Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 13Aula 13
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
F õ d Di trib i ã (Di r t )Funções de Distribuição (Discreta)
• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Binomial Negativa (Pascal)
• Hipergeométrica
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• Poisson
Di t ib i õ tíDistribuições contínuas
• Distribuição Uniforme
Sejam  e  dois números reais tais que ( <  ), e considere um experimento 
no qual um ponto X é selecionado do intervalo S = {x :  x  } de tal 
maneira que a probabilidade de que X pertença a qualquer subintervalo de S 
é proporcional ao comprimento desse intervalo. A distribuição da v.a. X é 
denominada distribuição uniforme no intervalo (, ) e é dada por:
É um f.d.p. pois,
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• A probabilidade de que X esteja em qualquer subintervalo de 
[, ] é igual a comprimento do subintervalo dividido pelo 
comprimento do intervalo []. Isso ocorre devido a que, 
quando [a b] é um subintervalo de [  ]quando [a, b] é um subintervalo de [,  ].
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Exemplo:
Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0,2]. Qual 
será a a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 
1 5?1,5?
Seja X a v.a. que representa a coordenada do ponto escolhido. 
Tem-se que a f d p de X é dada por:Tem se que a f.d.p. de X é dada por:
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Médi d di t ib i ã tí ifMédia da distribuição contínua uniforme
A média de uma v.a. uniforme [, ] é
ou
Ou, em outras palavras, o valor esperado de uma v.a. uniforme [, 
 ] é igual ao ponto médio do intervalo [,  ].
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V iâ i d di t ib i ã tí ifVariância da distribuição contínua uniforme
O cálculo da variância é dado por:
V ar(X) = E[X2] - (E[X])2 como
Então:
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Di t ib i õ tíDistribuições contínuas
• Distribuição Exponencial
É dito que uma v.a. X possui uma distribuição exponencial com 
média  onde ( > 0) se X possui uma distribuição contínua 
l f d p f( ) é d dpara a qual a f.d.p. f(x) é dada por:
A função distribuição acumulada da exponencial é dada por:A função distribuição acumulada da exponencial é dada por:
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• A média e variância de uma v.a. X com distribuição exponencial 
são dadas por:
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• Exemplo: Suponha que um fusível tenha uma duração de vida 
X, a qual pode ser considerada uma v.a. contínua com uma 
distribuição exponencial. Existem dois processos pelos quais o 
fusível pode ser fabricado O processo I apresenta uma duraçãofusível pode ser fabricado. O processo I apresenta uma duração 
de vida esperada de 100 horas, enquanto o processo II apresenta 
uma duração de vida esperada de 150 horas. Suponha que o 
processo II seja duas vezes mais custoso (por fusível) que o 
processo I, que custa C dólares por fusível. Admita-se, além 
disso que se um fusível durar menos que 200 horas uma multadisso, que se um fusível durar menos que 200 horas, uma multa 
de K dólares seja lançada sobre o fabricante. Qual processo deve 
ser empregado?
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p g
• O custo esperado por fusível para o processo I é dado por:
Logo,
Analogamente, o custo esperado por fusível para o processo II é dado por:
Portanto,
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Consequentemente, preferimos o processo I, visto que C > 0,13K
Di t ib i õ tíDistribuições contínuas
• Distribuição Gama
É dito que uma v.a. X possui uma distribuição Gama com parâmetro ,  se X 
possui uma distribuição contínua cuja f.d.p. é dada por:
1
Função gama
0npara)(
0
1    dxexn xn
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Di t ib i ã GDistribuição Gama
• Observação 1: A distribuição exponencial é um caso particular da 
distribuição Gama quando  = 1distribuição Gama, quando  1.
• Observação 2: Se as v.a. X1, X2, ..., Xk são independentes e se Xi possui uma 
distribuição Gama com parâmetros i e  (i = 1, 2,..., k), então a soma de 
X1 + X2 + ... + Xk possui uma distribuição Gama com parâmetros 1 + 21 2 k p p 1 2
+ ... + k e .
• Exemplo: Em um sistema redundante, inicialmente a unidade 1 está 
d id d 2 3 ã Q d id d 1operando, enquanto as unidades 2 e 3 estão em espera. Quando a unidade 1 
falha, o botão de decisão (BD) liga a unidade 2, que funciona até 
falhar,quando, então, a unidade 3 é ligada. Supõe-se que o botão de decisão 
seja perfeito, de modo que a vida do sistema, X, pode ser representada j p , q , , p p
como a soma das vidas dos subsistemas, X= X1+X2+X3. Se as vidas dos 
subsistemas são independentes uma das outras e se os subssistemas têm, 
cada um, uma vida Xj, j=1, 2, 3, tendo densidade g(x)=(1/100)e-x/100, x
então X terá densidade gama com =3 e  = 0 01
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então X terá densidade gama com =3 e  = 0,01.
Resolução:
f(x) = (0,01/2!).(0,01x)2. e-0,01x , x>0
= 0 , caso contrário.
A probabilidade de que o sistema opere por pelo menos x horas é denotada 
por R(x), e é chamadas de função confiabilidade:
 /)()(
!/)01,0()(1)(
2010
2
0
01,0 kxexFxR
x
k
kx


 2/)01,0()01,0(1 201,0 xxe x  
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