada com o referencial i′ ao longo de xi′
(
Ai
′
i
)
Translação
=

1 0 0 ai
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 (3.48)
4. e uma outra revolução αi em torno do mesmo eixo xi′
(
Ai
′
i
)
Rotação
=

1 0 0 0
0 cαi −sαi 0
0 sαi cαi 0
0 0 0 1
 (3.49)
Esta segunda sequência alinha o corrente referencial ao referencial i e é descrito pela
seguinte MTH
Ai
′
i =

1 0 0 ai
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


1 0 0 0
0 cαi −sαi 0
0 sαi cαi 0
0 0 0 1
 =

1 0 0 0
0 cαi −sαi ai
0 sαi cαi 0
0 0 0 1
 (3.50)
O resultado dessa transformação de coordenadas é obtido pela pós-multiplicação de todas
transformações
54
Ai−1i (qi) =

cϑi −sϑicαi sϑisαi aicϑi
sϑi cϑicαi −cϑisαi aisϑi
0 sαi cαi di
0 0 0 1
 (3.51)
Vale salientar que a matriz de transformação da Eq. 3.51 é função de uma única variável qi
que é ϑi para juntas de revolução e di para as de translação.
FIG. 3.3: Parâmetros de DH (Adaptado de SICILIANO et al. (2009b))
A notação de D-H é apresentada na forma de uma série de etapas que possibilitam a deter-
minação dos parâmetros de Denavit-Hartenberg e sua posterior utilização na composição das
Matrizes de Transformação Homogêneas.
ETAPAS PARA A DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG
1. identificar elos, juntas e eixos: numerar os elos de 0 (base) até n (efetuador-final); juntas
são numeradas de 1 até n, sabendo que a junta i conecta os elos i− 1 e i; escolher o eixo
zi sobre o eixo da junta i+ 1, para i = 0, ..., n− 1.
55
2. determinar o sistema de coordenadas absoluto 0 (zero): O0 é definido sobre a direção
do eixo z0, na menor distância entre z0 e z1. Logo, quando z0⊥z1, O0 estará na interseção
dos dois eixos. Quando não for possível utilizar essa regra, coincidir O0 com a interseção
do eixo z0 com a base do robô; escolher o sentido de z0 sempre da base para a junta 1 e
x0 e y0 seguindo a regra da mão direita.
Os passos de 3 a 6 a seguir devem ser repetidos para i = 1, ..., n− 1.
3. determinação do pontoOi′: determinar o pontoOi′ (sistema linha) na interseção do eixo
zi−1 e a junta i com a normal comum dos eixos zi−1 e zi, observando se, zi for colinear a
zi−1 e a junta i + 1 for de translação, definir Oi′ no limite da junta i + 1, e.g. na posição
de zero da junta (Home).
4. determinação do sistema