Aula_05_EE

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Engenharias
Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Fabiano Araujo Soares
(fabianosoares@unb.br) 
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Modelo Geral de GC
Preço-Demanda
Custo-Volume
Leis e Princípios 
Econômicos
Matemática
Financeira
Ambiente 
Econômico
Principios
Métodos
Engenharia Econômica
Conhecimentos inter e multidisciplinares 
Cenários
Complexos
Prospectivos
Probabilidade 
e
Estatística
Fundamentos = genericos 
Valor do dinheiro no
Tempo
Gerenciamento de 
Riscos e Incertezas
Projetos e Análise 
de Investimentos
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Equações
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Juros da Economia – decisões COPOM
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 Juros da Economia – decisões COPOM
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Fórmulas dos fatores de tabelas financeiras 
Fonte: http://www.bcb.gov.br/?INDECO
 Juros da Economia – decisões COPOM
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Taxas e Conversão de taxas 
Em algumas transações financeiras, a taxa de juros informada é apenas aparentemente correta, muitas vezes pela intenção de fazer parecer que a taxa é menor ou maior aos olhos de quem concorda com ela.
Exemplo: Consideremos uma taxa de 36% a.a. Como converter essa taxa para capitalização mensal?
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Taxas e Conversão de taxas 
A regra utilizada por algumas transações financeiras é:
36% a.a.  36/12=3% a.m.
Este valor está correto?
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Taxas e Conversão de taxas 
Como converter de forma correta a taxa de 36% a.a. em uma taxa mensal?
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Taxas e Conversão de taxas 
 RECAPITULANDO: 
Ex1: 36% a.a. / 12 = 3% a.m; 36% a.a. = (1,36)1/12 -1=2,5955 % a.m
Ex2: 4% a.m x12 = 48%; (1,04)12 =60,10% a.a 
 
Para taxas pequenas, essa lógica funciona bem. Uma taxa de 6% a.a. equivale a uma taxa mensal de 0,00486755, pela aplicação da seguinte fórmula: Taxa equivalente = – 1. Na calculadora HP 12C, se executarmos a seqüência 6|i|g|12÷, resultará uma taxa de 0,5. 
A primeira, denomina-se taxa efetiva, a segunda, taxa nominal. 
Na taxa efetiva, o período referido na taxa coincide com o período de capitalização. Em caso contrário, a taxa é nominal. Exemplos de taxas nominais: 40% a.a. com capitalização mensal; 12% a.s. com capitalização trimestral.
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Taxas e Conversão de taxas 
Quando é dito que a taxa é de 60% ao ano com capitalização mensal, significa que a taxa a ser efetivamente considerada será de: 60%/12 = 5% ao mês, aplicados em 12 períodos equivalem a: (1,05)12-1=79,59% a.a. = Taxa efetiva anual.
Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre? (1+0,12)1/6 – 1 = 1,91% a.m (A49)
Qual a taxa semestral equivalente a 10% a.m? (1+0,10)6-1=0,77 ou 77,16% a.s (um semestre contém seis meses) (A50)
F = P(1+i)n
(1+im)12 = (1+it)4  a taxa mensal im, aplicada doze vezes, deve dar o mesmo resultado que a taxa trimestral it aplicada quatro vezes.
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Taxas e Conversão de taxas 
Para transformação de taxas efetivas de período menor em taxa efetiva de período maior temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
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Taxas e Conversão de taxas 
Para transformação de taxas efetivas de período maior em taxa efetiva de período menor temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
Qual a taxa equivalente mensal, de 42% ao ano capitalizada trimestralmente? (vamos considerar que, nesse caso, o banco multiplica por 4 a taxa trimestral para obter a taxa anual nominal) (A51)
Qual é a taxa efetiva anual, de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? (vamos considerar que nesse caso o banco multiplica por 6 a taxa mensal para obter a taxa semestral nominal) (A51)
(42%/4)=10.5%/3=3,5%^12=51,11% a.a
(24%x2)=48% a.a
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
Uma companhia planeja depositar UM 100.000,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de 6,00% a.a, com capitalização quadrimestral, quanto a companhia terá no fim do sexto ano? (vamos considerar que, nesse caso, o banco multiplica por 3 a taxa quadrimestral para obter a taxa anual nominal) [380.920,27]
Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: “te dou 5.000 e tu me devolverás 5.500 em uma semana”. Qual a taxa de juros anual envolvida na transação?
(6%/3)=1.02^1/4=1.004963^12-1=6,1208% a.a
10% por semana ^ 52-1*100 = 14.104,29% a.a
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Taxa de desconto 
	A diferença entre o desconto e o juro é que o desconto é calculado a partir do valor futuro, enquanto que o juro sobre o valor presente. Equação: (d =j/(1+j))
Exemplo: Um determinado produto é vendido à vista com desconto de 10%. Qual a taxa de juros que será paga por quem optar pela compra com cheque pré-datado para 30 dias?
J =(0,10/(1-0,10))  j = 0,111111 ou 11.11%. OU 90|CHS|PV; n=1; 100|FV;i
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Séries em gradiente
Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético.
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A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? (B38) 
F=U((1+i)n-1/i) (fórmula para n anuidades)
F = G(((1+i)n -1-ni)/i2) (fórmula do gradiente, derivada da anterior)
=10.000(((1+0,25)8-1-8x0,25)/0,252)
 
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;10.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 50.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 70.000|g|CFj; 25|i;f|NPV;25|i; 8|n;FV (473.674,30)
Ex 11
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 6% a.a., para obter, a partir do próximo segundo ano, uma série de 5 pagamentos, sendo que o primeiro pagamento é G = R$ 20.000,00 e os outros são gradativamente, crescentes formando uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G e 5G? (B41)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj; 20.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 80.000|g|CFj; 100.000|g|CFj; 6|i;f|NPV (229.187,03)
P = G(((1+i)n -1 – ni)/(i2(1+i)n))
Ex 12
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente
crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
Séries em gradiente
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 Inflação
Inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. Possíveis causas: aumento da demanda sem o respectivo aumento da produção; aumento de custos de fatores de produção de alguns produtos; especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda.
Impactos na matemática financeira e na análise de investimentos: a correção monetária visa corrigir a moeda na medida exata da inflação. Utiliza-se, na prática, a taxa de inflação para produzir a correção monetária.
Aplica-se, primeiramente, uma taxa de correção monetária, inflação ou variação cambial para, depois, aplicar-se a taxa de juros.
A variação cambial aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária.
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Inflação 
Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a UM 2.000.000,00 em um banco alemão, nas seguintes condições:
	- Juros de 2,8% ao trimestre; 
	- Pagamentos em cinco prestações anuais, em marcos.
Se a valorização do marco em relação à UM nos próximos anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule o valor em UM das prestações a serem pagas. (A86)
Taxa equivalente anual: (1+0,028)4 = 1+i  i = 11,679242
Valor das amortizações: 2.000.000/5 = 400.000,00  Amortização não corrigida
Juros:
J1 = 11,68/100 x 2.000.00 = 233.585,84
J2 = 11,68/100 x 1.600.00 =186.867,88
J3 = 11,68/100 x 1.200.00 = 140.150,91
J4 = 11,68/100 x 800.00 = 93.433,94
J5 = 11,68/100 x 400.000 = 46.716,97
Prestações:
P1 = (400.000 + 233.585,84) x 1,36
P2 = (400.000 + 186.867,88) x 1,36 x 1,35
P3 = (400.000 + 140.150,91) x 1,36 x 1,35 x 1,38
P4 = (400.000 + 93.433,94) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40
P5 = (400.000 + 46.716,97) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 x 1,39
Resposta: 2.202.556,46
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Inflação 
1º passo: estruturar o fluxo de caixa original (100|CHS; 40,50,60 – receitas)
2º passo: estimar as parcelas a corrigir, aplicando-se a variação cambial sobre as parcelas
Parcela corrigida no ano 1 = 40 x (1+0,2) = 48
Parcela corrigida no ano 2 = 50 x (1+0,2) x (1+0,25) = 75
Parcela corrigida no ano 3 = 60 x (1+0,2) x (1+0,25) x (1+0,3) = 117
Uma empresa investirá UM 100,00 num projeto voltado à exportação que lhe proporcionará lucros de UM 40,00 no 1º ano, UM 50,00 no 2º ano e UM 60,00 no 3º ano . É estimada uma valorização do dólar em relaçao à UM considerada, de 20, 25 e 30%, respectivamente para o 1º, 2º e 3º anos, e evidentemente os lucros da empresa crescerão com a variação cambial. Por outro lado, é estimada uma inflação no período, de 22, 28 e 35%. Pergunta-se qual a taxa de retorno real deste investimento? (A86) 
3º passo: ajustar o fluxo em função das estimativas da inflação
Parcela ajustada no ano 1 = 48/(1+0,22) = 39,34
Parcela ajustada no ano 2 = 75/(1+0,22) x (1+0,28) = 48,03
Parcela ajustada no ano 3 = 117/(1+0,22) x (1+0,28) x x (1+0,35) = 55,50
4º passo: Calcular a taxa real de retorno do investimento
VP = 0 = -100 + 39,34/(1+i) + 48,03 (1+i)2 + 55,50/ (1+i)3
100|CHS|g|Cfo; 39,34|g|CFj; 48,03|g|CFj; 55,50|g|CFj; f|IRR (18,95%) a.a.
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Inflação e Análise de investimentos
A análise de investimentos deve ser baseada nos índices de inflação, quando esta ocorrer. Por exemplo, um aplicador que teve um rendimento de 45% a.a. quando a inflação neste ano foi de 30% teve um rendimento real de: 
 1,45/1,30 – 1 = 01154 ou 11,54% reais.
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Inflação – Exercícios propostos
Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %) a88
5% a.m de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros (62,15);
2% à quinzena de correção cambial mais 15% a.a. de juros (36%)
Qual a taxa efetiva anual de:
Correção monetária de 1% a.m e juros de 12% a.a. (74,90%)
30% ao semestre com capitalização quinzenal (80,87 %)
50% a.a. com correção monetária de 15% ao trimestre (162,35%)
Tarefa para a próxima aula: Resolver os exercícios acima e entregar o manuscrito em uma folha.