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MODA
	Olá, amigos! Como se saíram com as questões de Média? Espero que bem! Mesmo porque o bonde não pode parar, e hoje veremos a segunda (e a mais fácil!) medida de posição: a Moda.
	Analisando o histórico de provas passadas da ESAF, vemos que a Moda é, dentre as medidas de posição, a menos exigida. Isso não quer dizer que nunca seja cobrada, conforme veremos ainda nesta aula, em exercícios extraídos de provas recentes.
	Normalmente, quando o valor da Moda é exigido em um enunciado, a ESAF costuma pedir, nesta mesma questão, alguma outra coisa além da Moda. Talvez isso porque determinar a Moda seja realmente muito fácil! Vamos a ela... 
	
# Conceito:
Na linguagem coloquial (as alunas o sabem perfeitamente!), moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Na Estatística, como o próprio nome sugere, a Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto! (Leia-se: é o elemento de maior freqüência). Sua determinação é bastante simples, como se verá adiante.
	( Moda para o Rol:
Determinar a Moda para um rol é uma das coisas mais fáceis deste curso inteiro! Diante de um rol de elementos, para determinar a Moda, só teremos que verificar qual o elemento que mais se repete! Vejamos um exemplo:
Consideremos o conjunto abaixo: 
{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10}
Ora, verificamos (usando a milenar técnica do dedo) que o elemento que aparece mais vezes no conjunto é o valor “7”. Logo, não resta dúvida: a Moda deste conjunto é 7. ( Mo = 7 
Só isso!! 
ATENÇÃO:
Convém atentar para o fato de que a Moda é o elemento do conjunto que mais se repete, e não o número de vezes que ele aparece! Este último seria a freqüência do elemento, como já o sabemos!
Pode parecer uma observação desnecessária, mas muitas pessoas (bem preparadas!) erraram uma questão do AFRF de 1998, por não estarem atentas a esse detalhe! A referida questão trazia um rol, e pedia que se determinasse a Moda. O rol era o seguinte:
{4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23}
Frisamos o elemento 8 (oito) do conjunto, o qual se repetiu 9 (nove) vezes. E então? Qual seria a Moda, 8 ou 9? Ora, vimos há pouco: a Moda é o elemento que mais se repete. Neste caso, o elemento mais freqüente é o 8 (oito), portanto, resposta da questão!
Uma das opções de resposta era o valor 9 (nove), que muita gente, por displicência, acabou marcando. A Moda, portanto, não é a maior freqüência, e sim o elemento de maior freqüência! Ficou claro?
Daí, concluímos que, para determinar a Moda de um rol, não há outro caminho, senão usar o bom e velho dedo, e sair contando quantas vezes se repete cada elemento. E só!
Suponhamos, agora, que a questão solicite a Moda do seguinte conjunto:
{1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 15}
Neste caso, pela mera observação, constatamos que não há nenhum elemento que se repita mais vezes que os demais. Ora, todos eles aparecem uma só vez no conjunto! Daí, concluímos: esse conjunto não possui Moda! Dizemos, destarte, que se trata de um conjunto amodal! 
Analisemos o conjunto abaixo, quanto à presença da Moda:
{2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8} 
Já inclusive destacamos o elemento 4, que é o que aparece mais vezes no conjunto! Será ele a nossa Moda, portanto: Mo=4. Ora, como só temos aqui uma única Moda, dizemos que se trata de um conjunto unimodal! 
Ocorre que a prova pode apresentar um rol da seguinte forma:
{1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9}
Quantas Modas? Duas, naturalmente: o 3 (três) e o 7 (sete). Estamos, portanto, diante de um conjunto dito bimodal!
E se o conjunto possuir três ou mais Modas, como no exemplo abaixo?
{1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 13, 15}
Neste caso, diremos que o conjunto é multimodal!
Daí, nós chegamos à seguinte conclusão: a Moda é de fato uma medida atípica, porque tanto pode nem existir, quanto pode haver uma, ou duas, ou várias Modas no mesmo conjunto. Diferentemente da Média que, conforme já estudamos, sempre existe e é única! 
Recapitulando:
( Conjunto sem Moda: Amodal;
( Conjunto com uma única Moda: Unimodal;
( Conjunto com duas Modas: Bimodal;
( Conjunto com três ou mais Modas: Multimodal.
Essa aula de Moda é um “refresco”, depois de estudarmos o cálculo da Média pela Variável Transformada! Só há uma coisa mais fácil que calcular a Moda de um rol, e é exatamente determinar a Moda para Dados Tabulados. Senão, vejamos:
	( Moda para Dados Tabulados:
Suponhamos que a questão da prova solicitou que se determine a Moda do seguinte conjunto abaixo:
	Xi
	fi
	1
2
3
4
5
6
	3
7
10
15
3
2
Verificamos que, nesta questão, os elementos não estão apresentados sob a forma de um rol; também não vieram subdivididos em classes! Vemos que, embora tabelados, os dados foram dispostos individualmente (vide a coluna do Xi). Por isso, dizemos que estamos diante de “Dados Tabulados Não Agrupados em Classes”, ou simplesmente, “Dados Tabulados”. (Vide Ponto nº07: Apresentação dos Dados).
Quando isso ocorrer, ou seja, quando os elementos forem apresentados sob esta forma de “Dados Tabulados”, para determinarmos a Moda só teremos que procurar, na coluna do fi, qual é a maior freqüência! Vejamos:
	Xi
	 fi
	1
2
3
4
5
6
	 3
 7
 10
 15 ( maior freqüência!
 3
 2
Feito isto, nosso trabalho se resumirá a identificar o elemento Xi ao qual corresponde aquela maior freqüência. Ou seja: 
 
	Xi
	 fi
	1
2
3
4
5
6
	 3
 7
 10
 15 ( maior freqüência!
 3
 2
�
�
 
Neste caso, verificamos que a maior freqüência simples (>fi) é fi=15, referente ao elemento Xi=4! Logo, nossa Moda será o elemento 4. ( Mo = 4.
Está feito: nossa Moda é simplesmente o elemento de maior freqüência. Só isso! 
Mais fácil, impossível!
	( Moda para Distribuição de Freqüências:
Existem diferentes formas de se calcular a Moda de uma Distribuição de Freqüências. Para efeito de concurso, duas destas maneiras nos interessarão! São, na verdade, dois métodos, cada um dos quais traduzido por uma fórmula. 
Aprenderemos a determinar a Moda da Distribuição de Freqüências pelo Método de Czuber e pelo Método de King! Teremos então que conhecer ambas as fórmulas, saber aplicá-las e, sobretudo, saber quando usar uma ou outra.
A regra é a seguinte: se a questão não especificar qual das fórmulas a ser empregada, pedindo apenas que se calcule a Moda, usaremos a fórmula de Czuber. Conseqüentemente, só empregaremos a fórmula de King quando assim for solicitado expressamente pelo enunciado. 
# Passo Preliminar: A Classe Modal
A determinação da Moda de uma Distribuição requer que se proceda a um passo preliminar, que consiste em identificar a classe modal daquele conjunto. A classe modal será, simplesmente, aquela que apresentar maior freqüência absoluta simples, ou seja, maior fi. Apenas isso!
Por exemplo, vamos determinar a classe modal dos seguintes conjuntos:
a)
	Xi
	fi
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
Sol.:
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Maior fi (fi=28)! ( Classe Modal!
b)
	Xi
	fi
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Sol.:
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10( Maior fi (fi=180)! ( Classe Modal!
Não tem segredo! Agora, que já identificamos a classe modal da nossa Distribuição, só nos resta aprender a fórmula que aplicaremos, de acordo com o método solicitado pela questão!
# Moda pelo Método de Czuber: 
É dado pela fórmula seguinte:
onde:
linf = limite inferior da classe modal.
(a = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior. Entenderemos como classe anterior aquela que precede à classe modal.
	(p = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior (aquela que vem logo após a classe modal).
	
h = amplitude da classe modal.
Para não haver qualquer confusão, vamos identificar, nos exemplos abaixo, quem são a classe anterior e a classe posterior, cujas fi serão utilizadas nos cálculos dos deltas ((a e (p). Teremos:
a) 
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Classe Anterior!
( Classe Modal!
( Classe Posterior!
b) 
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
	
( Classe Anterior! 
( Classe Modal!
( Classe Posterior!
Aprendamos o seguinte: delta (() normalmente significa “diferença”. Quando falamos em (a, estamos nos referindo a “diferença anterior” (“a” de “anterior”!). Diferença entre quem? Entre duas freqüências simples: a da classe modal e a da classe anterior. Ou seja:
(a = fi(classe modal) – fi(classe anterior)
Da mesma forma, no cálculo do (p, nos lembraremos que o ( significa “diferença” e o “p” significa “posterior”! Logo (p será a diferença entre duas freqüências simples: a da classe modal e a da classe posterior. Ou seja:
 (p = fi(classe modal) – fi(classe posterior)
Finalmente, estamos prontos para aplicar o Método de Czuber, e determinar a Moda de uma Distribuição de Freqüências! Vamos aos exemplos:
a) Determinar, pelo Método de Czuber, o valor da Moda do seguinte conjunto:
	Xi
	fi
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
Sol.: Destacaremos os passos a serem seguidos, a fim de facilitar nossa memorização. 
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Classe Modal! (a de maior fi)
ii) Determinação de (a e (p.
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Classe Anterior: (a=28-15 ( (a=13
( Classe Modal! 
( Classe Posterior: (p=28-17 ( (p=11
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de Czuber:
Teremos que:	
Observemos na fórmula que os dados linf e h dizem respeito à classe modal, portanto:
( linf=20 (= limite inferior da classe modal) e
( h=10 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
 ( 
 ( E: Mo=25,42 ( Resposta!
	b) Calcular a Moda do conjunto abaixo, pelo Método de Czuber:
	Xi
	fi
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Sol.: É só seguir a nossa “receita de bolo” e não tem dificuldade!
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
	
( Classe Modal! ( (a de maior fi)
ii) Determinação de (a e (p.
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
	
( Classe Anterior: (a=180-160 ( (a=20
( Classe Modal! 
( Classe Posterior: (p=180-120 ( (p=60
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de Czuber:
Teremos que:	
Tomando os valores da classe modal, encontraremos que:
( linf=110 (= limite inferior da classe modal) e
( h=5 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
 ( 
 ( E: Mo=111,25 ( Resposta!
# Moda pelo Método de King: 
	Até bem pouco tempo, as provas da ESAF costumavam apresentar enunciados solicitando o cálculo da Moda da distribuição de freqüências, sem a preocupação de especificar qual dos métodos deveria ser empregado neste cálculo. Com isso, ficava sempre implícita a exigência de utilização do Método de Czuber. De fato, todas as respostas – os gabaritos oficiais – apontavam para resultados de aplicação deste método. 
	Todavia, em prova bastante recente, no segundo AFRF de 2002, o enunciado solicitou, expressamente, que se calculasse a Moda do conjunto, pelo “conceito de Czuber”. 
Ora, como isso nunca acontecera antes, fui levado a ter o seguinte raciocínio: se nesta prova a ESAF começou a indicar o método a ser usado no cálculo da Moda, é bastante possível que resolva inovar e, quem sabe no próximo concurso, solicitar que se calcule a Moda pelo Método de King! Não é verdade? 
Destarte, parece-me deveras conveniente aprendermos também este Método de King, o qual se traduz pela seguinte fórmula:
onde:
linf = limite inferior da classe modal.
fpost = fi da classe posterior à classe modal;
	fant = fi da classe anterior à classe modal;
	
h = amplitude da classe modal
Observemos que a fórmula de King não contempla “deltas”, ou seja, diferenças! Em vez disso, surgem entre parênteses as próprias freqüências da classe anterior (fant) e da classe posterior (fpost). 
Fique claro que, também neste método, entenderemos classe anterior como a que precede a classe modal; e, classe posterior a que a sucede.
Igualmente aqui, realizaremos o passo preliminar de identificação da classe modal (cujo conceito permanece inalterado!).
Feito este passo preliminar, só nos restará substituir os respectivos valores na fórmula de King. Vejamos os exemplos abaixo: 
a) Determinar, pelo Método de King, o valor da Moda do seguinte conjunto:
	Xi
	fi
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
Sol.: Igualmente aqui destacaremos os passos da questão, no intuito de facilitar nossa memorização. 
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Classe Modal! (a de maior fi)
ii) Identificação dos elementos da fórmula fpost e fant.
	Xi
	fi
	
	0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
	9
15
28
17
11
	
( Classe anterior ( fant=15
( Classe Modal! (a de maior fi)
( Classe posterior ( fpost=17
	E, finalmente, no derradeiro passo, aplicaremos a fórmula de King, substituindo os valores respectivos:
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de King:
Teremos que: 
Como os valores de linf e h dizem respeito à classe modal, teremos:
( linf=20 (= limite inferior da classe modal) e
( h=10 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
 ( 
 ( E: Mo=25,31 ( Resposta!
Observação: Fizemos o cálculo da Moda para este mesmo exemplo usando o Método de Czuber (vide páginas 6 e 7), e encontramos o resultado de Mo=25,42. Conclusão: os valores da Moda, para um mesmo conjunto, determinados pelos dois métodos – Czuber e King – são ligeiramente diferentes. Mas não nos iludamos: é bastante provável (quase certo) que ambos os resultados estejam presentes entreas opções de resposta! Portanto, temos que estar cientes de qual das fórmulas devemos usar.
	Mais um exemplo!
	b) Calcular a Moda do conjunto abaixo, pelo Método de King:
	Xi
	fi
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Sol.: 
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
	
( Classe Modal! ( (a de maior fi)
ii) Identificação dos elementos da fórmula fpost e fant.
	Xi
	fi
	
	90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
	40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
	
( Classe anterior ( fant=160
( Classe Modal! (a de maior fi)
( Classe posterior ( fpost=120
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de King:
Teremos que: 
Observando a classe modal, verificamos que:
( linf=110 (= limite inferior da classe modal) e
( h=5 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
 ( 
 ( E: Mo=112,14 ( Resposta!
Obs.: Também para este conjunto, já havíamos calculado a Moda pelo Método de Czuber (vide páginas 7 e 8), ocasião em que encontramos o valor de Mo=111,25. 
# Dica de Memorização:
	Para facilitar a memorização destas duas fórmulas – Czuber e King – poderemos seguir a seguinte sugestão:
	1º) Memorizemos o corpo de ambas as fórmulas, que é exatamente o mesmo:
	
2º) Agora, nossa preocupação será apenas com o “miolo” da fórmula, ou seja, aquilo que estará dentro dos parênteses!
	( Aí, lembraremos: “a fórmula de Czuber é a fórmula dos deltas” e com (a no numerador! Percebamos que quem está no numerador também inicia a soma do denominador! Daí:
	
	( Ora, se Czuber é a fórmula dos deltas, então King é a fórmula das freqüências, começando com fpost no numerador! Logo, fpost também iniciará a soma no denominador! E teremos:
	Cuidado com o numerador dos parênteses destas duas fórmulas: em Czuber surge o “delta anterior” , enquanto que em King teremos a “freqüência posterior”. É preciso toda a atenção! 
# Propriedades da Moda:
	Antes de passarmos aos exercícios de hoje, convém questionarmos o seguinte: será que aquelas propriedades da soma, subtração, produto e divisão, que aprendemos para a Média Aritmética, também se aplicarão à Moda? 
Ora, vejamos um exemplo: suponhamos que dispomos do seguinte conjunto abaixo:
A = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 8} 
Sem qualquer dificuldade, já identificamos que a Moda é o elemento 5. Agora, caso tomemos todos os elementos deste conjunto original A, e os somemos a uma constante, K=10, por exemplo, teremos o novo conjunto:
A’ = {11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 18} 
Verificamos, portanto, que se aplica também à Moda a Propriedade da Soma e da Subtração, uma vez que a nova Moda, ou seja, a Moda do novo conjunto, será igual à Moda do conjunto original (5) somada à constante k=10. Daí, a nova Moda é: Mo=15.
Da mesma forma, se tomarmos cada elemento do conjunto original A e os multiplicarmos por uma constante, k=2, por exemplo, teremos o novo conjunto:
A’’ = {2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 10, 16} 
Nossa nova Moda será 10, que é exatamente o resultado da multiplicação entre a Moda do conjunto original (5) e a constante K=2. Destarte, concluímos que à Moda também se aplica a Propriedade do Produto e da Divisão, que aprendemos na Média.
	É isso! Acho que já estamos prontos para resolver algumas questões recentes de provas da ESAF, dentre outras! Vamos a elas!
EXERCÍCIOS DE HOJE
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Moda, das duas maneiras distintas, utilizando o método de Czuber e o Método de King.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
	Xi
	fi
	0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
	3
5
8
4
2
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
	Xi
	fi
	0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
	4
7
11
9
5
2
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
	Xi
	fi
	0 !--- 7
 7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
	7
11
15
9
3
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
	Xi
	fi
	 9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
	4
6
7
5
3
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
	Xi
	fi
	30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
!--- 80
!--- 90
!--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
	1
3
7
11
14
11
7
3
1
Obs.: Atente para esta questão 05, pois será objeto da Regra de Ouro da Moda, que aprenderemos somente na próxima aula!
06. Extraído da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüência seguinte:
	Xi
	Freqüência (f)
	29,5 – 39,5
	4
	39,5 - 49,5 
	8
	49,5 – 59,5
	14
	59,5 – 69,5
	20
	69,5 – 79,5
	26
	79,5 – 89,5
	18
	89,5 – 99,5
	10
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X, no conceito de Czuber.
a) 69,50		b)73,79		c)71,20		d)74,53 	 e)80,10
07. Extraído da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
8		b) 23		c) 7		d) 10		e) 9
08. Extraído da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01/01/90
	Classes das idades (anos)
	Freq.
(fi)
	Ptos. Médios 
(Xi)
	Xi-37 = di
 5
	di . fi
	di2 . fi
	di3 . fi
	di4 . fi
	19,5 – 24,5
	2
	22
	-3
	-6
	18
	-54
	162
	24,5 – 29,5
	9
	27
	-2
	-18
	36
	-72
	144
	29,5 – 34,5
	23
	32
	-1
	-23
	23
	-23
	23
	34,5 – 39,5
	29
	37
	-
	-
	-
	-
	-
	39,5 – 44,5
	18
	42
	1
	18
	18
	18
	18
	44,5 – 49,5
	12
	47
	2
	24
	48
	96
	192
	49,5 – 54,5
	7
	52
	3
	21
	63
	189
	567
	Total
	100
	
	
	16
	206
	154
	1106
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 01/01/90.
a) 35,97	 b) 36,26	c) 36,76	 d) 37,03	e) 37,31
	Ok, amigos! Ficamos por aqui! Na aula seguinte, prosseguiremos com as resoluções destes exercícios que vão ficando de hoje, como já é de praxe. 
	
	Quero aproveitar o ensejo e dirigir algumas palavras de agradecimento ao meu mais novo amigo do Ponto, o Professor Sérgio Gadelha – de quem sou sincero admirador, e que tive a honra de manter contato (ainda que por e-mail) –, pelo incentivo que me transmitiu e pela gentil acolhida que me proporcionou. Fico lisonjeado em partilhar com este grande profissional a missão de tentar facilitar aos alunos o estudo e a compreensão da estatística. Um grande abraço, Professor!
	Amanhã, aliás hoje (já é uma e meia da manhã), completo um mês de Ponto dos Concursos! Só quero ainda agradecer, mais uma vez, ao Professor Vicente Paulo, por essa oportunidade de poder expandir, a uma proporção que nunca antes imaginei possível, essa atividade que considero entre todasa mais sublime, que é a de transmitir conhecimentos e repassar experiências. Não tenho palavras para expressar minha gratidão. 
	Nesses últimos dias, uma velha preocupação voltou a me incomodar e, mais uma vez, vou pedir um “retorno” de vocês, meus alunos: não estarei eu correndo muito com a matéria? Mesmo sabendo que as aulas permanecem disponíveis no Site, tenho um grande desejo de que aqueles que estão me acompanhando desde o início não percam o “tempo” do curso, entendem? Quero dizer, que a matéria não se transforme em uma bola de neve, e com isso, o aluno não fique desanimado, achando que não vai aprendê-la. E também porque sou muito acostumado à sala de aula, e não quero ver ninguém “perdido” nos assuntos que estamos vendo. Então, se não for abusar muito, passem-me a impressão de vocês, ok?
	Mudando de assunto: peço novamente licença a todos, para anunciar que estou, (acreditem!) ainda sem êxito, tentando reunir umas dez ou doze cabeças pensantes, para iniciarmos uma turminha de Matemática Financeira e Estatística, a preço de custo (eu tô quase pagando pra dar aula!), na Terra do Sol, nesta cidade que é sinônimo de encantamento, beleza e alegria (acho que é por isso que ninguém quer fazer curso!), que é a minha Fortaleza! Pra quem aparecer, eu prometo até o gabarito da prova! É só mandar um e-mail! 
	Dedico a aula de hoje à minha amada esposa, Sílvia, que tem suportado comigo as agruras da distância a qual somos ora forçados a enfrentar, por conta desses meus concursos... Fica com Deus, meu amor! 
	Um abraço especial para os alunos silenciosos, aqueles que sorrateiramente acessam o Site e, sem que ninguém perceba, imprimem as aulas e estudam ali no seu cantinho, sem jamais dizer palavra! Eu fiz muito isso com as aulas do Vicente e do Marcelo... e eles nem sabiam que eu existia... 
Um forte abraço a todos, e até a próxima!
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