AOL4_Módulo B - 79852 7 - Cálculo Vetorial - D1 20221 B

Prévia do material em texto

Conteúdo do exercício
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 1 -- /0
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. Para que seja vá
o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja 
r open parentheses c close parentheses space not equal to r open parentheses d close parentheses para todos 
valores contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser simplesmente
conexa, ou seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas pontos que pertencem a R.
Figura 6 – Regiões R2 e R3
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009)
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as regiões R2 e
são regiões não contempladas pelo teorema porque:
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e R2 por sua
fronteira cruzar ela mesma.
Resposta cor
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter 
furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma.
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário.
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário.
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por sua 
fronteira cruzar ela mesma.
Ocultar opções de resposta 
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para resolver uma integral tripla, tra
se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entende
bem a região de integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão sendo 
integradas são consideradas constantes.
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k , a integral 
double integral subscript s space F times d S space equals space 3 straight pi onde S é definido pela superfície 
cilindro x squared plus y squared less or equal than 1 e 0 less or equal than z less or equal than 1. 
II. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k , a integral 
double integral subscript S space F times d S space equals space 4 over 3 straight pi onde S é a esfera unitária 
x squared plus y squared plus z squared less or equal than 1.
III. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space 3 x i plus x y j plus 2 x z k , a 
integral double integral subscript S space F times d S space equals space 9 over 4 onde S é o cubo definido pel
planos x space equals space 0 , x space equals space 1, y space equals space 0, y space equals space 
z space equals space 0, z space equals space 1. 
IV. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x y squared i plus y z squared 
plus x squared z k
 , a integral double integral subscript S space F times d S space equals space 128 over 5 straight pi onde S é 
x squared plus y squared plus z squared less or equal than 4.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
F, F, V, F.
V, F, F, V.
V, V, F, F.
Resposta corV, F, V, V.
Pergunta 3 -- /0
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando que am
relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da mesma 
maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o teorema d
Green e de Stokes são diferentes porque:
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente.
Resposta cor
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do caminho é 
a superfície do teorema de Green.
Pergunta 4 -- /0
O teorema de Stokes 
ϕ subscript c F times d r space equals space double integral subscript s nabla cross times F times d S é bastante
utilizado para simplificar o problema da integral de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de lin
Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos escrito ele. Para tanto, é 
necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito como o rotacional de um outro campo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, ordene as etapas a seguir de 
acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema no sentido 
double integral subscript S nabla cross times F times d S space equals space ϕ subscript c space F times d r.
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a superfície satisfazem os requisitos 
teorema.
( ) Executar a integral de linha.
( ) Parametrizar o caminho.
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes.
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
Resposta cor1, 5, 3, 4, 2.
4, 3, 5, 2, 1.
5, 4, 1, 3, 2.
3, 4, 1, 2, 5.
2, 1, 3, 4, 5.
Pergunta 5 -- /0
Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o Cálculo Vetorial. Eles possibilitam o 
trabalho com integrais seja mais simples, em vez de se realizar o trabalho direto com integrais de superfícies e cur
Entender o que enunciam esses teoremas é fundamental para o aperfeiçoamento das habilidades técnicas em Cá
Vetorial.
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativa
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R.
II. ( ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do gradiente de uma função.
III. ( ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla de um sólido.
IV. ( ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
Resposta corV, F, V, V.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
V, V, F, F.
Ocultar opções de resposta 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais de linha 
superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais de linha e 
superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as diferen
e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativa
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo Teorema de 
Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, F.
V, F, F, V.
V, V, F, F.
F, F, V, V.
Resposta corV, F, V, V.
Pergunta 7 -- /0
O teorema de Green também é utilizado para simplificar a resolução de algumas integrais de caminho. Para tanto,
necessário verificar se a integrale a região satisfazem os requisitos do teorema. Fora isso, basta fazer as derivada
parciais e integrar sobre a região.
Considerando essas informações e os estudos sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir e assinale
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space open parentheses y minus e to
power of x close parentheses i plus open parentheses 2 x minus e to the power of y close parentheses j
, a integral na circunferência unitária x squared plus y squared equals 1 é 
ϕ subscript c space F times d r equals straight pi.
Ocultar opções de resposta 
II. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space y squared i plus x squared j a 
integral na circunferência unitária x squared plus y squared equals space 1 space é 
ϕ subscript c space F times d r equals space 1.
III. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space y i plus x j, a integral na 
circunferência unitária x squared plus y squared space equals space 1 é 
ϕ subscript c space F times d r space equals space 2 straight pi.
IV. ( ) Dado campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i space plus space y j, a integ
no quadrado definido por negative 1 less or equal than x less or equal than 1 e 
negative 1 less or equal than y less or equal than 1 é ϕ subscript c space F times d r space equals space 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, F.
Resposta corV, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, F, V.
F, F, V, V.
Pergunta 8 -- /0
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho (W). Caso o campo seja 
conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do 
trabalho. Esse campo é definido em termos de um gradiente de uma função escalar:
F open parentheses x comma y close parentheses space equals nabla f open parentheses x comma y close 
parentheses space equals space open parentheses A comma B comma C close parentheses
.
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível descobrir se um campo é ou 
conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir:
fraction numerator partial differential A over denominator partial differential y end fraction equals fraction numera
partial differential B partial differential A over denominator partial differential x partial differential z end fraction equa
fraction numerator partial differential C partial differential B over denominator partial differential x partial differential 
end fraction equals fraction numerator partial differential C over denominator partial differential Y end fraction
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se dizer que 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k é um campo
conservativo porque:
o gradiente dessa função é nulo.
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos.
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente.
o divergente dessa função é nulo.
Resposta corse verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras.
Pergunta 9 -- /0
O conjunto de teoremas da divergência, de Green e de Stokes é um conjunto de ferramentas para nos auxiliam a 
resolver integrais em campos vetoriais que são difíceis ou impossível de resolver. Todos os teoremas fazem uma 
mudança de integral de um tipo para outro.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, de Green e Stokes, analis
afirmativas a seguir.
I. O teorema da divergência transforma uma integral sobre uma área para uma integral sobre um volume.
II. O teorema de Green transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre uma área.
III. O teorema de Stokes transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre um volume.
IV. Os teoremas podem fazer a transformação em um sentido ou outro.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
Resposta corI, II e IV.
I e IV.
II e IV.
I e II.
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 10 -- /0
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo integrativo se dá com 
objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com objeto
matemáticos conhecidos como integrais de linha.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar que as integra
referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se relacionam porque:
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações.
Resposta cor
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, 
referentes ao outro contexto integrativo.
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio representam 
conjuntos de pontos.
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático.