ApMASP-2

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Modelos e Métodos de Solução para EDOs de 1ª Ordem 23
Soluções de EDOs de 1ª Ordem 24
Soluções Analíticas de EDOs de 2ª Ordem 29
Exercícios 34
ÍNDICE
CAPÍTULO 2
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 23
MODELOS E MÉTODOS DE
SOLUÇÃO PARA EDOS DE 1ª ORDEM
Forma matemática geral de uma EDO de Ordem n:
INTRODUÇÃO
2 n-1 nf ç, , d , d , ..., d , d = 0
dç( (dç2 dçn-1 dçn
A equação diferencial ordinária é uma função que relaciona a variável dependente ( ) 
com a indepentente (ç) e com suas derivadas. Sua ordem é a ordem da maior derivada. Pode-se 
escrevê-las de forma geral para abordagem macro e microscópica:
Agora que aprendemos a reconhecer e modelar os fenômenos segundo o 
princípio ordenador da conservação, o novo desafio é resolvê-los para chegarmos 
à sua equação final. Para isso, estudaremos neste capítulo as formas e as 
respectivas soluções das EDOs. Aliás, sabem como Newton chamava a derivada e 
a integral? Fluxões e anti-fluxões! Nada convidativos, nomes tão feios quanto eu...
• Macroscopicamente:
Para t = 0, (0) = 0
; (t), t>0
Para t = 0, ç(0) = ç0
P (t)0 + P (t)1 + P (t) = 02
= 0dç
dt t=0
• Microscopicamente:
1-D, RP, sem difusão: EDO de 1ª Ordem
f(x, ) ; (x), x>0
Para x = x , (x ) = 0 0 0
d
dx
; (x), x>0
Para x = x , CC0 1
Para x = x , CC1 2
2d
2dx
P (x)0 + P (x)1 d
dx
+ P (x) = Q(x)2
1-D, RP, com difusão: EDO de 2ª Ordem
EDO de 1ª Ordem
f(t, ) ; (t), t>0d
dt EDO de 2ª Ordem
CAPÍTULO 2
2d
2dt
d
dt
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 24
Como função contínua, as EDOs podem ser expressas na forma de Série de Taylor:
Portanto, o formato dos problemas possíveis na físico-matemática são:
2 = (ç ) + d (ç- ) + dç 0
2 n nç (ç-ç ) + ... + d (ç-ç )0 0 0
dç
ç0
2dç
ç0
ndç
ç0
1 EDO DE 1ª ORDEM
1 EDO DE 2ª ORDEM
SISTEMAS DE EDOS DE 1ª E DE 2ª ORDEM
SOLUÇÕES DE EDOS DE 1ª ORDEM
f(ç, ) ; (ç), ç>ç0
Para = , ( ) = 0 0 0ç ç ç
d
dçFORMA GERAL
M(ç, )dç + N(ç, )d = 0 ; (ç), ç>ç0
Para = , ( ) = 0 0 0ç ç ç
ou
CLASSIFICAÇÃO: --EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
--EQUAÇÕES LINEARES
--EQUAÇÕES EXATAS
--EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
EDOS 1ª ORDEM SEPARÁVEIS
FORMA: M(ç)dç + N( )d = 0
SOLUÇÃO: M(ç)dç + N( )d = c
Exemplo: Enchimento de um tanque por vazão volumétrica
Q ; V(t), t>0
Para = 0, V(0)=V0t
dV
dt
dV - Q dt = 0
dV - Q dt = c
V(t) = c + Q t
Solução Geral
A Solução Geral é a primeira função resultado 
para o modelo. Porém, ainda não representa 
totalmente o fenômeno, pois não se conhece 
a constante de integração ‘c’.
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 25
A constante de integração é determinada pela aplicação da condição inicial (neste caso) 
na Solução Geral:
Para = 0, V(0)=V0t
V = c + Q 00
A Solução Particular é a função que 
representa o fenômeno completamente. Ela 
dá o perfil da variável dependente, segundo 
as condições iniciais ou de contorno e aos 
outros parâmetros da situação física.
V = c0
Logo, a Solução Particular é
V(t) = V + Q t0
Solução Particular
EDOS 1ª ORDEM SEPARÁVEIS POR MUDANÇA DE VARIÁVEL
FORMA: M(ç)dç + N(è)dè = 0
SOLUÇÃO: M(ç)dç + N(è)dè = c
Exemplo: Transferência de calor em determinado material
á (T-T )dT
dt
Se, T(t)-T = è
dT
dt
dT
dt
0
dè
dt
então, áèdè
dt
EDO 1ª Ordem Separável
Assim, aplicando a solução:
Solução Geral
á dt + cdè
è
ln è = á t + c
fazendo, c = ln c*
ln = á tè
c*( (
è(t) = c* eát
Para t = 0, (0) = è , c* = 0è è0
è(t) = eátè0 T(t) = T + (T -T ) e0
át Solução Particular
com dependente da geometria e propriedades físicas.á
assim,
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 26
EDOS 1ª ORDEM LINEARES
FORMA: + P(ç) = Q(ç)d
dç
SOLUÇÃO: - P(ç)dç(ç) = e Q(ç) dç + c P(ç)dçe
- dtC (t) = e dt + cA
 dte CA1 
Para chegar à solução desta EDO, devemos iniciar multiplicando-a por um fator 
integrante :P(ç)dçe 
 P(ç)dçe + P(ç) = P(ç)dç P(ç)dçe e Q(ç)d
dç
Note que,
 P(ç)dç( e ) = v u’ + u v’d
dç
 P(ç)dç P(ç)dç P(ç)dç( e e (e )) = + d
dç
d
dç
d
dç
Sendo, u u(e e) = d
dç
du
dç
então,
 P(ç)dç P(ç)dç P(ç)dç ( e e e P(ç)) = + d
dç
d
dç
Retornando à EDO Linear, temos:
d
dç
 P(ç)dç P(ç)dç( e e Q(ç)) = 
 P(ç)dç P(ç)dç e e Q(ç) d + c = ç EDO 1ª Ordem Separável
Exemplo: Variação da concentração de um componente A em reator CSTR
(C - C )A1 A
dCA
dt
1
ô
+ CA
dCA
dt
1
ô
1
ô
CA1
Nesta disposição, podemos reconhecer o formato da EDO Linear, onde:
 = CA ç = t
P(ç) = 1
ô
Q(ç) = 1
ô
CA1
;
;
1
ô
1
ô 1
ô( (
- C (t) = e dt + cA
 e CA1 
t
ô
t
ô 1
ô( (
- C (t) = e + cA C ô eA1 
t
ô
t
ô1
ô
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 27
-C (t) = + e cA CA1
t
ô Solução Geral
Para t = 0, C (0) = C , c = ( - )A A0 C CA0 A1
- C (t) = e dt + cA
 C eA1
t
ô
t
ô
1
a
( (
Como, aue du = aue
1
ô
-C (t) = + e (A C C -C )A1 A0 A1
t
ô Solução Particular
EDOS 1ª ORDEM LINEARES POR MUDANÇA DE VARIÁVEL
EDO DE BERNOULLI
FORMA: n+ P(ç) = Q(ç) d
dç
nNeste formato, a EDO carrega um termo não-linear , que deve ser suprimido. Para isso, 
-ninicia-se dividindo toda equação por :
e então, multiplicamos-a por (1-n),
-n 1-n+ P(ç) = Q(ç)d
dç
-n 1-n(1-n) + (1-n) P(ç) = Q(ç) (1-n)d
dç
Perceba que,
-n= (1-n) d( 
1-n)
dç
d
dç
assim, substituindo na equação anterior, temos:
+ (1-n) P(ç) = Q(ç) (1-n)1-nd( 
1-n)
dç
Podemos agora torná-la uma EDO Linear definindo â, P*(ç) e Q*(ç):
â = ç1-n, P*( ) = (1-n) P(ç) e Q*(ç) = (1-n) Q(ç)
EDO 1ª Ordem Linear+ P*(ç) = Q*(ç)d
dç
SOLUÇÃO: - P*(ç)dç(ç) = e Q*(ç) dç + c P*(ç)dçe
Para solucionar, basta aplicar o mesmo método de EDOs Lineares. Teremos como solução:
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 28
EQUAÇÕES EXATAS
Estas equações aparecem como resultado de uma única operação de diferenciação de 
uma função. As entenderemos através do exemplo seguinte.
Seja a função:
2 2 3 2f(ç, ) = 3ç + 2ç + + c = 0
2 2 3 2d[f(ç, )] = d(3ç ) + d(2ç ) + d( ) + d(c) = 0
e diferenciando-a,
2 2 2 2 3 3d[f(ç, )] = 3[ d(ç ) + ç d( )] + 2[ dç + çd( )] + 2 d = 0
2 2 3 2d[f(ç, )] = 3( 2çdç + ç 2 d ) + 2( dç + ç3 d ) + 2 d = 0
2 2 3 2d[f(ç, )] = 6ç dç + 6 ç d + 2 dç + 6ç d + 2 d = 0
2 3 2 2d[f(ç, )] = (6ç + 2 )dç + (6 ç + 6ç + 2 )d = 0
N(ç, ) M(ç, )
Note que:
N∂
∂
ç=cte
2 3 2 3 2 = (6ç + 2 ) = 6ç ( ) + 2 ( ) = 12ç + 6 ∂
∂
d
d
d
d
M∂
∂
 =cte
2 2 2 = (6 ç + 6ç + 2 ) = 12ç + 6 + 0∂
ç ∂ç
Portanto, uma Equação Exata satisfaz o seguinte critério:
N∂
∂
ç=cte
M∂
∂
 =cte
ç=
A Solução Geral é obtida por:
1) Avaliar:
M dç( ( =cte
2) Avaliar:
R = N(ç, ) - ∂
∂
M dç( ( =cte ç=cte
3) Avaliar a integral:
R d( ( ç=cte
4) Então a Solução Geral será:
SOLUÇÃO: R d( ( ç=cteM dç( ( =cte + = c
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 29
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
Uma função f(ç, ) é Homogênea se quando ç e forem multiplicadas por y, a função é 
nmultiplicada por y , ou seja, tem forma:
FORMA: nf(yç,y ) = y f(ç, )
Por exemplo:
2 2f(ç, ) = ç Função Homogênea de 4º grau
2 2 2 2 2 2 4 4 4f(yç,y ) = (yç ) (y ) = y ç y = y (ç )
Então, se M( ) e N( ) na equaçãogeral forem Funções Homogêneas de mesmo grau, a 
EDO é Homogênea.
Neste caso, a Solução Geral é:
ç, ç, 
SOLUÇÃO: ln (ç) + du = c
N(1,u)
M(1,u) + u N(1,u)
onde, u = /ç
SOLUÇÕES ANALÍTICAS
DE EDOS DE 2ª ORDEM
Assim como as Equações Diferenciais de 1ª Ordem que vínhamos 
estudando, temos também as EDOs de 2ª Ordem. Nelas, a variável 
dependente é diferenciada duas vezes com relação à independente. As 
vimos quando os modelos contiveram termos de difusão. Veremos 
outras situações em que aparecem e suas soluções.
; ç(t), t>0
Para t = 0, ç(0) = ç0
2d ç
2dt
P (t)0 + P (t)1 dç
dt
+ P (t) ç = Q(t)2
= V0dç
dt t=0
• Modelo Macroscópico: trajetória
• Modelo Microscópico: 1-D, RP, com difusão
; (x), x <x<x0 L
Para x = x , CC0 1
Para x = x , CCL 2
2d
2dx
P (x)0 + P (x)1 d
dx
+ P (x) = Q(x)2
Solução Geral
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 30
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Três tipos de condição de contorno podem ser estabelecidas no modelo para permitir sua 
solução:
• 1ª Espécie: valor prescrito
Para x = x , ( ) = 0 x0 0
• 2ª Espécie: derivada prescrita
Para x = x ,L = 0d
dx x=xL
• 3ª Espécie: relação de refluxo
Para x = x , ÃL = h [ (x=x ) - ]Ld
dx x=xL
EDOS DE 2ª ORDEM LINEARES
Se, P (ç) = = 0 P P (ç) = P = P (ç) = P = constantes,0 1 1 2 2
FORMA GERAL:
2d
2dç
P0 + P1 d
dç
+ P = Q(ç)2
tem-se os seguintes casos particulares:
Q(x) = 0 EDO de 2ª Ordem Homogênea
Q(x) = 0 EDO de 2ª Ordem Não-Homogênea
P = 01 P =2 EDO de 2ª Ordem Incompleta
EDOS DE 2ª ORDEM INCOMPLETAS
FORMA:
2d
2dx
P0 = Q(x)
Pode-se encontrar a Solução Geral integrando a função:
( (ddxP0 dx = Q(x) dx + cddx
P0 = f(x) + c1d
dx
EDO de 1ª Ordem Separável
P d0 = f(x) dx + c dx + c1 2
P (x)0 = g(x) + c x + c1 2
 (x) = [g(x) + c x + c ]1 21
P0
A) Se,
Solução Particular
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 31
 (x) = + x0 - L 0
L
Para x = 0, (0) = ; x = L, (L) = 0 L
( (
EDOS DE 2ª ORDEM HOMOGÊNEAS E A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA:
 2 P D + P D + P = 00 1 2
2Para chegar à sua solução, necessitamos estabelecer os operadores D e D , e aplicá-los na 
forma original:
d
dx
2D ; D
2d
2dx
Nesta condição de igualdade, um dos dois termos obrigatoriamente deve ser igual a zero. 
Escolhendo o termo interior aos parêntesis, posto que não pode ser zero, temos uma equação de 
2º grau, resolvível pelo método de Báskara:
 2 (P D + P D + P ) = 00 1 2
2d
2dç
P0 + P1 d
dç
+ P = 02
 2 P D + P D + P = 00 1 2
 2D = -P ± P - 4 P P1 1 0 2
2 P0
Esta equação permite 3 
possibilidades, que levarão 
a 3 soluções diferentes.
2(P - 4 P P ) > 0, D’ = D’’1 0 2 Duas raízes reais e distintas
Assim, 2 P D + P D + P = (D - D’) (D - D’’)0 1 2
(D - D’) (D - D’’) = 0
(D - D’) = 0 ( (
d ’
dx
 = D’ ’
(D - D’’) = 0 ( (ddx - D’’ ’’ = 0
Resolvendo cada EDO:
d
dx
 - D’ ’ = 0
d ’ = D’ dx + c1 ’
ln ’ = D’x + c1
ln ’ = D’x + ln c *1
D’x ’ = c * e 1 Solução 1
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 32
O mesmo se faz para D’’:
d ’’
dx
 = D’’ ’’
D’’x ’’ = c * e 2 Solução 2
A Solução Geral é obtida pela soma das duas soluções:
D’x D’’x (x) = c * e + c * e1 2 Solução Geral para D’=D’’
B) Se, 2(P - 4 P P ) = 0, D’ = D’’ = D =1 0 2 Duas raízes reais e iguais
Dx (x) = (c * + c *) e1 2 Solução Geral para D’=D’’=D
-P1
2 P0
C) Se, 2(P - 4 P P ) < 0, D’ = á + âi1 0 2 Duas raízes complexas 
conjugadas
áx (x) = e [c * sen(âx) + c * cos(âx)]1 2
Solução Geral para D’
e D’’ complexos
D’’ = á - âi
EDOS DE 2ª ORDEM NÃO-HOMOGÊNEAS E A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA:
2d
2dç
P0 + P1 d
dç
+ P = Q(ç)2
O solucionamento deste formato é resultado do Teorema de Sobreposição de Soluções, 
que determina:
Solução geral da 
EDO 2ª Ordem não-
homogênea
Solução geral da EDO 
2ª Ordem homogênea
Função 
Complementar
Solução geral do termo 
não-homogêneo
Solução Particular 
Integral
= +
Solução Particular Integral: - Método dos Coeficientes Indeterminados
 - Método da Variação de Parâmetros
Q(ç) Solução Particular Integral
constante ‘a’
na ç + n
rçb e ; ‘b’ e ‘r’ constantes
c cos(kç) ou c sen (kç) ; ‘c’ e ‘k’ constantes
n rç n rçg ç e cos(kç) ou g ç e sen(kç)
n-1a ç + ... + an-1 0
constante ‘A’
nA ç + An
RçB e ; ‘B’ e ‘R’ constantes
C cos(Kç) ou D sen (Kç) ; ‘C’, ‘D’ e ‘K’ constantes
n n-1 Rç(G ç + G ç + ... + G ) e cos(Kç) +n n-1 0
n Rç(H ç + ... + H ) e sen(Kç)n 0
n-1ç + ... + An-1 0
• Método dos Coeficientes Indeterminados:
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 33
Por exemplo:
2d CA
2dx
1 - 4 dCA
dx
3+ 4 C = 4x - 8x ; C (x)A A Perceba os coeficientes constantes e que Q(ç)=0!
Esta é, portanto, uma EDO de 2ª Ordem Linear a Coeficientes Constantes e Não-
Homogênea. Sua solução analítica segue o Teorema de Sobreposição de Soluções:
1º - Solução da Função Complementar:
2d CA
2dx
1 - 4 dCA
dx
+ 4 C = 0A
2(D - 4D + 4)C = 0A
2D - 4D + 4 = 0
 D = 4 ± 16 - 16 
2
0
D’ = D’’ = D = 2 Duas raízes reais e iguais
2x C (x) = (c + c x) eA 1 2
2º - Solução Particular Integral:
3Q(x) = 4x + 8x Polinômio de grau 3
a solução para este formato de Q(ç) é:
3 2C (x) = A x + A x + A x + AA 3 2 1 0
Determinando os coeficientes,
dCA
dx
2= 3 A x + 2 A x + A3 2 1
2d CA
2dx
= 6 A x + 2 A3 2
e os substituindo na EDO inicial,
2 3 2 3(6A x + 2A ) - 4(3A x + 2A x + A ) + 4(A x + A x + A x + A ) = 4x + 8x3 2 3 2 1 3 2 1 0
3 2 34A x + (-12A + 4A )x + (6A - 8A + 4A )x + 2A - 4A + 4A = 4x + 8x3 3 2 3 2 1 2 1 0
Se a igualdade é verdadeira, pode-se dizer que:
4A = 8 ; A = 23 3
-12A + 4A = 0 ; A = 63 2 2
6A - 8A + 4A = 4 ; A = 103 2 1 1
2A - 4A + 4A = 0 ; A = 72 1 0 0
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 34
Logo,
3 2 C (x) = 2x + 6x + 10x + 7A
A solução geral da EDO, segundo o Teorema, é:
2x 3 2 C (x) = (c + c x) e + 2x + 6x + 10x + 7A 1 2 Solução Geral 
EXERCÍCIOS
1) Encontre a Solução Geral e Particular para o enchimento de um tanque onde a vazão de entrada 
segue uma variação senoidal, conforme a expressão:
Q(t) = A sen(Bt)
2) Encontre a Solução Geral e Particular para o aquecimento/resfriamento de uma esfera onde a 
temperatura do meio segue uma variação cossenoidal, conforme a expressão:
T (t) = A cos(Bt)
3) Modele o esvaziamento do tanque tronco-cônico e encontre a Solução Geral e Particular para a 
variação de altura de acordo com o tempo.
Dorif
h(t)
H
v
Para t = 0, h(0) = H
1/2v = C (2gh) [m/s]D
4) Um tanque cilíndrico é utilizado como tanque pulmão para um processo descontínuo. O tanque é 
carregado com um líquido a 90ºC e maturado por um período de 5 dias. Determinar a distribuição de 
temperatura do líquido para as seguintes condições:
H=2m
D=1m
Aço Inox: e=8 mm ; K=169 W/(m ºC)
Isolante térmico: e=200 mm ; K=1,5 W/(m ºC)
Ambiente externo:
T (t)=10+10 cos(ðt/12),
com t em horas
Em t=0, T(0)=90ºC
Propriedades físicas do líquido:
3ñ=1000 kg/m
Cp=2500 J/(kg ºC)
Coeficientes de convecção:
2h =200 W/(m ºC)interno
2h =20 W/(m ºC)externo
Hipótese do pseudo estado estacionário para as paredes do tanque:
(q ) ~ ~ ~ ~ =UA (T - T )conv int (q ) (q ) (q ) qcond Aço cond Isolamento conv ext~ ~ ~ ~
UA=1/ÓResistências ; =(R + + + )conv,intÓResistências R R Rcond,Aço cond,Isolamento conv,ext
Modelagem Matemática aplicada à Engenharia Química I 35
5) Encontre a solução geral e particular das seguintes situações:a) Aquecimento de um fluido escoando em um tubo, conforme o modelo:
Para z = 0, T(0) = T0
2d T
2dz
-k + ñCpv dT
dz
+ h (T - T) = 0 ; T(z), 0<z<Lconv s
= 0
z=L
4
D
Para z = L, dT
dz
Considere: k = 15 W/(m ºC)
3ñ = 1000 kg/m
Cp = 4186 J/(kg ºC)
L = 10 m
2h = 100 W/(m ºC)conv
T = 100 ºCS
T = 20 ºC0
v = 0,01 m/s
D = 0,1 m
b) Modele e encontre a solução geral e particular para a transferência de calor em um pino circular 
conforme a figura (fazer um balanço diferencial como no caso do fluido escoando em um duto):
D
Äz
L0
TS
T(z)
T
qconv
ÄV
k
2h = 20 W/(m ºC)conv
k = 163 W/(m ºC)
T = 200 ºCS
T = 20 ºC
D = 0,01 m
L = 0,5 m
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