Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 11Aula 11
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Al Di t ib i õ Di tAlgumas Distribuições Discretas
• Distribuição Binomial
Suponha que certa máquina produza um item defeituoso com 
probabilidade p (0 < p < 1) e produza um item não defeituoso 
b bilid d 1 p X ( ) ú dcom probabilidade q = 1 - p. X (v.a.) representa o número de 
itens que são defeituosos (n itens independentes). Os possíveis 
valores de X serão 0, 1, 2, 3, ..., n., , , , ,
• A probabilidade de se obter uma sequência particular dos n itens 
contando exatamente x defeituosos e n - x não defeituosos é 
px . qn-x. Como existem (nx) sequências diferentes desse tipo, a 
função de probabilidade de X será:
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Al Di t ib i õ Di tAlgumas Distribuições Discretas
• Distribuição Binomial
Exemplos: 
1. Uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tem a 
probabilidade 0,2 de funcionar mais do que 500 horas. Se 
ensaiarmos 20 válvulas, qual será a probabilidade de que delas, 
exatamente k funcionem mais que 500 horas k = 0 1 20?exatamente k, funcionem mais que 500 horas, k 0, 1, ..., 20?
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Solução: Seja X a v.a. que representa o número de válvulas que 
f i i d 500 h X i di ib i ãfuncionam mais de 500 horas. X possui uma distribuição 
binomial.
Estas probabilidades podem ser encontradas em tabelas da 
distribuição binomial. Os resultados são:
P(X = 0) = 0,012 P(X = 4) = 0,218 P(X = 8) = 0,022
P(X 1) 0 058 P(X 5) 0 175 P(X 9) 0 007P(X = 1) = 0,058 P(X = 5) = 0,175 P(X = 9) = 0,007
P(X = 2) = 0,137 P(X = 6) = 0,109 P(X = 10) = 0,002
P(X = 3) = 0 205 P(X = 7) = 0 055 P(X = k) < 0 001 (k 11)
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P(X 3) 0,205 P(X 7) 0,055 P(X k) < 0,001 (k 11)
2. Será extraída uma amostra de 5 eleitores de uma grande 
população, onde 60% votam no PQZ. Qual a probabilidade de:
• exatamente 3 dos eleitores escolhidos votarem no PQZ?
• pelo menos um dos eleitores votem no PQZ?
• ao menos 3 (uma maioria) votem no PQZ?
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Solução: Se X é a v.a. que representa o número de eleitores que votam no 
PQZ temos que X segue uma distribuição binomial cuja probabilidade dePQZ, temos que X segue uma distribuição binomial, cuja probabilidade de 
“sucesso” (votar no PQZ) em cada tentativa é 0,60. Então:
A probabilidade que pelo menos um vote no PQZ é dada por
A probabilidade que a maioria votem no PQZ é dada por P(X = 3) + P(X = 4) 
+ P(X = 5), ou seja:( ), j
.
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.
Médi d Di t ib i ã Bi i lMédia de uma v.a. com Distribuição Binomial
• Cálculo da média para distribuição binomial
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Médi d Di t ib i ã Bi i lMédia de uma v.a. com Distribuição Binomial
Pela fórmula binomial
Portanto, E(X) = np (p + q)n-1 e como p + q = 1, temos:
E(X) = n.p
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V iâ i d Di t ib i ã Bi i lVariância de uma v.a. com Distribuição Binomial
Var(X) = E(X2) – {E(X)2}
O valor de E(X2) pode ser encontrado através do cálculo da 
esperança de E {X(X - 1)} que é definida
F d 2Fazendo y = x - 2,
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Assim
Como
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Di t ib i ã Hi ét iDistribuição Hipergeométrica
Em uma urna contem A bolas verdes e B bolas azuis. Retirasse n 
bolas sem reposição. Seja X v.a. que indica o número de bolas 
verdes obtidas. Então max {0, n – B} X  min {n, A}. A 
função de probabilidade de X será:função de probabilidade de X será:
Dizemos que X possui uma distribuição hipergeométrica. E, 
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Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 
unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor 
escolhe 5 desses motores e o inspeciona. Se nenhum dos 
motores inspecionados for defeituosos o lote é aprovado Semotores inspecionados for defeituosos, o lote é aprovado. Se 
um ou mais forem verificados defeituosos, todos os motores da 
remessa são inspecionados. Suponha que existam, de fato, três 
motores defeituosos no lote. Qual é a probabilidade de que a 
inspeção 100 por cento seja necessária?
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Solução:
X é uma v.a. que representa o número de motores defeituosos 
encontrado. A inspeção de todo o lote será necessária se X 1. 
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Di t ib i ã Bi i l N tiDistribuição Binomial Negativa
Suponha que em uma sequência infinita de experimentos 
independentes, o resultado de cada experimento possa ser 
sucesso ou falha, e que a probabilidade de sucesso p onde (0 < 
p < 1) e de falha q = 1 pp < 1), e de falha q = 1 - p.
Seja X a v.a. que denota o número de falhas que ocorrem antes que 
exatamente r sucessos sejam obtidos. Então X possui uma j p
distribuição binomial negativa se:
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Suponha que a probabilidade de sair cara em uma moeda seja de 
1/3. Suponha também que esta moeda seja jogada até que 
apareçam 5 caras.
) C l l b bilid d d i dé ia) Calcule a probabilidade de que a quinta cara apareça na décima 
segunda jogada.
b) Qual o número esperado de coroas que aparecerão antes de seb) Qual o número esperado de coroas que aparecerão antes de se 
obter 5 caras?
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Solução:
Seja X a v.a. que representa o número de coroas que aparecem 
antes de que a quinta cara apareça. X possui uma distribuição 
bi i l ibinomial negativa.
a) 
b) 
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