ApMASP-1

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Estudaremos: -- os princípios da modelagem matemática;
-- métodos analíticos de solução (cálculo diferencial e integral).
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I
Transposição
Modelo Solução
Fenômeno Aplicação
Realidade Absoluta/Virtual
Realidade Física/Real
01
Olá! Eu sou Sócrates, um dos ícones da filosofia, mãe da ciência; me 
consideram mais inteligente que bonito, é intriga da oposição (acho 
que isso ainda vai acabar mal...). Nesse curso, vamos juntos nos 
questionar sobre a importância de entender a natureza e como fazê-lo. 
Portanto, vamos pensar!
Modelagem matemática é a transposição do fenômeno da realidade física para a 
realidade virtual, na forma de um modelo matemático (ou de um conjunto de equações).
DEFINIÇÃO
TRANSPOSIÇÃO
--Apreensão sensível (medidas ou observações experimentais)
--Razão (pensamento lógico matemático)
--Intuição (emoções)
--Revelação (entendimento final, quando “cai a ficha”)
Ponto de partida para a construção de modelos capazes de representar os fenômenos da 
natureza. Por exemplo:
--Conservação da massa total
--Conservação da massa das espécies químicas
--Conservação da quantidade de movimento
--Conservação de energia: • Energia total (mecânica + interna)
• Energia mecânica (cinética + potencial)
• Energia interna
PRINCÍPIOS ORDENADORES
Massa total: m [kg]
Massa de Espécie Química: m [kg de A]A
Quantidade de Movimento: mv [kg.m/s]
Energia: E (térmica, interna...) [J]
• Princípio Geral da Conservação:
Propriedades conserváveis são aquelas que seguem o princípio geral de conservação.
São elas:
Vizinhança
Superfície
Volume
Sistema
Entrada
de
Saída
de
Acúmulo
de
Transformação
de
+
CONTABILIDADE DA NATUREZA
Taxa de Entrada
de por S
Taxa de Saída
de por S
Taxa de Acúmulo
de em V
Taxa de Transformação
de em V
Fenômenos de Superfície Fenômenos de Volume
Para expressar a conservação em linguagem matemática é necessário escolher uma 
escala de observação do fenômeno.
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 02
Propriedade
Conservável
Onde ocorre o transporte de por mecanismo convectivo.
Escala Macroscópica
Escala
microscópica
Escala
macroscópica
Escala do contínuo
è(nm) è(mm) è(m)
Escala
espacial
Escala molecular
(não há continuidade)
Mecânica Quântica Mecânica Newtoniana MecânicaRelativística
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 03
Vejam que trabalharemos apenas com a Física Newtoniana, onde o 
princípio da conservação se aplica. Por que não usamos a Quântica e 
Relativística? Nelas, a matéria é discreta (não contínua) ou o tempo e 
espaço são relativos (não absolutos). Coisas do Planck, Heisenberg, 
Einstein e essa galera do século XIX e XX.
Função contínua
de uma única variável(t)
Variável independente
Variável dependente
Onde ocorre o transporte de ö por mecanismo convectivo e difusivo.
Escala Microscópica
Função contínua
de várias variáveis (até 4!)
(espaço,t)
Variáveis independentes
Variável dependente
1-D (uma dimensão)
2-D (duas dimensões)
3-D (três dimensões)
Transporte convectivo: está relacionado com o movimento global da matéria (força externa).
Transporte difusivo: está relacionado com uma diferença de concentração de .
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 04
Taxas de
Entrada e Saída
por mecanismo
convectivo
Massa total > Vazão mássica: m [kg/s] ñvS
Massa de Espécie Química > Vazão mássica da Esp. A: m =x m [kg de A/s]A
2Quantidade de Movimento Linear: m [kg.m/s =N] ñv
Energia Térmica: mCp(T-T ) [J/s=W]ref
A
Sendo: Fluxo = Taxa
Área Perpendicular ao movimento global da matéria
Taxa de Entrada
de por S
Taxa de Saída
de por S
m
Entradas
m
Saídas
m
Entradas
m
Saídas
Taxas líquidas de transporte de por todas as 
superfícies do sistema.
Onde: = 1, para massa total
 = x , para massa de A
 = Cp(T-T ), para energia térmicaref
 = v, para quantidade de movimento
A
~
Para t=0, m=0 (tanque vazio); em t>0, a bomba é 
ligada e inicia-se o fenômeno.
Sistema
Volume
t
0
t1
t2
...
t
m
0
m1
m2
...
mfinal
Portanto, a taxa de acúmulo 
no intervalo de tempo Ät e 
Äm >> [kg/s].
Ät
Definição de Derivada:
Se diminuírmos o Ät ate que ele se aproxime de 0, a taxa de acumulo será no instante t e 
não no Ät. Assim:
Ät
ÄmLim
Ät 0 dt
dm=
>> Fisicamente representa uma taxa 
de acúmulo de massa no volume.
ABORDAGEM MACROSCÓPICA
(t)
Taxa de Acúmulo
Exemplo:
Lembrando que o transporte convectivo de está relacionado ao movimento global da 
matéria, provocado por uma ação externa.
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 05
á
m
t
m3
m2
m1
t1 t2 t3
(t -t ) = Ät (intervalo)3 2
p/ t = t > m|qualquer t
p/ t = t + Ät > m|t+Ät
tg á = Äm + m - m = Ämt t t
t + Ät - t Ät
m| - m| = Acréscimo de massa no volume do sistemat+Ät t 
Observações:
>> No limite de quando Ät tender a 0, a reta secante se transforma em reta tangente à curva;
>> A inclinação da reta tangente representa geometricamente a derivada ou:
>> Na situação física, apresenta a conservação da massa total fica:
Ät
ÄmLim
Ä 0t 
dt
dm==t ág 
Taxa de entrada Acúmulo=
Modelo
Macroscópico
para o exemplo
dm = m; m(t); t>0
p/ t=0, m(0) = 0
dt
Conservação da
propriedade
Condição
Inicial
Esta é uma Equação Diferencial Ordinária de 1ª Ordem - EDO
Relaciona 1 variável dependente (m) 
com 1 variável independente (t), em 
função de sua derivada.
Quando existe 
apenas 1 variável 
independente.
A solução analítica do problema (modelo), fornece uma expressão contínua para m(t) 
quando t>0.
Se generalizarmos para qualquer propriedade , a equação de conservação macroscópica 
passa a ser:
m
Entradas
m
Saídas
d(m )
dt
Transformação de
 no volume
Transformação de
 no volume
A transformação pode ser generalizada por:
Ö .V
Taxa de transformação de por unidade de volume devido a 
fenômenos que ocorrem em escalas espaciais inferiores.
Interpretação geométrica,
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 06
Então, a conservação generalizada fica:
m
Entradas
m
Saídas
d(ñV )
dt
Ö .V
Fenômeno de Superfície: m = ñvS [kg/s]
EQUAÇÃO GERAL DA CONSERVAÇÃO
Escala Macroscópica : (t)
CASO 1: ENCHIMENTO DE UM TANQUE
m=ñvS
t = 0
m(0) = m0
m
t > 0
m(t) = m0
Entradas
0
Saídas
d(ñV)
dt
ñvS 0
Diz aí! O que acontece? O que 
se conserva? Há entrada, saída, 
acúmulo ou transformação? 
Qual é a condição inicial? Use a 
equação geral da conservação!
CASO 2: AQUECIMENTO/RESFRIAMENTO DE UMA ESFERA SÓLIDA
Sistema
Desf
S
Banho Termostatizado
T = cte = T0
Para t = 0, T (0) = Tesf 0
Para t>0, T (t)esf
ñ
Cp : Propriedades físicas da matéria
Situação Física
Entradas
ñvS
Saídas
d(ñV )
dt
Ö VñvS ; (t); t>0
Para t = 0, (0) = .0
Entrada Saída Acúmulo Transformação
onde (t), t>0; para t=0, (0) = .0
dm
dt m ; m(t), t>0
Para t = 0, m(0) = m0
Modelo
Matemático
m(t)
t
m
m0
Função contínua
Solução
analítica
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 07
Modelagem matemática para o caso:
Escala macroscópica: -- a esfera é o sistema;
-- ocorre conservação da energia térmica: ET = mCp(T - )esf
 = mCp
Usando a equação geral:
Tref
Tesf
? Incoerência física!
0Acúmulo Taxa de transferência de calor entre a
superfície sólida e o fluido, que pode ser
representada por ±q.
Assim, se considerarmos mCp ~ cte, o modelo fica:
dTesf
dt
; (t), t>0Tesf
Para t = 0, (0) = 0T Tesf±1
mCp
 q
Para que este modelo tenha solução matemática é necessária uma equação constitutiva 
para a taxa de calor trocada pela superfície da esfera com o fluido. A relação para esse fenômeno 
provém de observações experimentais, é empírica, portanto, e foi determinada por Newton que a 
chamou de Lei da Película:
q á S (T -T )esf
A taxa de transferência de calor entre sólido e fluido é 
proporcional à diferença de temperatura entre eles e à 
superfície onde ocorre esta troca.
q = h S (T -T )conv esfconv LEI DA PELÍCULA
Coeficiente de transferência de calor por convecção -- constante de 
proporcionalidade.
Sólido
TS
Película de fluido
Fluido
T
Peso
Empuxo
E>PP>E
T > TS
Corrente de
convecção
Equilíbrio:
Peso = Empuxo
mg = ñ Vgfluido
Se Peso>Empuxo, a porção de 
matéria desce.
Se Empuxo>Peso, a porção de 
matéria sobe.
Entradas
ñvS
Saídas
d(ñV )
dt
Ö .VñvS
000
d(ñV )
dt
0
0
~
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 08
dTesf
dt
; (t), t>0Tesf
Para t = 0, (0) = 0T Tesf
dTesf
dt
±h S (conv T -T )esf esf
ñ VCpesf
24ðR esfSesf
4
3
Vesf
3ðR esf
±h 6 (conv T -T )esf
ñ D Cpesf esf
T
t
T0
T0
Taquec
Tresf
Obs.: Da mesma forma que a convecção de calor numa película na interface entre um 
fluido e um sólido, pode existir uma convecção mássica na interface.
Por exemplo: Uma partícula de catalisador sólido imersa em meio reacional fluido:
mA
Partícula de Catalisador
Película de
fluido a CAS
Situação Física
CA
Observação experimental:
m á S (C -C )A A AS
Da mesma forma que com a transferência de calor, a 
transferência de massa ocorre proporcionalmente à 
diferença de concentração de A no meio e na partícula.
m = kg S (A C -C )A AS Coeficiente de transferência convectiva de massa.
CASO 3: TRANSFERÊNCIA DE OXIGÊNIO PARA ÁGUA EM UMA BOLHA DE AR
Vbolhas
[m/s]
Vbolha
C(O2)S
Líquido
C(O2)
Difusor de ar
Superfície do líquido
Bolhas de ar
ascendendo no líquido
Meio Reacional
(fluido)
+ q
- q
S
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 09
Quando a bolha de ar sai do difusor, a concentração de O nela é C . Durante a trajetória 2 (O2)0
da bolha - quando 0<t<t , ocorre transferência de O para o líquido.final 2
Modelagem matemática para o caso:
Escala macroscópica: -- cada bolha é um sistema;
-- ocorre conservação da massa de O na bolha de ar: (t) = x2 A
Entrada
de O2
Saída
de O2
Acúmulo
de O2
Transformação
de O2
00
; (t), 0<t<tfinalCO2
Para t = 0, (0) = 0C CO2 (O2)
d(ñVx )O2
dt
-mO2
d(m )O2
dt
-m ; m (t); 0<t<tO2 finalO2
Se o volume (V) da bolha for constante, pode-se dividir toda a equação por ele:
d(C )O2
dt
[ ]C -CO2 (O2) 
d(m )O2
dt
-mO21
V V
-kg S
V
Assim:
d(C )O2
dt
ef-kg [ ]C -CO2 (O2) 
efOnde: kg -kg S
V
Coeficiente efetivo de transferência de massa na película
GENERALIZAÇÃO MACROSCÓPICA DA CONSERVAÇÃO
Conservação
Massa Total
Espécie Química
Energia Térmica
Quant. Movimento
1
xA
Cp(T-T )ref
v
Ö
0
(r )A
(r ) H +gA RÄ
ÓF
A conservação de QM é uma grandeza vetorial - gera 3 equações 
em domínio espacial de 3 dimensões.
As conservações de massa, espécie química e energia, são 
escalares - geram 1 única equação.
Agora ficou fácil! Ao observar a 
situação física e reconhecer os 
fenômenos, pode-se escrever o 
modelo matemático macroscó-
pico através da equação geral.
Entradas
ñvS
Saídas
d(ñV )
dt
Ö VñvS
Para t = 0, (0) = .0
; (t); t>0Fluxos convectivos
de
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 10
A esfera sólida se movimenta no fluido segundo a força gravitacional que atua sobre ela. 
No sistema, não há entradas ou saídas de matéria ou energia.
Modelagem matemática para o caso:
Escala macroscópica: -- a esfera é o sistema;
-- ocorre conservação da quantidade de movimento: (t) = v
Ö = ÓF
S
CASO 4: MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA SÓLIDA EM UM FLUIDO
v Sistema
Fluido, ñf
~
g
~
z
y
x
Força
resistiva
Partícula esférica sólida
Situação Física
~
^
; (t), t>0vS
Para t = 0, (0) = 0v vS S
d(ñ V v )SS S
dt
ÓF S V~
d(m v )SS
dt
~ ÓF ~
~
Este modelo matemático é composto por uma 
equação vetorial, que se subdivide em outras, uma 
para cada direção do espaço.
d(v )Sx
dt
ÓFxmS ; v (t); t<0Sx
d(v )Sy
dt
ÓFymS ; v (t); t<0Sy
d(v )Sz
dt
ÓFzmS ; v (t); t<0Sz
> Componente da direção x ~ 0
> Componente da direção y ~ 0
> Componente da direção z
Não há variação significativa de quantidade de movimento nas direções x e y (nesta 
situação, não existem forças externas atuando nestas direções); a ação gravitacional predomina e 
resulta em movimento somente na direção z. Assim:
d(v )Sz
dt
ÓFzmS ou
d(v )Sz
dt
-ñ V g + ñ V g + (F )S S z f S z res zmS
Para t = 0, (0) = 0v vSz Sz
d(v )Sz
dt
(ñ -ñ ) V g + (F )f S S z res zmS ; v (t); t>0Sz
~
~
Força peso Força de
empuxo
Força
resistiva
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 11
O modelo ainda não pode ser solucionado, pois não se conhece o termo , que 
representa a resistência conferida pelo fluido ao movimento.
(F )res z
Para t = 0, z(0) = z0
v (0) =Sz
2d z
2dt
(ñ -ñ ) V g + â -vf S S z fzmS ; z(t); t>0
(F )res z â(v -v )Sz fz EQUAÇÃO CONSTITUTIVA
Coeficiente de interface
Como: vSz
dz
dt( (
dz
dt
dz
dt t=0
ABORDAGEM MICROSCÓPICA
Vimos na abordagem macroscópica, que a forma matemática dos modelos é de equações 
diferenciais ordinárias (EDOs) de 1ª Ordem - Casos 1, 2 e 3 - e de 2ª Ordem - Caso 4.
Lembrando: Equações Diferenciais Ordinárias são aquelas que dependem (variam em 
função) de uma única variável independente - como o tempo na abordagem 
macroscópica. A sua Ordem (1ª ou 2ª ) indica o maior grau da derivada da 
variável dependente.
dt
f( ,t) ; (t), t>0
Para t = 0, (0) = 0
1ª Ordem
Para t = 0, ç(0) = 0ç
= vç0
2d ç
2dt
P (t)0
dç
dt t=0
2ª Ordem
dç
dt
+ P (t)1 + P (t) ç2 Q(t) ; (t), t>0çED
O
s
Agora na abordagem microscópica, e uma funcao de diversas variáveis. Nestes casos, a 
conservação é expressa na forma de Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Por exemplo: T(t,x) - 
nesta relação, a temperatura depende do tempo e da direção x no espaço simultaneamente.
(t,espaço)
d
A solução matemática adequada deste modelo, fornece o perfil do movimento 
(trajetória) da partícula sólida no fluido, na direção z para t>o.
(Conservação)
(Posição inicial)
(Velocidade inicial)
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 12
Pode-se alterar as características do tempo e espaço para facilitar a modelagem:
EXEMPLO: MODELO DE TRANSFORMAÇÃO TRANSIENTE NUMA PLACA PLANA:
x
x0
T0
xL
TL
k, Cp
Situação Física
E agora, como resolver? Em alguns momentos, dependendo de como 
faremos a análise (mais ou menos detalhada), podemos tornar o 
modelo mais fácil de solucionar. Para isso, adotamos considerações 
que relevam algum fenômeno menos significante frente a outros que 
são predominantes. Essas considerações chamamos de hipóteses 
simplificadoras.
• Hipóteses simplificadoras:
-- REGIME PERMANENTE: (posição)
-- VARIAÇÃO UNIDIMENSIONAL: (x) 1-D - Função de uma variável
Tais alterações podem definir a EDO como de 1ª Ordem (sem difusão da propriedade 
conservável) ou 2ª Ordem (com difusão).
CASO 1: AQUECIMENTO/RESFRIAMENTO DE UM FLUIDO ESCOANDO EM UM TUBO
CILÍNDRICO COM TEMPERATURA SUPERFICIAL CONSTANTE
Dr
Äz
L0 z
T cte = TS 0
ñ0
Cp
T0
0
ñL
CpL
TL
Simplificações: -- Regime permanente
-- Direção 1-D (direçãoz)
 t, x = x , T(t, ) = T (t)0 0
 x = x , T(t,x ) = T (t)L L L
Para t = 0: x = qualquer, T(0,x) = T1
x0
T
t
; T(t,x), x <x<x0 L
k
ñCp
2T
2tModelo
Matemático
Microscópico Condições de contorno
Condição inicial
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 13
Ocorre conservação da energia térmica sem um elemento diferencial de volume:
Äzz z+Äz
qconv
Asup
E = m Cp(T-0)T z E = m Cp(T-0)T z+Äz
Entrada ET
no ÄV
Acúmulo
de ET
Transformação
de ET
Saída ET
do ÄV
Aplicando Limite:
Se ñvCp ~ constante,
CASO 2: AQUECIMENTO/RESFRIAMENTO DE UM FLUIDO ESCOANDO EM UM TUBO
CILÍNDRICO COM TEMPERATURA SUPERFICIAL CONSTANTE E COM DIFUSÃO AXIAL
z z+Äz
qconv
m Cp T|z m Cp T|z+Äz
-k A dTST
dz z
-k A dTST
dz z+Äz LEI DE FOURIER
m Cp T| -m Cp T| q 0z z+Äz conv
ñvA Cp T| -ñvA Cp T| h A (T -T) 0ST z ST z+Äz conv sup S
ñvA Cp T| -ñvA Cp T| h ðDÄz(T -T)ST z+Äz ST z conv S
A ÄzST
2ðD Äz
4
ñvA Cp T| -ñvA Cp T| h 4(T -T)ST z+Äz ST z conv S
Äz D
ñvA Cp T| -ñvA Cp T| h 4(T -T)ST z+Äz ST z conv S
Äz D( ( LimÄt 0LimÄt 0
d (ñvCpT) h 4(T -T)conv S
dz
Para z = 0, T(0) = T0
dT
dz
; T(z); 0<z<Lh 4 (T -T)conv S
ñvCp D
m Cp T| -k A dT - m Cp T| -k A dT q 0z ST z+Äz ST conv( (dz dzz z+Äz
onde, T T| +T|z z+Äz
2
~
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 14
(ñvCpA T| -ñvCpA T| )+ -k A dT - -k A dT h ðDÄz(T -T)ST z+Äz ST z ST ST conv 0( (dz z+Äz dz z
Dividindo por ÄV = Äz A ,ST
(ñvCpA T| -ñvCpA T| )+ -k A dT - -k A dT h ðDÄz(T -T)ST z+Äz ST z ST ST conv S( (dz z+Äz dz zA ÄzST
A ÄzST
2ðD Äz
4
(ñvCpT| -ñvCpT| ) -k dT - -k dT h 4(T -T)z+Äz z conv S( (dz z+Äz dz zÄz
Äz
D
( (
Lim
Ät 0
Lim
Ät 0
Lim
Ät 0
d (ñvCpT) + d -k dT = h 4(T -T)conv S
dz Ddz dz
Se , , e k forem constantes,ñ v Cp
Para z = 0, T(0) = T0
= 0dT
dz z=L
; T(z), 0<z<L
2-k d T + ñvCp dT h 4(T -T) = 0conv S
2dz Ddz
Para z = L, EDO de 2ª Ordem
EXERCÍCIO: FAZER O MESMO PROCEDIMENTO (BALANÇO DIFERENCIAL) DO CASO
ANTERIOR, DESTA VEZ PARA A TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM UM DUTO POROSO
O tubo poroso permite a passagem de massa através de suas paredes, que estão em 
contato com o fluido. Portanto:
--se C < C , a espécie química A está saindo do tubo;AS A0
--se C > C , a espécie química A está entrando no tubo.AS A0
Assim, desenvolva:
a) Modelo Microscópico, RP, 1-D, sem difusão e sem reação;
b) Modelo Microscópico, RP, 1-D, sem difusão e com reação; 
c) Modelo Microscópico, RP, 1-D, com difusão e sem reação;
d) Modelo Microscópico, RP, 1-D, com difusão e com reação.
Dr
L0 z
C cte = CA A0
C A0
mA
Reação: A > B
(r ) = K C Reação de 1ª OrdemA A
m ou Q
C AL
m ou Q
Situação Física
Situação Física
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 15
Os modelos a) e b) são formados por EDOs de 1ª Ordem e necessitam de pelo menos uma 
condição de contorno ou inicial para sua resolução. Já os modelos c) e d), EDOs de 2ª Ordem que 
requerem pelo menos duas condições de contorno.
Equações Constitutivas:
(-r ) = K CA A
J = -D A dCA AB ST A
dz
m = kg A (C -C )A SUP AS A
Taxa difusiva
Taxa convectiva na película
LEI DE FICK
Para resolver este exercício, observe atentamente a situação 
física, busque entender o fenômeno. O que acontece? O que 
entra, sai, acumula e/ou se transforma? De que maneira isso se 
dá? Use as taxas e relações empíricas, organize a equação e 
lembre-se que tudo segue a contabilidade da natureza!
• Miscelânea de Equações Constitutivas:
Taxa de reação/desaparecimento de A
Equações constitutivas são aquelas de natureza empírica (ou experimental) obtidas por 
ajuste de dados experimentais, usadas para quantificar fenômenos que geralmente têm sua causa 
fora do domínio do contínuo (como o domínio molecular).
Algumas relações importantes para a Engenharia Química são:
A) Equações da difusão (massa, calor, quantidade de movimento) e convecção na 
película;
B) Equações para predição de propriedades físicas (ì, Cp, k, ñ, ...);
C) Equações de estado ou relações PVT;
D) Equações para predição de propriedades de transporte (f , kg, h , D , ...);atrito conv AB
E) Equações constitutivas para a transformação.
A) Equações da Difusão
1- Difusão de Calor (Lei de Fourier)
T =100ºC1
T =0ºC2
z
(q )cond z
(q )cond z
(q ) á -A dTcond z SUP
dz
(q ) = -k A dTcond z SUP
dz
Condutividade térmica: 
parâmetro empírico, 
propriedade física da 
matéria, constante de 
p ropo r c i ona l i d ade 
[W/mºC].
Se ñ e Cp forem constantes, pode-se escrever:
(q ) = -k A d (ñCpT)cond z SUP
dzñCp
(q ) = -á A d (Ê )cond z SUP T
dz
onde,
á = k
ñCp
2Difusividade térmica [m /s]
Ê = ñCp(T-T )T ref 3En. térmica/Volume [J/m ]
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 17
B) Equações para predição de propriedades físicas
As constantes A, B, C e D são 
emp í r i ca s pa ra cada 
substância. Devem ser 
buscadas na literatura 
Sherwood, Prauznitz e Reid, 
por exemplo).
ì = A ln B
C+T( (
2 3Cp = A+B T+C T +D T
k = A* ln B*
C*+T( (
2 3ñ = A*+B* T+C* T +4D* T
Viscosidade
Capacidade Calorífica
Condutividade térmica
Massa específica
C) Equações de estado: relações PVT
1- Gás Ideal
p V = n R T ou p V = m R T ou ñ = PM p
PM R T
2- Gás Não-Ideal
Virial: 1 parâmetro
Van der Waals: 2 parâmetros
Peng-Robson: 3 parâmetros
Redlick-Kwong: 3 parâmetros
A partir de uma equação de estado é possível predizer várias propriedades dos gases 
(Termodinâmica Química). O desenvolvimento da Engenharia Química contribuiu enormemente 
para se estabelecer estas relações; por exemplo, o equilíbrio líquido-vapor, é um fenômeno/modelo 
empregado em vários processos e onde se necessita utilizar das equações de estado.
L Vf = fi i Fugacidade do componente i na fase vapor
Fugacidade do componente i na fase líquida
D) Equações para predição de propriedades de transporte
Para estes coeficientes , existem inúmeras correlações que podem 
ser encontradas na literatura, principalmente nas obras relacionadas aos fenômenos de transporte e 
livros base da Engenharia Química.
Exemplo: para a convecção forçada em dutos:
(f , kg, h , D , ...)atrito conv AB
b cNu = a Re PrD
onde,
Re = ñ v D/ìD
Número de NusseltNu = h D/kD conv
Número de Reynolds
Pr = Cp ì/k Número de Prandtl
b = 0,8
a = 0,023
c = 1/3
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 18
E) Equações constitutivas para a transformação
1- Transformação de espécies químicas: Cinética química
Para reações homogêneas:
(r ) = f(T) g(composição) = 1 dnA A
V dt
-Ea/RT âi(r ) = (K e ) (Ð C )A 0 i
Para reações heterogêneas:
(r ’) = f(T,composição) = 1 dnA A
W dt
2- Transformação da energia química em calorífica
Esta transformação é proveniente de reações químicas que liberam ou absorvem energia, 
mensurada pelo ÄH .reacao
Estas reações podem ser: --endotérmicas
--exotérmicas
±ÄH [J/kg]reacao
3Ö = (r ) [J/s m ]A ÄHreacao Taxa volumétrica de transformação de energia química
em calorífica ou vice-versa.
3- Transformação da energia mecânica em calorífica
Equação da transformação de energia mecânica (macro) em regime permanente:
21 v + h + P = 1 1 1 1
2v + h + P + h2 2 2 L
2( (g entrada ( (2 g ñg saída Equação de Bernoulli
2h = 2 f L vL AT
g D
Equação de Fanning
f = f(nº de Reynolds, rugosidade relativa)AT
Para tubo liso e escoamento laminar (Re<2000): 
Para tubo rugoso e escoamento turbulento:
f = 16/ReAT
1 = -1,7372 ln å/D + 1,2561
1/2fAT Re
1/2fAT3,7 ( ( Equação de Colebrook
ñg
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LEITURAS RECOMENDADAS
Alegoria da Caverna. Platão.
A ciência e a hipótese. Poincaré, Henri.
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A dança do universo: dos mitos de criação ao Big-Bang. Gleiser, Marcelo.
O fim da Terra e do céu: o apocalipse na ciência e na religião. Gleiser, Marcelo.
O romance da ciência. Sagan, Carl.
EXERCÍCIOS
Modelagem
Matemática
Modelo Solução
Fenômeno Aplicação
Realidade Absoluta/Virtual
Realidade Física/Real
Transposição
dos Mundos
1) Faça uma breve dissertação sobre modelagem matemática tendo em vista a
divisão platônica entre o mundo físico e o mundo das idéias, esquematizada
pela figura:
2) Para a modelagem matemática dos fenômenos da natureza, é necessária a utilização de 
princípios ordenadores, equações constitutivas e escalas de tempo e espaço. Explique o que é isso e 
generalize as equações de conservação para o domínio do contínuo.
3) A modelagem matemática amparada nos princípios de conservação da massa, energia e 
quantidade de movimento no domínio do contínuo, como princípios ordenadores dos fenômenos da 
natureza, depende fundamentalmente da escala espacial adotada para se “observar” o fenômeno, 
podendo ser macro ou microscópica. Considere neste sentido o exemplo do aquecimento de um 
fluido pelo seu escoamento em um tubo à temperatura de parede constante. Desenvolva um modelo 
macroscópico e um microscópico, encontrando uma relação entre a temperatura de saída obtida 
pelo modelo macro e a temperatura de saído fornecida pelo modelo microscópico 
(T(z=L) /T(z=L) =?)macro micro
Dr
Äz
L0 z
T cte = TS 0
m 
ñ
Cp
T0
m 
ñ
Cp
TL
qconv
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 20
4) Desenvolva uma modelagem matemática para a situação física do resfriamento de uma esfera de 
alumínio em um meio fluido cuja temperatura depende do tempo conforme a expressão:
Encontre a solução analítica considerando-se que no instante inicial a temperatura da esfera seja 
T(0) = 100ºC.
T (t) = 10 + 10 cos( (ðt12
D = 5 cmesf
T (t)
3ñ = 2710 kg/mAl
Cp = 896 J/kg KAl
qconv
T(t)
2h = 100 W/m ºCconv
T(0)
5) Encontre o perfil de concentração de uma espécie química genérica A como função do tempo em 
um sistema de diluição esquematizado na figura.
3Considere que no instante inicial o tanque esteja cheio (V = 1 m ) e que esteja a uma concentração 
3 3 3C = 10 moles/m , e repentinamente as correntes Q = 1 m /h e Q = 0,5 m /h, entram no tanque 0 1 2
estabelecendo imediatamente um estado estacionário para a massa total (Q = Q + Q ).3 2 1 
Mistura
Perfeita
3Q [m /h]1
C = 0A1
3Q [m /h]2
C = C /2A2 0
3Q [m /h]3
C (t)A
3V [m ]
C0
6) Sobre o sistema de bombeamento não-isotérmico da figura:
a) Desenvolva uma modelagem matemática para o sistema admitindo-se que os dois tanques estão 
em condição de mistura perfeita; o tanque 1 (a 90 ºC) é isolado e o tanque 2 troca calor com o 
ambiente externo e está inicialmente a 20 ºC.
b) Encontre uma expressão matemática para a variação do nível do tanque 1 com o tempo.
c) Encontre uma expressão para a variação da temperatura do tanque 2 com o tempo.
Considere os dois tanques iguais, cilíndricos com diâmetro de 0,5 m e que o fluido seja água
3(ñ = 1000 kg/m , Cp = 4186 J/kg ºC).
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 21
Tanque 2
Q = 2 l/s
Tanque 1
Q = 2 l/s
V = 100 l1
T = 90 ºC1
V = 50 l2
T = 20 ºC2
2h = 20 W/m sconv
T = 20 ºC = constante
7) Desenvolver um modelo capaz de predizer o tempo de esvaziamento gravitacional de um tanque e 
a variação do seu nível.
Dorif
h(t)
H
Dv
Para t = 0, h(0) = H
1/2v = C (2gh) [m/s]D
h(t) = ?
v(t) = ?
m(t) = ?
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